2. Anordnung zur digitalen Signalverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Norbert Höptner Prof. Dr.-Ing. Stefan Hillenbrand Ergänzende Informationen zur Vorlesung Signalverarbeitungssysteme Abschnitte 2.1-2.5. 1
Inhalt 2.1 Systemaufbau... 3 2.1.1 Wiederholung: Kontinuierliche und diskrete Signale... 3 2.1.2 System zur Digitalen Verarbeitung kontinuierlicher Signale... 4 2.2 Bandbegrenzung und Abtastung... 5 2.2.1 Anti-Aliasing-Tiefpass... 5 2.2.2 Rekonstruktionsfilter... 24 2.2.3 Si-Entzerrung... 26 2.2.4 Abtasthalteglied... 27 2.3 Quantisierungskennlinien... 28 2.3.1 Berechnungen anhand eines Beispiels... 28 2.3.2 Beispiel... 29 2.3.3 Größe des Quantisierungsfehlers... 30 2.3.4 Festkomma-Quantisierungs-Kennlinie... 31 2.3.5 Gleitkomma-Quantisierungs-Kennlinie... 34 2.4 Zahlendarstellung... 35 2.4.1 Festkomma / Gleitkomma... 35 2.4.2 6dB-pro-Bit-Regel... 36 2.4.3 Quantisierungseffekte bei einer Sinus-Schwingung... 37 2.5 Multiplizierende Akkumulation... 38 2
zeitdiskret Signal Signal zeitkontinuierlich Signal Signal Skript "SVS" 2.1 Systemaufbau 2.1.1 Wiederholung: Kontinuierliche und diskrete Signale wertkontinuierlich wertdiskret Zeit Zeit Zeit Zeit 1. Zeit- und wertekontinuierliches Signal Standard der analogen Signalverarbeitung mathematisch: Funktion y(t) 2. Zeitdiskretes und wertekontinuierliches Signal Das Signal y(t) wird nur zu diskreten Zeitpunkten betrachtet meist (in der Vorlesung immer) sind die Abtastzeitpunkte wie im Bild äquidistant: t = k T A, k Z Die Signalwerte sind weiterhin reelle Zahlen 3. Zeitkontinuierliches und wertediskretes Signal Die Signalwerte werden diskretisiert, das heißt y R wird quantisiert und damit auf eine begrenzte Zahl an Signalwerten abgebildet. In der Regel in der Kombination mit der zeitlichen Abtastung, sodass dieses Signal in der Praxis keine Bedeutung hat 3
4. Zeit- und wertediskretes Signal Dies ist das Signal, das man nach der üblichen Abtastung erhält: o das kontinuierliche Signal wird zu festen Abtastzeitpunkten t = k T A abgetastet o der Signalwert y(k T A ) wird im Analog-/Digitalwandler quantisiert, also auf eine endliche Zahl von (Integer)Werten abgebildet. Das zeit- und wertediskrete Signal heißt auch Digitales Signal In der Praxis ist die Zahl der Quantisierungsstufen sehr hoch, dass bei vielen Betrachtungen der Einfluss der Quantisierung vernachlässigt wird. Schreibweise Kontinuierliches Signal y(t), y R, t R Zeitdiskretes Signal {y(0), y(t A ), y(2 T A ), } y(k T A ) y[k] 2.1.2 System zur Digitalen Verarbeitung kontinuierlicher Signale In fast allen Fällen hat man es mit kontinuierlichen Signalen zu tun. Um Algorithmen der Digitalen Signalverarbeitung anwenden zu können, müssen diese diskretisiert werden. Das zeitdiskrete Ergebnis des Signalverarbeitungsalgorithmus wird dann wieder in ein kontinuierliches Signal umgewandelt. Beispiel der Audiosignalverarbeitung: analoger Tiefpass Sample & Hold A/D analoger Tiefpass D/A Algorithmus 4
