Erster Teil (S. 1 768) I. Einiges über die Grundlagen der Baustatik 1 1. Einführung 1 2. Lehre von den Kräften 2 3. Anwendung auf einfachste statische Systeme 9 4. Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene 10 5. Grundformen der Tragwerke 10 6. Darstellung von Auflagerungsmöglichkeiten 11 7. Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit 13 8. Berechnung von Trägheitsmoment, Zentrifugalmoment und Schwerpunkt... 20 9. Parabelkonstruktionen 27 II. Der statisch bestimmte ebene Träger 29 A. Vollwandträger unter ruhender Belastung 29 1. Grundlagen 29 2. Das Schnittverfahren 30 a) Der Träger auf zwei Stützen 30 b) Der Krag- oder Freiträger 37 c) Der Träger mit überkragendem Ende 38 d) Der Gerberträger 41 e) Träger unter Lastmomenten 42 f) Der Dreigelenkbogen. 45 g) Der verstärkte Balken mit Zwischengelenken 48 3. Beziehung zwischen Biegemoment, Querkraft und Belastung 54 B. Fachwerkträger unter ruhender Belastung 56 1. Allgemein. 56 2. Bildungsgesetze 57 3. Arten der Fachwerke 57 4. Berechnungsverfahren 57 a) Stabkraftermittlung nach CREMONA 57 b) Schnittverfahren 59 a) Graphisches Verfahren nach CULMANN 59 ß) Rechnerisches Verfahren nach RITTER 59 5. Das K-Fachwerk 60 C. Einflußlinien bei Vollwandsystemen 62 1. Allgemein 62 2. Der einfache Vollwandträger 63 3. Der Kragträger 65 4. Der Gerberträger 66 5. Der Dreigelenkbogen 68 6. Der Stabbogen 70 7. Die Hängebrücke 70 http://d-nb.info/840616716
VII D. Einflußlinien bei Fachwerken 70 1. Das Strebenfachwerk... 70 2. Fachwerk mit beliebig geneigtem Ober- und Untergurt 73 3. Das Ständerfachwerk 74 4. Das K-Fachwerk 77 III. Das Verfahren der Kinematik 77 1. Allgemein 77 2. Die Bewegung der starren Scheibe 77 3. Die zwangläufige kinematische Kette 79 4. Polpläne 80 5. Einflußlinien mit Hilfe von Polplänen 82 a) Anwendung auf das Fachwerk 82 b) Anwendung auf den Gerberträger 85 c) Anwendung auf den Dreigelenkbogen 87 Einflußlinien für die Kernpunktmomente 90 d) Anwendung auf andere Tragwerke 92 6. Feststellung der Verschieblichkeit mit Hilfe von Polplänen 98 7. Das Verfahren der F'-Figuren.., 100 a) Verfahren der um 90 gedrehten Geschwindigkeiten. 100 b) Verfahren der wirklichen Geschwindigkeiten 112 8. Feststellung der Verschieblichkeit mit Hilfe der F'-Figur 114 9. Berechnung einer Schnittkraft mit Hilfe der jf'-figur 116 IV. Formänderungen 120 1. Die elastischen Formänderungen 120 a) Stabdehnung infolge einer Normalkraft 121 b) Formänderung infolge eines Biegemomentes 121 c) Formänderung infolge einer Querkraft 124 d) Formänderung infolge eines Drehmomentes 125 e) Formänderung infolge einer Temperaturänderung 131 f) Zusammenstellung der einzelnen Formänderungsgrößen 132 2. Formänderungsarbeit 132 a) Allgemein 132 b) Arbeit der äußeren Kräfte 133 c) Arbeit der inneren Kräfte (Formänderungsarbeit) 134 3- Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und der virtuellen Arbeiten bei elastischen Körpern 135 a) Entwicklung am Fachwerk 135 b) Entwicklung am Stabwerk 136 c) Zusammenfassung 137 d) Anwendung der Arbeitsgleichung auf die vier Grundaufgaben 137 4. Die Sätze von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen 139 a) Satz von BETTI von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit 139 b) Satz von MAXWELL von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen 140 5. Satz von CASTIGLIANO 141 6. Die Mohrschen Sätze 143 a) Zeichnerisches Verfahren 144 b) Rechnerisches Verfahren 145 7. Auswertung von Formänderungsintegralen 149 a) Allgemein 149 b) Auswerteformel 1 50 c) Benutzung der Af,M,.-Tafeln 151 d) Stab mit veränderlichem Trägheitsmoment -.. 151 e) Numerische Integration 152 8. Das Verfahren der eo-zahlen 153 9. Verfahren derw -Gewichte 161 a) Allgemein 161
