Siebformel vo Poicare-Sylvester: k P A k = k+ P A ij k= k= = k= P A k k= i <i 2 i <...<i k i <i 2 Boferroi-Ugleichug: P A k P A i A i2 P A k j= P A i A i2 + + + P A k k= Falls B, N, eie Partitio vo Ω bildet, gilt P A k. k= a Satz vo der totale Wahrscheilichkeit: P A = b Bayes-Formel: P B A = Limes suerior ud iferior: lim su k= P A B P B = P A B P B j= P A B, falls P A >. j P B j A = k= =k A, lim if A = Borel-Catelli-Lemma: P A < = P lim su A =. = P A = = P lim su A =, vorausgesetzt{a } N ist s.u. = S := mi{ N X B} heißt erste Eitrittszeit i B. A k= =k Falls X i i.i.d., gilt S Geo mit = P X B. Poisso-Prozess: X i Ex, i.i.d., > { } { Nt = max N X i t = N X i t} Poit, t i= Trasformatiossatz für Dichte: X = X,..., X mit Dichte f X. M R offe mit fx = x M C. T meßbare Abbildug, T = T M. Uter geeigete Voraussetzuge s. Vorl. gilt f X T y,..., y I T M y,..., y f Y y,..., y = det T i x j i,j T y,...,y = det T i f X T y..., y I y T M y,..., y. j i,j i= Summe, Produkt ud Quotiet vo stochastisch uabhägige Zufallsvariable X ud X 2 : Faltug: f X+X 2 y = f X t f X2 y t dt, y R, falls f X, f X2 Dichte. y f X X 2 y = t f X f X2 t dt I, y ud f X y = t X 2 tf X ytf X2 t dt I, y, falls für beide Dichte f X x, f X2 x = für alle x gilt. k f X+X2 k = f X i f X2 k i, k N, für Zähldichte f X, f X2 auf N. i= Erwartugswert: Die Existez aller achfolgede Erwartugswerte sei vorausgesetzt. EgX = EgX = EX = gx i fx i, falls X diskret mit Zähldichte f auf {x, x 2,...}. i= gxfx dx, falls X absolut-stetig mit Dichte f. F x dx + Eigeschafte des Erwartugswertes: Liearität: EaX + by = aex + bey a, b R Mootoie: X Y EX EY X = I A EX = E I A = P A Markoff-Ugleichug: P X > c E X c X, Y s.u. EX Y = EX EY Momete: F x dx, wobei F die Verteilugsfuktio vo X. c > k-tes Momet: E X k, k-tes zetrales Momet: E X EX k Variaz k = 2: VarX = E X EX 2 Kovariaz: CovX, Y = EX EXY EY CovX, Y Korrelatio: CorrX, Y = VarX VarY CovX, Y = EX Y EXEY, VarX = E X 2 EX 2 VaraX + b = a 2 VarX a, b R Var X i = VarX i + 2 CovX i, X j i= i= Cauchy-Schwarz-Ugleichug: CovX, Y VarX VarY i<j
Erzeugede Fuktioe: X sei diskrete ZV mit Träger T = {t, t,...} ud Zähldichte f X. G X z = f X t k z k = P X = t k z k, z < k= P X = t k = k! Gk X k= G X+Y z = G X z G Y z, z EX = G, EX X X k + = G k }{{} k-tes faktorielles Momet Lalace-Trasformierte: X sei absolut-stetige ZV mit Dichte f X x = für alle x. L X s = f X x = lim y 2πi e sx f X x dx, s c+iy c iy e sx L X s ds L X+Y s = L X s L Y s, s c R EX = L, E X k = k L k Bedigte Verteiluge: X, Y ZV mit gemeisamer Zähl-Dichte f X,Y x, y f X Y x y = f X,Y x,y f Y y, falls f Y y > X, Y diskret mit Träger T X,Y X, Y absolut-stetig P X A Y = y = f X Y x y F X Y =y x = x T X f X x = f X Y x yf Y y f X x = y T Y EgX Y = y = gxf X Y x y EgX Y = y = x T X EgX = E gx Y = y f Y y EgX = y T Y x f X Y z y dz f X Y x yf Y y dy gxf X Y x y dx E gx Y = y f Y y dy Eie Folge vo ZV e {X } N heißt... P-fast sicher koverget gege X, X X P-f.s., we {ω P lim X ω = Xω } kurz = P lim X = X = P-stochastisch koverget gege X, X X P-stoch., we lim P X X > ε = ε > as verteilugskoverget gege X, X X, X D X, we lim F x = F x für alle Stetigkeitsukte x vo F. Tschebyscheff-Ugleichug: X ZV mit VarX <. P X EX > ε VarX ε 2 ε > Starkes Gesetz großer Zahle SGGZ: {X } N Folge vo ZV, X aarweise ukorreliert, VarX M < N. Da gilt X i EX i i= P-fast sicher. Zetraler Grezwertsatz ZGWS: {X } N Folge vo ZV, X i.i.d, µ = EX, σ 2 = VarX >. Da gilt σ X i µ as N, für. i= Maximum-Likelihood-Schätzer: fx,..., x ϑ, ϑ Θ, seie Zähl-Dichte. Lϑ x,..., x = fx,..., x ϑ heißt Likelihood-Fuktio. ˆϑx,..., x heißt Maximum-Likelihood- Schätzer, falls L ˆϑx,..., x x,..., x = su L ϑ x,..., x x,..., x. ϑ Θ Bayes-Schätzer: ˆϑx sei eie ZV mit Zähl-Dichte fϑ x = fx,ϑ fx = fx ϑπϑ fx ϑπϑdϑ, wobei πϑ eie Zähl- Dichte der a-riori Verteilug ud fx ϑ eie Zähl- Dichte der beobachtete ZV X ist. fϑ x heißt a-osteriori Verteilug. E ˆϑx heißt Bayes-Schätzer vo ϑ. MSE: H = HX,..., X sei ei Schätzer für gϑ R. Der mittlere quadratische Fehler MSE erfüllt E ϑ H gϑ 2 = E ϑ H E ϑ H 2 + E ϑ H gϑ 2 = Var ϑ H + Bias ϑ H 2 Erwartugstreue: H heißt erwartugstreu für gϑ, we E ϑ H = gϑ für alle ϑ Θ. Kofidezitervalle: X,..., X seie ZV mit gemeisamer Verteilug P X,...,X ϑ, ϑ Θ. [ LX,..., X, UX,..., X ] heißt Kofidezitervall zum Niveau α für gϑ R, falls P ϑ gϑ [ LX,..., X, UX,..., X ] α ϑ Θ.
