Mathematik I - Woche 4

Mathematik I - Woche 4 Philip Müller 1 Ableitung 1.1 Bedeutung der Ableitung Die Bedeutung 1 der ersten Ableitung ist, dass sie ein Mass für die Änderung einer Funktion ist. Wenn der Wert der Ableitung klein ist, heisst dies dass sich die Funktion nicht stark ändert. Ist sie dagegen gross bedeutet dies, dass die Änderung stark ist. Das Vorzeichen der Ableitung gibt die Änderung an. Ein positives Vorzeichen bedeutet eine Zunahme der Funktion. Ein negatives Vorzeichen bedeutet dementsprechend eine Abnahme. 1.1.1 Beispiel Angenommen bei x 0 sei die Ableitung der Funktion positiv, es gilt also f (x 0 ) > 0. Dies bedeutet, dass wenn h sehr sehr klein ist, aber noch positiv ist, dass f(x 0 ) < f(x 0 + h) gilt. Der Grund ist, dass man f(x) in x 0 durch eine lineare Funktion annähere kann. Man kann sagen, dass für positive aber sehr kleine h folgendes gilt: f(x 0 + h) = f(x 0 ) + h f (x 0 ) Bedenke dabei dass f (x 0 ) > 0 gilt. Das ganze heisst Taylorapproximation und wenn man keinen Plan hat ist eine Taylorapproximation immer gut! Zitat eines nicht namentlich genannten Professors der ETH, Bereich Chemie. 1.2 Definition Die Ableitung einer stetigen Funktion in einem Punkt, x 0 ist über den Differentialquotienten definiert. Und nur darüber. Er lautet: f f(x) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim x x 0 x x 0 h 0 h Wichtig ist auch, dass mann eine Funktion nur Ableiten kann, wenn sie in diesem Punkt stetig ist. (1) Abbildung 1: Hier ist eine bildliche Darstellung was Gleichung (1) bedeutet.quelle: Wikipedia 1 Zur Bedeutung der Ableitung gibt es einen lustigen Film. Man kann ihn unter https://www.youtube.com/watch?v=fiaupxkpb00 finden. Man kann auch nach I WILL DERIVE suchen 1

1.2.1 Fallend und Steigend In der Vorlesung wird eine fallende Funktion als eine Funktion definiert die monoton fallend ist, aber nicht streng monoton sein muss. Für die Ableitung bedeutet dies, dass die Ableitung der Funktion in einem Bereich negativ, also f (x) 0, ist. Dies ist weil nach der Erklärung von oben, 1.1.1, die Funktion in diesem Bereich mit grösser werdendem x kleiner wird. Eine steigende Funktion, wurde in der Vorlesung als eine monoton wachsende Funktion definiert, wieder ist das streng optional. Die bedeutet wiederum für die Ableitung der Funktion, dass wenn sie in einem Bereich positiv, also f (x) 0, ist, sie dann steigend ist. Dies ist der Fall der im Abschnitt 1.1.1 erläutert worden ist. Vergleiche auch mit Seite 3 von Kapitel 4, der Slides. Achtung Es lauern in der Tiefe der mathematischen exakten Definition noch einige Fallstricke. Die Übertragung auf streng monotone Funktionen ist nicht ganz einfach. Jedoch kann man sagen, dass wenn die Ableitung immer echt positiv bzw. negativ ist, so ist die Funktion streng monoton! Ich verweise hier auf mein Lieblingsbeispiel x 3. 1.3 Allgemeine Ausdrücke Für gewisse Funktionen, kann man allgemeine Ausdrücke für ihre Ableitung an beliebigen Punkten finden. Ich verweise an dieser Stelle auf die Vorlesungsunterlagen. Auch kann man im Internet viele Formelsammlungen zu diesem Thema finden. 