VIII Inhaltsverzeichnis b) «' -Gewichte am Stabwerk 161 ex) Einfluß der Momente auf die Formänderungen 162 1. W m -Gewicht für den einfachen Träger 162 2. W m -Gewicht über dem Auflager 163 3. W m -Gewicht in einem Gelenkpunkt 164 ß) Einfluß der Querkräfte auf die Formänderungen 171 y) Einfluß der Normalkräfte auf die Formänderungen 172 d) W m -Gewichte infolge Temperaturänderung 177 1. Gleichmäßige Temperaturänderung 177 2. Ungleichmäßige Temperaturänderung 177 c) «' -Gewichte am Fachwerk 177 10. Der Williotsche Verschiebungsplan 185 a) Allgemein 185 b) Stäbe a und b an ein starres Widerlager angeschlossen 186 c) Stäbe a und b an ein elastisches Widerlager angeschlossen 186 d) Verschiebungspläne ganzer Fachwerke 187 e) Beispiele 190 11. Formänderungen an statisch bestimmten Tragwerken 198 V. Verfahren zur Auflösung linearer Gleichungen 202 1. Auflösung mit Hilfe von Determinanten 202 a) Allgemein 202 b) Einiges über Determinanten 202 c) Auflösung von linearen Gleichungen 205 d) Anwendung auf Elastizitätsgleichungen 205 2. Eliminationsverfahren 207 a) Allgemein 207 b) Das gewöhnliche Eliminationsverfahren 208 c) Das Eliminationsverfahren von GAUSS ^ 212 d) Der mechanisierte Algorithmus 218 e) Auflösung eines Systems dreigliedriger Gleichungen 229 f) Die unbestimmte Auflösung linearer Gleichungssysteme..'. 232 VI. Berechnung statisch unbestimmter Systeme 236 1. Kraftgrößenverfahren _ 236 a) Rechnung mit statisch bestimmtem Grundsystem 236 a.) Als Unbekannte wird eine Kraft gewählt 237 Beispiel 1 : Träger auf 3 Stützen 238 Beispiel 2: Zweigelenkrahmen ' 240 ß) Als Unbekannte wird ein Moment gewählt 241 Beispiel 3: Träger auf 3 Stützen unter Berücksichtigung der Querkräfte 242 y) Weitere Anwendungsbeispiele 244 Beispiel 4: Träger auf 3 Stützen mit Biegelinien 244 Beispiel 5: Träger auf 3 Stützen mit veränderlichem Trägheitsmomentenverlauf 249 Beispiel 6: Fachwerk 252 Beispiel 7: Fachwerkträger auf 3 Stützen 254 Beispiel 8: Zweistieliger Zweigeschoßrahmen 257 Beispiel 9: Elastisch gestützter Durchlaüfträger mit biegesteifer Endstütze 260 Beispiel 10: Zweigelenkrahmen mit gekrümmtem Riegel und Zugband.. 263 Beispiel 11 : Rahmenartiges Tragwerk 266 Beispiel 12: Zweigelenkbogen mit halbkreisförmigem Riegel 271 Beispiel 13: Zweistieliger Rahmen unter Berücksichtigung einer elastischen Einspannung 277 b) Rechnung mit statisch unbestimmtem Grundsystem 283 Beispiel 14: Zweifeldträger, an den Enden eingespannt 283 Beispiel 15: Zweigelenkrahmen mit mittlerer Pendelstütze 284 Beispiel 16: Zweigelenkrahmen mit gekrümmtem. Riegel und Zugband... 286 Beispiel 1 7: Elastisch gekoppelte, eingespannte Träger 290
IX c) Rechnung mit geschätzten Unbekannten 293 Beispiel 18: Zweigelenkrahmen 293 Beispiel 19: Träger auf 3 Stützen 294 d) Formänderungsproben und Reduktionssatz 294 1. Formänderungsproben - 294 Beispiel 20: Einhüftiger eingespannter Rahmen 295 Beispiel 21 : Trapezrahmen, ein Stiel eingespannt, ein Stiel gelenkig gelagert 296 2. Der Reduktionssatz 297 a) Stabwerk 298 b) Fachwerk 299 Beispiel 22: Beiderseits eingespannter Träger 299 Beispiel 23: Einseitig eingespannter Träger 300 e) Torsion am statisch unbestimmten Träger 300 Beispiel 24: Beiderseits eingespannter Träger unter außermittigen Vertikallasten 302 Beispiel 25: Beiderseits eingespannter Träger unter der Last einer halbkreisförmigen Kragplatte 302 Beispiel 26: Beiderseits eingespannter Träger unter der Last einer dreieckförmigen Kragplatte 304 Beispiel 27: Beiderseits eingespannter Träger unter der Last einer cosinusförmigen Kragplatte 304 f) Einflußlinien y 305 1. Einflußlinien für Schnittkräfte 305 a) Einflußlinien für n = 1-fach unbestimmte Tragwerke 305 Beispiel 28: Zweifeldträger 307 Beispiel 29: Zweifeldträger, im Grundriß abgewinkelt 309 Beispiel 30: Zweifeldträger mit waagerechter außermittiger Einzellast. 311 Beispiel 31 : Zweifeld-Fachwerkträger mit einer auf einem Schwimmer ruhenden Mittelstütze 315 Beispiel 32: Fachwerkbogen mit Zugband 318 Beispiel 33: Langersche Balken 323 b) Einflußlinien für mehrfach statisch unbestimmte Systeme 327 <x) Bestimmungen mit Hilfe der /^-Zahlen 327 Beispiel 34: Durchlaufträger 328 Beispiel 35: Zweifeldträger, im Grundriß gekrümmt 330 Beispiel 36: Fachwerkträger mit biegesteifem Obergurt 341 ß) Bestimmung am (n 1)-fach statisch unbestimmten System... 