16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische Formel: ( - b) - 2b + b Formelsmmlung ( + b) ( - b) - b mit Beispielen 2 2 dritte binomische Formel: 86400 10800 s M r 60 :60 Volumen einer Kugel: 4 3 V r 3 Oberfläche einer Kugel: O 4 r 2 Volumen: V V 3 Zeitspnnen: h min 24 60 24 1440 :24 :60 3 180 d (Tge) 1 0,125 Großdruck
Inhlt Regeln und Gesetze Rechengesetze Proportionlität Antiproportionlität Seite 1 Seite 2 Seite 3 Die binomischen Formeln Seite 4 Rechnen mit Geschwindigeiten Geschwindigkeit (v) Weg (s) Zeit (t) Einheiten für die Geschwindigkeit Seite 5 Seite 5 Seite 5 Seite 5 Inhltsverzeichnis I
Inhlt Prozentrechnung mit Formel und Dreistz Prozentstz (p%) Prozentwert (W) Seite 6 Seite 7 Grundwert (G) 100 % Seite 8 Zinsrechnung Zinsformeln: Jhreszinsen ( Z) Kpitl ( K) Zinsstz ( p% ) Seite 9 Seite 9 Seite 9 Zinsen für einen Zeitrum berechnen Jhreszinsen Montszinsen Tgeszinsen Seite 10 Seite 10 Seite 10 Inhltsverzeichnis II
Inhlt Flächen- und Umfngsberechnung Dreieck Seite 11 Lehrstz des Pythgors Viereck Rechteck Prllelogrmm Drchenviereck und Rute Trpez Kreis Kreisusschnitt Kreisring Seite 12 Seite 13 Seite 13 Seite 14 Seite 14 Seite 15 Seite 16 Seite 16 Seite 16 Volumen- und Oberflächenberechnung Würfel Quder Prism (Dreicksäule) Zylinder Pyrmide Qudrtische Pyrmide Kegel Kugel Trpezsäule Seite 17 Seite 17 Seite 18 Seite 18 Seite 19 Seite 20 Seite 21 Seite 22 Seite 22 Inhltsverzeichnis III
Inhlt Mße und Mßeinheiten I Rummße Mssen Zeitspnnen Flächenmße Längen Mßstb Seite 23 Seite 24 Seite 24 Seite 25 Seite 26 Seite 26 Mße und Mßeinheiten II Längen, Flächenmße, Rummße Rummße, Mssen, Zeitspnnen Seite 27 Seite 28 Dichte berechnen Formeln, Einheiten der Dichte Seite 29 Inhltsverzeichnis IV
Regeln und Gesetze Rechengesetze Vertuschungsgesetz (Kommuttivgesetz) 15 + 3 3 + 15 15 3 3 15 Verbindungsgesetz (Assozitivgesetz) (15 + 3) + 4 15 + (3 + 4) (15 3) 4 15 (3 4) Klmmerrechnung geht vor Potenzrechnung 2 2 (2 + 3) 5 25 Klmmerrechnung geht vor Punktrechnung 5 (4-2) 5 2 10 Potenzrechnung geht vor Punktrechnung 2 2 3 2 9 18 Punktrechnung geht vor Strichrechnung 28-5 3 28-15 13 Seite 1
Proportionlität Verdoppelt sich eine Größe, dnn verdoppelt sich uch die ndere Größe. Hlbiert sich eine Größe, dnn hlbiert sich uch die ndere Größe. Beispiel: Msse und Preis einer Wre: Wenn 5 kg Krtoffeln 7,50 kosten, dnn kosten 10 kg Krtoffeln 15. Quotientengleichheit: 7,50 : 5 1,5 und 15 : 10 1,5 15 Preise in 10 5 2 4 6 8 10 Gewicht in kg Seite 2
