Klaus Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Das Begleitbuch zum Heidelberger Online-Kurs ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spektrum k_/l AKADEMISCHER VERLAG
Inhaltsverzeichnis Vorwort Dank XIII XVII 1 Messen: Messwert und Maßeinheit 1 1.1 Empirische Methode 1 1.2 Physikalische Größen 1 1.3 Maßeinheiten 3 1.4 Größenordnungen 5 2 Zeichen und Zahlen und ihre Verknüpfungen 8 2.1 Zeichen 8 2.2 Zahlen 10 2.2.1 Natürliche Zahlen 11 2.2.2 Ganze Zahlen 13 2.2.3 Rationale Zahlen 15 2.2.4 Reelle Zahlen 20 3 Folgen und Reihen und ihre Grenzwerte 22 3.1 Folgen 22 3.2 Beschränktheit 24 3.3 Monotonie 25 3.4 Konvergenz 25 3.5 Reihen 28 4 Funktionen 35 4.1 Funktion als Input-Output-Relation oder Abbildung 35 4.2 Funktionen-Grundausstattung 39 4.2.1 Rationale Funktionen 39 4.2.2 Trigonometrische Funktionen 41 4.2.3 Exponentialfunktionen 45 4.2.4 Funktionen mit Ecken und Sprüngen 50 4.3 Mittelbare Funktionen 53 4.4 Spiegelsymmetrie 56
VIII Inhaltsverzeichnis 4.5 Beschränktheit 58 4.6 Monotonie 58 4.7 Eineindeutigkeit 59 4.8 Umkehrfunktionen 61 4.8.1 Wurzelfunktionen 63 4.8.2 Zyklometrische Funktionen 64 4.8.3 Logarithmen 65 4.9 Grenzwerte 70 4.10 Stetigkeit 72 5 Differentiation 75 5.1 Differenzenquotient 75 5.2 Differentialquotient 77 5.3 Differenzierbarkeit 80 5.4 Höhere Ableitungen 83 5.5 Das Handwerk des Differenzierens 84 5.5.1 Vier Beispiele 84 5.5.2 Einfache Differentiationsregeln: Funktionen-Grundausstattung 86 5.5.3 Ketten- und Umkehrfunktionsregel 91 5.6 Numerische Differentiation 98 5.7 Ausblick auf Differentialgleichungen 99 6 Taylor-Entwicklung 101 6.1 Potenzreihen 101 6.2 Vorbild geometrische Reihe 102 6.3 Form und Eindeutigkeit 102 6.4 Beispiele aus der Funktionen-Grundausstattung 105 6.4.1 Rationale Funktionen 105 6.4.2 Trigonometrische Funktionen 107 6.4.3 Exponentialfunktionen 108 6.4.4 Weitere Taylor-Reihen 110 6.5 Konvergenzradius 111 6.6 Genaue Regeln für das ungenaue Rechnen 113 6.7 Güte der Konvergenz: Restglied 116 6.8 Taylor-Entwicklung um beliebigen Punkt 117
Inhaltsverzeichnis IX 7 Integration 121 7.1 Arbeit 122 7.2 Fläche unter einer Funktion über einem Intervall 124 7.3 Eigenschaften des Riemann-Integrals 127 7.3.1 Linearität 127 7.3.2 Intervalladdition 128 7.3.3 Ungleichungen 129 7.3.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 131 7.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 132 7.4.1 Unbestimmtes Integral 132 7.4.2 Differenzieren nach der oberen Grenze 132 7.4.3 Integrieren über einen Differentialquotienten 133 7.4.4 Stammfunktion 136 7.5 Die Kunst des Integrierens 138 7.5.1 Differentiationstabelle rückwärts 138 7.5.2 Lineare Zerlegung 139 7.5.3 Substitution 140 7.5.4 Partielle Integration 143 7.5.5 Weitere Integrationstricks 147 7.5.6 Integralfunktionen 