4 Orthogonale Endormorphismen

4 Orthogonale Endormorphismen Frage: Bei welchen Abbildungen R R bzw. R 3 R 3 bleibt der Abstand zwischen zwei Punkten erhalten? Für α R setzen wir cosα sin α D(α) = und S(α) := sin α cosα ( cos α sin α sin α cos α Additionstheoreme für Sinus und Cosinus (Analysis) cos(α + β) = cosαcos β sin α sin β sin(α + β) = sin α cosβ + cosαsin β Betrachte die zu D(α) bzw. S(α) behörigen Endomorphismen x D(α) x bzw. x T(α) x Schreibe einen Vektor x R \0 auch in Polarkoordinaten: cos β x = λ, wobei λ = x und β = Arg x. sin β Geometrische Bedeutung der Abbildung x D(α) x: cosα sin α cosβ cosαcosβ sin α sin β D(α) x = λ = λ sin α cosα sin β sin α cosβ + cosα sin β cos(α + β) = λ = y, wobei y = x und Arg y = Arg x + α sin(α + β) ) 1

y x α λ β Also ist x D(α) x eine Drehung um den Winkel α mit Drehzentrum 0. Geometrische Bedeutung der Abbildung x S(α) x: cosα sin α cosβ cos(α β) y = S(α) x = λ = λ sin α cosα sin β sin(α β) y R cos α sin α (nachrechnen). α β x Fazit: x S(α) x ist die Spiegelung an der Achse R cos α sin α. Definition: O() := {D(α) α R} {S(α) α R} heißt Menge der orthogonalen Matrizen.

Worin unterscheiden sich in O() Drehungen und Spiegelungen? det S(α) = cos α sin α = 1, det D(α) = cos α + sin α = +1 Sei A M(, R). (4.1) Charakterisierung der Matrizen aus O(). Äquivalente Aussagen sind: a) A O() b) A t A = E (d.h.: A ist invertierbar und A 1 = A t ). c) Ax, Ay = x, y für alle x, y R. Also: x Ax ist eine Drehung, falls A t A = E und det A = +1. x Ax ist eine Spiegelung, falls A t A = E und det A = 1. Wegen S(α) t = S(α) gilt für Spiegelungen: S(α) = S(α) t S(α) = E. cosα + sin α cosα sin α 1 0 Beweis: a) b) = sin α cos α sin α cosα 0 1 wegen cos α + sin α = 1. Entsprechend zeigt man S(α) t S(α) = E. b) c) Ax, Ay = (Ax)t Ay = x t A t Ay = x t A t Ay = x t y = x, y c) b) Aus Ax, Ay = x, y folgt x, At Ay = = x t (A t Ay) = (Ax) t Ay = Ax, Ay = x, y für alle x, y R, also x, A t Ay y = 0 für alle x, y R insbesonder gilt dies für x = A t Ay y. Es folgt A t Ay y, A t Ay y = 0 für alle y R, d.h. 1 0 A t Ay = y für alle y R und A t A =. Setze (y = e 0 1 1 und y = e ). b) a) Sei A M(, R) mit den Spalten a1 und a 1 0 a = A t A = 1, a 1 a 1, a 0 1 a, a 1 a, a also 3

a 1 a, a 1 = a 1, a 1 ( = 1 = a ). Es gibt daher ein 0 ϕ < π mit cosϕ sin ϕ a 1 = und a sin ϕ = ±. Damit ist cosϕ cosϕ sin ϕ A = = D(ϕ) oder A = sin ϕ cosϕ ( cosϕ sin ϕ sin ϕ cosϕ ) = S(ϕ). Fazit: Die Matrix A M(, R) ist genau dann orthogonal, wenn gilt: Ax, Ay = x, y für alle x, y R Allgemeine Definition: Sei (V,, ) ein euklidischer Vektorraum und f : V V linear. f heißt orthogonal, wenn gilt: f(v), f(w) = v, w für alle v, w V Die orthogonalen Endomorphismen des R sind somit die Drehungen und die Spiegelungen. Sei nun f : V V eine orthogonale lineare Abbildung des euklidischen Vektorraums (V, ). (4.) Grundeigenschaften orthogonaler Abbildungen: a) f(v) = v für alle v V (f ist normerhaltend). b) d(f(v), f(w)) = d(v, w) für alle v, w V ( f ist abstandstreu). c) Aus v w folgt f(v) f(w). d) f erhält Winkel zwischen Vektoren 0. e) Die möglichen Eigenwerte von f sind 1 und 1. f) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von f stehen aufeinander senkrecht. g) Jeder orthogonale Endomorphismus ist invertierbar, falls dim V <. Sind f und g orthogonal, so auch f g und f 1. h) Ist dim V < und B eine Orthonormalbasis von V, so ist auch f(b) eine Orthonormalbasis. 4