Antiproportionlität Verdoppelt sich eine Größe, dnn sich die ndere Größe. hlbiert Hlbiert sich eine Größe, dnn sich die ndere Größe. verdoppelt Beispiel: Anzhl der Arbeiter und Arbeitsduer: Bei einem Einstz von 3 Arbeitern 10 Stunden. Bei einem Einstz von 6 Arbeitern 5 Stunden. Produktgleichheit: 3 10 30 und 6 5 30 duert eine Arbeit duert eine Arbeit 10 Arbeitszeit in h 7,5 5 2,5 2 4 6 8 10 12 Anzhl der Arbeiter Seite 3
Die binomischen Formeln erste binomische Formel: 2 2 2 ( + b) + 2b + b zweite binomische Formel: 2 2 2 ( - b) - 2b + b dritte binomische Formel: 2 2 ( + b) ( - b) - b Seite 4
Rechnen mit Geschwindigkeiten Dividiert mn den Weg s (zurückgelegte Strecke) durch die Zeit t (benötigte Zeit für die zurückgelegte Strecke), so erhält mn die Geschwindigkeit v Geschwindigkeit ( v) Formel: v s t Weg Zeit Weg ( s) Geschwindigkeit Zeit Formel: s v t Zeit ( t) Weg Geschwindigkeit Formel: t s v Einheiten für die Geschwindigkeit: km h oder m s Seite 5
Prozentrechnung mit Formel und Dreistz Prozentstz (p%) Wie viel Prozent sind 24 Fhrzeuge von 60 Fhrzeugen? Gegeben: G 60 Fhrzeuge; W 24 Fhrzeuge Gesucht: p% Formel: p% p% W 100 G 24 100 60 p% 40 Antwort: 24 Fhrzeuge sind 40 %. Fhrzeuge 60 : 60 1 24 24 Prozent 100 100 60 : 60 24 100 24 60 40 Die gesuchte Größe steht im Dreistz immer hinten. Seite 6
Prozentwert (W) 36 % von 450 bgegebenen Stimmen fielen uf Herrn Sprinz. Wie viele Stimmen sind ds? Gegeben: G 450 Stimmen; p% 36 Gesucht: W Formel: W G p 100 450 36 W 100 W 162 Antwort: Herr Sprinz erhielt 162 Stimmen. Prozent 100 : 100 1 36 36 Stimmen 450 450 100 : 100 36 450 36 162 100 Die gesuchte Größe steht im Dreistz immer hinten. Seite 7
Grundwert (G) 100 % Bei einer Tombol sollen 20 % ller Lose Gewinne sein. 750 Gewinne stehen zur Verfügung. Wie viele Lose müssen hergestellt werden? Gegeben: p% 20; W 750 Gewinne Gesucht: G Formel: G G W 100 p% 750 100 20 G 3750 Antwort: Es müssen 3750 Lose hergestellt werden. Prozent 20 : 20 1 100 100 Lose 750 : 20 750 20 100 750 100 3750 20 Die gesuchte Größe steht im Dreistz immer hinten. Seite 8
Zinsrechnung Zinsrechnen ist ngewndte Prozentrechnung Begriffe: Grundwert Prozentstz Prozentwert Kpitl ( K) Zinsstz ( p% ) Jhreszinsen ( Z) Zinsformeln: Jhreszinsen ( Z) Kpitl (K) Zinsstz (p%) 100 Kpitl ( K) Jhreszins (Z) 100 Zinsstz (p%) Zinsstz ( p% ) Jhreszins (Z) 100 Kpitl (K) Seite 9
Zinsen für einen Zeitrum berechnen Hinweis: Je nch Zinsmodell wird ds Jhr mit 360 Tgen oder 365/366 Tgen berechnet. Der Mont mit 30 bzw. 31 Tgen (28/29). In der ngegebenen Formel wird mit 360 Tgen gerechnent. Jhreszinsen Kpitl (K) Zinsstz (p%) Jhre 100 Montszinsen Kpitl (K) Zinsstz (p%) Monte 100 12 Tgeszinsen Kpitl (K) Zinsstz (p%) Tge 100 360 Seite 10
