236 4 Torsionsschwinger und Längsschwinger ( J1 J2) M J M J2/ J1= 02, 10 0,5 8 1 + 6 2 max 4 5 2 10 2 bezogenes Moment 0 Bild 45 1 2 5 10 relatives Spiel ctϕ S/ M10 Maximales Moment infolge Spiel im Antrieb in Antrieben, bei denen das Verhältnis J 1 /J 2 1 ist Dies trifft oft für Antriebe zu, die kein großes statisches Moment zu übertragen haben, z B für Drehwerkantriebe von Kranen oder Baggern Für Antriebe, die im Verhältnis zu dynamischen Kräften große statische Kräfte zu übertragen haben, ist meist das Verhältnis J 1 /J 2 1, sodass der Spieleinfluss auf die Belastungen im Antrieb nicht so riesig ist 422 Schwingerkette mit mehreren Freiheitsgraden Schwingerketten sind Berechnungsmodelle kettenförmig verbundener Elemente, z B aneinander gekoppelte masselose Federn und starre Massen, vgl Bild 46 Längsschwingerketten werden durch die Massen (m k ), Federkonstanten (c k ) und Erregerkräfte (F k ) charakterisiert Der Koordinatenvektor x T = (x 1,x 2,, x n ) enthält die Wege x k, welche den Auslenkungen aus der statischen Ruhelage entsprechen Bei Torsionsschwingern sind die Parameterwerte der Drehmassen (J k ) und Drehfedern (c Tk ) für das dynamische Verhalten verantwortlich, und als Koordinaten werden die absoluten Drehwinkel ϕ k der Drehmassen benutzt Im Weiteren werden Bewegungsgleichungen für die Torsionsschwingerkette hergeleitet, die analog auch für die Längsschwinger gelten Zunächst interessieren die Eigenschwingungen Das Momentengleichgewicht an der k-ten Scheibe wird stellvertretend für alle Drehmassen (k = 1, 2,, n) formuliert Es lautet gemäß Bild 46b: J k ϕ k c Tk 1 (ϕ k 1 ϕ k ) + c Tk (ϕ k ϕ k+1 ) = 0, ϕ 0 = ϕ n+1 0 k = 1, 2,, n (444) Es stellt n Bewegungsgleichungen der Torsionsschwingerkette dar Es ist c T0 = c Tn = 0, wenn An- und Abtrieb frei beweglich (nicht festgehalten) sind Man kann alle diese Gleichungen übersichtlich in Matrizenschreibweise angeben (Index T bei c Tk weggelassen), vgl die Sonderfälle (420), (422) und die letzte Zeile von (445)
42 Freie Schwingungen der Torsionsschwinger 237 a) b) c) d) Bild 46 Schwingerkette a) Torsionsschwinger mit n Scheiben (Drehmassen) b) Längsschwinger mit n Massen c) frei geschnittene k-te Drehmasse d) frei geschnittene k-te Masse J 1 0 0 0 0 ϕ 1 c 0 +c 1 c 1 0 0 0 ϕ 1 0 0 J 2 0 0 0 ϕ 2 c 1 c 1 +c 2 c 2 0 0 ϕ 2 0 0 0 J 3 0 0 ϕ 3 0 c 2 c 2 +c 3 0 0 ϕ 3 0 + = 0 0 0 J n 1 0 ϕ n 1 0 0 0 c n 2 +c n 1 c n 1 ϕ n 1 0 0 0 0 0 J n ϕ n 0 0 0 c n 1 c n 1 +c n ϕ n 0 M ϕ + C ϕ = o (445) Auf diese Weise sind der Koordinatenvektor ϕ T = [ϕ 1,ϕ 2,, ϕ k,, ϕ n ], der alle Schwingwinkel erfasst, die Massenmatrix M und die Steifigkeitsmatrix C definiert Man kann zeigen, dass alle Eigenkreisfrequenzen aus der charakteristischen Gleichung, der so genannten Frequenzgleichung ( ) det C ω 2 M = 0 (446) folgen, vgl Kapitel 6 Die Matrizengleichung (445) kann gemäß der in 632 beschriebenen modalen Transformation in ein System von n Gleichungen für Einfachschwinger
238 4 Torsionsschwinger und Längsschwinger der Form μ i p i + γ i p i = 0, i = 1, 2,, n (447) überführt werden, vgl (6112) bis (6116) Dabei sind die p i so genannte modale Koordinaten oder Hauptkoordinaten Sie sind mit den ursprünglichen Drehwinkeln durch die Transformation ϕ k (t) = v ki p i (t) = v k1 p 1 (t) + v k2 p 2 (t) + + v kn p n (t) (448) i=1 verbunden, vgl die Sonderfälle (421) und (427) Die Größen v ki (Amplitude der k-ten Scheibe bei der i-ten Eigenschwingung) sind proportional zu einem gewählten Maßstabsfaktor, d h sie sind von einer Normierungsbedingung abhängig, vgl (686) Die Gesamtheit der v ki beschreibt die i-te Eigenform, wie bereits aus Bild 43 für Spezialfälle bekannt ist, vgl auch Bild 47 In Abschnitt 632 wird der allgemeine Zusammenhang beschrieben, der