Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Vektoren im Koordinatensystem. Vektoren in Dimensionen Wir verwenden ein orthonormiertes System: Ursprung (Nullpunkt O x- und y-achse stehen senkrecht (orthogonal aufeinander Einheitsvektoren e, e zeigen in die x- und y-richtung und haben die Länge (normiert IB/North America: unit vectors i, j Punkte lassen sich durch Koordinaten darstellen: z.b. P = (/. Jeder Vektor v lässt sich als Linearkombination von e, e darstellen: v = x e + y e = x i + y j Definition 5 (Komponenten. Die Koeffizienten x und y der Linearkombination v = x e + y e Komponenten von v. Man schreibt heissen v = ( x y Die Darstellung heisst Komponentendarstellung. Bemerkung: Die Komponenten bedeuten die Ausdehnungen von v in Richtung der Einheitsvektoren. 6
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Das Bild zeigt den Vektor ( v =. Für die Basisvektoren gilt: ( e =, ( e = Aufgaben,, Rhyn. Vektoren in Dimensionen Wir verwenden ein orthonormiertes Rechtssystem: Ursprung (Nullpunkt O x-, y- und z-achse stehen senkrecht (orthogonal aufeinander und bilden ein Rechtssystem Einheitsvektoren e, e, e zeigen in die x-, y- und z-richtung und haben die Länge (normiert Punkte lassen sich durch Koordinaten darstellen: z.b. P = (/5/6. 7
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Jeder Vektor v lässt sich als Linearkombination von e, e, e darstellen: v = x e + y e + z e = x i + y j + z k Definition 6 (Komponenten. Die Koeffizienten x, y und z der Linearkombination v = x e + y e + z e heissen Komponenten von v. Man schreibt v = x y z Die Darstellung heisst Komponentendarstellung. Das Bild zeigt den Vektor v = 5 6. 8
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Bemerkung: Die Komponenten bedeuten die Ausdehnungen von v in Richtung der Einheitsvektoren. Für die Basisvektoren gilt: e =, e =, e = Aufgaben,, Rhyn Aufgaben. Hier geht es darum, die Koordinaten eines eingezeichneten Punktes abzulesen. In der Abbildung ist der Punkt P markiert. Argumentiere: Sind aufgrund der Zeichnung seine Koordinaten eindeutig bestimmt? Wenn du der Ansicht bist, sie sind es, dann lies diese von Auge ab. Wenn du der Ansicht bist, sie sind es nicht, dann sag warum nicht.. Rechnen mit Komponenten Vektoren und Vektoroperationen lassen sich nach der Einführung des Koordinatensystems algebraisch behandeln. Nullvektor: = 9
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Gegenvektor: a = a a = a = a Addition und Subtraktion: a b a a ± b b = a a a a ± b a ± b a ± b Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: λ a a = λ a λ a a λ a Aufgaben 5, Rhyn Kollinearität Zwei Vektoren a und b sind kollinear, wenn sie parallel zueinander liegen. Dies lässt sich wie folgt ausdrücken b = λ a Aufgaben 6 9, Rhyn Ortsvektoren / Punkte Vektoren sind frei, sie können beliebig im Koordinatensystem verschoben werden. Für einen Punkt P = (x/y/z im Koordinatensystem kann man aber den Vektor x OP = y z angeben. Dieser Vektor, der vom Nullpunkt zum Punkt P zeigt, heisst Ortsvektor von P. In zwei Dimensionen sieht dies wie folgt aus:
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Vektor zwischen zwei Punkten Der Vektor zwischen zwei Punkten A und B ergibt sich aus Er berechnet sich wie folgt AB = OB OA Beispiel Der Vektor zwischen A = (/ / und B = ( 5/9/ ist 5 8 AB = 9 = Aufgaben. AUFGABE: Berechne die Vektoren AB, AG und DG.. AUFGABE: Berechne die Punkte, die die Strecke AB halbieren, dritteln bzw. vierteln.. AUFGABE: Berechne einen Punkt P auf der Geraden durch A und B so, dass P A : P B = : gilt und (a P zwischen A und B liegt. (b B zwischen A und P liegt.
