s 3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 54 3.. Iperfete Inforation Definition: Diese liegt dann vor, wenn anche Spieler bestite Handlungen (Spielzüge) ihrer Mitspieler nicht beobachten önnen. Beispiel: D (3,3) s B s E (,4) s A F (4,) s C s G (,) Spieler ann von A aus zwischen den Ästen s und s entscheiden. Wenn aber Spieler seinen Zug wählt, ann er nicht wissen, welchen Ast Spieler gewählt hat. Spieler ann also zwischen den Knoten B und C nicht unterscheiden. Ier dann wird zwischen B und C eine gestrichelte Linie gezeichnet. I obigen Spielbau ist beispielsweise für Spieler die Strategie s doinant. Denn wenn er die Knoten B und C iteinander vergleicht, so ist: 4 > 3 und > (Zeilenvergleich). Dabei uss sich (s. o.) Spieler entscheiden, ohne zu wissen, ob Spieler s oder s gewählt hat, ob er sich also in Punt B oder C befindet. In jede Fall ist aber für ihn ebenfalls 4 > 3 und > (Spal-
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 55 tenvergleich). Das Nash-GG dieses Spiels it iperfeter Inforation ergibt sich denach aus G (,). Wie leicht zu erennen, hätte Spieler diese Entscheidung auch dann getroffen, wenn er über perfete Inforation verfügt hätte. Verallgeeinert gilt nälich der Satz: Ier dann, wenn doinante Strategien vorliegen, wird sich ein Spieler analog entscheiden, egal ob perfete oder iperfete Inforationen vorliegen. 3. Teilspiele und Teilspielperfetheit 3.. Konzept eines Teilspiels Häufig lässt sich ein Gesatspiel in Teilspiele zerlegen. An eine bestiten Entscheidungsnoten X (X=D, H, s. u.) fängt dann ein Teilspiel an, wenn der Teil des Baus, der in X beginnt, it de Rest des Spiels ausschließlich über einen Knoten vernüpft ist: B A s C D Von de Knoten D aus beginnt ein neues Teilspiel, da der Teil des Baus der in D beginnt it de Rest des Spiels nur über den Knoten D verbunden ist. Dagegen ann Spieler i obigen Spielbau nicht unterscheiden, ob er sich in B oder in C befindet, d. h., ob sich Spieler für die Strategie s oder s
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 56 entschieden hat. Man sagt, die Knoten B und C sind iteinander verbunden. In D beginnt ein eigenes Teilspiel. Betrachten wir ein. Beispiel it 3 Spielern: D B s E A F C G H D ist it F, E it G verbunden, daher beginnt nur in H ein neues Teilspiel: Spieler 3 weiß nicht, ob er sich in D oder F befindet (also ob sich Spieler über B oder C für Strategie s entschieden hat). Er weiß auch nicht, ob er sich in E oder G befindet (also ob sich Spieler über B oder C für Strategie s entschieden hat). Dagegen beginnt in H ein eigenes Teilspiel: Die Entscheidung von Spieler 3 für s 3 oder s 3 ist unabhängig von den Knoten D, E, F, G. Wie spürt an die Anzahl der Teilspiele in eine Spielbau auf? Gibt es Verbindungen i Spielbau? Wenn nicht, dann gibt die Anzahl der Knoten die Anzahl der Teilspiele an. Wenn ja, berücsichtige die Verbindungen: Nur Knoten ohne Verbindungen und das Spiel insgesat (da auch ein Knoten) stellen noch Teilspiele dar.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 57 3.. Teilspielperfetes Gleichgewicht Noch einal: Das Marteintrittsspiel (0,4) A s Verzicht auf Martanteil s Marteintritt s Aufteilung s Preisrieg (-,-) B (,) Monopolist: Spieler Potentieller Konurrent: Spieler Bisherige Lösung: Nash-Gleichgewichte (s, s ) (s, s ) Aber: I Knoten B beginnt ein eigenes Teilspiel. Für dieses Teilspiel ist die Strategie s optial. Daher ann die Strategie s und auch die Kobination (s, s ) nicht Bestandteil einer teilspielperfeten Strategieobination sein. Als teilspielperfetes GG verbleibt dait die Kobination (s, s ). Auch hier (vgl. oben) lässt sich das Thea der leeren Drohung verdeutlichen: Spieler önnte anündigen (vgl. die Zeitinonsistenzprobleati!), dass er gewillt ist, s zu spielen, u den Spieler dazu zu bewegen, die für ihn selbst günstigere Variante s zu wählen. Wählt Spieler aber die Strategie s, so ist s für Spieler nicht ehr optial.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 58 Wie spürt an teilspielperfete Gleichgewichte auf? Beginne bei letzten Entscheidungsnoten und untersuche, ob die Strategieobination in diese Teilspiel optial ist. Untersuche den vorletzten Entscheidungsnoten entsprechend. (Prinzip der Rücwärtsindution) Das Gleichgewicht ist dann und nur dann teilspielperfet, wenn für einen Spieler in irgendeine Teilspiel, das an eine beliebigen Knoten des Spielbaus beginnt, ein Anreiz zur Abweichung vo Gleichgewicht besteht. Satz: Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfet, wenn die Strategien der Spieler in jede Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht bilden. Beispiel: L R l r l r 3 0 0 Analyse der Teilspiele: Gegeben, dass Spieler L gewählt hat, sollte r spielen. Gegeben, dass Spieler R gewählt hat, sollte l spielen. Gegeben, das Verhalten von sollte R spielen. Das teilspielperfete Nash-Gleichgewicht ist (R, rl).
