Formelsammlung Elektrotechnik von Sascha Spors V.3 /..96 Mathematische Formeln : arctan( b a Z a + jb Y arg(z ; arctan( b a arctan( b < a für a >, b <> +π für a <, b > π für a <, b < Z a + jb c + jd N Z Y Z a + b c + d N Z Z r e jϕ Y n Z n r e jψ mit ψ ϕ n + kπ n arg(z arg(n arg(z, k,,,n Z Z sin ϕ cos (ϕ π cos ϕ sin (ϕ + π cos(arctan a b b sin (ϕ " π sin ϕ cos (ϕ " π cos ϕ sin(arctan a b a e jϕ cos(ϕ + j sin(ϕ sin ϕ j (e jϕ e jϕ cos ϕ (e jϕ + e jϕ a + b a + b Physikalische Grundlagen Maxwellsche Gleichungen ε E da Q A E dr K B da A K B µ dr 3 ν " i ν Elektrisches Feld P ϕ(p E dr u P Magnetisches Feld φ B da A u dφ P P E dr ϕ(p ϕ(p P W q E dr P F q(e + v H B
Umrechnung Zeitbereich <-> Zeigerbereich u U cos(ωt + α ] U U e jα i(t i cos(ωt + β ] e jβ u(t arg(u, : arg( arg(u β α ( + (U + U Leistung P U R R Augenblicksleistung p ui U cos(α β + U cos(ωt + α + β komplexe Leistung P U Z Y P w + jp b Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung P w Re(P Re(Z Re(Y p P b m(p m(z m(y P s P Arbeit W p ui Leistung p dw Grundschaltungen Spannungs-/Stromteilerschaltung Z Ges Z Z Ges Z Z U Z Y Ges Y Y Y Ges Y Z U Z Z U Y U Z Y Y Z Z Seite --
erweiterte Spannungsteilerschaltung Z Ges Z ( + Z + Y Ges Y + Y + + Z + Y ( + Y + Y Z Z Z + Z Z + Y + Y Y + Y erweiterte Stromteilerschaltung Z Ges Z + Z + Y Ges U Z ( + Z + Z U + Y + U Y ( + Y + U Z3 Z Z Z + Z U Z + Z U Y Y + U Y Y + U Schwingkreis DG Reihenschwingkreis: ω LC : Q ω L R Güte Q ; d u c dτ τ ω t ω RC R Q R < ω L ω RC R C L + Q L C du c dτ + u c u (τ/ω im Reihenschwingkreis im Parallelschwingkreis Seite -3-
Bauteile Widerstand U R p Ri u R R V A Ω nduktivität Strom i ist stetig u L di Z jωl i i(t + L L Vs A H t t u(τdτ W L i i (t di p L i Kapazität Spannung u ist stetig i C du u u(t + t i(τdτ W C t C u u (t Z jωc Übertrager j ωc C Q U realer Übertrager Strom i und i sind stetig L L $ M M <> C As V F du p C u Windungen w,w u L di u M di + M di + L di U jωl + jωm jωm + jωl L U M jω(l L M L MU jω(l L M 3 Windungen w,w,w 3 u L di u M di u 3 M 3 di + M di + L di + M 3 di + M 3 di 3 + M 3 di 3 + L 3 di 3 U jωl + jωm +jωm 3 3 jωm + jωl + jωm 3 3 U 3 jωm 3 + jωm 3 +jωl 3 3 Seite -4-
festgekoppelter Übertrager Magnetisierungsstrom i m ist stetig Windungen w,w i m w i + w i M " L L ü U w w ü L L L kw L kw M kw w φk(w + w U jωw φ jωw φ n Windungen w,w,.,w n i m w i + w i + + w n i n M µν " L µ L ν L µ kw µ M µν kw µ w ν φk(w +..+w n n U µ jωw µ φ idealer Übertrager Windungen w,w i m w i + w i w w U w U H w U H w + w n Windungen w,w,.,w n i m w i + w i + + w n i n U µ w µ U H w + + w n n nn U H jωk M Gyrator g gu g U g g ideale Diode Leitet: u D, i D > Sperrt: i D, u D < Seite -5-
