Oberflächenintegrale

KAPITEL Oberflächenintegrale. Integration über Flächen im Raum.................. 36.2 Flächeninhalt.............................. 366.3 Oberflächenintegrale. und 2. Art.................. 369 Lernziele Parametrisierung von Flächen im Raum Flächeninhalt von Flächen im Raum Oberflächenintegrale. und 2. Art 36

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 36. Integration über Flächen im Raum Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Darstellung von Flächen im Raum:. explizite Darstellung als Graph z = f (x, y), was aber eigentlich heißt x F := y R 3 : z = f (x, y) bzw. z x F := y R 3 : (x, y) R 2, f (x, y) 2. implizite Darstellung als Niveaufläche f (x, y, z) = c = const, 3. Parameterdarstellung. Definition. Es sei D eine beschränkte, abgeschlossene Menge des R 2, und T : D R 3 eine einmals stetig differenzierbare Funkion (jede Komponente sei eine einmal stetig differenzierbare Funktion). Unter einem regulären Flächenstück versteht man die Abbildung T (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) T, (u, v) D auf D mit den Eigenschaften:. Für beliebige Punkte (u, v) (u, v ) aus D ist stets T (u, v) T (u, v ). (Die Abbildung Φ ist eineindeutig.) 2. T u (u, v) T v (u, v) für alle (u, v) D. (Die Tangentialvektoren sind allen Punkten (u, v) D linear unabhängig.) Die Situation ist ähnlich zum ebenen Fall, aber die Abbildung T bildet jetzt in den dreidimensionalen Raum ab: Die Parameter sind u und v, die

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 362 (Ober)Fläche schwebt im Raum und wird durch den Vektor T (u, v) = x(u, v) y(u, v) beschrieben, d.h. zu jedem (u, v) aus dem Definitionsbereich z(u, v) gibt es einen Punkt (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), der auf der Fläche liegt und umgekehrt. Als Beispiel für eine Oberfläche könnte man einen Teil einer Kugeloberfläche betrachten. Die Kugeloberfläche einer Kugel vom Radius 2 ist das Bild der Abbildung 2sin(u) sin(v) Φ(u, v) = 2sin(u) cos(v), 2cos(u) u [, π], v [,2π], dabei beschreibt u die Längenkreise vom Nordpol zum Südpol und die Breitenkreise durch v einmal rundherum. Abbildung.: Ausschnitt aus einer Kugeloberfläche Den Flächeninhalt eines Flächenstückens berechnet man dann näherungsweise durch den Flächeninhalt der von den Tangentialvektoren aufgespannten Fläche.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 363 Abbildung.2: Flächenstückchen Abbildung.3: Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts Bemerkung.2 Man nennt D auch den Parameterbereich und die Kurvenscharen T (u, v ), v = const, T (u, v), u = const, heißen Parameterlinien bzw. Koordinatenlinien. Die Tangentialvektoren sind x u (u, v) T u (u, v) = y u (u, v) z u (u, v) und T v (u, v) = x v (u, v) y v (u, v) z v (u, v) mit deren Hilfe sich die Flächennormale zu n = T u T v T u T v ergibt. Die von T u und T v aufgespannte Ebene durch den Flächenpunkt T (u, v ) ist die Tangentialebene mit der Parameterdarstellung: T (u, v ) + λ T u (u, v ) + T v (u, v ), λ, µ R.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 364 ( ) Für eine reguläre Kurve γ(t) = u(t) v(t), t t t, im Parameterbereich D ist das Bild T ( γ(t)) = T (u(t), v(t)) eine reguläre Flächenkurve, deren Tangentialvektor d T (u(t), v(t)) dt = Kettenregel T u u(t) + T v v(t) in der Tangentialebene durch T (u, v) liegt. Die Bogenlänge ergibt sich wegen s = t t d T dt dt T 2 = T T = ( T u u(t) + T v v(t) ) ( T u u(t) + T v v(t) ) aus den metrischen Fundamentalgrößen = T u T u u 2 + 2 T u T v u v + T v T u v 2 E := T u T u, F := T u T v und G := T v T u. Mit Hilfe der metrischen Fundamentalgrößen läßt sich auch T u T v berechnen (deshalb sind die metrischen Fundamentalgrößen eigentlich von Interesse). Aus der Identität a b 2 = a 2 b 2 sin 2 ( a, b) = a 2 b 2 ( cos 2 ( a, b) = = a 2 b 2 a 2 b 2 cos 2 ( a, b) = a 2 b 2 ( a b) 2 ist T u T v 2 = T u 2 T v 2 ( T u T v ) 2 = EG F 2.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 365 Beispiel.3 Bestimmung der metrischen Fundamentalgrößen für sphärische Koordinaten. z x(ψ, φ) = r sinψcosφ, y(ψ, φ) = r sinψsinφ, ψ y z(ψ, φ) = r cosψ, ψ π, φ 2π, φ r X und r ist der fest gewählte Radius der Kugeloberfläche, die Tangentialvektoren sind x ψ r cosψcosφ T ψ = y ψ = r cosψsinφ z ψ r sinψ x φ r sinψsinφ und T φ = y φ = r sinψcosφ z φ und die metrischen Fundamentalgrößen sind E := T ψ T ψ = r 2 cos 2 ψcos 2 φ + r 2 cos 2 ψsin 2 φ + r 2 sin 2 ψ = r 2, F := T ψ T φ = r 2 cosψcosφsinψsinφ + r 2 cosψsinφsinψcosφ =, G := T φ T ψ = r 2 sin 2 ψsin 2 φ + r 2 sin 2 ψcos 2 φ = r 2 sin 2 ψ. Beispiel.4 Bogenlänge (Länge) eines Kleinkreises auf einer Kugel mit dem Radius R.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 366 z r R y X Ein Großkreis hat immer den Mittelpunkt im Mittelpunkt der Kugel und damit den Radius R, der Kleinkreis verläuft auf der Kugeloberfläche, sein Mittelpunkt befindet sich aber nicht im Kugelmittelpunkt und folglich ist sein Radius r kleiner als R. Er hängt vom eingezeichneten Öffnungswinkel ab. Wir wollen die Länge (Bogenlänge) aber mit Hilfe der Fundamentalgrößen berechnen. Dazu benötigen wir eine Parameterkurve, die das Urbild des Kleinkreises ist. Offensichlich ist die Kugeloberfläche rotationssymmetrisch und wir können einen Kleinkreis wie ( im Bild ) angegeben betrachten. Er entsteht ψ(t) aus der ebenen Kurve γ(t) = mit ψ(t) = ψ und φ(t) = t, t 2π. φ(t) Dann ergibt sich die Bogenlänge = Länge des Kleinkreises zu 2π s = T 2π (ψ(t), φ(t)) dt = 2π =.2 Flächeninhalt E ψ 2 (t) + 2F ψ(t) φ(t) +G φ 2 (t)dt + + R 2 sin 2 ψ(t) 2 dt = 2πR sinψ. x(u, v) Sei T : R 2 R 2 R 3, T (u, v) = y(u, v), die Parameterdarstellung eines z(u, v) regulären Flächenstücks S. Ein kleines Teilstück S lässt sich näherungsweise darstellen als Parallelogramm O, das den Flächeninhalt O( O) = T u (u, v ) T v (u, v ) u v = EG F 2 u v