1.4 Formelsammlung Ich habe euch zwei Formelsammlungen zusammengestellt. Also ich habe einfach Zusammenfassungen meines Kollegen genommen, und das ganze unnütze Zeug weggenommen. Mir ist bewusst, dass die Tabellen, sehr sehr gross und ausführlich sind. Aber ich finde so habt ihr eine ganz schöne Übersicht. Die Regel ist aber, dass wenn euch ein Titel oder Sektion nicht sagt, ist sie für euch momentan irrelevant. So wie ich dass gehört habe, werdet ihr wahrscheinlich nie alles brauchen. Aber ich will jetzt nicht jede Woche daran herumzubasteln, darum bekommt Ihr jetzt die ganze Zusammenfassung. Also was Ihr nicht kennt, braucht euch nicht zu interessieren! 1.5 Regeln/Berechnen Einen Ausdruck für die Ableitung zu finden ist an sich eigentlich ganz einfach. (Es gibt die komplizierten Dinge, aber dafür gibt es Tabellen.) Es gibt einen (kleinen) Satz von einigen einfachen Regeln die man miteinander verbindet. 1.5.1 Regeln Kettenregel Sie tritt in Aktion, wenn man die Ableitung von verschachtelten Funktionen bestimmen will. Eine verschachtelte Funktion ist: f(x) = g(h(x)) (2) Die Funktion f(x), aus Gleichung (2) ist eine verschachtelte Funktion. Eine konkrete Funktion wäre: f e (x) = sin(x 2 ). Hier ist g(x) = sin(x) und h(x) = x 2. Die Ableitung wird mit der Kettenregel bestimmt: f (x) = [g(h(x))] = g (h(x)) h (x) unser Beispiel: g (x) = cos(x) h (x) = 2x f e(x) = g (h(x)) h (x) = g (x 2 ) 2x) = cos(x 2 ) 2x Das wichtigste und verwirrendste an der Kettenregel ist, dass man nur die Funktion g ableitet, aber dass innere h nicht abgeleitet wird. 2

Produktregel Die Produktregel kommt zum Einsatz wenn ihr die Ableitung aus einer Multiplikation von zwei Funktionen bestimmen wollt. Sie lautet: [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) Hier gibt es eigentlich nichts mehr zu sagen. Quotientenregel wollt. Sie geht so: Die Quotientenregel kommt zum Zug, wenn ihr die Ableitung eines Bruches bestimmen [ ] f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) (g(x)) 2 Wichtig ist, das man hier vorsichtig sein muss, was die Reihenfolge im Zähler betrifft! Auch ist darauf zu achten, dass die Funktion g(x) an dem punkt, wo Ihr f(x) ableiten wollt, nicht 0 sein darf. Die x x -Regel Wenn man einen Ausdruck wie f(x) g(x) vor sich hat, muss man zuerst logarithmieren und dann exponenzieren. Dies führt letztlich dazu, dass man alles im Exponenten hat. Aber hier mal ein Beispiel: f(x) g(x) = e log(f(x)) g(x) = exp [log(f(x)) g(x)] [f(x) g(x)] [ = e log(f(x)) g(x)] = e log(f(x)) g(x) ( g(x) f e log(f(x)) g(x) ) (x) + log(f(x)) g (x) f(x) Bei dieser Regel muss man noch aufpassen, dass f(x) immer positiv ist, denn sonst funktioniert es nicht. Diese Regel ist sehr schwierig und kommt selten vor. Hier kann der untere Teil etwas verwirrend sein wichtig ist hier vor allem Gleichung (??), von dort kennt Ihr den Weg. 1.5.2 Üben Obwohl ableiten einfach ist, braucht es viel Sorgfalt um keinen Schritt zu vergessen. Auch muss man manchmal die Regeln mehrmals hintereinander anwenden, was in gigantischer Schreibarbeit ausarten kann. Ich rate Euch deshalb am Anfang dazu alles schön, Schritt für Schritt zu machen und auch aufzuschreiben. Die einzige Möglichkeit dies zu lernen ist Üben, und genau dazu ist die aktuelle Serie da. 2 Finden von Minima und