2.2 Bandbegrenzung und Abtastung 2.2.1 Anti-Aliasing-Tiefpass Anti-Aliasing-Filter, das hochfrequente Signalanteile, z. B. aus dem Signalrauschen entfernt. Warum das Filter notwendig ist und immer analog realisiert werden muss, wird im Folgenden diskutiert. 2.2.1.1 Abtastung Bei der Abtastung mit der Abtastzeit T A werden aus dem kontinuierlichen Signal u(t) zu den Abtastzeitpunkten t = k T A, k N die Abtastwerte u(k T A ) = u[k] entnommen. Der gesamte Signalverlauf über die Zeit kann daher dargestellt werden als Zahlenfolge {u[0], u[1], } Vektor u = (u[0] u[1] ) T Die Darstellung als Vektor wird insbesondere in dem weitverbreiteten Werkzeug MATLAB verwendet. Wichtig Durch die Zahlenfolge sind nur die Signalwerte zu den Abtastzeitpunkten k T A definiert. Es ist nicht bekannt, wie das zugehörige Signal zwischen den Abtastzeitpunkten verläuft! 5
2.2.1.2 Aliasing anhand eines Beispiels Als Beispiel wird ein Sinussignal y(t) = sin (2π 9 4 t) mit der Abtastfrequenz f A = 5 4 Hz diskretisiert. Die Abtastfrequenz ist damit kleiner als die Signalfrequenz. Damit ergeben sich die im Bild gezeigten Abtastwerte. Diskretisierung des sinusförmigen Signals Abtastung mit Weitere Signale Abtastwerte können Sinussignale verschiedener Frequenzen repräsentieren! Dieselben Abtastwerte könnten jedoch auch dem blau eingezeichneten Sinussignal y(t) = sin(2π 1 t) entnommen sein, dessen Frequenz f = 1Hz kleiner als die Abtastfrequenz ist. Schaut man sich den Verlauf der Abtastpunkte an, erkennt man, dass am besten das Sinussignal y(t) = sin (2π 1 4 t) passt, dessen Frequenz f = 1/4 nun viel kleiner als die der Abtastfrequenz ist. Allgemein gilt Den Effekt, dass einem Signal entnommene Abtastwerte auch ein anderes Signal repräsentieren können, nennt man Aliasing. Aliasing ist in der Signalverarbeitung unerwünscht: so möchte man z. B. anhand der gemessenen und gespeicherten Signalwerte das Spektrum also die im Signal enthaltenen Frequenzen bestimmen. Im Beispiel würde man dann statt auf die echte Frequenz f = 9/4Hz auf die falsche Frequenz f = 1/4Hz schließen! Das Vermeiden von Aliasing erfordert, dass die Signale mit einer hinreichend großen Abtastfrequenz erfasst werden. 6
2.2.1.3 Abtasttheorem (ohne Beweis) Je größer die im zu verarbeitenden Signal vorkommenden Frequenzen sind, desto größer muss auch die Abtastfrequenz f A gewählt werden, damit das Signal wieder eindeutig rekonstruiert werden kann. Betrachtet man nochmal das einführende Beispiel so erkennt man, dass für f = 9/4Hz und f = 1Hz weniger als 2 Abtastwerte in einer Periode des Sinussignals liegen. Erst für f = 1 4 Hz wird jede Periode des Sinus mit mehr als 2 Abtastwerten erfasst und damit kann dann auch die Frequenz des Signals anhand der Abtastwerte eindeutig ermittelt werden. Genau diese Aussage enthält das Abtasttheorem, das ohne Beweis in seiner einfachsten Form angegeben wird (Shannon, Nyquist): Das Signal y(t) kann genau dann aus den mit Abtastfrequenz f A ermittelten Abtastwerten y[k] = y(k T A ), T A = 1 f A eindeutig rekonstruiert werden, wenn gilt: f A > 2 f max Hierbei ist f max die größte im Signal y(t) enthaltene Spektralfrequenz (in Hz). Anmerkungen Es reicht nicht aus, die Abtastfrequenz doppelt so hoch wie die maximale Signalfrequenz zu wählen (f A = 2 f max ). Dies ist am einfachsten am Beispiel des Sinussignals y(t) = sin(2π 1 t) zu erkennen. Hier gilt f = f max = 1Hz. Bei der Abtastung mit f A = 2 f max = 2Hz folgt: y[k] = y(k T A ) = y (k 1 2 ) = sin (2π 1 k 1 ) = sin(π k) = 0 k 2 Anhand der Abtastwerte lässt sich daher nicht erkennen, dass es sich um ein Sinussignal handelt! 7
