Tutorium: Analysis und lineare Algebra Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 1)
Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2
Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit 3
Konvergenz Definition der Konvergenz Eine Folge (a n ) n2n reeller Zahlen konvergiert gegen eine reelle Zahl a, wennesfäur jede reelle Zahl ">0einN 2 N gibt, so dass ja n aj <"fäur alle n N gilt. Eine Folge (a n ) n2n konvergiert uneigentlich gegen 1, wennesfäur jede reelle Zahl r>0einn 2 N gibt, so dass a n >rfäur alle n N gilt. 4
Konvergenz Definition der Konvergenz II Graphische Veranschaulichung: 5
Konvergenz Definition der Konvergenz III Aufgabe Finde einen Grenzwert fäur die Folge (a n ) n2n mit a n = 3n2 7n 2 5 und beweise mithilfe der De nition der Konvergenz, dass es sich bei dem gefundenen Wert tatsäachlich um den Grenzwert handelt. 6
Konvergenz Cauchysches Konvergenzkriterium Eine Folge (a n ) n2n ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ">0einN 2 N existiert, so dass ja n a m j " fäur alle n; m N gilt. 7
Konvergenz Satz über monotone, beschränkte Folgen I Eine Folge (a n ) n2n reeller Zahlen hei¼t monoton steigend, falls a n a n+1 fäur alle n 2 N gilt. Entsprechend de niert man monoton fallend. Eine Folge hei¼t monoton, falls sie monoton steigend oder monoton fallend ist. Eine Folge (a n ) n2n reeller Zahlen hei¼t beschräankt, falls die Menge ihrer Folgenglieder beschräankt ist (d.h., falls die Menge M = fa n : n 2 Ng beschräankt ist). Jede monotone und beschräankte Folge ist konvergent. 8
Konvergenz Satz über monotone, beschränkte Folgen II Aufgabe Zeige mithilfe des Satzes Äuber monotone, beschräankte Folgen, dass die Folge (a n ) n2n konvergiert. a 1 = 1 ³ an a n+1 = 2 2 +1 9
Stetigkeit Definition der Stetigkeit I Es sei f eine reelle Funktion und x 0 2 D(f). f hei¼t stetig an der Stelle x 0,wennfÄur jede Folge (x n ) n2n mit x n 2 D(f) und lim n!1 x n = x 0 gilt: lim n!1 f(x n)=f(x 0 ) Die Funktion f hei¼t stetig auf X (fäur X μ D(f)), falls f stetig an jeder Stelle x 0 2 X ist. 10
Stetigkeit Definition der Stetigkeit II Beispiel einer unstetigen Funktion: 11
Stetigkeit Definition der Stetigkeit III FÄur jede stetige Funktion muss fäur alle x 0 2 D(f) insbesondere diefolgendeeigenschaftgelten: ³ ³ lim x n!x 0 f(x n ) = f(x 0 )= lim x n!x + 0 f(x n ) : 12
Stetigkeit Definition der Stetigkeit IV Die NacheinanderausfÄuhrung zweier stetiger Funktionen ergibt wieder eine stetige Funktion. Die NacheinanderausfÄuhrung zweier unstetiger Funktionen ergibt nicht zwangsweise wieder eine unstetige Funktion. 13
Stetigkeit Definition der Stetigkeit V Aufgabe Die Funktionen f : R! R und g : R! R seien de niert durch 8 μ < 1 x cos,fäur x 6= 0; f(x) = x : 0, fäur x =0; 8 μ < 1 sin,fäur x 6= 0; g(x) = x : 0, fäur x =0: An welchen Stellen ist f stetig, an welchen Stellen ist f unstetig? BegrÄunde deine Antwort. Analog fäur g. 14
Stetigkeit ε,δ-definition der Stetigkeit Es sei f eine reelle Funktion und x 0 2 D(f). f hei¼t stetig an der Stelle x 0,wennesfÄur jedes ">0ein±>0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) <" fäur alle x 2 D(f) gilt,diejx x 0 j <±erfäullen. 15
Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit I DiereelleFunktionf hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert μ f(xn ) f(x 0 ) lim x n!x 0 x n x 0 existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. f hei¼t di erenzierbar auf X μ D(f), wenn f an jeder Stelle x 0 2 X di erenzierbar ist Zu f läasst sich eine Funktion f 0 mit D(f 0 ) = x 0 2 D(f) : f 0 (x 0 )exisitiert ª de nieren, indem man jedem x 0 den Wert f 0 (x 0 )zuordnet. DieFunktionf 0 nennt man die Ableitung von f. 16
Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit II Oftmals wird auch folgende De nition der Di erenzierbarkeit verwendet: Die reelle Funktion f hei¼t di erenzierbar an der Stelle x 0 2 D(f), wenn der Grenzwert μ μ f(x0 + h) f(x 0 ) f(x0 + h) f(x 0 ) lim =lim h!0 (x 0 + h) x 0 h!0 h existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit f 0 (x 0 ) und nennen ihn Ableitung von f an der Stelle x 0. 17
Differenzierbarkeit Definition der Differenzierbarkeit III Aufgabe Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 2x 2 5x +7. Benutze dafäur lediglich die De nition der Di erenzierbarkeit. 18
Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit I Jede di erenzierbare Funktion ist stetig. Im Gegenzug ist aber nicht jede stetige Funktion auch differenzierbar. 19
Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit II Betragsfunktion: f(x) =jxj Sei x n = 1 n.dannist lim n!1 f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 Sei x n = 1 n.dannist lim n!1 f(x n ) f(x 0 ) x n x 0 = lim n!1 = lim n!1 1 0+ n 0 0+ 1 n 0 =1: 0 1 n 0 0 1 n 0 = 1: Es existiert also fäur x 0 = 0 kein Grenzwert. Somit ist f in x 0 nicht di erenzierbar, obwohl es an dieser Stelle stetig ist (vgl. Vorlesung und Ä Ubungen). 20
Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit III Aufgabe Entscheide, ob die folgende Funktion f : R! R an der Stelle x 0 = 5 di erenzierbar ist: f(x) = 2x 10 3 21
Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit IV Frage Gibt es stetige Funktionen, die fast nirgends di erenzierbar sind? 22
Differenzierbarkeit Stetigkeit und Differenzierbarkeit V 23
Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit I Eine Funktion f hei¼t stetig di erenzierbar, wenn ihre Ableitung f 0 fäur alle x 2 D(f) stetigist. 24
Differenzierbarkeit Stetige Differenzierbarkeit II f(x) = x 2 1 cos ;x6= 0 x 0 ;x=0 Ist in jedem Punkt inkl. x 0 =0stetig. f 0 (x) = 1 2x cos x +sin 1 ;x6= 0 x 0 ;x=0 Ist in jedem Punkt au¼er x 0 =0stetig. 25
Die Regeln von de l Hospital 26
Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital I Der Typ 0 0 Es sei I ein Intervall und x 0 2 I. Die Funktionen f und g seien fäur alle x 2 I mit x 6= x 0 di erenzierbar. Es gelte g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 fäur alle x 2 I, x 6= x 0. Ferner sei lim f(x) = lim g(x) =0. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: lim x!x 0 μ f(x) g(x) = lim x!x 0 μ f 0 (x) ; g 0 (x) falls der rechte Grenzwert existiert bzw. gleich +1 oder 1 ist. Analog fäur x!1. 27
Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital II Der Typ 1 1 Es sei I ein Intervall und x 0 2 I. Die Funktionen f und g seien fäur alle x 2 I mit x 6= x 0 di erenzierbar. Es gelte g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 fäur alle x 2 I, x 6= x 0. Ferner sei lim f(x) = lim g(x) = 1. x!x 0 x!x 0 Dann gilt: μ f(x) lim x!x 0 g(x) μ f 0 (x) = lim ; x!x 0 g 0 (x) falls der rechte Grenzwert existiert bzw. gleich +1 oder 1 ist. Analog fäur x!1. 28
Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital III Der Typ 0 1 Es seien lim x!x 0 f(x) = 0 und lim x!x 0 g(x) = 1. Dann gilt: ³ lim f(x) g(x) x!x 0 = lim x!x 0 Ã! f(x) 1 g(x) = lim x!x 0 Ã! g(x) 1 : f(x) 29
Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital IV Der Typ 1 1 Es sei lim x!x 0 f(x) = lim x!x 0 g(x) = 1. Dann gilt: ³ lim f(x) g(x) x!x 0 = lim x!x 0 Ã 1 g(x) 1 f(x) 1 f(x)g(x)! : 30
Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital V Die Typen 0 0,1 1 und 1 0 ² Typ 0 0 : Es seien lim x!x 0 f(x) =0und lim x!x 0 g(x) =0. ² Typ 1 1 : Es seien lim x!x 0 f(x) =1und lim x!x 0 g(x) = 1. ² Typ 1 0 : Es seien lim x!x 0 f(x) = 1 und lim x!x 0 g(x) =0. Dann gilt: ³ g(x) ³ g(x) ln lim f(x) = lim e f(x) x!x 0 x!x 0 = e lim g(x) ln f(x) x!x 0 31
Die Regeln von de l Hospital Die Regeln von de l Hospital VI Aufgabe Bestimme die folgenden Grenzwerte: ³ ² lim x 1 x x!1 μ 1 ² lim x!0 ln (x +1) 1 x μ 2 x 1 ² lim x!0 3x 2 32
