Einführung in die Theoreische Physi 4Teil: Mechani realer Körper Siegfried Pery 4 Januar 03
I n h a l : Der Massenmielpun und seine Bewegungsgleichung Der Impulssaz 6 3 Das Drehmomen 7 4 Der Drehimpuls 8 5 Drehmomen und Drehimpuls 0 6 Die Energie eines Sysems uner der Wirung onservaiver Kräfe 7 Ein Sysem von Massenpunen uner der Wirung onserv Kräfe 3
Mechani realer Körper Der Massenmielpun und seine Bewegungsgleichung Nun wird die Mechani wirlicheisnäher: Wir wenden die an idealen Massenpunen gewonnenen Ergebnisse auf reale Körper an Die Aome und im Allgemeinen auch die Moleüle aus denen reale Körper besehen, ommen unserem Ideal des Massenpunes völlig hinreichend nahe Daher önnen wir reale Körper als Syseme zahlreicher Massenpune auffassen Die im Folgenden hergeleieen Säze über Syseme von Massenpunen gelen folglich für reale Körper Dies müssen nich unbeding Fesörper oder gar sarre Körper sein; die hier abzuleienden Säze gelen ganz allgemein für jedes irgendwie lar definiere Sysem von Massenpunen: für die Flüssigei oder das Gas in einem Behäler (einschließlich oder ausschließlich des Behälers), für eine in einem Raumfahrzeug frei schwebende Kugel aus Wasser, für eine Gaswole im Welall, ja sogar für eine Galaxie aus Fixsernen, die wegen der riesigen Enfernung uns als Pune erscheinen Als Erses reffen wir eine wichige Unerscheidung: Kräfe, die zwischen zwei Massenpunen des Sysems wiren, heißen innere Kräfe Dagegen heißen Kräfe, die ihren Ursprung außerhalb des Sysems haben, äußere Kräfe Wir berachen nun ein Sysem von beliebig vielen Massenpunen Auf einen von ihnen (den -en Massenpun) wire eine Anzahl äußerer Kräfe, die wir durch ihre Resulane F ersezen Ferner wire vom ersen Massenpun her auf ihn die (innere) Kraf F ein, vom zweien Massenpun die Kraf F, allgemein vom i-en Massenpun die Kraf F i Dann laue die Bewegungsgleichung für den -en Massenpun d r m = F, + i d F () i wobei die Einschränung»i ungleich «überflüssig is, weil ein Massenpun auf sich selbs eine Kraf ausüben ann Summieren wir die Bewegungsgleichungen sämlicher Massenpune des Sysems, so erhalen wir d r m = + i d i F F () Nun gib es aber nach Newons 3 Axiom (acio = reacio) zu jeder inneren Kraf eine gleich große, engegengesez gerichee: Wenn der i-e Massenpun auf den -en Massenpun die Kraf F i ausüb, dann üb der -e Massenpun auf den i-en Massenpun die Kraf F i = F i aus Alle inneren Kräfe reen daher in engegengesez gleichen Paaren auf Daher is die doppele Summe auf der rechen Seie der Gleichung gleich null Also is d r m = d F (3) Die folgende Abbildung zeig ein Sysem von Massenpunen mi ihren Orsveoren, die von einem beliebig gewählen Nullpun O ausgehen:
Abb Die Summe der Massen aller Massenpune sei M Wir besimmen nun einen Pun S mi dem Orsveor r S so, dass M r S = m r (4) Den so definieren Pun S nennen wir den Massenmielpun oder Schwerpun des Sysems Durch Aufspalung der Veorgleichung (4) in die Komponenen finde man für die Koordinaen des Schwerpuns: xs = m x, M y z = M S = M S m y Die Koordinaen des Schwerpuns sind also die Mielwere der mi ihren Massen gewicheen Koordinaen der Massenpune des Sysems Um den Schwerpun zweier Massenpune m und m zu ermieln, legen wir den Nullpun der Orsveoren am einfachsen in m : m z (5) Abb 3
