. ANALYSIS Gegeben ist die kubische Parabel f: y = x 3 6x + 8x + a) Die Gerade g: y = k x + berührt die Parabel an der Stelle x = x 0 > 0. Bestimmen Sie den Parameter k. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche von der Geraden h: y = 5x 9 und der Parabel umschlossen wird. a) Im Berührungspunkt müssen die y-werte und die Steigungen übereinstimmen: Für die Gerade gilt: B(x 0 kx 0 + ) mit Steigung k Für die Parabel gilt: B(x 0 x 0 3 6x 0 + 8x 0 + ) mit der Steigung f(x ) = 3x x + 8 0 0 0 Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen: x 6x + 8x + = kx + 3 0 0 0 0 3x0 x0 + 8 = k Wir setzen die. Gleichung in der ersten ein: x 3 0 6x 0 + 8x 0 + = (3x 0 x 0 + 8) x 0 + 0 = x 3 0 6x 0 0 = x 0 (x 0 3) x 0 = 3 > 0 Aus der Lösung für k=- x 0 = 3 lässt sich mit der. Gleichung oben k berechnen: Variante: wenn wir die Schnittpunkte von f und g ergeben, sollte sich für die Berührungsstelle eine Doppellösung x = x ergeben; wie gross muss k sein, damit das so ist. x 3 6x + 8x + = kx + x 3 6x + (8 k) x = 0 x x 6x + (8 k) = 0 Für eine Doppellösung der quadratischen Gleichung muss die Diskriminante 0 sein: 36 (8 k) = 0 k = Matur 08 L Seite von 9
b) Schnittstellen: x 3 6x + 8x + = 5x 9 x 3 6x + 3x + 0 = 0 x =, x =, x 3 = 5 Stammfunktion von f g = (x 3 6x + 8x + ) (5x 9) = x 3 6x + 3x + 0 (x 3 6x + 3x + 0) dx = x x3 + 3x + 0x = x ( x3 8x + 6x + 0) und nun die Flächeninhalte getrennt berechnen: ( ) x x3 8x + 6x + 0 ( ) x x3 8x + 6x + 0 = (8 3 + + 0) + ( 8 6 + 0) = + 5 = 0 5 = 5 5 (5 00 + 30 + 0) = = 0 Der gesuchte Flächeninhalt ist: A = 0 + 0 = 0.5 Matur 08 L Seite von 9
. ANALYSIS Unabhängige Teilaufgaben a) Berechnen Sie exakt mittels einer geeigneten Substitution π 3π sin x cos x dx Wir substituieren: u = cos x du = sin x du = sin x dx dx 3π u 3π u 3 3 π u cos x sin x cos x dx = u du = = = + = 3 3 6 π u u b) An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f: x a (x + 8x + 7) e x Ableiten und Null setzen: f(x)= (8x + 8) e x + (x + 8x + 7) e x ( ) = ( x + ) e x = 0 x =, x = Max, Min oder Sattelpunkt? f( h) > 0 f( + h) < 0 lokales Maximum f( h) < 0 f( + h) > 0 lokales Minimum Matur 08 L Seite 3 von 9
c) In welchem Punkt des Graphen von f: x a y = ln x hat die Tangente t die Steigung m =? Wo und unter welchem Winkel schneidet t die y-achse? Wo hat der Graph f die Steigung m =? f(x)= x = x = P( ln) Tangentengleichung t: y ln = (x ) y = x + ln Schnitt mit der y-achse: (0 ln ) Winkel zur x-achse: tan (0.5) = 6.6 Winkel mit der y-achse: 6.6 = 63. d) Berechnen Sie das exakte Volumen des Körpers, der entsteht bei Rotation um die x-achse der Kurve s x Wir benötigen das Quadrat der Funktion: y = e = e x Damit gilt für das Drehvolumen: ln V =π e x dx =π e x ln =π(e ln e 0 ) =π( ) =π 0 0 Matur 08 L Seite von 9
3. ANALYSIS x 3 + Gegeben ist die Funktion f mit: f(x) = x 3 6x a) Bestimmen Sie die Grenzwerte lim x ± f(x) b) Bestimmen Sie die Definitionslücken und das genaue Verhalten von f in deren Nähe. a) lim x ± f(x) = b) f(x) = x 3 + = x 3 + x 3 6x x (x 3) h sei eine sehr kleine positive Zahl: Definitionslücken bei: x = 0: f( ± h) = < 0 ( ± h) ( 3) für x 0 f(x) 8 x = 3: f(3 h) = 8( h) < 0 von links her geht die Kurve gegen f(3 + h) = 8 8(h) > 0 von rechts her geht die Kurve gegen + Matur 08 L Seite 5 von 9
