Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung der inversen Matrix Die inverse Matrix A 1 zu einer Matrix A kann nur bestimmt werden, wenn die Determinante der Matrix A von Null verschieden ist. Im folgenden wird die inverse Matrix auf verschiedene Arten berechnet. 1.1 Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus Falls die Determinante einer Matrix den Wert Null ergibt, kann mit dem nachfolgend angegebenen Verfahren keine inverse Matrix bestimmt werden. Das Verfahren endet in diesem Fall z.b. mit einer Matrix, deren Zeilenvektoren linear abhängig sind. 3 3 Zu der Matrix A= 7 5 1 4 soll die inverse Matrix berechnet werden. Das folgende Schema wird für die Berechnung verwendet: 1
Abbildung 1: Schema zur Berechnung der inversen Matrix -3 3-1 0 0 7 5 0 4-0 0 1 1 7 5 0 4-0 0 1 * * 0-1 -7 1-7 -7 4-0 0 1 * 0-1 -7 1-7 0-6 -4 0-3 -4 0-1 -7 1-7 * 0 0-1 17-3 18-3 0-0 10-11 1 0 0-1 17-3 18 * 1 0 0 6-1 13/ 1/ 0-0 10-11 * 0 0-1 17-3 18 1 0 0 6-1 13/ 0 1 0-5 1-11/ 0 0 1-17 3-18 3 Die inverse Matrix zu 7 4 3 5 1 lautet 6 5 17 1 1 3 13 11 18
Detaillierte Beschreibung der verwendeten Umformungen. Beschreibung des Verfahrens zur Berechnung der inversen Matrix Die Einheitsmatrix wird rechts neben die Matrix geschrieben, die invertiert werden soll. Man erhält auf diese Weise eine Doppelmatrix. Ein Beispiel hierfür ist weiter unten angegeben. Ziel ist es, durch elementare Umformungen zu erreichen, dass am Ende die Einheitsmatrix auf der linken Seite der Doppelmatrix steht. Die inverse Matrix steht dann rechts neben der Einheitsmatrix. Folgende Umformungen sind möglich: (1) Multiplikation einer Zeile mit einer reellen Zahl, die von Null verschieden sein muss () Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile (3) Es ist auch erlaubt eine Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl zu multiplizieren und sie dann zu einer anderen Zeile zu addieren, die Zeile selbst aber unverändert stehen zu lassen. Beispiel Die folgende Matrix soll invertiert werden. 3 3 A = 7 5 1 4 Schritt 1: die Einheitsmatrix wird rechts neben die Matrix A geschrieben. 3 3 1 0 0 7 5 1 0 1 0 4 0 0 1 Addition der dritten Zeile zur ersten Zeile erzeugt eine Null an einer der gewünschten Stellen. 7 5 1 0 1 0 4 0 0 1 Multiplikation der ersten Zeile mit 7 und anschließende Addition zur zweiten Zeile erzeugt eine weitere Null. 0 1 7 1 7 4 0 0 1 Multiplikation der ersten Zeile mit 4 und Addition zur dritten Zeile. 0 1 7 1 7 0 6 4 0 3 Multiplikation der zweiten Zeile mit 3 und Addition zur dritten Zeile. 3
0 1 0 0 1 7 1 7 17 3 18 Addition der dritten Zeile zur zweiten Zeile. 0 0 10 11 0 0 1 17 3 18 Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 und anschließende Addition zur ersten Zeile. 1 0 0 6 1 13 0 0 10 11 0 0 1 17 3 18 Division der zweiten Zeile durch und Division der dritten Zeile durch 1. 1 0 0 13 6 1 0 1 0 5 1 11 0 0 1 17 3 18 Das Verfahren endet weil die inverse Matrix nun auf der linken Seite der Doppelmatrix steht. 13 6 1 Die inverse Matrix von A ist A 1 = 5 1 11 17 3 18 4
