1 Abbildungen in der Ebene

1 Inhalt 1 Abbildungen in der Ebene... 2 1.1 Verschiebung... 3 1.2 Spiegelung... 3 1.2.1 Achsenspiegelung... 3 1.3 Drehung... 4 1.3.1 Die Drehung... 4 1.4 Zentrische Streckung... 5 2 Funktionen... 7 2.1 Der Begriff der Funktion... 8 2.1.1 Zuordnungen... 8 2.1.2 Funktionen... 9 2.1.3 Darstellung von Funktionen... 10 2.1.4 Beispiele... 11 2.2 Wichtige Funktionenklassen... 14 2.2.1 Lineare Funktionen... 14 2.2.2 Quadratische Funktionen... 17 2.2.3 Ganzrationale Funktionen... 19 2.2.4 Gebrochenrationale Funktionen... 21 2.2.5 Trigonometrische Funktionen... 22 2.2.6 Exponentialfunktionen... 24 2.2.7 Weitere Funktionen... 25 2.3 Zusammenfassung und Ausblick... 26 3 Abbildungen von Funktionsgraphen... 27 3.1 Allgemeines Schema... 27 3.2 Verschiebungen... 28 3.2.1 Die Verschiebung von Funktionsgraphen... 28 3.2.2 Periodische Funktionen... 30 3.3 Achsenspiegelungen... 31 3.3.1 Achsenspiegelung an der Abszisse... 31 3.3.2 Achsenspiegelung an der Ordinate... 31 3.3.3 Spiegelungen an der Diagonalen y=x; Umkehrfunktionen... 33 3.4 Achsenstreckungen... 36 3.5 Zentrische Streckungen... 38 3.6 Drehungen... 39

2 1 Abbildungen in der Ebene Wir behandeln in diesem Kapitel Abbildungen von Objekten in der Ebene. Der Begriff Transformation steht als Synonym für die im Folgenden behandelten Abbildungen, nämlich Verschiebungen, Spiegelung, Drehung, Zentrische Streckung. Eine affine Abbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und die geradengetreu, parallelengetreu und teilverhältnistreu ist. Bei den affinen Abbildungen unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen (z.b. Verschiebung, Spiegelung, Drehung), Ähnlichkeitsabbildungen (z.b. zentrische Streckung und Stauchung) und flächenmaßtreuen Abbildungen (z.b. Scherung). Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und die geradengetreu, parallelengetreu, teilverhältnistreu und winkelmaßtreu ist. Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und die geradengetreu, parallelengetreu, teilverhältnistreu, winkelmaßtreu und längenmaßtreu ist. Abb. 1.1: Überschrift einfügen Für den schulischen Unterricht sind vor allem die Kongruenzabbildungen und die Ähnlichkeitsabbildungen von Bedeutung.

3 1.1 Verschiebung Definition 1.1: Die Verschiebung (Translation) V a! um einen Vektor a! ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass PP = a! gilt. Abb. 1.2: Überschrift einfügen & 1# Bei der Verschiebung um den Vektor $! wird jeder Punkt in x 1 - % 3 Richtung um eine Einheit nach rechts und in x 2 -Richtung um drei Einheiten nach oben verschoben. Es gilt also: oder in Matrix-Vektor-Schreibweise x 1 ' = x 1 + 1 = 1! x 1 + 0! x 2 + 1 x 2 ' = x 2 + 3 = 0! x 1 + 1! x 2 + 3! x 1 ' $ # x 2 '% & =! 1 0 $! # 0 1% & # x 1 x 2 $ % & +! 1 $ # 3 % &. 1.2 Spiegelung Man unterscheidet dabei die Spiegelung an einem Punkt und an einer oder mehreren Geraden. 1.2.1 Achsenspiegelung Die Achsenspiegelung an einer Geraden (Achse) a ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass (1) P auf dem Lot zur Achse a durch P liegt, (2) der Lotfußpunkt F die Strecke PP halbiert.

4 Abb. 1.3: Überschrift einfügen Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung 0 verläuft und mit der x 1 - Achse den Winkel! einschließt, ist gegeben durch!! x ' = A! x, wobei die Abbildungsmatrix ist. A= # cos2! $ % sin2! sin2! & cos2! ' ( Abb. 1.4: Die Punktspiegelung ist eine Spiegelung an zwei sich schneidenden und senkrecht zueinander stehenden Achsen. Siehe auch Punkt 1.3.2. 1.3 Drehung 1.3.1 Die Drehung Die Drehung um einen Punkt F und einen Winkel! ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass (1) P auf dem Kreis um F durch P liegt, (2) die Strecken FP und FP den Winkel! einschließen.

5 Abb. 1.5: Überschrift einfügen Die Drehung um den Ursprung 0 um den Winkel! einschließt, ist gegeben durch x! ' = A! x!, wobei die Abbildungsmatrix ist. # cos! sin! & A = $ % sin! cos! ' ( Abb. 1.6: Die Spiegelung an zwei sich schneidenden Spiegelachsen, die einen Winkel! einschließen, ist eine Drehung um den Schnittpunkt beider Geraden mit dem Drehwinkel 2!. Die Punktspiegelung ist eine Drehung um den Schnittpunkt zweier senkrecht zueinander stehenden Achsen mit dem Drehwinkel 180. 1.4 Zentrische Streckung Die zentrische Streckung mit dem Zentrum F und dem Streckfaktor k (k! 0) ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P so zuordnet, dass (1) P auf der Geraden durch F und P liegt, (2) FP = k FP Die Längenmaße ändern sich im Verhältnis 1: k die Flächenmaße im Verhältnis1 : k 2.

6 Abb. 1.7: Überschrift einfügen Die zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckzentrum und den Streckfaktoren a in x-richtung und b in y-richtung, a,b!! { 0}, ist gegeben durch x! ' = A! x!,wobei die Abbildungsmatrix ist.! A = a 0 $ # 0 b% &