Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen Definition. Eine partielle Differentialgleichung ist eine Dgl., in der partielle Ableitungen einer gesuchten Funktion z = z(x 1, x 2,..., x n ) mehrerer unabhängiger Variabler x 1, x 2,..., x n auftreten. Die höchste vorkommende Ableitung in der Differentialgleichung bestimmt die Ordnung der Dgl. Eine lineare partielle Dgl. 2. Ordnung für die Funktion z(x, y) besitzt die Form a 11 z xx + 2a 12 z xy + a 22 z yy + b 1 z x + b 2 z y + cz = f(x, y) Die Koeffizienten a 11, a 12, a 22, b 1, b 2, c hängen im allgemeinen von x und y ab. Ist f(x, y), dann heißt die Dgl. homogen, sonst inhomogen. Beispiel. yz x + z = (lineare Dgl. 1. Ordnung für z(x, y)) Wir fassen y als Parameter auf und erhalten z x x = 1 y. Integration nach x liefert ln z = x y + C(y) bzw. z = e C(y) x y = e C(y) e x y bzw. z(x, y) = k(y)e x y. Beispiel. z xx + z = Wir fassen wiederum y als Parameter auf und denken uns z xx als zweite Ableitung, z xx = z, nach der einzigen Variablen x. z + z = z(x, y) = C 1 (y) cos x + C 2 (y) sin x Eine einfache Probe zeigt, dass dies tatsächlich die ösung ist. Bemerkung. Die allgemeine ösung einer partiellen Differentialgleichung besitzt i.a. eine sehr große Funktionenmenge. Die Ordnung gibt die Anzahl der auftretenden beliebigen Funktionen an (bei gewöhnlichen Dgln. war es die Anzahl der auftretenden beliebigen Konstanten). 1

Definition. (Typeneinteilung) Eine homogene lineare Dgl. der Form a 11 z xx + 2a 12 z xy + a 22 z yy + b 1 z x + b 2 z y + cz = heißt hyperbolisch, wenn a 11 a 22 a 2 12 < parabolisch, wenn a 11 a 22 a 2 12 = elliptisch, wenn a 11 a 22 a 2 12 > Beispiel. Die eindimensionale Wellengleichung z tt = c 2 z xx bzw. z tt c 2 z xx = c... const. ist hyperbolisch, weil a 11 = 1, a 12 =, a 22 = c 2. Beispiel. Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung, Diffusionsgleichung z t = c 2 z xx bzw. c 2 z xx z t = ist parabolisch, weil a 11 =, a 12 =, a 22 = c 2. Beispiel. Die Potentialgleichung (aplace sche Gleichung) z = z xx + z yy = ist elliptisch, weil a 11 = 1, a 12 =, a 22 = 1. Bemerkung. Die Gleichung a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + b 1 x + b 2 y + c = beschreibt in der xy-ebene eine Hyperbel, eine Parabel oder eine Ellipse (bzw. degenerierte Formen davon), daher die Typenbezeichnung....................................................................... Die Wellengleichung 2

Methode von D AEMBERT Die eindimensionale Wellengleichung lautet z tt = c 2 z xx. Behauptung. Die Funktion z(x, t) = u(x + ct) + v(x ct) mit beliebigen Funktionen u und v ist die allgemeine ösung der Wellengleichung. Beweis. Setze ξ = x + ct und η = x ct. Dann ist z = u(ξ) + v(η). z x = u ξ ξ x + v η η x = u ξ + v η = u (ξ) + v (η) z xx = u (ξ) ξ x + v (η) η x = u (ξ) + v (η) z t = u ξ ξ t + v η η t = u (ξ) c + v (η) ( c) = c (u (ξ) v (η)) z tt = c 2 (u (ξ) + v (η)) Daraus folgt z tt = c 2 z xx. Die ösung setzt sich zusammen aus einer nach links wandernden Welle (Störung) u und einer nach rechts wandernden Welle (Störung) v. Zum Zeitpunkt t = sei etwa (mit u = ) { wenn x ε < x < x z(x, ) = v(x) = + ε sonst Zu einem späteren Zeitpunkt t 1 > gilt dann { wenn x ε < x ct z(x, t 1 ) = v(x ct 1 ) = 1 < x + ε sonst 3

