Optimierung eines Mean-Variance Portfolios. Diplomarbeit

Universiä Leipzig Fakulä für Mahemaik und Informaik Mahemaisches Insiu Opimierung eines Mean-Variance Porfolios Diplomarbei Leipzig, 23. Januar 212 vorgeleg von: Oliver Janke, B.Sc. Sudiengang Diplom-Wirschafsmahemaik Bereuender Hochschullehrer: Junprof. Dr. Micha l Barski Fakulä für Mahemaik und Informaik, Mahemaisches Insiu

Zusammenfassung Diese Diplomarbei unersuch die Opimierung eines Mean-Variance Porfolios auf einem vollsändigen Mark uner der Bedingung, dass die Insolvenz des Invesors ausgeschlossen is. Hierbei wird die duale Mehode (auch Maringalmehode genann) angewand, bei der zuers das opimale Endvermögen und in einem zweien Schri das dazugehörige opimale replizierende Porfolio besimm wird. Die Unersuchung liefer Bedingungen für die Exisenz und Eindeuig einer solchen Lösung. Allerdings läss sich eine explizie Form der Lösung in der Regel nich angeben. Für deerminisische Markkoeffizenen is dies allerdings möglich und wird in dieser Arbei dargesell. Zwei Beispiele sollen dabei die prakische Anwendung verdeulichen. Die mahemaischen Grundlagen basieren haupsächlich auf denen der zeiseigen Finanzmahemaik. Die Arbei sez diese überwiegend als bekann voraus, unersuch aber die rückwärs sochasischen Differenialgleichungen genauer.

Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 2 1.1 Die Fragesellung................................. 2 1.2 Hisorische Grundlagen und relevane Lieraur................ 2 1.3 Aufbau der Arbei................................ 3 2 Grundlagen 4 2.1 Noaionen..................................... 4 2.2 Grundlegende Definiionen............................ 5 2.3 Rückwärs sochasisische Differenialgleichungen............... 8 3 Problemformulierung und Lösbarkeiskrierien 2 3.1 Das Modell.................................... 2 3.2 Das Problem................................... 23 3.3 Krierien zur Lösbarkei............................. 26 4 Opimale Lösung für das varianzminimierende Porfolio 33 4.1 Die Form der Lösung............................... 33 4.2 Einige Hilfsresulae............................... 39 4.3 Exisenz und Eindeuigkei der Muliplikaoren................ 45 5 Effiziene Porfolios und die effiziene Grenze 49 5.1 Definiion und Eigenschafen........................... 49 5.2 Das Opimierungsproblem bei einem Benchmark-Porfolio.......... 54 6 Das effiziene Porfolio bei deerminisischen Markkoeffizienen 58 6.1 Das explizie Porfolio.............................. 58 6.2 Zu lösende Gleichungen.............................. 65 6.3 Beispiele...................................... 7 7 Zusammenfassung 75 Lieraurverzeichnis 76 Anlagen 78 Erklärung 8 1

Kapiel 1 Einleiung 1.1 Die Fragesellung Wie muss ein Agen 1 ein Porfolio zusammensellen, dami es nich nur maximalen Errag generier, sondern auch den möglichen Verlus minimier? Uner welchen Bedingungen is ein solches Problem lösbar? Wie sieh ein ensprechendes Porfolio aus und wie läss es sich mi mahemaischen Mehoden beschreiben? Gegensand dieser Diplomarbei sind die genannen Fragen. Wir berachen ein Mean- Variance Porfolio mi einer endlichen Anzahl von Werpapieren auf einem vollsändigen, arbiragefreien Mark, auf dem zeiseig gehandel wird. Die ensprechenden Markparameer sind dabei sochaisch. Unser Porfolio is selbsfinanzierend und soll opimal zusammengesez werden. Dies bedeue, dass zu einem erwareen Errag am Ende der Handelszei die Varianz des Errages möglichs gering is. Inuiiv is vorsellbar, dass bei seigendem erwareen Errag die Varianz ebenfalls seig. Ziel is somi, am Ende eine opimale Menge aus Punken mi zwei Koordinaen zu erhalen, die uns zu jedem möglichen Errag die geringse quadraische Sandardabweichung liefer. Porfolios, die diese Ergebnisse liefern, werden als effiziene Porfolios bezeichne. Zudem fordern wir, dass das Vermögen des Invesors zu jedem Zeipunk nichnegaiv sein darf. Auch dieses is aus prakischen Gesichspunken gerechferig. 1.2 Hisorische Grundlagen und relevane Lieraur Schon viele Auoren haben sich mi dem Problem der Porfoliozusammensellung mi dem Ziel seiner Opimierung beschäfig. Markowiz ha dies 1952 in seinem Aufsaz Porfolio Selecions 13 behandel. In seinem Modell wähl der Invesor eine Handelssraegie aus der Menge der Porfolios, die ihm maximalen Errag und minimale Varianz versprechen. Markowiz berache dabei einen Mark mi einer endlichen Zahl an Anleihen, die in einer Periode 1 Im Folgenden wird ausschließlich aus Gründen der besseren Lesbarkei nur die männliche Form verwende. Dass ses Verreerinnen und Verreer beider Geschlecher gemein sind, is selbsversändlich. 2

gehandel werden. Er sell die Menge aller für den Invesor effizienen Porfolios grafisch in einem zweidimensionalen Koordinaensysem dar, an dessen unerem Ende sich die Porfolios mi minimaler Varianz und an seinem oberen Ende sich die Sraegien mi maximalen Errag befinden. 2 Die Idee von Markowiz wurde in den folgenden Jahren weierenwickel. So wurde das Modell erweier, indem zeiseig über mehrere Perioden gehandel wird, so wie wir es auch in hier berachen wollen. Diese Arbei bau auf dem Arikel Time-Coninuous Mean-Variance Porfolio Selecion Wih Bankrupcy Prohibiion von Bielecki e al. 3 auf. Der Arikel Coninuous-ime meanrisk porfolio selecion von Jin e al. 9 behandel die Opimierung von gewicheen Mean- Variance Porfolios. Die Opimierung von Mean-Variance Porfolios mi nichlinearer Vermögensgleichung wurde von Ji unersuch 8. Diesen Aufsäzen is gemein, dass sie ses die duale Meheode (auch Maringalmehode genann) anwenden. Hierbei wird im ersen Schri das opimale Endvermögen und im zweien Schri das zugehörige replizierende Porfolio besimm. 3 Eine weiere Mehode der Porfolioopimierung, bei der das Problem als sochasisches opimales linear-quadraisches (LQ-) Konrollproblem formulier wird, wird als primale Mehode bezeichne und finde sich u.a. bei Li e al. 12. Die mahemaischen Grundlagen sind überwiegend aus dem Buch Sochasic Calculus in Finance II von Shreve 16 und dem Skrip Financial Mahemaics in Coniuous Time von Frey 6 ennommen. Zudem basier der Teil über sochasische Differenialgleichungen auf dem Arikel Backward Sochasic Differenial Equaions in Finance von El Karoui e al. 5. 1.3 Aufbau der Arbei Die Arbei is wie folg aufgebau: Im zweien Kapiel werden die mahemaischen Grundlagen erklär. Speziell wird hierbei auch das Thema der sochasischen Differenialgleichungen behandel. Im drien Kapiel werden wir uns dem Haupproblem dieser Arbei durch die Opimierung von varianzminimierenden Porfolios nähern und Krierien für seine Lösbarkei herausarbeien. Im vieren Kapiel werden wir zeigen, dass die opimale Lösung für unser Problem eine spezielle Form mi zwei Lagrange-Muliplikaoren ha. Diese werden wir durch ein Gleichungssysem besimmen und zudem zeigen, dass sie eindeuig sind. Im fünfen Kapiel werden wir herausarbeien, wie ein effizienes Porfolio zusammengesez werden soll und welchen Errag bzw. welche Varianz es liefer. Zudem werden wir hier auch die Opimierung eines Benchmark-Porfolios kurz behandeln. Im sechsen Kapiel berachen wir schließlich den Sonderfall, dass die Markkoeffizienen nich sochasisch, sondern deerminisisch sind. Nur so is es möglich, die Lagrange-Muliplikaoren explizi auszurechnen und so die effizienen Porfolios zu besimmen. Dies werden wir an zwei Beispielen zeigen, wobei nur eine numerische Berechnung der Muliplikaoren möglich is. Das siebe Kapiel enhäl eine Zusammenfassung und abschließende Bemerkungen. 2 vgl. 13, S. 87. 3 vgl. 8, S. 9. 3