Beweis: a) f(v) = f(v), f(v) = v, v = v b) d(f(v), f(w)) = f(v) f(w) = f(v w) a) = v w = d(v, w) d) (v, w) = arccos v,w v w a) = f(v),f(w) f(v) f(w) = (f(v), f(w)) c) ist der Spezialfall (v, w) = π von d). e) Sei λ R und v 0 mit f(v) = λv. Dann ist 0 v, v = λv, λv = λ v, v und λ = 1, d.h. λ = ±1. f) Seien v 0, w 0 mit f(v) = v, f(w) = w. Dann ist v, w = v, w = v, w und daher v, w = 0. g) Wegen a) ist Ker f = 0 und daher f GL(V ). Sind f, g orthogonal, so gilt f(g(v)), f(g(w)) = g(v), g(w) = v, w und f g ist orthogonal. Noch zu zeigen: f 1 (v), f 1 (w) = v, w. Setze x = f 1 (v), y = f 1 (w). Dann gilt nach Voraussetzung f 1 (v), f 1 (w) = x, y = f(x), f(y) = v, w. Da offenbar id V orthogonal ist, folgt aus (4.1) g): Ist dim V <, so ist O(V ) := {f f : V V orthogonal und linear } eine Untergruppe von GL(V ) = Gruppe der Automorphismen von V. Man nennt O(V ) die orthogonale Gruppe von V. Definition: Eine Isometrie (oder Bewegung) des R n ist eine Abbildung g : R n R n, welche Abstände erhält, d.h. Offenbar gilt: d(x, y) = d(g(x), g(y)) für alle x, y R n (i) Zusammensetzungen von Isometrien sind wieder Isometrien. (ii) Orthogonale Endomorphismen sind Bewegungen. 5

(iii) Jede Translation x x 0 + x des R n um einen festen Vektor x 0 ist eine Isometrie (d(x 0 + x, x 0 + y) = (x 0 + x) (x 0 + y) = x y = d(x, y)). Damit ist jede Abbildung g : R n R n, der Form g(x) = x 0 + f(x) mit f O(V ) und x 0 R n fest eine Isometrie. Von dieser Tatsache gilt auch die Umkehrung. (4.3) Satz: a) Sei g : R n R n eine Bewegung. Dann gibt es ein f O(R n ) und einen festen Vektor x 0 R n, so dass g(x) = x 0 + f(x) für alle x R n Insbesondere ist jede Bewegung g mit g(0) = 0 aus O(R n ). b) Die Bewegungen des R n bilden eine Gruppe. Beweis: a) Setze x 0 := g(0) und f(x) := g(x) x 0. Damit ist Es ist zu zeigen, dass f O(R n ). g(x) = x 0 + f(x) für alle x R n, f(0) = 0. Beweis: f ist als Zusammensetzung von g und der Translation um x 0 offenbar abstandserhaltend. Wegen f(0) = 0 folgt f(x) = d(f(x), 0) = d(f(x), f(0)) = d(x, 0) = x, also ist f normerhaltend. Für x, y R n gilt, da f Abstände und Normen erhält f(x) f(y), f(x) f(y) = d(f(x), f(y)) = d(x, y) = x y, x y f(x), f(x) = f(x) = x = x, x, entsprechend f(y), f(y) = y, y. Es folgt mit (SP1): f(x), f(y) = f(x), f(x) + f(y), f(y) f(x) f(y), f(x) f(y) = x, x + y, y x y, x y = x, y, also (1) f(x), f(y) = x, y für alle x, y R n. Es ist noch zu zeigen, dass f linear ist, d.h. () w := f(x + λy) f(x) λf(y) = 0, falls x, y R n und λ R. 6

Es ist f(e i ), f(e j ) (1) = e i, e j = 0 falls i j und f(e i ) = e i = 1. Nach (.5) ist daher (f(e 1 ),...,f(e n )) eine Basis des R n. Ferner ist w, f(e i ) = f(x + λy) f(x) λf(y), f(e i ) = f(x + λy), f(e i ) f(x), f(e i ) λ f(y), f(e i ) (1) = x + λy, e i x, e i λ y, e i = 0 für i = 1,..., n. Schreibe w = n λ i f(e i ), λ i R. Dann ist w, w = w, λ 1 f(e 1 ) +... + λ n f(e n ) = n λ i w, f(e i ) = 0 und w = 0. b) Offenbar ist id V eine Bewegung. Zusammensetzungen von Bewegungen sind Bewegungen. Ist g(x) = x 0 +f(x), f O(R n ), so ist g 1 (x) = f 1 (x 0 )+ f 1 (x), also eine Bewegung, denn mit f ist auch f 1 O(R n ). Wiederholgung aus der linearen Algebra: Koordinatendarstellungen von Endomorphismen. 1) Endomorphismen des R n. a) Für A M(n n, R) ist L A : R n R n, x Ax linear. b) Jeder Endomorphismus f : R n R n ist von der Form L A : Ist A die Matrix mit den Spalten f(e 1 ),...,f(e n ), so ist für x 1 x =. x n R n A (x) = x 1 f(e 1 )+x f(e )+...+x n f(e n ) = f(x 1 e 1 +...+x n e n ) = f(x). ) Koordinatensysteme und Basen. Sei B = (v 1,...,v n ) eine Basis des Vektorraums V. Schreibe v V in der Form Der Vektor x =. v = x 1 v 1 +... + x n v n mit x 1,...,x n R. x 1 x n heißt Koordinatenvektor von v bezüglich B. Φ B : R n V, x x 1 v 1 +... + x n v n = v ist ein Isomorphismus mit Φ 1 B (v) = Koordinatenvektor von v bezüglich B. Φ B heißt das B zugeordnete Koordinatensystem von V. 7