Maxima Das finden von Minima und Maxima ist Teil einer Kurvendiskussion, die später einmal noch kommt. Minima und Maxima werden gemeinsam auch Extremas genannt. Bei einer Extremalstelle gilt zwingend dass die Ableitung verschwindet, also dass gilt: f (x 0 ) = 0. Jedoch ist dies nicht genug. Darum nennt man solche Punkte auch kritische Punkte. Als Begründung sei hier auf die Funktion x 3 verwiesen, deren Ableitung bei x = 0 eine Nullstelle hat, aber dort kein Maximum oder Minimum hat. Ein Extrema liegt vor, wenn das Vorzeichen links der Nullstelle der Ableitung eine anderes ist als rechts davon. 2.1 Eine Erklärung Hier machen wir mal ein Beispiel zu diesem Kriterium. Nehmen wir an dass die Ableitung von f(x) bei x 0 eine Nullstelle hat. Weiter, sei die Ableitung links davon, also für x < x 0, positiv, die Funktion wächst also kontinuierlich, wenn sie von links kommend auf x 0 zugeht. Weiter sei auf der rechten Seite, das Vorzeichen der Ableitung negativ. Wenn die Funktion also von x 0 nach rechts, Richtung + geht, fällt sie. Aus all diesen Dingen kann man schliessen, dass sich bei x 0 ein Maxima befindet, weill die funktion auf beiden Seiten kleiner wird. Währen die Vorzeichen umgekehrt, so hätten wir ein Minimum vor uns. Wenn jetzt aber das Vorzeichen links und rechts gleich sind, hat man zwar einen kritischen Punkt vor sich, der aber kein Maximum oder Minima ist. Es gibt noch ein anderes Kriterium, dass auf der zweiten Ableitung aufbaut, dieses Kriterium ist etwas einfacher. 3

2.2 Vorgehen Hier gebe ich nun ein Algorithmus an, wie man vorgehen muss um Maxima und Minima zu finden. Dabei ist noch zu unterscheiden, ob der Definitionsbereich offen ist. Siehe beim Abschnitt 2.3, auf Seite 4. Im folgenden geht es um die Funktion f : D R, x f(x) Suchen aller Kritischer Punkte. Also finden der Nullstellen der Ableitung von f. Dies liefert einem die Menge aller Kritischer Punkte K. Nun prüft man für alle Punkte x k K das Vorzeichen der zweiten Ableitung: f (x k ) < 0 Wenn die zweite Ableitung negativ ist, so ist bei x k ein relatives Maximum f (x k ) > 0 Wenn die zweite Ableitung positiv ist, so ist bei x k ein relatives Minimum Nun hat man die relativen Maximalstellen und Minimalstellen stellen gefunden. Um das absolute Maximum und Minimum zu finden, muss man nun ihre Werte miteinander vergleichen. Zum Schluss muss man noch den Rand untersuchen. Dabei handelt es sich um die Endpunkte des Intervalls, sofern diese existieren. Siehe hierzu auch abschnitt 2.3 auf Seite 4. Nun muss man den Wert der Funktion dort auch noch vergleichen. 2.3 Intervalle Ein Intervall ist ein Bereich auf der Zahlengerade. Ein Intervall wird primär durch seine Endpunkte charakterisiert. Die Endpunkte können enthalten sein oder nicht. Ein [ bzw. [ bedeuten, dass der Punkt drin ist und ein ( bzw. ) sagt, dass der Endpunkt nicht eingeschlossen ist. Der Einfachheit halber listen wir nun alle Varianten auf: beidseitig geschlossenes Die Schreibweise ist so [a, b]. Es enthält alle reellen Zahlen x für die gilt: a x b rechtsseitig offenes Die Schreibweise ist [a, b). Es ähnelt dem obigen Intervall sehr stark, nur dass hier b nicht enthalten ist. Es enthält also alle reellen Zahlen