. Grundbegri e Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn ein! A eintritt. ist auch das sichere Ereignis, ; das unmögliche Ereignis. B Operationen mit Ereignissen A; B; A ; A ; : : : A [ B Ereignis A oder B tritt ein A \ B Ereignisse A und B treten ein AnB Ereignis A tritt ein, nicht aber B S n i= A i = A [ A [ : : : [ A n mindestens eines der Ereignisse A i tritt ein T n i= A i = A \ A \ : : : \ A n alle A i treten ein na = A das zu A komplementäre Ereignis; tritt ein, wenn A nicht eintritt. A \ B = ; bedeutet, dass die Ereignisse A und B unvereinbar sind. Axiome nach Kolmogorov: P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses, falls () für alle Ereignisse A gilt: 0 P (A). Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und. () P () = : (3) Für unvereinbare Ereignisse A ; A ; : : : ; A n, d.h. A i \ A j = ; für i 6= j, gilt: P! n[ A i = i= nx P (A i ). i= Dies gilt auch für unendlich viele Ereignisse n =. B Daraus lassen sich weitere Formeln ableiten: (4) P (;) = 0 (5) Falls A \ B = ; erfüllt ist, =) P (A [ B) = P (A) + P (B) (6) P ( A) = P (A) (7) P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) = P (A \ B) + P ( A \ B) + P (A \ B) (8) P (A) = P (A \ B) + P (A \ B)
B Vierfeldertafel: B B A P (A \ B) P (A \ B) P (A) A P ( A \ B) P ( A \ B) P ( A) P (B) P ( B) Zeilensummen bzw. Spaltensummen nach (8), unterste Zeile und letzte Spalte nach (6) Modell gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse (Laplace-Modell) bestehe aus den Elementarereignissen! ; : : : ;! n mit P (! i ) = n : Die Menge A enthalte m verschiedene Elementarereignisse! Wahrscheinlichkeit: P (A) = m n P (A) = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Definition: Es seien A; B Ereignisse mit P (B) > 0. Dann heißt P (A j B) = P (A \ B) P (B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Formeln: P ( A j C) = P (A j C) P (A j C) = P (A \ B j C) + P (A \ B j C) Definition: Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P (A \ B) = P (A)P (B): B Die Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn P (A j B) = P (A):
Die Bayessche Formel Gegeben seien Ereignisse A; B; P (A) > 0; P (B) > 0. Formel der totalen Wahrscheinlichkeit P (A) = P (A j B) P (B) + P (A j B) P ( B) P (B j A) = P (A j B)P (B) P (A) B Gegeben seien Ereignisse A; B ; : : : ; B n, P (A) > 0; P (B i ) > 0. Die B i bilden ein vollständiges System von Ereignissen: = S n i= B i, B i \ B j = ; für i 6= j, d.h. die B i sind unvereinbar und schöpfen alle Möglichkeiten in aus. Das bedeutet, dass immer genau ein B i eintritt. Formel der totalen Wahrscheinlichkeit P (A) = nx P (A j B i )P (B i ) i= Bayessche Formel P (B i j A) = P (A j B i)p (B i ) P (A) = P (A j B i)p (B i ) nx P (A j B j )P (B j ) j= 3
. Zufallsgrößen Diskrete Zufallsgrößen Verteilungstabelle: Wert x x : : : x r Wahrscheinlichkeit p p p r evtl. unendlich viele Werte p i = P (X = x i ) Bedingungen: 0 < p i < ; B Wahrscheinlichkeiten im Fall x i = i: X p i = P (m X n) = X i i:mx i n Diskrete Verteilungen Gleichverteilung auf f; ; : : : ; ng p i p i = n (i = ; : : : ; n): Poisson-Verteilung mit Parameter Binomialverteilung mit Parameter n; p p i = p i = i i! e (i = 0; ; : : :) n p i ( p) n i (i = 0; : : : ; n) i Kenngrößen diskreter Verteilungen Erwartungswert: Varianz (Streuung): E (X) = rx x i p i i= Var (X) = rx (x i E (X)) p i = i= 4 rx x i p i (E (X)) i=
