Konchoiden Tet Nr. 540 Stand 9. Mai 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
540 Konchoiden Vorwort Die Konchoide des Nikomenes ist schon seit üer 000 Jahren erühmt. Ein erühmter Hund zerrt an der Leine seines Herrchens und will unedingt zu seinem Baum, was den spazieren gehenden Hundehalter aer nicht interessiert. Und so leit dem raven Hund nichts anderes, als sich auf einer Konchoide zu ewegen. Diese Kurven ieten Stoff für sehr viele Seiten. Ich musste irgendwann einfach aufhören damit Bei der Berechnung der Fläche der Konchoidenschleife muss man dieses Integral erechnen: 4.06889 F 5 d,4 Das ist unglaulich schwer zu knacken. Ich hae die Berechnung in den Anhang verlegt. Es lohnt sich, da mal hineinzuschauen Inhalt Vorschau Warum diese Kurve auch Hundekurve heißt 4 Herleitung von Gleichungen für die vertikale Lage der Kurve 5 4 Kurvenuntersuchung a) Definitionsereich 6 ) Schnittpunkte mit der -Achse 6 c) Symmetrieverhalten 7 d) Aleitungen (Implizit) 7 e) Doppelpunkt im Ursprung, Schnittwinkel 8 f) Senkrechte Tangenten 8 g) Waagrechte Tangenten 9 h) Es git zwei Gleichungen mit Polarkoordinaten 9 i) Schleifenfläche 5 Trainingsaufgae 6 Herleitung der Gleichungen für die horizontale Lage 7 Die Kreiskonchoide 8 Anhang: Integralrechnung 6 9 Lösung der Trainingsaufgae (Fehlt noch) 8
540 Konchoiden Konchoide (Hundekurve, Muschelkurve) Vorschau a) Koordinatengleichung: y a Ersatzfunktionen: f a ) Parametergleichung:, a tanasin c) Gleichung mit Polarkoordinaten: r a Für a = entsteht eine Spitze im Ursprung und für a > entsteht seine Schleife Kreiskonchoide: a) Koordinatengleichung: ) Parametergleichung: y a c y 0 0 5sin sin c) Gleichung mit Polarkoordinaten: r a c (Beispiel) Beispielkurven:
540 Konchoiden 4. Warum diese Kurve auch Hundekurve heißt Nikomedes war ein griechischer Mathematiker. Er lete v on etwa 80 v. Chr.- is 0 v. Chr. Er führt die Konchoide ein, mit der er glaute, verschiedene Proleme der Antike lösen zu können. Man kann die Konchoide mit einem anschaulichen Beispiel einführen. Ein Mensch M geht mit seinem Hund H spazieren. M ewegt sich auf einer Geraden g und hat den Hund an einer festen Leine der Länge a. Im Astand von der Straße steht ein Baum B. Der Hund fühlt sich magisch von diesem angezogen und versucht, immer direkt in Richtung Baum zu gehen. Daei ewegt er sich auf der Konchoide : Zur Konchoide gehört ein zweiter Kurvenast, hier rechts von g. Auf der würde sich der Hund ewegen, wenn am Baum irgend ein öses Tier sitzt und dem Hund Angst macht, so dass er in die entgegengesetzte Richtung flüchten will. Das wären dann die Punkte H',H',H',H 4'usw. Die Form der Kurve hängt natürlich von der Länge a der Leine a. Ist sie kleiner als der Astand des Baumes von der Straße, dann macht sie nur eine Welle, Für a = entsteht eine Spitze im Ursprung und für a > entsteht eine Schleife, was natürlich der Hund nicht mehr machen würde, hier wirkt dann nur die mathematisierte Idealversion nach
540 Konchoiden 5 Herleitung von Gleichungen für die vertikale Lage a) Die Koordinatengleichung Der wandernde Kreismittelpunkt sei M y M, sein Radius sei a. Kreisgleichung: yy a (). Strahlensatz: () in (): M ym y y ym () y y a yy a y a y a y a () ) Die Polarkoordinatengleichung: r, y rsin einsetzen: r r r sin a r r a r a r a r (4) :r c) Parametergleichungen : Herleitung: Es ist und d) Ersatzfunktionen: a tanasin (5) r a a y r sin a sin tan a sin Man kann () nach y umstellen: y a a a a y y a f a f a Also: y a zw. und (6a) (6)
540 Konchoiden 6 4 Kurvenuntersuchung a) Definitionsereich: Bedingung: a 0 zw. a a a Es sei a jetzt a > 0: 8 a a a + a a Ich hae auf Seite 9 drei Fälle dargestellt:. Fall: a =, = 5,. Fall: a = = 5. Fall: a = 5, = also a < : also a = also a > 8 0 0 8 Um den Definitionsereich vollständig zu erfassen, muss man eachten, dass f, a noch einen Nenner hat, sodass man noch \D a;a verlangen muss. Also gilt: Untersuchung der Stelle = : a lim f lim a lim a lim " " Analog folgt: f für Ergenis: Die Konchoide hat die senkrechte Asymptote =. ) Schnittpunkte mit der -Achse: Bedingung: y = 0, d. h. 0 a a 0 a 0 Dieses Nullprodukt wird Null, wenn. 0 0 ist (doppelte Lösung) falls im Definitionsereich liegt.. a a (a war als > 0 vorausgesetzt) a Das führt zu a a a Das sind die äußeren Randstellen des Definitionsereichs.