350 Beispiel 37: Dreifeld träger mit Gelenk 351 2. Einflußlinien für Formänderungen 360 Beispiel 38: Rahmen 355 Beispiel 39: Eingespannter Einfeldträger mit Kragarm 361 Beispiel 40: Rahmen 364 Beispiel 41 : Rahmenartiges Tragwerk 366 g) Verfahren der Gruppenlasten.. 370 1. Gruppenlasten 370 a) Allgemein ' 370 b) Beispiele 373 Beispiel 42: Dreifeldträger 373 Beispiel 43: Rahmentragwerk, n = 4 379 Beispiel 44: Eingespannter Zweigeschoßrahmen, n = 6 382 Beispiel 45: Zweigeschossiges Rahmentragwerk, n = 9 388 Beispiel 46: Trägerrost, «= 4 398 2. Lastgruppen 403 a) Allgemein 403 b) Erläuterungsbeispiele 404 I.Beispiel: Dreifeldträger 404 2. Beispiel: Dreistieliger Rahmen 404 3. Beispiel: Trägerrost 40 5
X Inhaltsverzeichnis c) Zahlenbeispiele 405 Beispiel 47: Dreistieliger Rahmen 405 Beispiel 48: Silozelle mit Mittelwand 406 Beispiel 49: Trägerrost 408 1. Berücksichtigung der Verdrehungssteifigkeit 408 2. Vernachlässigung der Verdrehungssteifigkeit 419 3. Elastischer Schwerpunkt 420 a) Allgemein 420 b) Beispiele 424 Beispiel 50: Geschlossener Rahmen 424 Beispiel 51: Eingespannter Bogen mit aufgeständertem Gerberbalken. 427 Beispiel 52: Kreisring unter Einzellasten in der Ringebene 435 Beispiel 53: Silozelle mit Mittelwand 437 h) Dreimomentengleichung 448 1. Allgemein 448 2. Dreimomentengleichung bei auf Feldlänge konstantem Trägheitsmoment. 449 a) Aufstellung der Dreimomentengleichung 449 b) Bestimmung der Belastungsglieder 451 c) Beispiele 453 Beispiel 54: Zweifeldträger 453 Beispiel 55: Träger mit einseitiger Einspannung 453 Beispiel 56: Träger mit beiderseitiger Einspannung 454 Beispiel 57: Eingespannter Rahmen unter Erddruck 4 54 Beispiel 58: Rechteckige Silozelle 454 3. Dreimomentengleichung bei 7 auf Feldlänge veränderlichem Trägheitsmomentenverlauf 455 a) Aufstellung der Dreimomentengleichung 455 b) Beispiele... 457 Beispiel.59: Zweifeldträger 457 Beispiel 60: Dreifeldträger 459 i) Viermomentengleichung :.... 462 1. Aufstellung der Viermomentengleichung 462 2. Beispiele 463 Beispiel 61: Einhüftiger Rahmen 463 Beispiel 62: Rahmenkreuz mit gelenkiger Endlagerung 464 Beispiel 63: Rahmentragwerk 464 k) Fünfmomentengleichung 465 1. Allgemein 465 2. Federkonstanten 466 3. Fünfmomentengleichung bei feldweise konstantem Trägheitsmoment.. 466 a) Aufstellung der Gleichung 466 b) Bestimmung der Belastungsglieder 468 4. Fünfmomentengleichung bei auf Feldlänge veränderlichem Trägheitsmoment 469 Beispiel 64 : Trägerrost 470 Beispiel 65: Sechsfeldträger, auf Pontons gelagert 482 2. Formänderungsverfahren 489 A. Das Drehwinkelverfahren 489 1. Allgemeines und Bezeichnungen 489 2. Zusammenhang zwischen Stabendmomenten und Formänderungsgrößen. 491 a) Der beiderseits fest eingespannte Stab 491 b) Der an einem Ende fest eingespannte, am anderen Ende frei drehbar verschieblich gelagerte Stab 492 3. Anzahl der zu berechnenden Formänderungsgrößen 493
XI 4. Rahmentragwerke mit unverschieblichem Knotennetz bei feldweise konstantem Trägheitsmoment 494 Beispiel 1: Rahmenkreuz mit Endeinspannung 494 Beispiel 2: Mehrstieliges Rahmentragwnrk 495 Beispiel 3: Rahmentragwerk mit Gelenken an den Auflagerpunkten... 497 Beispiel 4: Dreistieliger Zweigeschoßrahmen unter einer Riegellast q = const. 499 5. Rahmentragwerke mit verschieblichem Knotennetz 500 a) Allgemeines 500 b) Aufstellen der Gleichungen.. 500 c) Beispiele 503 Beispiel 5: Zweistieliger Zweigeschoßrahmen 503 Beispiel 6: Stockwerkrahmen unter horizontalen Einzellasten.... 507 6. Knoten- und Verschiebungsgleichungen bei Rahmenstäben mit veränderlichem Trägheitsmoment 511 a) Der beiderseits elastisch eingespannte Stab 511 b) Der einseitig elastisch eingespannte, auf der anderen Seite frei drehbar gelagerte Stab 514 Beispiel 7: Dreistieliger Rahmen mit veränderlichem Trägheitsmoment 515 7. Sonderfälle nicht gerade verlaufender Rahmenstäbe 519 a) Rahmenriegel in der Mitte abgewinkelt 519 b) Rahmenriegel parabolisch gekrümmt 522 c) Zusammenstellung) der Beiwerte für die Drehwinkelgleichungen... 