y(t) Skript "SVS" Abtastung von y(t)=sin(2 t) mit T A = 0.5s 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 Es gibt in der Literatur auch Formulierungen in der Form f A 2 f B. Dann ist f B die kleinste Frequenz, ab der das Spektrum = 0 ist. Die Aussage ist damit dieselbe. Nyquist-Frequenz: f Nyquist = 1 2 f A Schon vor den Computern bekannt: Paper von Nyquist (1928) bzw. Shannon (1933) Wie das Signal aus den Abtastwerten rekonstruiert werden kann, lässt sich am einfachsten im Frequenzbereich herleiten. Daher Herleitung/Diskussion später. 2.2.1.4 Allgemeinere Form Die einfache Formulierung bezieht sich auf sogenannte Tiefpasssignale, die Frequenzen im Bereich 0 f f max beinhalten. In der Signalübertragung (z. B. über Funk) wird ein solches Signal häufig auf eine Trägersignal aufmoduliert, so dass sich dann ein Frequenzbereich f 1 f f 2 ergibt. Für alle anderen Frequenzen ist das Spektrum dann gleich 0. Man sagt, das Signal hat die Bandbreite B = f 2 f 1. In diesem Fall kann das abgetastete Signal eindeutig rekonstriert werden, wenn gilt: f A < f 2 f 1 = B 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Zeit / s Auch hier gibt es etwas abweichende Formulierungen. 2.2.1.5 Beispielrechnungen im Zeitbereich 2.2.1.5.1 Addition der Abtastfrequenz zur Signalfrequenz Es werden zwei sinusförmige Signale betrachtet: x(t) = sin(2π f 0 t + φ) y(t) = sin(2π (f 0 + f A ) t + φ) y(t) unterscheidet sich von x(t) durch die um die Abtastfrequenz f A vergrößerte Signalfrequenz Durch Addition des Phasenwinkels φ gelten die Betrachtungen natürlich auch für Cosinussignale Abtastung mit T A = 1/f A 8
x[k] = sin(2π f 0 k T A + φ) y[k] = sin(2π (f 0 + f A ) k T A + φ) = sin(2π f 0 k T A + 2π f A k T A + φ) = sin(2π f 0 k T A + 2π k + φ) Da der Sinus die Periode 2π hat, ändert die Addition von 2π k im Argument nichts und es gilt: y[k] = sin(2π f 0 k T A + φ) = x[k] Wird daher die Frequenz des Signals um die Abtastfrequenz vergrößert (oder auch verkleinert), so erhält man dieselben Abtastwerte! 2.2.1.5.2 Frequenzen symmetrisch zur Nyquist-Frequenz (Cosinus) Gegeben sind zwei Cosinus-Signale, deren Frequenz um Δf von f A /2 abweicht: x(t) = cos (2π ( f A 2 Δf) t) Δf < f A 2 y(t) = cos (2π ( f A + Δf) t) 2 Beide Signale werden jetzt mit der Abtastfrequenz f A = 1/T A abgetastet: x[k] = cos (2π ( f A 2 Δf) k T A) = cos (kπ 2π Δf kt A ) y[k] = cos (2π ( f A 2 + Δf) k T A) = cos (kπ + 2π Δf kt A ) Mit dem bekannten Zusammenhang (Formelsammlung Papula) folgt cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin (y) x[k] = cos(kπ) cos(2πδfkt A ) + sin(kπ) y[k] = cos(kπ) cos(2πδfkt A ) sin(kπ) 0 0 cos(2π ΔfkT A ) = cos(kπ) cos(2π ΔfkT A ) cos(2π ΔfkT A ) = cos(kπ) cos(2π ΔfkT A ) x[k] = y[k] Interpretation mit dem Abtasttheorem x[k] wird korrekt abgetastet y[k] verletzt das Abtasttheorem, da f = f A 2 + Δf > f A /2 9
Damit gilt: Wird das Abtastheorem verletzt und liegt die höchste Signalfrequenz f max um Δf oberhalb der Nyquist-Frequenz, f max = f A 2 + Δf Δf = f max f A 2 so wird das Signal nach der Abtastung interpretiert, als habe es die Frequenz f = f A 2 (f max f A 2 ) = f A f max Im Einführungsbeispiel mit f A = 5/4 haben die Signale mit f = 9 4 und f = 9 4 5 4 = 1 dieselben Abtastwerte. 