Kapitel 5 Teilchen im elektromagnetischen Feld Ausgearbeitet von Klaus Henrich, Mathias Dubke und Thomas Herwig Der erste Schritt zur Lösung eines quantenmechanischen Problems ist gewöhnlich das Aufstellen des Hamiltonoperators. Im ersten Abschnitt wird dieses Problem für ein geladenes Punktteilchen im elektromagnetischen Feld durchgeführt. 5.1 Der Hamiltonoperator Um ein Teilchen im elektromagnetischen Feld beschreiben zu können, benötigen wir zuerst die Gleichungen für das Feld. Dies sind die vier Maxwell schen Gleichungen wir beschränken uns auf ein Teilchen im Vakuum u = ɛ = 1. Dabei benutzen wir die Gauß schen Einheiten. Diese sind unter anderem durch den Proportionalitätsfaktor 1 im Coulomb schen Gesetz F = q 1 q 2 r 2 12 und durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit c elektromagnetischer Wellen im Vakuum bestimmt. Die Maxwell schen Gleichungen: 1. Die Quelle des elektrischen Feldes ist die Ladungsdichte: ˆ r 12 2. Induktionsgesetz: div E = 4πρ Coulombgleichung rot E = 1 c t B Faradaygleichung 3. rot B = 4π c j + 1 c t E Ampere-Maxwell-Gleichung wobei 1 c 4π t E der Maxwell sche Verschiebungsstrom ist. 4. Es gibt keine isolierte magnetische Monopole: div B = 0 109
Aus Gleichung 4 folgt, dass das Magnetfeld als Rotation eines Vektorpotentials A geschrieben werden kann: B = rot A Setzt man das in die Faradaygleichung ein, so erhält man: Daraus wiederum folgt, dass sich E + 1 c rot E + 1 c A t = 0 t A als Gradient eines skalaren Potentials Ψ darstellen lässt: E + 1 c t A = gradψ E = gradψ 1 c Durch Einführung des Vektorpotentials A und des Skalarpotentials Ψ können wir in der Elektrodynamik das elektrische und das magnetische Feld eindeutig bestimmen. Die Potentiale sind jedoch bei gegebenen Feldern nicht eindeutig. Sie können noch mit Hilfe eines stetig differenzierbaren reellen Skalarfeldes wie folgt umgeeicht werden: t A B bleibt unverändert wegen rot gradλ = 0. A = A + gradλ E bleibt unverändert, denn: Ψ = Ψ 1 c t Λ E = gradψ 1 A c t gradψ + 1c grad t Λ = = gradψ 1 c t A = E 1 c t A 1 c t gradλ Wenn Λ r, t gerade so gewählt ist, dass div A = 0, so nennt man diese Umeichung Coulomb-Eichung. Bemerkung: Auch durch die Coulomb-Eichung wird A noch nicht eindeutig festgelegt. Die Newton sche Bewegungsgleichung für ein Punktteilchen mit der Ladung q im elektromagnetischen Feld lautet: m r = q E + q c r B Der Übergang zur Quantenmechanik führt aber über die Hamilton sche Formulierung der klassischen Mechanik. Es soll nun gezeigt werden, dass sich diese Bewegungsgleichung aus der Hamilton-Funktion 2 H p, r = 1 p A q 2m c + q Ψ 110
ableiten lässt. Mit den Hamilton schen Bewegungsgleichungen wird: Man berechnet nun: ẋ i = 1 m ṗ i = 1 m ẋ i = H p i und ṗ i = H x i p i q c A i p q c A = q c r A x i q x i Ψ und q c A q Ψ x i x i mẍ i = m d H dt p i A = A rt, t d dt A = j A dx j + A x j dt t wird: ẍ i = d H = 1 ṗ i q dt p i m c j = 1 ṗ i q r A i + A i m c t A i dx j x j dt + A i t Setzt man nun hier den verallgemeinerten Impuls p i mit ṗ i = H x i ein, so ergibt sich für mẍ i : Daraus ergibt sich mit mẍ i = q x i Ψ 1 c A i t + q c r A r A x i i und der Relation genau die Newton sche Bewegungsgleichung: Die Relation [ r rot A] i = r x i E = Ψ 1 c B = rot A t A [ ] r rot A = r A x x r A x mẍ i = q E i + q c r B i A r Ai sei noch verifiziert aus 111