3) Die darstellende Matrix eines Endomorphismus bezüglich einer Basis. Sei f : V V linear. Die darstellende Matrix von f bezüglich B = (v 1,...,v n ) ist die eindeutig bestimmte n n Matrix A mit folgenden Eigenschaften: Ist x der Koordinatenvektor von v bezüglich B und y der Koordinatenvektor von f(v) bezüglich B, so ist Ax = y Da e j der Koordinatenvektor von v j bezüglich B ist, gilt: j te Spalte (A) = Ae j = Koordinatenvektor von f(v j ) bzgl. B, d.h.: Ist f(v j ) = n a ij v i, j = 1,...,n, so ist A = (a ij ) i,j=1,...,n. Für A schreibt man M B B (f), kürzer M B(f). 4) Koordinatentransformation. Sei B = (w 1,..., w n ) eine weitere Basis von V. Schreibe n w j = c ij v i, j = 1,...,n (c ij R) C = (c ij ) heißt Übergangsmatrix von B nach B. C ist invertierbar und es gilt die Transformationsformel M B (f) = C 1 M B (f)c Spezialfall: Ist f : V V ein Isomorphismus und w j = f(v j ), j = 1,...,n, so ist B = (w 1,...,w n ) eine Basis von V und es gilt: M B (f) ist die Übergangsmatrix von B nach B. Beweis: Sei (a ij ) = M B (f). Dann ist nach 3) n w j = f(v j ) = a ij v i, j = 1,...,n. Problem: Wie sieht man einer darstellenden Matrix an, ob f orthogonal ist? (4.4) Satz: Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum, B = (v 1,...,v n ) eine Orthonormalbasis von V und A = M B (f), f End V. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 8

a) f ist orthogonal. b) B = (f(v 1 ),...,f(v n )) ist eine Orthonormalbasis. c) A t A = E n. Beweis: Genau dann ist B eine Orthonormalbasis, wenn { 1, für i = j σ(v i, v j ) = 0, für i j, d.h. wenn M B(σ) = E n. a) b) gilt nach 4. h) b) c) A = M B(f) ist die Übergangsmatrix von B nach B. Nach 3.3 ist daher E n = M B (σ) = A t M B (σ)a = A t A. c) a) Ist A = M B(f) invertierbar, so ist f ein Isomorphismus und B = (f(v 1 ),...,f(v n )) ist eine Basis von V. Nach 3.3 ist M B (σ) = A t M B (σ)a = A t A = E n. Wir betrachten die symmetrische Bilinearform s(v, w) := σ(f(v), f(w)). Es gilt s(v i, v j ) = σ(f(v i ), f(v j )), d.h. M B (s) = M B (σ) = E n = M B (σ). Nach 3. ist daher s = σ, d.h. σ(v, w) = σ(f(v), f(w)) für v, w V. Also ist f eine orthogonale lineare Abbildung. Definition: A GL(n, R) heißt orthogonal, falls A t A = E n. Nach 4.3 ist also A genau dann orthogonal, wenn die Spalten von A eine Orthonormalbasis bilden. Aus A t A = E n folgt 1 = det(a t A) = det A t det A = (det A), und somit det A = ±1, falls A orthogonal ist. (4.5) Definition und Notiz: Die Teilmengen O(n) := {A GL(n, R) A orthogonal } GL(n, R) und SO(n) := {A O(n) det A = +1} GL(n, R) sind Untergruppen von GL(n, R). Sie heißen Orthogonale Gruppe bzw. Spezielle Orthogonale Gruppe n ter Ordnung. Beweis: E t ne n = E n also E n O(n). Sind A, B O(n) so ist (AB) t AB = B t (A t A)B = B t B = E n und (A 1 ) t A 1 = (A t ) t A 1 = AA 1 = E n. Also sind AB und A 1 aus O(n). Somit ist O(n) eine Untergruppe von Gl(n, R). Analog zeigt man, dass SO(n) GL(n, R) eine Untergruppe ist. 9