Dann is definiionsgemäß woraus folg ( ) m m m + r, S = r m rs = r (6) m + m Der Schwerpun lieg also auf der Srece m m und eil sie im Verhälnis m : m Differenzieren wir die Gleichung (4) zweimal nach der Zei, so erhalen wir d rs d r M = m Sezen wir dies in Gleichung 3 ein, so erhalen wir die wichige Gleichung wobei d rs M = F, R (7) d F R = F die Resulierende aller am Sysem angreifenden äußeren Kräfe is Die Gleichung (7) ensprich genau der Newonschen Bewegungsgleichung für einen Körper der Masse M, an dem die Kraf F R angreif Das bedeue: Der Massenmielpun eines Sysems beweg sich so, als ob sich in ihm die gesame Masse des Sysems befände und an ihm die Summe (Resulane) aller äußeren Kräfe angriffe Aus dieser Eigenschaf des Massenmielpunes erlär sich auch sein Name»Schwerpun«: Im Schwerefeld der Erde verhäl sich der Schwerpun eines Körpers so, als wire auf ihn die Summe der Gewichsräfe der einzelnen Massenpune, also das Gesamgewich des Sysems ein Falls eine äußeren Kräfe einwiren, bleib der Massenmielpun in Ruhe oder beweg sich gleichförmig geradlinig Beispiel: Zwei Massenpune mi den Massen m und m (die nich gleich sein müssen) sind durch eine Schraubenfeder, die sowohl gedehn wie gesauch werden ann, mieinander verbunden und befinden sich in der Enfernung a voneinander im Gleichgewich Abb 3 4
Wird die Enfernung um eine leine Srece a veränder, reen Rücsellräfe auf, die der Srece a proporional sind Wie lauen die Schwingungsgleichungen der beiden Massenpune? Wir nehmen an, dass die Änderung der Enfernung durch zwei engegengesez gleiche äußere Kräfe geschieh, die an m und m angreifen, sodass der Schwerpun S in Ruhe bleib Dann bleib er auch bei der nachfolgenden Schwingbewegung in Ruhe, und es is zwecmäßig, ihn zum Ursprung des Koordinaensysems zu machen Die Koordinaen der beiden Massenpune seien in der Ruhelage x (0) und x (0), während der Bewegung x und x Aus der Definiion des Schwerpuns folg wegen x S = 0, dass ses Ferner is und daher m x m x 0 + = (B) x x = a + a a = x x a (B) Dami laue die Bewegungsgleichung für m : d x m + ( x x a) = 0, (B3) wobei die Federonsane is Eliminier man mi Gleichung (B) x, so erhäl man Sez man so wird daraus d x a + + x = m m m + =, m m µ d x a + x = µ m Dies is eine gewöhnliche Schwingungsgleichung mi einem onsanen Glied auf der rechen Seie Wie leich zu erennen is, sell x p = C ein pariuläres Inegral dar Durch Einsezen in die Differenialgleichung ergib sich a µ m xp = C = = a m m + m Die allgemeine Lösung laue dann x A m + m m = + + = ( ) µ sin ω δ, mi ω Die Bewegungsgleichung für m finde man am einfachsen durch Anwendung von Gleichung (B): 5
m m x = x = x + Asin + (0) m m = + ( ω δ ) m m a Asin ( ω δ ) m + m m Die beiden Massenpune schwingen also im Gegena um ihre Ruhelage; ihre Ampliuden verhalen sich umgeehr wie die Massen Die Kreisfrequenz is gleich der eines einfachen harmonischen Oszillaors mi der Masse µ, welche die»reduziere Masse«genann wird Der Impulssaz Der Impuls p eines Massenpunes is definier als das Produ aus seiner Masse m und seiner Geschwindigei v: p = mv (8) Nach dieser Definiion als salares Vielfaches eines Veors is der Impuls selbs ein Veor Den Impuls eines Sysems von Massenpunen definieren wir ensprechend: p = m v (9) Haben alle Massenpune des Sysems dieselbe Geschwindigei, vereinfach sich die Gleichung zu: Nach Gleichung (3) is F p = v m = M v (0) d d = m r = m v Wenn alle m onsan sind, ann diese Gleichung zwischen zwei beliebigen Grenzen und inegrier werden: d v F = m = m d v = mv = p( ) p ( ) Auf die line Seie der Gleichung wenden wir den Saz an, dass das Inegral über eine Summe gleich der Summe der Inegrale über die einzelnen Summanden is Auf der rechen Seie der Gleichung seh die Änderung des Impulses des Sysems im Zeiinervall von bis Also gil: d = ( ) ( ) F p p () Auf der linen Seie seh nun die Summe aller»krafsöße«, die in der Zei von bis auf die Massenpune des Sysems einwiren (Uner einem»krafsoß«versehen wir das Zeiinegral über eine an einem Körper angreifende Kraf) Also gil: Die Summe aller Krafsöße, die in einem Zeiinervall auf die Massenpune eines Sysems einwiren, is gleich der Änderung des Impulses des Sysems in diesem Zeiinervall 6