zwischen den Matrizen M und C sowie den Größen v ki, μ i, γ i und ω i besteht Die modalen Massen μ i für die Torsionsschwingerkette gemäß Bild 46 ergeben sich aus (6112) zu μ i = J k vki 2, i = 1, 2,, n (449) vgl auch (6200) Eine modale Masse μ i charakterisiert die kinetische Energie der i-ten Eigenform, denn es ist 2W kin = J k ϕ 2 k = μ i ṗi 2, (450) i=1 weil für i = l als Sonderfall von (6103) J k v ki v kl = 0 (451) gilt In der Summe für μ i haben diejenigen Drehmassen J k die größten Sensitivitäts- Koeffizienten μ ik, die mit den größten Amplituden schwingen (in der Nähe des Schwingungsbauches), während diejenigen aus der Umgebung des Schwingungsknotens nur kleine Summanden μ ik ergeben Bei der beiderseits freien Torsionsschwingerkette ist ω 1 = 0, und alle Amplituden v k1 sind gleich groß, weil dieser ersten Eigenform die Starrkörperdrehung entspricht Wird mit v k1 = 1 normiert, dann ergibt sich μ 1 = J k vk1 2 = J k 1 2 = J 1 + J 2 + + J n, (452) d h, die erste modale Masse ist dann gleich dem gesamten Trägheitsmoment Die modalen Federkonstanten γ i, die in (447) vorkommen, betragen bei der Torsions-
42 Freie Schwingungen der Torsionsschwinger 239 schwingerkette gemäß (6112) γ i = ( ) 2 c Tk vki v k+1,i (453) k=0 Die Sensitivitäts-Koeffizienten γ ik sind dimensionslose Faktoren, die man ebenso wie die μ ik zur Berechnung des Einflusses von Parameteränderungen auf Eigenfrequenzen benutzen kann, vgl (6198) Deren Herleitung ist in Abschnitt 642 beschrieben μ ik = J k v 2 ki/ μi ; γ ik = c Tk (v ki v k+1,i ) 2/ γ i (454) Die Änderung der i-ten Eigenfrequenz bei relativ kleinen Änderungen der k-ten Drehfeder und/oder der l-ten Drehmasse lässt sich bei Verwendung der Sensitivitätskoeffizienten näherungsweise berechnen, vgl auch (6198) und (6200): f i f i0 1 2 ( γ ik c Tk μ il J l c Tk J l ), i = 1, 2,, n (455) Um einen anschaulichen Eindruck von der Verteilung der kinetischen und potenziellen Energie bei der i-ten Eigenschwingung zu gewinnen, ist es zweckmäßig, die Produkte μ ik J k und γ ik c Tk maßstäblich darzustellen Daraus lässt sich noch besser als aus der Eigenform ablesen, durch welche Parameter (Masse, Steifigkeit) die betreffende Eigenfrequenz am leichtesten beeinflussbar ist, vgl Bild 414 Tabelle 43 zeigt für die homogene Torsionsschwingerkette, bei der alle Torsionsfederkonstanten und alle n Drehmassen gleich groß sind, geschlossene Formeln für alle Eigenfrequenzen und Eigenformen bei den drei möglichen Lagerbedingungen an den Wellenenden Die Formeln in Tabelle 43 eignen sich zum Studium qualitativer und quantitativer Zusammenhänge beim n-massen-torsionsschwinger Bild 47 zeigt als Beispiel einen Torsionsschwinger mit n = 5 Freiheitsgraden Gemäß (2) in Tabelle 43 gilt für die Eigenkreisfrequenzen und für die Eigenformen (i = 1,, 5): ω i = 2 ct J (2i 1)π sin ; v ki = sin 22 k(2i 1)π (456) 11 Die Anzahl der Schwingungsknoten nimmt hierbei mit der Ordnungszahl i zu Man sieht, dass hierbei der Knoten bei keiner Eigenform direkt an der Stelle einer Scheibe oder am freien Ende der Schwingerkette liegt Der Geltungsbereich des durch Bild 46 und (445) beschriebenen Berechnungsmodells für reale Objekte wird u a begrenzt durch die Annahmen, dass die Aufteilung in masselose elastische Drehfedern und starre massebehaftete Scheiben eine zulässige Vereinfachung des realen Kontinuums ist (wäre verletzt bei sehr breiten Scheiben) dass die stets vorhandene Dämpfung keinen wesentlichen Einfluss auf die Eigenfrequenzen und Eigenformen hat dass zeit- oder stellungsabhängige Änderungen der Drehmassen (z B Kurbeltrieb- Einfluss) oder der Drehfedern (z B Zahn-Überdeckungsgrad) bezüglich der Berechnung des Eigenverhaltens vernachlässigbar sind
http://wwwspringercom/978-3-642-16009-7