MW-E Mathematikwettbeweb de Einfühungphae 9. Febua 04 Muteaufgaben zum Mathematikwettbeweb de Einfühungphae 04 am 9.0.04 Hinwei: eim Mathematikwettbeweb MW-E de Eingangtufe weden ufgaben zu uwahl angeboten, wobei von acht ufgaben fünf gewetet weden. Wuden meh al fünf ufgaben beabeitet, o weden die ufgaben mit den höchten Punktzahlen beückichtigt. e Löungweg mu jeweil kla ekennba ein. ie folgenden acht ufgaben ollen einen Einduck vemitteln, welche Kenntnie und Fähigkeiten beim Wettbeweb efodelich ind. Zugelaene Hilfmittel ind Tachenechne, Fomelammlung und Zeichengeäte (Zikel, Lineal und Geodeieck). ie Löungen zu den Muteaufgaben gibt e ab. Febua 04 unte http://www.z-f-m.de im eeich Pojekte MW-E.. a) Zeigen Sie, da die Punkte ( 3 ), ( 4 0) und ( 9) die Ecken eine echtwinkligen eieck ind. b) eechnen Sie die Fläche F und den Umkeiadiu R diee eieck. c) ehen Sie da eieck um 90 im Gegenuhzeigeinn um (0 0) nach ' ' '. etimmen Sie die Koodinaten von ', ' und '.. Wählen Sie zwei geade aufeinandefolgende Zahlen, zum eipiel 4 und 6. ddieen Sie die Kehwete: 4 + 6 = 5. 5 und ind die Katheten eine Pythagoäichen eieck, d.h. eine echtwinkligen eieck mit ganzzahligen Seitenlängen, denn e gilt 5 + = 3. a) Gilt die auch fü andee geade, aufeinandefolgende Zahlen? Übepüfen Sie diee ehauptung an dei weiteen eipielen. b) eweien Sie diee ehauptung. 3. Im Einheitquadat weden P auf und Q auf o gewählt, da P = Q it. x Q x Wie mu x := Q gewählt weden, damit die Fläche F ( x) de eieck PQ minimal it? F ( x) P iee Wettbeweb wid veantaltet von: in Koopeation mit: untetützt duch Seite /3 Heiche Kultuminiteium Spada-ank Heen eg
MW-E Mathematikwettbeweb de Einfühungphae 9. Febua 04 4. a) Welche eziehungen betehen zwichen den Winkeln a, b und g in den bbildungen (i) und (ii)? (i) g (ii) a b a b a g b b) In de bbildung it eine Stecke duch den Mittelpunkt M eine Keie mit Radiu. ei de Stecke duch it =. Sei M = 60. Wie goß it M? 60 M c) uf den Seiten de Einheitquadate weden E, F, G und H o gewählt, da HE = EF = FG = GH =. eechnen Sie die Seitenlänge de Quadate EFGH. H G E F 5. a) a Quadat und da eieck P liegen in zwei Ebenen, die enkecht aufeinande tehen. E ei P = 6, P = 8 und = 0. eechnen Sie P und den Koinu von P. 0 8 6 P b) ei einem Kei k auf eine Kugel (Radiu ) wede de uchmee d von k auf de Kugelobefläche gemeen tatt in de Ebene, in de k liegt. eechnen Sie den Umfang u von k und den uchmee d. Wie goß it u d? k d 60 iee Wettbeweb wid veantaltet von: in Koopeation mit: untetützt duch Seite /3 Heiche Kultuminiteium Spada-ank Heen eg
MW-E Mathematikwettbeweb de Einfühungphae 9. Febua 04 6. a) E ei f (x+)=x 4 x 3 x+. eechnen Sie f ( ). b) e Wendepunkt (0 0) de Kuve y=x 3 wid im Koodinatenytem nach ( ) vechoben. Welche Gleichung hat die vechobene Kuve? c) In einem eieck mit den Winkeln α,β und γ gilt coα= und inβ=. eechnen Sie co γ. 7. a) ei wie vielen deitelligen Zahlen ind alle dei Ziffen geade? b) ie beiden deitelligen Zahlen 47 und 40 haben die Eigenchaft, da die mittlee Ziffe da aithmetiche Mittel de eten und de letzten Ziffe it. Wie viele deitellige Zahlen abc mit b= a+c gibt e? c) Zwei Wüfel mit den ugenzahlen,,, 3, 3 und 4 bzw., 3, 4, 5, 6 und 8 weden gleichzeitig gewofen. Wie goß it die Wahcheinlichkeit, da die Summe de ugenzahlen 7 it? 4 3 3 3 4 5 6 8 8. a) ei Katzen und ein Kätzchen wiegen 4 Pfund. 