Wiren auf ein Sysem eine äußeren Kräfe ein, bleib der Impuls des Sysems onsan (Saz von der Erhalung des Impulses) 3 Das Drehmomen Wir berachen zunächs einen Massenpun m in einem aresischen Koordinaensysem, auf den eine Kraf F wir Abb 4 Sellen wir uns zunächs einmal (und nur vorübergehend) die X-Achse als Drehachse vor, mi der der Massenpun m sarr verbunden is Der Absandsveor des Massenpunes von der Drehachse is dann ryz = r y + r z Für die Drehwirung bezüglich der X-Achse zähl nur die auf r yz senreche Komponene von F Diese is Fyz = F y + F z Dabei wir auf r y nur F z und auf r z nur F y, die jeweils senrech aufeinander sehen Die Drehwirung sez sich also zusammen aus den Produen r y F z (in Richung der X-Achse gesehen rechs drehend) und r z F y (in Richung der X-Achse gesehen lins drehend) Die gesame Drehwirung oder der Größenwer des Drehmomens der Kraf bezüglich der X-Achse is daher 7
M x = r yfz rz Fy Ensprechend finde man die Drehmomene der Kraf bezüglich der beiden anderen Achsen: M = r F r F und M = r F r F y z x x z z x y y x Wir önnen uns nun vorsellen, dass der Massenpun um alle drei Achsen drehbar wäre, ewa durch eine ardanische Aufhängung mi dem Zenrum in O Nun führen wir drei Veoren ein, welche die Richungen der Koordinaenachsen haben: M M M Die Summe dieser drei Veoren is der Veor M = M + M + M O x y z ( r F r F ) = x y z z y ( r F r F ) = y z x x z ( r F r F ) = z x y y x e, e 3, e ( ry Fz rz Fy ) ( rz Fx rx Fz ) ( rx Fy ry Fx ) = e + e + e 3 Wir erennen in diesem Veor das Veorprodu der Veoren r und F: M = r F O () Führen wir ein anderes Koordinaensysem mi demselben Ursprung O ein, so bleiben r und F davon unberühr Der Veor M O bleib also bei einer Drehung des Koordinaensysems um O unveränder Wir bezeichnen ihn als das Drehmomen der in m angreifenden Kraf bezüglich des Punes O Er gib hinsichlich einer Drehung um O die Richung der durch O gehenden Drehachse und den Größenwer des Drehmomens an, das F auf m ausüb Sein Größenwer is gleich r F sin α, wobei α der von r und F eingeschlossene Winel is Der Größenwer des Drehmomens is daher gleich dem Produ aus dem Hebelarm bezüglich O und der dazu senrechen Krafomponene Dieses Ergebnis überragen wir nun wieder auf ein Sysem von Massenpunen und bezeichnen die Summe aller auf die Massenpune des Sysems ausgeüben Drehmomene als das auf das Sysem bezüglich O ausgeübe Drehmomen: M = ( r F ) (3) O 4 Der Drehimpuls Analog zum Impuls p = m v eines Massenpunes wird zunächs anscheinend ewas willürlich der Drehimpuls L eines Massenpunes bezüglich einer Drehachse (in der Abbildung: O) definier als ein Veor, dessen Größenwer gleich dem Produ aus dem Trägheismomen J = m r des Massenpunes (bezüglich O) und dem Größenwer ω seiner Winelgeschwindigei is: L J ω m r ω = = (4) Der Grund für diese Definiion is ihre Zwecmäßigei Außerdem ergib sich eine schöne Analogie: In der Impulsgleichung ri anselle des Impulses der Drehimpuls, anselle der Masse das Trägheis- 8
momen und anselle der Geschwindigei die Winelgeschwindigei (Daneben gib es noch weiere Analogien) Als Richung des Veors L wählen wir die Richung des der Winelgeschwindigei zugeordneen Veors ω und somi die Richung der Drehachse Somi wird: L = Jω = mr ω (5) Zerlegen wir die Geschwindigei v in eine Radialomponene v rad und in eine Transversalomponene v rans, so is v ω = rans (6) r Abb 5 Die Transversalomponene der Geschwindigei is die Projeion des Veors v auf die zu r senreche Richung: v rans r v = = r dr r d r Wegen Gleichung (6) und da der Veor der Winelgeschwindigei dieselbe Richung ha wie das obige Veorprodu, is dr r d ω = (7) r Dami ergib sich für den Drehimpuls L schließlich: dr r dr L = Jω = mr = m r (8) r Wir überragen das Ergebnis auf ein Sysem von Massenpunen, indem wir verabreden: 9