540 Konchoiden 7 c) Symmetrieverhalten: Das Schauild lässt vermuten, dass die Konchoide symmetrisch zur -Achse ist. Das kann man dadurch estätigen, dass die Koordinatengleichung y a nur y enthält, sodass mit einem Kurvenpunkt P y auch der Punkt P y Konchoide liegt. Oder man etrachtet die eiden Ersatzfunktionen. Hier gilt: f f auf der für alle D. Der Graph von f eschreit den üer der -Achse liegenden Kurventeil, f den unteren. d) Aleitungen: Man sollte nicht versuchen, die Ersatzfunktionen azuleiten, denn da kommt alles zusammen: Quotientenregel, Produktregel und Aleitung der Wurzelfunktion. Geeigneter ist hier das Verfahren der impliziten Aleitung: y a Produktregel: y y' Wenn man jetzt die Gleichung mit y und das ist = u' y a v' zerlegen y y y' a : y yy' a multipliziert, wird der erste Summand zu a, wie die Kurvengleichung zeigt: a yy' a Umstellen nach y': yy' a a a a y' y Vereinfachen: y' a a y' y a a oder y a y' y für,y 0 Für Schüler wird das Ergenis ungewohnt aussehen, denn der Aleitungsterm enthält auch noch y. Man muss also zur Werteerechnung eide Punktkoordinaten einsetzen. Rechts sehen wir die Konchoide für a = 5 und =. Ihre Gleichung ist y 5 Dann erechne ich einen Kurvenpunkt Q mit Q. = einsetzen: 4 y 5 y y y-koordinaten: y,9 5 4 4 Dann estimmen wir die Gleichung der Tangente in Q,9 : 75 Aleitungsfunktion: y' Steigung in Q: y Tangente: y,9,66 y,66,7 75 8 m,66,9 8
540 Konchoiden 8 e) Unsere Konchoide hat im Ursprung einen Doppelpunkt. Welchen Winkel ilden die Tangenten in O? 75 Da git es plötzlich ein Prolem: Wenn man den Ursprung in y' y einsetzen will, erhält man den unestimmten Ausdruck 0 0. Daher sollte man für y den Term der Ersatzfunktion f einsetzen: y f 5 Das ergit: 5 75 75 75 y' 5 5 Nach Herauskürzen von und einer Klammer kann man = 0 einsetzen: 75 7 48 4 m f ' 0 5 9 9 6 4 Für die zweite Ersatzfunktion gilt: m f ' 0 Der Steigungswinkel ist also ist doppelt so groß: - 4 arctan und der Schnittwinkel f) Wo hat die Konchoide senkrechte Tangenten? Für unsere gezeichnete Kurve gilt ja 75 y' 5 Eine senkrechte Tangente liegt dort vor, wo y' eine Polstelle hat, die im Definitionsereich liegt. Der Nenner wird Null für =, die aer nicht zu D gehört (senkrechte Asymptote), aer auch für Daraus folgt: 5 0 5 5 5 5. 8 In den Randpunkten L 0undR8 0 git es also senkrechte Tangenten. Dies kann man auch allgemein untersuchen: a y' y Der Nenner wird zunächst einmal für = Null, das ist die Polstelle. Und dann für y = 0. Dies führt zu den Schnittpunkten mit der -Achse: S0 0, Sa 0, Sa 0. Man muss nun den Ursprung herausnehmen, denn dort (wenn 0 D) eistiert eine zw. zwei Tangentensteigungen.