a b c = b a c a b c folgt: Hierin wirkt i nun auf A und nicht auf r: r A = i r A r A i i r A = r A r i x A i q.e.d. i Um größere Allgemeinheit zu erreichen, fügen wir der Hamilton-Funktion H noch ein Potential U r hinzu, das z.b. Kernkräfte oder schwache Wechselwirkung repräsentieren kann: 2 H p, r = 1 p A q 2m c + q Ψ + U r U r Bereich des Coulombpotentials Protonen r Bereich des Kernpotentials Abb. 5.1: p ist in dieser Gleichung der generalisierte Impuls und stimmt nicht mit dem überein, was wir gewöhnlich Impuls nennen. Da aber p Impuls im Sinne der Hamilton-Mechnaik ist und wir beim Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik immer über die Hamilton sche Formulierung gehen, setzen wir auch diesmal zur Ortsdarstellung des Hamiltonoperators Ĥ für p den Operator p = i ein: Ĥ = 1 2m p2 q p A 2mc + A p + q2 2mc 2 A 2 + q Ψ + U r Dabei haben wir beachtet, dass p und A r, t im Allgemeinen nicht vertauschen. Wegen Aψ = A ψ + A ψ worin wegen der Coulomb-Eichung A = 0 gilt: Ĥ = p2 2m q 2mc 2 A p + q2 2mc 2 A 2 + q Ψ + U Das Problem ist nun, dass Ĥ nicht eindeutig gegenüber Eichtransformation bestimmt ist. Ersetzt man daher in Ĥ 112
A durch A = A + Λ 1 Λ und Ψ durch Ψ = Ψ c t dann gilt für den neuen Operator Ĥ: Wenn H Ψ Ψ = E Ψ dann H Ψ = E Ψ mit = Ψ e iq c Λ r,t Berechnet man hiermit nun die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ρ r, t = ψψ fällt der Phasenvektor in ψ wieder heraus. Nicht auf Anhieb sieht man dem Wahrscheinlichkeitsstrom j an, dass er invariant gegenüber Eichtransformationen der elektromagnetischen Potential ist. Tatsächlich findet man, dass sich der Strom j = ψ ψ ψ ψ ändert, wenn man zu ψ übergeht. Für ein Teilchen im Magnetfeld erhält man nämlich wegen des veränderten Hamiltonoperators eine andere Wahrscheinlichkeitsstromdichte als die Obige, die wir im 2. Kapitel für geschwindigkeitsunabhängige Potentiale berechnet hatten. Wir gehen analog vor: Multiplizieren wir die Schrödinger-Gleichung { i t ψ = p 2 2m } q A mc p + q2 2mc 2 A 2 ψ mit ψ, ihr konjugiert Komplexes mit ψ, so erhalten wir: iψ p2 ψ = ψ t 2m ψ ψ iψ t ψ = ψ p2 2m ψ + ψ q A p mc q mc A p ψ + q2 2mc 2 A 2 ψ ψ ψ + q2 2mc A 2 ψ ψ Wir haben die geschwindigkeitsunabhängigen Potentiale Ψ und U weggelassen; sie haben ohnehin keinen Einfluss auf den Strom. Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, so findet man: i t ψ ψ = 2 2m ψ ψ ψ ψ + i q mc { t ρ + div ψ ψ ψ ψ [ψ A ψ + ψ } q Aψ mc ψ = 0 ] A ψ In Übereinstimmung mit unserer früheren Definition für j werden wir also im Magnetfeld definieren: j = ψ ψ ψ ψ q mc Ap Führen wir nun eine Eichtransformation 113
B ψ ψ = ψ e iq c Λ A A = A + Λ durch, so erhalten wir und entsprechend: ψ ψ = ψ ψ iq c Λ + e iq c Λ ψ = ρ iq c Λ + ψ ψ Das liefert uns: ψ ψ = ρ iq c Λ + ψ ψ j = = = = = j ψ ψ ψ ψ q A ρ mc ψ ψ ψ ψ + iq Λ c 2ρ q A + Λ mc ρ ψ ψ ψ ψ + q Λ mc ρ q A mc q Λ mc ρ ψ ψ ψ ψ q mc Aρ Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für den Ort des Teilchens und die Stromdichte bleiben bei Eichtransformationen unverändert. In ähnlicher Weise bleiben auch die anderen Observablen die gleichen. In der Kern- und Elementarteilchen-Physik benutzt man diese Eichvarianz, um Erhaltungssätze zu beweisen. Wenn man z.b. eine Wellenfunktion hat, die eine bestimmte Größe nicht erhält, so kann man Λ r, t und ähnliche Eichfunktionen benutzen, die Erhaltungsgrößen wir Ladungen, Drehimpuls, Teilchenzahl etc. herauszuprojizieren. Mit Hilfe der Eichinvarianzen kann man also Projektionsoperatoren konstruieren. Wir wenden