Kapiel 2 Grundlagen In diesem Kapiel werden wir die wichigsen Noaionen und Grundlagen aus der Finanzmahemaik sammeln, die für das Versändnis dieser Arbei wichig sind. Allerdings werden wir hierbei die meisen Aussagen, wie die Fundamenalsäze des Asse-Pricing oder die Iô- Formel, nich beweisen. Auf die ensprechenden Sellen wird aber verwiesen. Im drien Abschni werden wir das grundlegende finanzmahemaische Modell einführen und uns speziell mi rückwärs sochasischen Differenialgleichungen auseinander sezen. Sie bilden ein wichiges Fundamen dieser Arbei, so dass die hierzu benöigen Eigenschafen erklär und bewiesen werden sollen. 2.1 Noaionen Die folgenden Noaionen werden häufig in der Arbei verwende: M R m n : eine m n-marix M; M : die Transponiere zu einem Vekor oder einer Marix M; M := i,j m2 ij für jeden Vekor oder jede Marix M = (m ij ); x : die euklidische Norm für jedes x R n ; x, y : das innere Produk für jedes x, y R n ; M := Spur(MM ) : Die euklidische Norm einer Marix M; M, N := Spur(MN ) : das innere Produk von zwei Marizen M und N; α + := max{α, } für jede reelle Zahl α; 1 A : die { Indikaorfunkion für eine beliebige Menge A; } L 2 (, T ; R d ) := f :, T R d T : f() 2 d < + ; L 2 (Ω; R d ) := { η R d : η 2 < + }. Weiere Noaionen werden an den ensprechenden Sellen eingeführ. 4

2.2 Grundlegende Definiionen Definiion 2.1 (Adapierer sochasischer Prozess) Sei Ω eine nichleere Ereignismenge und sei {F },T eine Filraion über Ω. Eine Familie von Zufallsvariablen {X },T heiß adapierer sochasischer Prozess, wenn für alle, T gil: X is F -messbar. 1 Definiion 2.2 (Brownsche Bewegung) Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeisraum. Für jedes ω Ω sei W () eine seige Funkion für mi W () =, die von ω abhäng. Dann heiß W () Brownsche Bewegung, wenn für alle = 1 m die Inkremene W ( 1 ) = W ( 1 ) W ( ), W ( 2 ) W ( 1 ),..., W ( m ) W ( m 1 ) unabhängig sind und jedes dieser Inkremene normalvereil mi EW ( i+1 ) W ( i ) =, V arw ( i+1 ) W ( i ) = i+1 i is. 2 Eine m-dimensionale Brownsche Bewegung is ein Prozess für den gil: W () (W 1 (),..., W m ()), (i) für jedes i {1,..., m} is W i () eine eindimensionale Brownsche Bewegung wie oben definier; (ii) für jedes i, j {1,..., m}, i j, sind die Prozesse W i () und W j () unabhängig. 3 Definiion 2.3 Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeisraum, auf dem eine (ein- oder mehrdimensionale) Brownsche Bewegung W (),, definier is. Eine Filraion für eine Brownsche Bewegung is eine Familie von σ-algebren {F }, die folgende Bedingungen erfüll: (i) Informaionszuwachs: Für s < gil: Jede Menge in F s is auch in F enhalen. Dies bedeue, dass zu jedem späeren Zeipunk mindesens genauso viele Informaionen wie zum früheren Zeipunk s verfügbar sind; (ii) Adapiviä: Für jedes is die Brownsche Bewegung W () zum Zeipunk F -messbar. Dies bedeue, dass die verfügbaren Informaionen zum Zeipunk hinreichend sind, um die Brownsche Bewegung W () zu diesem Zeipunk zu besimmen; 1 nach 16, S. 53. 2 nach 16, S. 94. 3 nach 16, S. 164. 5

(iii) Unabhängigkei von zukünfigen Inkremenen: Für < u gil: Das Inkremen W (u) W () is unabhängig von F. Dies bedeue, dass jedes Inkremen einer Brownschen Bewegung nach einem Zeipunk unabhängig vom Informaionssand zum Zeipunk is. Sei x(),, ein sochasischer Prozess. x() heiß an die Filraion F adapier, wenn für jedes die Zufallsvariable x() F -messbar is. Einen filrieren Wahrscheinlichkeisraum bezeichnen wir mi (Ω, F, P, {F } ). 4 Definiion 2.4 (Maringal) Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeisraum, sei T > fes und sei F, T, eine Filraion von Sub-Algebren von F. Sei M(), T, ein adapierer sochasischer Prozess. M() is ein Maringal, wenn gil: EM() F s = M(s), s T. Dies bedeue, dass der Prozess keine Neigung zum Fallen oder Seigen ha. 5 Definiion 2.5 (Lokales Maringal) Ein sochasischer Prozess M heiß lokales Maringal, wenn es Soppzeien 6 T 1... T n... gib, so dass gil: (i) lim n + T n (ω) = +, f.s. (ii) ( ) M min{tn,} is ein Maringal für alle n.7 Definiion 2.6 (i) Ein bedinger Anspruch oder coningen claim X is eine F T -messbare Zufallsvariable X. Ein coningen claim heiß erreichbar, wenn es mindesens ein akzepables Porfolio π( ) (π 1 ( ),..., π m ( )) gib, dessen Endwer x(t ) = π (T ) + π 1 (T )+ +π m (T ) = X, f.s., is. Ein solches Porfolio heiß replizierendes Porfolio für X. (ii) Ein Finanzmarkmodell heiß vollsändig, wenn jeder coningen claim X L 2 F T (Ω, F, P ) erreichbar is. 8 Theorem 2.7 (Erser Fundamenalsaz des Asse-Pricing) Ein Mark is genau dann arbiragefrei, wenn es auf ihm ein risikofreies Maß gib. 9 4 nach 16, S. 97. 5 nach 16, S. 74. 6 Soppzeien geben den Zeipunk des ersen Aufreens eines besimmen Ereignisses an (vgl. 6, S. 14). 7 nach 6, S. 27. 8 nach 6, S. 62. 9 vgl. 16, S. 231. 6

Theorem 2.8 (Zweier Fundamenalsaz des Asse-Pricing) Sei ein Mark mi mindesens einem Maringalmaß Q gegeben. Dann gil: Ein Mark is genau dann vollsändig, wenn das Maringalmaß eindeuig is. 1 Definiion 2.9 (Risikoneurales Maß) Sei M := (Ω, F, P, {F } ) ein filrierer Wahrscheinlichkeisraum und sei D( ) ein Diskonierungsprozess. Ein Wahrscheinlichkeismaß Q auf (Ω, F) heiß äquivalenes Maringalmaß oder risikoneurales Maß für M, wenn gil: (i) Q is äquivalen zu P (Q P ), d.h. für alle A F gil: Q(A) = P (A) = ; (ii) der diskoniere Akienpreis S i () := D()S i () is ein Maringal für jedes i = 1,..., m. 11 Definiion 2.1 (Radon-Nikodym-Deriva) Sei (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeisraum und sei Q ein anderes Wahrscheinlichkeismaß, das äquivalen zu P is. Sei Z eine Zufallsvariable mi Z, f.s., und EZ = 1, für die gil: Q(A) = Z(ω) dp (ω), A F. Dann heiß A Z = dq dp Radon-Nykodym-Dervia von Q zum Wahrscheinlichkeismaß P. Für alle nichnegaiven Zufallsvariablen X gil: E Q X = EXZ oder äquivalen für ein f.s. posiives Z: E Q XZ 1 = EX. 12 Definiion 2.11 (Europäische Pu- und Call-Opion) Sei S ein Werpapier (eine Akie oder eine ausländische Währung) und sei S der Wer von S zum Zeipunk. Eine europäische Pu-Opion is das Rech, das Werpapier S in einem zukünfigem fesen Zeipunk T zu einem heue fixieren Preis K zu verkaufen. K heiß Ausübungspreis (oder srike), T für T heiß Reslaufzei. Die Auszahlung P T einer Pu-Opion im Zeipunk T is gegeben durch: P T = max{k S T, } =: (K S T ) +. Eine europäische Call-Opion is das Rech, das Werpapier S in einem zukünfigen fesen Zeipunk T zu einem heue fixieren Preis K zu kaufen. Die Auszahlung C T einer Call- Opion im Zeipunk T is gegeben durch: 1 vgl. 16, S. 232. 11 nach 16, S. 228. 12 nach 16, S. 33 ff. C T = max{s T K, } =: (S T K) +. 7

Analog dazu is eine amerikanische Pu- bzw. Call-Opion das Rech, das Werpapier zu einem beliebigen zukünfigen Zeipunk T zu einem heue fesgelegen Preis K zu verkaufen bzw. zu kaufen. 13 Theorem 2.12 (Iô-Formel) Sei f(, x) eine Funkion, bei der die pariellen Ableiungen f (, x), f x (, x) und f xx (, x) wohldefinier und seig sind. Sei W () eine Brownsche Bewegung. Dann gil für jedes T : f(t, W (T )) = f(, W ()) + + f (, W ()) d f x (, W ()) dw () + 1 2 f xx (, W ()) d. (2.1) Die Aussage dieses Theorems wird als Iô- oder als Iô-Doeblin-Formel bezeichne. 14 2.3 Rückwärs sochasisische Differenialgleichungen Unser Modell besehe nun aus einem Mark, auf dem m + 1 Werpapiere in seiger Zei gehandel werden. Sei T ein fesgeleger Zeipunk, der das Ende des Handels beschreib. (Ω, F, P, {F } ) sei ein feser filrierer, vollsändiger Wahrscheinlichkeisraum, wobei der Informaionssand durch eine rechsseige Filraion {F } gegeben is. Auf diesem werde eine m-dimensionale Brownsche Bewegung W () (W 1 (),..., W m ()) mi W () = definier. Sei r() die Zinsrae, die wir als einen F -adapieren, gleichmäßg beschränken sochasischen Prozess mi Weren in R beschreiben wollen. I.d.R. gil r(), was wir aber nich als zwingende Voraussezung an die folgenden analyische Berachung annehmen wollen. Die Preisprozesse zum Zeipunk von jenen m + 1 Anleihen bezeichnen wir mi S i (), i {,..., m}, wobei der Preisprozess des Bankkonos mi S ( ) bezeichne wird. Dieser erfüll folgende gewöhnliche sochasische Differenialgleichung: { ds () = r()s ()d,, T, (2.2) S () = s >. Nun berachen wir die reslichen m Werpapiere. Dazu seien b i () die Werseigerungsrae und σ ij () die Volailiä der i-en Akie zum Zeipunk. b i ( ) und σ ij ( ) sind dabei wieder F -adapiere, gleichmäßig beschränke sochasische Prozesse mi Weren in R. Dami gil für alle anderen Preisprozesse S i () der Anleihen i = 1, 2,..., m, gil folgende sochasische Differenialgleichung: { ds i () = S i () b i ()d + m j=1 σ ij()dw j (),, T, (2.3) S i () = s i >. 13 nach 15, S. 9 f. 14 nach 16, S. 138. 8

In diesem Zusammenhang definieren wir mi σ() := (σ ij ()) m m die Volailäsmarix. Wir nehmen an, dass auch die Inverse σ 1 ein beschränker Prozess is. Generell nehmen wir an, dass für die Kovarianzmarix gil: σ()σ() δ I m,, T, f.s., für einige δ >, wobei I m die m m-einheismarix is. Somi haben wir ein vollsändiges Modell für den Mark geschaffen. Nun beschreibe x() das komplee Vermögen des Agenen zum Zeipunk, dessen Transakionen keinen Einfluss auf das Markgeschehen haben und dessen Enscheidungen auf seinen Informaionssand F beruhen. Weier sei π( ) (π 1 ( ),..., π m ( )) das Porfolio oder die Handelssraegie des Agenen, wobei gil: x() = π () + π 1 () + + π m (). π i (), i =, 1, 2,..., m, beschreib somi den Markwer der i-en Anleihe für den Agenen zum Zeipunk, wobei π ( ) der Wer des Bankkonos is. 15 Wir werden als mögliche Handelssraegien nur die selbsfinanzierenden berachen, die im Folgenden definier sind: Definiion 2.13 (Selbsfinanzierende Sraegie) Eine Sraegie π( ) (π 1 ( ),..., π m ( )) heiß selbsfinanzierend, wenn der Vermögensprozess x() = π () + π 1 () + + π m () folgende Gleichung erfüll: x() = x() + m i= π i (s) ds i(s) S i (s). (2.4) Dies bedeue, dass dem Porfolio zu keiner Zei > Geld hinzugefüg oder abgezogen wird. 16 Diese Eigenschaf der Handelssraegien wollen wir in Form einer sochasischen Differenialgleichung ausdrücken: Lemma 2.14 Sei eine Sraegie π( ) (π 1 ( ),..., π m ( )) selbsfinanzierend und sei π ( ) = x( ) m i=1 π i( ) der Wer des Bankkonos, so gil: dx() = r()x() + m (b i () r()) π i () d i=1 + m m σ ij ()π i () dw j (), (2.5) j=1 i=1 x() = x >. 15 Das Verhälnis π i /S i, i {,..., m}, gib Anzahl der i-en Anleihenaneile, die vom Agenen gehalen werden, an. 16 vgl. 5, S. 5. 9

Beweis: Nach Gleichung (2.4) gil: m x() = x() + π i (s) ds i(s) S i (s) = x() + (2.2),(2.3) = x() + = x() + i= π (s) ds (s) S (s) + m i=1 i=1 π i () ds i(s) S i (s) b i (s)ds + m j=1 σ ij(s)dw j (s) π (s) r(s)s (s)ds m S i (s) + π i (s) S (s) S i=1 i (s) m m π (s)r(s)ds + π i (s) b i (s)ds + σ ij (s)dw j (s). Sezen wir nun x() = x() + f(y ()) mi f(y) = y und m Y () := π (s)r(s)ds + π i () b i (s)ds + so gil nach der Iô-Formel (Theorem 2.1): dx() = df(y ()) i=1 j=1 m σ ij (s)dw j (s), j=1 = f (Y ()) dy () + 1 }{{} 2 f (Y ()) dy ()dy () }{{} 1 m m = π ()r()d + π i () b i ()d + σ ij ()dw j () = x() i=1 m π i () r()d + i=1 = r()x()d + woraus die Behaupung folg. j=1 m π i ()b i ()d + i=1 m (b i () r())π i ()d + i=1 m j=1 m i=1 m π i ()σ ij ()dw j () j=1 m σ ij ()π i () dw j (), i=1 x beschreib somi das Anfangskapial des Agenen. Weier definieren wir B() := (b 1 () r(),..., b m () r()) als Risikoprämie für den Agenen und der Risikoprämienprozess is gegeben durch θ() (θ 1 (),..., θ m ()) := B()(σ() ) 1. (2.6) Somi können wir die Gleichung (2.5) wie folg schreiben: { dx() = r()x() + B()π()d + π() σ()dw (), x() = x. (2.7) 1

Im Folgenden werden wir nun eine besimme Handelssraegie zur Kursabsicherung definieren. Definiion 2.15 (Hedgingsraegie) Sei ξ ein nichnegaiver coningen claim. (i) Eine Hedgingsraegie gegen ξ is eine mögliche selbsfinanzierende Handelssraegie (x( ), π( )), so dass gil: x(t ) = ξ. H(ξ) bezeichne die Menge aller Hedgingsraegien gegen ξ. (ii) Sei H(ξ) nichleer. Ein fairer Preis x() zur Zei = is das geringse Anfangskapial, das benöig wird, um mi der Hedgingsraegie ξ zu erreichen: x() = inf {x : (x( ), π( )) H(ξ) mi x() = x}. 17 Nun wollen wir formulieren, uner welchen Umsänden es eine Hedgingsraegie gegen einen coningen claim gib und welche Form in diesem Fall der Vermögensprozess ha. Theorem 2.16 (Gleichung für den Vermögensprozess) Sei ξ ein posiiver, quadraisch inegrierbarer coningen claim. Dann gib es eine Hedgingsraegie (x( ), π( )) gegen ξ, so dass gil: { dx() = r()x() + B()π()d + π() σ()dw (), (2.8) x(t ) = ξ, wobei der Anfangswer x() ein fairer Preis und der obere Preis von ξ is. Sei (H (s)) s der Deflaionsprozess, der zum Zeipunk sare, d.h. es gil: { dh (s) = H (s)r(s)ds + θ(s) dw (s), H () = 1. (2.9) Dann gil: x() = EH (T )ξ F, f.s. Beweis: Nach der Iô-Fomel (vgl. Theorem 2.1) ha der Deflaionsprozess H( ) := H ( ) folgende Form: { s H() := H (s) = exp r(u) + 1 s } 2 θ(u) 2 du + θ(u) dw (u). Da r( ) und θ( ) beschränke Prozesse sind und ξ quadraisch inegrierbar is, gil: EH (T ) < + und EH (T )ξ < +. Sei nun x( ) ein adapierer Prozess und sei H( )x( ) ein Maringal, dann gil nach Definiion 2.4: 17 vgl. 5, S. 6. H()x() = EH(T )ξ F =: M(). 11

Nun kann nach dem Maringaldarsellungsheorem 18 M( ) als sochasisches Inegral dargesell werden, wobei M() = EH (T )ξ is. Dies bedeue, es exisier ein vorhersehbarer Prozess U( ) mi U(s) 2 ds < +, f.s., so dass gil: H()x() = EH(T )ξ + U(s) dw (s). Seze nun π() := (σ() ) 1 H()U() + x()θ(); somi gil: U() = H()σ() π() x()θ() und dami: H()x() = E(T )ξ + Nach gewöhnlicher Differenialrechnung gil: H(s)π(s) σ(s) θ(s) x(s)dw (s). H()π() σ() θ() x()dw () = dh()x() + H()dx() = H()r()d + θ() dw ()x() + H()dx() = H() r()x()d θ() x()dw () + dx() dx() = r()x()d + π() σ()dw (), H(T )x(t ) = EH(T )ξ F T = H(T )ξ x(t ) = ξ. Da H ( ) und x( ) seig sind und θ( ) beschränk is, gil mi U(s) 2 ds < +, f.s., ebenfalls: σ(s) π(s) 2 ds = H (s)u(s) + x(s)θ(s) 2 ds < +, f.s. Für das Versändnis der Arbei is ein Blick auf die rückwärs sochasischen Differenialgleichungen oder backward sochasic differenial equaions, im Folgenden abgekürz mi BSDE, in der Finanzmahemaik nowendig. Dieser bau auf dem Arikel von El Karoui e al. (5, S. 1-24) auf. Im Allgemeinen is die BSDE von der Form: { dy () = f(, Y (), Z()) d Z() dw (), (2.1) Y (T ) = ξ, wobei f als Generaor oder Nuzen und ξ als Endbedingung bezeichne werden. Im Folgenden werden wir nun einige Eigenschafen für die Lösung von BSDEs sammeln, insb. werden wir auf die Exisenz und Eindeuigkei eingehen. Nun sei ein Wahrscheinlichkeisraum (Ω, F, P ) und eine n-dimensionale Brownsche Bewegung W () gegeben. Weier sei {F },T : Die Filraion für eine Brownsche Bewegung W ; L 2 F T (Ω; R d ): die Menge aller R d -werigen, F T -messbaren Zufallsvariablen X : Ω R d mi X 2 = E X 2 < + ; HT 2(Rd ): die Menge aller vorhersehbaren 19 ψ 2 T := E ψ() 2 d < + ; Prozesse ψ : Ω, T R d, so dass 18 nach 16, S. 221. 19 Ein linksseiger F -adapierer Prozess heiß vorhersehbar (vgl. 16, S. 477). 12

HT 1(Rd ): die Menge aller vorhersehbaren Prozesse ψ : Ω, T R d, so dass E ψ() 2 d < + ; Für β > und ψ HT 2(Rd ) definieren wir ψ 2 β := E T eβ ψ() 2 d. HT,β 2 (Rd ) is der normiere Raum (HT 2(Rd ), β ). Analog is L 2 F T,β (Rd ) definier. Nun sei eine BSDE in der Form von (2.1) gegeben. Äquivalen umgeform erhäl man: wobei Y () = ξ + f(s, Y (s), Z(s)) ds Z(s) dw (s), (2.11) der Endwer eine F T -messbare Zufallsvariable ξ : Ω R d is; die Funkion f : Ω R + R d R n d R d P B d B n d -messbar is. Die Lösung dieser Gleichung is ein Paar (Y, Z), so dass {Y () :, T } ein seiger R d -weriger, adapierer Prozess und {Z() :, T } ein R n d -weriger veraussagbarer Prozess is, der Z(s) 2 ds < +, f.s., erfüll. Seien ξ L 2 F T (Ω; R d ) sowie f(,, ) H 2 T (Rd ) und f gleichmäßig Lipschiz-seig 2. Dann heißen (f, ξ) Sandardparameer für die BSDE. Proposiion 2.17 Seien (Y 1, Z 1 ) und (Y 2, Z 2 ) sowie (f 1, ξ 1 ) und (f 2, ξ 2 ) mi den oben beschriebenen Eigenschafen, so dass gil: Y i () = ξ i + f i (s, y i (s), z i (s)) ds Z i (s) dw (s), i = 1, 2, für gewisse Paare (y 1, z 1 ) und (y 2, z 2 ). Sei C Lipschiz-Konsane für f 1 und seze δ 1 Y () := Y 1 () Y 2 () sowie δ 2 f() := f 1 (, y 2 (), z 2 ()) f 2 (, y 2 (), z 2 ()). Für beliebiges (λ, µ, β) mi µ >, λ 2 > C und β C(2 + λ 2 ) + µ 2 gil: δ 1 Y 2 β T e βt E δ 1 Y (T ) 2 + 1 µ δ 2f 2 2 β, (2.12) δ 1 Z 2 β Beweis: Sei (Y, Z) H 2 T (Rd ) H 2 T (Rn d ). Es gil: Y i () ξ i + λ 2 e βt E δ λ 2 1 Y (T ) 2 + 1 C µ δ 2f 2 2 β. (2.13) f i (s, y i (s), z i (s)) ds + sup Z i (s) dw (s), i = 1, 2. 2 D.h. es gib ein C > so dass gil: f(ω,, y 1, z 1 ) f(ω,, y 2, z 2 ) C( y 1 y 2 + z 1 z 2 ), (y 1, z 1 ), (y 2, z 2 ). 13

Nun folg mi der Ungleichung von Burkholder-Davis-Gundy 21 : 2 2 2 E sup Z i (s) dw (s) 2E Z i (s) dw (s) + 2E sup Z i (s) dw (s) 4E Z i (s) 2 ds, i = 1, 2. (2.14) Da ξ i L 2 F T (Ω; R d ) sowie f i (,, ) H 2 T (Rd ) und f i gleichmäßig Lipschiz-seig, gil: ξ i + }{{} L 2 F (R) T f i (s, y(s), z(s)) ds L 2 F }{{} T (R), i = 1, 2, HT 2 (Rd ) und dami sowie (2.14): sup s T Y (s) L 2 F T (R). Sei nun f(s, X(s)) := e βs δ 1 Y (s) 2 mi X(s) := δ 1 Y (s). Es gil: f (x) = 2e βs x und f (x) = 2e βs sowie dx(s) = f 1 (s, y(s), z(s)) f 2 (s, y(s), z(s)) ds+δ 1 Z(s)dW (s) und dx(s)dx(s) = δ 1 Z 2 ds. Wenden wir nun die Iô-Formel (vgl. Theorem 2.1) auf die Funkion f(s, X(s)) auf dem Inervall, T an, so gil: e βt δ 1 Y (T ) 2 2 +2 = e β δ 1 Y () 2 + β = e βt δ 1 Y (T ) 2 + 2 = e β δ 1 Y () 2 + β e βs δ 1 Y (s) 2 ds e βs δ 1 Y (s), f 1 (s, y 1 (s), z 1 (s)) f 2 (s, y 2 (s), z 2 (s)) ds e βs δ 1 Y (s), δ 1 Z(s) dw (s) + e βs δ 1 Y (s) 2 ds + e βs δ 1 Z(s) 2 ds e βs δ 1 Z(s) 2 ds e βs δ 1 Y (s), f 1 (s, y 1 (s), z 1 (s)) f 2 (s, y 2 (s), z 2 (s)) ds 2 e βs δ 1 Y (s), δ 1 Z(s) dw (s). (2.15) Aus sup s T Y (s) L 2 F T (R) folg: e βs δ 1 Z(s)δ 1 Y (s) HT 1(Rn ). Dami is das Inegral e βs δ 1 Y (s), δ 1 Z(s) dw (s) P -inegrierbar und wegen des Wiener Prozesses W ( ) mi: E e βs δ 1 Y (s), δ 1 Z(s) dw (s) =. (2.16) Weierhin folg mi der Lipschiz-Seigkei von f 1 : f 1 (s, y 1 (s), z 1 (s)) f 2 (s, y 2 (s), z 2 (s)) = f 1 (s, y 1 (s), z 1 (s)) f 1 (s, y 2 (s), z 2 (s)) + f 1 (s, y 2 (s), z 2 (s)) f 2 (s, y 2 (s), z 2 (s)) Ugl. f 1 (s, y 1 (s), z 1 (s)) f 1 (s, y 2 (s), z 2 (s)) + f 1 (s, y 2 (s), z 2 (s)) f 2 (s, y 2 (s), z 2 (s)) Lips. C δ 1 Y (s) + δ 1 Z(s) + δ 2 f(s). (2.17) 21 vgl. 11, S. 166. 14

Es gil folgende Ungleichung für λ, µ > : 2y(Cz + ) = 2y Cλ C z λ + 2yµ µ y 2 Cλ 2 + Cz2 λ 2 + y 2 µ 2 + 2 = Cz2 + 2 µ 2 λ 2 µ + 2 y2 (µ 2 + Cλ 2 ). (2.18) Berachen wir von Gleichung (2.15) auf beiden Seien den Erwarungswer und sezen y = δ 1 Y, z = δ 1 Z und = δ 2 f, so ergib sich: E e β δ 1 Y () 2 + E β e βs δ 1 Y (s) 2 ds + e βs δ 1 Z(s) 2 ds (2.15) = E e βt δ 1 Y (T ) 2 + 2E (2.18) 2 E e βs δ 1 Y (s), δ 1 Z(s) dw (s) } {{ } (2.16) = E e βt δ 1 Y (T ) 2 + E E e βt δ 1 Y (T ) 2 + E e βs δ 1 Y (s), f 1 (s, y 1 (s), z 1 (s)) f 2 (s, y 2 (s), z 2 (s)) ds }{{} e βs (2 δ 1 Y (C δ 1 Z + δ 2 f )) ds e βs ( C δ 1Z(s) 2 λ 2 + δ 2f(s) 2 (2.17) C δ 1 Y (s) + δ 1 Z(s) + δ 2 f(s) ) + δ µ 2 1 Y (s) 2 (µ 2 + C(2 + λ 2 )) = E e βt δ 1 Y (T ) 2 + C(2 + λ 2 ) + µ 2 E e βs δ 1 Y (s) 2 ds + C λ E e βs δ 2 1 Z(s) 2 ds + 1µ E e βs δ 2 2 f(s) 2 ds. (2.19) Wähle β C(2 + λ 2 ) + µ 2 und C < λ 2, so erhalen wir aus den Ungleichungen: E e β δ 1 Y () 2 (2.19) E e βt δ 1 Y (T ) 2 + E e βs δ 2 f(s) 2 1 µ ds 2 + C(2 + λ 2 ) + µ 2 E e βs δ 1 Y (s) 2 ds βe e βs δ 1 Y (s) 2 ds } {{ } e βs δ 1 Z(s) 2 ds e βs δ 1 Z(s) 2 ds + C λ E E 2 }{{} E e βt δ 1 Y (T ) 2 + E 15 e βs δ 2 f(s) 2 1 µ 2 ds. (2.2) ds

Mi Inegraion über das Inervall, T erhalen wir somi: δ 1 Y 2 β = E e β δ 1 Y () 2 d = E e β δ 1 Y () 2 d (2.2) T E e β δ 1 Y () 2 + E e βs δ 2 f(s) 2 1 µ ds d 2 = T e βt E δ 1 Y (T ) 2 + 1 µ δ 2f 2 2 β. Mi (2.19) folg ebenfalls: (β Cλ ) E }{{ 2 } λ2 C λ 2 (2.19) e βs δz(s) 2 ds δ 1 Z 2 β E e βt δ 1 Y (T ) 2 + E e βs δ 2 f(s) 2 1 µ ds 2 λ 2 e βt E δ λ 2 1 Y (T ) 2 + 1 C µ δ 2f 2 2 β. Theorem 2.18 (Exisenz und Eindeuigkei) Sei der Sandardparameer (f, ξ) für eine BSDE gegeben. Dann exisier ein eindeuiges Paar (Y, Z) H 2 T (Rd ) H 2 T (Rn d ), das die Gleichung (2.1) lös. Beweis: Wir wollen die Exisenz und Eindeuigkei beweisen, indem wir den Banachschen Fixpunksaz 22 auf die Funkion k : B B anwenden, wobei B := L 2 F T,β (Rd ) L 2 F T,β (Rd ) ein Banachraum is. k bilde das Paar (y, z) auf die Lösung (Y, Z) der BSDE mi Generaor f(, y(), z()) ab, also auf (2.11). Dazu müssen wir zeigen, dass k eine Konrakion is, d.h. dass gil: k(x) k(y) B c x y B, wobei c (, 1) is. 23 Wir führen einen neuen Raum HT,β 2 ein, wobei gil: ϕ H2 T,β E T eβs ϕ 2 (s)ds < +. Da gil: ϕ HT,β 2 ϕ L2 T, genüg es zu zeigen, dass k auf H2 T,β (Rd ) HT,β 2 (Rn d ) eine Konrakion is. Da (f, ξ) die Sandardparameer der BSDE sind, gil: (f(, y(), z());, T ) Y () = ξ + HT 2(Rd ). Sei nun M ein quadraisch inegrierbares Maringal, das zu F T adapier is, für das gil: M() = EM() F = E f(s, y(s), z(s))ds + ξ F. (2.21) 22 vgl. 2, S. 37. 23 vgl. 2, S. 269. 16

Nach dem Maringaldarsellungsheorem für eine Brownsche Bewegung 24 exisier ein eindeuig inegrierbarer Prozess Z HT 2(Rn d ), so dass gil: M() = M()+ Z(s) dw (s). Nun definieren wir einen adapieren und seigen Prozess Y mi Y () = M() f(s, y(s), z(s))ds. Insb. gil dami für Y : M() f(s, y(s), z(s))ds (2.21) = E M() F E f(s, y(s), z(s))ds F = E M() f(s, y(s), z(s))ds F Dieses Y erfüll Gleichung (2.11), denn es gil: Y () = EY () F. (2.22) Y () = M() f(s, y(s), z(s))ds = E f(s, y(s), z(s))ds + ξ F f(s, y(s), z(s))ds = E f(s, y(s), z(s))ds + ξ F + E Z(s) dw (s) F f(s, y(s), z(s))ds }{{} = = E f(s, y(s), z(s))ds + ξ Z(s) dw (s) f(s, y(s), z(s))ds F (2.22) = ξ + f(s, y(s), z(s))ds Z(s) dw (s). Da M quadraisch inegrierbar is, is es auch Y. Seien (y 1, z 1 ) und (y 2, z 2 ) Elemene aus HT,β 2 (Rd ) HT,β 2 (Rn d ) sowie (Y 1, Z 1 ) = k(y 1, z 1 ) bzw. (Y 2, Z 2 ) = k(y 2, z 2 ) die dazugehörigen Lösungen. Nach Präposiion 2.17 gil für C = und β = µ 2 : δ 1 Y 2 β T β E e βs f(s, y 1 (s), z 1 (s)) f(s, y 2 (s), z 2 (s)) 2 ds und δ 1 Z 2 β 1 β E Da f Lipschiz-seig mi der Konsane C is, gil: e βs f(s, y 1 (s), z 1 (s)) f(s, y 2 (s), z 2 (s)) 2 ds. f(s, y 1 (s), z 1 (s)) f(s, y 2 (s), z 2 (s)) 2 C 2 ( y 1 (s) y 2 (s) + z 1 (s) z 2 (s) ) 2. Daraus folg: E e βs f(s, y 1 (s), z 1 (s)) f(s, y 2 (s), z 2 (s)) 2 ds C 2 ( y 1 y 2 2 β + z 1 z 2 2 β). 24 vgl. 16, S. 225. 17

Insgesam erhalen wir dami: δ 1 Y 2 β + δ 1 Z 2 β 2(1 + T )C β δ1 y 2 β + δ 1 z 2 β. Wähle β > 2(1+T )C, dann is die Abbildung k eine Konrakion von H 2 T,β (Rd ) H 2 T,β (Rn d ) in sich selbs. Dami exisier eine eindeuige Lösung der BSDE (2.1). Wir wenden uns nun einer Aussage über die Lösbarkei von linearen BSDE zu. Sie ergib sich aus dem vorherigen Theorem. Proposiion 2.19 Sei (β, γ) ein beschränker (R, R n )-weriger vorhersehbarer Prozess, sei ϕ HT 2(R) und sei ξ L2 F T (R). Dann ha die lineare BSDE { dy () = ϕ() + Y ()β() + Z() γ() d Z() dw (), (2.23) Y (T ) = ξ eine eindeuige Lösung (Y, Z) HT,β 2 (R) H2 T,β (Rn ) und für Y () gil folgende Gleichung: Y () = E ξγ(t ) + Γ(s)ϕ(s)ds F, f.s., (2.24) wobei der adjungiere Prozess Γ(), der für definier is, gegeben is durch die lineare sochasische Differenialgleichung: { dγ() = Γ()β()d + γ() dw (), (2.25) Γ() = 1. Im Besonderen gil für ξ und ϕ, dass auch der Prozess Y nichnegaiv is. Wenn weierhin gil, dass Y () =, dann is Y () =, f.s., und ϕ() = dp d, f.s, für beliebiges. Beweis: Für die beschränken Prozesse β und γ is der lineare Generaor f(, y, z) = ϕ() + β()y + γ() z gleichmäßig Lipschiz-seig und das Paar (f, ξ) sind Sandardparameer der BSDE. Nach Theorem 2.18 exisiier eine eindeuige quadraisch inegrierbare Lösung (Y, Z) der linearen BSDE, die zu (f, ξ) gehör. A() := Γ()Y ()+ Γ(s)ϕ(s)ds is ein lokales Maringal, denn es gil: 25 da() = d(γ()y ()) + Γ()ϕ()d 25 vgl. 6, S. 27. = Γ()dY () + Y ()dγ() + Γ, Y + Γ()ϕ()d = Γ() ( ϕ() + Y ()β() + Z() γ() d + Z() dw ()) +Y () (Γ()β()d + γ() dw ()) + Γ()γ() Z()d + Γ()ϕ()d = Γ() ϕ() Y ()β() Z() γ() + Y ()β() + γ() Z() + ϕ() d + Γ()Z() + Y ()γ() dw () = Γ()Z() + Y ()γ() dw (). 18

Nun gil: sup s T Y (s) und sup s T Γ(s) gehören zu L 2 F T (R) und sup s T Y (s) sup s T Γ(s) gehör zu L 1 F T (R). Deshalb is das lokale Maringal Γ()Y () + Γ(s)ϕ(s)ds gleichmäßig inegrierbar mi E Γ(T )Y (T ) + Γ(s)ϕ(s)ds F s = E ξγ(t ) + Γ(s)ϕ(s)ds F s = Y (). Im besonderen gil: Sind ξ und ϕ nichnegaiv, so is auch Y () nichnegaiv. Weierhin gil: Für Y () = gil auch: Y () = E Γ(T )Y (T ) + Γ(s)ϕ(s)ds F = E ξγ(t ) + Γ(s)ϕ(s)ds = und dami auch ξ =, f.s., ϕ() =, f.s. und Y ( ) =, f.s. 19

Kapiel 3 Problemformulierung und Lösbarkeiskrierien In diesem Kapiel werden wir das zu Grunde liegende mahemaische Modell formulieren, das haupsächlich auf den Annahmen des zweien Kapiels aufbau. Allerdings werden wir hier die Bedingung des Insolvenzausschlusses für den Invesor und deren mahemaische Umsezung formulieren. Im zweien Abschni werden wir dann das grundlegende Problem der Opimierung eines varianzminimierenden Porfolios aufsellen und dieses in zwei Unerprobleme eilen. Im drien Abschni sellen wir schließlich Krierien für die Lösbarkei unseres Problems auf, indem wir zeigen, uner welchen Bedingungen das Opimierungsproblem eine Lösung ha und dass diese dann eindeuig is. 3.1 Das Modell T is ein fesgeleger Zeipunk, der das Ende des Handels beschreib. (Ω, F, P, {F } ) is ein feser filrierer, vollsändiger Wahrscheinlichkeisraum. Auf diesem wird eine m- dimensionale Brownsche Bewegung W () (W 1 (),..., W m ()) mi W () = definier. Wir nehmen an, dass für jedes gil: F = σ({w (s) : s }). L 2 F T (, T ; R d ) bezeichne die Menge aller R d -werigen, abschnisweise messbaren sochasischen Prozesse T f( ) = {f() : T }, die so zu F adapier is, dass gil: E f() 2 d < +. Weier bezeichne L 2 F T (Ω; R d ) die Menge aller R d -werigen, F T -messbaren Zufallsvariablen η mi E η 2 < +. Wir nehmen nun generell an, dass wir uns auf einem vollsändigen Marke befinden, auf dem m + 1 Werpapiere in seiger Zei gehandel werden. Weier seien alle Handelssraegien selbsfinanzierend. Alle Annahmen, die wir im Abschni 2.3 geroffen haben, gelen for. Obwohl der Vermögensprozess x( ) in Gleichung (2.7) auch negaiv sein kann, mach dies aus prakischer Sich keinen Sinn, da Agenen bei einem negaiven Vermögen keine Akien 2

kaufen können. Deshalb werden wir in dieser Arbei davon ausgehen, dass die Insolvenz des Agenen ausgeschlossen is. Deshalb sind bei der Erfüllung der Gleichung (2.7) nur Porfolios π( ) zugelassen, bei denen für alle, T gil, dass der dazugehörige Vermögensprozess x(), f.s., is. Dass es mindesens eine solche Sraegie ergib, is insofern offensichlich, da es dem Agenen freigesell is, sein komplees Vermögen auf das Bankkono zu legen. Denn somi is π( ) und dami { dx() = r()x() d, x() = x >, dami is x() = x e r(s)ds für alle, T. Für alle möglichen Porfolios, die wir als Handelssraegien erlauben, sellen wir folgende Definiion auf. Definiion 3.1 (Akzepables Porfolio) Ein Porfolio heiß akzepabel, wenn gil: π( ) L 2 F(; T ; R m ). Nach Theorem 2.18 gib es für jedes akzepables Porfolio π( ) eine eindeuige Lösung x( ) für die Gleichung (2.7). Nun wollen wir die Eigenschafen der möglichen Handelssraegien ewas näher unersuchen. Wir berachen nun den Vekor der Vermögensaneile in einzelnen Akien und definieren ihn ensprechend als u() := π() x(),, T. u( ) erfüll somi die Eigenschaf u( ) L 2 F (; T ; Rm ), so dass sich die Einschränkung u() 2 d < +, f.s, ergib. Durch diese Eigenschaf und durch die Bedingung des selbsfinanzierenden Porfolios können wir zeigen, dass das Vermögen x() zu jedem Zeipunk, T proporional zum Anfangsvermögen x is, d.h. es gil: x() = x x(), wobei x( ) ein f.s. sreng posiiver Prozess is. Für eine proporionale, selbsfinanzierende Handelssraegie u( ) suchen wir nun den Vermögensprozess x( ), der die eindeuige Lösung zur folgenden Gleichung is: { dx() = x()r() + B()u()d + x()u() σ()dw (), x() = x. Mi x() = x x() und dx() = x d x() ergib sich dami: d x() = x() {r() + B()u()d + u() σ()dw ()}. Durch die Iô-Formel (vgl Theorem 2.1) ermieln wir folgende Lösung: { x() = exp (r(s) + B(s)u(s) 12 ) } u(s) σ(s) 2 ds + u(s) σ(s) dw (s). Hieran sieh man deulich, dass der Vermögensprozess x( ) größer als Null is, wenn das Anfangskapial x größer als Null is. Somi läss sich unsere zusäzliche Forderung nach dem Verbo der Insolvenz des Agenen auch anders formulieren: Die Menge der akzepablen, selbsfinanziereden, proporionalen 21

Porfolios is eine eche Teilmenge der akzepablen, selbsfinanzierenden Porfolios. Somi haben wir gezeig, dass ein akzepables Porfolio π( ), das zu einem posiiven Vermögensprozess x( ) führ, eine proporionale Handelssraegie u() := π(),, liefer. Andererseis x() können wir von jeder proporionalen Handelssraegie u( ) auf eine gewöhnlichen Sraegie π( ) über π() = u()x(),, zurückschließen. Zuers werden wir die Eigenschaf berachen, dass unser Vermögensprozess x( ) genau dann nichnegaiv is, wenn das Endvermögen x(t ) nichnegaiv is. Proposiion 3.2 (Nichnegaiviä des Vermögensprozesses) Sei x( ) ein Vermägensprozess uner einem akzepablen Porfolio π( ). Dann gil: Wenn x(t ), f.s., is, dann is auch x(), f.s., für alle, T. Beweis: Sei π( ) eine akzepable Handelssraegie und sei x( ) der zugehörige Vermögensprozess, also die eindeuige Lösung des Gleichungssysems (2.7). Für diesen gil: x(t ), f.s. Nach Definiion 2.3 is dami ξ := x(t ) eine F T -messbare Zufallsvariable mi E ξ 2 < +. Seze z( ) := σ ( )π( ), dann erfüll das Paar (x( ), z( )) ebenfalls nach (2.7) und mi (2.6) die folgende BSDE: { dx() = r()x() + θ()z()d + z ()dw (), x(t ) = ξ. Auf dieses Gleichungsysem wenden wir nun Theorem 2.19 an und erhalen folgende Lösung für x( ): x() = ρ() 1 Eρ(T )x(t ) F, f.s., T. (3.1) Hierbei is ρ( ) der Deflaionsprozess, der zum Zeipunk sare und der folgendes Gleichungssysem erfüll: { dρ() = ρ() r() d θ() dw (), ρ() = 1. Durch die Iô-Formel erhalen wir folgende Lösung: { ρ() = exp r(s) + 12 θ(s) 2 ds } θ(s) dw (s) (3.2) Somi is ρ() >, f.s.,, T, und dami gil: ρ() 1 > und mi x(t ) auch Eρ(T )x(t ) F, f.s.,, T. Somi is nach (3.1) auch gezeig: x(), f.s.,, T. Der Voreil der Eigenschaf der Nichnegaiviä des sochasischen Prozesses aus Proposiion 3.2 lieg darin, dass wir unsere Voraussezung, dass wir die Insolvenz des Agenen verbieen, anders ausdrücken können: sa zu fordern, dass x() für alle, T nichnegaiv is, reich es zu fordern, dass das Endvermögen x(t ) nichnegaiv sein muss. 22

Bemerkung 3.3 (Deflaionsprozess) Formen wir die Gleichung (3.1) um, so ergib sich: ρ()x() = Eρ(T )x(t ) F, f.s., T. Nach Definiion 2.4 is dami ρ()x() ein Maringal und wir können den Prozess ρ( ) als Deflaionsprozess inerpreieren. Da unser Mark nach Voraussezung vollsändig is, exisier ein eindeuiges risikoneurales Maringalmaß Q mi folgender Eigenschaf: dp T dq = exp θ(s) 2 ds θ(s)dw (s) =: η(t ). 1 Berachen wir den Preisprozess S ( ) unseres Bankkonos mi Anfangswer s (vgl. (2.2)). Durch Umformung ergib sich: η() = exp θ(s) 2 ds θ(s)dw (s) = exp r(s)ds r(s)ds θ(s) 2 ds θ(s)dw (s) = exp r(s)ds exp r(s)ds θ(s) 2 ds θ(s)dw (s) = S () ρ(). s Nach Definiion 2.1 und der Bayes-Formel 2 können wir nun x() aus Gleichung (3.1) mihilfe des risikoneuralen Ansazes ausdrücken: x() = ρ() 1 Eρ(T )x(t ) F, f.s., T = ρ() 1 η()e Q ρ(t )x(t )η(t ) 1 F, f.s., T = ρ() 1 η()e Q ρ(t )x(t )ρ(t ) 1 s S (T ) 1 F, f.s., T = S ()E Q S (T ) 1 x(t ) F, f.s., T. (3.3) 3.2 Das Problem Nun werden wir unser erses Opimierungsproblem formulieren. Hierbei wird davon ausgegangen, dass das erwaree Vermögen zum Zeipunk T gegeben is. Ziel is es, einen opimalen Vermögensprozess und ein dazugehöriges Porfolio aus den möglichen Handelssraegien zu finden, das die Varianz des Endvermögens minimier. Dieses Porfolio is wie folg definier: 1 vgl. 5, S. 8. 2 vgl. 6, S. 55. 23

Definiion 3.4 (Varianzminimierendes Porfolio) Wir berachen das folgende Opimierungsproblem: V arx(t ) = Ex(T ) 2 z 2 min, uner den Bedinungen z R Ex(T ) = z, x(t ), f.s., π( ) L 2 F (; T ; Rm ), (x( ), π( )) erfüll Gleichung (2.7). (3.4) Das opimale Porfolio π (T ) zu diesem Problem in Abhängigkei von einem fesen z heiß varianzminimierendes Porfolio. Das dazugehörige opimale Vermögen des Agenen zum Zeipunk T wird mi x (T ) bezeichne. Die Menge der Punke (V arx (T ), z) für z R wird varianzminimierende Grenze genann. Das eigenliche Problem der Opimierung eines Mean-Variance Porfolios, bei dem das Paar (V arx(t ), Ex(T )) uner Nebenbedingungen minimier werden soll, werden wir im fünfen Kapiel behandeln. Man kann aber schon jez sehen, dass die effiziene Grenze, also die Menge aller effizienen Punke dieses Problems, eine Teilmenge der varainzminimierenden Grenze is. Deshalb werden wir uns zuers dem Opimierungsproblem, wie es in Definiion 3.4 aufgesell is, widmen. Am Anfang sell sich die Frage, ob x und z frei wählbar sind, oder ob wir uner besimme Annahmen riviale Fälle ausschließen können. Aus der Eigenschaf des proporionalen Vermögens wird ersichlich, dass für x = auch x() uner allen akzepablen Porfolios gil. Wenn andererseis gil, dass Ex(T ) = z = is, so folg aus den Bedingungen von (3.4), dass x(t ) =, f.s., gelen muss. Nach (3.1) gil aber somi wieder x(). Somi mach es Sinn, ohne Beschränkung der Allgemeinhei folgende grundlegende Annahme zu reffen: x >, z >. (3.5) Um das Problem (3.4) zu lösen, wird es in zwei Unerprobleme geeil: das erse Unerproblem is, ein opimalen coningen claim X zu finden, so dass X gleich dem opimalen Wer von allen möglichen Vermögen x(t ) is, die von akzepablen Porfolios erreich werden können. Wir formulieren das erse Unerproblem ebenfalls als ein Opimierungsproblem: V arx = EX 2 z 2 min, uner den Bedinungen z R EX = z, Eρ(T )X = x, X L 2 F T (Ω; R), X, f.s. (3.6) Nach Theorem 2.16 exisier eine Hedgingsraegie (x( ), π( )) gegen den coningen claim X := ξ und es gil die sochasische Differenialgleichung (2.8). Im zweien Unerproblem geh es dann darum, eine Handelssraegie π( ) zu finden, die X erzeug. Dies werden wir späer behandeln. Zuers wollen wir allerdings zeigen, dass die Opimierungsprobleme (3.4) und (3.6) die gleiche Lösung liefern. 24

Theorem 3.5 (Äquivalenz der Opimierungsprobleme) Wenn (ˆx( ), ˆπ( )) eine Lösung des Problems (3.4) is, dann is ˆx(T ) eine opimale Lösung des Problems (3.6). Andererseis gil: Is X eine opimale Lösung des Problems (3.6), dann gib es für die sochasische Differenialgleichung (2.8) eine Lösung (x ( ), π ( )), die das Problem (3.4) minimier. Beweis: Wir zeigen zuers die Hinrichung: Sei ˆx( ) eine Lösung von (3.4) und sei ˆπ( ) das zu ˆx gehörende Porfolio. Wir müssen zeigen, dass V arˆx(t ) V arx gil. Dies un wir, indem wir zeigen, dass ˆx(T ) die Bedingungen von (3.6) erfüll. ˆx(T ) L 2 F T (Ω; R) gil definiionsgemäß. Aus (3.4) folg, dass Eˆx(T ) = z and ˆx(T ) gil. Mi Gleichung (3.1) erhalen wir die folgende Darsellung von x(): x() = ρ() 1 E(ρ(T )x(t ) F ),, T, f.s., (3.7) und deshalb ergib sich für ˆx() (benuze ebenfalls (2.7)) und mihilfe von (3.7), dass ρ() = 1: ˆx() = ρ() 1 E(ρ(T )ˆx(T ) F ) = E(ρ(T )ˆx(T )) = x, f.s. (3.8) Nun zeigen wir die Rückrichung: Sei X opimal für das Problem (3.6). Zu X mi es nach Voraussezung einen Vermögensprozess x ( ) zu einem besimmen akzepablen Porfolio π, für den gil: x (T ) = X. Das Paar (x ( ), π ( )) erfüll nach Voraussezung die sochasische Differenialgleichung (2.7) und dami auch (2.8). Nun müssen wir noch zeigen, dass (x ( ), π ( )) zusäzlich die ersen drei Bedingungen uner (3.4) erfüll. Trivialerweise gil: Ex (T ) = EX = z und x (T ) = X, f.s., nach den Bedingungen von (3.6). Und nach Definiion 3.1 gil: π( ) L 2 F (; T ; Rm ). Gebe es eine andere mögliche Lösung ( x( ), π( )) für (3.4) mi V ar x(t ) < V arx = V arx, dann wäre X nich opimal für das Problem (3.6) - ein Widerspruch! Nun wollen wir noch kurz zwei weiere ineressane Opimierungsprobleme erwähnen, die zu unserem beschriebenen Problem verwand sind. Allerdings werden sie in dieser Arbei nur kurz angerissen, für eine inensivere Beschäfigung wird daher auf ensprechende Lieraur verwiesen. Bemerkung 3.6 (Mean-Semivariance Problem) Die Opimierung des Mean-Variance Problems (3.4) is aus ökonomischer Sich nur begrenz sinnvoll, da die Abweichung des asächlichen vom erwareen Endvermögen nach oben für einen Invesor in der Regel voreilhaf is. Daher is eher folgendes Problem zu minimieren: uner den Bedinungen (z x(t )) + min, z R Ex(T ) = z, x(t ), f.s., π( ) L 2 F (; T ; Rm ), (x( ), π( )) erfüll Gleichung (2.7). 25 (3.9)

Ein solches Problem wird Mean-Semivariance Problem genann. Es is allerdings für z x Eρ nich lösbar. 3 Für z = x zeigen wir in Theorem 5.4, dass die opimale Lösung x (T ) = z Eρ is und wir eine risikofreies Porfolio als opimale Handelssraegie erhalen. Für genauere Unersuchung über gewichee Mean-Variance Porfolios, zu denen das Problem (3.9) gehör, sei auf 9 verwiesen. Bemerkung 3.7 (Opimierung der Nuzenfunkion) Eine weiere ineressane Frage is, in welchem Zusammenhang das opimale varianzminimierende Porfolio zum opimalen Nuzen des Invesors seh. Sei dazu Θ die Menge aller Handelssraegien und sei das Endvermögen zu einer Handelssraegie θ Θ definier durch: W (θ) = ks(t ) + θ(s)df (s), wobei S und F die Lösungen der folgenden sochasischen Differenialgleichungen sind: ds() = µs()d + σs()dw (), df () = mf ()d + v()f ()db(), wobei µ, σ, m und v konsan sowie W ( ) und B( ) Wiener Prozesse mi der Korrelaion ρ = cons. sind. Sei die Nuzenfunkion u( ) quadraisch und gegeben durch: u(w) = w cw 2 für eine Konsane c. Dann gil folgende Aussage 4 : Wenn ϕ das Problem E u(w (θ)) max, θ Θ, lös, dann lös ϕ für ein erwarees Endvermögen L = EW (ϕ) auch das Problem V ar W (θ) min, θ Θ. Genauere Berachungen dazu liefer der Arikel von Duffie & Richardson 4. 3.3 Krierien zur Lösbarkei In diesem Abschni soll es darum gehen, die Krierien zu erarbeien, uner denen das Opimierungsproblem (3.4) eine Lösung ha und dass diese dann eindeuig is. Da nach Theorem 3.5 die Probleme (3.4) und (3.6) äquivalen sind, reich es aus, die Lösbarkei des zweien Problems zu unersuchen. Proposiion 3.8 (Eindeuigkei) Das Opimierungsproblem (3.4) ha enweder keine Lösung oder es gib eine eindeuige Lösung. Beweis: Nach Theorem 3.5 reich es zu unersuchen, ob das Opimierungsproblem (3.6) lösbar is. Berachen wir dieses Problem also auf L 2 F T (Ω; R) mi der beschränken Menge 3 vgl. 9, S. 565. 4 vgl. 4, S. 7 D := { Y L 2 F T (Ω; R) : EY = z, Eρ(T )Y = x, Y }. 26

Wir nehmen an, D sei nichleer, und sagen: Y D mi EY 2 =: c. Dann gil für eine opimale Lösung x von (3.6): x D := D {EY 2 EY 2 }. In diesem Fall gil für D : D is nichleer, da Y D is. Weier is D konvex, denn es gil: Seien Y 1, Y 2 D. So gil für jedes k, 1: E(kY 1 + (1 k)y 2 ) 2 = k 2 E Y1 2 }{{} Y 2 + 2k(1 k)ey 1 Y }{{} 2 + (1 k) 2 E Y2 2 }{{} Y 2 Y 2 k 2 EY 2 + 2kEY 2 2k 2 EY 2 + EY 2 2kEY 2 + k 2 EY 2 = EY 2. Somi gil: ky 1 + (1 k)y 2 {EY 2 EY 2 }. Offensichlich is ky 1 + (1 k)y 2. Weier gil: EkY 1 + (1 k)y 2 = key 1 + (1 k)ey 2 = kz + (1 k)z = z und Eρ(T )(ky 1 + (1 k)y 2 ) = keρ(t )Y 1 + (1 k)eρ(t )Y 2 = kx + (1 k)x = x. Da Y 1, Y 2 L 2 F T (Ω; R), is auch ky 1 + (1 k)y 2 L 2 F T (Ω; R) und dami is ky 1 + (1 k)y 2 D, k, 1, also is D konvex. Ebenso is D auf L 2 F T (Ω; R) beschränk, denn für alle Y D gil: Y L 2 FT (Ω;R) = EY 2 EY 2 = c. Schließlich is D abgeschlossen, denn für eine f.s. monoon wachsende Folge (Y n ) n N D mi lim n + Y n = Y gil: Y D, da aufgrund des Sazes über die monoone Konvergenz 5 ses gil: lim EY n = E lim Y n = EY = z, n + n + lim Eρ(T )Y n = E ρ(t ) lim Y n n + n + lim EY n 2 = E lim Y n 2 n + n + = Eρ(T )Y = x, = E(Y ) 2 EY 2 sowie Y gil. Dies bedeue ebenfalls, dass jede Folge in D einen Häufungspunk in D besiz, also is D kompak. 6 Mi dem gleichen Argumen zeigen wir, dass die Funkion f(x) = EX 2 z 2 seig is: Für eine beliebige Folge (X n ) n N mi lim n + X n = X gil: lim f(x n) = n + 5 vgl. 7, S. 116. 6 vgl. 2, S. 265. lim n + (EX2 n z 2 ) = E ( ) 2 lim X n z 2 = E(X ) 2 z 2 = f(x ). n + 27

Dami nimm die seige Funkion f, die nach unen durch z 2 beschränk is, auf der kompaken Menge D das Minimum an. 7 Offensichlich is f(x) = EX 2 z 2 = E(X z) 2 sreng monoon wachsend. Somi is das angenommene Minimum auf D auch eindeuig. Falls es eine Lösung für das Opimierungsproblem (3.4) gib, wissen wir nun, dass diese eindeuig is. Allerdings fehl noch ein Krierium, uner welchen Umsänden es eine Lösung gib. Um dahin zu kommen, werden wir zuers einige Hilfsaussagen formulieren. Wir definieren Eρ(T )Y a := inf, Y L 2 EY F (Ω;R),Y,EY > T Eρ(T )Y b := sup. EY Y L 2 F (Ω;R),Y,EY > T (3.1) Proposiion 3.9 Für a und b gil: a = inf{η R : P (ρ(t ) < η) > }, b = sup{η R : P (ρ(t ) > η) > }. (3.11) Beweis: Wir definieren â := inf{η R : P (ρ(t ) < η) > } und zeigen, dass a = â gil. Für alle η mi P (ρ(t ) < η) > sezen wir Y := 1 {ρ(t )<η}. Da die Indikaorfunkion quadraisch inegrierbar is, gil: Y L 2 F T (Ω; R). Ebenso is Y und EY >. Dami sind alle Bedingungen, die zur Besimmung des Infinums benöig werden, für Y erfüll. Nun gil: Eρ(T )Y EY = Eρ(T )1 {ρ(t )<η} E1 {ρ(t )<η} < Eη1 {ρ(t )<η} E1 {ρ(t )<η} Nach der Definiion von a ergib sich somi: a Eρ(T )Y EY = ηe1 {ρ(t )<η} E1 {ρ(t )<η} < η = η. für alle η mi P (ρ(t ) < η) > und somi gil auch: a â. Aus â := inf{η R : P (ρ(t ) < η) > } folg: P (ρ(t ) < â ε) = für alle ε >. Daraus ergib sich: P (ρ(t ) â ε) = 1 und dami gil: ρ(t ) â ε, f.s. Dami gil für jedes Y L 2 F T (Ω; R) mi Y und EY > nun: Eρ(T )Y EY E(â ε)y EY = (â ε)ey EY = â ε. 7 vgl. 2, S. 267. 28

Nach der Definiion von a gil somi: a â ε für alle ε > und dami: a â. Insgesam gil also nun: a = â = inf{η R : P (ρ(t ) < η) > }. Analog zeigen wir das gleiche für b: Wir definieren ˆb := sup{η R : P (ρ(t ) > η) > } und zeigen, dass b = ˆb gil. Für alle η mi P (ρ(t ) > η) > sezen wir Y := 1 {ρ(t )>η}. Da die Indikaorfunkion quadraisch inegrierbar is, gil: Y L 2 F T (Ω; R). Ebenso is Y und EY >. Dami sind alle Bedingungen, die zur Besimmung des Supremums benöig werden, für Y erfüll. Nun gil: Eρ(T )Y EY = Eρ(T )1 {ρ(t )>η} E1 {ρ(t )>η} > Eη1 {ρ(t )>η} E1 {ρ(t )>η} Nach der Definiion von b ergib sich somi: = ηe1 {ρ(t )>η} E1 {ρ(t )>η} = η. b Eρ(T )Y EY > η für alle η mi P (ρ(t ) > η) > und somi gil auch: b ˆb. Aus ˆb := sup{η R : P (ρ(t ) > η) > } folg: P (ρ(t ) > ˆb + ε) = für alle ε >. Daraus ergib sich: P (ρ(t ) ˆb + ε) = 1 und dami gil: ρ(t ) ˆb + ε f.s. Dami gil für jedes Y L 2 F T (Ω; R) mi Y und EY > nun: Eρ(T )Y EY E(ˆb + ε)y EY = (ˆb + ε)ey EY = ˆb + ε. Nach der Definiion von b gil somi: b ˆb + ε für alle ε > und dami: b ˆb. Insgesam gil also nun: b = ˆb = sup{η R : P (ρ(t ) > η) > }. Ein Sonderfall, den wir für die weiere Unersuchung, insb. im sechsen Kapiel benöigen, is der Fall, wenn der Risikoprämienprozess θ( ) deerminisisch is. Denn dann nehmen a und b ses die gleichen Were an, wie das folgende Lemma zeig. Lemma 3.1 (Deerminisischer Risikoprämienprozess) Sei die Funkion θ( ) deerminisisch und sei θ(s) 2 ds >. Dann gil: a = und b = +. Beweis: { Für = T gil nach (3.2): ρ(t ) = exp r(s) + 1 θ(s) 2 ds }. θ(s) dw (s) Da θ( ) 2 deerminisisch is, gil 8, dass θ(s)dw (s) normalvereil is mi E θ(s)dw (s) = und V ar θ(s)dw (s) = θ(s) 2 ds, die nach Voraussezung posiiv is. 8 vgl. 16, S. 149. 29