Kombiatorische Grudformel Viele Abzählrobleme köe auf kombiatorische Formel zurückgeführt werde, die sich am Beisiel eies Uremodells veraschauliche lasse. I eier Ure seie N Kugel, die wir us vo bis N durchumeriert deke. Nacheiader werde aus der Ure Kugel gezoge. Beim Ziehe eier solche Stichrobe vom Umfag gibt es zwei Vorgehesweise: Stichrobe mit Zurücklege Stichrobe mit Wiederholug Nach jeder eizele Ziehug wird die gezogee Kugel i die Ure zurückgelegt. Kugel köe also i de Ziehuge mehrfach gezoge werde. Stichrobe ohe Zurücklege Stichrobe ohe Wiederholug Jede gezogee Kugel wird ach der Ziehug beiseite gelegt ud icht i die Ure zurückgegebe. Eie beliebige Kugel ka bei eier solche Stichrobe also höchstes eimal auftrete. Bei der Betrachtug des Ziehugsergebisses gibt es wiederum zwei Vorgehesweise: Stichrobe i Reihefolge geordete Stichrobe, Permutatio Das Ergebis wird durch ei -Tuel ω, ω 2,..., ω beschriebe, i dem ω i die Nummer der bei der i-te Ziehug gezogee Kugel agibt, i. Die Reihefolge, i der die Kugel gezoge werde, ist also vo Bedeutug. Stichrobe ohe Reihefolge ugeordete Stichrobe, Kombiatio Iteressiert ur, welche Kugel gezoge werde ud falls mit Zurücklege gezoge wird wie oft eie Kugel gezoge wurde, so sid alle Stichrobe äquivalet, die durch eie Permutatio der Stichrobeelemete auseiader hervorgeheq. Wir beschreibe die Stichrobe deshalb durch ei -Tuel ω, ω 2,..., ω, desse Eiträge der Größe ach geordet sid, ω ω 2... ω. I welcher Ziehug eie Kugel gezoge wurde, ist hier icht vo Bedeutug. Es ergebe sich also vier uterschiedliche Stichroberäume, dere Mächtigkeite wir i folgeder Tabelle agebe wolle: Zusätzlich wolle wir eie alterative Iterretatio agebe Stichrobe vom Umfag mit Zurücklege ohe Zurücklege aus A := {,... N} Ω I = A = {ω,..., ω Ω II = {ω,..., ω A i ω i {,..., N} für i } ω i ω j für i j, i, j } uterscheidbare Reihefolge Ω I = N Ω II = N! N! Murmel Ω IV = {ω,..., ω A Ω III = {ω,..., ω A ohe ω ω 2 ω } ω < ω 2 < < ω } uuterscheid- Reihefolge bare Murmel Ω IV = +N Ω III = N Verteilug vo mit Mehrfach- ohe Mehrfach- Murmel auf N besetzug besetzug Zelle Quelle: Ulrich Kregel, Eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik, S. 7, Vieweg Verlag, Brauschweig/Wiesbade, 99
Prof. Dr. R. Mathar RWTH Aache, SS 23 Ausgewählte diskrete ud absolut-stetige Verteiluge Zähldichte erzeugede Fuktio EX VarX E z X, z Biomialverteilug Bi,, IN, k k k, k =,,..., z + geometrische Verteilug k, k IN z z Geo, < < k, k IN z egative Biomialverteilug Bir,, r IN, < < Poissoverteilug Poi, > k+r r r k, k IN r r z 2 2 r 2 k e k!, k IN e z Dichte Lalace-Trasform. EX VarX E e sx Rechteckverteilug Ra, b, a < b IR b a, a x b e sa e sb a+b sb a, s IR 2 Exoetialverteilug Ex, > e x, x +s, s Γ-Verteilug Γα,, α, > α Γα xα e x, x >, mit Γα = x α e x dx α = : Erlagvert., Erl, Beachte: Γ =! +s α, s α b a 2 2 2 α 2 Normalverteilug Nµ, σ 2, µ IR, σ 2 > σ /2σ 2, x IR 2π e x µ2 e sµ+s2 σ 2 /2, s IR µ σ 2