An die Funktion z(x, t) mit z tt = c 2 z xx, welche auch die Schwingung einer Saite beschreibt, können noch weitere Forderungen gestellt werden, nämlich Randbedingungen und Anfangsbedingungen, z.b. 1) Die Saite ist in den Randpunkten fixiert, d.h. die Auslenkung ist dort Null z(, t) = z(, t) = t (Randbedingungen) 2) Die Anfangsauslenkung z(x, ) und die Anfangsgeschwindigkeit z t (x, ) sind festgelegt durch z(x, ) = f(x), z t (x, ) = g(x), x (Anfangsbedingungen) Bemerkung. Mit der Differentialgleichung, den Randbedingungen und den Anfangsbedingungen ist das Problem vollständig beschrieben. Es existiert eine eindeutig bestimmte ösung....................................................................... ösung mittels Fourier-Methode - Produktansatz Die grundsätzliche Vorgangsweise ist dabei (Trennung von Orts- und Zeit- Produktansatz z(x, t) = F (x) G(t) variablen) ösen der gewöhnlichen Dgln für die Funktionen F und G unter Berücksichtigung der Randbedingungen Anwendung des Superpositionsprinzips zur Erfüllung der Anfangsbedingungen a) Produktansatz Wir setzen z(x, t) = F (x) G(t) und erhalten z t = F (x) G (t), z x = F (x) G(t), z tt = F (x) G (t) z xx = F (x) G(t) Eingesetzt in die Dgl. liefert dies 4

F (x) G (t) = c 2 F (x) G(t) bzw. G (t) c 2 G(t) = F (x) F (x) Auf der linken Seite steht nur eine Funktion von t, auf der rechten Seite nur eine Funktion von x, damit muss links und rechts eine Konstante stehen, also G (t) c 2 G(t) = F (x) F (x) = λ... const. und damit F (x) λf (x) =, G (t) c 2 λg(t) = Wir erhalten also 2 gewöhnliche Differentialgleichungen. b) ösen der gew. Dgln. unter Berücksichtigung der RB Aus z(, t) = z(, t) = folgt nun z(, t) = F () G(t) = für t > z(, t) = F () G(t) = für t > Weil G(t) nicht die Nullfunktion ist, folgt F () = F () =. Für die Differentialgleichung F (x) λf (x) = wählt man den Ansatz F (x) = e σx, der die charakteristische Gleichung σ 2 λ = liefert. Nun sind mehrere Fälle zu unterscheiden: 1) λ > σ 1,2 = ± λ F (x) = Ae λx + Be λx 2) λ = σ 1,2 = F (x) = A + Bx 3) λ < λ = µ 2 mit µ > σ 1,2 = ±iµ F (x) = A cos µx + B sin µx Die Berücksichtigung der Randbedingungen liefert im Fall 1) F () = A + B = F () = Ae λ + Be λ = A = B = und F (x) und damit Im Fall 2) ergibt sich 5

F () = A = F () = A + B = A = B = F (x) Im Fall 3) erhalten wir F () = A = F () = A cos(µ) + B sin(µ) = B sin(µ) = Der Fall B = und damit F (x) ist uninteressant. Ansonsten sin(µ) = µ = nπ, n N µ = nπ = µ n Dies führt auf die Eigenwerte λ n = (µ n ) 2 = ( nπ )2 und die zugehörigen Eigenfunktionen F n (x) = sin nπ x. Die Differentialgleichung G c 2 λg = lautet nun mit λ = ( nπ )2 G + c 2 ( nπ )2 G = Der Exponentialansatz liefert dafür die ösung G(t) = A cos t + B sin t = G n(t). c) Superpositionsprinzip, Erfüllen der AB Wir haben nun ösungen erhalten in der Form z n (x, t) = F n (x) G n (t) = (A n cos t + B n sin t) sin nπ x, n N, welche jeweils die RB erfüllen. Daraus bilden wir die Funktion z(x, t) = z n (x, t) = (A n cos t + B n sin t) sin nπ x Diese Funktion ist ebenfalls eine ösung der Differentialgleichung, welche die RB erfüllt. Nun müssen die Konstanten A n, B n die AB erfüllt werden. so bestimmt werden, dass auch noch 6