4 ei Katzen und fünf Kätzchen wiegen 36 Pfund Wie viel wiegt eine Katze? Welche Gewicht hat ein Kätzchen? 36 b) uf eine Wippe eine Spielplatze itzen Pete und Paul; beide haben da gleiche Gewicht. Paula, die nu halb o chwe it, möchte mitwippen. Pete 3m 3m Paul Wie weit () müen Paul und Paula vom ngelpunkt itzen, damit die Wippe wiede im Gleichgewicht it? Pete 3m Paula und Paul iee Wettbeweb wid veantaltet von: in Koopeation mit: untetützt duch Seite 3/3 Heiche Kultuminiteium Spada-ank Heen eg
MW-E Mathematikwettbeweb de Einfühungphae Muteaufgaben - Löungen Löungen zu den Muteaufgaben zum Mathematikwettbeweb de Einfühungphae 04 am 9.0.04. a) Steigung von : 7. Steigung von : 7. Wegen 7 7 aufeinande = tehen und enkecht b) Länge von : 53 Länge von : 53 Fläche F = 53. Umkeiadiu R = = 06. c) ei diee ehung wid (a b) auf ( b a) abgebildet. lo it ' ( 3), ' (0 4) und ' ( 9 ).. a) + 3 = 4 3, 3 + 4 = 5. b) 6 + 8 = 7 4, 7 + 4 = 5. 8 + 0 = 9 40, 9 + 40 = 4. n + n+ = n+ n +n In den eipielen it die Hypotenue um göße al die längee Kathete. Wie man leicht ieht, gilt: (n+) +(n +n) = (n +n+). 3. F ( x) = x ( x) x ( x) = x x + x x. Löung: F ( x) = x x + = 7 6 + ( x 4) it minimal fü x = 4.. Löung: u F ' ( x) = x = 0 folgt x =. Wegen F '' (x) = liegt ein Minimum vo. 4 F ( x) x x iee Wettbeweb wid veantaltet von: in Koopeation mit: untetützt duch Seite /3 Heiche Kultuminiteium Spada-ank Heen eg
MW-E Mathematikwettbeweb de Einfühungphae Muteaufgaben - Löungen 4. a) (i) α+β = γ, (ii) γ = α+β b) ie eiecke M und M ind gleichchenklig. e ußenwinkel im eieck M it 3α = 60, alo α = 0. α α α α 60 M c) E gilt 3+ =, alo = 3+ = 3. 3 5. a) P = 6 +0 = 36 = 34. Wegen 8 +6 = 0 it Δ P echtwinklig. e Koinu von 90 it 0. b) e Radiu von k it, alo u = π. e uchmee it d = π 6 = π 3. lo it u d = 3. 6. a) f ( ) = f ( +) = ( ) 4 ( ) 3 ( )+ = 6+8++ = 7. b) y+=(x ) 3 bzw. y = (x ) 3 = x 3 3x +3x. c) u coα = folgt α = 60. u inβ = folgt β = 90. lo it γ = 30 und co γ = 3. iee Wettbeweb wid veantaltet von: in Koopeation mit: untetützt duch Seite /3 Heiche Kultuminiteium Spada-ank Heen eg
MW-E Mathematikwettbeweb de Einfühungphae Muteaufgaben - Löungen 7. a) E gibt fünf geade Ziffen (0,, 4, 6 und 8), wobei die ete Ziffe nicht 0 ein daf. lo gibt e 4 5 5 = 00 olche Zahlen. b) ie ete und die letzte Ziffe müen entwede beide geade ode ungeade ein. E gibt alo 4 5+5 5 = 45 olche Zahlen. c) E gibt 36 mögliche ufälle. Zu jede Zahl auf dem eten Wüfel gibt e genau eine Zahl auf dem zweiten Wüfel, o da die Summe 7 it. 6 lo it die Wahcheinlichkeit 36 = 6. 8. a) Seien K und k da Gewicht eine Katze bzw. eine Kätzchen. ann gilt 3 K +k = 4 und 3 K +5 k = 36. lo k = 3 und K = 7. b) Sei p da Gewicht von Pete bzw. Paul. ann gilt p 3= ( p+ p ), alo = (m). iee Wettbeweb wid veantaltet von: in Koopeation mit: untetützt duch Seite 3/3 Heiche Kultuminiteium Spada-ank Heen eg