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 59 ll lr rl rr L ( 3, ) ( 3, ) (, ) (, ) * R (, ) ( 0, 0 ) (, ) * ( 0, 0 ) Beachten Sie: Der Gleichgewichtspfad ist (R, l). Aber: Das Gleichgewicht uss auch angeben, was außerhalb des Gleichgewichtspfades passieren würde. Daru ist das Gleichgewicht (R, rl). Es eistiert ein zweites Nash-Gleichgewicht: (L, rr). Aber, dieses Nash-GG ist nicht teilspielperfet. Es enthält die unglaubwürdige Drohung, dass Spieler r spielt, sollte Spieler R spielen. Teilspielperfetheit ist nicht nur für Spieler it perfeter Inforation, sondern auch für beliebige Spiele it iperfeter Inforation wohldefiniert. Jedes endliche Spiel in etensiver For hat wenigstens ein teilspielperfetes Nash-Gleichgewicht. 3..3 Stacelberg-Lösung Anders als in der oben beschriebenen Cournot-Lösung, findet in der Stacelberg-Lösung des Duopolprobles eine siultane, sondern eine sequentielle Festlegung der Ausbringungsenge statt. Wir nehen an, dass Unternehen (Duopolist ) seine Ausbringungsenge zuerst bei Kenntnis des gegnerischen Anpassungsverhaltens auf den Mart bringt. Das höchste Gewinnniveau ist für ihn dort erreicht, wo (graphische Lösung) eine seiner Isogewinnurven die gegnerische Reationsurve gerade noch erreicht, bzw. bei der Menge, die seinen Gewinn aiiert unter Berücsichtigung der Reationsfuntion von Unternehen (algebraische Lösung).
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 60 Die Preisabsatzfuntion sei: p( ) =-=-( + ) Die allgeeine Gewinnfuntion (ohne Berücsichtigung von Kosten) lautet: ( ) = -( + ) πi i i Die Prodution sei ostenlos (K=DK=GK=0). Unternehen nehe nun die Unabhängigeitsposition ein und betrachte als erstes die Reationsfuntion des Konurrenten: ( ) π = - + π )! = = 0 => = 6 R( ) = 6 Nun aiiert Unternehen seinen Gewinn unter Berücsichtigung von R ( ): π = 6 443 R( ) π = 6 π! SU = 6 = 0 => = 6 6 SA R( ) : = 6 = 6 = = 3 ( ) SU π = 6 3 6 = 8 ( ) SA π = 6 3 3 = 9 ) Für Anbieter ist die Ausbringungsenge von Anbieter i Grunde genoen gegeben.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 6 Vergleichen wir dait die Cournot-Lösungen:! R( ) : = 6 = R( ) : = 6 6 = 6 = 6+,5 = 6 = 4 = 4 C C ( ) C C π = π = 4 4 4 = 6 Proble: Die Strategie von Unternehen, s = C ist nicht glaubwürdig/teilspielperfet, da sie wenn Spieler von C auf SU wechselt eine optiale Antwort ehr darstellt. Nur die Stacelbergstrategien SU SA und sind teilspielperfet. =0, =6 (0, 36) A =6, >4 (, 8) B =6, =3 (8, 9) Wenn wir den ersten, nördlichsten Ast des Spielbaus betrachten, so ann grundsätzlich jeder der Spieler das Monopol anstreben.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 6 Die graphische Lösung sieht wie folgt aus: X 6 Isogewinnurve π = π (X, X ) 4 3 X SA 4 9 X X SU Wie gewinnt an Isogewinnurven? Für den Gewinn von Unternehen gilt: G = U = p oder G p = Die Funtion ist i p/ Diagra eine gleichseitige Hyperbel, die u so weiter vo Ursprung entfernt ist, je größer G angesetzt wird.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 63 P =0 A B M C G 3 G D E G = S R C =- S G B G D A G 3 M E =- S Die auf der Maialnachfrage ( = 0) gelegenen Punte A und E setzen ein Konurrenzangebot von Null voraus. Die entsprechenden Punte unten sind A und E, B und D liegen auf der für = geltenden (niedrigeren) partiellen Absatzurve. B und D führen unten zu selben Gewinn. C und C beruhen auf de gegnerischen Angebot.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 64 3..4 Bindende Verpflichtungen und sun costs Annahe: Investitionen önnen schnell zu Überinvestitionen werden, wenn der Preisapf ausbleibt, für den sie onzipiert wurden. Wenn aber Überinvestitionen stattfinden, dann verringern sich für den Investor in allen anderen Situationen die Auszahlungen in Höhe der (versunenen) Investitionsosten C. Zug durch Monopolisten: s N = Verzicht auf strategische Investition s I = Investition in Sun Costs. Zug des Entrants : s = Verzicht des Außenseiters auf Marteintritt s = Marteintritt des Außenseiters 3. Zug durch den Monopolisten: s = Preisapf s = Aufteilung des Martes