Standardabweichung: (X) = p Var (X) Kenngrößen spezieller diskreter Verteilungen Gleichverteilung Binomialverteilung E (X) = n + ; Var (X) = n E (X) = np; Var (X) = np( p) Poissonverteilung E (X) = ; Var (X) = Stetige Zufallsgrößen B Verteilungsfunktion: F (x) = P (X x) f(x) = F 0 (x) Die Funktion f(x) heißt Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) der Zufallsgröße.=) P (a X b) = P (X a) = P (X b) = Z a Z b Z b a f(x) dx = F (b) f(x) dx = F (a) f(x) dx = F (b) F (a) B Eine Funktion f(x) ist Dichte einer Zufallsgröße, falls ) f(x) 0, ) Z f(x) dx = : Stetige Verteilungen Normalverteilung mit Parameter ;, Symbol N (; ) (x ) f(x) = p exp x F (x) = 5
N (0; ) ist die standardisierte Normalverteilung (x) ist Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung Beachte: ( x) = (x); (0) = 0:5 B Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung: X N (; ) b P (X b) = b P (a X b) = a ; P (X a) = a ; ; Satz: Ist X N (; ), dann Y = ax + b N (a + b; a ): stetige Gleichverteilung auf [a; b] f(x) = F (x) = ( für a x b b a 0 für x < a oder x > b: 8 >< 0 für x < a x a für a x b b a >: für x > b: Exponentialverteilung mit Parameter f(x) = F (x) = ( ( e x für x 0 0 für x < 0: e x für x 0 0 für x < 0: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung: X bin(n; p) P (k X l)! l np + 0:5 p np( p)! k np 0:5 p np( p) Kenngrößen stetiger Verteilungen Erwartungswert: E(X) = Z xf(x) dx 6
Varianz: Var(X) = = Z Z (x E(X)) f(x) dx x f(x) dx (E(X)) Standardabweichung: Schiefe: s Z (X) = (x E(X)) f(x) dx (X) = Z (x E(X)) 3 f(x) dx p (Var (X)) 3 Modalwert: Maximalstelle von f(x), Symbol mod(x) (X) > 0 bedeutet rechtsschiefe Verteilung, Modalwert liegt links neben E(X) (X) < 0 bedeutet linksschiefe Verteilung, Modalwert liegt rechts neben E(X) (X) = 0 symmetrische Verteilung Normalverteilung N (; ) Kenngrößen spezieller stetiger Verteilungen E(X) = ; Var(X) = ; (X) = ; (X) = 0 Exponentialverteilung Exp() E(X) = ; Var (X) = ; (X) = ; (X) = stetige Gleichverteilung auf [a; b] E(X) = a + b (b a) ; Var(X) = ; (X) = b p a ; (X) = 0 Definition: Eine Zahl q heißt Quantil der Ordnung der stetigen Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F, falls F (q ) = : Dies bedeutet: P (X q ) = Z q f(x) dx = : 7
Das Quantil m der Ordnung heißt Median: F (m) = : Quantile der Standard-Normalverteilung werden mit z() bezeichnet: (z()) = : Quantile der N (; )-Verteilung: q = + z() Unabhängige Zufallsgrößen Definition: Zwei Zufallsgrößen X und Y heißen unabhängig, falls gilt: P (X A; Y B) = P (X A) P (Y B) für alle geeigneten Mengen A; B R. Satz: Die Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsgrößen ist wieder normalverteilt. X N (a; ); Y N (b; ) unabhängig =) X + Y N (a + b; + ); rx N (ra; r ) Diskrete Zufallsvektoren Zufallsvektor (X; Y ), X nimmt Werte x ; : : : ; x r an Y nimmt Werte y ; : : : ; y s an Darstellung als Verteilungstabelle (Kreuztabelle): X... Y y y s x p p s p :.... x r p r p rs p r: p : p :s p ij = P (X = x i ; Y = y j ); p i: = P (X = x i ); p :j = P (Y = y j ) p : ; : : : ; p r: nennt man die Randverteilung von X, p : ; : : : ; p :s die Randverteilung von Y. 8
Es gilt: p i: = p i + : : : + p is (Zeilensumme) p :j = p j + : : : + p rj (Spaltensumme) rx sx p ij = i= j= Unabhängigkeit von X und Y bedeutet: p ij = p i: p :j für alle i; j X und Y sind abhängig, falls p ij 6= p i: p :j für ein Paar i; j B Abhängigkeitsmaßzweier Zufallsgrößen X und Y : Korrelationskoe zient = corr(x; Y ) = cov(x; Y ) p Var(X) Var(Y ) Kovarianz für diskrete Zufallsgrößen: cov(x; Y ) = rx sx x i y j p ij E(X)E(Y ) i= j= x i ; y j ; p ij aus Tabelle oben Interpretation: unkorreliert (praktisch unabhängig): = 0 schwache Abhängigkeit: jj 0:5 mittlere Abhängigkeit: 0:5 < jj 0:8 starke Abhängigkeit: jj > 0:8 9