Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Prüfung: Mathematik Termin: 7. September 2013 Bearbeitungszeit: 180 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Note a b c d a b c d a b c d e a b c d a b c Soll 4 4 4 8 4 5 3 7 3 2 4 2 4 6 6 6 8 8 8 8 2 106 Ist Hilfsmittel: beliebige Taschenrechner und alle schriftlichen Unterlagen; Hinweise: Vergewissern Sie sich zunächst, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 6 Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer. Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf ein konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie auf den Zusatzblättern am Seitenanfang bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die folgende Lösung/Lösungsfortsetzung gehört und beginnen Sie die Lösung/Lösungsfortsetzung einer weiteren Aufgabe bitte immer auf einer neuen Seite. Aus Ihren Lösungen sollten die Lösungswege erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, vermerken Sie dies bitte, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1
1. Herr A. hat einen Kredit über 100 000 e aufgenommen, für den die Zinsen für die ersten 10 Jahre auf nominell 4.2% p.a. festgeschrieben wurden, es wird jedoch monatlich der entsprechende Relativzins in Höhe von 0.35% berechnet. Es wurde eine monatliche, nachschüssige Tilgung von 0.3% zuzüglich ersparter Zinsen vereinbart. (a) Wie hoch ist die monatlich zu zahlende Annuität und wie ist die Tilgungsdauer, wenn auch nach den 10 Jahren von einem Zinssatz von nominell 4.2% p.a. ausgegangen wird? (b) Wie hoch wäre die verminderte Abschlussannuität im letzten Tilgungsmonat, wenn wieder von einem konstanten Zinssatz auch über die vereinbarten 10 Jahre hinaus ausgegangen wird? (c) Auf wie viel Prozent der Kreditsumme kommt Herr A. mit der Tilgung im ersten Jahr insgesamt und wie hoch ist der Effektivzins des Kredits? (d) Wie wäre die Tilgungsdauer, wenn Herr A. von der Möglichkeit Gebrauch macht, am Ende jedes Tilgungsjahres eine Sondertilgung von 3 000 e zu leisten? Falls die Sondertilgung im letzten Jahr kleiner ist, geben Sie deren Höhe an. Es ist wieder davon auszugehen, dass der Zinssatz konstant bei nominell 4.2% bleibt. 2
2. In einem Unternehmen wurden in einer zweistufigen Fertigung bisher aus drei Rohteilen R 1, R 2 und R 3 zunächst die drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 und aus diesen die vier Endprodukte E 1, E 2, E 3 und E 4 hergestellt. Die Stücklisten für die in den beiden Fertigungsstufen hergestellten Zwischen- und Endprodukte sind in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. E 1 E 2 E 3 E 4 Z 1 3 2 0 7 Z 2 0 6 2 2 Z 3 1 1 0 3 Z 1 Z 2 Z 3 R 1 3 1 2 R 2 2 3 4 R 3 5 2 1 (a) Die Fertigung soll auf eine einstufige Fertigungsstruktur umgestellt werden. Stellen Sie die Stücklisten für die Endprodukte auf Basis der Rohteile auf! (b) Wie viele der Rohteile R 1, R 2 und R 3 müssen für die Produktion bereitgestellt werden, wenn die im Produktionsvektor e = (100, 300, 100, 200) angegebenen Mengen der Teile E1,...,E4 gefertigt werden sollen, wobei zu berücksichtigen ist, dass aus dem Lager von den drei Zwischenprodukten Z1,..., Z3 die Mengen z = (300, 400, 500) genutzt werden sollen? (c) Wie hoch sind die Materialkosten für die Zwischen- und Endprodukte (jeweils in e /Stück), wenn die Rohteile zu Preisen von 2 e (R 1 ), 4 e (R 2 ) und 5 e (R 3 ) je Stück eingekauft werden? (d) Könnte ein Lagerbestand von z = (500, 300, 210) Zwischenprodukten noch vollständig zu Endprodukten verarbeitet werden? Geben Sie die Menge aller möglichen Produktionsvektoren an. 3
3. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem (Produktionsplanungsproblem, Variable x j sind Prod.-mengen in ME) mit den Restriktionen R1 bis R4: z = 72x 1 + 52x 2 + 40x 3 max x 1 + x 2 + 2x 3 140 (R1) 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 340 (R2) x 1 + 2x 2 + x 3 290 (R3) 4x 1 + x 2 + x 3 410 (R4) x 1, x 2, x 3 0 Dabei steht die Zielfunktion für den Erlös, ihre Koeffizienten c j sind die Verkaufspreise der Produkte P j in e, z.b. steht c 2 für einen Preis von 20 e bei Produkt P 2. x 3 x 5 x 4 1 Die Restriktionen stehen für beschränkt x 7 5 3 5 90 verfügbare Rohstoffe [in ME]. x Bei der Lösung des obigen LOP hat 6 5 1 4 70 sich nach einem oder mehreren Schritten x 2 4 1 3 80 mit der Simplex-Methode das nebenstehende x 1 2 1 2 60 Simplextableau ergeben. Dabei sind x 4,..., x 7 die Schlupfvariablen der Restriktionen R1,..., R4. z 24 20 12 8480 (a) Geben Sie davon ausgehend alle optimalen Lösungen (einschließlich der Schlupfvariablen) und den optimalen Zielfunktionswert an! (b) Welche Änderungen des Verkaufspreises für Produkt P 3 (Zielfunktionskoeffizient von x 3 ) hätten keinen Einfluss auf die optimale Lösung? (c) In welchem Bereich dürfte sich der Verkaufspreis für Produkt P 2 (Zielfunktionskoeffizient von x 2 ) ändern, ohne dass sich die optimale Lösung ändert? Bliebe in diesem Bereich auch der Zielfunktionswert konstant, falls nicht, wie würde er sich ändern? (d) Ist die Restriktion R4 aktiv oder inaktiv und was bedeutet dies für den Rohstoff R4? (e) Von jedem der Rohstoffe könnte zu Preisen von 16 e je ME mehr zur Verfügung gestellt werden. Bei welchen der Rohstoffe wäre dies lohnend, wie viel sollte mindestens zusätzlich bereitgestellt werden? 4
4. Gegeben ist die Funktion x2 (1 12x e 4 ), x 2 y = f(x) = 2x 3 18x 2 + 60x 40 x > 2 (a) Geben Sie an (mit Begründung!), ob diese Funktion im gesamten Definitionsbereich D f = R stetig ist, und ob bzw. wie oft sie in D f = R differenzierbar ist (ebenfalls mit Begründung!). (b) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion und die zugehörigen Minimums-/Maximumspunkte und begründen Sie für jeden dieser Punkte, ob es sich um einen Minimums- oder Maximumspunkt handelt! (c) Begründen Sie anhand der Vorzeichen der Ableitungsfunktionen, in welchem Teil des Definitionsbereiches die Funktion y = f(x) progressiv wachsend ist? (d) Bestimmen Sie den linearen Integralmittelwert y lin = m 1 = 1 b a b a f(x) dx dieser Funktion für das Intervall [0,5]. Beschreiben Sie dabei die für die Integration notwendige Substitution ausführlich. 5
5. Für die Abbiegung von Stahlprofilen durch eine Querkraft ist das Flächenträgheitsmoment I dieser Profile maßgebend. Für das nebenstehend abgebildete Rechteckprofil gilt I = B H3 b h 3, 12 wobei b = B 2s und h = H 2s die Maße des inneren Rechtecks sind. Mit B = 50mm und H = 100mm ergibt sich bei einer Wandstärke S = 10mm ein Flächenträgheitsmoment von I = 2.88667 10 6 mm 4 Bestimmen Sie mit Hilfe des vollständigen Differentials, um wie viel das Flächenträgheitsmoment I näherungsweise abnimmt, wenn bei gleichen Außenmaßen des Profilstahls die Wandstärke um 1 mm verringert wird, d.h. b und h nehmen um jeweils 2 mm zu. 6