Komplexe Zahlen 33
Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen I Es sei z = a + ib 2 C. Dann hei¼t ² a Realteil von z (Bezeichnung: a =Rez oder a = <z); ² b ImaginÄarteil von z (Bezeichnung: b =Imz oder b = =z); ² jzj = p a 2 + b 2 absoluter Betrag von z; ² z = a ib konjugiert komplexe Zahl zu z. 34
Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen II 35
Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen I Addition & Subtraktion Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 + z 2 = ³a 1 + a 2 + i ³b 1 + b 2 ; z 1 z 2 = ³a 1 a 2 + i ³b 1 b 2 : 36
Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen II Multiplikation & Division Es seien z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2.Dannist z 1 z 2 = ³a 1 a 2 b 1 b 2 + i ³a 1 b 2 + a 2 b 1 ; z 1 z 2 = μ a1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + + i b2 2 μ a2 b 1 a 1 b 2 a 2 2 + : b2 2 37
Komplexe Zahlen Polarkoordinatendarstellung I Komplexe Zahlen käonnen alternativ auch mit Hilfe der folgenden Polarkoordinatendarstellung angegeben werden: z = r ³cos ' + i sin ' : Die Bezeichnungen sind bei dieser Darstellung wie folgt: ² r: Betrag von z; ² ': Argument von z. 38
Komplexe Zahlen Polarkoordinatendarstellung II Es seien z 1 = r 1 (cos ' 1 + i sin ' 1 )undz 2 = r 2 (cos ' 2 + i sin ' 2 ). Dann gilt: z 1 z 2 = r 1 r 2 ³ cos ' 1 + ' 2 + i sin '1 + ' 2 ; z 1 z 2 = r 1 r 2 ³ cos ' 1 ' 2 + i sin '1 ' 2 : 39
Komplexe Zahlen Umrechnung Zu einer gegebenen komplexen Zahl z 2 C mit z = a + ib ist die Polarkoordinatendarstellung ³ z = r cos (')+isin (') ; wobei sich r und ' wie folgt berechnen lassen: r = p a 2 + b 2 ' = 8 ³ a >< arccos r ³ >: a 2¼ arccos r,fäur b 0,fÄur b<0 40
Komplexe Zahlen Die komplexe Exponentialfunktion Eine weitere MÄoglichkeit zur Darstellung komplexer Zahlen ergibt sich durch die Verwendung der komplexen Exponentialfunktion: r ³cos ' + i sin ' = r e i' 41
Integration von Funktionen mit zwei Variablen 42
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel I Halbkugel, angenäahert durch 5 5SÄaulen 43
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel II Halbkugel, angenäahert durch 10 10 SÄaulen 44
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel III Halbkugel, angenäahert durch 25 25 SÄaulen 45
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Einführungsbeispiel IV Halbkugel, angenäahert durch 100 100 SÄaulen 46
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens I Oftmals interessiert uns das von der Grund Äache G, der Funktion f(x; y) sowie den senkrechten SeitenwÄanden eingeschlossene Volumen. Dieses kann ZZ mithilfe des Doppelintegrals f(x; y) d(x; y) berechnet werden. G 47
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens II y Die Integrationsgrenzen werden durch die Grund Äache G bestimmt: 0 1 Z x 2 Z' 2 @ f(x; y) dya dx x 1 ' 1 ' 2 ' 1 x 1 x 2 x 48
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens III Spezialfall: ' 1 und ' 2 sind konstante Funktionen. In diesem Fall kann das Integral auf zwei Arten bestimmt werden: 0 1 Z x 2 @ Z y 2 f(x; y) dya dx y 2 y ' 2 x 1 y 1 Z y 2 0 @ Z x 2 y 1 x 1 1 f(x; y) dxa dy y 1 ' 1 x 1 x 2 x 49
Integrieren von Funktionen mit zwei Variablen Berechnung eines Volumens IV Aufgabe: Bestimme ZZ f(x; y) d(x; y) fäur y G f(x; y) =(x +1) 2 y G sei gegeben durch die Punkte (1; 1), (3; 1) und (5; 5). 1 1 x 50
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen 51
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Einführung Beispielfunktion: f(x; y) =cos p x sin (y) 52
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmung des Gradienten I ZunÄachst werden die stationäaren Stellen der Funktion bestimmt: Dazu wird der Gradient grad ³f x 1 ;x 2 ;:::;x n gebildet und gleich 0 gesetzt. grad ³f ³ x 1 ;x 2 ;:::;x n = df dx 1 ; df df dx 2 ;:::; dx n = ³ 0; 0;:::;0 53
