T2 Quantenmechanik Lösungen 2 LMU München, WS 17/18 2.1. Lichtelektrischer Effekt Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May version: 12. 11. Ultraviolettes Licht der Wellenlänge 1 falle auf eine Metalloberfläche, welche daraufhin Elektronen emittiert. Die kinetische Energie dieser Elektronen sei 2 ev. Anschließend werde der Versuch wiederholt mit einer neuen Wellenlänge 2 = 3 1. Diesmal haben die 4 ausgelösten Elektronen eine kinetische Energie von 3.47 ev. a) Bestimmen Sie die den Wert der Wellenlänge 1 in nm. Lösung: Da die Austrittsarbeit der Elektronen konstant ist, gilt W = 1 E kin,1 = 2 E kin,2 (2.S1) Mit ν i = c i folgt also Auflösen nach 1 ergibt mit 1240 nm ev (Damit ist 2 211 nm.) 1 = E kin,1 = E kin,2 1 2 E kin,1 = 4 E kin,2 1 3 1 b) Bestimmen Sie die Austrittsarbeit der Elektronen. (2.S2) (2.S3) 3(E kin,2 E kin,1 ) = 281 nm (2.S4) 3 1.47 ev Lösung: W = 1 E kin,1 = 1240 nm ev E kin,1 2 ev 2.41 ev (2.S5) 1 281 nm c) Was geschieht, wenn die Frequenz des einfallenden Lichtes stattdessen 3 = 600 nm beträgt? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: Diese Wellenlänge entspricht einer Energie des Photons von E 3 = 3 2.07 ev. Da diese Energie geringer als die Austrittsarbeit W ist, werden keine Elektronen aus dem Metall ausgelöst. d) Bestimmen Sie die kinetische Energie der Elektronen für 4 = 400 nm. Lösung: E kin = 1240 nm ev W 2.41 ev 0.69 ev (2.S6) 4 400 nm 2.2. Compton-Effekt a) Ausgehend von Energie- und Impulserhaltung, leiten Sie die Formel für die Wellenlängenzunahme bei der Compton-Streuung von Photonen an ruhenden Elektronen her: = 2h m e c sin2 (θ/2) (2.1) 2.1
Hierbei ist die Wellenlänge des einfallenden Lichtes, die des ausfallenden Lichtes, h das Planck sche Wirkungsquantum, m e die Masse des Elektrons, c die Lichtgeschwindigkeit und θ der Streuwinkel. Lösung: Das Problem ist zweidimensional, da die Streuung in einer Ebene erfolgt. (Der Grund hierfür ist die Impulserhaltung senkrecht zur Richtung des einfallenden Photons.) Wir wählen die Koordinaten so, dass sich das einfallende Photon in x-richtung bewegt. Dann gibt die Impulserhaltung für Impuls des Elektrons q = (q x, q y ) und des Photons p = (p x, p y ) vor und nach dem Stoß q x + p x = q x + p x q y + p y = q y + p y (2.S7) (2.S8) 0 + h = q x + h cos θ (2.S9) 0 + 0 = q y + h sin θ (2.S10) wobei θ der Winkel des auslaufenden Photons mit der x-achse ist. Die Energieerhaltung für die Energie des Elektrons E e und des Photons E γ vor und nach dem Stoß besagt Dies stellen wir um zu E e + E γ = E e + E γ m e c 2 + = c m 2 ec 2 + q x + q y + m e c + h h m = 2 ec 2 + q x + q y ( m e c + h h ) 2 = m 2 ec 2 + q x + q y (2.S11) (2.S12) (2.S13) (2.S14) Nun lösen wir (2.S9) und (2.S10) nach den Elektron-Impulsen auf und quadrieren ( h q x = h ) 2 cos θ = h2 2 + h2 cos2 θ 2 h2 cos θ q y = h2 sin2 θ (2.S15) (2.S16) Dies setzen wir ein in (2.S14) und erhalten (nach Benutzen von cos 2 θ + sin 2 θ = 1) (m e c + h h ) 2 = m 2ec 2 + h2 2 + h2 h2 2 cos θ (2.S17) Weiteres umstellen ergibt ( h m e c h ) h2 = h2 cos θ = h (1 cos θ) m e c (2.S19) (2.S18) Mit (1 cos θ) = 2 sin 2 (θ/2) ergibt das den gesuchten Ausdruck. b) Erklären Sie kurz in eigenen Worten, warum diese Wellenlängenzunahme nicht mit dem Wellenbild für das Photon erklärt werden kann. Lösung: Zum Beispiel: Eine Welle würde das Elektron zum Schwingen anregen und eine Welle mit gleicher Wellenlänge würde wieder ausgesendet werden. Es gäbe also keine Erklärung für die nichttriviale Winkelabhängigkeit der Wellenlänge der auslaufenden Welle. Nur der elastische Stoß zwischen zwei Teilchen kann dieses Phänomen erklären. 2.2
