7. Grassmannshe Vektoren und die Drehungen im Raum. Wir haen im vorigen Kapitel gesehen, wie man Gegenstände im Raum vermöge der Zentralprojektion als Figuren in der Eene perspektivish genau darstellen kann. Dies wird etwa ei CAD/CAM Anwendungen, d.h. ei dem Computer Aided Design verwendet. Also z.b. eim design von neuen Autokarosserien. Infolge der Shnelligkeit von heutigen Rehnern kann man aer auh die Gegenstände ewegen und etwa im Raum drehen. Wir wollen uns hier die mathematishen Hintergründe eim Drehen von räumlihen Gegenständen ansehen. Die Grundidee ist, dass Drehungen von Gegenständen am esten von Transformationen des ganzen Raumes eshrieen werden die auf Gegenstände. Statt also einen Gegenstand im Raum zu drehen ist es mathematish einfaher den Gegenstand festzuhalten und esser den ganzen Raum zu drehen. Um dies zu eshreien rauht man Vektoren und lineare Aildungen, die auf ihnen operieren.
7 Drehungen 97 1. Vektorrehnung. Ein Vektor hat eine Länge und eine Rihtung. Es git zwei Typen von Vektoren - den Ortsvektor und den Rihtungsvektor. Beides sind Pfeile in der Eene oder im Raum mit dem Untershied, daß der Anfangspunkt eines Ortsvektors immer im Nullpunkt liegt und der Konvention, daß zwei Rihtungsvektoren gleih sind, wenn sie parallel sind: Zwei Ortsvektoren Ein Rihtungsvektor Definition. Ein zwei-dimensionaler Vektor ist ein geordnetes Paar a [a 1,a 2 ] von reellen Zahlen. Ein drei-dimensionaler Vektor ist ein geordnetes Tripel a [a 1,a 2,a 3 ] von reellen Zahlen. Die Zahlen a 1,a 2,a 3 heißen die Komponenten des Vektors. Eine Darstellung eines Vektors [a 1,a 2 ] ist ein Pfeil (d.h. eine gerihtete Streke) von einem Punkt P(x,y) zum Punkt P(x + a 1,y + a 2 ). Ist P(x,y) P(,), dann heißt t diese Darstellung ein Ortsvektor. Entsprehendes gilt im Raum. Die Länge eines Vektor v ist die Länge eines seiner Darstellungen und wird mit v ezeihnet. Mit Hilfe der Astandsformel läßt sih die Länge erehnen: Tatsahe. Die Länge des zwei-dimensionalen Vektors a [a 1,a 2 ] ist gegeen durh die Formel: a a 2 1 + a2 2. Die Länge des drei-dimensionalen Vektors a [a 1,a 2,a 3 ] ist gegeen durh die Formel: a a 2 1 + a2 2 + a2 3. Man kann Vektoren addieren und mit reellen Zahlen (Skalaren) multiplizieren gemäß der folgenden Regeln:
98. Geometrie (L2) Vektor Addition. Wenn a [a 1,a 2 ] und [ 1, 2 ], dann ist a+ definiert durh a + : [a 1 + 1,a 2 + 2 ]. Eenso für drei-dimensionale Vektoren a + : [a 1 + 1,a 2 + 2,a 3 + 3 ]. Man kann die Vektor Addition geometrish auf zwei Weisen illustrieren: a+ a+ a a Triangle Gesetz Parallelogramm Gesetz Es ist möglih die Länge eines Vektors zu verändern. Dies geshieht durh die Multiplikation mit einem Skalar. Multiplikation mit einem Skalar. Sei ein Skalar (d.h. eine reelle Zahl). dann ist der Vektor a definiert durh: a : [a 1,a 2 ] [a 1,a 2 ] Entsprehend für drei-dimensionale Vektoren a : [a 1,a 2,a 3 ] [a 1,a 2,a 3 ] Man verifiziert leiht, daß dem eine Längenveränderung um den Faktor entspriht, denn a [a 1,a 2 ] [a 1,a 2 ] (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 2 a 2 1 + a2 2 fa. Entsprehendes gilt für drei-dimensionale Vektoren. 2 a 2 1 + 2 a 2 2