523 d) Beispiele 523 Beispiel 8: Rahmen mit geknickt verlaufendem Riegel 523 Beispiel 9: Rahmentragwerk mit parabolisch gekrümmten Riegeln.. 527 8. Einflußlinien 532 a) Einflußlinien für Stabendmomente bei feldweise konstantem Trägheitsmoment 532 b) Einflußlinien für Feldmomente bei feldweise konstantem Trägheitsmoment _ 533 c) Einflußlinien für Stabendmomente bei.veränderlichem Trägheitsmoment 533 d) Einflußlinien für Feldmomente bei veränderlichem Trägheitsmoment. 534 e) Einflußlinien für Querkräfte 534 f) Einflußlinien für Normalkräfte 534 Beispiel 10: Einflußlinie für ein Stabendmoment 534 B. Festpunktverfahren 536 1. Allgemein 536 2. Der Durchlaufbalken 536 a) Rechnerisches Verfahren 536 <x) Berechnung der Festpunkte 536 ß) Berechnung der Stützenmomente eines belasteten Feldes bei Belastung nur dieses Feldes 539 y) Rechnungsgang für den durchlaufenden Balken 540 6) Lastfall Stützensenkung 541 b) Zeichnerisches Verfahren 542 a) Ermittlung der Festpunkte 542 ß) Bestimmung der Stützenmomente eines belasteten Feldes bei Belastung nur dieses Feldes 543 y) Bestimmung von Kreuzlinienabschnitten 543 3. Rahmentragwerke 546 a) Berechnung der Festpunkte 546 b) Rechnungsgang für unverschiebliche Rahmentragwerke 548 c) Rechnungsgang für verschiebliche Rahmentragwerke 548 4. Einflußlinien 549 a) Ermittlung von Einflußlinien für die Stützehmomente eines durchlaufenden Balkens 549 b) Ermittlung von Einflußlinien für die Stabendmomente von Rahmentragwerken 551 c) Ermittlung von Einflußlinien für die Feldmomente eines durchlaufenden Balkens 552 d) Ermittlung von Einflußlinien für die Feldmomente von Rahmentragwerken 554
XII Inhaltsverzeichnis 5- Beispiele 555 Beispiel 11: Durchlaufbalken mit konstantem Trägheitsmoment.... 555 1. Rechnerische Lösung 556 2. Zeichnerische Lösung 558 Beispiel 12: Durchlauf balken mit veränderlichem Trägheitsmoment... 558 Beispiel 13: Unverschieblich.es/ Rahmentragwerk mit veränderlichem Trägheitsmoment. / 566 Beispiel 14: Verschiebliches Rahmentragwerk 575 Beispiel 15: Verschieblicher Durchlaufrahmen mit veränderlichem Trägheitsmoment 580 3. Iterationsverfahren 591 A. Momentenausgleichsverfahren von CROSS 59I 1. Tragwerke mit feldweise konstantem Trägheitsmoment 591 a) Allgemein 591 b) Bezeichnungen und Rechnungsgrundlagen 592 a) Vorzeichenfestsetzung 592 ß) Steifigkeiten k 592 y) Verteilungszahlen /i 595 6) Fortleitungs- oder Übertragungszahlen y 596 E) Zusammenstellung der Begriffe 596 c) Unverschiebliche Tragwerke 596 <x) Allgemeine Erläuterung zur Durchführung des Ausgleichsverfahrens 596 ß) Beispiele 600 Beispiel 1: Durchlaufbalken 600 Beispiel 2: Durchlaufbalken 600 Beispiel 3: Durchlaufbalken 601 Beispiel 4: Zweistieliger eingespannter Rahmen 603 Beispiel 5: Unverschieblicher Rahmen 604 y) Ausnutzung der Symmetrie von Tragwerk und Last 606 1. Tragwerke mit Feldsymmetralen 606 Beispiel 6: Durchlaufbalken 606 Beispiel 7: Zweistieliger Rahmen 606 1. Feste Einspannung der Stiele 606 2. Elastische Einspannung der Stiele in den Boden. 607 Beispiel 8: Stockwerkrahmen 609 2. Tragwerke mit Auflager- oder Knotensymmetralen 610 Beispiel 9: Durchlaufbalken 610 Beispiel 10: Dreistieliger Rahmen 612 Beispiel 11: Rahmen mit schrägen Außenstielen 612 d) Verschiebliche Tragwerke 616 a) Allgemein 616 ß) Ermittlung der Festhaltekräfte 618 1. Bei verhinderter waagerechter Verschiebung der Knotenpunkte 618 2. Bei verhinderter lotrechter Verschiebung der Knotenpunkte.. 619 y) Ermittlung des Stockwerkschubes 619 ö) Abhängigkeit zwischen Verschiebung und Moment 620 e) Beispiele 622 Beispiel 12: Verschieblicher dreistieliger Rahmen 622 Beispiel 13: Eingeschossiger dreistieliger Rahmen 629 Beispiel 14: Zweigeschossiger Rahmen 631 Beispiel 15: Eingespannter Rahmen mit schrägen Stäben 634 ) Die Belastungsumordnung bei symmetrischen Stabwerken.... 640 1. Bei Knotensymmetralen 640 2. Bei Feldsymmetralen 641 Beispiel 16: Eingeschossiger symmetrischer dreistieliger Rahmen.. 642 e) Verschiebliche Tragwerke, Momentenermittlung in einem Rechengang 648 0i) Allgemein 648 ß) Der beiderseitig elastisch eingespannte Stab 649 y) Der an einem Ende eingespannte, am anderen Ende frei drehbar gelagerte Stab 651 d) Beispiele 652 Beispiel 17: Dreistieliger Rahmen 652 Beispiel 18: Dreigeschossiger unsymmetrischer Rahmen 654 Beispiel 19: Zweigeschossiger symmetrischer Rahmen 658
XIII 2. Tragwerke mit veränderlichem Trägheitsmoment 660 a) Allgemein 660 b) Bezeichnungen und Rechnungsgrundlagen 660 a) Übertragungszahlen y 661 ß) Stetigkeiten k 661 y) Verteilungszahlen^u 662 ö) Festeinspannmomente 662 c) Zusammenfassung sowie Benutzung von Tafelwerten 662 d) Beispiele., 663 Beispiel 20: Durchlaufbalken mit Vouten 663 Beispiel 21: Dreistieliger Rahmen 664 Beispiel 22: Symmetrischer Rahmen (U-Bahnprofil) 667 Beispiel 23: Kontrolle der Zahlenrechnung 672 e) Rahmen mit gekrümmten Riegeln 673 <x) Allgemein 673 ß) Rechnungsgrundlagen und Vorzeichenfestsetzung 674 y) Bestimmung der Steifigkeiten und Fortleitungszahlen 675 <5) Beispiele 67S Beispiel 24: Zweistieliger Rahmen mit parabelförmig gekrümmtem Riegel (/ = IJcosy). 67S Beispiel 25 : Dreischiffiger Hallenrahmen mit parabolisch gekrümmten Riegeln 690 3. Einflußlinien 697 a) Allgemein 697 b) Beispiele 697 Beispiel 26: EL für das Stützenmoment eines Durchlaufbalkens... 697 Beispiel 27: EL für das Feldmoment eines Durchlaufbalkens.... 699 Beispiel 28: EL für das Stützenmoment eines Rahmentragwerkes.. 700 4. Räumliche Tragwerke 704 a) Allgemein 704 b) Festwerte 704 c) Beispiele 704 Beispiel 29: Räumliches Tragwerk, unverschieblich 704 Beispiel 30: Räumliches Tragwerk, verschieblich 705 5. Rückblick 716 B. Verfahren von KANI 717 1. Allgemeines und Bezeichnungen 717 2. Entwicklung für Rahmenstäbe mit feldweise konstantem Trägheitsmoment 717 a) Stabendmomente 717 b) Verdrehungsanteile 718 c) Verschiebungsanteile 719 d) Vereinfachungen bei symmetrischen Tragwerken 723 e) Zusammenstellung der Festwerte 723 f) Gang der Rechnung 724 3. Entwicklung für Rahmenstäbe mit veränderlichem Trägheitsmomentenverlauf 726 a) Stabendmomente 726 b) Verdrehungsanteile 727 c) Verschiebungsanteile 727 d) Vereinfachungen bei symmetrischen Tragwerken 729 e) Zusammenstellung der Festwerte 729 f) Gang der Rechnung 731 4. Kontrollrechnungen 731 a) Gleichgewichtsbedingungen 731 b) Verformungsbedingungen 731 5. Ermittlung von Einflußlinien 732 a) Allgemein 732 b) Berechnung der Festeinspannmomente 733 c) Ermittlung der Biegelinie 734
XIV Inhaltsverzeichnis 6. Beispiele 736 Beispiel 31: Durchlaufbalken 736 Beispiel 32: Eingespannter Rahmen. 740 Beispiel 33: Zweigeschossiger Rahmen 742 Beispiel 34: Eingespannter Rahmen mit schrägen Stäben 745 Beispiel 35: Versehiebliches Rahmentragwerk mit Vouten 748 Beispiel 36: Dreistieliger Rahmen mit veränderlichem Trägheitsmoment. 758 Beispiel 37: Stockwerkrahmen unter horizontalen Einzellasten 763 Zweiter Teil (S. 769 1284) VII. Sonderfälle der Statik 769 A. Der Vierendeelträger 769 a) Einführung, 769 b) Allgemeine Darstellung der Berechnung 769 I. Die Berechnung mit Hilfe statisch unbestimmter Lastgruppen.... 769 1. Wahl des statisch bestimmten Grundsystems und der Lastgruppen 769 2. Schnittkräfte der einzelnen Lastgruppen am statisch bestimmten Grundsystem 770 3. Die allgemeinen Elastizitätsgleichungen 7 70 a) Formulierung der Elastizitätsgleichungen 770 b) Ermittlung der Formänderungsarbeiten der einzelnen Lastgruppen 772 c) Bemerkung zu a) und b) 774 4. Die vereinfachten. Elastizitätsgleichungen 775 a) Formulierung der Elastizitätsgleichungen. 775 b) Vereinfachte Formänderungswerte 777 ' c) Bemerkung zu a) und b) 778 5. Schnittkräfte infolge gegebener Lastfälle am statisch bestimmten Grundsystem und die zugehörigen Formänderungswerte 778 a) Lastangriff in den Knotenpunkten 778 a) Vertikale Einzellasten 778 ß) Horizontale Einzellasten in der Systemlinie des Obergurtes. 782 y) Horizontale Einzellasten in der Systemlinie des Untergurtes. 785 8) Lastmomente in den Knoten des Obergurtes 785 e) Lastmomente in den Knoten des Untergurtes 789 b) Lastangriff zwischen den Knotenpunkten 792 a) Vertikale Lasten 792 ß) Einzelmomente 796 y) Horizontale Lasten 796 c) Temperaturbelastung der Gurte 798 a) Gleichmäßige Temperatur t 798 ß) Ungleichmäßige Temperatur A t 798 d) Lastfall Vorspannung 799 a) Vorspannung der Gurte 799 ß) Vorspannung der Pfosten 801 6. Schnittkräfte am statisch unbestimmten System 802 a) Momente 802 b) Querkräfte 802 c) Normalkräfte 803 II. Die Berechnung unter Einführung der Pfostenquerkräfte als statisch Überzählige 803 1. Allgemein 803 2. Schnittkräfte am statisch unbestimmten System 803 a) Schnittkräfte in den Pfosten 803 b) Schnittkräfte in den Gurten 804 3. Berechnung der statisch Unbestimmten H k 806
XV c) Anwendungsbeispiele 809 Beispiel 1: Symmetrischer Vierendeelträger S09 1. Berechnung unter Einführung von Lastgruppen 809 2. Berechnung unter Einführung der Pfostenquerkräfte als Unbekannte S16 Beispiel 2: Unsymmetrischer Vierendeelträger 81S 1. Gleichlast auf dem Obergurt 81S 2. Gleichmäßige Erwärmung des Obergurtes 833 B. Nebenspannungen in Fachwerken 837 C. Der Balken auf elastischer Unterlage nach dem Bettungszifferverfahren 846 1. Die allgemeine Differentialgleichung S46 2. Die Definition der Bettungsziffer 846 3. Die Differentialgleichung nach dem Bettungszifferverfahren S48 4. Der unendlich lange Balken auf elastischer Unterlage unter einer Einzellast 848 Beispiel 7: Balken unter gleich großen Einzellasten in gleichen Abständen 852 a) Lösung der Aufgabe unter Verwendung der Einflußlinien. 854 ~~ b) Lösung der Aufgabe durch unmittelbare Intdgration der Differentialgleichung 856 5. Der Balken von endlicher Länge auf elastischer Unterlage (Verfahren von BLEICH) 859 Beispiel 8: Balken unter Einzellasten 861 a) Ausführliches Rechenverfahren 861 b) Abgekürztes Rechenverfahren 863 c) Grobes Näherungsverfahren (Annahme eines starren Balkens) S65 D. Die Kreisplatte mit Randlagerung S66 1. Herleitung der allgemeinen Differentialgleichung. 866 a) Gleichgewichtsbedingungen 866 b) Formänderungsbeziehungen 868 c) Differentialgleichung der Plattenbiegung 871 2. Zentralsymmetrisch belastete Kreisplatte S72 a) Allgemein 872 b) Differentialgleichung der Plattenbiegung 872 c) Schnittkraft-Verschiebungsgleichungen 873 d) Rand- und Übergangsbedingungen 874 e) Beispiel 9: Geschlossene Kreisplatte unter Gleichlast p mit freier Randlagerung 874 f) Formänderungen und Schnittkräfte symmetrisch belasteter Kreis- und Kreisringplatten 876 3. Antimetrisch belastete Kreisplatte 891 a) Allgemein 891 b) Differentialgleichung der Plattenbiegung 891 c) Schnittkraft-Verschiebungsgleichungen 892 d) Beispiel 10: Frei drehbar gelagerte Kreisplatte unter antimetrischer Belastung 893 E. Die Kreisplatte auf elastischer Unterlage unter zentralsymmetrischer Belastung 895 I. Berechnung nach dem Bettungszifferverfahren 895 1. Die allgemeine Differentialgleichung..." 895 2. Lösung der Differentialgleichung 896 a) Partikuläres Integral der inhomogenen Differentialgleichung.... 896 b) Allgemeines Integral der homogenen Differentialgleichung 896 3. Allgemeine Darstellung der Schnittkräfte 898 4. Beispiele 900 Beispiel 11 : Die Kreisplatte auf elastischer Unterlage unter einer zentrisch wirkenden Einzellast 900 Beispiel 12: Die Kreisplatte auf elastischer Unterlage unter einer ringförmig verteilten Last 907 II. Verfahren der schwimmenden" Kreisplatte 917 Beispiel 13: Schornsteinfundament mit veränderlichem Querschnitt.. 918