Einerseits soll gelten z(x, ) = A n sin nπ x = f(x). Anderseits soll wegen z t (x, t) = z t (x, ) = ( A n B n sin t + B n sin nπ x = g(x) cos t) sin nπ x gelten, dass Die Funktionen f(x), g(x) müssen natürlich so beschaffen sein, dass sie die RB erfüllen, d.h. f() = f() =, g() = g() = und in [, ] stückweise stetig differenzierbar sind. Jetzt werden die auf [, ] erklärten Funktionen f(x), g(x) auf [, ] schiefsymmetrisch fortgesetzt, und dann periodisch mit T = 2 auf ganz R. Also f(x) = a n sin nπ x mit a n = 2 f(x) sin nπ x dx g(x) = b n sin nπ x mit b n = 2 g(x) sin nπ x dx Aus den AB folgt nun durch Koeffizientenvergleich A n = a n = 2 f(x) sin nπ x dx sowie B n = b n B n = b n = 2 g(x) sin nπ x dx Zusammenfassung. gegeben durch z(x, t) = A n = 2 Die eindeutig bestimmte ösung des Problems ist (A n cos t + B n sin t) sin nπ x f(x) sin nπ x dx, B n = 2 mit g(x) sin nπ x dx 7

Wir setzen nun ω n = und betrachten die einzelnen Summanden z n (x, t) = (A n cos t + B n sin ) sin nπ x = = (A n cos ω n t + B n sin ω n t) sin nπ x = u n(t) sin nπ x Für n = 1 ist z 1 (x, t) = u 1 (t) sin π x. Hier wird die Sinus-Funktion mit einem zeitabhängigen, periodischen Faktor u 1 (t) multipliziert, der die Kreisfrequenz ω 1 = cπ besitzt. (Grundschwingung) Für n = 2 ist z 2 (x, t) = u 2 (t) sin 2π x. Auch hier wird die Sinus-Funktion mit einem zeitabhängigen, periodischen Faktor u 2 (t) multipliziert, der die Kreisfrequenz ω 2 = 2cπ besitzt. (1. Oberschwingung) Aus den Kreisfrequenzen ω n ergeben sich die Frequenzen ν n durch ω n = 2πν n. Damit ν n = ω n 2π = 1 2π = cn 2 = nν 1. Die verschiedenen Frequenzen ν n, mit denen die Saite schwingt, sind also ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ν 1....................................................................... Inhomogene Wellengleichung mit inhomogenen RB Wir betrachten nun für x, t das Problem z tt = c 2 z xx + φ(x, t) z(, t) = r(t), z(, t) = s(t) (RB) 8

z(x, ) = f(x), z t (x, ) = g(x) (AB) a) Elimination der inhomogenen RB Wir treffen den Ansatz z(x, t) = y(x, t) + w(x, t) mit w(x, t) = r(t) + x (s(t) r(t)). Dann gilt: w(, t) = r(t), w(, t) = s(t), w xx =. Weiters r(t) = z(, t) = y(, t) + w(, t) = y(, t) + r(t) y(, t) = s(t) = z(, t) = y(, t) + w(, t) = y(, t) + s(t) y(, t) = In die Dgl. z tt = c 2 z xx + φ(x, t) eingesetzt erhalten wir y tt + w tt = c 2 (y xx + w xx ) + φ(x, t) = c 2 y xx + φ(x, t) y tt = c 2 y xx + (φ(x, t) w tt ) = c 2 y xx + φ (x, t) Die Anfangsbedingungen liefern bzw. z(x, ) = y(x, ) + w(x, ) = f(x) y(x, ) = f(x) w(x, ) = f (x) z t (x, ) = y t (x, ) + w t (x, ) = g(x) y t (x, ) = g(x) w t (x, ) = g (x) Zusammenfassung. Die Funktion y(x, t) genügt dem Problem y tt = c 2 y xx + φ (x, t) (inhomogene Dgl.) y(, t) = y(, t) = (homogene RB) y(x, ) = f (x), y t (x, ) = g (x) (AB) b) Ansatz: y(x, t) = u(x, t) + v(x, t) Dabei seien die Funktionen u(x, t), v(x, t) so gewählt, dass u(x, t) ösung der zugehörigen homogenen Dgl. ist (mit homogenen RB und inhomogenen AB), und v(x, t) ösung der inhomogenen Dgl. ist (mit homogenen RB und homogenen AB). Wir betrachten also die Probleme 9