2.2.1.5.3 Frequenzen symmetrisch zur Nyquist-Frequenz (Sinus) Gegeben sind zwei Sinus-Signale, deren Frequenz um Δf von der Nyquist-Frequenz f A /2 abweicht: x(t) = sin (2π ( f A 2 Δf) t) Δf < f A 2 y(t) = sin (2π ( f A + Δf) t) 2 Beide Signale werden jetzt mit der Abtastfrequenz f A = 1/T A abgetastet: x[k] = sin (2π ( f A 2 Δf) k T A) = sin (kπ 2π Δf kt A ) y[k] = sin (2π ( f A 2 + Δf) k T A) = sin (kπ + 2π Δf kt A ) Mit dem bekannten Zusammenhang (Formelsammlung Papula) folgt sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin (y) x[k] = sin(kπ) 0 y[k] = sin(kπ) 0 cos(2πδfkt A ) cos(kπ) sin(2π ΔfkT A ) = cos(kπ) sin(2π ΔfkT A ) cos(2πδfkt A ) + cos(kπ) sin(2π ΔfkT A ) = cos(kπ) sin(2π ΔfkT A ) x[k] = y[k] Interpretation mit dem Abtasttheorem x[k] wird korrekt abgetastet y[k] verletzt das Abtasttheorem, da f = f A 2 + Δf > f A /2 10
Damit gilt: Wird das Abtasttheorem verletzt und liegt die höchste Signalfrequenz f max um Δf oberhalb der Nyquist-Frequenz, f max = f A 2 + Δf Δf = f max f A 2 so wird das Signal nach der Abtastung interpretiert, als habe es die Frequenz f = f A 2 (f max f A 2 ) = f A f max und das umgekehrte Vorzeichen. Im Einführungsbeispiel mit f A = 5/4 haben die Signale mit f = 1 und f = 5 4 1 = 1 4 dieselben Abtastwerte. 11
2.2.1.6 Mathematische Beschreibung des Abtastvorgangs Bei der Betrachtung des Abtastvorgangs wurde bisher technisch vorgegangen und überlegt, wie zu jedem Abtastzeitpunkt t = k T A der Funktionswert y[k] = y(k T A ) aus dem Signal y(t) entnommen werden kann. Will man nun die Fouriertransformation von y(t) und y[k] berechnen, um das Ergebnis mit einander zu vergleichen, trifft man damit auf ein mathematisches Problem: y(t) ist eine zeitkontinuierliche Funktion, die für alle t R definiert ist y[k] ist nur zu den Abtastzeitpunkten t = k T A, k Z definiert. Die Fouriertransformation kann mit den bekannten Formeln nur für ein zeitkontinuierliches Signal y(t), nicht jedoch für Abtastwerte y[k] berechnet werden! Um das Problem zu lösen, benötigt man ein Signal y (t) mit den folgenden Eigenschaften: y (t) ist zeitkontinuierlich, d. h. y (t) ist für alle t R definiert y (t) = 0 für t k T A y (k T A ) 0 und liefert die Information über den Funktionswert y[k] = y(k T A ) Dieses Signal y (t) lässt sich mit Hilfe von Diracimpulsen aufbauen. Denn durch die Multiplikation von y(t) mit dem Diracimpuls δ(t k T A ) ergibt sich eine kontinuierliche Funktion, die nur für t = k T A von Null verschieden ist und für t = k T A mit y[k] gewichtet ist. Dies ist die Abtasteigenschaft des Diracimpulses: y(t) δ(t k T A ) y[k] δ(0) = { t = k T A = y[k] δ(t k T 0 sonst A ) Damit kann ein kontinuierlicher Signalverlauf für alle Abtastwerte y[k], k Z zusammengesetzt werden: y (t) = y[k] δ(t k T A ) = y(t) δ(t k T A ) = y(t) δ(t k T A ) k= k= k= Mathematisch kann die Abtastung damit beschrieben werden als Multiplikation des kontinuierlichen Signals y(t) mit einem Dirac-Kamm δ TA (t) y (t) = y(t) δ(t k T A ) = y(t) δ TA (t) k= Weitere Namen für den Dirac-Kamm Dirac-Stoß-Folge Schah-Funktion, da manche Autoren wegen der passenden Optik den kyrillischen Buchstaben Scha(h) Ш als Bezeichner verwenden 12
