6 Extremwerte mit Nebenbedingungen: Die Lagrange-Multiplikatoren-Methode In diesem Kapitel orientieren wir uns stark an den Büchern: 1. Knut Sydsæter, Peter Hammond, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Basiswissen mit Praxisbezug, PEARSON, 3. Auflage, 2009 2. Heidrun Matthäus, Wolf-Gert Matthäus, Mathematik für BWL- Bachelor, Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen, Springer Gabler, 4. Auflage, 2015 1
6.1 Reellwertige Funktionen zweier Variablen Bei der Untersuchung ökonomischer Funktionen ist es häufig nicht ausreichend, nur nach dem maximalen Gewinn oder den minimalen Kosten für ein Unternehmen zu fragen. Zwei Beispiele sollen dies illustrieren: Oft muss berücksichtigt werden, dass bei der Gewinnmaximierung nicht mehr als eine gewisse Menge der Güter abgesetzt werden kann. Bei der Kostenminimierung wird man wenigstens vertraglich gebundene Mengen herstellen müssen. Damit entstehen mathematische Probleme, bei denen es um die Suche von Extremwerten bei Vorliegen von Nebenbedingungen geht. Zur Lösung solcher Probleme stellen wir in diesem Abschnitt die Methode der Lagrange-Multiplikatoren vor. 2
Zunächst wollen wir uns noch eine eher intuitive Herangehensweise anschauen. Beispiel 6.1 Für die Funktion sollen unter der Nebenbedingung f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 2x 2x + 3y = 6 Extremwerte gefunden werden. Dazu können wir hier die Nebenbedingung nach x oder y auflösen. Wählen wir die Auflösung nach y, so erhalten wir y = 2 3 x + 2. Setzen wir diese Vorschrift für y nun in die ursprünglich gegebene 3
Funktion ein, dann erhalten wir so die neue Funktion h(x) = f (x, 23 ) ( x + 2 =1 + x 2 + 2 ) 2 3 x + 2 2x = 13 9 x2 14 3 x + 5. Also hat sich die ursprüngliche Funktion zweier Unbekannter durch das Einsetzen der Nebenbedingungen zu einer Funktion einer Unbekannten vereinfacht. Nun ermitteln wir die Extremwerte von h(x), indem wir zunächst die ersten Ableitung bilden: h (x) = 26 9 x 14 3. Die möglichen Extremstellen sind nun die Nullstellen von h (x). 4
Wir lösen folglich h (x) = 26 9 x 14 3 = 0. Daraus ergibt sich x = 21 13. Ob h(x) an der Stelle x = 21 13 ein Maximum oder Minimum hat, klärt sich zum Beispiel durch die Betrachtung der zweiten Ableitung von h(x). Da h (x) = 26 9, ist ( ) 21 h 13 = 26 9 > 0 und somit hat h(x) an der Stele x = 21 13 ein Minimum. Wiederholen Sie dazu die Aussagen aus Kapitel 2.2. 5
Nun müssen wir noch den dazugehörigen y-wert berechnen, sodass wir das Paar (x, y ) erhalten, welches f(x, y) unter der Nebenbedingung 2x + 3y = 6 minimiert. Diesen erhalten wir schnell durch Einsetzen: y = 2 3 x + 2 = 2 ( ) 21 + 2 = 12 3 13 13 Fassen wir zusammen: Im Punkt P ( 21 13, 13) 12 nimmt die Funktion f(x, y) ihr Minimum unter der Bedingung 2x + 3y = 6 an. Der minimale Funktionswert ist f min = 16 13. 6