u tt = c 2 u xx u(, t) = u(, t) = u(x, ) = f (x), u t (x, ) = g (x) bzw. v tt = c 2 v xx + φ (x, t) v(, t) = v(, t) = v(x, ) =, v t (x, ) = c) Bestimmung von u(x, t): Gemäß vorher (siehe Fourier-Methode). d) Bestimmung von v(x, t): Wegen der homogenen RB treffen wir den Ansatz v(x, t) = v n (t) sin nπ x. Dann ist v tt = v n(t) sin nπ x, v xx = ( 1)( nπ )2 v n (t) sin nπ x Eingesetzt in die Dgl. v tt c 2 v xx = φ (x, t) erhalten wir (v n(t) + c 2 n2 π 2 v 2 n (t) sin nπ x = φ (x, t). Wir setzen nun φ (x, t) bzgl. der Variablen x schiefsymmetrisch auf < x < fort und betrachten dann φ (x, t) als periodische Funktion mit der Periode T = 2. Dadurch ergibt sich eine Fourier-Sinusreihe für φ. Weiters wird t als Parameter aufgefasst. φ (x, t) = φ n (t) sin nπ x, φ n(t) = 2 φ (x, t) sin nπ x dx Koeffizientenvergleich liefert jeweils eine gewöhnliche Dgl. 2. Ordnung für v n (t), nämlich v n(t) + c 2 n2 π 2 2 v n (t) = φ n (t), n N 1

Die Auswertung der AB ergibt v(x, ) = v n () sin nπ x = x n v n() = n v t (x, ) = v n() sin nπ x = x n v n() = n Somit erhalten wir für die Funktionen v n (t) die Anfangswertprobleme v n + ( )2 v n = φ n (t), v n () = v n() =...................................................................... Die Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung Im (allgemeinen) Wärmeleitungsproblem betrachtet man einen Körper, der einen räumlichen Bereich B R 3 ausfüllt. Die Temperaturverteilung im Körper sei gegeben durch die Funktion z = z(x 1, x 2, x 3, t) (x 1, x 2, x 3 ) B, t >. Ist der Körper an der Oberfläche isoliert, dann liegt das folgende Problem vor z t = c 2 z = c 2 (z x1 x 1 + z x2 x 2 + z x3 x 3 ) z(x 1, x 2, x 3, t) = für (x 1, x 2, x 3 ) B, t > (RB) z(x 1, x 2, x 3, ) = f(x 1, x 2, x 3 ) für (x 1, x 2, x 3 ) B (AB) Dieses Problem ist für beliebige Bereiche analytisch nicht lösbar. Wir beschränken uns hier auf den eindimensionalen Fall, d.h. wir betrachten einen (unendlich dünnen) Stab der änge, und untersuchen zuerst den Fall einer homogenen Dgl. mit homogenen Randbedingungen (d.h. die Temperatur ist an den Enden T = ). Also z t = c 2 z xx, x, t > (DG.) z(, t) = z(, t) =, t > (RB) z(x, ) = f(x), x (AB) 11