. VEKTORGEOMETRIE Gegeben ist die Gerade g: r = + t a) Wo und unter welchem Winkel schneidet g die yz-ebene? b) Welcher Punkt P auf g liegt am Nächsten beim Ursprung O(0 0 0)? c) Eine Gerade h schneidet die Gerade g, liegt parallel zur Ebene E: x y + z + = 0 und geht durch den Punkt Q( 3 ). Bestimmen Sie h. a) In der yz-ebene ist x = 0. Also: + t = 0 t = S(0 0 0.5) Der Normalenvektor der yz-ebene ist 0 ; 0 0 = = 3 sinγ γ = sin ( ) =.8 3 0 b) P( t + t + t) Der Vektor t OP = + t + t muss senkrecht auf der Geraden g stehen: t + t = 0 ( + t) + ( + t) + (+ t) = 0 t = 5, P 9 + t ( ) 9 9 9 c) t P( t + t + t) h QP = t ist Richtungsvektor der Geraden h. + t Dieser Richtungsvektor muss senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene E stehen: t + t = 0 t + ( t) + ( + t) = 0 t = + t 3 Richtungsvektor: 3 3 // 3, Gleichung von h: x y = 3 + t z Matur 08 L Seite 6 von 9
5. VEKTORGEOMETRIE Gegeben sind die Kugel mit Mittelpunkt M(3 5 6) und Radius r = 9 sowie die Ebene E: 8x + y z = 0 a) Die ebene E bildet mit den Koordinatenachsen eine Pyramide. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide. b) Die Kugel schneidet die xy-ebene in einem Kreis. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius dieses Kreises. c) Bestimmen Sie die Tangentialebenen τ und τ an die Kugel, welche parallel sind zur Ebene E. In welchen Punkten berühren sie die Kugel? a) Schnitt mit der x-achse: y = z = 0 x = 3 Schnitt mit der y-achse: x = z = 0 y = 6 Schnitt mit der z-achse: y = x = 0 z = C Die Grundfläche OAB misst G = 3 6 = 9 Die Höhe ist h = A 3-6 B Das Volumen ist V = 9 = 7 3 b) M(3-5 6) r = 8 36 r = 3 5 r=9 6 r M (3-5 0) xy-ebene im Schnitt c) Parallelebenen 8x + y z + k = 0 zu E im Abstand ± 9 vom Mittelpunkt 8 3 + ( 5) 6 + k 6 + 6 + =±9 0 6 + k =±8 k =±8 + Tangentialebenen: τ :8x+ y z + 83 = 0 und τ :8x+ y z 79 = 0 8 Der Berührungsradius hat die Richtung ± und die Länge 9, was gerade stimmt. M entsprechend verschoben ergibt: B ( 5 9 7) und B ( 5). Matur 08 L Seite 7 von 9
6. STOCHASTIK Unabhängige Teilaufgaben a) Eine Münze soll beim Werfen Kopf zeigen mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 75%. Sie dürfen die Münze mal werfen. Wann werden Sie auf dem Signifikanzniveau α=0.05 die obige (Null-) Hypothese verwerfen? x= k 0.75 x 0.5 x 0.05 x Probieren: k = 75 0.03 k = 7 0.068 ist das kleinste k, das die Bedingung erfüllt 0.068 > 0.05! b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergeben sich beim Wurf von 0 Laplace-Würfeln mindestens Dreier? 0 0 x 5 0 x ( 6) ( 6) x = x= 0.55 c) Eine Urne enthalte 0 e, 5 schwarze und 5 weisse Kugeln. Man zieht gleichzeitig zwei Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei e Kugeln sind, wenn man weiss, dass mindestens eine Kugel ist. 9 9 0 0 0 9 nicht 00 0 0 nicht 0 9 9 9 nicht 00 Günstige: Mögliche: +00+00 p = +00+00 = = 9 9 Matur 08 L Seite 8 von 9
d) Wie viele 6-stellige Autonummern kann man mit den Ziffern,,...,8, 9 und den 6 Buchstaben des Alphabets bilden, welche genau Buchstaben enthalten und nicht mit Null beginnen? Zum Beispiel 9BB oder FX0036. Ohne die Einschränkung mit der Null: und 6 6 Möglichkeiten für die Buchstaben 0 Möglichkeiten für die 0 Ziffern also total 6 6 0 = 0 00 000 Davon sind abzuzählen alle mit Null am Anfang:. Stelle ist Null 5 6 Möglichkeiten für die Buchstaben 0 3 Möglichkeiten für die 0 Ziffern also total 5 6 0 3 = 676 0 000 Es gibt also 00 0000 676 0 000 = 96 0 000 mögliche Autonummern. e) Zu Ostern sind 8 grüne, 6 e und ein blaues Ei versteckt worden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 3 gefundenen Eiern genau von gleicher Farbe? grüne und ein nicht grünes: oder e und ein nicht es: 8 7 5 3 6 9 5 3 = 8 7 55 = 96 55 = 5 9 55 = 35 55 96 + 35 ergibt: p = 55 = 33 55 Matur 08 L Seite 9 von 9