Soeben haben wir ein Problem mit Nebenbedingungen gelöst, indem wir das Problem mit zwei Unbekannten auf ein einfacheres mit nur einer Unbekannten reduziert haben. Jedoch ist keinesfalls sicher, dass sich die gegebenen Nebenbedingungen g(x, y) = c immer nach x oder y auflösen lassen. So lässt sich z.b. 3 x2 y 5 + x 7 + y 3 = 1 nicht durch einfache algebraische Umformungen nach x oder y auflösen. 7
Wenn das aber nicht geht - was kann man tun? Hier hilft die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Gesucht sind die Stellen (x, y ), die die Funktion unter der Nebenbedingung maximieren oder minimieren. f(x, y) g(x, y) = c Ähnlich, wie zuvor bauen wir uns eine neue Funktion, deren stationäre Stellen Kandidaten repräsentieren, die f(x, y) unter der Nebenbedingung maximieren bzw. minimieren könnten. Achtung: Wir werden im folgenden stets davon ausgehen, dass f und g mindestens zweimal stetig partiell differenzierbar sind! 8
Die Funktion L(x, y, λ) := f(x, y) + λ(g(x, y) c) heißt Lagrangefunktion von f unter der Nebenbedingung g(x, y) = c und λ heißt der Lagrange-Multiplikator. Dabei ist die Lagrangefunktion L eine Funktion mit drei Unbekannten; den Variablen x, y und λ. Man beachte, dass L(x, y, λ) = f(x, y) für alle (x, y), die die Nebenbedingung erfüllen. g(x, y) = c bzw. äquivalent dazu g(x, y) c = 0 Warnung: In einigen Büchern wird die Lagrange-Funktion durch L(x, y, λ) := f(x, y) λ(g(x, y) c) 9
definiert. Lassen sie sich dadurch nicht irritieren, beide Funktionen haben an den entscheidenden Stellen die selben Eigenschaften und führen zu den selben Lösungen. Man kann zeigen, falls es eine Stelle (x, y ) R 2 gibt, die f(x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = c maximiert bzw. minimiert, dann gibt es ein λ R, sodass (x, y, λ ) R 3 eine stationäre Stelle von der Funktion L(x, y, λ) ist. Also sind die Extremstellen von f unter den Nebenbedingungen in den stationären Stellen von L enthalten. 10
Wir suchen nun also die stationären Stellen von L(x, y, λ) und deswegen die Lösungen des Gleichungssystems x f (x, y, λ) = y y (x, y, λ) = f x (x, y) + λ g(x, y) = 0 x (x, y) + λ g(x, y) = 0 y (x, y, λ) = g(x, y) c = 0. λ 11
Man beachte: Dass die dritte Gleichung äquivalent zur Nebenbedingung ist und damit die x- und y-koordinaten der stationären Stellen von L die Nebenbedingung erfüllen. Sollten g g (x, y) und (x, y) x y beide verschwinden, dann ist die Lagrange-Methode für die gegebene Nebenbedingung als Lösungsmethode ungeeignet. Haben wir eine stationäre Stelle x = (x, y, λ ) von L gefunden, so ist (x, y ) zunächst nur ein Kandidat um f unter der Nebenbedingung zu maximieren. Wie man die gefunden Kandidaten überprüft werden wir später besprechen. 12
Beispiel 6.2 Zum Vergleich werden wir das Beispiel 6.1 nun mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren noch einmal betrachten. Gegeben waren die Funktion und die Nebenbedingung f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 2x g(x, y) := 2x + 3y = 6. Zuerst bilden wir also die Lagrange-Funktion: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) c) = 1 + x 2 + y 2 2x + λ(2x + 3y 6) 13