540 Konchoiden 9 g) Wo hat die Konchoide waagerechte Tangenten? Unsere spezielle Konchoide mit y' 5 Tangente wenn 75 0 ist. Das führt zu 75 hat eine waagerechte 75 75 75, y f 5, y f, 5, 0,78, y-koordinate: Ergenis: Damit erhält man die eiden Etrempunkte H, 0,78und T, 0,78 der Kurve. h) Bei der Herleitung der Gleichung für Polarkoordinaten haen sich zwei Gleichungen ergeen: r 5 und r 5 Wie wirkt sich das auf die Kurve aus? Ich zeige dies als Anwendung von MatheGrafi. Zuerst stelle ich die linke Gleichung dar und schalte die Trace-Option ein: Dann kann man durch Bewegen der Maus erkennen, welcher Wert zum etreffen Kurvenpunkt gehört. Klickt man dann mit der rechten Maustaste an, wird der Kurvenpunkt im Punkte-Menü gespeichert. Ich hae dann anschließend die angezeigten Punkt-Koordinaten durch die Werte ersetzt. Daei edeutet P(0,6), dass dort 0,6 ist. Rechts dassele für die Kurve mit -5 in der Gleichung. Man erkennt also, dass man diesele Kurve erhält, lediglich die Werte sind anders zugeordnet. Beoachten Sie einmal, wie mit zunehmendem in D 0; die Kurven durchlaufen werden: Blau: von 0 is, rot: von is.
540 Konchoiden 0 Beginn rechts ei P(0), dann nach oen zur Asymptote von rechts, dann von unten kommend durch die Schleife nach oen zur Asymptote von links, dann wieder von unten kommend nach rechts zu P(0), Beginn links ei P(0), dann nach oen zur Asymptote von links, dann von unten kommend nach rechts zu P() und weiter nach oen zur Asymptote von rechts, dann von unten kommend nach links durch die P. der mit P identisch ist. hale Schleife is P(0) = Für welchen Wert von erreicht man ei einer der eiden Darstellungen den Ursprung, also den Doppelpunkt? Da r ja die Strecke OP darstellt, muss zu O der Wert r = 0 gehören. Aus der Gleichung folgt dann: r 5 zw. r 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0,6 5 0,6 5 Ich hae die Lösung für die linke Gleichung mit dem CAS-Rechner TI Nspire erechnen lassen. Die Rechnung der. Zeile nützt nicht sehr viel, denn wir erreichen den Ursprung ja zweimal, und zwar geschätzt für 0,7 und dann für,. Daher erechne ich (ei CAS heißt es t) in der. Zeile als Lösung einer Gleichung. Die angezeigte Lösung heißt t n,4, was für n = zu 4,06889 führt, oder t n,4, woraus mit n = 0,4 wird. Mit den letzten eiden Zeile lasse ich mir anzeigen, welche Vielfachen von dies nun sind:,4 0,70484 und 4,06889,957.
540 Konchoiden i) Wie groß ist die von der Konchoide umschlossene Schleifenfläche? Die letzten Berechnungen haen gezeigt, dass man mittels für,4 und 4,06889 erreicht. Formel: F r d r 5 den Doppelpunkt O Berechnung: F 4.06889,4 5 d Die manuelle Berechnung dieses Integrals (für hoch interessierte Leser) folgt im Anhang. 5 Trainingsaufgae Die Konchoide mit der Spitze im Ursprung hat diese Gleichung: a) Berechne a so, dass die Kurve durch P geht. ) Berechne implizit die Aleitung y' für a = 4 (Kurve K). a y a. c) Stelle die Gleichung der Tangente an K in P für a = 4 auf. d) Gi eine Parametergleichung und eine Gleichung in Polarkoordinaten für K an.
