Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsmathematik Etremwerte und Kurvendiskussion Aufgabe 8.1 Gegeben sind die Preis-Absatz-Funktion p()und die Kostenfunktion K(): p() = 400 0,02 ; [0;20000] K() = 10000+0,4 ; [0; ) a) Ermitteln Sie den Gewinn-maimalen Preis und die Gewinn-maimale Menge. b) Nehmen Sie an, mehr als 8000 Stück können in der betrachteten Periode nicht produziert werden. Welchen Einfluss hat diese Kapazitätsrestriktion auf das Gewinnmaimum? c) Wie verändert sich die Gewinn-maimale Menge, wenn höchstens 1 000 ME in der betrachteten Periode hergestellt werden können? Aufgabe 8.2 Ein Monopolist produziert ein Gut mit der Kostenfunktion K() = 3 12 2 +20+100, [0;20] und sieht sich der Preis-Absatz-Funktion p() = 20+480, [0;20] gegenüber. a) Es sind die Gewinn-maimale Menge, der Gewinn-maimale Preis und der maimale Gewinn zu bestimmen. b) Auf jede produzierte Menge wird einen Mengensteuer in Höhe von 140 GE/ME erhoben. Der Produzent fügt die Steuer seinen Kosten hinzu, sodass sich die Gesamtkosten um die abzuführende Gesamtsteuer S = 140 erhöhen. Ermitteln Sie erneut die Gewinn-maimale Menge, den Gewinn-maimalen Preis und den maimalen Gewinn sowie die abzuführende Steuer. Aufgabe 8.3 Ein Monopolist hat folgende Gewinnfunktion: G() = 0,01 3 +0,2 2 +15 100; [10;40] wobei die produzierte und abgesetzte Menge (in ME) bezeichnet. Zusätzlich ist die Kostenfunktion des Unternehmens bekannt: K() = 0,01 3 0,2 2 +5+100; [10;40] 1
a) Ermitteln Sie die Gewinn-maimale Menge und berechnen Sie für diese die Höhe der Grenzkosten und der Stückkosten. b) Für welche Menge sind die variablen Stückkosten minimal? c) Ermitteln Sie die Umsatzfunktion. Für welche Menge ist der Umsatz maimal? Aufgabe 8.4 Ein Unternehmen kann ein Produkt entsprechend der Produktionsfunktion (r) = 3 r 2 24 ;r 8 herstellen, wobei (r) = hergestellte Menge r = Einsatzmenge eines Produktionsfaktors bezeichnen. Der Preis p des Produkts betrage GE 20 pro Einheit, wobei jede produzierte Menge auf dem Markt abgesetzt werden kann; d.h. Absatz = hergestellte Menge = (r). Der Preis pro eingesetzter Einheit des Produktionsfaktors r betrage GE 8. a) Wie hoch sind Umsatz (Erlös), Kosten und Gewinn bei einer Produktion von 57 Einheiten? b) Geben Sie die Gewinnfunktion in Abhängigkeit vom Absatz an. c) Bei welcher produzierten und abgesetzten Menge wird der Gewinn maimal? Aufgabe 8.5 Gegeben ist die Funktion f() = 1 3 3 1 2 2 2+1 ; IR Bestimmen Sie alle Etremstellen, Wendestellen und Sattelstellen von f. Aufgabe 8. Gegeben ist die Funktion f() = 1 3 3 2 2 +4+5 ; IR Bestimmen Sie alle Etremstellen, Wendestellen und Sattelstellen von f. Aufgabe 8.7 Überlegen Sie, ohne eine Wertetabelle aufzustellen, zu welcher Funktion f der nachfolgende Graf gehört: 2
3 2 1-2 -1 1 2-1 -2-3 a) f() = 3 4 b) f() = 3 4 c) f() = 3 +4 d) f() = 4 4 2 e) f() = 4 +4 2 Aufgabe 8.8 Das globale Minimum der Stückkosten wird als Betriebsoptimum bezeichnet. Preis Output Umsatz Gesamt- Fi- Variable Stück- variable Grenzkosten kosten Kosten kosten Stück- kosten kosten Betriebs- 4 000 4 000 2 500 1,5 optimumsstelle a) Wie hoch ist der Output? b) Wie hoch ist das Betriebsoptimum? c) Wie hoch sind die Grenzkosten? 3
Lösung von Aufgabe 8.1 Die Gewinnfunktion G() = p() K() = 0,02 2 +399, 10000 sieht wie folgt aus: 2. 10 1.5 10 1. 10 500000 5000 10000 15000 20000 a) 0 = G () = 0,04+399, = 9990 G () = 0,04 < immer 0 ; d.h. = 9990 glob. Ma. Gewinn-maimale Menge 9 990 ME Gewinn-maimaler Preis p(9 990) = 200,2 GE b) Da G streng monoton steigend auf [0;8000] liegt das glob. Ma am rechten Rand des Intervalls [0;8 000]; d.h. Gewinn-maimale Menge 8 000 ME d.h. der Gewinn reduziert sich um G(9990) G(8000) = 198002 190800= 79202 GE c) Die Gewinn-maimale Menge beträgt 9990 ME, da = 9990 aus Teilaufgabe a) in dem Intervall [0;1 000] liegt. Lösung von Aufgabe 8.2 a) G() = p() K() = 3 8 2 +40 100 ; [0;20] 0 = G () = 3 2 1+40 = 10 oder = 4 3 }{{} / Def.bereich G () = 1 < immer 0 ; da 0 d.h. = 10 glob. Ma. Gewinn-maimale Menge 10 ME Gewinn-maimaler Preis p(10) = 280 GE maimaler Gewinn G(10) = 2700 GE b) G() = ( 3 8 2 +40 100) 140 = 3 8 2 +320 100 ; [0;20] 4