Dann werden die drei ersten partiellen Ableitungen nach x, y, und λ gebildet: (x, y, λ) = x x [1 + x2 + y 2 2x + λ(2x + 3y 6)] = 2x 2 + 2λ y (x, y, λ) = y [1 + x2 + y 2 2x + λ(2x + 3y 6)] = 2y + 3λ (x, y, λ) = λ λ [1 + x2 + y 2 2x + λ(2x + 3y 6)] = 2x + 3y 6 Um die stationären Stellen der Lagrange-Funktion zu erhalten, müssen alle diejenigen Stellen (x, y, λ) gefunden werden, für die alle ersten partiellen Ableitungsfunktionen verschwinden. Das führt 14
uns zu dem linearen Gleichungssystem mit der Lösung x = 21 13 2x 2 + 2λ = 0 2y + 3λ = 0 2x + 3y 6 = 0 y = 12 13 λ = 8 13. Die einzige stationäre Stelle von L(x, y, λ) ist damit ( 21 13, 12 13, 8 13). Aus der vorigen Berechnung in Beispiel 6.1 ist bekannt, dass f(x, y) tatsächlich durch die Stelle ( 21 13, 13) 12 minimiert wird und der minimale Funktionswert ist f ( 21 13, ) 12 13 = 16 13. 15
Beispiel 6.3 Gegeben sei folgendes Problem: minimiere unter der Nebenbedingung x + 20y x + y = 30. Zunächst stellen wir die Lagrangefunktion L(x, y, λ) = x + 20y + λ( x + y 30) auf und dann das Gleichungssystem, für das der Gradient von L verschwindet: λ (x, y, λ) = 1 + x 2 x = 0 (x, y, λ) = 20 + λ = 0 y λ (x, y, λ) = x + y 30 = 0 16
Damit ergibt sich (100, 20, 20) als einzige stationäre Stelle von L. Warum (100, 20) tatsächlich das Problem löst klären wir später. 17
6.2 Funktionen mehrerer Variablen mit einer Nebenbedingung Nun wollen wir die Lagrange-Methode für eine beliebige Anzahl n N von Variablen verallgemeinern. Gegeben seinen die Funktionen f, g : D R mit D R n und c R. Dann ist die Lagrangefunktion von f( x) unter der Nebenbedingung g( x) = c L( x, λ) = L(x 1,... x n, λ) = f( x) + λ(g( x) c). Dabei gilt wieder, dass die Lagrangemethode nur anwendbar ist, wenn g( x) (0... 0). 18
Wie in dem Fall von nur zwei Variablen befinden sich die Lösungen des Maximierungs- bzw Minimierungsproblems, falls diese existieren, unter den stationären Stellen von L. Die stationären Stellen finden wir indem wir das Gleichungssystem der partiellen Ableitungen (x 1,... x n, λ) = f (x 1,... x n ) + λ g (x 1,... x n ) = 0 x 1 x 1 x 1.... (x 1,... x n, λ) = f (x 1,... x n ) + λ g (x 1,... x n ) = 0 x n x n x n λ (x 1,... x n, λ) = g(x 1,... x n ) c = 0 lösen. 19
Beispiel 6.4 Ein Fabrikant möchte Boxen herstellen. Die Herstellungskosten hängen vom Materialbedarf, also von der Oberfläche der Box ab und ihr nutzen für den Kunden vom Volumen der Box. Welches Volumen kann er maximal erreichen, wenn er 10m 2 Material je Box einsetzt? Mathematisch gesehen wollen wir also die Funktion f(x, y, z) = xyz, die das Volumen der Box mit Länge x, Breite y und Höhe z beschreibt, unter der Nebenbedingung g(x, y, z) = 2(xy + xz + yz) = 10 maximieren, wobei g(x, y, z) die Oberfläche der Box beschreibt. 20