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 65 Sun Costs als bindende Verpflichtung: (0,00) B s s (-0, -0) s N s D s (40,40) A si s (0,00-C) C s s (-0, -0) E s (40, 40-C) Der Monopolist entscheidet sich für die Investition, wenn 00 C > 40 also die Auszahlungen trotz des nicht erfolgten Marteintritts des Außenseiters- bei versunenen Investitionen höher ausfallen als bei Marteintritt des Außenseiters ohne eigene Investitionen und wenn 40 C < - 0 also die Auszahlungen bei erfolgende Preisapf für den Monopolisten (und erfolgten Investitionen) i Vergleich zur Martaufteilung so attrativ werden, dass der Außenseiter abgeschrect wird. Aus den beiden Bedingungen folgt: 00 C > 40 60 > C 40 C < 0 50 < C oder: 60 > C > 50 Unter diesen Bedingungen ist (s I, s ) der Gleichgewichtspfad des Spiels: Der Monopolist droht it Preisrieg, der Außenseiter bleibt de Mart fern, weil diese Drohung unter Berücsichtigung des aufgetretenen sun costs glaubwürdig ist.
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 66 4. Dynaische Spiele 4. Mehrstufige Spiele it beobachtbaren Handlungen Idee: Das Spiel setzt sich hier aus verschiedenen Stufen (insgesat +) zusaen, wobei eine Stufe aus eine Teilspiel besteht und alle Spieler die Ationen der davor liegenden Stufen - beobachten önnen. Drei Beispiele: Mehrstufiges Spiel i Mengenduopol, Spiel zur strategischen Managerentlohnung und zweistufiges Spiel zur Delegationslösung in der Geldpoliti. Beispiel : Gegeben sei ein Monopolist U, der in Periode t=0 in seine Kapazität investiert (f), wobei die dafür getätigten Aufwendungen sun costs sind, welche die variablen Produtionsosten dauerhaft absenen. In t= entscheidet ein Konurrent U über den eigenen Marteintritt. Weiter sei gegeben: p () = 6 K () = 4 für jeden Anbieter ohne Investition f K () = für U, wenn Investition f in t = 0 Die Gewinngleichungen von U und U lauten dann (bei Marteintritt von U ): G( Inv) = 6 3 ( + ) f 4 3 ( ) G( Inv) = G = 6 4 + i Gewinngleichung ohne Investition i = oder
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 67 G ( Inv! ) + 4 = 0 = ( ): = R ( ) 4 G Inv! + = 0 = ( ): = R Gleichsetzen bzw. Einsetzen der Reationsfuntionen führt zu: = 7 = 4 6 = + 8 4 = 6+ 3 = 6 6 = = 5 3 3 Für ergibt sich: 6 = 3 6 = 6 6 6 6 = 36 6 0 0 = = = 3 6 3 3
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 68 Wie hoch sind die Gewinne? Für 6 0 6 + = + = ist 3 3 3 6 48 6 p( ) = 6 = = 3 3 3 Dann ist: 64748 35/9 6 96 56 G = f = f 3 3 9 9 G 64748 0 / 9 0 0 00 = = 3 3 9 9 und Die Investition lohnt also nur dann, wenn 56 f > 6 9 oder 44 56 f > 9 f < =,44 9 Waru 6 der Opportunitätsgewinn i syetrischen Cournot-Duopol ist: I syetrischen Cournot-Fall (f = 0) sind die Reationsfuntionen identisch: ( ): = R R( ) : = Die Nash-Lösungen lauten dann: = = 6+ 3 = 6 3 =
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 69 = 4 = Einsetzen in die Gewinnfuntion ergibt: ( ) G = G = 4 4 + 4 4 G = G = 4 8 = 6 Graphische Lösung 4 < 4 B C 5 Wenn U bei seiner Angebotsenge von = 4 bleibt, wie reagiert U darauf? R : 7 7 5 wird er das Angebot auf = 5 ) ausdehnen. Wegen ( ) = = = B ist aber ein Nash-GG: U wird sein Angebot reduzieren und dadurch wird der Investitionsanreiz noch größer! ) Der neue Gewinn lautet: ( ) π = 4 4 + 5 5 = 5, ist also bereits u 9 höher als der Gewinn i syetrischen Cournot-Fall ohne spezifische Investition f!