150 7.5.7 Numerische Integration 151 7.6 Uneigentliche Integrale 152 7.6.1 Unendliches Integrationsintervall 152 7.6.2 Unbeschränkter Integrand 155 8 Komplexe Zahlen 159 8.1 Imaginäre Einheit und Darstellungen 159 8.1.1 Motivation 159 8.1.2 Imaginäre Einheit 160 8.1.3 Definition der komplexen Zahlen 161 8.1.4 Gaußsche Zahlenebene 162 8.1.5 Euler-Formel 164 8.1.6 Komplexkonjugation 166 8.2 Rechenregeln der komplexen Zahlen 167 8.2.1 Abelsche Gruppe der Addition 168 8.2.2 Abelsche Gruppe der Multiplikation 171
X Inhaltsverzeichnis 8.3 Funktionen einer komplexen Variablen 175 8.3.1 Definition 175 8.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit 176 8.3.3 Graphische Darstellung 178 8.3.4 Potenzen 179 8.3.5 Exponentialfunktion 184 8.3.6 Trigonometrische Funktionen 186 8.3.7 Wurzelfunktionen 195 8.3.8 Logarithmus 197 8.3.9 Allgemeine Potenz 198 9 Vektoren 199 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum 199 9.1.1 Dreidimensionaler reeller Raum 199 9.1.2 Koordinatensysteme 199 9.1.3 Euklidischer Raum 201 9.1.4 Transformationen des Koordinatensystems 202 9.2 Vektoren als Verschiebungen 208 9.2.1 Verschiebungen 208 9.2.2 Vektoren 209 9.2.3 Transformationen des Koordinatensystems 212 9.3 Addition von Vektoren 227 9.3.1 Vektorsumme 227 9.3.2 Kommutatives Gesetz 228 9.3.3 Assoziatives Gesetz 229 9.3.4 Nullvektor 229 9.3.5 Negatives und Subtraktion 230 9.4 Multiplikation mit reellen Zahlen, Basisvektoren 231 9.4.1 Vielfaches eines Vektors 231 9.4.2 Gesetze 232 9.4.3 Vektorraum 232 9.4.4 Lineare Abhängigkeit, Basisvektoren 232 9.4.5 Einheitsvektoren 234 9.5 Skalarprodukt und Kronecker-Symbol 236 9.5.1 Motivation 236 9.5.2 Definition 236
Inhaltsverzeichnis XI 9.5.3 Kommutatives Gesetz 238 9.5.4 Kein Assoziatives Gesetz 238 9.5.5 Homogenität 239 9.5.6 Distributives Gesetz 239 9.5.7 Basisvektoren 240 9.5.8 Kronecker-Symbol 240 9.5.9 Komponentendarstellung 242 9.5.10 Transversaler Anteil 243 9.5.11 Kein Inverses 244 9.6 Vektorprodukt und Levi-Civita-Symbol 245 9.6.1 Motivation 245 9.6.2 Definition 246 9.6.3 Antikommutativ 250 9.6.4 Homogenität 250 9.6.5 Distributives Gesetz 250 9.6.6 Mit transversalem Anteil 251 9.6.7 Basisvektoren 252 9.6.8 Levi-Civita-Symbol 252 9.6.9 Komponentendarstellung 255 9.6.10 Kein Inverses 256 9.6.11 Kein Assoziatives Gesetz 257 9.7 Mehrfachprodukte 258 9.7.1 Spatprodukt 258 9.7.2 Geschachteltes Vektorprodukt 263 9.7.3 Skalarprodukt zweier Vektorprodukte 265 9.7.4 Vektorprodukt zweier Vektorprodukte 266 9.8 Transformations verhalten der Produkte 269 9.8.1 Orthonormale Rechtsbasen 269 9.8.2 Gruppe der Orthogonalen Matrizen 270 9.8.3 Untergruppe der Drehungen 272 9.8.4 Transformation der Produkte 273 Aufgabentexte mit Lösungsskizzen 277 Weiterführende Literatur 329 Sachwortverzeichnis 335