Aufgabe ( Es seien e =, e = Untervektorraum (, e = ( R und U := [e, e ] der von e, e erzeugte Weiter sei G := {A GL(, R A e = e und A U U} (a Zeigen Sie, dass G eine Untergruppe von GL(, R ist (b Geben Sie einen Isomorphismus von Gruppen Φ : GL(, R G an Erinnerung: GL(n, R bezeichnet die Gruppe der invertierbaren n n-matrizen (a Die Einheitsmatrix E lässt alle Vektoren im R fest, also insbesondere e und U Somit ist E G Für A, B G gilt (A B e = A (B e = A e = e, (A B U = A (B U A U U Somit ist auch A B G Weiter gilt für A G: e = E e = A A e = A e Nun sei u U und Da A e = e, folgt nun A u = αe + βe + γe u = E u = A A u = αe + βa e + γa e U = [e, e ], also α = Somit gilt auch A u = βe + γe U, also A U U und insgesamt A G (b Zunächst überlegen wir uns, wie die Matrizen A G aussehen Die Bedingung A e = e schreibt sich a a a a a a a = a =! a a a a Folglich a = und a = a =
Die Bedingung A U U schreibt sich damit als a a a β + a γ a a β = a β + a γ =! λ U a a γ a β + a γ µ für beliebige β, γ R Somit gilt a = a = Also ist A G von der Form A = a a, a a ( und da det(a vorausgesetzt wird, ist a a a a Nun definieren wir die Abbildung Φ : GL(, R R, ( a b a b c d c d Dann ist Φ(B invertierbar für alle B GL(, R, da Außerdem gilt offensichtlich det(φ(b = det(b Φ(B e = e, Φ(B e = ae + ce, Φ(B e = be + de U Also Bild Φ G Φ ist ein Homomorphismus von Gruppen: ( ( ( Φ(A Φ(A = = A A = Φ(A A A A Φ ist surjektiv: Für A G in der Form ( ist B = ( a a a a ein Urbild unter Φ Φ ist injektiv: Das folgt sofort aus der Abbildungsvorschrift für Φ
Aufgabe Gegeben seien zwei Untervektorräume U, W des R, U = [, ], W = [, ] (a Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von U W (b Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von U + W (a Jeder Vektor im Schnitt muss sich als Linearkombination sowohl der Erzeuger von U als auch der Erzeuger von W schreiben lassen Also setze an: α + α! = β + β mit Unbekannten α, α, β, β R Schreibe dies als LGS und löse mit dem Gauß- Algorithmus: ( Daraus lesen wir β =, β = ab, und somit wird der Schnitt erzeugt von = Folglich ist dim U W = (b Aus dem LGS ( lesen wir ab, dass die erste, zweite und dritte Spalte linear unabhängig sind Somit bilden sie eine Basis von U + W : U + W = [,, ]
Aufgabe Es sei V ein K-Vektorraum und V der Dualraum von V Für einen Untervektorraum U von V definieren wir U := {ϕ V ϕ(u = für alle u U} Zeigen Sie: (a U ist ein Untervektorraum von V (b Für Untervektorräume U, W von V gilt: (i (U + W = U W (ii (U W = U + W (a Die -Abbildung ist ein Element von U Für ϕ, ψ U, λ, µ K und beliebiges u U gilt (λϕ + µψ(u = λϕ(u + µψ(u = λ + µ =, also λϕ + µψ U Somit ist U ein Untervektorraum von V (b (i Ist ϕ(u + w = für alle u U, w W, so gilt insbesondere ϕ(u + = = ϕ( + w Umgekehrt folgt aus der Linearität von ϕ, dass ϕ(u = = ϕ(w auch ϕ(u + w zur Folge hat Also gilt: (U + W = {ϕ V ϕ(u + w = für alle u U, w W } = {ϕ V ϕ(u =, ϕ(w = für alle u U, w W } = {ϕ V ϕ(u = für alle u U} {ϕ V ϕ(w = für alle w W } = U W (ii : Für ϕ U gilt insbesondere ϕ(x = für alle x U W Also U (U W Analog W (U W Somit ist U W (U W, und da letzteres ein Vektorraum ist, gilt auch U + W = [U W ] (U W : Sei ϕ (U W Mittels linearer Fortsetzung können wir folgende lineare Abbildung definieren { ϕ(x, x V \ U ϕ U (x :=, x U Es ist ϕ U U Dann ist ϕ W := ϕ ϕ U W und somit ϕ = ϕ U + ϕ W U + W, und da ϕ beliebig gewählt war, gilt (U W U + W
Aufgabe Es sei A = α β α R, α, β R (a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A abhängig von α und β (b Sei nun β = Bestimmen Sie die Eigenräume von A abhängig von α (a Bestimme das charakteristische Polynom p A von A: X p A = det(a XE = det α β X α = ( X(β X( X X Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen von p A, also λ =, λ = β, λ = Falls β, sind alle Eigenwerte einfach (b Für β = ist ein doppelter Eigenwert von A, der Eigenraum von A kann also Dimension oder haben (i Bestimme den Eigenraum E( = Kern(A E : 5 A E = α α α Für α = ist der Rang dieser Matrix und der Eigenraum ist [ E( =, ] Für α ist der Rang, der Eigenraum ist [ E( = ] (ii Bestimme den Eigenraum E( = Kern(A + E : A + E = α 5 α 5 Der Eigenraum ist (unabhängig von α [ E( = ]
Aufgabe 5 Es sei A n K n n die Matrix mit den Koeffizienten {, i j a ij =, i = j (a Berechnen Sie det(a, det(a, det(a und det(a (b Zeigen Sie: det(a n = ( n (n Die Matrix A n sieht folgendermaßen aus: (a det(a = det( = A n = det(a = det ( = = ( det(a = det = + + = det(a = det = det = det ( ( ( = ( = (b Inspiriert durch das Vorgehen bei det(a lösen wir den allgemeinen Fall mit den folgenden Umformungen: Subtrahiere die n-te Zeile jeweils von den Zeilen bis n : det(a n = det = det Addiere die Spalten bis n jeweils zur n-ten Spalte: det(a n = det = det n
Nun liegt eine untere Dreiecksgestalt vor, dh die Determinante kann als Produkt der Diagonalelemente abgelesen werden: det(a n = det = ( n (n n