Die zugehörige Lagrangefunktion ist L(x, y, z, λ) = xyz + λ(2(xy + xz + yz) 10) und ihre partiellen Ableitungen sind (x, y, z, λ) = yz + λ(2y + 2z) x (x, y, z, λ) = xz + λ(2x + 2z) y (x, y, z, λ) = xy + λ(2y + 2x) z (x, y, z, λ) = 2(xy + xz + yz) 10. λ 21
Also verschwindet der Gradient von L genau dann, wenn das Gleichungssystem gelöst wird. I yz = 2λ(y + z) II xz = 2λ(x + z) III xy = 2λ(x + y) IV xy + xz + yz = 5 Wir halten zunächst fest, dass x, y, z und λ alle nicht Null seien dürfen. Dann erhalten wir, indem wir die Gleichungen I und II kombinieren yz y + z = xz also x = y x + z und indem wir die Gleichungen II und III kombinieren xz x + z = xy y + x = 22 also y = z
und damit x = y = z. Setzen wir das in IV ein erhalten wir 5 x = y = z = ± 3. Die stationären Stellen von L sind also ( ) 5 3, 5 3, 5 3. ( 5 3, 5 3, 5 3 ) und Da wir hier echte Boxen bauen wollen, fällt eine Kantenlänge von 5 3 m raus. Da das Volumen bei fester Oberfläche einer Box beschränkt ist, muss es ein Maximum geben. Folglich ist die optimale Boxform ein quadratischer Würfel mit einer Kantenlänge von Metern. 5 3 23
6.3 Mehrere Nebenbedingungen Nun wollen wir die Lagrange-Methode für eine beliebige Anzahl m N von Nebenbedingungen verallgemeinern. Gegeben seinen die Funktionen f, g 1,..., g m : D R mit D R n und c 1,..., c m R. Dann ist die Lagrangefunktion von f( x) unter den Nebenbedingungen g 1 ( x) = c 1,..., g m ( x) = c m definiert durch L( x, λ) = f( x) + m λ j (g j ( x) c j ). j=1 Dabei erhält jede Nebenbedingung g j ( x) = c j seinen eigenen Lagrange-Multiplikator λ j. 24
Wie in dem Fall von nur einer Nebenbedingung befinden sich die Lösungen des Maximierungs- bzw Minimierungsproblems, falls diese existieren, unter den stationären Stellen von L. Wieder suchen wir also die stationären Stellen und das Gleichungssystem der partiellen Ableitungen bildet sich aus den Gleichungen x i ( x, λ) = f x i ( x) + und aus den Gleichungen m j=1 λ j g j x i ( x) = 0 für i = 1,..., n λ j ( x, λ) = g j ( x) c j = 0 für j = 1,..., m. 25
Beispiel 6.5 Gegeben sei das Problem, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 unter den Nebenbedingungen { g 1 (x, y, z) := x + 2y + z = 30 g 2 (x, y, z) := 2x y 3z = 10 zu maximieren bzw. zu minimieren. Wieder bilden wir zunächst die Lagrangefunktion L(x, y, z, λ 1, λ 2 ) = x 2 +y 2 +z 2 +λ 1 (x+2y+z 30)+λ 2 (2x y 3z 10) mit den beiden Lagrange-Multiplikatoren λ 1 und λ 2. 26
Darauf berechnen wir die partiellen Ableitungen von L: x (x, y, z, λ 1, λ 2 ) = 2x + λ 1 + 2λ 2 y (x, y, z, λ 1, λ 2 ) = 2y + 2λ 1 λ 2 z (x, y, z, λ 1, λ 2 ) = 2z + λ 1 3λ 2 λ 1 (x, y, z, λ 1, λ 2 ) = x + 2y + z 30 λ 2 (x, y, z, λ 1, λ 2 ) = 2x y 3z 10 27
