Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016

Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen 3 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Mächtigkeit einer Menge Unter der Mächtigkeit M einer (endlichen) Menge M versteht man die Anzahl der in M enthaltenen Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge wird auch als Kardinalität bezeichnet. Für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge schreibt man häufig. Beispiele: { } A = 11, 13, 17, 19 A = 4 { } B =..., 4, 2, 0, 2, 4,... B = 4 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Vergleichen von Mengen I Mengen können miteinander verglichen werden. Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Es ist außerdem möglich, dass A und B identisch sind. Sprechweise: A ist eine Teilmenge von B. Gleichheit: A = B Die Mengen A und B sind identisch. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl A B als auch B A gilt. Sprechweise: A ist gleich B. 5 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Vergleichen von Mengen II strenge Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Die Mengen A und B sind jedoch nicht identisch. Jedes Element a A ist folglich in B enthalten, es gibt jedoch mindestens ein Element b B, dass nicht in der Menge A enthalten ist. Sprechweise: A ist eine echte Teilmenge von B. Trifft keine der genannten Eigenschaften zu, so sind die Mengen unvergleichbar. 6 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Operationen auf Mengen I Vereinigung: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder in der Menge A, in der Menge B oder in beiden Mengen vorkommen: A B = {x } x A oder x B. Die Vereinigungsmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 oder x A 2 oder... oder x A n }. 7 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Operationen auf Mengen II Schnitt: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen: { A B = x } x A und x B. Die Schnittmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 und x A 2 und... und x A n }. 8 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Operationen auf Mengen III Exklusion: A \ B In der Menge A \ B sind alle Elemente enthalten, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B vorkommen: A \ B = {x } x A und x / B. Symmetrische Differenz: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder nur in der Menge A oder nur in der Menge B vorkommen: ( ) ( ) A B = A \ B B \ A. 9 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Operationen auf Mengen IV Potenzmenge: P(A) Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen der Menge A. Enthält die Menge A insgesamt A = n Elemente, so enthält die Potenzmenge P(A) insgesamt P(A) = 2 A = 2 n Elemente. 10 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Operationen auf Mengen V Beispiel: Es seien die Mengen A = { 1, 2, 3 } und B = { 2, 3, 4 } gegeben. Dann gilt: { } A B = 1, 2, 3, 4 { } A B = 2, 3 { } A \ B = 1 { } A B = 1, 4 P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 }} 11 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Operationen auf Mengen VI Es seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B = (a, b) } a A und b B. Es seien A, B und C drei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B C = (a, b, c) } a A, b B und c C. Analog definiert man das kartesische Produkt für eine beliebige Anzahl von Mengen M 1,..., M n : M 1... M n = {(m 1,..., m n ) } m 1 M 1,..., m n M n. 12 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mengen Aufgabe 1 Es sei M = { 1, 2 }. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Welche sind falsch? (i) 1 P(M) (vi) (ii) 2 P(M) (vii) { {1}, {2} } P(P(M)) { {1}, {2} } P(M) (iii) (iv) (v) { 1, 2 } P(M) (viii) { (1, 2) } P(M) { } 15 ( ) 16 1, 2 P(M) (ix) P(P(M)) = 2 + i i=1 { } 3 ( ) 4 1, {1} P(M) (x) P(P(M)) = 2 + i i=1 13 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Wahrheitswerte 14 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen I A und B seien Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Konjunktion: A B Die Aussage A B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist. Disjunktion: A B Die Aussage A B ist wahr, wenn entweder A oder B wahr ist; oder natürlich auch beide. 15 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen II A und B seien Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Implikation: A B Die Aussage A B bedeutet, dass immer, wenn A wahr ist, auch B wahr ist. ( B folgt aus A. ) Biimplikation: A B Die Aussage A B bedeutet, dass immer, wenn A wahr ist, auch B wahr ist und umgekehrt. ( genau dann wenn ) 16 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen III A sei eine Aussage, die entweder wahr oder falsch sein kann. Negation: A Die Aussage A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. 17 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Wahrheitswerte Aufgabe 2 Es seien A und B zwei Wahrheitswerte. Zeige mithilfe einer Wahrheitstafel, dass es sich bei A B und (A B) ( A B) um zwei äquivalente Aussagen handelt. 18 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen 19 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Definition I Bei einer n-stelligen Relation handelt es sich um eine Teilmenge des kartesischen Produkts der Mengen A 1,..., A n. Die Mengen A 1,..., A n müssen hierbei nicht verschieden sein. Bei einer binären oder zweistelligen Relation handelt es sich um eine Teilmenge R A 1 A 2. Bei einer ternären oder dreistelligen Relation handelt es sich um eine Teilmenge R A 1 A 2 A 3. 20 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Definition II Relationen können auf verschiedene Arten dargestellt werden, z.b. als Menge, als gerichtete Graphen oder mithilfe von Matrizen. Es sei A = { 1, 2, 3, 4 } eine Menge und R A A eine Relation über A: { R = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), } (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3) 21 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Eigenschaften von Relationen I Es sei R eine Relation über einer Menge A. Die Relation ist symmetrisch, falls gilt: a, b A : (a, b) R (b, a) R. nicht symmetrisch, falls gilt: a, b A : (a, b) R (b, a) R. antisymmetrisch, falls gilt: a, b A, a b : (a, b) R (b, a) R. nicht antisymmetrisch, falls gilt: a, b A, a b : (a, b) R (b, a) R. 22 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Eigenschaften von Relationen II Es sei R eine Relation über einer Menge A. Die Relation ist reflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. nicht reflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. irreflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. nicht irreflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. 23 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Eigenschaften von Relationen III Es sei R eine Relation über einer Menge A. Die Relation ist transitiv, falls gilt: a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R. intransitiv, falls gilt: a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R. antitransitiv, falls gilt: a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R. 24 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Aufgabe 3 Es sei R die folgende auf der Menge A = { a, b, c, d } definierte Relation: { } R = (a, a), (a, b), (b, b), (c, a), (d, a), (b, a), (a, d), (d, d). Entscheide, welche der folgenden Eigenschaften auf die Relation zutreffen. Gib jeweils eine kurze Begründung. (i) symmetrisch (ii) antisymmetrisch (iii) reflexiv (iv) irreflexiv (v) transitiv 25 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Aufgabe 4 Es sei A = { 1, 2, 3, 4 }. a) Gib eine Relation R a über der Menge A an, die reflexiv, aber nicht transitiv ist. b) Gib eine Relation R b über der Menge A an, die symmetrisch, transitiv und nicht irreflexiv ist. c) Gib eine Relation R c über der Menge A an, die irreflexiv und weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist. Dabei soll R c 5 gelten. d) Gib eine Relation R d über der Menge A an, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist. 26 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Aufgabe 5 Es seien A = { 1, 2, 3, 4 } und B = { a, b, c, d, e, f } zwei Mengen. a) Wie viele binäre Relationen R a über der Menge A gibt es? b) Wie viele ternäre Relationen R b A B A gibt es? c) Wie viele der Relationen aus a) sind reflexiv? d) Wie viele der Relationen aus a) sind symmetrisch? 