Uner dem Drehimpuls eines Sysems von Massenpunen bezüglich O versehen wir den Summenveor dr LO = m r (9) 5 Drehmomen und Drehimpuls Um den Zusammenhang zwischen Drehmomen und Drehimpuls zu ermieln, bilden wir die Ableiung der Drehimpulsgleichung nach Aus Gleichung (9) folg dann: O = m + = m dl dr dr d r d r r r, (0) da das erse der beiden Veorprodue null is Nach der Bewegungsgleichung (siehe Gleichung ()) is d r m = F + i d F i wobei F die Resulierende aller Kräfe is, die von außen auf m einwiren, während der zweie Term die Summe aller auf m einwirenden inneren Kräfe is In Gleichung (0) eingesez ergib das: dl O = r F + F = r F + r F i i, ( ) ( ) i i Die erse Summe is die Resulierende M O der Drehmomene der äußeren Kräfe Die zweie Summe is die Resulierende der Drehmomene der inneren Kräfe Wegen»acio = reacio«is für jedes Paar von Massenpunen ses F i = F i und daher gil für die Summe der beiden Drehmomene, die irgendein Paar von Massenpunen bezüglich O aufeinander ausüb: ( ) r F + r F = r r F i i i i i Nun is r r i der Veor, der die beiden Massenpune verbinde Da F i ses die Richung der Verbindungsgeraden ha, is das leze Veorprodu null Somi is dlo = ( ) = O r F M Das bedeue: Die Änderungsgeschwindigei des Drehimpulses eines Sysems is gleich dem von außen wirenden Drehmomen Durch Inegraion zwischen den Grenzen und folg daraus: Das bedeue: d L = L ( ) L ( ) = M d O O O O 0
Die Änderung des Drehimpulses eines Sysems in einem Zeiinervall is gleich dem auf das Sysem in diesem Inervall ausgeüben»drehmomensoß«(das is das Zeiinegral des Drehmomens) Ferner: Wir auf das Sysem ein äußeres Drehmomen, so bleib sein Drehimpuls onsan (Saz von der Erhalung des Drehimpulses) 6 Die Energie eines Sysems von Massenpunen Wir gehen wieder von der Bewegungsgleichung (Gleichung ()) eines einzelnen Massenpunes aus: d r m = F + i d F Wir muliplizieren die Gleichung mi dr /: m d r dr d r = F + F i d d d i Der Term auf der linen Seie der Gleichung ann wie folg umgeform werden: Somi is m = d r dr d dr m d dr dr dr m = F + F i d d d d Diese Gleichung gil für jeden Massenpun des Sysems Nun summieren wir die Gleichungen aller Massenpune des Sysems, wobei auf der linen Seie die Reihenfolge der Differeniaion und der Summaion verausch werden darf, und erhalen: i d dr dr dr m i = + F F i Diese Gleichung wird mi muliplizier und zwischen den Grenzen und inegrier: dr dr dr d = F + Fi d m i r ( ) r ( ) i = d + i d F r F r i r ( ) r ( ) dr m = d + r ( ) r ( ) i F r F dr i
und mi d r = v r ( ) r ( ) m [ v ] m [ v ] = + ( ) ( ) F dr Fi d r () r ( ) r ( ) i Auf der linen Seie der Gleichung seh die Änderung der ineischen Energie des Sysems, rechs die Summe der Arbei der äußeren und die der inneren Kräfe im beracheen Zeiinervall Die aufgewendeen Arbeien führen also zu einer gleich großen Veränderung der ineischen Energie des Sysems (Dies is ein spezieller Fall des Sazes von der Erhalung der Energie) Mi der ineischen Energie ann man nun folgende Umformung vornehmen: Wir führen ein weieres Koordinaensysem ein, dessen Ursprung O' im Schwerpun des Sysems lieg Dieser habe im ersen Koordinaensysem den Orsveor r* Der Orsveor des Massenpunes m im neuen Sysem sei r' Dann is r = r* + r ' und und dami dr dr dr = + = + + dr * d r' dr * * d r' d r' dr dr* dr* d