Flächen- und Umfngsberechnung Dreieck Umfng: u + b + c Winkelsumme: + + 180 Flächeninhlt: A g 2 h llgemeines Dreieck C b h A c B gleichschenkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck Kthete Hypotenuse c Die Seite c heißt uch Grundseite g. Kthete Seite 11
Lehrstz des Pythgors In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Qudrte über den Ktheten sind zusmmen flächengleich zu den Qudrten über der Hypotenuse. 2 2 2 + b c 2 2 2 c - b 2 2 2 b c - und bsind die Ktheten, c ist die Hypotenuse 13 14 7 8 9 4 5 6 A b 1 2 3 1 2 C 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 c 3 4 5 15 16 B 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Seite 12
Viereck Qudrt Umfng: u + + + u 4 Flächeninhlt: A A 2 Flächendigonle: d d d 2 2 + 2 2 Rechteck Umfng: u + b + + b u 2 + 2 b u 2 ( + b) Flächeninhlt: A b Flächendigonle: d 2 2 + b b d Seite 13
Prllelogrmm Winkel: und Umfng: d D h c b C u 2 + 2 b Flächeninhlt: A B A h Drchenviereck und Rute Flächeninhlt: A e f 2 Im Drchenviereck und in der Rute stehen die Digonlen ufeinnder senkrecht (e f). In der Rute hlbieren die Digonlen einnder senkrecht. Drchenviereck D Rute D b A f e b C A f e C B B Seite 14
Trpez Flächeninhlt: + c A 2 h prllel c ( c) D c C h A B Flächeninhlt: A m h m + c 2 prllel c ( c) D c C m h A B Seite 15
Kreis Durchmesser: d 2 r Umfng: u 2 r u d Flächeninhlt: A r r A r 2 M r d Kreisusschnitt Kreisbogen: Kreissektor: b 2 r A r 2 360 360 A b Kreisring Umfng: u 2 r 2 r 1 2 u 2 (r r ) 1 2 Flächeninhlt: r 1 A r1 r1 r2 r2 r2 A (r r r r ) 1 1 2 2 Seite 16
Würfel Volumen- und Oberflächenberechnung Volumen: V V 3 Oberfläche: O 6 2 2 Quder Volumen: V b c Oberfläche: O 2 b + 2 c +2 b c O 2 ( b + c + b c) c c b b Seite 17
Prism (Dreiecksäule) Volumen: V A G hk Mntelfläche: M Summe der Seitenflächen M u Grundfläche h k A G h k Mntelfläche M h k A G A G Zylinder Volumen: V A G h r k V r 2 h k Mntelfläche: M 2 r Oberfläche: O 2 A 2 G + M h k O 2 r r h k A G h k Mntelfläche M h k A G A G Seite 18
Pyrmide, b: Kntenlängen der Grundfläche h k : Körperhöhe Volumen: V 1 A G h 3 k A G h k hs: Höhe eines Seitendreiecks (wird uch ls h, h bezeichnet) D b Mntelfläche: M Summe der Seitendreiecke A D Oberfläche: O A G + M h S A G Grundfläche Mntelfläche M Seite 19
Qudrtische Pyrmide : Kntenlängen der Grundfläche h k : Körperhöhe Volumen: 1 3 2 V h k h k A G h S : Höhe eines Seitendreiecks h h (wird uch ls, bezeichnet) D Mntelfläche: M 4 1 2 h 2 h Oberfläche: 2 O + 2 h h S A G Grundfläche Mntelfläche M Seite 20