Für die Funktion y (t) kann nun die Fouriertransformation berechnet werden: y (t) = y(t) δ TA (t) Y (ω) = 1 2π Y(ω) Δ T A (ω) Die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals ist also gleich der Faltung der Fouriertransformierten Y(ω) der kontinierlichen Funktion y(t) und der Fouriertransformierten Δ TA (ω) des Dirac-Kamms Δ TA (t) Um das Spektrum des zeitdiskreten Signals weiter untersuchen zu können, muss die Fouriertransformierte des Dirac-Kamms bestimmt werden. 2.2.1.7 Fouriertransformation des Dirac-Kamms 2.2.1.7.1 Vorstellung und Diskussion Mithilfe der Fourierreihe bzw. der Poissonschen Summenformel kann man leicht herleiten, dass das Spektrum des Dirac-Kamms ebenfalls ein Dirac-Kamm ist: δ TA (t) = δ(t k T A ) k= Δ TA (ω) = ω A δ(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A Warum ergibt sich trotz der bekannten Korrespondenz δ(t) 1 jetzt im Frequenzbereich ein Dirac-Kamm? 1. Im Frequenzbereich überlagern sich unendlich viele komplexe Schwingungen: δ(t k T A ) e j k T A ω 2. Der einzelne Dirac-Impuls ist für T A im Dirac-Kamm enthalten. Dann rücken die Impulse im Frequenzbereich immer weiter zusammen (ω A 0) und man erhält das konstante Spektrum des Dirac-Impulses Abstand der Impulse im Zeitbereich wird immer größer 13
2.2.1.7.2 EXTRA: Herleitung (erfordert Kenntnis der Fourierreihe) Der Dirac-Kamm ist eine periodische Funktion mit der Periode T A und kann daher als kompexe Fourierreihe dargestellt werden: δ TA (t) = c k e jkωat, k= ω A = 2π T A Die Koeffizienten c k der Fourierreihe berechnen sich durch Integration über eine Periode: T A2 c k = 1 1 δ(t) T e jkωat dt = e jkωa 0 = 1 A T A T A T A 2 Die Lösung des Integrals erfolgt dabei mithilfe der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impuls. Die Entwicklung des Dirac-Kamms in eine Fourierreihe ergibt damit die Poissonsche Summenformel: δ TA (t) = δ(t k T A ) = 1 e jkω At T A k= k=, ω A = 2π T A Die Fouriertransformation kann nun mithilfe der Korrespondenz e jat 2π δ(ω a) durchgeführt werden (a = kω A ) 1 e jkω At T A k= 1 2π δ(ω k ω T A ) A k= Damit ergibt sich die gesuchte Korrespondenz: δ TA (t) = δ(t k T A ) k= Δ TA (ω) = ω A δ(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A 2.2.1.7.3 Fouriertransformation des abgetasteten Signals Zur Berechnung der Fouriertransformierten des abgetasteten Signals ist es jetzt nur noch ein kleiner Schritt: Y (ω) = 1 2π Y(ω) Δ T A (ω) = 1 2π Y(ω) ω A δ(ω k ω A ) k= Aus den Betrachtungen zum Dirac-Impuls ist bekannt: y(t) δ(t t 0 ) = y(t t 0 ) Y(ω) δ(ω ω 0 ) = Y(ω ω 0 ) 14
Damit folgt für die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals: y (t) = y(t) δ(t k T A ) k= Y (ω) = 1 T A Y(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A Wichtige Beobachtung Wird das Signal y(t) mit der Abtastzeit T A abgetastet, so wiederholt sich dessen Spektrum Y(ω) im Frequenzbereich unendlich oft im Abstand ω A = 2π/T A Diese Wiederholung hat weitreichende Konsequenzen Maximale Kreisfrequenz von kleiner als Maximale Kreisfrequenz von größer als Wiederholte Spektren überlappen sich Aliasing 15
Diskussion Wenn sich die Spektren überlagern, ist keine eindeutige Rücktransformation mehr möglich. Sind im Signal größere Frequenzen als ω A /2 enthalten, so werden diese durch die periodische Wiederholung durch o Spiegelung an ω A /2 o Wiederholungen im Abstand ω A in den unteren Frequenzbereich abgebildet Aliasing Um das Überlagern der Spektren zu verhindern, muss o die Abtastfrequenz hinreichend groß sein o die maximale Frequenz von y(t) muss vor dem Abtasten mit einem analogen Anti-Aliasing Tiefpass begrenzt werden! 2.2.1.8 Abtasttheorem Das bereits angegebene Abtasttheorem kann anhand der Überlagerung der Spektren leicht hergeleitet werden: Die Spektren überlagern sich nicht, wenn gilt: ω A > 2 2πf max 2πf A > 2 2πf max f A > 2 f max 2.2.1.9 Beispiele 2.2.1.9.1 Kurzes Signal Als Beispiel wird das folgende Signal verwendet: y(t) = t e t 0 t < 0 σ(t) = { t e t t 0 16
