MTG Grundwissen Mathematik 0. Klasse Der Kreis Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π. Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors mit Radius r und Mittelpunktswinkel µ : µ Sektor = 2 r π 360 Fläche eines Kreisessektors mit Radius r und Mittelpunktswinkel µ: µ A Sektor = r²π 360 Aufgaen: Berechne für die Gitterkonstante a den Umfang und den Inhalt der Herzfigur. a 2 Die Kugel O Kugel = 4 r²π V Kugel = 3 4 r³π Aufgae: Berechne jeweils den Durchmesser einer Kugel mit a) einem Umfang von 50 cm ) einer Oerfläche von 625 cm² c) einem Volumen von 900 ml d) 20% mehr Volumen als ein Würfel mit einer Kantenlänge von 8 cm.
3 Sinus-; Kosinus- und Tangenswerte für elieige Winkel Durch Addition oder Sutraktion von Vielfachen von 360 führen wir den Winkel auf einen Winkel zwischen 0 und 360 zurück Winkel zwischen 0 und 360 Vorzeichen: Sinus Kosinus Tangens + + - - - + - + - + + - Aufgaen:. Zurückführung auf den I. Quadranten Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel. a) sin 0 ) cos 40 c) tan 485 d) sin 765 e) tan 500 2. Gleichungen Bestimme sämtliche Lösungen für 0 φ <360. Runde auf eine Dezimale. a) sin φ = - ) cos φ = c) tan φ = d) sin φ = 3 e) tan φ = 3 2 f) sin φ = -0,5 g) cos φ = 3 h) tan φ = 4 2 i) sin φ = - 2 2 k) cos φ = 2 2 4 Das Bogenmaß am Einheitskreis Am Einheitskreis (r =) gilt: µ µ µ = 2rπ = π = π 360 80 80 Aufgae: Vervollständige die folgende Taelle 5 Sinusfunktion
5. Sinusfunktion Definitionsmenge D = IR Wertemange W = [-; ] Periode: 2 π: sin( + 2 π)=sin Punktsymmetrisch zum Ursprung 5.2 Die allgemeine Sinusfunktion Die Sinuskurve f() = a sin ( + c) a ist die Amplitude. Die y-werte liegen also zwischen a und a. Bei negativem a wird noch an der -Achse gespiegelt. verändert die Periode: Ihre Länge ist 2π ist gegenüer der normalen Sinuskurve y = sin um c in -Richtung verschoen. Sie startet ei der Nullstelle = c auf der -Achse. Im Funktionsterm Die Sinuskurve f() = a sin ( + c) + d ewirkt der Summand d eine Verschieung in y-richtung. Aufgae: Skizziere den Graphen der Funktion f() =,5 sin 2 ( + 2 π ) 6 Die edingte Wahrscheinlichkeit P A (B) ist die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist. Sind A und B Ereignisse eines Zufallseperiments P(A) 0 so versteht man unter der edingten WSK P A (B) die WSK des Eintretens von B unter der Bedingung des Eintretens von A. P A (B)= P( A B) A B oder P A ( B) = P( A) A Veranschaulichung mit Hilfe des Baumdiagramms
Aufgae Mache Menschen haen Schwierigkeiten, die Fare Rot von Grün zu unterscheiden. Die Vierfeldertafel eschreit die Verteilung der Farfehlsichtigkeit unter 000 Personen. Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person farenfehlsichtig ist? ) Berechne die WSK der Farenfehlsichtigkeit, wenn man zusätzlich weiß, dass es sich um eine Frau handelt? Nicht farenfehlsichtig Faren fehlsichtig Männer 460 40 Frauen 498 2 7 Lineares und eponentielles Wachstum Ein Wachstum mit konstantem Zuwachs m in gleichen (Zeit)Schritten heißt lineares Wachstum. Ein Wachstum mit konstantem Wachstumsfaktor a in gleichen (Zeit)Schritten heißt eponentielles Wachstum. Beispiel: f(0) = 2 (Anfangsestand) m = 0,5 (Zuwachs) Die Gleichung eschreit eine Gerade mit y- Achsenaschnitt 2 und 0,5 als Steigung. Beispiel: f(0) = 2 (Anfangsestand) a =,5 (Zuwachs) Die Gleichung eschreit eine Eponentialfunktion. Aufgae: Die Römerin Pecunia legte zur Zeit von Christi Geurt auf der Bank von Rom 00 Sesternen zu einem Zinssatz von 3% an. Die Zinsen sollen jeweils am Jahresende zu gleichen Bedingungen angelegt werden. Ihr Freund Stupidus legt ei der Römische Sparkasse auch 00 Sesternen zum Zinssatz von 5% an und lässt sich die Zinsen jeweils zum Jahresende ausezahlen, die er zu Hause aufewahrt. a) Welchen Betrag hat Pecunia nach 5 Jahren auf der Bank? ) Auf welchen Betrag sind zu diesem Zeitpunkt die 00 Sesternen von Stupidus zusammen mit den zu Hause aufewahrten Zinsen angewachsen? c) Wie hoch wäre das Vermögen der Eren Ende dieses Jahres in eiden Fällen, wenn die Geldanlage gleich gelieen wäre?