7 Drehungen 99 2. Das Skalarprodukt. Definition. Das Skalarprodukt zweier Vektoren a, ist die Zahl a : a os(θ) woei θ der Winkel zwishen a und ist ( θ π). Zwei Vektoren a und sind senkreht oder orthogonal, wenn der Winkel zwishen ihnen θ π 2 ist. Für solhe Vektoren gilt: a a os( π 2 ). und umgekehrt, denn a, dann ist os(θ) und so θ π 2. Also haen wir: Satz. Zwei Vektoren a und sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt a. Das Skalarprodukt in Komponentenform. Seien zwei Vektoren a [a 1,a 2,a 3 ] und [ 1, 2, 3 ] gegeen. Nah dem Kosinus Satz gilt a 2 a 2 + 2 1 a os(θ) a 2 + 2 2a Damit gilt für das Skalarprodukt: a 1 2 ( a 2 + 2 a 2 ) 1 2 (a2 1 + a 2 2 + a 2 3 + 2 1 + 2 2 + 2 3 (a 1 1 ) 2 (a 2 2 ) 2 (a 3 3 ) 2 ) a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 Also haen wir: Satz. Das Skalarprodukt von a [a 1,a 2,a 3 ] und [ 1, 2, 3 ] ist gegeen durh a a 1 1 + a 2 2 + a 3 3.
1. Geometrie (L2) 3. Vektoren in Aktion. Sätze im Dreiek. Satz. Sei ABC ein Dreiek. Die Senkrehten von den Eken, A, B, C, auf die gegenüerliegenden Seiten, BC, AC, AB, des Dreieks shneiden sih alle drei in einem Punkt. C [,] k h g B [a,] A [,] Lote treffen sih in einem Punkt Beweis. Wir ezeihnen die Ekpunkte mit Koordinatenvektoren wie folgt: A, B a, C. Dann gelten für die Senkrehten g,h,k die folgenden Formeln: g : x y + α, h : a x y + β, k : a x y Wir erehnen den Shnitt g h der Senkrehten g und h wie folgt: + α β a a β αa β(a ) Eingesetzt in h liefert den folgenden Ausdruk für den Shnittpunkt: m + β a + [ a ] 2 a a + γ β / Es leit zu zeigen, daß m niht nur auf der Senkrehten g, sondern auh auf den Senkrehten h und k liegt. Setze α : 2 a 2 a, dann gilt
+ α a + 2 a 2 a Setze γ : a, dann gilt a Dies eweist den Satz. 7 Drehungen 11 + a [ a ] [ 2 + 2 a 2 2 a m ] 2 a m Strahlensätze. Satz. Seien g, h zwei Geraden in der Eene, die sih im Punkt P shneiden. Seien A,B und C,D die Shnittpunkte eines Parallelenpaars mit g und h. Dann ist PA : PC PB : PD,und PA : PC AC : BD C A P B D Strahlensätze Beweis. Die Idee ist Vektorgeometrie zu enutzen. Hierzu shreien wir PA : Vektor von P nah A. PA : PA Länge von PA. und entsprehen f ur die anderen Streken. In Vektorshreiweise haen wir dann: PC λpa PC PC PA PA CD xab
12. Geometrie (L2) Also ist PB PA + AB PD PC + CD λpa + xab PD ypb ypa + yab Daraus folgt Durh Koeffizientenvergleih folgt hieraus ypa + yab λpa + xab y λ und y x Also ist P D λp B und CD λab, und hieraus folgt sofort der Strahlensatz. Wir enutzen nun den Strahlensatz für Tangentenkonstruktionen. Hier zunähst eine geläufige Konstruktionsaufgae für Tangenten. 1. Aufgae. Sei k ein Kreis in der Euklidishen Eene und sei Punkt P ein Punkt außerhal von k. Konstruiere die Gerade die P enthält und tangential zu k ist. Konstruktion. m C k P A B Tangente von einem Punkt an einen Kreis Sei B der Mittelpunkt der Streke PA. Sei m der Kreis mit Mittelpunkt B und Radius PB. Sei C einer der eiden Shnittpunkte der Kreise k und m.