540 Konchoiden 6. Herleitung der Gleichungen für die horizontale Lage a) Koordinatengleichung Der wandernde Kreismittelpunkt sei M M, sein Radius sei a. Kreisgleichung: y a () M y. Strahlensatz: M () y () in (): M y a y y y a y y y a y y y y a y y y a y y ) Polarkoordinatengleichung: r, y rsin einsetzen: r sin r r sin a r sin r sin a sin rsin asin r :r r a sin c) Parametergleichung: t tan a asin Herleitung: Es ist und r a a sin tan y r sin a sin a sin sin
540 Konchoiden 7. Die Kreiskonchoide Bei der isher ehandelten Konchoide hat sich der Punkt S auf einer Geraden g ewegt. Wie wird die Hundekurve, wenn sich das Herrchen S des Hundes auf einem Kreis ewegt? Ich untersuche die Lage des Punktes P. Für ihn gilt: OP OS c a c Daei ist a der Radius des Kreises, auf dem sich der Mann S ewegt und c die Länge der Hundeleine. Für den inneren Punkt P gilt OP OS c a c analog: Diese eiden Gleichungen kann man auch so schreien: OP a c 0 OP a c 0 und Ich multipliziere eide Gleichungen: OP a cop a c 0 0 OP a c OP a c 0 0 Nun gilt im Dreieck BCS: Das wird eingesetzt: OP a c 0 OP OP OP a c 0 OP Schließlich ist nach Pythagoras: OP y OP a c OP 0 Damit folgt: y a c y 0 Diese Beziehung gilt für jeden Punkt P oder P, also kann man den Inde weglassen und hat dann Die Gleichung der Kurve, auf der sich P ewegt: Umrechnung in Polarkoordinaten: r, y rsin einsetzen: Ergenis: y a c y 0 r r sin ar c r r sin 0 r r ar c r r ar c r : r 0 r a c r a c r
540 Konchoiden 4 Links sehen Sie die Üerlagerung der letzten Zeichnung mit der neuen Kreis-Konchoide. Rechts zeige ich diese Kurve alleine. Ich hae mit der Trace-Option von MatheGrafi wieder Kurvenpunkte ermittelt und die zugehörigen Vielfachen von in Klammern gesetzt. P(0,) edeutet, dass man diesen Punkt mit 0, erhält. Man erkennt daraus auch, wie man die Kurve für den Definitionsereich D= 0; durchläuft. Für ist man wieder ei 0 angekommen. Bei dieser Kurve war a = 5 und =. Die Gleichung lautete daher zw. y 0 9 y 0 r 0, 0;. Man kann + oder verwenden, das ergit diesele Kurve, allerdings mit anderer Zuordnung. Nun git es auch noch eine Parameterdarstellung: Herleitung: Es ist r 0 0 und y rsin 0 sin y 0 sin sin Man kann sin sin einsetzen, dann folgt: y 5sinsin Hier kann man wie schon zuvor ei der geraden Konchoide Zusatzrechnungen anstellen, wie die Bestimmung des Definitionsereichs, die implizite Berechnung der Aleitung und die Eistenz von senkrechten und waagrechten Tangenten. Im Moment fertige ich dazu keine Lösung an.
540 Konchoiden 5 Diese Konchoide hat a = 4 und c = 8 Auf den dünn gezeichneten inneren Kreis wandert der Hundehalter. Befindet er sich in M, dann kann sein Hund ei einer Leinenlänge von 8 m in P oder P' sein. Ist er in M, dann kommen P und P' in Frage. M i ist stets der Mittelpunkt. Bei a = c hat die Konchoide eine Spitze im Ursprung. Man eachte allerdings, dass der Baum, also das Zielojekt des Hundes auf dem Kreis liegt! Ist das nicht der Fall, ändert sich alles. Jetzt verwende ich a = 4 und c = 0. Die Leine ist nun so lang, dass der nicht zu remsende Hund üer das Ziel (Baum) hinausschießt und daher hinter dem Baum ankommt.