und kommen so zu dem linearen Gleichungssystem 2x + λ 1 + 2λ 2 = 0 2y + 2λ 1 λ 2 = 0 2z + λ 1 3λ 2 = 0 2x + 2y + z = 30 2x y 3z = 10. Das Gaußverfahren liefert die einzige Lösung x = 10 y = 10 z = 0 λ 1 = 12 λ 2 = 4. Damit ist (10, 10, 0, 12, 4) die einzige stationäre Stelle von L und (10, 10, 0) der einzige Lösungskandidat für das gegebene Problem. Da es nur einen Kandidaten gibt, kann nur das Maximierungsproblem oder nur das Minimierungsproblem gelöst werden. 28
6.4 Art der Extrema Zuvor haben wir uns damit beschäftigt, wo die Extrema liegen, nun wollen wir untersuchen ob es Maxima oder Minima sind. Gegeben seinen die Funktionen f, g 1,..., g m : D R mit D R n und c 1,..., c m R. Dann ist die Lagrangefunktion von f( x) unter den Nebenbedingungen g 1 ( x) = c 1,..., g m ( x) = c m definiert durch L( x, λ) m = f( x) + λ j (g j ( x) c j ). j=1 Um Art des Extremums zu klären, könnte einem in den Sinn kommen die Lagrangefunktion an den stationären Stellen auf Maxima/Minima zu untersuchen. Doch hat die Lagrangefunktion an den stationären Stellen in der Regel kein Extremum. 29
Wir definieren durch festhalten der Lagrange-Multiplikatoren die Funktionenschar m L λ( x) = f( x) + λ j (g j ( x) c j ). j=1 Im Gegensatz zur Lagrangefunktion sind für diese Funktionen nur noch die x 1,..., x n Variablen und die Lagrange-Multiplikatoren λ 1,..., λ m lediglich Parameter. Dabei gilt x i ( x, λ) = λ x i ( x) für alle i = 1,..., n und damit ist für eine stationäre Stelle ( x, λ ) von L die Stelle x stationäre Stelle der Funktion L λ. Hinreichende Bedingung für lokale Extrema unter Nebenbedingungen 30
Sei ( x, λ ) stationäre Stelle von L( x, λ). Dann kann man zeigen: Hat die Funktion L λ ( x) an der Stelle x ein lokales Maximum(bzw. Minimum), dann hat auch f( x) unter den Nebenbedingungen g 1 ( x) = c 1,..., g m ( x) = c m in x ein lokales Maximum(bzw. Minimum). Ob L λ ein lokales Maximum oder Minimum an der Stelle x hat, kann man versuchen mit der hinreichenden Bedingung für lokale Extrema multivariater Funktionen zu klären. 31
Beispiel 6.6 Betrachten wir nun das Beispiel 6.5 mit f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, den Nebenbedingungen { g 1 (x, y, z) := x + 2y + z = 30 und der Lagrangefunktion g 2 (x, y, z) := 2x y 3z = 10 L(x, y, z, λ 1, λ 2 ) = x 2 +y 2 +z 2 +λ 1 (x+2y+z 30)+λ 2 (2x y 3z 10). Wir hatten als stationäre Stelle der Lagrangefunktion L( x, λ) ( x, λ ) = (10, 10, 0, 12, 4) ermittelt. 32
Mit der hinreichenden Bedingung für lokale Extrema multivariater Funktionen untersuchen wir nun die Funktion L ( 12, 4) (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 12(x+2y+z 30) 4(2x y 3z 10). Die Hesse-Matrix von L ( 12, 4) (x, y, z) ist 2 0 0 Hess L( 12, 4) (x, y, z) = 0 2 0 0 0 2 und die Hauptminoren sind Λ 1 = 2 Λ 2 = 4 Λ 3 = 8 unabhängig von der Stelle (x, y, z). Daraus folgt, dass L ( 12, 4) (x, y, z) an der Stelle x = (10, 10, 0) ein lokales Minimum hat (siehe Abschnitt 5.6). Somit löst x = (10, 10, 0) das Minimierungsproblem aus Beispiel 6.5. 33