XVI Inhaltsverzeichnis VIII. Räumliche Tragwerke 928 1. Allgemein 928 2. Einiges über Vektorrechnung 928 3. Kräfte im Raum 931 a) Kräfte im Raum, deren Wirkungslinien durch einen Punkt laufen.... 931 b) Kräfte im Raum, die beliebig angeordnet und beliebig gerichtet sind... 933 4. Raumfachwerke 934 a) Xlfgemein 934 b) Grad der statischen Unbestimmtheit 935 c) Möglichkeiten der Stützungen von Raumtragwerken 935 d) Arten von räumlichen Fachwerken 937 a) Das Flechtwerk 937 ß) Die Netzwerkkuppel 938 y) Die Schwedlerkuppel und das Turmdach 938 ö) Die Scheibenkuppel 939 E) Die Zimmermannsche Kuppel 939 e) Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Stabkräfte 940 a) Stabkraftermittlung mit Hilfe von Knotengleichungen 940 ß) Stabkraftermittlung mit Hilfe von Momentengleichungen 943 y) Verfahren der Stabvertauschung 947 6) Graphische Verfahren 950 1. Projektions verfahren 950 2. Verfahren nach CULMANN 951 3. Konjugationsverfahren von MAYOR f) Zahlenbeispiele Beispiel 1 (Bild I 1) Beispiel 2 (Bild I 2) Beispiel 3 (Bild I 3) Beispiel 4 (Bild I 4) Beispiel 5 (Bild I 5) ^Beispiel 6 (Bild I 6) o Beispiel 7 (Bild I 7) (»Beispiel 8 (Bild 18) 985 IS 5. Raumstabwerke a) Allgemein b) Grad der statischen Unbestimmtheit und statische Lagerausbildungen c) Berechnungsverfahren a) Kraftgrößenverfahren. 1. Das X -Verfahren Beispiel 9 (Bild Beispiel 10 (Bild Beispiel 11 (Bild Beispiel 12 (Bild Beispiel 13 (Bild Beispiel 14 (Bild Beispiel 1 5 (Bild I 9) I 10) 111) I 12) 113) I 14) If 5) " i Das Verfahren der Gruppenlasten Beispiel 16 (Bild I 16) Beispiel 17 (Bild I 17) Beispiel 18 (Bild 118) 115 991 991 995 995 995 995 998 1000 1001 1003 1007 1009 1014 1014 1015 1015
3. Das Verfahren des elastischen Schwerpunktes Beispiel,19 (Bild I 19) Beispiel 20 (Bild I 20)... P\ Beispiel 21 (Bild I 21) in \ Im ß) Das Drehwinkelverfahren (Formänderungsverfahren) a) Allgemein b) Ebene Rahmentragwerke, die senkrecht zu ihrer Ebene belastet sind. a) Theorie ß) Zahlenbeispiele Beispiel 22 (Bild I 22) Beispiel 23 (Bild I 23) _ Beispiel 24 (Bild I 24) 122 ** 123 c) Räumliche Stabwerke.. <x) Theorie ß) Zahlenbeispiele.... Beispiel 25 (Bild I 25). Beispiel 26 (Bild I 26). Beispiel 27 (Bild I 27) fis I 1 127.. y) Das Momentenausgleichsverfahren von CROSS Beispiel 28 (Bild I 28) Beispiel 29 (Bild I 29) XVII 1015 1021 1024 1029 d) Verfahren mit der Differentialgleichung, 12S 1 Il9. angewandt auf den Kreisringträger 1062 1. Allgemeines und Bezeichnungen 1062 2. Formänderungen und Schnittkräfte 1064 3- Zahlenbeispiele 1065 Beispiel 30 (Bild I 30) 1065 Beispiel 31 (Bild I 31) 1071 Beispiel 32 (Bild I 32) 1074 Beispiel 33 (Bild I 33) 1083 P v III. + P 131 6. Rippenkuppeln 1092 a) Einführung " 1092 b) Allgemeine Darstellung der Berechnung 1094 I. Rippenkuppeln unter rotationssymmetrischer Last 1094 II. Rippenkuppeln unter antimetrischer Belastung zweier, in einer Meridianebene liegender Rippen 1097 1. Berechnung der Knotenkräfte 1097 2. Vertikale Knotenverschiebungen am Laternenring 1099 3. Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Verschiebungsgrößen 1099 4. Endgültige Knotenkräfte 1100 Rippenkuppeln unter symmetrischer Belastung zweier, in einer Meridianebene liegender Rippen 1101 1. Berechnung der Knotenkräfte 1101 2. Berechnung der radialen Knotenverschiebungen eines polygonalen Ringes 1102 a.) Der Ring wird durch symmetrische Kräfte belastet.1102 1 ß) Der Ring wird durch zwei symmetrische Einheitslasten beansprucht 1102 y) Bestimmung der Radialverschiebungen 1103 3- Berechnung der radialen Knotenverschiebungen eines Kreisringes.. 1104 <x) Der Ring wird durch symmetrische Kräfte belastet 1104 ß) Der Ring wird durch zwei symmetrische Einheitslasten beansprucht 1105 l y) Bestimmung der Radialverschiebungen 1105 6) Näherungslösungen 1105 Hirschfeld, Baustatik, 3. Aufl. a
XVIII Inhaltsverzeichnis 4. Biegemomente in einem Ring infolge einer Belastung, die zur Achse I / symmetrisch und zur Achse// // antimetrisch wirkt 1107 a.) DeT~polygonale Ring 1107 ß) Der Kreisring 1108 c) Anwendungsbeispiele 1109 Beispiel 34: Rippenkuppel unter rotationssymmetrischer Belastung (Bild I 34) 1109 Beispiel 35: Rippenkuppel unter beliebiger Belastung (Bild 135) 1112 a) Antimetrische Belastung zweier Rippen (Bild I 37a c).. 1112 b) Symmetrische Belastung zweier Rippen (Bild I 37a c).. 