Übungsauffgaben zu LGSen und Gerradenscharren AUUFFGGAABBEE.. a) y z = 9 = = b) = = = d) y y z z = = 5 = e) y = = = 5 AUUFFGGAABBEE.. AUUFFGGAABBEE.. + + + = 7 = (Abitur 007) 5 = Wenden Sie den Gauss-Algorithmus an, wählen Sie dann = t und lösen Sie die übrigen beiden Gleichungen nach bzw. auf. a) y + = 0 5 y = b) 7 7 ( y) ( y) + =,8 =, AUUFFGGAABBEE.. Herr M. kauft 7 Tafeln Bitter- und 5 Tafeln Vollmilchschokolade für,90. Frau K. bezahl für Tafeln Bitter- und Tafeln Vollmilchschokolade 8,00. Wie viel kostet jede Sorte? AUUFFGGAABBEE..55 Frau Schmidt legt bei einer Bank Geldbeträge zu % bzw. % an und erhält dafür nach einem Jahr 600 Zinsen. Bei einer anderen Bank hätte sie bei % bzw. 5 % 0 mehr bekommen. Welche Kapitalien hat sie angelegt? AUUFFGGAABBEE..66 Von vier Zahlen ist die zweite um 6 größer als die erste und halb so groß wie die dritte. Die vierte Zahl ist so groß wie die erste und zweite zusammen. Wie heißen die vier Zahlen, wenn ihre Summe 8 beträgt? AUUFFGGAABBEE..77 Die Schüler in Peters Klasse stammen aus drei Jahrgängen. Der älteste Jahrgang enthält 8 Schüler weniger als der mittlere. Zum jüngsten Jahrgang gehören Schüler weniger als zu allen anderen zusammen. Wie viele Schüler sind in jedem Jahrgang? AUUFFGGAABBEE..88 Aus 80%-igem Alkohol und 6 %-igem Alkohol sollen Liter 76%-iger Alkohol gemischt werden. Wie viel benötigt man von jedem? AUUFFGGAABBEE..99 Für Düngeversuche sollen aus den drei Düngesorten I, II, III 0 kg Blumendünger gemischt werden, der 0 % Kalium, 5 % Stickstoff und 5 % Phosphor enthält. Welche Mengen werden benötigt? I II III Kalium 0 % 0 % 50 % Stickstoff 50 % 0 % 0 % Phosphor 0 % 50 % 0 %
AUUFFGGAABBEE..00 Der tägliche Nahrungsbedarf eines Erwachsenen beträgt pro kg Körpergewicht: 5g bis 6g Kohlenhydrate, etwa 0,9g Eiweiß und g Fett. Wie kann ein Erwachsener mit 75 kg Körpergewicht mit Kabeljau, Kartoffeln und Butter seinen täglichen Nahrungsbedarf decken? Rechne mit 00g Kohlenhydraten, 70g Eiweiß und 75g Fett. 00g Kabeljau: 6,5g Eiweiß, 0,g Fett, 0g Kohlenhydrate 00g Kartoffeln: g Eiweiß, 0,g Fett, 0,9g Kohlenhydrate 00g Butter: 0,8g Eiweiß, 8g Fett, 0,7g Kohlenhydrate AUUFFGGAABBEE.. Drei Personen spielen miteinander. Im ersten Spiel verliert der erste an jeden der beiden anderen so viel Geld wie jeder von diesen bei sich hat. Im zweiten Spiel verliert der zweite an den ersten und dritten so viel wie jeder hat. Nach beendigtem Spiel stellten sie fest, dass jeder gleich viel, nämlich Fl. hat. Nun ist die Frage, wie viel jeder anfänglich hatte. [Vereinfachte Fassung, das. Spiel habe ich weggelassen.] Leonhard Euler: Vollständige Anleitung zur Algebra. St. Petersburg 770. Sprachlich überarbeiteter Nachdruck Stuttgart 959, S. 69f AUUFFGGAABBEE.. Drei Leute haben ein Haus für 00 Rtl. gekauft; der erste verlangt vom zweiten die Hälfte seines Geldes, weil er dann das Haus alleine bezahlen könnte; der zweite begehrt vom dritten / seines Geldes, um das Haus allein bezahlen zu können; der dritte begehrt vom ersten / seines Geldes, um das Haus allein bezahlen zu können. Wie viel Geld hat nun jeder? Euler: Algebra. Stuttgart 959, S. 7 AUUFFGGAABBEE.. Gegeben ist die Geradenschar g t : f t () = t t +, t IR a) Zeichnen Sie die Geraden g, g und g -. b) Untersuchen Sie, ob die Geraden g t einen gemeinsamen Punkt besitzen? c) Für welches t liegt P( I ) auf g t? d) Für welchen Wert von t steht g t senkrecht auf g? AUUFFGGAABBEE.. Gegeben ist die Geradenschar g t : y t = 6 t, t IR. a) Welche dieser Geraden geht durch P( 7 I )? b) Zeigen Sie, dass alle Geraden durch einen gemeinsamen Punkt S gehen. c) Welche Gerade g t hat die Steigung m =? d) Welche Gerade der Schar gehen durch den Ursprung? Gleichungssysteme und Kurvenscharen / S.