r' d r' m = m + m + m Nach der Definiion des Schwerpuns (Gleichung (4)) is m M r r ' = ( *)', wobei (r*)' die Koordinae des Schwerpuns im zweien (dem»gesrichenen«) Sysem is Diese is hier gleich null, und dami wird der zweie Term auf der rechen Seie der Gleichung () null So ergib sich schließlich: Das bedeue: dr dr* d r' m = m + m Die ineische Energie des Sysems is gleich der Summe aus der ineischen Energie der im Schwerpun vereinig gedachen Masse des Sysems und der ineischen Energie, welche die Massenpune des Sysems infolge ihrer Bewegung relaiv zum Schwerpun haben () (3)
7 Ein Sysem von Massenpunen uner der Wirung onservaiver Kräfe Wir wollen nun von den inneren Kräfen annehmen, sie seien»onservaiv«, das heiß, dass zu jeder von ihnen ein Poenialfeld gehör Die Masse m i erzeuge am Or der Masse m das Poenial Φ i, die Masse m am Or der Masse m i das Poenial Φ i Abb 6 Nehmen wir an, das Feld und dami das Poenial eines jeden Massenpunes werde erzeug durch eine»ladung«ρ i bzw ρ, die der jeweilige Massenpun besiz (z B seine Masse, seine elerische Ladung, ) und das Feld wire auf die»ladung«des jeweils anderen Massenpunes Die»Ladung«der Massenpune sei die Ursache der Kräfe zwischen ihnen Die Poeniale sind dann proporional der felderzeugenden Ladung Bezeichnen wir das ladungsbezogene Poenial Φ/ρ mi Ψ, dann is = Φ ρ Ψ i i i Das ladungsbezogene Poenial Ψ i häng dann nur noch vom Absand d i der beiden beracheen Massenpune ab: ( ) ( ) Ψ = f d = f ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) i i i i i Nach einem Saz der Felheorie (siehe hp://homevrwebde/~sipe/ uner Veoranalysis) is die Kraf, die von der Masse m i auf die Masse m ausgeüb wird, und analog Ψ i Ψ i Ψ i Fi = ρi ρ grad Ψ i = ρi ρ e + e + e 3, x y z Ψ i Ψ i Ψ i Fi = ρi ρ grad Ψ i = ρi ρ e + e + e 3 xi yi zi Wegen»acio = reacio«is F i = F i und daher gradψ = grad Ψ i i 3
Nehmen wir nun an, die beiden Massen würden durch die jeweils einwirende Kraf um leine Srecen dr i bzw dr verschoben, dann wird dabei von den Kräfen die Arbei ( ) F dr + F dr = ρ ρ gradψ dr + gradψ d r i i i i i i i verriche Wegen F i = F i und grad Ψ i = grad Ψ i gil ( ) F dr + F dr = F dr + F dr = ρ ρ gradψ dr + gradψ dr i i i i i i i i i i Ψ i Ψ i Ψ i Ψ i Ψ i Ψ i = ρi ρ dxi + d yi + dzi + dx + d y + d z xi yi zi x y z Der Term in der Klammer is das vollsändige Differenial dψ i der Funion Ψ i mi ihren sechs Variablen Also is F dr F dr d + = ρ ρ Ψ i i i i i Wir greifen nun auf die Gleichung () des vorangegangenen Kapiels zurüc: r ( ) r ( ) m [ v ] m [ v ] = + ( ) ( ) F dr Fi d r r ( ) r ( ) i Wir önnen im ganz rechs sehenden Term das Produ F i dr durch das Differenial dφ i ersezen Bei der Summierung müssen wir jedoch beachen, dass dφ i schon zwei der Summanden enhäl, weshalb bei der Summierung jeder Summand doppel voromm Dies muss durch einen Faor ½ berücsichig werden: Fi dr = ρi ρ dψ i = d Φi i i i Das über diese Doppelsumme zu bildende Inegral is in einem Poenialfeld vom Weg unabhängig und ha den Wer Φ ( r ) + Φ ( r ) i i i i Wenn wir nun außerdem annehmen, dass auch die äußeren Kräfe ein Poenialfeld haben, dann wird auch das erse Inegral vom Weg unabhängig und ann so geschrieben werden: Dann nimm Gleichung () folgende Form an: Φ ( r ) + Φ ( r ) E ( ) + Φ ( ) + Φ ( ) = E ( ) + Φ ( ) + Φ ( ) Das bedeue: in i in i i i Die Summe aus der ineischen Energie, der äußeren poeniellen Energie und der inneren poeniellen Energie eines Sysems von Massenpunen is onsan, wenn sowohl die äußeren wie die inneren Kräfe ein Poenialfeld besizen (onservaive Kräfe sind) Dies is eine erweiere Form des Sazes von der Erhalung der Energie 4