für die gilt: a x < b linksseitig offene Die Schreibweise ist (a, b]. Es ist ähnlich wie beim obigen Intervall, nur dass ihm anstatt b, a fehlt. Es enthält also alle reellen Zahlen für die gilt: a < x b beidseitig offene Die Schreibweise ist (a, b). Es ist jetzt nicht überraschend, dass diesem Intervall a und b fehlt. Es enthält also alle reellen Zahlen für die gilt: a < x < b Man kann nun sagen, dass an den Stellen, wo das Intervall offen ist, es dort keinen Rand hat. Das beidseitig offene Intervall hat keinen Rand, wobei der Rand beim beidseitig geschlossenem Intervall die Punkte a und b sind. 3 Aufgabe 3 Ich werde euch hier etwas über Aufgabe 3 schreiben. Ich empfehle euch aber, dass ihr zuerst versucht die Aufgabe zu lösen. Denn sie beinhaltet, einige wichtige Erkenntnisse, die ihr selber finden sollt. Ihr solltet also nur weiterlesen wenn ihr gar nicht weiterkommt. Nächste Seite geht es weiter. Achtung: Es hatte einen Fehler, also wenn ihr jetzt meinen Tipp gelesen habt und dies Euch verwirrt hat, tut es mir leid. Hier ist nun der richtige Tipp. 4

Also ihr findet, dass x (t) eine einzige Nullstelle hat, nennen wir sie mal t 0. Gefragt wird nun, wo die Funktion steigt und wo sie fällt. Zuerst noch zu den Definitionen. Eine Funktion fällt, wenn ihre Ableitung negativ ist, also gilt f (x) 0. Dementsprechend steigt sie, wenn ihre Ableitung positiv ist, also gilt f (x) 0. Wichtig ist zu bemerken, dass der eigentliche Wert der Ableitung in diesem Zusammenhang nicht wichtig ist. Wichtig hier ist einzig und alleine das Vorzeichen der ersten Ableitung! Ihr habt in a) ausgerechnet, bzw. festgestellt, dass x (t) positiv ist. Also ist die Funktion am Anfang steigend. Überlegen wir uns nun, wie lange sie steigend ist. Um nicht mehr steigend zu sein, muss sie das Vorzeichen wechseln. Hierfür braucht es zwingend eine Nullstelle. Hieraus folgt nun, dass die Funktion sicherlich im Intervall [0, t 0 ) steigend ist, weil es vor t 0 keine Nullstelle gibt und der Wert ihrer Ableitung bei t = 0 positiv ist. Jedoch ist die Nullstelle nicht genug, denkt hierzu an x 3, deren Steigung auch eine Nullstelle hat, aber auf ganz R streng monoton wachsend ist. Wir müssen uns also überlegen, wie die Steigung im zweiten Bereich (t 0, ) aussieht. Nun kommt eine weitere Beobachtung ins Spiel. In a) habt Ihr festgestellt, dass die Funktion bei t = 0 den Wert 0 hat. Wir wissen von oben, dass die Funktion am Anfang steigend ist. Wichtig ist, dass diese Steigung streng positiv ist, also x (t = 0) > 0. Dies bedeutet, dass Funktion echt steigt, also immer grösser wird und nicht auf einem Wert verharrt. Vergleiche hierzu auch Abschnitt 1.1.1 auf Seite 1. Die Funktion hat also bei t 0 einen echt positiven Wert, es gilt also x(t 0 ) > 0. Nun nutzen wir unsere Erkenntnisse von Aufgabe c). Dort haben wir gesehen, dass für t gilt, dass die Funktion zu 0 strebt. Da die Funktion bei t 0 grösser als Null ist, schliessen wir daraus, dass die Funktion im Intervall (t o, ) fallend sein muss! Weill wenn sie weiter steigend wäre, könnte sie 0 nicht erreichen. Auch kann sie später ihr Steigungsverhalten nicht mehr ändern, weil die Ableitung für t > t 0 keine weiteren Nullstellen hat. 5