27 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Äquivalenzrelation I Man nennt eine Relation R über einer Menge A eine Äquivalenzrelation, falls gilt: R ist symmetrisch, reflexiv und transitiv. 28 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Äquivalenzrelation II Zu jeder Äquivalenzrelation gehört eine eindeutig bestimmte Partition, die die Menge A in disjunkte Teilmengen A 1,..., A n aufteilt, so dass gilt: A = A 1... A n A i A j = (für i j). Bei den Teilmengen A 1,..., A n handelt es sich um die Äquivalenzklassen der Relation. Stehen zwei Elemente in Relation, so sind sie in derselben Äquivalenzklasse. Elemente aus verschiedenen Äquivalenzklassen stehen niemals in Relation. 29 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Aufgabe 6 a) Auf der Menge Z sei eine Relation R erklärt durch (x, y) R xy 0. Ist R eine Äquivalenzrelation? b) Auf der Menge Z\ { 0 } sei eine Relation S erklärt durch (x, y) S xy > 0. Ist S eine Äquivalenzrelation? c) Falls bei a) oder b) eine Äquivalenzrelation vorliegt, so gebe man die zugehörigen Äquivalenzklassen an. 30 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Reflexive Hülle I Gegeben sei eine Relation R über einer Menge A. Falls R nicht reflexiv ist, so kann man R in eine reflexive Relation R überführen, indem man für alle a A das Paar (a, a) zu R hinzufügt: { } R = R (a, a) : a A. R ist hierbei die kleinste reflexive Relation, die R umfasst. Man bezeichnet R als reflexive Hülle von R. 31 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Reflexive Hülle II Relation R reflexive Hülle R 32 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Transitive Hülle I Gegeben sei eine Relation R über einer Menge A. Falls R nicht transitiv ist, so kann man R in eine transitive Relation R + überführen, indem man für a, b, c A mit (a, b) R und (b, c) R das Paar (a, c) zu R hinzufügt und dies solange wiederholt, bis keine weiteren Kanten mehr hinzugefügt werden können. { R + = R (a, b) : Es gibt n 2 und a 1,..., a n A mit a 1 = a, a n = b } und (a 1, a 2 ),..., (a n 1, a n ) R. R + ist hierbei die kleinste transitive Relation, die R umfasst. Man bezeichnet R + als transitive Hülle von R. 33 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Transitive Hülle II Relation R transitive Hülle R + 34 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Reflexive, transitive Hülle I Gegeben sei eine Relation R auf einer Menge A. Man nennt die Relation R = R + R die reflexive, transitive Hülle von R. Bei R handelt es sich um die kleinste reflexive und transitive Relation, die R umfasst. 35 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Relationen Reflexive, transitive Hülle II Relation R reflexive, transitive Hülle R 36 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik 37 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Definition Man nennt b einen Teiler von a und schreibt b a, falls es ein c gibt, für das a = b c gilt (für a, b, c Z). 38 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 7 Beweise die folgenden Aussagen: a) Gilt a b und b c, so gilt auch a c. b) Aus a 1 b 1 und a 2 b 2 folgt a 1 a 2 b 1 b 2. c) Aus a b 1 und a b 2 folgt für alle c 1, c 2 Z die Beziehung a (c 1 b 1 + c 2 b 2 ). 39 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 8 Was ist von der folgenden Aussage zu halten? Begründe deine Antwort! Aus a 1 b 1 und a 2 b 2 folgt a 1 + a 2 b 1 + b 2. 40 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 9 Wahr oder falsch? Gib jeweils eine kurze Begründung. a) 31 65 (mod 17) b) 42 23 (mod 11) c) 202 101 (mod 47) d) 147 312 (mod 3) e) 29 59 (mod 23) 41 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 10 Beweise die folgende Äquivalenz: a b (mod m) m ( a b ). 42 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Euklidischer Algorithmus I Gegeben seien zwei natürliche Zahlen a und b mit b a, deren größter gemeinsamer Teiler ggt(a, b) bestimmt werden soll. Hierzu wird zunächst eine Zerlegung mit Rest bestimmt, d.h., es werden ganze Zahlen q 1, r 1 mit 0 r 1 < b bestimmt, für die gilt: a = q 1 b + r 1. Die Grundidee des Euklidischen Algorithmus beruht auf der Tatsache, dass ggt(a, b) = ggt(b, r 1 ) gilt. Anstelle des größten gemeinsamen Teilers von a und b kann also auch der größte gemeinsame Teiler von r 0 = b und r 1 berechnet werden. Hierzu wird wieder eine Zerlegung mit Rest vorgenommmen: r 0 = q 2 r 1 + r 2. 