Das Spektrum / Fouriertransformierte kann direkt aus der Tabelle abgelesen werden: Y(ω) = 1 (1 + jω) 2 Berechnen von Betrag und Phase: 2 1 Y(ω) = 1 + jω 1 = ( 1 + ω 2) 2 = 1 1 + ω 2 1 arg(y(ω)) = 2 arg ( ) = 2 (arctan(0) arctan(ω) ) = 2 arctan(ω) 1 + jω Abtastung des Signals 0 k < 0 y[k] = y(k T A ) = { kt A e (kt A ) k 0 Abtastung mit T A = 1 s 17
Mathematische Darstellung mit Diracimpulsen Y (ω) = y(t) δ(t k T A ) = y[k] δ(t k T A ) k= k= Spektrum des abgetasteten Signals Entsprechend der Herleitung gilt: Y (ω) = 1 T A Y(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A Es müssen die komplexen Fouriertransformierten addiert werden! Die Addition der Betragsspektren liefert nicht dasselbe Ergebnis, die Maxima der Summe sind sogar kleiner als die der Einzelspektren Das Abtasttheorem wird NICHT eingehalten, die Spektren überlappen sich. 18
Andere Abtastfrequenzen Durch die größere Abtastfrequenz liegen die Wiederholungen weiter auseinander Die Überlappungen werden geringer (sind aber immer noch vorhanden) Die Höhe der Maxima wird wegen des Faktors 1 größer T A 2.2.1.10 Beispiel: Cosinussignal Es wird ein Cosinussignal y(t) = cos(2π f 0 t) Y(ω) = π(δ(ω + 2πf 0 ) + δ(ω 2πf 0 )) mit der Frequenz f A = 2000 Hz abgetastet, y[k] = cos(2π f 0 k T A ) = cos (2π f 0 f A k). Frequenz f 0 = 250 Hz 19
Das Spektrum des abgetasteten Signals ergibt sich mit ω A = 2π f A = 4000π zu Y (ω) = 1 Y(ω k ω T A ) = 2000 Y(ω k 4000π) A k= k= = 2000 π δ(ω + 500π k 4000π) + δ(ω 500π k 4000π) k= Das Spektrum Y(ω)/T A wiederholt sich damit mit der Periode 4000π. Zu hören ist die im gelben Fensterbereich ω A 2 < ω < ω A 2 gezeichnete Frequenz und damit das Signal mit f 0 = 250 Hz bzw. ω 0 = 500π rad/s. Die Frequenz f 0 wird nun schrittweise (500 Hz, 750 Hz) vergrößert: 20
Bei f 0 = 1000 Hz wird die Nyquistfrequenz (f A /2) erreicht Es werden die Minima und Maxima des Cosinussignals abgetastet: Bei f 0 = 1250 Hz wird das Abtasttheorem verletzt Die Diracimpulse des Cosinussignals (durchgezogene Impulse) liegen nun außerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2. Durch die periodische Wiederholung des Spektrums des abgetasteten Signals (gestrichelte Impulse) liegen darin die Impulse für f = ±750 Hz bzw. ω = ±1500π rad/s, die bei der Tonwiedergabe zu hören sind. 21
Weitere Erhöhung der Frequenz f 0 : Innerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2 liegen nun wieder Impulse, die sich aus der periodischen Fortsetzung ergeben. Zu hören sind daher immer kleiner werdende Frequenzen. Bei f 0 = f A fallen die periodisch fortgesetzten Impulse aufeinander: 22
Es bleibt die Frequenz f = 0 Hz bzw. ω = 0 rad/s und damit ein Gleichspannungssignal. Abgetastet werden die Maxima des Cosinusignals. Weitere Erhöhung der Frequenz f 0 Innerhalb des gelb eingezeichneten Bereichs ω A 2 < ω < ω A 2 liegen weiterhin Impulse, die sich aus der periodischen Fortsetzung ergeben. Zu hören jetzt wieder größer werdende Frequenzen. 23