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 5, Rhyn Vektoren zerlegen (Linearkombinationen In zwei Dimensionen sind zwei nicht kollineare Vektoren a und b gegeben. Jeder Vektor c lässt sich nach a und b zerlegen. Dies zeigt die folgende Figur Solche Zerlegungen sind insbesondere in der Physik sehr wichtig. Als Beispiel betrachten wir die schiefe Ebene. Eine Körper der Masse m auf der schiefen Ebene erfährt die folgenden Kräfte: Die Gewichtskraft F G wird in eine zur schiefen Ebene parallele und eine dazu senkrechte Kraft zerlegt. Die Kraft F G, wird durch die Normalkraft F N der schiefen Ebene aufgehoben. Die Kraft F G, beschleunigt den Körper auf der schiefen Ebene. Mit Hilfe der Trigonometrie folgt F G, = F G cos α F G, = F G sin α
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Aufgaben 6, 7, Rhyn Betrag eines Vektors (Länge Der Betrag eines Vektors ist dessen Länge. In zwei Dimensionen ergibt sich für a = ( a a mit Pythagoras a = ( a a = a + a In drei Dimensionen ergibt sich a = a a a = a + a + a
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Beispiele: 5 = 5 6 = 7 = 5 = = = = Aufgaben 5. AUFGABE: Bestimme die Längen der Vektoren AB und AG. 8 8, Rhyn Mittelpunkt Für die Berechnung des Mittelpunktes M von AB berechnen wir zunächst den Verbindungsvektor AB = OB OA
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Für den Ortsvektor von M folgt OM = OA + AB = ( OA + OB Beispiel: A = (/ und B = (5/. Daraus ergibt sich OM = (( ( ( 5 + = Schwerpunkt Die Berechnung des Schwerpunktes ist sehr ähnlich. Wir betrachten den Schwerpunkt dreier Punkte A, B und C. 5
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Berechnung: OS = OM b + M b B = OM b + = ( OB OM b = OM b + OB = ( OA + OC + OB ( OA + OB + OC Aufgaben 9, Rhyn. Mehrdimensionale Vektoren und Anwendungen 6. Geschwindigkeitsvektoren liegen tangential an der Bahnkurve der Geschwindigkeitsvektor zeigt in die momentane Bewegungsrichtung. Die Bahnkurve sei ein Kreis (in der xy-ebene um den Ursprung mit Radius 6 cm. Du startest bei (6/ und fährst den Kreis im Gegenuhrzeigersinn genau einmal ab. (a Du fährst den Kreis mit gleichem Tempo in s ab. Berechne den Geschwindigkeitsvektor nach einem Viertel der Wegstrecke, nach der Hälfte der Wegstrecke und nach fünf Achteln der Wegstrecke. (b Du erhöhst den Betrag der Geschwindigkeit gleichmässig von cm/s auf 6 cm/s. Berechne den Geschwindigkeitsvektor nach einem Viertel der Wegstrecke, nach der Hälfte der Wegstrecke und nach fünf Achteln der Wegstrecke. 7. Ein Quartierladen macht einen Halbjahresabschluss. Aufgeschlüsselt auf die einzelnen Monate ergibt sich folgende Bild (Angaben in CHF: Warenverkauf Wareneinkauf Aufwand Januar 5. 9 6. 7 9.9 Februar 57 98.95 875. 6 855. März 6 8.5 6 977.75 8 89.65 April 7 95. 5.8 9.5 Mai 8 6.6 58 9.5 9 597.5 Juni 8 57. 59 6.5 65. (a Drücke die Liste des monatlichen Verkaufs, Einkaufs und Aufwands durch einen Vektor mit 6 Komponenten aus. (b Drücke mit den Vektoren aus der vorherigen Aufgabe die Liste der monatlichen Gewinne aus (ein negativer Gewinn entspricht einem Verlust. (c Drücke mit den eingeführten Vektoren die Liste der monatlichen Gewinne aus, wenn der Aufwand monatlich % geringer gewesen wäre. 8. Notenliste: In einer Mathematikprüfung werden fünf Aufgaben gestellt. Dabei erreichen die Schüler/innen einer Klasse folgende Resultate: 6