Zweitore mpedanzmatrix Z U z z z z z U z U z z Admittanzmatrix Y y y U y y y U y U y U y U Kettenmatrix A U a a a a : a U U a U a a Hybridmatrix H U h h h h h U a U h a ZT ist reziprok ] z z symetrisch ] z z z z ] y y ] y y y y ] det A ] h h Z reines RLCÜ ZT Zweitorverbindungen Reihenverbindung Kettenschaltung Parallelverbindung Z Z A A A Y Y Seite -6-
Differentialgleichungen DGL für Netzwerke mit einem Energiespeicher bei sprungförmiger Erregung y A + B e t / T mit T L R RC A y( 4 B y( A Laplace-Transformation F(p : 4 f : πj f e pt σ+j4 F(p e pt dp σ j4 (σconst > σ min, dp jdω Eigenschaften c f + c f s(at f(at B C c F (p + c F (p B C a F( p a s(t t f(t t B C e pt F(p e at s f B C F(p a t n s f B C ( n ( d dp n F(p s f (n B C p n F(p n 3 f (υ ( + p n ν υ Übertragungsfunktion und Einschwingvorgang Y(p H(p X(p y 4 h(τ x(t τ dτ Sprungantwort a a( 4 H( a( + H( 4 t a h(τ dτ mpulsantwort h h B C H(p h da Seite -7-
Nichtlineare Netzwerke Nichtlineare nduktivität Stromgesteuert: Φf L (i,t Flußgesteuert: i g L (Φ,t lin. Zeitvariant: Φ L i Energie: W L Φ(t Nichtlineare Kapazität g L (Φ dφ Φ(t u dφ u dφ Spannungsgesteuert: q f C (u,t Ladungsgesteuert: u g C (q,t lin. Zeitvariant: q C i i dq Energie: W C q(t g C (q dq q(t d f L (i,t di L di i dq d f C (u,t du C du di + f (i,t L + dl i du + f (u,t C + dc Lösung der DGL für NL-Netzwerke erster Ordnung bei Polygonzugapproximation u dy c y + c c, c const. y c + y(t c + c e c (t t c Systemtheorie Umwandlung von Differentialgleichungen in Zustandsgleichungen d q y q + α q d q y + + α dy q + α y β q d q x + + β dx q +β falls ein Term β q d q x q auftritt, Substitution y y β q x anwenden Erstes Verfahren dz α α α α 3 α q z + x y β β β β q z System in dieser Darstellung ist stets steuerbar (Steuerungsnormalform Seite -8-
Zweites Verfahren dz α α α α 3 α q z + α q α q α α q α α q β q β q β q 3 β x y z System in dieser Darstellung ist stets beobachtbar (Beobachtungsnormalform Lösung der Zustandsgleichungen t z φ(t t z(t + φ(t σbx(σ dσ t y Cz + Dx mit φ e At Berechnung von φ über Cayley-Hamilton-Theorem e At α E + α A +.. + α q A q e p µ t α + α p µ +.. + α q p µ q d ν υ e p t µ q α dp + α p µ +.. + α q p µ µ (für einfache Eigenwerte υ,,,r µ (für mehrfache Eigenwerte Berechnung von φ über Diagonalisierung von A e p t φ e At M e p t M (im Fall einfacher Eigenwerte für A F α α e p q t α α 3 α q ist M p p q p p q p q p qq (einfache EW te q det(pe F 3 α ν p ν υ + p q Seite -9-
Berechnung von φ über Laplace-Transformation φ e At ã (pe A Z(p (pe A z( + + (pe A BX(p Y(p C(pE A z( + + C(pE A B + D X(p Seite --