V55 5..5 ****** Motivation Dieser sehr schöne Versuch zeigt, dass die Projektion einer Kreisbewegung eine Sinusbewegung ergibt. Damit deckt sie sich mit einer simutanen Pendebewegung derseben Frequenz. Theorie. Fadenpende z x ϕ S F s m F mg Abbidung : Mathematisches Pende. Wir betrachten einen Massenpunkt der Masse m, wecher über einen masseosen Faden der Länge an einem Punkt drehbar aufgehängt ist. Reibungskräfte am Drehpunkt sowie Luftwiderstand vernachässigen wir. Damit wirken die Schwerkraft mg und die Seikraft S. Einen sochen ideaisierten Aufbau nennt man das mathematische Pende (siehe Abb.. Sei ϕ der Winke zwischen dem Faden und der Vertikaen. Zur Hereitung der Schwingungsgeichung wenden wir den Satz von Newton an: F = ma ( Die Seizugkraft S hebt die Wirkung der zur Bahn senkrechten Komponente F der Schwerkraft auf: S + F = ( Damit wird der Massenpunkt m vom Faden auf eine Kreisbahn mit Radius gezwungen, da die von der Schwerkraft verursachte Bescheunigung nur eine Komponente tangentia zu dieser Kreisbahn hat. Sei s die vom Tiefpunkt des Pendes aus gemessene Bogenänge, dann finden wir m d s = mg sin ϕ, (3 dt Physikdepartement ETH Zürich
V55 und, da die Bogenänge s = ϕ ist, m d ϕ = mg sin ϕ dt (4 d ϕ dt + g sin ϕ = (5 Für keine Ausenkungen git die Näherung sin ϕ ϕ, so dass man schiessich die Differentiageichung d ϕ dt + g ϕ = (6 erhät. Es fät auf, dass die Bewegung des Pendes unabhängig von der Masse m ist, die sich ja aus aus der Geichung herausgekürzt hat! Es handet sich hier um eine homogene ineare Differentiageichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Dies ist die Geichung des harmonischen Osziators: ϕ + ω ϕ = mit ω = g (7 Die agemeine Lösung autet: ϕ(t = C cos ωt + C sin ωt (8 Das Pende beschreibt aso eine harmonische Schwingung mit der Periode T = ω = g (9 Die Periode ist demnach unabhängig von der Masse des Pendes!. Kreispende Wir können die Kreisbewegung as eine zweidimensionae Bewegung betrachten. Wir wähen dafür ein Koordinatensystem. Siehe Abb.. Die Kreisbewegung der Kuge wird durch den Winke ϕ parametrisiert, und die Koordinaten der Kuge sind geich: ( x(t y(t = ( R cos ϕ(t R sin ϕ(t = ( R cos ωt R sin ωt wobei R der Radius des Kreises ist. Wei die Kuge mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Kreis umäuft, ist die Winkegeschwindigkeit konstant as Funktion der Zeit, so dass der Winke inear mit der Zeit zunimmt: ( ϕ(t = ωt ( Um die Bewegung des Pendes zu beschreiben, müssen wir die Projektion der Kreisbewegung betrachten. Wir werden z.b. die Projektion der umaufenden Kuge auf die y-achse betrachten: Physikdepartement ETH Zürich
V55 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 8 99 y sin ωt Lichtquee ϕ x 5 ωt ω - Abbidung Abbidung : Die 9.5: Pendebewegung Die Pendebewegung ist geich ist dergeich Projektion der Projektion einer Kreisbewegung. einer Kreisbewe- sich mit Einkonstanter Punkt bewegt Geschwindigkeit sich mit konstanter auf dem Kreis Geschwindigkeit mit Radius. auf dem Kreis Ein Punkt bewegtgung. mit Radius. y(t = R sin ϕ(t = R sin ωt ( wobei R der Radius des Kreises ist. Wei die Kuge mit konstanter Geschwindigkeit auf daraus: dem Kreis umäuft, ist die Winkegeschwindigkeit konstant as Funk- Wir schiessen tion der Zeit, so dass der Winke inear mit der Zeit zunimmt: Die Masse des Pendes bewegt sich in der Projektion auf eine Achse sinusförmig um ihre Geichgewichtsage: ϕ(t = ωt (9.3 y(t = A sin (ωt + δ (3 wobeium A die dieampitude, Bewegung des ω die Pendes Kreisfrequenz zu beschreiben, und δ die müssen Phasewir ist die (Siehe Projektion Abb. 3. der Offensichtich Kreisbewegung ist das ebenfas betrachten. eine harmonische Wir werdenschwingung. z.b. die Projektion der umaufenden Kuge auf die y-achse betrachten: Wir bemerken schiessich, dass harmonische Bewegungen auch as Summe von Kosinus- und y(t = R sin ϕ(t = R sin ωt (9.33 Sinusfunktionen ausgedrückt werden können. Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 8 y sin ωt Wir schiessen daraus: Die Masse des Pendes bewegt sich in der Projektion auf eine Achse sinusförmig um ihre Geichgewichtsage: 5 ωt δ x y(t = δa sin (ωt + δ (9.34 wobei ω A die Ampitude, ω die Kreisfrequenz - und δ die Phase ist (Siehe Abb. 9.6. Offensichtich ist das ebenfas eine harmonische Schwingung. Wir Abbidung bemerken Abbidung 9.6: schiessich, Die 3: Die graphische dass harmonische DarsteungBewegungen der ursprüngichen auch as Phase. Summe von Kosinus- und Sinusfunktionen ausgedrückt werden können. Aus der Geichung fogt Physikdepartement ETH Zürich sin (α + β = sin α cos β + cos α sin β (9.35 x(t = A sin (ωt + δ = A sin ωt cos δ + A cos ωt sin δ 3 = (A cos δ sin ωt + (A sin δ cos ωt = B sin ωt + C cos ωt (9.36
V55 Pende Kreisbewegung Abbidung 4: Das Pende bewegt sich sinusfo rmig: Die Bewegung der aufgeha ngten Masse (Pende und die Projektion der Kuge auf die Wand werden vergichen. Aus der Geichung sin (α + β = sin α cos β + cos α sin β (4 fogt x(t = A sin (ωt + δ = A sin ωt cos δ + A cos ωt sin δ = (A cos δ sin ωt + (A sin δ cos ωt = B sin ωt + C cos ωt (5 wobei B = A cos δ and C = A sin δ neue Konstanten (d.h. Ampituden sind, die die urspru ngiche Phase enthaten. 3 Experiment Eine Pendekuge wird durch einen Eektromagneten in einer vorgegebenen Ausenkung festgehaten (siehe Abb. 4. Die Kreisbewegung einer zweiten Kuge unterbricht an einem vorgegeben Punkt den Versorgungsstrom des Magneten und o st damit die Pendebewegung der Pendekuge aus. Beide Kugen werden mit einer Lichtquee beeuchtet, so dass man ihre Bewegungen as Schattenriss auf der Ho rsaawand beobachten kann. Physikdepartement ETH Zu rich 4
V55 Experimente beobachten wir: Für keine Ausenkungen ist die Pendebewegung geich der Projektion einer Kreisbewegung. Physikdepartement ETH Zürich 5