Fachhochschule Ravensburg-Weingarten, Fachbereich Elektrotechnik und Informatik Klausur Mathematik 2, Teil Statistik und Finanzmathematik Lösungen Aufgaben (Punkte) 1. Für eine Voraussage der Bürgermeisterwahl einer großen Stadt soll das Wahlverhalten der Bürger durch Stichproben vorab analysiert werden. Die Anteile der Kandidaten Frau Abner, Herr Bols, Herr Christens und Herr Dost seien mit a, b, c bzw. d bezeichnet. Ein Meinungsforschungsinstitut gibt nun folgende Zahlen bekannt: a = 0,36; b = 0,22; c = 0,1; d = 0,3; Warum können diese Zahlen aus mathematischer Sicht nicht stimmen? (4) Die Summe der obigen Wahrscheinlichkeiten ergibt 1,08 > 1. Da die Ereignisse disjunkt sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen. Wahrscheinlichkeiten dürfen aber nur zwischen 0 und 1 liegen, hier würde die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bürger für irgendeinen der 4 Kandidaten stimmen würde, aber 1,08 sein, also gar keine gültige Wahrscheinlichkeit. Ändern Sie d so ab, dass die Angaben mathematisch korrekt werden. Mit d = 0,27 ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gerade 1. 2. Eine zufällig befragte Person gibt lautstark bekannt, dass sie niemals eine Frau als Bürgermeisterin wählen würde. Berechnen Sie mit der Formel von Bayes die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person Herrn Bols wählen würde. (8) Ereignis M = "Befragter wählt keine Frau" Ereignisse Abner (Bols, Christens bzw. Dost) = "Befragter wählt Frau Abner (Herrn Bols, Herrn Christens bzw. Herrn Dost)" Es gilt pm ( Abner ) = 0, da ein Befragter nicht gleichzeitig Frau Abner aber keine Frau wählen kann. Es gilt p( M Bols) = p( M Christens) = p( M Dost) = 1, da ein Befragter, der Herrn Bols, Herrn Christens oder Herrn Dost wählt, sicher einen Mann wählt. p( Bols M ) = pm ( Bols) b p( M Abner) a + p( M Bols) b + p( M Christens) c + p( M Dost) d 1 b 0,22 = = = 0,3437 0 a+ 1 b+ 1 c+ 1 d 0,64 3. Betrachten Sie nur die beiden Ereignisse: "Stimme für Frau Abner" und "Stimme nicht für Frau Abner". Die Zufallsvariable A ordnet dem ersten Ereignis eine 1 zu, dem zweiten eine 0. Damit ist A eine Bernoulli-Variable. Der Erwartungswert dieser Zufallsvariablen ist E(A) = a = 0,36. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 zufällig befragten Personen (wobei eine Person prinzipiell auch mehrfach befragt werden könnte) genau 3 angeben, für Frau Abner zu stimmen? Geben Sie auch die Formel an, nicht nur den berechneten Zahlenwert! () 10 3 7 10! 3 7 a (1 a) = 0,36 0, 64 = 0, 2462 3 3! 7! Wie nennt man diese Verteilung? Geometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung
Prüfung Mathematik 2, 19. Juli 2002, «Name» «Vorname», «MatrikelNr» -2- Poisson-Verteilung t-verteilung von Student Binomialverteilung Exponentialverteilung Gleichverteilung χ 2 -Verteilung 4. Herr Dost wirft nach dem Vorfall mit der falschen Statistik (siehe Aufgabe 1) dem Meinungsforschungsinstitut Wahlbeeinflussung zugunsten von Frau Abner vor. Er veranlasst eine Umfrage bei 1000 zufällig ausgewählten Personen. Davon antworten 337, dass sie Frau Abner wählen wollen. Kann die Hypothese a 0,36 bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,0 aufrecht erhalten werden, oder muss man der Alternative von Herrn Dost a < 0,36 folgen? Gehen Sie bei Ihrer Antwort davon aus, dass die Zufallsvariable 1 A= ( A1 + A2 + + A1000 ) nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd 1000 normalverteilt ist, wobei die A i Kopien der Zufallsvariablen A sind. Für den Erwartungswert und die Varianz gilt: E( A ) = a = 0,36 (zu testen) und Var( A ) = 0,00023. Um die Aufgabe zu lösen, dürfen Sie entweder die Tabelle der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung oder die Tabelle der Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit µ = 0,36 und σ = 0,00023 auf der letzten Seite benutzen. Es handelt sich hier um einen einseitigen Test. Die Testvariable A ist normalverteilt. Suche die Grenze g mit Φ ( g, µ = 0,36, σ = 0,00023) = 0,0. Ist das Stichprobenmittel als Realisierung von E( A ) kleiner als g, so liegt die Stichprobe im kritischen Bereich und muss verworfen werden. In der Tabelle liest man ab g =Φ 1 (0,0; µ = 0,36; σ = 0,00023) = 0,33. Das Stichprobenmittel ist 337/1000 = 0,337 > 0,33 = g. Damit wird die Hypothese angenommen. Andere Lösung mit Normierung auf Standardnormalverteilung: Es handelt sich hier um einen einseitigen Test. Die Zufallsvariable A ist normalverteilt mit µ = 0,36 und σ = 0,00023. Bilde daraus die normierte 1 1 Testvariable T : = ( A µ ) = ( 0,36) 6,938( 0,36) σ 0, 00023 A = A ; sie ist standardnormalverteilt. Suche die Grenze g mit Φ ( g, µ = 0, σ = 1) = 0,0. Ist das normierte Stichprobenmittel T( x) = 6,938( x 0,36) kleiner als g, so liegt die Stichprobe im kritischen Bereich und muss verworfen werden. In der Tabelle liest man ab 1 337 g =Φ (0,0; µ = ; σ = 1) = 1,6448. Das Stichprobenmittel x = = 0,337 1000 und das normierte Stichprobenmittel T( x ) = 6,938(0,337 0,36) = 1,166 > -1,6448 = g. Damit wird die Hypothese angenommen. (8). Ein Sparer kauft für 1000 Anteile an einem Aktienfond. Zusätzlich muss er beim Kauf % Ausgabeaufschlag (d. h. % Gebühren) bezahlen. Nach 7 Jahren verkauft er seine Anteile für 2000. Dabei fallen wiederum Gebühren von 1% an. () a) Wie viel Kapital muss der Sparer am Anfang einsetzen?
Prüfung Mathematik 2, 19. Juli 2002, «Name» «Vorname», «MatrikelNr» -3- Ausgabeaufschlag = 1000 * 0,0 = 70 eingesetztes Kapital = 1000 + 70 =170 Der Sparer muss 170 einsetzen. b) Wie viel Geld bekommt der Sparer am Ende? Endgebühren = 2000 * 0,01 = 20 Endkapital = 2000-20 = 2470 Der Sparer bekommt nach 7 Jahren 2470 ausbezahlt. c) Wie hoch ist der effektive Jahreszins, d. h. mit welchem Zinssatz müsste ein Sparvertrag verzinst werden (Zinseszins, jährlich nachschüssige Zinszahlungen), damit der Sparer bei gleichem Kapitaleinsatz das gleiche Ergebnis erzielt? 1 7 2470 i = 1 = 0, 0667. Der effektive Jahreszins beträgt 6,67%. 170 6. Ein mittelständisches Unternehmen hat für seinen DV-Bedarf für die nächsten Jahre zwei Alternativen. Alternative 1: Vergabe an ein externes Rechenzentrum Kosten pro Jahr jeweils zum Jahresbeginn 0000 Alternative 2: Eigene Lösung Kauf der Hardware und Software sofort für 30000 ; Kosten für einen zusätzlichen Mitarbeiter jährlich 40000 (Kosten sind bereits auf das Ende eines Jahres bezogen, auch wenn das Gehalt monatlich ausbezahlt wird); Wartungskosten für die Hard- und Software jährlich zu Ende des Jahres 000 Berechnen Sie nach der Kapitalwertmethode den Wert beider Alternativen nach Jahren mit einem Kalkulationszinssatz von 0,04. Welche Alternative ist günstiger? (10) Alternative 1: Alle Zahlungen werden verzinst und damit auf einen gemeinsamen Zeitpunkt bezogen. Die ersten 0000 werden mal verzinst, die zweiten nur noch 4 mal usw., die letzten nur noch 1 mal. Nach der Rentenformel für vorschüssige Ratenzahlungen ergibt sich j 1, 04 1 0000(1 + 0,04) = 0000 1,04 = 281648,77, d. h. ein Kapitalwert von 0,04 j= 1 281648,77. Alternative 2: Die 30000 Anschaffungskosten werden mal verzinst: K = 30000(1 + 0.04) = 36499,9 Pro Jahr fallen am Ende des Jahres 4000 regelmäßige Zahlungen an. Die ersten werden 4 mal verzinst, die zweiten nur noch 3 mal usw., die letzten nur noch 0 mal. Nach der Rentenformel für nachschüssige Ratenzahlungen ergibt sich 4 j 1, 04 1 4000(1 + 0,04) = 4000 = 243734,2 0,04 j= 0 Die verzinsten Anschaffungskosten und regelmäßigen Kosten werden zusammengezählt, es ergibt sich ein Kapitalwert von 36499,9 243734,2 = 280234,11 Da 280234,11 > 281648,77, ist der Kapitalwert von Alternative 2 größer und damit
Prüfung Mathematik 2, 19. Juli 2002, «Name» «Vorname», «MatrikelNr» -4- ist Alternative 2 günstiger, wenn auch nicht viel. Schon bei kleinen Änderungen der Randbedingungen kann man ein anderes Ergebnis erhalten.
Prüfung Mathematik 2, 19. Juli 2002, «Name» «Vorname», «MatrikelNr» -- x Φ 1 ( x, µ = 0, σ = 1) Φ 1 ( x, µ = 0,36, σ = 0,00023) 0,02-1,9996 0,3302 0,0-1,6448 0,33033 0,07-1,4393 0,338149 0,1-1,281 0,34047 0,12-1,103 0,34239 0,1-1,03643 0,344268 0,17-0,93489 0,34814 0,2-0,841621 0,34722 0,22-0,741 0,34834 0,2-0,67449 0,349762 0,27-0,9776 0,30927 0,3-0,24401 0,3204 0,32-0,43762 0,33112 0,3-0,3832 0,3411 0,37-0,318639 0,3163 0,4-0,23347 0,3614 0,42-0,189118 0,37129 0,4-0,12661 0,38093 0,47-0,0627068 0,39048 0, 0 0,36 0,2 0,0627068 0,36092 0, 0,12661 0,361907 0,7 0,189118 0,362871 0,6 0,23347 0,363846 0,62 0,318639 0,364837 0,6 0,3832 0,36849 0,67 0,43762 0,366888 0,7 0,24401 0,36796 0,72 0,9776 0,369073 0,7 0,67449 0,370238 0,77 0,741 0,371466 0,8 0,841621 0,37277 0,82 0,93489 0,374186 0,8 1,03643 0,37732 0,87 1,103 0,377461 0,9 1,281 0,37943 0,92 1,4393 0,38181 0,9 1,6448 0,384967 0,97 1,9996 0,3897