Aufgae: Die Römerin Pecunia legte zur Zeit von Christi Geurt auf der Bank von Rom 00 Sesternen zu einem Zinssatz von 3% an. Die Zinsen sollen jeweils am Jahresende zu gleichen Bedingungen angelegt werden. Ihr Freund Stupidus legt ei der Römische Sparkasse auch 00 Sesternen zum Zinssatz von 5% an und lässt sich die Zinsen jeweils zum Jahresende ausezahlen, die er zu Hause aufewahrt. a) Welchen Betrag hat Pecunia nach 5 Jahren auf der Bank? f() = 00,03 ; f(5) = 00,03 5 = 55,80 Sesternen ) Auf welchen Betrag sind zu diesem Zeitpunkt die 00 Sesternen von Stupidus zusammen mit den zu Hause aufewahrten Zinsen angewachsen? f() = 00 + 5 ; f(5) = 00 + 5 5 = 75 Sesternen c) Wie hoch wäre das Vermögen der Eren Ende dieses Jahres in eiden Fällen, wenn die Geldanlage gleich gelieen wäre? Pecunia f(2009) = 00,03 2009 = 6,2 0 27 Sesternen Stupidus f(2009) = 00 + 5 2009 = 045 Sesternen 7. Die Eponentialfunktion f() = a (a > 0; a ) Eigenschaften der Eponentialfunktion Definitionsmenge D = IR Wertemenge W = IR + Schnittpunkt mit der y-achse S(0/) Die -Achse ist waagrechte Asymptote Für a > steigt der Graf der Funktion (eponentielles Wachstum) Für a < fällt der Graf der Funktion (eponentielles Zerfall) Aufgae In jedem Koordinatensystem findest du zwei Funktionen aus einer Funktionsfamilie. Erläutere nun, wie der eine Graph aus dem anderen Graphen hervorgeht, und estimme die Gleichungen der zugehörigen Funktionen. a) ) y y 0 0
In jedem Koordinatensystem findest du zwei Funktionen aus einer Funktionsfamilie. Erläutere nun, wie der eine Graph aus dem anderen Graphen hervorgeht, und estimme die Gleichungen der zugehörigen Funktionen. a) ) y y 0 0 rot: f() = 2 rot: f() = 4 schwarz: f() = -2 schwarz: f() = Spieglung an der -Achse und Verschieung um nach unten 4 Spiegelung an der - und der y-achse 7.2 Der Logarithmus log a ist jene eindeutig estimmte Zahl mit der man potenzieren muss um a zu erhalten (a IR + ; IR +\{}Erklärung üer Graph): log a = = a log a = a a) Spezielle Fälle. Dekadische Logarithmus (=0) log 0 a = lg a; a = 0 = lg a 2. Natürlicher Logarithmus ( = e = 2,7828) log e a = ln a; a = e = ln a Nur wichtig für TR! ) Rechengesetze log ( uv) = log u + log v log = log u log v u v u+v = u v u-v u v = u : v log u z = z log u log n u = log n u
c) Basisumrechnung log a ln a lga log a ; log a = ; log a = c c c log c lnc lgc = TASCHENRECHNER. Fasse zusammen und vereinfache falls möglich. a) log 2 (2) - log 2 ) log 2 ³ - 2 log 2 c) log 2 + log 2 d) 3 log 2 + log2 ³ 2. Drücke durch einen einzigen Logarithmusterm aus. a) log 6 a + log 6 - log 6 c ) log 2 m - log 2 n - log 2 p c) 5 log 2 m + 2 log 2 n d) 3 log 2 m 4 log 2 n e) 2 (log 2 m log 2 n) f) 2 log 6 a + 3 log 6 4 log 6 c 8 Funktionen 8. Nullstellen ganzrationaler Funktionen Terme der Form a n n + a n- n- +... + a + a 0 mit n IN heißen Polynome n-ten Grades, zugehörige Funktionen Polynomfunktionen.. Die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind Teiler des konstanten Glied a 0 des Polynoms. 2. Tritt in der vollständig faktorisierten Form eine Nullstelle k ungeradzahlig oft auf, wechselt f() ei k das Vorzeichen geradzahlig oft auf, wechselt f() ei k das Vorzeichen nicht Vielfache Nullstellen Das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion in der Umgeung einer Nullstelle hängt von der Vielfachheit der Nullstelle a:
Finden von Nullstellen üer Polynomdivision: ( 3-2 2 + 2 ) : ( ) = ² - - 2 - ( ³ - ²) - ² - - (- ² + ) - 2 + 2 - ( -2 + 2) 0 f() = ( ) ( ² - - 2) Lsg-Formel: 2 = 2 und 3 = - f() = ( ) ( 2) ( + ) Aufgaen zur Polynomdivision (a) ( 3 2 4 + 4) : ( ) = () ( 3 + 3 2 4) : ( 2 + 2) = (c) (4 2 + 4 + ) : (6 + 3) = (d) ( 4 3 + 8 2 + 23) : (9 2 8 + 9) = (e) (5 3 3 + 5 4 2 + 2) : (5 2 ) = (f) ( 5 ) : ( ) = (g) (2 3 2 ) : ( 3 + 2 ) = Groer Verlauf der Graphen ganzrationaler Funktionen Beareite die Teilaufgaen a) is d) für folgende Funktionen: I) f() = 3-6 II) f() = 3-6 2 + 9 III) f() = 3-2 2-5 + 6 IV) f() = 5 4 3 3 + 3 2 + 36 36
a) Bestimme die maimale Definitionsmenge. ) Wie lauten die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. c) Bestimme das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsereichs. d) Skizziere den groen Verlauf des Funktionsgraphen unter Verwendung der isherigen Ergenisse. 9 Der Grenzwert oder das Verhalten im Unendlichen a) Die quadratische Funktion f() = ² Die Funktionswerte werden für unendlich und schreit dafür: Die Funktionswerte werden für lim f ( ) = lim ² = sehr groß, man sagt die Funktion geht gegen plus lim f ( ) = lim ² = eenfalls sehr groß: Aufgrund der Achsensymmetrie gilt lim f ( ) = lim f ( ) Gilt allgemein: lim f ( ) = ± zw. lim f ( ) = ±, so sagt man: die Funktion divergiert estimmt. ) Die lineare Funktion f() = lim f ( ) = lim = und lim f ( ) = lim = Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt lim f ( ) = lim f ( ) Auch die lineare Funktion divergiert estimmt c) Die Sinus-Funktion Es eistiert kein Grenzwert: Man sagt: Die Funktion divergiert unestimmt. Ihr Graph schwankt für estimmten Wert nahe zu kommen. hin und her, ohne einem d) Die Bruchfunktion f() = / n
Die Funktion f() = / Für zunehmende -Werte wird der Bruch / sehr klein: lim f = = o ( ) lim 0 lim f = = - o ( ) lim 0 o o Vgl. Punktsym. zum Ursprung Man sagt die Funktion geht gegen Null Die Funktion f() = /² o lim f ( ) = lim = 0 ² lim f ( ) = lim = ² o 0 o Vgl. Achsensym. Zur y-achse Allgemein: Gegeen ist die Funktion f() = / n mit n N. Für ± gilt: lim f ( ) = lim = 0 ± n Man sagt: Die Funktion konvergiert gegen Null. Ihr Graph schmiegt sich für nahe an die horizontale Asymptote y = 0 an. elieig e) Die Polynomfunktion Bsp.: f() = ³ - 3 + 2 (aus Vielfache NSt) 3 ² 2 Ausklammern: f ( ) = ³ + = 0 3 0 0
Der erste Summand a n n des Polynoms estimmt das Verhalten für ±. Leithammel-Methode lim f ( ) = lim( ³ 3 + 2) = und lim f ( ) = lim ( ³ 3 + 2) = Graph: