In diesem Versuch experimentieren Sie mit elektrischen n, vor allem mit dem Serienschwingkreis. Diese Schaltung wird aus Widerstand, Kondensator und Spule zusammengesetzt. Sie werden hier das Abklingverhalten freier Schwingungen untersuchen und den Einfluss der Dämpfung. Sie messen esonanzkurven, um bei erzwungenen Schwingungen das Frequenzverhalten zu untersuchen und bestimmen die Güte von n. Schriftliche VObereitung: Erklären Sie mit Hilfe der Zeigerdarstellung Abb. 5) den Verlauf der Stromresonanzkurve Abb.6)? Welche Anwendungen gibt es für elektrische? Erklären sie folgende Begriffe: Blindwiderstand Wirkwiderstand Impedanz Wo finden sich Frequenzabhängigkeiten? Grundlagen Sie werden feststellen, dass Ihnen die mathematischen Formeln bekannt vorkommen. Bereits in der Mechanik haben Sie Schwingungen analysiert. Wenn Sie nun hier gedanklich die Kondensatoren durch die Federn ersetzen, die Spulen durch die Massen und die ohmschen Widerstände durch die eibungswiderstände, finden Sie die formale Identität zwischen den elektrischen und mechanischen Schwingungen. - eibniz Universität Hannover,Juni 205 von 0
Der ideale C-Schwingkreis Abb. zeigt die Schaltung: Der Kondensator wird in Stellung aufgeladen und erhält die adung Q 0 = C U 0. Die so gespeicherte Energiemenge ist: W C = 2 CU 2 0 In Stellung 2 entlä sich der Kondensator StromIt)) über die Spule und die Spannung U C sinkt: d Qt) = It) = C d U Ct) Abbildung : Idealer -C-Schwingkreis Hinweise zu den Zählpfeilen Obwohl Ströme und Spannungen keine Vektoren, sondern Skalare sind, enthalten Schaltbilder wie Abb. für diese Größen Oft Pfeilsymbole. Diese Pfeile sind willkürliche Zählpfeile, die angeben, wie Spannungen in Maschen und Stromstärken an Knoten gezählt werden. Wir verwenden meistens das sogenannte Verbrauchersystem, bei dem Spannungs- und Stormpfeile die gleiche ichtung haben. In diesem System zählt die an den Verbraucher abgegebene eistung positiv. Der zeitlich veränderliche Strom mit der Stromstärke It) induziert in der Spule ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld. Die Energie im elektrischen Feld des Kondensators nimmt in gleichen Maße ab, wie die Feldenergie im Magnetfeld der Spule zunimmt: Mit W = 2 It)2 gilt also der Energiesatz W + W C = 2 It)2 + 2 C U Ct) 2 = const. ) Sie erkennen hier bereits den Aufbau einer Schwingung. Zum Zeitpunkt t 0 ist der Kondensator geladen, W C ist maximal. Der Entladevorgang führt zum Aufbau des Magnetfeldes der Spule bis W maximal ist. Der nun folgende Zusammenbruch des B-Feldes führt zu einer Induktionsspannung zur Aufrechterhaltung des Stroms enzsche egel) und der Kondensator wird wieder geladen allerdings mit umgekehrten Vorzeichen. Die zeitliche Ableitung von Gl. ) führt auf die Bewegungsgleichung der adung im Schwingkreis: d W + W C ) = It) d It) + C U C t) d U Ct) = 0. Einsetzen von Gl. ) liefert: d2 U C t) 2 + C U Ct) = 0 2) Die ösung dieser DG kennen Sie aus der Mechanik: Sie beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Anfangsphase φ und der Kreisfrequenz ω = / C: U C t) = Û cos ω 0t + φ). Für die Anfangswerte U C 0) = U 0 und I0) = 0 erhalten Sie φ = 0 und Û = U 0 = Q 0 /C0. - eibniz Universität Hannover,Juni 205 2 von 0
Beschreibung von Verlusten Nun kann es diesen idealen Schwingkreis real nicht geben. Kondensatoren haben eckwiderstände, Spulendrähte weisen ohmesche Widerstände auf, oszillierende Elektronen strahlen Energie ab alles Phänomene, die zu einer Dämpfung der Schwingung führen. Bei übermäßiger Dämpfung entsteht möglicherweise gar keine Schwingung. In Abb. 2 stellen die eingezeichneten Widerstände Ersatzwiderstände für diese Dämpfungsphänomene dar. steht für die Verluste im Kondensator und durch Abstrahlung, beschreibt die ohmschen Verluste in den Spulendrähten. Abb. 3 zeigt Ihnen die Wirkung. Je nach Größe der Verluste finden Sie eine gedämpfte Schwingung ), ein langsamem aperiodisches Kriechen zurück ins Gleichgewicht 3) oder im Übergang zwischen diesen Phänomenen den sog. aperiodischen Grenzfall 2) die schnellstmögliche elaxation in die Gleichgewichtslage. Je nach Anfangsbedingung kann hier ein Nulldurchgang auftreten. Abbildung 2: ealer C-Schwingkreis Zur mathematischen Modellbildung eignet sich wieder der Energiesatz. Die ate, mit der die Energie im Abbildung 3: Stromstärke bzw. Spannung beim realen C- Schwingkreis Schwingkreis = Summe der Feldenergien in Kondensator und Spule) abnimmt, ist danach gerade so groß wie die in den Ersatzwiderständen und dissipierte eistung: d W + W C ) = d 2 C U C 2 + ) 2 I2 = I 2 I 2 3) Die hier auftretenden Stromstärken sind nicht unabhängig Knoten K Abb. 2): I t) = I t) + It) wobei I t) = U Ct) It) = dq C = C d U Ct) t und 4) Gl. 3) lässt sich damit umschreiben: d 2 CU C 2 + ) 2 I + I ) 2 = I 2 I + I ) 2. + C d2 U C t) 2 + ) d U Ct) + + ) U C = 0 5) C Der Exponentialsatz U C t) = U e λt + U 2 e λ2t führt durch einsetzten in Gl. 5) auf die charakteristische Gleichung der Dgl.: λ,2 = γ ± γ 2 Ω 2 ; γ = 2 + ) C und Ω 2 = + ) = ω0 2 + ) C - eibniz Universität Hannover,Juni 205 3 von 0
Dämpfungsphänomene beim Schwingkreis Ungedämpfter Oszillator: γ = 0 Für 0 und verschwinden die Verluste: γ 0. Gl. 5) liefert in dem Fall λ,2 = ±iω 0. Setzen Sie dies und die Anfangsbedingungen U C 0) = Q 0 /C und I0) = 0 in den ösungsansatz ein, finden Sie, wie zu erwarten, wieder Gl. 2) als ösung mit φ = 0). Mit zunehmender Dämpfung nimmt auch γ zu. Gedämpfte Schwingung: 0 < γ < Ω Als ösung von Gl. 5) finden Sie die exponentiell gedämpfte Schwingung nach Abb. 2. vgl. Titelbild mit x = Q/C und T = /f = 2π/ω). Die Anfangsbedingungen von oben liefern eine übersichtliche ösung: U C t) = Q 0 C e γt cosωt) mit den Abkürzungen γ = 2 + ) C und ω = ω 2 0 + ) γ 2. Aperiodischer Grenzfall: γ = Ω Die Amplitude des Oszillators hier die Spannung U C ) nähert sich in minimaler Zeit, ohne Schwingung der Gleichgewichtslage. Aus der Bedingung für den aperiodischen Grenzfall leitet sich her: Kriechfall: γ > Ω Wie auch beim aperiodischen Grenzfall wird die Gleichgewichtslage ohne Schwingung erreicht. Der ückgang erfolgt jedoch langsamer. ogarithmishes Dekrement Λ und Güte Q Zur Charakterisierung der Qualität eines s betrachtet man die Verluste, die pro Schwingungen auftreten. Dazu bieten sich zwei unterschiedliche Möglichkeiten an. ) Vergleich der Amplituden Als logarithmisches Dekrement Λ bezeichnet man den natürlichen ogarithmus aufeinanderfolgender Amplituden T = /f = 2π/ω): ) ) UC t) e γt Λ = ln = ln = lne γt ) = γt U C t + T ) e γt+t ) 2) Vergleich der gespeicherten Energien Als eine Güte Q bezeichnet man den Quotienten aus gespeicherter Energie und Energieverlust pro Schwingung: Q = 2π W ges W T = ω W ges W = 2π 2 CU 2 Cmax T C U C U C = 2π T e 2γt 2γ e 2γt = π γt = π Λ - eibniz Universität Hannover,Juni 205 4 von 0
Für die von Ihnen hier untersuchten gilt und die Formeln vereinfachen sich: γ = 2 und ω = ω0 2 γ2, für die Güte Q = π γt = Grenzfall = 2ω 0 = 2 oder auch Q = 0, 5. C 2 C 2 = C und für den aperiodischen 6) Periodische Anregung Mittels einer Wechselspannung mit variabler Frequenz f = ω/2π und konstanter Amplitude lässt sich der Schwingkreis periodisch anregen. Im Versuch interessiert später, mit welcher Amplitude jeweils die elektrischen Größen der Anregung folgen. Das Folgen geschieht hierbei träge, daher werden die eingeschwungenen Zustände betrachtet. Wird der Schwingkreis Abb. 4 ein eihenschwingkreis, weil alle Bauteile in in eihe geschaltet sind) mit konstanter Spannungsamplitude U 0 betrieben, so ist die Stromamplitude I 0 frequenzabhängig, I 0 = I 0 ω). Abbildung 4: Serienschwingkreis: Periodische Anregung I 0 berechnen Sie z.b. nach dem ohmschen Gesetz für Wechselstromwiderstände. Z C = iωc ; Z = iω; Z = + Z + Z C = + iω + iωc 7) In Gl. 7) wurde die Schreibweise mit komplexen Zahlen gewählt. Durch den imaginären Faktor i wird die phasenrichtige Addition sichergestellt. Abb. 5 zeigt, wie es geht. Dort wurde als eferenzgröße der allen Bauteilen gemeinsame Strom gewählt: It) = I 0 cosωt). Die Spannungen U am ohmschen Widerstand ist in Phase mit I 0, die Spannung U an der Spule eilt dem Strom um π/2 voraus. Die Kondensatorspannung liegt gegenüber dem Strom um π/2 zurück. Alle Bauteile zusammen bewirken eine Phasenverschiebung φ zwischen der Anregungsspannung U 0 und dem Strom I 0. Im Experiment ist die Amplitude der anregenden Spannung U t) = U 0 cosωt + φ) konstant, die Phase φ hängt von der Frequenz ab: I 0 = U 0 Z = U 0 + i ω ωc ) = U 0 Abbildung 5: Phasenrichtige Addition der Spannungen an, und C + iq Ω Ω ) = U 0 iq ) Ω i Ω + Q 2 Ω ) 8) Ω Gleichung 8) wurde übersichtlich mit den Abkürzungen Q für die Güte des eihenschwingkreises und Ω als - eibniz Universität Hannover,Juni 205 5 von 0
normierte Frequenz: Q = I 0 = U 0 C ; Ω = ω ω 0 ; ω 0 = C. Aus Gleichung 8) folgt direkt: + Q 2 Ω ) ; tan φ = ImI 0) ei 0 ) = Q Ω Ω ). 9) Ω esonanzphänomene Im Versuch untersuchen Sie die Frequenzabhängigkeit der Stromstärke I 0 und des Phasenwinkels φ. Abb. 6 zeigt die Stromresonanz. Für Ω= also ω = ω 0 ) erreicht die Stromstärke ihr Maximum: I 0 = U 0. Messtechnisch von Bedeutung ist die Breite der esonanzkurve. Für den in Abb. 6 gekennzeichneten Wert ergibt sich: Ω,2 = ± 2Q + + 4Q 2 Ω = Ω f = f 0 Q mit ω 0 = 2πf 0 Abbildung 6: Die Stromstärke I 0 hängt von der Frequenz ab. Die esonanzbreite nimmt mit der Güte ab. Die Bandbreite des Schwingkreis ist umgekehrt proportional zur Güte Q. Die Spannungen an Kondensator und Spule zeigen eine besondere Eigenschaft: esonanzüberhöhung. Aus Gl. 9) finden Sie leicht: Spannungsresonanz: U C Ω = ) = U 0 ωc = QU 0 0) Kondensator und Spulenspannung sind um den Faktor Q gegenüber der Erregerspannung überhöht. - eibniz Universität Hannover,Juni 205 6 von 0
Aufgaben: zu Der ideale C-Schwingkreis. Benennen Sie die entsprechenden Energieformen bei mechanischen Schwingungen zu Gl. ). zu Beschreibung von Verlusten 2. Führen Sie die Zeitableitung in Gl. 5) aus, setzen Sie Gl. 4) ein und ordnen Sie nach der Ordnung der Zeitableitung. Ihr Ergebnis sollte schließlich die bekannte Dgl. einer gedämpften Schwingung sein: d 2 U C t) 2 + + ) d U Ct) + + ) U C = 0 C C zu Periodische Anregung 3. Auch ohne weitere echnungen können Sie Abb. 5 entnehmen: Für sehr kleine Frequenzen ω 0) ist U C U 0, I 0 0 und die Phasenverschiebung φ zwischen I 0 und U 0 ist φ π/2. Für sehr große Frequenzen ω ) ist U C..., I 0... und die Phasenverschiebung φ zwischen I 0 und U 0 ist φ.... Für ω = ω 0 ist U C + U =... und φ =... und U =.... Ergänzen Sie zur Vorbereitung. 4. echnen Sie Gl. 8) nach und überprüfen Sie die o.g. Spezialfälle ω 0, ω und ω = ω 0. 2 Experimente Eigenfrequenz Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 7 auf. Das elais, die Spannungsquelle U I und den Spannungssensor U A finden Sie auf dem CASSY-ab-Steckpunkt. Eine gesonderte CASSY-Anleitung liegt am Arbeitsplatz aus. Sobald das elais von auf 2 umschaltet, setzen die Schwingungen ein. Stellen Sie die Schwingung möglichst groß auf dem Bildschirm dar. M) Wenn Ihnen die Darstellung gefällt, drucken Sie das Diagramm aus nicht die Wertetabelle!). M2) Ermitteln Sie aus der graphischen Darstellung für unterschiedliche D -Werte D <,5 kω) a) die Schwingungsdauer und Abbildung 7: Damit messen Sie die Schwingungen. D ist die Widerstandsdekade. - eibniz Universität Hannover,Juni 205 7 von 0
b) die Spannungswerte für die ersten drei Amplituden. A) Bestimmen Sie damit die Schwingungsfrequenz, das logarithmische Dekrement und die Güte. Berücksichtigen Sie bitte bei der Auswertung auch den ohmschen Widerstand der Spule: = D + : ) 2 ) C UC t) Λ exp = ln Λ exp = T 2 U C t + T ) 2 f exp f = 2π... Q = ω 0 Q = π Λ exp Aperiodischer Grenzfall M3) Ermitteln Sie möglichst genau den aperiodischen Grenzfall, indem Sie den Widerstand der Dekade verändern und drucken Sie den Verlauf aus. A2) Vergleichen Sie den von Ihnen ermittelten Widerstandswert exp mit dem theoretischen Wert nach Gl.6). Vergessen Sie dabei nicht den Spulenwiderstand. Periodische Anregung Messung der Strom-esonanz Bauen Sie die Schaltung nach Abb. 8 auf. Achten Sie auf den richtigen Masseanschluss. Power CASSY wird als Sinusgenerator mit konstanter Spannungsamplitude betrieben und so programmiert, dass die Frequenz z.b. in drei Minuten den Bereich von 0 Hz bis 0 khz stetig durchfährt und jede Sekunde eine Messung aufgenommen wird. Die esonanzkurve wird so in einem einzigen Messzyklus aufgenommen. Nehmen Sie die esonanzkurve mit den angegebenen Werten zunächst in einem Bereich von 0 Hz bis 5 khz auf, um die age der esonanzfrequenz f 0 ungefähr festzustellen. Danach grenzen Sie den Bereich auf f 0 = ± khz ein hier noch kein Ausdruck). Abbildung 8: Periodisch angeregter Schwingkreis M4) Nehmen Sie die Stromresonanz für D = 0 und mit starker Dämpfung in ein Diagramm auf Parameter: neue Messreihe anhängen) und drucken Sie die fertige Kurvenschar aus. A3) Bestimmen Sie aus der esonanzkurve für D = 0 die esonanzfrequenz, die Breite I max / 2 Halbwert der Güte, da P I 2 ) und die Güte. D f 0,exp f 0 = 2π C 0... esonanzbreite: f exp = f 2 f f = 2π Q exp = f 0 f Q = C - eibniz Universität Hannover,Juni 205 8 von 0