Betrachten Sie nun eine Compton-Streuung für Licht der Wellenlänge = 400 nm, welches am Elektron rückgestreut wird, d.h. θ = 180. c) Wieviel Energie wird in diesem Prozess auf das Elektron übertragen? Lösung: Mit sin(π/2) = 1 haben wir Das heißt Dies entspricht einer Energiedifferenz von = 2h 0.0049 nm m e c (2.S20) 400.0049 nm (2.S21) welche an das Elektron übertragen wird. E = 0.038 mev (2.S22) d) Vergleichen Sie dieses Resultat mit der Energie, die das Elektron in einem lichtelektrischen Prozess mit dem gleichen Photon erhalten würde. Lösung: Im lichtelektrischen Prozess wird die gesamte Energie des Photons an das Elektron übertragen. Letzteres erhält also E = 3.10 ev (2.S23) Um die kinetische Energie zu erhalten, muss hiervon natürlich noch die Austrittsarbeit abgezogen werden. e) Kann ultraviolettes Licht mittels des Compton-Effektes Elektronen aus einem Metall lösen? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: Die Austrittsarbeit für Elektronen im Metall beträgt typischerweise einige ev. Die bei der Compton- Streuung übertragene Energie reicht deshalb bei Weitem nicht aus um das Elektron aus dem Metall zu lösen. (Ultraviolettes Licht hat Energien von 3-100 ev. Der Energieübertrag beim lichtelektrischen Effekt kann deshalb ausreichen.) 2.3. Hohlraumstrahlung Die Planck sche Strahlungsformel beschreibt die spektrale Energiedichte ρ(t, ν) dν von Photonen im Frequenzintervall [ν, ν + dν], welche ein Schwarzer Körper mit Temperatur T abstrahlt. Sie lautet: ρ(t, ν) = 8πν2 e (2.2) Hierin ist c die Lichtgeschwindigkeit, h das Planck sche Wirkungsquantum und k B die Boltzmann-Konstante. Lesen Sie gerne die Details hierzu im Kapitel 21.2 im Buch nach. a) Zeigen Sie, dass man für kleine Frequenzen die Rayleigh-Formel erhält: ρ(t, ν) 8πν2 für (2.3) Warum kann diese aus der klassischen Physik hergeleitete Formel nicht für große Frequenzen gelten (Stichwort Ultraviolettkatastrophe)? 2.3
Lösung: Sei x = 1. Wir entwickeln e x = 1 + x + O(x 2 ) (2.S24) Einsetzen in (2.2) gibt sofort (2.3). Als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet man die Tatsache, dass das Integral über ρ(t, ν) dν divergiert und die Energie somit unendlich ist. b) Zeigen Sie, dass man für große Frequenzen das Wien sche Strahlungsgesetz erhält: ρ(t, ν) 8πν2 e für (2.4) Lösung: Nun ist e 1 und somit Einsetzen in (2.2) gibt den gesuchten Ausdruck. 1 e e (2.S25) c) Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf von ρ(t, ν) als Funktion von ν für zwei verschiedene Werte von T. Lösung: Siehe Abb. 21.3 im Buch. d) Bestimmen Sie den Wert von ν, für welchen die Funktion ρ(t, ν) mit festem T ihren maximalen Wert annimmt. Sie dürfen den Computer verwenden um die auftretende transzendente Gleichung zu lösen. Lösung: Wir berechnen die Ableitung d 24π2 1 ρ(t, ν) = dν e 8πν2 e h = 8π2 1 ) ) (e 2 [3 (e k 1 B T e Diese verschwindet, wenn der Ausdruck in eckigen Klammern null ist: ) (e 2 (2.S26) ] (2.S27) 3(e x 1) xe x = 0 (2.S28) mit x =. Die Lösungen dieser Gleichung sind x = 0 und x 2.821. Ersteres ist kein Maximum (ersichtlich aus Graph) und somit max = 2.821. e) Betrachten Sie einen leeren Raum mit den Maßen 5 m 4 m 2 m. Die Temperatur der Wände sei T = 300 K. Bestimmen Sie die Anzahl von Photonen der Schwarzkörperstrahlung im Raum. Hinweis: Sie dürfen folgendes Integral benutzen 0 dx x 2 e x 1 = 2ζ(3) (2.5) ζ ist die sogenannte Riemann sche ζ-funktion und ζ(3) 1.202. Lösung: Die Energiedichte von Photonen mit Frequenz im Intervall [ν, ν+dν] ist gegeben durch die Planck sche Strahlungsformel, ρ(t, ν) dν = 8πν2 e /kbt 1 dν (2.S29) 2.4
Die Energie eines Photons ist jeweils und die spektrale Dichte von Photonen mit Frequenz im Intervall [ν, ν + dν] beträgt demnach n(t, ν) dν = ρ(t, ν) dν = 8πν2 1 e /kbt 1 dν (2.S30) Diesen Ausdruck integrieren wir über alle Frequenzen n(t ) = 8π ν 2 0 e /kbt 1 dν (2.S31) Nach Substitution x = / erhalten wir n(t ) = 8π ( ) 3 kb T x 2 h 0 e x 1 dx (2.S32) Der Hinweis gibt dann ( ) 3 kb T n(t ) = 16πζ(3) (2.S33) mit ζ(3) 1.202. Einsetzen der Temperatur T = 300 K ergibt schließlich (mit k B = 1.44 10 2 K m) Im Volumen V = 40 m 3 befinden sich deshalb n(t ) = 16πζ(3) ( 2.08 10 4 1 m) 3 = 5.46 10 14 /m 3 (2.S34) N = V n(t ) = 2.19 10 16 (2.S35) Photonen der Schwarzkörperstrahlung. 2.5