2011 Mathematik Rechenfertigkeiten Übungen Donnerstag Dominik Tasnady, Mathematik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrasse 190, 8057 Zürich Erstellt von Dr. Irmgard Bühler (Überarbeitung: Dominik Tasnady) 18.August 2011
1 Kurvendiskussion 1. Diskutieren Sie die Graphen (Nullstellen, Extrema, Bild): x x 2 x 2, x x 3 x 2, x x 3 + 9x 2 108 2. Bestimmen Sie die Extrema: x x 2 2x + 3, x x, x 2 +1 x (x a) 4. 3. Wo liegen bei nachfolgenden Funktionen die absoluten und die lokalen Extrema? 3x 2 x 3 auf dem Intervall [ 3, 5] t(t 5) 2 auf dem Intervall [0, 4] x x+1 auf dem Intervall ( 1, 2) cos(x) auf dem Intervall [ π, 12] 4. Diskutieren Sie die Graphen anhand von (1) Definitionsbereich (2) Polstellen (Was passiert in den Definitionslücken?) (3) Nullstellen (4) Asymptote (Was ist lim f(x)?) x ± (5) Extrema und zeichnen Sie den Graphen auf. x 1 1+x 2, x x2 +2x+1 2x, x 5 (2x+1) 2. 5. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: x lim n 1 x 1, wobei n, m N \ {0}, x m 1 lim x 0 1 cos(2x) 1 cos(x). 6. * Welche Polynomfunktion dritten Grades besitzt einen Graphen, der symmetrisch ist zum Nullpunkt und im Punkt ( 2, 4) ein lokales Minimum annimmt? 1
2 Optimieren 1. Von einem rechteckigen Stück Karton mit den Seitenlängen a und b wird an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge x weggeschnitten. Durch Auffalten der vorstehenden Rechtecke lässt sich aus dem Reststück eine oben offene Schachtel bilden. Für welches x hat die Schachtel maximales Volumen, wenn (1) a = b = 12 cm (2) a = 15 cm und b = 24 cm (3) a, b allgemein 2. Zerlegen Sie eine reelle Zahl a so in zwei Summanden a 1 und a 2, dass deren Produkt möglichst gross wird! 3. Ein Stück Draht wird in zwei Teile zerschnitten. Aus dem einen wird ein Quadrat, aus dem anderen ein Kreis geformt. Wie muss man schneiden, damit die Summe der Flächeninhalte der beiden Figuren (1) minimal (2) maximal wird? 4. Ein Landwirt möchte angrenzend an seine Scheune mit einer Längswand von 12 Meter ein rechteckiges Stück Land einzäunen, wobei er die Wand mitbenutzen will. Er verfügt über a Laufmeter Zaunmaterial und möchte die eingezäunte Fläche so gross wie möglich machen. Wie hängt der maximal mögliche Flächeninhalt von a ab? Gib eine formelmässige und eine graphische Darstellung an. Wie ist der Zaun anzulegen für a = 16m, a = 30m oder a = 40m? 2
5. * Fermatsches Brechungsgesetz, auch Gesetz von Snellius : Ein Lichtstrahl vom Punkt P zum Punkt Q schlägt stets den zeitkürzesten Weg ein. Der Lichtstrahl überquere dabei die Grenze zwischen zwei Materialien. Dabei seien die Lichtgeschwindigkeiten im oberhalb bzw. unterhalb der Materialgrenze gelegenen Medium durch c 1 und c 2 gegeben. Leiten Sie eine Beziehung her zwischen α, β, c 1 und c 2. Abbildung 1: Snellius 6. * Maximum Likelihood Schätzungen: Man wirft einen unfairen Würfel n mal und wirft dabei m Mal eine Sechs. Aus diesem Ergebnis möchte man die Chance auf eine Sechs bei einmaligem Werfen schätzen. Ist diese Chance p, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei n Mal werfen m Sechsen zu werfen, gleich ( ) n p m (1 p) n m m (die Binomische Verteilung). Bestimmen Sie p so, dass diese Wahrscheinlichkeit am grössten ist. 3