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 70 Die vorstehende Analyse zeigt noch ein Weiteres: I Mengen-Duopol wird die Größenordnung des Mengeneffets durch die Steigung der Reationsurven deteriniert, dabei sind die jeweiligen Absatzengen sog. strategische Substitute : Wenn nälich, dann wird gegeben der Verlauf der Reationsurven! Anders verhält es sich i Übrigen i Bertrand-Duopol: Dort liegen strategische Kopleente vor, da p, wenn p! Daraus ergibt sich tendenziell ein geringerer Anreiz für Investitionen. p B A R (p ) f Beispiel : Strategische Managerentlohnung in Stufen Gegeben: Mengenduopol it der PAF: ( ) = 4 und der Kostenfuntion K( ) = + p 6 5 i Die Eigentüer von U legen die Entlohnung des Manageents beobachtbar in Abhängigeit von Gewinn und Erlös (E) fest:
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 7 ( λ) [ ] ( λ) w = λπ + E + wfi w = λ E K + E+ wfi w = λe λk+ E λe+ wfi w = E λk + wfi it λ { 0,} wobei für Manageent verhält sich wie Eigentüer 0 Manageent verhält sich aggressiv, nur a Usatz, nicht an den Kosten orientiert wfi ist ein Lohnsatz, so dass (, ) * * 0 =w = onstant eistiert. Das Manageent von U it U legt anschließend siultan die Mengen, fest (nur U hat einen erfolgsabhängigen Vertrag für das Manageent): { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π λ, λ = 4 λ + λ λ 6 λ 5 (,, λ) ( ) λ ( ) w = p 443 K + wfi E ( ) ( ) w,, λ = 4 + λ 6 5λ + wfi ( ) ( ) π, = 4 + 6 5 Da das Spiel rücwärts gelöst wird, bestien wir zunächst die Optial- Lösung noch in Abhängigeit von λ und anschließend das optialeλ. Das Manageent strebt nach aialer Entlohnung und hat als Ationsvariable : w! = 4 6λ = 0 = 4 6 λ : = 3 λ
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 7 U verhält sich wie ein typischer Cournot-Duopolist: π! = 4 6 = 0 = 4 6 : = 3 Gegenseitiges Einsetzen der Lösungen für und ergibt die GG-Lösungen: = λ λ 3 3 = 4 + + 3 6 = + 6 + 3λ 4 = + + 6λ 3 = + 6λ * = 4+ λ Eingesetzt in die o. Lösung für ergibt das: = ( 4 + λ) 3λ = 4 4 λ 6λ = 0 8λ * = 0 4 λ Schließlich sucht der Eigentüer jenes λ, welches seinen Gewinn π aiiert: { ( ) ( ) ( ) } ( ) π = 4 0 4λ + 4 + λ 0 4λ 6 0 4λ 5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) π = 4 0 4λ 0 4λ 4 + λ 0 4λ 4444443 6 0 4λ 5 40 6λ + 0λ 8 λ
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 73 π = λ + λ λ λ + λ 40 96 00 80 6 40 4 8 65 + 4 λ π = 35 + 4λ 8λ Gesucht ist also: π! = 4 6λ = 0 λ λ = 4 Dieser Wert der in Wirlicheit von den Eigentüern in der. Stufe des Spiels festgelegt werden uss wird analytisch denach a Ende der Lösung erittelt. Für önnen wir jetzt die epliziten GG-Mengen berechnen: * = 4+ λ = 4+ 0,5 = 4,5 λ * = 0 4 = 0 = 9 Diese Lösungen entsprechen den Stacelberg-Lösungen i Mengenduopol!
