UniversitätPOsnabrück Vorlesung lektronik Dr. W. Bodenberger 1 RC-Tiefpaß Die folgende Abbildung stellt einen RC-Tiefpaß dar. + in Tiefpaß sperrt hohe Frequenzen d.h. er hat einen großen Widerstand bei hohen Frequenzen. Bei Gleichspannungen ist der Widerstand des ondensators d.h. tiefe Frequenzen führen zu einem hohen Spannungsabfall am ondensator im Ausgangskreis. Sie werden bevorzugt übertragen. Bei hohen Frequenzen geht der Widerstand des ondensators gegen Null d.h. hohe Frequenzen werden kurzgeschlossen und erscheinen somit nicht am Ausgang des Tiefpasses. Übertragung harmonischer Schwingungen mit einem RC-Tiefpaß Die ingangsspannung u 1 (t) ist in diesem Fall eine komplexe Größe. Die Ausgangsspannung u 2 (t) wird bei steigender Frequenz kleiner, da die Impedanz des ondensators mit wachsender Frequenz kleiner wird. Die Amplitude und die Phase zwischen ingangs- und Ausgangsspannung wird durch die apazität des ondensators C geändert. + H M H M + Die ingangsspannung läßt sich schreiben als und die Ausgangsspannung u 1 (t)=û 1 e jωt u 2 (t)=û 2 e j(ωt+ϕ) 2 D = I A > A A D C A > A 6 A BF = wobei hier zu beachten ist, daß bei einem RC-Tiefpaß nur die Amplitude und Phase der ingangsspannung geändert wird. Der Spannungsabfall über dem ondensator läßt sich schreiben als u C (t)= 1 C Z t i C. du C (t)=du 2 (t)= 1 C i C(t) Damit gilt für den Strom i C (t)=i(t)= du 2(t) C Der Spannungsabfall über dem Widerstand R ist i R.
UniversitätPOsnabrück Vorlesung lektronik Dr. W. Bodenberger 2 DieirchhoffscheMaschengleichung liefert mit den vorgegebenen Richtungen für Strömeund Spannungen und ersetzen des Stromes i(t) durch den vorstehenden Ausdruck : u 1 = i R + u 2 u 1 = R du 2(t) C Da wir uns auf die Übertragung harmonischer Spannungen beschränkt haben liefert die Differentiation der Ausgangsspannung u 2 (t) nur die Multiplikation mit j ω Die Maschengleichung wird damit: u 1 (t)=r C jω + u 2 (t) Bildet man das Betragsquadrat der komplexen Zahl, stellt nach u 2(t) um und zieht die Wurzel so u 1 (t) erhält man die Übertragungsfunktion des Tiefpasses: û 2 1 = û 1 1 + ω2 R 2 C = 1 2 ( ω 1 + ω 0 ) 2 wobei wieder gilt ω 0 = 1 R C Für die Phase der Ausgangsspannung erhält man: tgϕ = ω R C oder: tg( ϕ)=ω R C = ω ω 0 In den folgenden beiden Abbildungen sind der Frequenzgang und Phasenverlauf des RC-Tiefpasses dargestellt. @ *! @ * @ * C @ * F H, A = @ A $ @ * F H = L A. HA G A C = C @ A I + 6 A BF = I I A I " # ' 2 D = I A L A H = B@ A I + 6 A BF = I I A I Übertragung eines inheitssprunges beim RC-Tiefpaß Die ingangsspannung u 1 (t) hat wieder die Form eines unendlich schnellen Spannungssprunges zum Zeitpunkt t = 0 auf einen endlichen Amplitudenwert U 0 s ist: u 1 (t)=u 0 für t 0 und u 1 (t) =0für t < 0 1 F I A C = C I I F = C + 1 F I = M H
UniversitätPOsnabrück Vorlesung lektronik Dr. W. Bodenberger 3 Die irchhoffsche Maschengleichung liefert: u 1 = R C du 2(t) + u 2 (t) Mit der Zeitkonstanten T = RC wird: u 1 = T du 2(t) + u 2 (t) Für Zeiten t > 0istu 1 = U 0. Die Differentialgleichung lautet dann: Dies ist äquivalent zu: du 2 (t) da U 0 als onstante beim differentieren wegfällt. Die Lösung der Differentialgleichung ist: = 1 T (U 0 u 2 (t)) d (u 2(t) U 0 )= 1 T (u 2(t) U 0 u 2 U 0 = const e t T Die onstante läßt sich aus der Anfangsbegingung t = 0 und u 2 = 0wegenQ=0zuconst= U 0 bestimmen. Damit ist die Ausgangsspannung t eine exponentiell anwachsende Spannung der Form: u 2 (t)=u 0 (1 e RC ).
UniversitätPOsnabrück Vorlesung lektronik Dr. W. Bodenberger Die Übertragung eines Rechteckpulses bei einem Tiefpaß Auch beim Tiefpaß wird die Form der Ausgangsspannung wesentlich von dem Verhältnis der Rechteckbreite τ und der Zeitkonstanten T = RC des Tiefpasses bestimmt, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist. 6 6 1 F I = M HA A I 6 A BF = I I A I > A A A A? D A? = - C = C Wird wie im letzten Beispiel angedeutet die Zeitkonstante T des Tiefpasses sehr groß gegen die Impulsbreite τ bleibt der Anstieg und Abfall der e-funktion im linearen Bereich. Aus dem Rechteck am ingang wird am Ausgang des Tiefpasses ein Dreieck, jedoch mit sehr kleiner Amplitude. in Tiepaß wirkt als Integrator. Übertragung einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen beim Tiefpaß 6 6 6 A? D A? B C A =? D @ A H > A HH= C C @ H? D A A 6 A BF = ) > D C C A L @ A H 1 F I B C A BHA G A
UniversitätPOsnabrück Vorlesung lektronik Dr. W. Bodenberger 5 Zusammenhang zwischen der Anstiegszeit τ A und der Zeitkonstanten T = RC beim Tiefpaß ' ) Die Antwortfunktion u 2 (t) auf den inheitsprung beim t Tiefpaß ist: u 2 (t)=u 0 (1 e RC ). Wie nebenstehend dargestellt. Aus der Definition der Anstiegszeit τ A mit t 2 (90%U 0 ) -t 1 (10%U 0 ) =t 2 t 1 erhält man beim insetzen der Zeiten in die Antwortfunktion u 2 t (t): u 1 (t 1 ) =0,1U 0 =U 0 (1 e 1 t RC ) Daraus ergibt sich 0,1 U 0 =U 0 (1 e 1 t RC ) oder 0,1 = (1 e 1 RC t ) 0,9 = e 1 RC Logarithmiert man diese Gleichung und löst nach t 1 auf so ergibt sich, daß t 1 = RC ln (0,9). Analog erhält man für die Zeit t 2 =-RCln(0,1) Mit der Definition der Anstiegszeit τ A = t 2 t 1 = RC ln(0,1)+rc ln(0,9) τ A = RC ln( 0,9 ) 2,2 RC 0,1