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmung des Gradienten II Dies läasst sich auch als Gleichungssystem schreiben: df dx 1 (x) = 0 df dx 2 (x) = 0. df dx n (x) = 0: Die LÄosungen x (i) dieses Gleichungssystem sind die gesuchten stationäaren Stellen. 54
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Aufstellen der Hesse-Matrix I Anschlie¼end werden die Hesse-Matrizen H i wie folgt erstellt: 2 df dx x (i) df 2 1 dx 1 dx 2 x (i) df dx 1 dx n x (i) 3 df dx 2 dx 1 x (i) df dx x (i) df 2 2 dx 2 dx n x (i) H i =. 6..... 7 4 df dx n dx 1 x (i) df dx n dx 2 x (i) 5 x (i) df dx 2 n 55
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Aufstellen der Hesse-Matrix II Abschlie¼end muss die De nitheit der Hesse-Matrizen bestimmt werden, um die Art des Extremums zu ermitteln. Dazu werden zunäachst die Abschnittsdeterminanten 1, 2, :::, n bestimmt: ² Sind alle i > 0(i 2f1;:::;ng), so ist die Matrix positiv de nit und es liegt ein Minimum vor. ² Haben die i ein alternierendes Vorzeichen, beginnend mit \-", ist die Matrix negativ de nit und es liegt ein Maximum vor. Formal ausgedräuckt: 2m+1 < 0und 2m > 0mit m 2 N. 56
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Aufstellen der Hesse-Matrix III Ist die Matrix weder positiv noch negativ de nit, kann ohne weitere Untersuchung keine genaue Aussage getro en werden. Dazu wird z.b. die Bilinearform b Hi benutzt. Diese ist folgenderma¼en de niert: b Hi (x; y) =x H i y T Gibt es nun Vektoren x und y, so dass b Hi (x; x) > 0 und b Hi (y;y) < 0, so ist die Matrix inde nit und es liegt kein Extremum vor. 57
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Aufgabe Aufgabe Bestimme die Extremstellen von f(x; y) = 6xy + x 2 +2y 3. 58
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Einführung Dieses Verfahren funktioniert im Wesentlichen analog zum Verfahren fäur Funktionen ohne Nebenbedingungen. 59
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Lagrange-Gleichung Zu Beginn werden die Nebenbedingungen nach folgendem Schema umgeformt: = 1 x 1 + + n x n g(x 1 ;:::;x n ) = 1 x 1 + + n x n Anschlie¼end wird die Lagrange-Gleichung aufgestellt: L(x 1 ;x 2 ;:::;x n ; 1;:::; m) = f(x 1 ;:::;x n ) + 1 g 1 (x 1 ;:::;x n )+ + m g m (x 1 ;:::;x n ) 60
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmung des Gradienten I ZunÄachst werden die stationäaren Stellen ³ der Funktion bestimmt: Dazu wird der Gradient grad f x 1 ;x 2 ;:::;x n ; 1;:::; m gebildet und gleich 0 gesetzt. grad L x 1 ;x 2 ;:::;x n ; 1;:::; m = dl dx 1 ; dl dx 2 ;:::; dl dx n ; dl ;:::; d 1 dl d m = (0; 0;:::;0) 61
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmung des Gradienten II Dies läasst sich auch als Gleichungssystem schreiben: dl dx 1 (x) = 0 dl dx 2 (x) = 0. dl dx n (x) = 0 dl d 1 (x) = 0. dl d m (x) = 0: Die LÄosungen x (i) dieses Gleichungssystem sind die gesuchten stationäaren Stellen. 62
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Aufstellen der geränderten Hesse-Matrix Anschlie¼end werden die geräanderten Hesse-Matrizen H i erstellt: H i = 2 6 4 dg 0 0 m dx 1 x (i) dg m dx n x (i) 3................ dg 0 0 1 dx 1 x (i) dg 1 dx n x (i) dg 1 dx 1 x (i) dl dx x (i) dl 2 1 dx 1 dx n x (i).......... 7 dg 1 dx n x (i) dl dx n dx 1 x (i) 5 x (i) dg m dx 1 x (i) dg m dx n x (i) dl dx 2 n 63
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Bestimmen der Determinante Wir betrachten im Folgenden nur den Fall einer Funktion mit zwei Variablen und einer Nebenbedingung: ² det(h i ) < 0, so liegt ein Minimum vor. ² Ist det(h i ) > 0, so liegt ein Maximum vor. ² Ist det(h i )=0,sokannkeine Aussage getro en werden. 64
Ableiten von Funktionen mit mehreren Variablen Aufgabe Aufgabe Bestimme die Extremstellen von f(x; y) = 6xy + x 2 +2y 2 unter der Nebenbedingung x + y 2=0. 65