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 367 besitzt. Wird nun S durch ein Netz von Parameterlinien in n Teilstücke S, S 2, S n, zerlegt und jedes Teilstück S i durch das entsprechende Parallelogramm mit dem Flächeinhalt O i = T u (u i, v i ) T v (u i, v i ) u v approximiert, dann ergibt sich bei stets feiner werdender Teilung der Grenzwert lim n ( u) 2 + ( v) 2 den Flächeninhalt von S. n T u (u i, v i ) T v (u i, v i ) u v i= = T u (u, v) T v (u, v) du dv D Bemerkung.5 Der Flächeninhalt O(S) eines regulären Flächenstücks T : D R 3 ist O(S) = T u (u, v) T v (u, v) du dv = EG F 2 du dv D D mit den metrischen Fundamentalgrößen E, F und G. Das skalare Flächenelement (Oberflächenelement) ist do = T u (u, v) T v (u, v) du dv und das vektorielle Flächenelement (Oberflächenelement) ist d O = ( T u (u, v) T v (u, v))du dv.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 368 Beispiel.6 Oberfläche des Torus. Der Torus entsteht durch die Drehung des Kreises x = R + r sinψ, z = r cosψ, φ 2π, mit festem innerem und äußerem Radius r bzw. R, r < R, d.h. (R + r sinψ)cosφ T (ψ, φ) = (R + r sinψ)sinφ r cosψ mit den Tangentialvektoren r cosψcosφ T ψ (ψ, φ) = r cosψsinφ r sinψ und T φ (ψ, φ) = (R + r sinψ)sinφ (R + r sinψ)cosφ und den Fundamentalgrößen: Dann ist E = T ψ T ψ = r 2, F = T ψ T φ =, G = (R + r sinψ) 2. 2π 2π O(S) = r (R + r sinψ)dφdψ = r (R + r sinψ)dφdψ D 2π = 2πr R + r sinψdψ = 2πr (Rψ r cosψ) 2π = 4π2 r R.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 369.3 Oberflächenintegrale. und 2. Art Definition.7 Ist Φ : R 2 D R 3 eine Parameterdarstellung des regulären Flächenstücks S und f ein auf S stetiges Skalarenfeld, dann nennt man S f do := D = D f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) T u (u, v) T v (u, v) du dv f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG F 2 du dv das Oberflächenintegral. Art von f über S. Bemerkung.8 Berechnung des Oberflächenintegrals I = S f do.. Schritt: Die Parameterdarstellung und den Parameterbereich angeben T : D R 3, evtl. stückweise. 2. Schritt: Die Ableitungen T u und T v sowie das Oberflächenelement berechen. do := T u (u, v) T v (u, v) du dv = EG F 2 du dv 3. Eintragen und Ausrechnen.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 37 Beispiel.9 Das elektrostatische Potential U ( a) einer homogenen mit Dichte ρ geladenen Fläche S im Punkt a = (a x, a y, a z ) T S ist nach Coulomb U (a) = S ρ x a do = S ρ (x a x ) 2 + (y a y ) 2 + (z a z ) 2 do. Ist S der Kegelmantel x 2 + y 2 = z 2, z und a = (,,) T, so ergibt sich z t φ y x mit der Parameterdarstellung t cosφ Φ(t, φ) = t sinφ, t φ 2π, t, da für z = t die Gleichung sich als x 2 + y 2 = t 2 darstellen lässt, also einen cosφ t sinφ Kreis beschreibt, ist T t = sinφ und T φ = t cosφ die metrischen Fundamentalgrößen E = T t T t = 2, F = T t T φ = und G = T φ T φ = t 2 und das skalare Oberflächenelement do = EG F 2 dt dφ = 2 t, (da t ) und das elektrostatische Potential berechnet sich zu 2π U ( a) = ρ 2 t dφdt = 2 2ρ π t 2 + (t ) 2 t 2t 2 2t + dt