2.2.2 Rekonstruktionsfilter Mit Hilfe eines Tiefpasses wird aus den zeitdiskreten Signalwerten wieder ein analoger kontinuierlicher und stetiger Signalverlauf rekonstruiert. Auch dieses Filter muss analog ausgelegt werden! Durch Diskretisierung des kontinuierlichen Signals y(t) mit der Abtastzeit T A erhält man: y (t) = y(t) δ(t k T A ) = y[k] δ(t k T A ) k= k= Im Frequenzbereich ergibt sich damit das periodische Spektrum Y (ω) = 1 T A Y(ω k ω A ) k=, ω A = 2π T A Beobachtungen Zum diskreten Signal y[k] bzw. gehört das periodisch fortgesetzte Spektrum Y (ω) Zum gesuchten kontinuierlichen Signal y(t) gehört das darin enthaltene Spektrum Y(ω) Durch Multiplikation mit einem Rechteckfenster kann das Spektrum des kontinuierlichen Signals ausgeschnitten werden. Durch Rücktransformation des Ausschnitts des Spektrums des diskreten Signals erhält man dann das kontinuierliche Signal. Rekonstruktion: Ausschneiden einer Periode des Spektrums durch Multiplikation mit dem Rechteckfenster im Frequenzbereich (=Filterung mit idealem Tiefpass) Y(ω) = T A Y (ω) rect ωa (ω) Im Zeitbereich entspricht dies der Faltung der entsprechenden Zeitfunktionen: y(t) = T A y (t) F 1 {rect ωa (ω)} Die Fourierrücktransformation der Rechteckfunktion wurde bereits berechnet: 24
y(t) Skript "SVS" F 1 {rect ωa (ω)} = ω A 2π sinc (ω A 2π t) = 1 T A sinc ( t T A ) Einsetzen von y (t) und Nutzung der einfachen Faltung mit dem Dirac-Impuls liefert: y(t) = T A y[k] δ(t k T A ) 1 sinc ( t ) = T A T A k= y (t) Damit ergibt sich die Rekonstruktionsformel zu y(t) = y[k] sinc ( t k) T A k= y[k] k= sinc ( t k T A T A ) Wichtiger Hinweis Die Herleitung erfolgt mithilfe der Fouriertransformation. Daher wird davon ausgegangen, dass das Signal y(t) für alle t R exisitert. Bei Signalausschnitten erhält man auf diese Weise nicht im gesamten Intervall eine korrekte Rekonstruktion! Zusammenfassung / Beispiel Frequenzbereich Ausschneiden von durch Multiplikation mit Rechteckfenster = Filterung mit idealem Tiefpass Zeitbereich Rücktransformation 3.5 3 2.5 2 1.5 Ergebnis: sinc-rekonstruktion 1 0.5 0-0.5-1 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 Zeit / s 25
2.2.3 Si-Entzerrung Die zeitdiskreten Signalwerte gelangen nicht als Impulse sondern als Pulse zum Rekonstruktionstiefpass, da die Ausgangswerte des DA-Wandlers mit einem Halteglied bis zum nächsten Abtasttakt gehalten werden. Quelle: R. Scheithauer "Signale und Systeme", B.G.Teubner Stuttgart, 1998, ISBN 3-519-04625-1 26
2.2.4 Abtasthalteglied Das Abtasthalteglied (Sample & Hold, S&H): Für die Diskretisierung muss der kontinuierliche Signalwert zu jedem Abtastzeitpunkt kurzzeitig gespeichert und gehalten wer-den. Im S&H-Glied erfolgt daher die zeitliche Diskretisierung. Oft ist das S&H im A/D-Wandler integriert. Weitere Elemente des Signalverarbeitungssystems (werden später besprochen): A/D Umsetzung Algorithmus D/A Der gehaltene Signalwert wird in einen wertdiskreten Wert überführt. Damit stehen zeit- und wertdiskrete Signalwerte u[k] für die weitere Verarbeitung zur Verfügung. An dieser Stelle können verschiedene Algorithmen der zeitdiskreten Signalverarbeitung ausgeführt werden, z. B. Speicherung der Daten Spektralanalyse mit der Diskreten Fouriertransformation Digitale Filter Der Algorithmus liefert als Ausgangsgröße das zeit- und wertdiskrete Signal y[k]. In diesem Block wird aus den digital gespeicherten Zahlenwerten zu jedem Abtastzeitpunkt wieder ein analoger Signalwert erzeugt. Meist ist auch hier wieder ein Halteglied integriert, das diesen Wert bis zum nächsten Abtastzeitpunkt konstant hält. 27