1114 c) Belastung einer Rippe (Bild I 37a c) 1119 Beispiel 36: Berechnung einer Rippenkuppel nach dem Verfahren von DISCHINGER (Bild I 36) 1123 immun IIMIIIIII IX. Reduktionsverfahren 1125 1. Einführung 1125 2. Entwicklung des Verfahrens für den Trägerabschnitt 1126 a) Das Gleichungssystem für die charakteristischen Größen 1126 b) Ermittlung der Belastungsgrößen 1127 c) Das Gleichungssystem als Matrizengleichung 1128 3. Einfeldträger 1129 a) Die Verknüpfung mehrerer Abschnitte 1129 b) Die Randbedingungen 1129 c) Berechnung der Schnittkräfte und Verformungen 1131 d) Beispiel 1: Einfeldträger mit Einzellast 1131 e) Zusammenfassende Erläuterung 1135 4. Durchlaufträger 1135 a) Feldgrenzen und Sprungvektoren 1135 b) Das Ablösen der Konstanten 1137 c) Die Berechnung der Vektoren dib, und t) lit 1138 d) Beispiel 2: Zweifeldträger mit Gleichlast p 1139 5. Allgemeines Rechenschema 1142 a) Aufbau 1142 b) Beispiel 3: Zweifeldträger mit gemischter Belastung.1144 6. Einflußlinien. 1147 a) Allgemein 1147 b) Beispiel 4: Einseitig eingespannter Träger 1148 7. Programmierung des Reduktionsverfahrens 1150 a) Allgemein 1150 b) Bezeichnungen und Indizes 1151 c) Ablaufdiagramm 1152 X. Aufgaben 1154 XI. Hilfstafeln 1167 1: Vorzeichenregeln für einige Verfahren der Statik 1167 2: Schwerpunkte von T-Querschnitten 1168 3: Trägheitsmomente von T-Querschnitten 1169 4: Auflagerdrücke und Biegemomente von Krag- und Einfeldträgern 1170 5: Einspannmomente und Horizontalschübe für parabelförmige Rahmenstäbe mit / = IJcosq) infolge verschiedener Lasten '. 1178 6: Momente und Horizontalschübe für geknickt verlaufende Rahmenstäbe infolge verschiedener Lasten 1180
XIX 7: Einspannmomente und Auflagerkräfte beim kreisförmigen Bogen mit / = const. infolge lotrechter Gleichlast 1182 8: Einspannmomente und Auflagerkräfte beim kreisförmigen Bogen mit / = const. infolge waagerechter Gleichlast 1182 9: Belastungsglieder 2 und SR (Kreuzlinienabschnitte) 11S3 10: Zahlenwerte cu = /( ) 11S6 11: Formänderungsgrößen EI e ö lt =f M { M k dx' für gerade Stäbe 11SS 12: Formänderungsgrößen EI, d ik = J M i M k ds' für kreisförmig gekrümmte Stäbe mit / = const '?> 1192 13: Zahlenwerte für y, k und M(A) für Stäbe mit / = oo an einem Ende... 1193 14: Zahlenwerte für y, k und M[A) für symmetrische Stäbe mit / = oo an beiden Enden 1193 Hilfswerte für den Durchlaufträger 15: Träger unter feldweiser Gleichlast 1194 16: Träger unter feldweise wirkenden Einzellasten (je 1 Last) 1196 17: Träger unter feldweise wirkenden Einzellasten (je 2 Lasten) 1198 18: Träger unter feldweiser Dreiecksbelastung 1200 19: Stützmomente in Abhängigkeit von den Belastungsgliedern 1202 Einflußzahlen für den Einfeldträger 20: Gelenkig gelagerter Träger 1203 21: Einseitig eingespannter Träger 1203 22: Beidseitig eingespannter Träger 1204 Einflußzahlen für den Bogen und für den geknickt verlaufenden Rahmenstab 23: Kreisförmiger Bogen mit / = const 1204 24: Parabelförmiger Bogen mit / = IJcosy 1206 25: Geknickt verlaufender Rahmenstab mit / = const 1207 Tafeln der Verdrehungswinkel der Endtangenten und der zugehörigen Einflußzahlen für den frei aufliegenden Träger 26: Verdrehungswinkel für Stäbe mit / = oo an einem Ende 1208 27: Einflußzahlen für die Verdrehungswinkel von Stäben mit / = 00 an einem Ende 120S 28: Verdrehungswinkel für symmetrische Stäbe mit / = 00 an beiden Enden.. 1209 29: Einflußzahlen für die Verdrehungswinkel von symmetrischen Stäben mit / = 00 an beiden Enden 1209 Tafeln der Beiwerte zur Berechnung der Verdrehungswinkel der Endtangenten Erläuterungen zu den Tafeln 30 bis 39 1210 30: Symmetrische Träger mit geraden Vouten 1212 31: Symmetrische Träger mit parabolischen Vouten 1217 32: Unsymmetrische Träger mit gerader Voute 1222 33: Unsymmetrische Träger mit parabolischer Voute 1232 Tafeln der Beiwerte zur Berechnung der Verdrehungswinkel der Endtangenten (Einflußzahlen) 34: Symmetrische Träger mit geraden Vouten 1242 35: Symmetrische Träger mit parabolischen Vouten 1247 36: Unsymmetrische Träger mit gerader Voute 1252 37: Unsymmetrische Träger mit parabolischer Voute 1261 Träger mit konstantem Trägheitsmoment 38: Verdrehungswinkel 1270 39: Einflußzahlen der Verdrehungszahlen 1270 40: Charakteristische Längen für die Kreisplatte auf elastischer Unterlage... 1270 Schrifttum 1271 Sachverzeichnis 1273