3 Folgen 1. Die Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...) lässt sich auch nicht-rekursiv berechnen, mit der Formel: F n = 1 5 (( 1 + ) n ( 5 2 1 ) n ) 5, (n 1). 2 Berechnen Sie von Hand F 2, resp. mit dem Taschenrechner F 20. 2. Bestimmen Sie einige Glieder der nachstehenden Folgen und untersuchen Sie, ob die Folgen beschränkt, wachsend oder fallend sind. n2 n+1 a n = ( 1)n n a n = n 2 n2 2 n 3. Suchen Sie ein Bildungsgesetz und eine Formel für das allgemeine Glied nachstehender Folgen. Welche der Folgen sind beschränkt, welche wachsend, welche fallend? Welche arithmetisch oder geometrisch? 5, 12, 19, 26, 33, 40,... 1, 2, 4, 7, 11,... 4, 8, 16, 32, 64, 128,... 1, 2, 6, 24,... 1, 2, 3, 4,... 2 3 4 5 4. Welche der folgenden Folgen sind beschränkt, wachsend oder fallend? a 1 = 1, a n+1 = 3a n 1 b 1 = 1, b 2 = 2, b n+1 = 2b n b n 1 5. * Wir betrachten die Folge a n = q n. Untersuchen Sie mit konkreten Zahlenbeispielen die Konvergenz der Folge für die Fälle: q > 1, q = 1, 0 < q < 1, 1 < q < 0, q = 1, q < 1. 4
6. * Betrachen Sie die Folge: a 1 = 2 2 a 2 = 2 2 2 2 a 3 = 2 2 3 2 + 2 a 4 = 2 4 2 2 + 2 + 2. Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge und stellen Sie ein Vermutung auf. Diese Vermutung lässt sich geometrisch begründen, indem man zeigt, dass a n der halbe Umfang des dem Einheitskreis einbeschriebenen regulären 2 n Ecks ist. (Beginnen Sie beim Quadrat und verdoppeln Sie anschliessend die Eckenzahlen.) 5
4 Reihen 1. Berechnen sie die folgenden endlichen Summen. 5 3 n n=1 4 n=3 500 1 2 n 1 + n n=0 5 300 n=1 2. Berechnen sie die folgenden Summen bis zum 100 sten Glied. 5, 15, 45, 135, 405,... 2, 4, 8, 16, 32, 64,... 3. Bestimmen Sie die Summe der folgenden unendlich geometrischen Reihen: 1 + 1 2 +... 1 5 1 10 +... 4. Gegeben ist eine geometrische Folge (a 0, a 0 q, a 0 q 2,...) durch s 3 = 175 und a 4 +a 5 +... = 81. Gesucht sind a 1 und a 5. 5. * Behauptung 0.9 = 1. Beweisen Sie mit Hilfe einer unendlichen geometrischen Reihe. 6. * Zeigen Sie, dass die harmonische Reihe Hinweis: Beweisen Sie die Ungleichung n=1 1 divergiert. n 1 n + 1 + 1 n + 2 +... + 1 2n > 1 2 und leiten Sie daraus die Divergenz der harmonischen Reihe her. 7. * Eine punktförmige Schnecke kriecht auf einem 1 m langen Gummiband mit einer konstanten Geschwindigkeit von 5 cm/h. Am Ende der ersten und jeder weiteren Stunde wird das ganze Band homogen um jeweils einen Meter gedehnt. Wird die Schnecke in endlicher Zeit das rechte Ende erreichen, wenn sie zu Beginn der ersten Stunde am linken Ende startete? 8. *Koch-Kurven (Helge von Koch, schwedischer Mathematiker) Ein Quadrat der Seitenlänged 1 wird durch Ergänzung von kleineren Quadraten nach 6
jedem Iterationsschritt zu einer neuen Figur. (Siehe Abbildung!) Interessante Fragen (zuerst schätzen, dann berechnen): (a) Wie gross ist der Flächeninhalt der Grenzfigur? (b) Wie gross ist der Umfang der Grenzfigur? Hinweis für die Berechnung: Konzentrieren Sie sich zunächst auf eine Seite des Quadrats und fügen Sie dann den Faktor 4 hinzu. Bestimmen Sie den Faktor q falls eine geometrische Folge vorliegt; resp. das Konvergenzverhalten, falls eine beliebige Folge vorliegt. Abbildung 2: Koch-Kurven 7