Dieser Weg funktioniert nicht immer. So kann es sein, dass die hinreichende Bedingung für lokale Extrema multivariater Funktionen nicht stark genug ist, um eine spezielle Situation zu entscheiden. Und man so das Problem nicht gelöst bekommt, wie wir im folgenden Beispiel sehen werden. Beispiel 6.7 Betrachten wir nun erneut das Beispiel 6.3 mit der Funktion f(x, y) = x + 20y unter der Nebenbedingung g(x, y) = x + y = 30. Die Lagrangefunktion war L(x, y, λ) = x + 20y + λ( x + y 30) mit der einzigen stationären Stelle (x, y, λ ) = (100, 20, 20). Die Hesse-Matrix der Funktion L 20 (x, y) = x + 20y 20( x + y 30) = x 20 x + 600 34
ist Hess L 20 (x, y) = ( 5 0 ) x 3 0 0 Damit sind die Hauptminoren von Hess L 20 (100, 20) Λ 1 = 1 200 und Λ 2 = 0. Die hinreichende Bedingung für lokale Extrema multivariater Funktionen gibt hier leider keine Auskunft über die Art des Extremums von f.. 35
Wir wollen uns nun noch eine zweite hinreichende Bedingung für lokale Extrema unter Nebenbedingungen anschauen: Gegeben seinen die Funktionen f, g 1,..., g m : D R mit D R n und c 1,..., c m R. Dann definieren wir die Lagrangefunktion von f( x) unter den Nebenbedingungen nun durch g 1 ( x) = c 1,..., g m ( x) = c m L( λ, x) = f( x) + m λ j (g j ( x) c j ). j=1 etwas um. Dadurch, dass wir hier die Reihenfolge der Variablen ändern, können wir die Mathematik hinter dem folgenden Kriterium mit unseren Notationen in Einklang bringen. 36
Die Hesse-Matrix von L ist 2 L λ 1 λ 1 ( λ, x)... 2 L λ 1 λ m ( λ, x) 2 L λ 1 x 1 ( λ, x)... 2 L λ 1 x n ( λ, x).......... 2 L λ Hess L ( λ, x) = m λ 1 ( λ, x)... 2 L λ m λ m ( λ, x) 2 L λ m x 1 ( λ, x)... 2 L λ m x n ( λ, x) 2 L x 1 λ 1 ( λ, x)... 2 L x 1 λ m ( λ, x) 2 L x 1 x 1 ( λ, x)... 2 L x 1 x n ( λ, x).......... 2 L x n λ 1 ( λ, x)... 2 L x n λ m ( λ, x) 2 L x n x 1 ( λ, x)... 2 L x n x n ( λ, x) = g 0... 0 1 g x 1 ( λ, x)... 1 x n ( λ, x).......... g 0... 0 m g x 1 ( λ, x)... m x n ( λ, x) g 1 x 1 ( λ, x)... g m x 1 ( λ, x) 2 L x 1 x 1 ( λ, x)... 2 L x 1 x n ( λ, x).......... g 1 x n ( λ, x)... g m x n ( λ, x) 2 L x n x 1 ( λ, x)... 2 L x n x n ( λ, x) 37
eine (m + n) (m + n)-matrix mit den m + n Hauptminoren Λ 1,..., Λ m+n. Dabei gilt immer für die ersten Hauptminoren und für m > 1 Λ 1 = 0,..., Λ 2m 1 = 0 Λ 2m = 0. Die ersten 2m Hauptminoren sind folglich nicht aussagekräftig und können ignoriert werden. Es bleiben die letzten Hauptminoren Λ 2m+1,..., Λ m+n. 38
Zweite hinreichende Bedingung für lokale Extrema unter Nebenbedingungen Nun kann man zeigen, dass die Funktion f( x) unter den gegebenen Nebenbedingungen an der stationären Stelle ( λ, x ) von m L( λ, x) = f( x) + λ j (g j ( x) c j ) j=1 i) ein lokales Minimum hat, falls die Hauptminoren von Hess L ( λ, x ) Λ 2m+1,..., Λ m+n alle das Vorzeichen ( 1) m haben. ii) ein lokales Maximum hat, falls die Hauptminoren von Hess L ( λ, x ) Λ 2m+1,..., Λ m+n wechselnde Vorzeichen haben, sodass Λ m+n = det(hess L ( λ, x )) das Vorzeichen ( 1) n hat. 39