2.3 Quantisierungskennlinien Quantisierung des Eingangssignals in Stufen Spannungsbereich Spannungsintervall Diskreter Wert Diskrete Spannungswerte 2.3.1 Berechnungen anhand eines Beispiels Allgemein Beispiel Eingangsspannung: u min u u max 0 V u < 5 V Anzahl der Bits des A/D-Wandlers: Q Q = 3 Spannungsintervall: Δu = u max u min 2 Q Δu = 5 V 0V 2 3 = 5 8 V = 0,625V Quantisierungsstufen: 0 q 2 Q 1 q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Berechnung der Stufe: q = u u min Δu Gaußklammer u q = 0,625 V 2 u = 2 V q = 0,625 = 3 Diskrete Spannung: u q = u min + Δu (q + 1 2 ) u q = 0,625 V (q + 1 2 ) u 0 = 0,3125 V, u 1 = 0,9375 V, Quantisierungsfehler zum Abtastzeitpunkt u e = ± Δu 2 u e = ±0,3125V 28
u / V Skript "SVS" 2.3.2 Beispiel Es wird ein sinusförmiges Signal diskretisiert: u(t) = 2 sin (2π 1 2 t) Q = 3 Bit 2 Q = 8 Stufen T A = 0,1s Messbereich des D/A-Umsetzers: 2,5 V u < 2,5 V Damit folgt für die Spannungsauflösung: Δu = +2,5 V ( 2,5 V) 8 = 5 V 8 = 0,625V Das Bild zeigt erst die zeitliche Abtastung (S&H) und dann die Quantisierung: Quantisierung mit 2.5 Sample & Hold 1.875 1.25 0.625 0-0.625-1.25-1.875-2.5 0 0.5 1 1.5 2 Zeit / s Wegen der groben Quantisierung wird Fehler groß! Die Größe des Quantisierungsfehlers an den Abtastzeitpunkten hängt von der Auflösung der A/D-Umsetzung ab. Extrembeispiel ist die Quantisierung mit einem Bit (Q = 1), Vernachlässigbar wird der Fehler jedoch bei feinerer Quantisierung 29
2.3.3 Größe des Quantisierungsfehlers Für eine große Zahl an Quantisierungsstufen (typisch: 10, 12 oder 16 Bit), wird der Quantisierungsfehler am Abtastzeitpunkt sehr klein, im Beispiel: Bits Stufen Spannungsintervall Quantisierungsfehler 10 2 10 = 1024 Δu = 5V 1024 0,0049V u e = ±0,0024V 12 2 12 = 4096 Δu = 5V 4096 0,0012V u e = ±0,0006V 16 2 16 = 65536 Δu = 5V 65536 0,00008V u e = ±0,00004V Schlussfolgerung Bei einer großen Zahl an Stufen kann der Quantisierungsfehler in den Berechnungen vernachlässigt werden! Im weiteren Verlauf der Vorlesung wird der Fehler nicht mehr berücksichtigt werden! Quantisierungsfehler zwischen den Abtastzeitpunkten Selbst bei idealer Quantisierung weicht das tatsächliche Signal zwischen den Abtastzeitpunkten vom Abtastwert ab (außer das Signal ist konstant) Bei Einhaltung des Abtasttheorems (mehr dazu später) kann das Originalsignal dennoch wieder hergestellt werden! Daher wird dieser größere Fehler nicht berücksichtigt. 30
2.3.4 Festkomma-Quantisierungs-Kennlinie 31
32
33
2.3.5 Gleitkomma-Quantisierungs-Kennlinie 34
2.4 Zahlendarstellung 2.4.1 Festkomma / Gleitkomma 35
2.4.2 6dB-pro-Bit-Regel 36
2.4.3 Quantisierungseffekte bei einer Sinus-Schwingung 37
2.5 Multiplizierende Akkumulation Die "Basis-Operation" der digitalen Signalverarbeitung ist die "Multiplizierende Akkumulation" (multiplying accumulation MAC). Dies leitet sich zum einen aus der Direktstruktur digitaler Filter ab, die aus Eingangsspeichern, Multiplizierern und Addierern besteht. Beispiel IIR-Filter 2. Ordnung in Direktstruktur: Dieselben Rechenoperationen werden auch für die Berechnung der diskreten Fouriertransformation (auch in Form der Fast Fourier Transform FFT) benötigt: N 1 F(n) = f(kt) e jk2π N n = f(kt) e jkω n k=0 N 1 k=0 = f(0) e j 0 Ω n + f(1) e j 1 Ω n +.. 38