43 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Euklidischer Algorithmus II Wie zuvor gilt ggt(r 0, r 1 ) = ggt(r 1, r 2 ) und somit auch ggt(a, b) = ggt(r 1, r 2 ). Dieses Verfahren wird nun solange wiederholt, bis der Rest 0 auftritt. r 1 = q 3 r 2 + r 3. r n 1 = q n+1 r n + 0 Die letzte Zeile bedeutet, dass r n 1 ein ganzzahliges Vielfaches von r n ist hieraus folgt direkt ggt(r n 1, r n ) = r n und somit ggt(a, b) = r n. 44 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 11 a) Entscheide, ob die Zahlen 224 und 613 teilerfremd sind. b) Finde Parameter s, t Z, so dass gilt: s 247 + t 312 = ggt (247, 312). 45 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 12 Es seien a, b Z zwei ganze Zahlen, für die die folgenden Zerlegungen mit Rest gegeben sind (für m, q a, q b, r a, r b Z mit 0 r a < m und 0 r b < m): a = q a m + r a b = q b m + r b. Beweise oder widerlege, dass die folgende Aussage gilt: a b r a r b (mod m). 46 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik 47 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Aufgabe 13 Es seien A = {a 1,..., a 7 } und B = {b 1,..., b 9 } zwei Mengen mit A = 7 und B = 9. a) Wie viele Abbildungen A B gibt es? b) Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv? c) Wie viele dieser Abbildungen sind surjektiv? d) Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv, wenn zudem f (a 1 ) = f (a 3 ) gelten soll? e) Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv, wenn zudem f (a 1 ) f (a 2 ) gelten soll? f) Wie viele Abbildungen gibt es, für die f (a 1 ) f (a 2 ) sowie f (a 1 ) f (a 3 ) gilt? 48 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Binomialkoeffizienten & Binomischer Lehrsatz Es gilt: ( ) n n! = k k! (n k)! ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k ( ) ( ) n n = k n k (explizite Formel) (Rekursionsformel) (Symmetrie) Binomischer Lehrsatz: (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i 49 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Pascalsches Dreieck I ( 6 0 ( 0 ( 1 ) 0) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ( 0 1 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( 0 1 2 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( 4 ( 0 1 2 3 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 4) ( 5 ) 0 ( 1 2 3 4 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) 5) ( 6 1 2 3 4 5 6). 50 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Pascalsches Dreieck II 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1. 51 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Aufgabe 14 a-c a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, im Lotto exakt 3 richtige Gewinnzahlen anzukreuzen? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, im Lotto mindestens 5 richtige Gewinnzahlen anzukreuzen? c) Welchen Koeffizienten besitzt a 6 b 3 in ( a + b ) 9? 52 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Aufgabe 14 d-g d) Wie viele sinnvolle oder sinnlose Wörter lassen sich aus den Buchstaben des Wortes RHABARBERBARBARA bilden? e) Für k, n N: Wie viele Möglichkeiten gibt es, insgesamt n nicht unterscheidbare Bonbons auf k Kinder zu verteilen? f) Für k, n N, n 2k: Wie viele Möglichkeiten gibt es, insgesamt n nicht unterscheidbare Bonbons auf k Kinder zu verteilen, so dass jedes Kind mindestens zwei Bonbons bekommt? g) Welchen Koeffizienten besitzt x 2 yz 5 w 5 in ( x + y + z + w ) 13? 53 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Aufgabe 15 Begründe, wieso eine n-elementige Menge M genau 2 n verschiedene Teilmengen besitzt. 54 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Elementare Kombinatorik Aufgabe 16 Zeige mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage gilt: n i=1 ( ) i = 1 ( ) n + 1. n 1 55 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Viel Erfolg bei der Bonusklausur :) 56 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016