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 37 = 2 2ρ π 4 2 2 = ρ π 2 4(t 2 ) dt + 2 2ρ π t 2 t + 2 2 2 = (ρ π) 2 = ρ π( 2 2) + ρ π 2dτ = ρ π arsinh(2τ) (2τ) 2 + t 2 t + 2 (t 2 )2 + 4 2 2 + ρ π 2 dt = ρ π 2 = ρ πln (2τ + t 2 t + 2 t 2 t + 2 dt dt dτ τ 2 + 4 (2τ) 2 + ) ( = ρ π ln( + 2) ln( + ) 2) = ρ πln + 2 = ρ π ln(3 + 2). 2 2 2 Definition. Ist S ein durch die Parameterdarstellung T : R 2 D R 3 gegebenes T reguläres Flächenstück mit der Normalenrichtung n = u T v T u T v in jedem Flächenpunkt und v ein auf S stetiges Vektorfeld, dann nennt man das Flächenintegral der saklaren Normalkomponente v n, also S v d O := [ v, T u, T v ]du dv = ( v n)do S S Oberflächenintegral 2. Art bzw. Fluß von v durch S. Bemerkung. Das Spatprodukt [ v, T u, T v ] berechnet sich aus der Determinante von v, T u und T v wie folgt [ v, T u, T v ] = det v x u x v v 2 y u y v v 3 z u z v.

KAPITEL. OBERFLÄCHENINTEGRALE 372 Bemerkung.2 (Abschliessende Bemerkungen zu Mehrfachintegralen) Ein Integral ist ein mathematischer Begriff, der auf verschiedene Situationen angewandt werden kann. Die Bausteine eines Integrals sind der Integrationsbereich, die Funktion über die integriert wird und das Differenzial. Insbesondere das Differenzial bleibt mystisch. Vorstellen kann man sich ein Integral als Summe kleiner Stückchen (Cavalieri nannte sie invisibles ), die mit der Funktion f gewichtet werden. Je nach dem, was zu berechnen ist, sind die kleinen Stückchen Längenstückchen, Flächenstückchen oder Volumenstückchen. Für Geraden, Parallelogramme, Spate (Parallelepipede) können wir problemlos Länge, Fläche bzw. Volumen berechnen. Bei krummlinigen Kurven, Flächen, Volumina funktioniert das nicht. Da wir aber nur kleine Stückchen betrachten genügt es die Länge, Fläche, das Volumen näherungsweise über die Tangentialvektoren zu bestimmen. Gerechtfertigt wird das zum einen durch die Taylorformel und zum anderen durch den Übergang von Differenzen zu Differentialen (nach Leibniz). Daraus ergibt sich die folgende Vorgehensweise: Man braucht eine Beschreibung der Kurve, der Fläche, des Volumens = eine Parametrisierung. Wird der Parameterbereich, bei einer Kurve ein Intervall, bei einer Fläche eine Rechteck, bei einem Volumen ein Quader, durchlaufen, dann erzeugt die Abbildung die Kurve, Fläche oder das Volumen. Näherungsweise ergibt sich nun die Länge als die Länge/Betrag des Tangentialvektors, die Fläche als der Betrag des Vektorprodukts der Tangentialvektoren und das Volumen als der Betrag des Spatprodukts der Tangentialvektoren. Die Summe aller kleinen Stückchen ergibt das Integral. Zu integrieren ist über den Parameterbereich, in die Funktion f ist die Parametrisierung einzusetzen und die Länge, die Fläche bzw. das Volumen der kleinen Stückchen multipliziert mit den Differentialen des Parameterbereichs. Auf diese Weise erhält man alle integrale die die skalare Integrationselemente haben, die vektoriellen Gegenstücke ergeben sich aus den Größen selbst (Betrag weglassen) und sind damit von der Orientierung abhängig.