0 = G () = 3 2 1+320 = 8 oder = 4 3 }{{} / Def.bereich G () = 1 < immer 0 ; da 0 d.h. = 8 glob. Ma. Gewinn-maimale Menge 8 ME Gewinn-maimaler Preis p(8) = 320 GE maimaler Gewinn G(8) = 143 GE abzuführende Steuer 140 8 = 1120 GE Lösung von Aufgabe 8.3 a) G() = 3 100 + 2 +15 100 ; [10;40] 5 0 = G () = 3 100 2 + 2 5 +15 = 30 oder = 50 }{{ 3} / Def.bereich G () = 3 50 + 2 5 < immer 0 ; da [10;40] d.h. = 30 glob. Ma. Gewinn-maimale Menge 30 ME Grenzkosten K () = 0,03 2 0,4+5 Grenzkosten K (30) = 20 GE Stückkosten k(30) = K(30) = 340 = 11,33 GE 30 30 b) k v () = K v() = 0,01 2 0,2+5 ; [10;40] 0 = k v () = 0,02 0,2 = 10 k v() = 0,02 > immer 0 ; d.h. = 10 glob. Min Betriebsminimum 10 ME c) U() = G()+K() = 20 ; [10;40] d.h. U() ist eine steigende Gerade. Eine steigende Gerade hat ihr glob. Ma am rechten Rand des Definitionsbereichs. Umsatz-maimale Menge 40 ME Lösung von Aufgabe 8.4 5
a) 57 = 3 r 2 24 +24 00 = 3 r 2 100 = 3 r 2 hoch 3 1000000 = r 2 Wurzel 1000 = r Umsatz U() = p() = 20 und U(57) = 20 57 = 11520 Kosten K(r) = 8 r und K(1000) = 8000 Gewinn = 11520 8000 = 3520 GE b) = 3 r 2 24 +24 +24 = 3 r 2 +4 = 3 r 2 hoch 3 ( +4 ) 3 = r 2 Wurzel ( ) 3 +4 = r ( ) 3 K() = 8 +4 ( ) 3 G() = 20 8 +4 c) 0 = G () = 20 2 +4 +2 +4 2 +4 = 20 2 +4 = 10 hoch 2 +4 = 100 4 = 9 = 57 G 1 () = +4 < immer 0; d.h. = 57 glob. Ma Gewinn-maimale Menge 57 ME Lösungsweg zu Aufgabe 8.5: f () = 2 2 f () = 2 1 f () = 2 1. Etremstellen: 0 = f () = 2 2 = 1 oder = 2
f ( 1) = 3 < 0 d.h. = 1 lokales Maimum f (2) = 3 > 0 d.h. = 2 lokales Minimum 2. Wendestellen: 0 = f () = 2 1 = 0,5 f (0,5) = 2 0 d.h. = 0,5 Wendestelle 3. Sattelstellen: f (0,5) 0 d.h. es gibt keine Sattelstellen. Lösungsweg zu Aufgabe 8.: f () = 2 4+4 f () = 2 4 f () = 2 1. Etremstellen: 0 = f () = 2 4+4 = 2 f (2) = 0 d.h. mit unseren Sätzen können wir keine Aussage über Etremstellen machen 2. Wendestellen: 0 = f () = 2 4 = 2 f (2) = 2 0 d.h. = 2 Wendestelle 3. Sattelstellen: f (2) = 0 d.h. = 2 ist sogar eine Sattelstelle Lösungsweg zu Aufgabe 8.7: Auf ( ;0] ist die Funktion konkav, auf [0; ) ist die Funktion konve. Bei c) ist die Wölbung genau umgekehrt. Bei d) und e) wechselt die Funktion ihr Krümmungsverhalten nicht in = 0. (Sondern in = und = 2 ) 3 2 3 Bei a) verläuft die Funktion nicht durch den Punkt (0;0). 7
Also ist die gesuchte Funktion b). Lösung zu Aufgabe 8.8 Preis Output Umsatz Gesamt- Fi- Variable Stück- variable Grenzkosten kosten Kosten kosten Stück- kosten kosten 4 1000 4000 4000 2500 1500 4 1,5 4 a) variable Kosten = Kosten minus Fikosten = 1500 GE Output = variable Kosten variable Stückkosten = 1000 ME d.h. der Output beträgt 1000 ME. b) Preis p(1000) = Umsatz Output = 4 GE Stückkosten = Kosten Output = 4 GE d.h. das Betriebsoptimum beträgt 4 GE. c) Die Grenzkosten von 4 GE ergeben sich gemäß der Quotientenregel aus der Gleichheit von Grenzkosten und Stückkosten in der Betriebsoptimums-Stelle = 1000 (vgl. Skript Kapitel 7.5): K (1000) = K(1000) = k(1000) = 4 GE 1000 8
Zusammenfassung Eigenschaft Überprüfung f monoton f () 0 steigend in [a;b] für alle (a;b) f monoton f () 0 fallend in [a;b] für alle (a;b) 0 lokale Minimalstelle f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) > 0 0 lokale Maimalstelle f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) < 0 0 globale Minimalstelle f ( 0 ) = 0 in [a;b] f () > 0 für alle (a;b) 0 globale Maimalstelle f ( 0 ) = 0 in [a;b] f () < 0 für alle (a;b) 0 Wendestelle f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) 0 0 Sattelstelle f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) 0 f ( 0 ) = 0 4