LÖSUNGEN ZZUU AUUFFGGAABBEE.. a) IL = {(;;)} b) IL = {(;0;-)}; d) IL = {(;0;-)}; e) IL = {(5;;-)}; ZZUU AUUFFGGAABBEE.. + 5 + + = 7 = = ( ) ( ) + 7 7 + 7 + 7 = = 5 = 5 : ( 7) ( ) () () + + + = = 5 Es gibt also nur zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Eine Unbekannte kann beliebig gewählt werden, wir wählen = t. Dann folgt aus () = 5 t. In Gleichung (): + (5 t) + t = + t 0 + t = = t t IL = 5 t,t IR t ZZUU AUUFFGGAABBEE.. y + = 0 ( ) + 8y = 60 = 60 a) es folgt 0 y = = 0 5 y = IL = {(-5;5)} 7( y) + =,8 7( y) b) + =,8 7( y) IL = {(,; -,)} =, ( ) =, ZZUU AUUFFGGAABBEE.. Preis der Bitterschokolade: Preis der Vollmilchschokolade: y 7 + 5y =,90 =,; y =, = 8 Bitterschokolade kostet,0 Vollmilchschokolade kostet,0 ZZUU AUUFFGGAABBEE..55 Kapital : Kapital : y = 600 00 00 5 = 60 = 800; y = 900 00 00 Kapital beträgt 800, Kapital beträgt 900.
ZZUU AUUFFGGAABBEE..66. Zahl: ;. Zahl: ;. Zahl: ;. Zahl: + + + = 8 = + 6 = 0,5 = + + + + = 8 + = 6 + 0,5 = 0 + = 0 ( ) + + + + + + 0,5 + + + + = 8 = 6 = 0 = 8 = 8 = 6 = 6 + = 8 Die vier Zahlen sind: 9; 5; 50 und. + + + + + = 8 = 6 = 6 = ZZUU AUUFFGGAABBEE..77 Schüler aus dem ältesten Jahrgang: Schüler aus dem mittleren Jahrgang: y Schüler aus dem jüngsten Jahrgang: z = y 8 = z y = = y z = 8 = 0; y = ; z = = Aus dem ältesten Jahrgang stammen 0 Schüler usw. ZZUU AUUFFGGAABBEE..88 Anteil des 80%-igen Alkohols: Anteil des 6%-igen Alkohols: y Für den reinen Alkohol (in l) gilt: 0,8 + 0,6 y = 0,76 = Man benötigt l 80%-igen Alkohol und l 6%-igen Alkohol. ZZUU AUUFFGGAABBEE..99 Masse von Dünger I: Masse von Dünger II: y Masse von Dünger III: z 0 0 50 0 Kalium: = 0 00 00 00 00 oder 0 + 0 y + 50 z = 00 und schließlich: + y + 5 z = 0 Insgesamt: Kalium: + y + 5 z = 0 Stickstoff: 5 + y + z = 5 Phosphor: + 5 y + z = 5 = ; y = ; z = Man benötigt kg von Dünger I, kg von Dünger II und kg von Dünger III. Gleichungssysteme und Kurvenscharen / S.
ZZUU AUUFFGGAABBEE..00 Menge an Kabeljau in kg: Menge an Kartoffeln in kg: y Menge an Butter in kg: z Eiweiß: 6,5 0,8 = 70 00 00 00 Fett: 0, 0, 8 = 75 00 00 00 Kohlenhydrate: 0,9 0,7 y = 00 00 00 6,5 + 0,8z = 7000 0, + 0,y 0,9y ZZUU AUUFFGGAABBEE.. Zu Begin hat Spieler : Spieler : y Spieler : z + 8z + 0,7z = 7500 = 0000 Auflösen von Hand zu aufwendig: 88 g Kabeljau, 90 g Kartoffeln, 85 g Butter. Nach dem. Spiel hat Spieler : -y-z Spieler : y Spieler : z Nach dem. Spiel hat Spieler : (-y-z) = oder y z = Spieler : y (-y-z) z = oder - + y z = Spieler : z = oder z = 6 Setzt man z = 6 ein folgt: y = 8 + y = 0 y = 8 y = ; = Bei Spielbeginn besaß der erste Spieler Fl., der zweite Fl. und der dritte 6 Fl. ZZUU AUUFFGGAABBEE.. Vermögen des. Käufers: Vermögen des. Käufers: y Vermögen des. Käufers: z y = 00 = 00 = 00 ( ) LGS: + y y y y = 00 = 00 = 00 = 00 = 00 8z = 600 ( )
y = 00 = 00 IL = {(6; 7;8)} 5z = 00 Der. Käufer besitzt 6 Rth., der. Käufer besitzt 7 Rth und der. Käufer 8 Rthl. ZZUU AUUFFGGAABBEE.. a) g : y = + ; g : y = ; g : y = + b) Gemeinsamer Punkt S( I ). Nachweis, dass S auf allen Geraden g t : Punktprobe mit S( I ) in y= t t + : = t t +, also = t t + = wahre Aussage. S liegt auf allen Geraden g t. c) Punktprobe mit P( I ) in y= t t + : = t t + oder = t t + und schließlich t = - Die Gerade g - geht durch P. d) g : y = hat die Steigung m =. Die orthogonale Gerade g t muss also die Steigung m t = - haben: m t = t =, also t = -. g - : y = + ist orthogonale zu g. ZZUU AUUFFGGAABBEE.. a) Punktprobe mit dem Punkt P( 7 I ) in y t = 6 t. 7 t = 6 t t = 6 t 5 9 t = 5 und schließlich t = b) Gemeinamer Punt S( I ). Nachweis durch Punktprobe mit S( I ): t = 6 t 6 t = 6 t wahre Aussage. S liegt auf allen Geraden g t. c) Um die Steigung der Geraden zu bestimmen, bringen wir sie auf die Hauptform: y = t + t. Steigung m t = t. Die Gerade g (also t = ) hat die Steigung : y = +- = -0 d) Die Ursprungsgerade der Schar findet man wieder durch Punktprobe, mit O( 0 I 0 ): 0 = 6 t oder t =. g, 5 0 : y = Gleichungssysteme und Kurvenscharen / S. 6