Kegel r: Rdius des Kreiskegels h: k Körperhöhe s: Seitenlinie Volumen: V 1 A G h 3 2 V 3 1 r h k k h k s r Seitenlinie: 2 r h h Mntelfläche: M r s Oberfläche: O A + M G 2 k O r r s k s Mntelfläche M r A G Grundfläche u 2 r Seite 21
Kugel Volumen einer Kugel: 4 3 V r 3 Oberfläche einer Kugel: O 4 r 2 M r Trpezsäule Volumen: V A G h k h k A G Mntelfläche: M Summe der Seitenflächen M u Grundfläche hk A G Mntelfläche M h k A G Seite 22
1 dm 3 1 m 3 1000 dm 3 1000 cm 3 1 cm 3 1000 mm 3 Liter Zentiliter Milliliter Kubikmeter Kubikdezimeter Kubikzentimeter Kubikmillimeter Hektoliter 1 hl 100 l 1000 ml 3 1 dm 1l Mße und Mßeinheiten I Rummße: 100 cl 1 l 10 ml 1 cl Seite 23
Mße und Mßeinheiten I Mssen: Tonne Kilogrmm Grmm Milligrmm 1 t 1000 kg 1 kg 1000 g 1g 1000 mg Zeitspnnen: Tg Stunde Minute Sekunde 1 d 24 h 60 min 1 h 1 min 60 s Seite 24
Mße und Mßeinheiten I I Flächenmße 1: Qudrtkilometer Hektr Ar Qudrtmeter 1 km 2 100 h 10000 1 h 100 10000 m 2 1 100 m 2 Flächenmße 2: Qudrtmeter Qudrtdezimeter Qudrtzentimeter Qudrmillimeter 1 m 2 100 dm 2 10000 cm 2 1 dm 2 100 cm 2 10000 mm 2 1 cm 2 100 mm 2 Seite 25
Mße und Mßeinheiten I Längen: Millimeter Zentimeter Dezimeter Meter Kilometer 1000 m 1 km 1000 mm 1 m 10 dm 100 cm 100 mm 10 cm 1 dm 10 mm 1 cm Mßstb: Auf einer Krte: Mßstb 1:800000 Auf Lndkrten ist immer ein Mßstb ngegeben. 1 : 800000 bedeutet: 1 cm uf der Krte entsprechen 800000 cm in der Wirklichkeit. Krte: Wirklichkeit 8 km 1 cm 800000 cm 8 km ^ Seite 26
dm 2 m 2 h km 2 100 100 100 100 100 500 cm 2 50000 810000 5 0,05 mm 2 100 : 100 5000000 81000000 Längen: mm cm dm 4000 10 : 10 400 10 : 10 40 10 : 10 1000 : 1000 17000 1700 170 m 4 17 km 0,004 0,017 Flächenmße: 0,0005 0,000005 : 100 mm 3 Mße und Mßeinheiten II : 100 : 100 : 100 : 100 8100 81 0,81 0,0081 0,000081 Rummße: dm 3 cm 3 m 3 km 3 1000 : 1000 35000000 296000000000 35000 1000 : 1000 35 296000 1000 : 1000 0,035 296 3,5 10-11 296000000 10 9 : 10 9 2,96 10-11 27
Mße und Mßeinheiten II Rummße: ml l hl (Milliliter) (Liter) (Hektoliter) 0,43 43 43000 1000 100 0,007 0,7 700 : 1000 : 100 Mssen: mg 9000000 280000 1000 : 1000 g 9000 280 1000 : 1000 kg 9 0,28 1000 : 1000 t 0,009 0,00028 Zeitspnnen: s 86400 10800 60 : 60 min 1440 180 60 : 60 h 24 3 24 : 24 d (Tge) 1 0,125 Seite 28
Dichte berechnen Dichte berechnen: Dividiert mn die Msse (bzw. ds Gewicht) eines Körpers durch sein Volumen,so erhält mn die Dichte. Fomeln: Dichte Msse Volumen Msse Dichte Volumen Volumen Msse Dichte Einheiten der Dichte: 1000 1000 1000 1000 1000 1000 t m 3 kg dm 3 g cm 3 mg mm 3 1000 : 1000 1000 : 1000 1000 : 1000 Seite 29