7 Drehungen 13 Dann ist die Gerade durh P und C die gesuhte Tangente von P. Denn nah dem Thales Satz (zgl. des Kreises m ist die Streke CA senkreht auf der Streke P A. Somit steht die Gerade durh P und C senkreht zum Radius CA des Kreises k. Diese Gerade ist somit die gesuhte Tangente. 2. Aufgae. Seien k,m zwei Kreise die sih niht einander enthalten. Konstruiere eine Gerade die tangential zu eiden Kreisen ist. Konstruktion. C D k m P B A D Konstruktion. Tangenten an zwei Kreisen Wir sollen die Punkte P,D,C konstruieren. Die Konstruktion enutzt einen Trik, der darin esteht, einen Strahlensatz zweimal anzuwenden. Seien A,C die Mittelpunkte der Kreise k,m. Seien die Radien AC und BD senkreht auf der Geraden durh die Mittelpunkte A und B. Sei P der Shnittpunkt der Geraden durh C,D C mit der Geraden durh A,B. Konstruiere nah (Aufgae 1) die Tangente von P an den Kreis m. Wir ehaupten, dass dann diese Tangente an m auh die Tangente an den Kreis k ist. Zum Beweis sei C der Aufpunkt des Lots von A auf die Gearde durh P,D. Wir müssen zeigen, dass AC ein Radius von k ist. Wir eweisen dies indem wir zeigen, dass AC AC. Nah dem Strahlensatz ist: Weiter ist nah dem gleihen Strahlensatz: AC : BD PA : PB
14. Geometrie (L2) Shließlih ist AC : BD PA : PB BD BD, da diese Streken eide Radien des Kreises k sind. Also folgt insgesamt AC AC Damit ist der Beweis eendet. Bemerkung. Mit der gleihen Methode konstruieren wir auh die folgende gemeinsame Tangente CD. C k m D B P A D C Weitere Tangente an zwei Kreisen Wir argumentieren dann wie oen, dass die Tangente von P an den Kreis m (die wir wegen Aufgae 1 konstruieren können) auh gleihzeitig eine Tangente an den Kreis k ist. Wir führen dies aer niht mehr weiter aus.
7 Drehungen 15 5. Matrizen. Definition. Eine (zwei-dimensionale) Matrix ist ein Blok von rellen Zahlen a,,,d R. a G d Die Determinante einer Matrix ist gegeen durh a det ad d Das Produkt einer Matrix mit einem Vektor ist gegeen durh a d x y ax + y x + dy Das Produkt einer Matrix mit einer Matrix ist gegeen durh a x y ax + u ay + v d u v x + du y + dv Satz (Determinanten Satz). Seien G,H zwei Matrizen. Dann ist Beweis. Nahrehnen. det(g H) det(g) det(h). Korollar. Seien G, H zwei Matrizen mit det(g) det(h) 1. Dann ist det(g H) det(g) det(h) Beweis. klar. a x y Satz. Seien G und H Matrizen mit det G 1. Dann git es d u v eine Matrix X mit det(x) 1, die die Matrix Gleihung H G X löst
16. Geometrie (L2) Beweis. Definiere Dann ist und Weiter setze Dann ist nah dem Determinanten Satz Shließlih rehnet man leiht nah Dies eweist den Satz. G 1 d : a det G 1 da detg 1 G G 1 a d d a X : G 1 H 1 1 det X det(g 1 H) det(g 1 ) det(h) 1. G X G (G 1 H) (G G 1 ) H H.
6. Lineare Aildungen. 7 Drehungen 17 Sei G eine Matrix mit det(g) 1. Dann definiert die Zuordnung v G v eine ijektive Transformation der Eene. Manhe dieser Matrizen erhalten den Astand. Beispielsweise alle Matrizen der Form os α sin α sin α os α Diese Matrizen modellieren Drehungen. Welhe Bedeutung diese Matrizen für die Geometrie haen sieht man esten an ihrer geometrishen Dynamik, d.h. daran was die Potenzen G n mit einem elieig aer fest gewählten Vektor mahen: 2 1 Hyperolishe Matrix G : 1 1 Elliptishe Matrix G Drehung um 3. [ 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 ]. 3 o Paraolishe Matrix G 1 1 : 1
18. Geometrie (L2) Literatur. Arhimedes, Quadratur der Parael R. Desartes, Geometrie