das Gelernte nun an einem einfachen Beispiel an. 5.2 Elektron im homogenen Magnetfeld q = e Ladung des Elektrons B = 0, 0, B homogenes Magnetfeld nur in z-richtung Bemerkung: Auf eine wichtige Eigenschaft des Elektrons - den Spin - werden wir erst im nächsten Kapitel eingehen. Genau genommen betrachten wir hier also nur die Bewegung eines Teilchens mit der Ladung q = e im homogenen Magnetfeld. Unter Benutzung der Coulomb-Eichung div A = 0 beschaffen wir uns ein Vektorpotential A. Dies ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da sowohl 114
A 1 = B y, 0, 0 als auch A 2 = B2 y, B2 x, 0 die Bedingung div A = 0 erfüllen; d.h. beide Vektorpotentiale sind Coulomb-geeicht. Außerdem wird B durch beide repräsentiert, denn rot A 1 = rot A 2 = 0, 0, B. In den folgenden Rechnungen benutzen wir jedoch aus Einfachheitsgründen nur das Vektorpotential A = A 1 = B y, 0, 0 und schreiben hierfür den Hamiltonoperator hin. Aus wird dann: Ĥ = ˆp2 2m + e A mc p + e2 2mc 2 A 2 Nun ist die Schrödinger-Gleichung Ĥ = 2 2m e imc B y x + e2 2mc 2 B2 y 2 Ĥ ψ r = E ψ r zu lösen. y kommt als einzige der drei Richtungen explizit vor. Daher liegt ein Separationssatz nahe x und z kommen nur in Form von Ableitungsoperatoren vor, daher komplexe Exponentialfunktion: ψx, y, z = e iαx+βz ϕy Anwendung von ˆp x auf ψ liefert uns die Bedeutung der Konstanten α: ˆp x ψ = α ψ α = p x ebenso β = p z Einsetzen von ψ in die Schrödinger-Gleichung und Division durch e iαx+βz gibt uns folgende Differentialgleichung für ϕy: { } 2 α 2 + 2 2m y 2 β2 e mc α B y + e2 B 2 2mc 2 y2 ϕy = E ϕy Bemerkung: Wir erwarten für die Bewegung eine Schraubenlinie in z-richtung. In unserer Rechnung scheinen jedoch x und y vollkommen unsymmetrisch aufzutreten. Das liegt daran, dass wir den generalisierten Impuls betrachtet haben. Mit dem gewöhnlichen Impuls geschrieben, sähe die Gleichung symmetrisch bezüglich x und y aus. Da wir in z-richtung ein freies Teilchen erwarten, trennen wir die Energie in z-richtung E kin z = 2 2m β2 115
ab und definieren als neue Energie: Wenn wir nun noch substituieren ɛ = E 2 2m β2 η = y α c eb können wir die Schrödinger-Gleichung auf die Form der Oszillatorgleichung bringen: [ 2 ] 2 2 2m η 2 + 1 eb 2m c η φn = ɛ φη [... ] ist genau der Hamilton-Operator eines linearen harmonischen Oszillators. Daraus ergibt sich mit der Oszillatorfrequenz die Gleichung: ω 0 = eb mc [ ] 2 2 2m η 2 + 1 2 m ω2 0 η2 φη = ɛ φη die bekannte Form der Oszillatorgleichung. Die Lösung kennen wir: ɛ n = ω 0 n + 1 2 n = 0, 1, 2,... beziehungsweise: E n = ω 0 n + 1 2 + p2 z 2m Energie eines Elektrons im Magnetfeld p 2 z 2m Setzen wir ω 0 wieder ein = kinetische Energie in z-richtung und erinnern wir uns an das Bohr sche Magneton E n = e mc B n + 1 + p2 z 2 2m so folgt: µ b = e 2mc E n = µ B 2n + 1 B + p2 z 2m So können wir den ersten Term als potentielle Energie eines Kreisstromes mit dem magnetischen Moment 116
M = µ B 2n + 1 e z auffassen. Damit gilt dann: E n = M B + p2 z 2m Diese Quantisierung des magnetischen Moments bzw. der Energie wurde 1961 bei der Supraleitfähigkeit experimentell nachgewiesen. Um zu sehen, ob die Erwartung einer Schraubenlinie realistisch war, bilden wir einmal den mittleren kinetischen Impuls in x-richtung: m ẋ = p x + e A c x = α e c B ȳ ȳ = yη = 0 = c α Ruhelage des Oszillators eb m ẋ = α α m ẋ = 0 Das Teilchen hat also - wie erwartet - im Mittel keinen Impuls in x-richtung. 117