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 74 Beispiel 3: Delegation an einen onservativen Zentralbaner Zentralbaner werden betrügen, u den Verlust zu iniieren führt aber zu Glaubwürdigeitsverlust und dait langfristig zu höheren sozialen Kosten Suche nach eine Zentralbaner, der die erwarteten Verluste iniiert () Z = ( π π ) + b( U U ) π * Zielinflationsrate, i.d.r. Null * n i b i Präferenz für Beschäftigungsaßnahen, i {,...,,...,,..., n} = it = Zentralbaner, = Medianwähler, n = Anzahl der Wirtschaftssubjete () n e U = U a( π π ) + ε ε Angebotsschoc (Ölrise, Missernte, Finanzartrise) Var( ε ) = σ (3) E( ε ) = 0 und () in () * (4) ( ) n e Z = ( π π ) + bi U a( π π ) + ε ε n (5) Δ= ( U ) inflatorischer Bias, 0 < < (6) π * = 0 (7) Z = π + b ( Δ a( π π ) + ε) e i
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 75 Disretionäre Miniierung der Verlustfuntion durch einen Zentralbaner ():! Z e (8) π b ( a( π π ) ε)( a) 0 π = + Δ + = (9) π e = ab ( ) Δ+ a ab π + + ε Politi bei unbeannten Erwartungen Rationale Erwartungen der Privaten: (0) e π = π und E[ ε ] = 0 (0) in (9) und Auflösen nach π e : () e π = Δ Erwartung der Privaten bei ab () in (9): () π = ab Δ+ Δ+ ( + ab) ( a b ε ) (3) ab a b ab ε π = + ( ) ( ab) ( + ) Δ + ab + abε (4) π = ab Δ+ ( + ab) Inflationsrate bei, wobei b noch unbeannt e abε ab (5) π π = abδ+ ab Δ = ε ( + ab) ( + ab) Die Verlustfuntion der Regierung (bzw. des Medianwählers) beträgt dann () und (9) in (7): (6) (7) abε a b = Δ+ + Δ ε + ε ( + ab) ( + ab) Z ab b abε a b = Δ+ + Δ+ + ab + Z ab b ε ( ) ( ab)
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 76 (8) (9) abε a b + a b = Δ+ + Δ+ ( + ab) ( + ab) Z ab b ε abε Z = abδ+ b + Δ+ ε ( + ab) ( + ab) Die Regierung wird einen Zentralbaner wählen, der die erwarteten Verluste, E[Z ], iniiert. Für den erwarteten Verlust gilt: (0) [ ] E Z = a b Δ + ab σ + b Δ + b σ ε ε + ab + ab () E[ Z ] [ ]! E Z in = 0 b b Nach Ableiten und Uforen (siehe Eurs) ergibt sich: ()! b b Δ = > 0 3 b a b σ ε ( + ) strutureller (inflationärer) Bias Varianz der Angebotsschocs Da Δ > 0 wird die Regierung stets einen relativ onservativen Zentralbaner σ ε (b <b ) wählen! Für σ, resp. Δ 0, ergibt Delegation einen Sinn. Je leiner b ist, uso flacher sind die Isoostenlinien! ε
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 77 Graphische Lösung: π ~f ( ) ε,π e π t C π c B ~f ( ε,π e ) π t π c C f r π = π = c, an π = 0 Z t Z c B` B U n e, U=U a( π π ) + ε π e Δ = ab Z t Z c b< b n e U=U a( π π ) + ε π e = 0 U n U n
3 Lösungsansätze für dynaische Spiele 78 Eurs: Herleitung des Erwartungswertes: () () ab Z = abδ+ ε b + Δ+ ε + ab + ab E ab ab [ Z ] = a b Δ + ab ΔE[] ε + E[ ε ] + b Δ + a + + a b b Δb E + a wobei E[ε] = 0 und [ ] [] [] ε + b E[ ε ] + a σ ε = E ε E ε E ε = σ ε =o b b (3) [ ] E Z = a b Δ + ab σ + b Δ + b σ ε ε + ab + ab Herleitung der Ableitung des Erwartungswertes: (4) (5) (6) (7) (8) E Z [ ] ( ab + ) = abδ + b a b ( ab) a a b a b 3 σ ε + +! a + b 0 σ ε = + ab + ( ab) ( + ) a b ( + ab) ( + ab) ab Δ ab ab ab + = 0 : 4! 3 3 σ ε Δ! = σ ε b b ab ab ( + ) ( + ) b 3 3 Δ = 3 3 σ ε b a b b a b b ( + ) ( + ) b b Δ! = 3 > σ ε b ( + a b) 0 a b : σ ε