Messung der Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz Stellen Sie dazu den Funktionsgenerator auf eine feste Frequenz esonanzfrequenz) und den Sensoreingang U A2 auf die Messung von Momentanwerten ein. Stellen Sie zudem die Darstellung so ein, dass die Spannungen U und U A2 gegen die Zeit aufgetragen werden. Das Messintervall sollte auf 0 µs, also so kurz wie möglich, eingestellt sein. M5) Wiederholen Sie die Messung für 3 Frequenzen oberhalb der esonanzfrequenz und 3 Frequenzen unterhalb der esonanzfrequenz. Verteilen Sie die Frequenz so, dass Sie eine einigermaßen vollständige Darstellung bekommen. Die Verschiebung zwischen den Kurven lässt sich gut ablesen, wenn Sie die jeweiligen Maxima oder Nulldurchgänge) anklicken, die zugehörigen Zeiten ablesen und die Differenz t berechnen. Abbildung 9: So bestimmen Sie die Phasendifferenz zwischen zwei Wechselspannungen. A4) Berechnen Sie vgl. dazu Abb. 9) φ = 2π t = ω t. Stellen Sie den Verlauf φf) grafisch dar. Wie T groß ist die Phasenverschiebung im esonanzfall? Messung der Spannungsüberhöhung an Spule und Kondensator im esonanzfall Stellen Sie den Funktionsgenerator wieder auf die esonanzfrequenz f 0 aus übernehmen) ein und die maximale Eingangsspannung auf U 0 = 3 V. Greifen Sie die Spannung nicht mehr über dem 00 Ω-Widerstand M ab, sondern über der Spule bzw. über dem Kondensator ab. M6) Messen Sie jeweils die maximale Spannungsamplitude. A5) Bestimmen Sie daraus die Spannungsüberhöhung und vergleichen Sie die Werte für die Güte. D U 0 U C f 0 ) U f 0 ) Q exp = U f 0 ) Q exp = U Cf 0 ) Q = f 0 U 0 U 0 f 00 kω 3 V kω 3 V A6) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den theoretischen Werten. - eibniz Universität Hannover,Juni 205 9 von 0
3 Messparameter und CASSY-Anleitungen für den Versuch zu Versuchteils Eigenfrequenz; Einstellungen Power-CASSY: Stellgröße: Stellbereich 0 V bis 0 V; Messbereich A bis A. Signalform: DC Parameter: 0 V; Momentanwerterfassung Das elais schalten Sie autmatisch während der Aufnahme; Spannungsquelle = An; eine gute Auflösung erhalten Sie bei einem Messintervall von 0 ms/4000 Messpunkte. Sofern das für Sie neu ist, lassen Sie sich die Arbeit mit dem CASSY-System erklären, bevor Sie anfangen zu messen. Parameter: Für D fünf unterschiedliche Werte D,5 kω; Spulenwiderstand = 265 Ω, = H; C = 0,22 µf. zu Versuchsteil Aperiodischer Grenzfall M = 00 Ω; = 265 Ω; = 0,9 H; C = 0,22 µf; Widerstandsdekade D = 50 Ω Hier wird Power-CASSY als Sinusgenerator betrieben. Um die esonanzkurve in einem einzigen Messzyklus aufzunehmen, wird dabei nicht mit einer festen Frequenz gearbeitet. CASSY wird so programmiert, dass die Frequenz z.b. in drei Minuten den Bereich von khz bis 0 khz linear verändert und jede Sekunde eine Messung aufgenommen wird. Um Ihnen die Programmierung zu erleichtern, wurde die Beispielsdatei esonanz bereits vorprogrammiert. Kopieren Sie diese aus dem Verzeichnis C02 auf dem Desktop und verändern Sie die Parameter nach Bedarf. Sollten Sie Schwierigkeiten haben, die Einstellungen zu verstehen, klären Sie unbedingt Ihre Fragen mit den Tutoren. - eibniz Universität Hannover,Juni 205 0 von 0