1. Bestimmung der adjunkten Matrix zu einer (3,3) Matrix Zu der Matrix A= a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 wird eine Matrix K bestimmt, deren Elemente folgendermaßen definiert sind: K ij = ( 1) i+j det(a ij ) Die Matrix A ij wird aus der Matrix A hergeleitet, indem die i.zeile und die j.spalte von A gestrichen wird. Beispiel: A 11 erhält man aus A indem die erste Zeile und die erste Spalte gestrichen wird. ( ) a a A 11 = 3 a 3 a 33 det(a 11 ) bezeichnet die Determinante der Matrix A 11. Das Matrix-Element K 11 wird folgendermaßen berechnet: ( 1) 1+1 det(a 11 ) = a a 33 a 3 a 3 Ende des Beispiels Die Matrix A adj = K T wird als adjunkte Matrix von A bezeichnet. K T ist die transponierte Matrix von K. Die transponierte Matrix K T erhält man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten der Matrix K. Mit der adjunkten Matrix A adj kann die inverse Matrix A 1 von A bestimmt werden, falls det A 0 ist A 1 = 1 det A A adj 1..1 Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix unter Verwendung der adjunkten Matrix 3 3 Sei A= 7 5 1 4 Berechnung der Matrix K ( ) 5 1 K 11 = ( 1) 1+1 det A 11 = det = 10 + = 1 ( ) 7 1 K 1 = ( 1) 1+ det A 1 = det = (14 4) = 10 4 5
( ) 7 5 K 13 = ( 1) 1+3 det A 13 = det = 14 0 = 34 4 ( ) 3 K 1 = ( 1) +1 det A 1 = det = (6 4) = ( ) 3 K = ( 1) + det A = det = 6 + 8 = 4 ( ) 3 3 K 3 = ( 1) +3 det A 3 = det = (6 1) = 6 4 ( ) 3 K 31 = ( 1) 3+1 det A 31 = det = 3 + 10 = 13 5 1 ( ) 3 K 3 = ( 1) 3+ det A 31 = det = ( 3 + 14) = 11 7 1 ( ) 3 3 K 33 = ( 1) 3+3 det A 31 = det = 15 1 = 36 7 5 Es folgt: 1 10 34 K= 6 13 11 36 1 13 K T = 10 11 34 6 36 Berechnung der Determinante von A: a 11 a 1 a 13 Für eine Matrix A = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 wird die Determinante det A folgendermaßen berechnet: det A = A = a 11 a a 33 + a 1 a 3 a 31 + a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3 3 3 Für A= 7 5 1 4 folgt: det A = ( 3) 5 + 3 1 4 + ( ) 7 ( ) 5 4 + ( 3) 7 + 3 1 ( ) = 30 + 1 + 8 + 40 4 6 = Ergebnis A 1 = 1 det A A adj 6
= 1 1 13 10 11 34 6 36 = 6 1 13 5 1 11 17 3 18 1.. Bestimmung der adjunkten Matrix zu einer (,) Matrix Für eine (,)-Matrix kann das Verfahren zur Bestimmung der adjunkten Matrix vereinfacht werden. ( ) a b Sei B= c d Dann gilt det B = ad bc Die Elemente von K werden folgendermaßen berechnet: K 11 = ( 1) 1+1 det(b 11 ) mit B 11 = d. Wenn die erste Zeile und die erste Spalte von B gestrichen wird, bleibt nur das Element d übrig. Die Determinante einer Matrix, die nur aus einem Element besteht, ist gleich diesem Element. Es folgt K 11 = d Entsprechend dem für eine (3,3) Matrix durchgeführten Verfahren erhält man: K 1 = ( 1) 1+ c = c K 1 = ( 1) + b = b K = ( 1) + a = a ( ) d c Es folgt K= b a ( d b und hieraus K T = c a Es folgt: B 1 = 1 ad bc ) ( d b c a ) 1..3 Übung zur Berechnung der inversen Matrix zu einer (,)- Matrix bei Verwendung der adjunkten Matrix ( ) 5 λ Für die Matrix A = 4 lautet die adjunkte Matrix: ( ) 4 λ adj(a) = 5 Die Determinange von A wird folgendermaßen berechnet: 7
( 5 λ det A = det 4 ) = 0 λ Für die Berechnung der inversen Matrix wird angenommen, dass λ 10 gilt. Andernfalls ergibt die Determinante von A den Wert Null und die inverse Matrix existiert nicht. Die inverse Matrix zu A, A 1, wird folgendermaßen berechnet ( ) A 1 1 4 λ = 0 λ 5 8
Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung der inversen Matrix 1 1.1 Berechnung der inversen Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus...... 1 1. Bestimmung der adjunkten Matrix zu einer (3,3) Matrix........... 5 1..1 Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix unter Verwendung der adjunkten Matrix............................. 5 1.. Bestimmung der adjunkten Matrix zu einer (,) Matrix....... 7 1..3 Übung zur Berechnung der inversen Matrix zu einer (,)- Matrix bei Verwendung der adjunkten Matrix................... 7 9