Für zwei Variablen und eine Nebenbedingung heißt das, dass die Funktion f(x, y) unter der Nebenbedingungen g(x, y) = c an der stationären Stelle (λ, x, y ) von L(λ, x, y) = f(x, y) + λ(g(x, y) c) i) ein lokales Minimum hat, falls der letzte Hauptminor von Hess L (λ, x, y ) negativ ist. Λ 2m+1 = Λ m+n = Λ 3 = det(hess L (λ, x, y )) ii) ein lokales Maximum hat, falls der letzte Hauptminor von Hess L (λ, x, y ) positiv ist. Λ 2m+1 = Λ m+n = Λ 3 = det(hess L (λ, x, y )) 40
Beispiel 6.8 Betrachten wir nun wieder das Beispiel 6.3 mit der Funktion f(x, y) = x + 20y unter der Nebenbedingung g(x, y) = x + y = 30. Die Lagrangefunktion definieren wir nun gemäß der Notation der zweiten hinreichenden Bedingung durch L(λ, x, y) = x + 20y + λ( x + y 30). Die einzige stationäre Stelle bleibt (x, y, λ ) = (100, 20, 20). Die Hesse-Matrix von L(λ, x, y) ist Hess L (λ, x, y) = 1 0 2 x 1 1 2 5 x x 3 0. 1 0 0 41
Wir berechnen nun die Determinante von Hess L (100, 20, 20) 1 0 20 1 det 1 1 20 200 0 = 1 200. 1 0 0 Damit ist der letzte Hauptminor negativ und f(x, y) hat an der Stelle (100, 20) unter der Nebenbedingung x + y = 30 ein lokales Minimum. 42
6.5 Mehrere Extrema Wenn wir eine Funktion unter Nebenbedingungen maximieren bzw. minimieren sollen, kann es passieren, dass es nicht nur ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum gibt, sondern mehrere. In diesem Fall vergleicht man die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen. Sodass die Stelle, die unter den lokalen Maxima(bzw. Minima) den höchsten(bzw. niedrigsten) Funktionswert hat, das Maximierungs- bzw. Minimierungsproblem unter Nebenbedingungen löst. 43
Beispiel 6.9 Gegeben sei folgendes Problem: maximiere x y 2 unter der Nebenbedingung x 2 + y 2 = 1. Zunächst stellen wir die Lagrangefunktion L(λ, x, y) = x y 2 + λ(x 2 + y 2 1) auf und dann das Gleichungssystem, für das der Gradient von L verschwindet: λ (λ, x, y) = x2 + y 2 1 = 0 (λ, x, y) = x 1 + 2λx = 0 (λ, x, y) = y 2(λ 1)y = 0 44
Durch lösen erhalten wir als stationäre Stellen von L ( (λ 1, x 1, y 1 ) = 1, 1 ) ( 3 2, (λ 2, x 2, y 2 ) = 1, 1 ) 3 2 2, 2 (λ 3, x 3, y 3 ) = ( 12 ) ( ) 1, 1, 0 (λ 4, x 4, y 4 ) = 2, 1, 0. Die Hesse-Matrix von L(λ, x, y) ist 0 2x 2y Hess L (λ, x, y) = 2x 2λ 0 2y 0 2(λ 1) 45
und damit ( det (Hess L 1, 1 )) 3 2, = 6 2 ( det (Hess L 1, 1 )) 3 2, = 6 2 det (Hess L ( 12 )), 1, 0 = 12 ( )) 12 det (Hess L, 1, 0 = 4. 46
Nach der zweiten hinreichenden Bedingung haben wir also zwei lokale Minima bei ( (λ 1, x 1, y 1 ) = 1, 1 ) ( 3 2, und (λ 2, x 2, y 2 ) = 1, 1 ) 3 2 2, 2 und zwei lokale Maxima bei (λ 3, x 3, y 3 ) = ( 12 ), 1, 0 und (λ 4, x 4, y 4 ) = ( ) 1 2, 1, 0. Um zu prüfen welcher der Maxima das Maximierungsproblem löst, setzen wir in f(x, y) ein f (1, 0) = 1 f ( 1, 0) = 1. Also maximiert (1, 0) die Funktion f(x, y) = x y 2 unter der Nebenbedingung x 2 + y 2 = 1. 47