Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Hinweise zu den nregungen zum Nchdenken und für eigene Untersuchungen zu 8.: zu 8.: Wenn die Dreiteilung des weißen Rechtecks durch vertikle Linien erfolgt, wchsen die rot und blu gefärbten Bereiche kontinuierlich zusmmen. zu 8.: bb. links: Ds usgngsqudrt wurde durch eine Digonle hlbiert und eine Häfte grün gefärbt, dnn ds nicht gefärbte gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck durch die Symmetriechse und eine Häfte gelb gefärbt. In den folgenden Schritten wurde jeweils ds nicht gefärbte Dreieck hlbiert und jeweils eines der Dreiecke bwechselnd gelb und grün gefärbt. Insgesmt ist dnn + + +... 8 6 grün und gelb + + +... + + +... grün Hierus folgt, dss zwei Drittel der Qudrtfläche grün gefärbt ist, ein Drittel gelb. 6 bb. Mitte: Im ersten Schritt wird ds usgngsqudrt durch die beiden Digonlen in vier gleichschenkligrechtwinklige Dreiecke unterteilt, von denen zwei Dreiecke grün gefärbt werden. Die beiden nderen Dreiecke werden jeweils durch die Symmetriechsen hlbiert, wovon eine Hälfte gelb gefärbt wird. usw. Hierus folgt wie bei der. bbildung, dss zwei Drittel der Qudrtfläche grün gefärbt ist, ein Drittel gelb. bb. rechts: Wie bei der bb. in der Mitte wird zunächst ds usgngsqudrt durch die beiden Digonlen in vier gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Die Färbung erfolgt ber in beiden Hälften jeweils entgegengesetzt. Dher ist die Qudrtfläche jeweils zur Hälfte grün bzw. gelb gefärbt. 8 zu 8.: Wird die Seitenlänge des Dreiecks mit bezeichnet, dnn gilt für den Flächeninhlt: ² h. bedeutet dher: ², lso, zu 8.: Kp. 8 Seite / 7
zu 8.6: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 D ds äußere Dreieck -ml so groß sein soll wie ds innere Dreieck, ist die Seitenlänge des inneren Dreiecks -ml so groß, lso ½-ml so groß wie die des äußeren Dreiecks. Mn zeichnet lso die drei äußeren symmetrischen Trpeze mit den prllelen Seiten der Länge und ½ und einem Bsiswinkel von 0. Die schrägen Schenkel der äußeren Trpeze sind hlb so lng wie der bstnd eines Eckpunkts vom Mittelpunkt des Dreiecks (dieser ist /-ml so lng wie die Höhe im gleichseitigen Dreieck, d. h. bei den äußeren Trpezen ist dies jeweils hlb so lng wie bei den nächst-äußeren Trpezen., bei den nächsten Trpezen entsprechend zu 8.7: Ein gleichseitiges Dreieck wird so in vier gleich große Teilflächen zerlegt, dss ußen drei kongruente Trpeze entstehen und innen wieder ein gleichseitiges Dreieck. D ds äußere Dreieck -ml so groß sein soll wie ds innere Dreieck, ist die Seitenlänge des inneren Dreiecks -ml so groß, lso ½-ml so groß wie die des äußeren Dreiecks. Ist die Seitenlänge des usgngsdreiecks, dnn hben die Trpeze im ersten Schritt Grundseiten mit der Länge s (unten und ½ + s (oben sowie zwei Schenkel mit der Länge s. D die Schenkel mit der unteren Grundseite einen Winkel von 60 bilden, gilt: ½ + s s, lso s 0,. Die untere Grundseite des Trpezes ht lso die Länge 0,8, die obere 0,7, die Schenkel 0,. zu 8.8: Im ersten Bild ist ein Qudrt zu sehen, ds in fünf gleich große Flächen usgeteilt ist. Wenn die Seitenlänge des Qudrts LE beträgt, ist der Flächeninhlt des Qudrts FE. Ds in der Mitte der Figur liegende Qudrt ht dnn eine Seitenlänge von 0, 7. Für die vier Rechtecke mit den Seitenlängen b und c gilt: b + c und b c /, lso b und dmit + c b + c + c c c c Dies führt uf die qudrtische Gleichung: c ² c + 0. Diese ht zwei positive Lösungen, nämlich c 0,76 bzw. c 0,76. Wegen b + c gilt dnn entsprechend: b 0,76 bzw. b 0,76 Für die im Qudrt mit der Seitenlänge 0, 7 eingeschlossenen vier Rechtecke und ds Qudrt in der Mitte gilt dnn: und für b bzw. c entsprechend: c 0,76 0,7 0,6 und b 0,76 0,7 0,6 Die Seitenlängen der nächsten Figur ergeben sich dnn jeweils durch Multipliktion mit dem Fktor 0,7. usw. Kp. 8 Seite / 7
zu 8.9: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Die untere Grundseite des usgngsqudrts wird im Verhältnis : : unterteilt. Ds linke und ds rechte Rechteck werden jeweils in der Mitte hlbiert und die so entstndenen vier gleichgroßen Rechtecke in vier Frben gefärbt. Ds nicht gefärbte mittlere Rechteck wird in der Höhe im Verhältnis : : unterteilt. Ds obere und ds untere Rechteck werden jeweils in der Mitte längs geteilt und die so entstndenen vier gleichgroßen Rechtecke in vier Frben (wie ihre Nchbrrechtecke gefärbt. Die beiden Schritte werden für ds übrig gebliebene, nicht gefärbte Qudrt in der Mitte wiederholt. zu 8.0: D ds äußere Qudrt -ml so groß sein soll wie ds innere Qudrt, ist die Seitenlänge des inneren Qudrts -ml so groß wie die des äußeren Qudrts. Die Trpeze hben lso Grundseiten der Längen und (c. 0,7. Die Höhe der Trpeze muss die Bedingung h + 0,7 + h erfüllen, lso h 0,76. Hierus folgt dss die Schenkel, die mit den beiden Grundseiten einen Winkel von bzw. bilden, eine Länge von s h 0,9 hben. zu 8.: D ds äußere Qudrt (mit Seitenlänge -ml so groß sein soll wie ds innere Qudrt, ist die Seitenlänge des inneren Qudrts -ml so groß wie die des äußeren Qudrts, lso c. 0,7. Dieses innen liegende Qudrt ht Digonlen, die hben lso eine Länge von c. 0,6. -ml so groß sind wie die Seite dieses Qudrts; sie Eine Unterteilung des usgngsqudrts knn dher wie folgt vorgenommen werden: Ds Qudrt wird zunächst durch die beiden Mittellinien in vier gleich große Qudrte unterteilt. Von der Mitte der Figur us trägt mn uf den Mittellinien jeweils eine hlbe Digonlenlänge, lso eine Strecke von 0,6 b. Die in den Ecken des usgngsqudrts liegenden vier Fünfecke hben lso zwei zueinnder senkrecht stehende Seiten der Länge 0,, zwei dzu senkrecht stehende Seiten der Länge 0, 0,6 0,8 sowie die Grundseite des inneren Qudrts mit einer Länge von 0,7. Zustz: Berechnung der Seitenlängen des regelmäßigen Fünfecks (. Möglichkeit D ds äußere Qudrt -ml so groß sein soll wie ds innere Qudrt, ist die Seitenlänge des inneren Qudrts -ml so groß wie die des äußeren Qudrts. Der Flächeninhlt eines regulären -Ecks mit Seitenlänge LE. berechnet sich wie folgt: h. Wegen bedeutet dies:,70 FE. tn(6 tn(6 Ds innen liegende Fünfeck ht dnn einen Flächeninhlt von tn(6 Dies ist uch der Flächeninhlt der fünf symmetrischen Trpeze. Diese Trpeze bestehen us einem Rechteck mit den Seitenlängen x ( obere Seite des Trpezes und y (Höhe des Trpezes und zwei rechtwinkligen Dreiecken mit den Ktheten y und z; die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks bildet zusmmen mit der oberen Trpezseite eine Grundseite des usgngs-fünfecks. Kp. 8 Seite / 7
Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Der Flächeninhlt eines Trpezes ergibt sich dher wie folgt: x y + z y ( x + z y D y ( x sin(7 und z ( x cos(7 gilt weiter: [ x + ( x cos(7 ] ( x sin(7 [ x + cos(7 x cos(7 ] ( sin(7 x Mit Rechnerhilfe muss dnn die Gleichung + ( x sin(7 tn(6 [ x cos(7 x cos(7 ] gelöst werden. Für x ergibt sich: x 0,78 und hierus y 0,07 und z 0,. Die Seitenlängen der nächsten Figur ergeben sich dnn jeweils durch Multipliktion mit dem Fktor 0,08. 6 zu 8.: Obere bbildungen: D der Rdius hlbiert wird, nimmt die (jeweils übrig bleibende gelb gefärbte Fläche ein Viertel der Gesmtfläche des chtecks ein, d. h., für die hellblu gefärbte Fläche des. Schritts gilt: chteck und entsprechend weiter für ds grün gefärbte chteck, ds drei Viertel der gelb gefärbten Restfläche einnimmt: chteck 6 chteck. Vor dem. Schritt ist ein Viertel von einem Viertel der chteckfläche noch gelb gefärbt. Im. Schritt wird dnn drei Viertel dvon dunkelgrün gefärbt: chteck chteck 6 6 6 Ncheinnder wird dnn + + +... + + +..., lso nch unendlich vielen Schritten die gesmte Fläche gefärbt. Untere bbildungen: D der Rdius gedrittelt wird, nimmt die (jeweils übrig bleibende gelb gefärbte Fläche ein Drittel der Gesmtfläche des chtecks ein, d. h., für die hellblu gefärbte Fläche des. Schritts gilt: chteck und entsprechend weiter für ds violett gefärbte chteck, ds zwei Drittel der gelb gefärbten Restfläche einnimmt: 6 chteck 9 chteck. Vor dem. Schritt ist ein Drittel von einem Drittel der chteckfläche noch gelb gefärbt. Im. Schritt wird dnn zwei Drittel dvon pink gefärbt: chteck chteck 7 9 7... Ncheinnder wird dnn + + + + + +, lso nch unendlich vielen Schritten die gesmte Fläche gefärbt. 9... Kp. 8 Seite / 7
zu 8.: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Dreiteilung des Kreises Der Flächeninhlt eines Kreisbschnitts berechnet sich us der Differenz des Flächeninhlts des Kreissektors und des unter der Sehne liegenden gleichschenkligen Dreiecks. Wegen sin( s/r und cos( h/r gilt: Kreisbsch nitt π r ² s h 80 π r ² r sin( r cos( r ² π sin( cos( 80 80 D die drei gefärbten Teile des Kreises jeweils den Flächeninhlt / π r² hben, ist die Gleichung π π sin( cos( 80 zu lösen. Diese Gleichung ht die Lösung 7,6. Hierus folgt: s,99 r und h 0,6 r. Wegen der Symmetrie der Figur gelten diese Mße uch für den unteren Kreisbschnitt. Die drei Schichten hben dher die Höhen 0,7 r und 0,0 r und 0,7 r. (Kontrollrechnung: Die Summe beträgt r. Vierteilung des Kreises Der Kreis wird durch einen Durchmesser in zwei Häften unterteilt. Hier muss nlog zu oben die Gleichung π π sin( cos( 80 gelöst werden. Hier ergibt sich 66,7 und hierus s,80 r und h 0,0 r. Die vier Schichten hben dher die Höhen 0,96 r und 0,0 r und 0,0 r und 0,96 r. Fünfteilung des Kreises nlog zu oben sind die Gleichungen π π sin( cos( 80 bzw. π π sin( cos( 80 zu lösen, um die Mße der obersten Schicht sowie die der beiden oberen Schichten zusmmen zu ermitteln: us 60, folgt: s,7 r und h 0,9 r. Und us 80,9 folgt: s,97 r und h 0,8 r. Dher hben die fünf Schichten des Kreises die Höhen: 0,08 r, 0, r, 0,6 r, 0, r und 0,08 r. Unterteilung des regelmäßigen Fünfecks Ein regelmäßiges -Eck mit Seitenlänge setzt sich us fünf symmetrischen Dreiecken zusmmen, die den Mittelpunkt des -Ecks gemeinsm hben. Die Höhen H dieser Dreiecke berechnen sich us tn(6 H, lso berechnet sich der Flächeninhlt H tn(6 des regelmäßigen -Ecks wie folgt: ²,70 ² tn(6 tn(6 Eck Der untere Teil des -Ecks ist ein Trpez, ds gebildet wird us drei Seiten des -Ecks und einer Digonle d. Diese Digonle d berechnet sich us der folgenden Figur: d + b + sin(8 ( + sin(8,68 Kp. 8 Seite / 7
Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 mn könnte sie uch mithilfe von d sin( berechnen. Die Höhe des Trpezes ist: h cos(8 0,9; dher berechnet sich der Flächeninhlt des Trpezes wie folgt: Trpez ( + d h ( + ( + sin(8 cos(8 ² cos(8 ( + sin(8,9 ² Ds Trpez ht ungefähr 7, % der Gesmtfläche des regelmäßigen -Ecks; dher muss beispielsweise die Hlbierungslinie des -Ecks unterhlb der Digonlen liegen. Hlbierung des Fünfecks (wird später benötigt Zeichnet mn eine Prllele zur Digonlen, dnn entsteht ein Trpez, dessen Flächeninhlt sich wie folgt berechnet: Teil y + x y ² k cos(8 + ² k² sin(8 cos(8 ² cos(8 k ( + k sin(8 Dbei berechnen sich die uftretenden Strecken gemäß Strhlenstz wie folgt: k y : h x : b Gesucht ist dnn derjenige Wert von k derrt, dss die folgende Gleichung erfüllt ist: ² cos(8 k ( + k sin(8 ² tn(6 Mithilfe beispielsweise eines Rechners findet mn die Lösung: k 0,77 und hiermit die Höhe des neuen Trpezes y k cos(8 0,70 Dreiteilung des Fünfecks Um die untere Teilungslinie zu bestimmen, muss mn entsprechend die Gleichung ² cos(8 k ( + k sin(8 ² tn(6 lösen; ls Lösung erhält mn k 0,0 und dmit y 0,9 Ebenso liegt noch die obere Teilungslinie unterhlb der Digonlen ² cos(8 k ( + k sin(8 ² tn(6 ls Lösung erhält mn diesml k 0,96 und dmit y 0,890 Vierteilung des Fünfecks Um die untere Teilungslinie zu bestimmen, muss mn entsprechend die Gleichung ² cos(8 k (+ k sin(8 ² tn(6 lösen; ls Lösung erhält mn k 0,0 und dmit y 0,8. Die zweite Teilungslinie von unten wurde ls Hlbierungslinie berechnet. Die obere Teilungslinie liegt oberhlb zur Grundseite prllel liegenden Digonle. Ds gleichschenklige Dreieck ht d ls Grundseite und Schenkel der Seitenlänge. Der Flächeninhlt des Dreiecks ergibt sich us den oben berechneten Flächeninhlten: Dreieck -Eck Trpez,70 ²,9 ² 0,76 ² Kp. 8 Seite 6 / 7
Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 D die Digonle die Länge d,68 ht, ergibt sich us dem Flächeninhlt eine Dreieckshöhe von 0,76/,68 0,88. D ds obere Viertel des Fünfecks einen Flächeninhlt von,70 ²/ 0,0 ² ht, ist lso ein nteil von 0,0/0,76 0,90 der oberhlb der Digonle liegenden Fläche gelb gefärbt. D ds gelb gefärbte Dreieck ähnlich ist zum Dreieck oberhlb der Digonle erhält mn für die Grundlinie des gelb gefärbten Dreiecks eine Länge von 0,90,68, 9 und für die Höhe eine Länge 0,90 0,88 0, 9. Unterteilung des regelmäßigen Sechsecks Ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge s setzt sich us sechs gleichseitigen Dreiecken zusmmen. Um ds 6-Eck in drei gleich große Streifen zu unterteilen, muss ein Rechteck in der Mitte gezeichnet werden, dessen Breite b gerde zweiml die Höhe der Teildreiecke des 6-Ecks und dessen Flächeninhlt gleich einem Drittel des Flächeninhlts des regelmäßigen 6-Ecks ist: s tn 0 b und ( 6 s² tn 0. ( Die Höhe x des mittleren Rechtecks ist dher gleich s² tn(0 s x b tn 0 ( s Um ein regelmäßiges 6-Eck in vier gleich große Streifen zu unterteilen, muss mn ein Rechteck in der Mitte zeichnen, dessen Breite b gerde zweiml die Höhe der o.. Teildreiecke des 6-Ecks und dessen Flächeninhlt gleich einem Viertel des Flächeninhlts des regelmäßigen 6-Ecks ist: s b und tn 0 ( 6 s² 8 tn 0. ( Die Höhe x des mittleren Rechtecks ist dher gleich x b s² 8 tn 0 ( tn(0 s 8 s Entsprechend verfährt mn einer größeren nzhl von Streifen: Bei Streifen ergibt sich nlog: x b s² 0 tn 0 ( tn(0 s 0 s (in ds mittlere Feld pssen lso drei Streifen. Kp. 8 Seite 7 / 7
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