540 Konchoiden 6 8 Anhang: Integralrechnung Die Berechnung der Schleifenfläche führte auf dieses Integral: F 4.06889,4 5 d Gesucht ist die sehr schwere Berechnung der Stammfunktion:. Teilintegral A d tan Denn 9 0 5 d 5 d l sin sin sin sin tan '. Teilintegral -. Version sin sin A d d sin d Diese trickreiche Erweiterung und Darstellung ist hilfreich für diese Sustitution: A z z dz z dz sin d Als nächste Sustitution ersetzt man u z. Umstellen nach z : Dann aleiten: z u z dz u du u dz du z u A dz du du z z u u u u u u du Dieses Integral knackt man mit der Partialruchzerlegung: A B du du du du... u u u u u Neenrechnung: A B u u u u AuB u A AuB Bu A B A Bu u u Hieraus folgt: A B und AB 0. Also ist A B. Also folgt: A A B A du du du ln u ln u u u u
540 Konchoiden 7 Jetzt macht man eide Sustitutionen wieder rückgängig: und z ergit u sin u z Das führt zu A ln sin ln sin A d ln sin ln sin C Bei einem unestimmten Integral sollte man immer + C anfügen.. Teilintegral -. Version sin sinsin sin Sustitution: t sin dt sin sin Aleitung: d sin sin sin Also folgt: d dt sin sin sin dt dt sinsin sin sin A d d d d A Nun den Bruch durch t ersetzen: A dt ln t t sin A d ln C sin Zusammensetzen der Teilintegrale zur Flächenerechnung: 4.06889 4.06889 9 0 F 5 d 5 d,4,4 4,06889 4,06889 4,06889,4,4,4 F (9 A 0 A 5 ) 4,06889 4,06889 4,06889,4,4,4 F (9 tan 0 lnsin lnsin 5 ) Der Rest ist eine Fingerüung am Taschenrechner dt
540 Konchoiden 8 9 Lösung der Trainingsaufgae Die Konchoide mit der Spitze im Ursprung hat diese Gleichung: a) Berechne a so, dass die Kurve durch P geht. Punktproe durch Einsetzen: a 4 4a d. h. Ordnen: 6 4 4a a 4a : 4 4a 4a 4 a a y a. 4a 6a 6 a - a a 6a 6 0 6 56 6 6 64 6 8 4 Quadratische Gleichung: a, 4 6 6 6 Es git also zwei solche Kurven. ) Berechne implizit die Aleitung y' für a = 4. Implizite Kurvengleichung: 4 y 6 Alles nach links: Definiere: 4 y 6 0 F,y 4 y 6. Partielle Aleitung nach : F y ( 4) Partielle Aleitung nach y: Aleitungsformel: y' 4 u' v u Mit der Produktregel, y wird als konstante Zahl ehandelt. F 4 y y Jetzt wird als konstante Zahl ehandelt, also ist 4 ein konstanter Faktor, der eim Aleiten erhalten leit, während -4 als konstanter Summand wegfällt. F y' F 4 y ( 4) y 4 y v' 4 y (4) 6 4 y woei im Zähler der Faktor ausgeklammert und weggekürzt worden ist. Man kann in diesen Bruch einsetzen, kann ihn aer auch noch verändern: y' 4 y 4 y 4y 8 66 ( 4) y ( 4) y
540 Konchoiden 9 c) Stelle die Gleichung der Tangente in P auf. Ihre Steigung ist: 4 4 (4) 6 6 8 56 7 m y', 4 4 8 Oder mit der zweiten Formel erechnet: 444 4 56 7 7 m y', 4 8 8 Punkt-Steigungs-Form: 7 7 4 y y 7 4 6 y 7 8 y Hier die Aildung dazu: d) Gi eine Parametergleichung und eine Gleichung in Polarkoordinaten für K an. Nach Seite lautet die Parametergleichung für eine Konchoide: Hier ist a = = 4: a tanasin 44 4tan4sin Und in Polarkoordinaten: Hier: r a 4 r 4 Da man in der Literatur oft anders aussehende Gleichungen sieht, etwa mit a statt a usw., eignet sich MatheGrafi hervorragend dazu, die Gleichungen zu testen. Man kann Parametergleichungen eingeen, Gleichungen mit Polarkoordinaten oder ganz normal nach y aufgelöste Ersatzfunktionen.