a) Trennung der Variablen Der Ansatz z(x, t) = F (x)g(t) liefert F G = c 2 F G G c 2 G = F F = µ2 µ > heißt Separationsparameter, und nur der Fall, wo die rechte Seite negativ ist, liefert nichttriviale ösungen (also wenn die rechte Seite die Form µ 2 hat). Wir erhalten nun zwei gewöhnliche Dgln. F + µ 2 F = und G + c 2 µ 2 G = b) ösen der gew. Dgln. mit RB z(, t) = F () G(t) = t F () = z(, t) = F () G(t) = t F () = Die Dgl. F + µ 2 F = besitzt nichttriviale ösungen für µ = µ n = nπ mit den zugehörigen Funktionen F n (x) = sin nπ x, n N. Diese µ n s werden in die Dgl. ösungen G n (t) = B n e c2 µ 2t = B n e c2 n 2 π 2 2 t Damit erhalten wir ösungen G + c 2 µ 2 G = eingesetzt, und liefern die, n N. z n (x, t) = F n (x) G n (t) = G n (t) F n (x) = B n e c2 n 2 π 2 2 t sin nπ x Daraus bilden wir durch Superposition die Funktion z(x, t) = z n (x, t) = welche die Dgl. und die RB erfüllt. B n e c2 n 2 π 2 2 t sin nπ x c) Berücksichtigung der AB 12

Aus z(x, ) = f(x) folgt B n sin nπ x = f(x). Wir setzen f(x) schiefsymmetrisch auf < x < fort, und betrachten dann f als periodische Funktion mit der Periode 2. Damit f(x) = a n sin nπ x mit a n = 2 f(x) sin nπ x dx Der Koeffizientenvergleich ergibt B n = a n, und folglich z(x, t) = B n e c2 n 2 π 2 2 t sin nπ x mit B n = 2 f(ξ) sin nπ ξ dξ Beispiel. z t = c 2 z xx, x, t > z(, t) = z(, t) = (RB) z(x, ) = f(x), x, mit { x falls x < f(x) = 2 x falls x 2 Die ösung ist z(x, t) = B n e c2 n 2 π 2 2 t sin nπ x mit B n = 2 f(ξ) sin nπ ξ dξ B n = 2 ( 2 ξ sin nπ ξ dξ + 2 ( ξ) sin nπ ξ dξ) und weiters B n = für n = 2m B n = 2 2( 1)m 2 (2m+1) 2 π 2 Also ist z(x, t) = m= = 4( 1)m (2m+1) 2 π 2 für n = 2m + 1, m 4( 1) m (2m+1) 2 π e c 2 2 (2m+1) 2 π 2 2 t sin (2m+1)π x 13

...................................................................... Inhomogene Differentialgleichung mit homogenen RB u t = c 2 u xx + φ(x, t), x, t > (DG.) u(, t) = u(, t) =, t > (RB) u(x, ) = f(x), x (AB) Wir treffen den Ansatz u(x, t) = w(x, t) + z(x, t), wobei w(x, t) ösung der (zugehörigen) homogenen Dgl. mit homogenen RB und gegebenen AB ist (ösungsverfahren siehe vorher). z(x, t) ist ösung der inhomogenen Dgl. mit homogenen RB und homogenen (!) AB. Wir verwenden den Ansatz φ(x, t) in eine Fourierreihe bzgl. x, z(x, t) = Z n (t) sin nπ x φ(x, t) = φ n (t) sin nπ x, φ n(t) = 2 φ(x, t) sin nπ x dx und entwickeln Einsetzen in die inhomogene Dgl. und Koeffizientenvergleich liefert jeweils eine gewöhnliche Dgl. für Z n (t), nämlich Z n(t) + c2 n 2 π 2 2 Z n (t) = φ n (t) mit der AB : Z n () =. 14

...................................................................... Inhomogene Differentialgleichung mit inhomogenen RB u t = c 2 u xx + φ(x, t), x, t > (DG.) u(, t) = r(t), u(, t) = s(t), t > (RB) u(x, ) = f(x), x (AB) Wir verwenden den Ansatz u(x, t) = w(x, t) + z(x, t) mit z(x, t) = r(t) + x (s(t) r(t)) zur Elimination der inhomogenen RB. Daraus ergibt sich für w(x, t) das Problem w t = c 2 w xx + φ (x, t) w(, t) = w(, t) = w(x, ) = f (x) mit φ (x, t) = φ(x, t) z t (x, t), f (x) = f(x) z(x, ). Dieses Problem wird gemäß vorher behandelt. 15