6. Für ein 2-Produkt-Unternehmen gelten (je Monat) die Preis-Absatz-Funktionen p 1 (x 1, x 2 ) = 7200 8x 1 6x 2 p 2 (x 1, x 2 ) = 4400 2x 1 3x 2 wobei die Preise p i in e/me und die Mengen x i in ME angegeben werden (a) Zu welchen Preisen muss das Unternehmen seine beiden Produkte verkaufen, um einen maximalen Erlös zu erzielen? Wie groß ist dieser maximale Erlös und in welchen Mengen können die beiden Produkte dann verkauft werden? (Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt) (b) Bei der Produktion der beiden Produkte wird ein beschränkt verfügbarer Rohstoff benötigt, für das Produkt 1 sind das 36 kg/me und für Produkt 2 je 12 kg/me. Aufgrund langfristiger Lieferverträge stehen von dem Rohstoff (je Monat) nur 10 000 kg zur Verfügung. In welchen Mengen können die beiden Produkte unter dieser Bedingung produziert werden und zu welchen Preisen muss das Unternehmen die beiden Produkte dann auf den Markt bringen, um einen maximalen Erlös zu erzielen? Wie groß ist dieser maximale Erlös? (Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt) (c) Bis zu welchem Preis (e/kg) sollte das Unternehmen versuchen, von dem benötigten Rohstoff mehr einzukaufen und für die Produktion zur Verfügung zu stellen? 7
Lösungen 1. (a) A m = 650 e, n = 221.298 Monate bzw. 222 Monate oder 18 J. u. 6 M. (b) R 222 = 193.79 e (c) t = 3.67011%, i eff = 4.2818% (d) n = 11.8273 a d.h. 12 Jahre mtl. 650 e und 11-mal jährlich 3 000 e, am Ende des 12. Jahres nur noch 1140.74 Sondertilgung. 2. (a) A RZ A ZE = A RE : (b) r = 9 000 12 000 14 500 E 1 E 2 E 3 E 4 R 1 11 14 2 29 R 2 10 26 6 32 R 3 16 23 4 42 (c) p z = (39, 24, 25) p e = (142, 247, 48, 396) (d) e = 80 130 240 0 + t 1 2 5 1, t {48, 49, 50,..., 65} 3. (a) x 3 x 5 x 4 1 x 7 5 3 5 90 x 6 5 1 4 70 x 2 4 1 3 80 x 1 2 1 2 60 z 24 20 12 8480 x = 60 80 0 0 0 70 90 z max = 8480, (b) 3 = 24 = keine Änderungen, solange der Verkaufspreis c 3 40 + 24 = 64; 8
(c) c 2 = c 2 + t = 52 + t 24 4 = N = 20 12 + t 1 0 t [ 4, 20] 3 = t [ 4, 20] (bzw. c 2 [48, 72]) gilt z max = 8480 + 80t [8160, 10 080] (d) Restriktion R4 inaktiv (90 ME des Rohstoffs ungenutzt) (e) nur bei R2 ( 5 = 20 > 16) lohnt es sich, zu dem angegebenen Preis mehr zur Verfügung zu stellen. b 2 = b 2 + t = 340 + t = x B = 90 70 80 60 + t 3 1 1 1 0 t [ 60, 30] Es sollten also mindestens 30 ME zusätzlich bereitgestellt werden. 4. (a) x2 (1 f 1 (x) = 12x e 4 ) f 1(x) = 6(x 2 x2 (1 2) e 4 ) 1 (x) = 3x(x 2 6) e (1 x 2 f 4 ) f 2 (x) = 2x 3 18x 2 + 60x 40 f 2(x) = 6x 2 36x + 60 f 2 (x) = 12x 36 beide Funktionen in R stetig und differenzierbar. y = f(x) in x 0 = 2 (und damit überall) stetig, weil f 1 (2) = f 2 (2) = 24, nicht differenzierbar, weil f 1(2) = 12 12 = f 2(2) (b) lokale Minimumspunkte: (x 1, y 1 ) = ( 2, 12 2e) ( 1.41421, 27.9797) und (x 2, y 2 ) = (2, 24) lokaler Maximumspunkt: (x 1, y 1 ) = ( 2, 12 2e) (1.41421, 27.9797) (c) f progressiv wachsend x [ 2, 0] [3, ) ( (d) y = 1 2 x 2 12x e(1 4 ) dx + ) 5 5 0 2 (2x3 18x 2 + 60x 40)dx = 1 225 (24 (e 1) + ) 30.7478 5 2 9
5. di(b, h) = I(b, h) b db + I(b, h) h = 1 12 (h3 db + 3bh 2 dh) dh b = 30, h = 80, db = dh = +2 [mm] di(b, h) = 181 333 [mm 4 ] 6. (a) E(x 1, x 2 ) = 7200x 1 + 4400x 2 8x 2 1 8x 1 x 2 3x 2 2 max x 1 = 250, x 2 = 400 p 1 = 2800, p 2 = 2700 E = 1 780 000 (b) E(x 1, x 2 ) = 7200x 1 + 4400x 2 8x 2 1 8x 1 x 2 3x 2 2 max 36x 1 + 12x 2 10 000 L(x 1, x 2, λ) = E(x 1, x 2 ) + λ(10 000 36x 1 12x 2 ) x 1 = 106.061, x 2 = 515.152 p 1 = 3260.61, p 2 = 2642.42 E = 1 707 707.71 (c) λ = 38.38, d.h. bis zu 38.38 e/me könnten ausgegeben werden. 10