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Name A A A A A5 Punktsumme 5 5 5 8....... 5 5 Maximalpunktzahl 5 5 5 Für jeden Teilnehmenden i an der Prüfung werden die Punkte pro Aufgabe in einem Vektor s i zusammen gefasst und für jede Aufgabe j werden die Punktzahlen aller Teilnehmenden in einem Vektor a j zusammengefasst. Beispielsweise: s =, a =. (a Interpretiere die Komponenten des Vektors ( s + s +... + s. (b Wie kann der Punktsummenvektor mithilfe der Aufgabenvektoren berechnet werden? (c Die Note wird durch die Formel Note= 5 Punktsumme + berechnet. Drücke den Notenvektor durch eine Gleichung mit dem Punktsummenvektor aus. (d Wie heissen die Lösungen zu den beiden vorherigen Aufgaben, wenn die Punktzahl von Aufgabe verdoppelt wird und die Note 6 für 5 Punkte gegeben wird? 9. Iris-Daten: 95 Hat E. Anderson 5 Blüten der Iris (Schwertlilie vermessen. Sein Datensatz hat in de Entwicklung der Statistik eine grosse Rolle gespielt und wird auch heute noch in vielen Büchern als Beispiel verwendet. Die Irisblüten sind aus Kronblättern (Petalen und Kelchblättern (Sepalen aufgebaut. Anderson mass für jede Blüte die Länge und die Breite dieser Blätter. Jeder Blüte ist daher ein vierdimensionaler Vektor zugeordnet. Dieser hat die vier Komponenten (Merkmale Sepal-Länge, Sepal-Breite, Petal-Länge, Petal-Breite. Die Vektorkomponenten für die ersten drei Blüten lauten wie folgt (Einheit in cm: Blüte Blüte Blüte... W=Sepal-Länge 5..9.7... X=Sepal-Breite.5..... Y=Petal-Länge...... Z=Petal-Breite...... Aufgefasst als Ortsvektoren ergeben sich also 5 Punkte im vierdimensionalen Raum. Um ein visuelles Bild dieser Punktwolke zu erhalten, werden die zweidimensionalen Projektionen der Punkte betrachtet. Das heisst, es werden jeweils zwei der vier Komponenten ausgewählt und die entsprechenden Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Dies ist in der Abbildung zu sehen. (a Lies aus der Abbildung den kleinsten auftretenden Wert der Sepal-Breite ab. Wie gross sind die anderen drei Abmessungen der Blüte mit der kleinsten Sepal-Breite? (b Warum sind in den meisten Figuren weniger als 5 Punkte? (c Es scheint zwei Gruppen von Blüten zu geben, die ziemlich klar getrennt sind. Was wäre eine plausible botanische Erklärung dafür? (d Welche Bedeutung hat der Ausdruck.5(W + X + Y + Z? 7
Stiftsschule Engelberg PAM 8 Schuljahr 7/8
Stiftsschule Engelberg PAM 9 Schuljahr 7/8
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Lösungen. Nicht eindeutig bestimmt.. AB = 6 5, AG = 7. 9,. (a 7 (b, 8 5 6 5 8 6 7 7 9 9 und DG = 5. AB = AB = 6 und AG = AG = 9. 6 6. 6. (a ( π ( cm/s, π cm/s, ( π π cm/s (b ( 9 ( cm/s, 8 cm/s, (.5.5 cm/s 7. (a Die Vektoren v, e und a werden direkt aus der Tabelle gebildet. (b Die monatlichen Gewinne: g = v ( e + a. (c g = v ( e +.98 a 8. (a Jede Komponente gibt die durchschnittliche Punktzahl an, welche die Schüler/innen in der jeweiligen Aufgabe erzielt haben. (b p = a +... + a 5 (c n =.5 p +. (d p = a +... + a 5, n =. p +. 9. (a. und (5.,.,.5,. (b Einige Punkte liegen übereinander. (c Die beiden Gruppen entsprechen zwei verschiedenen Unterarten der Iris-Pflanze.
Stiftsschule Engelberg PAM (d Mittelwert der vier Messungen bei einer Blu te. Schuljahr 7/8