Vorlesung Donnerstag, 10:00-11:30 Uhr M629 Freitag, 8:15-9:45 Uhr R513

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1 Vorlesung Donnerstag, 10:00-11:30 Uhr M629 Freitag, 8:15-9:45 Uhr R513 Übungen Mo 18:45-20:15 M630 Alex. Fiedler/Alex. Haas Di 18:45-20:15 M631 Alex. Fiedler/Alex. Haas Mi 17:00-18:30 M631 Kathy Su/Antonia Schuster Mi 18:45-20:15 M627 Kathy Su/Antonia Schuster von KW 44 bis KW 50, also sieben Mal. Klausur Freitag, , 8:15 9:45 Uhr, R512/R513 Nachklausur Dienstag, , 11:00-12:30 Uhr, A701 Literaturempfehlung ("KSV"): Köhler, Schachtel, Voleske: Biostatistik (ab 3. Auflage) Springer, 24,95 (Kindle 16 ) ; <80 Exemplare in der Lehrbuchsammlung; elektronische Version (zuhause über VPN) Folien: 59

2 Zusatz-Aufgabe für Tutorien nächste Woche Beim Doppelkopf gibt es folgende Spielkarten: 9, 10, Bube, Dame, König, Ass von jeder der 4 Farben (Karo, Herz, Pik und Kreuz). Alle Karten sind doppelt vorhanden, also sind es insgesamt 48. Jeder der 4 Spieler bekommt 12 zufällig gezogene Karten. a) Ich bin einer der Spieler. Wie wahrscheinlich ist es, dass ich eine Kreuz-Dame habe? b) Wie wahrscheinlich ist es, dass ich beide Kreuz- Damen habe? c) Wie wahrscheinlich ist es, dass ich drei Damen haben (egal welche!)? 60

3 höhere Momente das 3. Moment ist die Schiefe (Asymmetrie), definiert durch 3 Schiefe(X) = ( ) / σ 3 i p i x i (<0: linksschief ="rechtsgipflig"; >0: rechtsschief ="linksgipflig") das 4. Moment ist die Kurtosis (Wölbung, Exzess), definiert durch p i ( x i ) Kurtosis(X) = / σ 4 3! Achtung : Definition mit -3 i 4 (<0: flacher als Normalverteilung; >0 spitzer als Normalverteilung) 61

4 kontinuierliche Verteilungen P(a x b) = b a f ( x) dx, wobei a und b reelle Zahlen sind f(x) = Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion, >=0 a a P(x=a) = f ( x) dx = 0 ; P(60 x 70) = Dichtefunktion für die Gewichte ist. f ( x) dx P tot = f ( x)dx = 1, wenn f(x) die 62

5 P(- x 70) = 70 ( x) dx und allgemein P(- x y) = f y f ( x) dx = F(y) F(y) wird Verteilungsfunktion genannt, es ist die Stammfunktion von f(y). 63

6 E(X) und Var(X) bei kontinuierlichen Verteilungen E(X) = μ = f ( x) xdx Var(X) = σ 2 = f ( x)( x ) 2 dx f ( x)( x E( x)) 2 dx 64

7 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1. Gleichverteilung (diskret / kontinuierlich) 2. Binomialverteilung (diskret) 3. Poissonverteilung (diskret) 4. Normalverteilung (kontinuierlich) 65

8 2. Binomialverteilung Wir betrachten eine Folge von Einzelversuchen (EV) a) die EV seien dichotom mit möglichen Ausgängen "Erfolg"= S und "Mißerfolg"=F b) die EV sind voneinander unabhängig mit p=p(s) und q=p(f) und p+q=1 c) wir interessieren uns für die Anzahl X der eingetroffenen Erfolge S d) die Anzahl n der EV ist vorher festgelegt, d.h. X kann nicht größer als n werden Dann ist X gemäß der sog. Binomialverteilung verteilt, d.h. die Zufallsvariable X "ist binomialverteilt mit Parametern n und p", und es gilt: n k nk a) P( X k) p (1 p) für k=0,1,2,...,n k b) E(X) = n p c) Var(X) = n p (1-p) = n p q Damit ist 0 < Var(X)/E(X) < 1 d.h. Var(X) < E(X) Aus experimentellen Daten kann man p abschätzen durch = (Anzahl S)/n bzw durch den Mittelwert von (Anzahl S), falls das Experiment wiederholt wird. pˆ 66

9 Needs["Graphics`Graphics`]; p = 0.7; n=4; t = Table[{Binomial[n,k] p^k (1-p)^(n-k),k},{k,0,n}]; BarChart[t, PlotRange->{0,0.45}]

10 n=1, p=0.7 n=10, p= n=50, p=0.7 68

11 n=10, p=0.2 n=10, p= n=10, p=0.8 69

12 n=50, p= n=500, p=0.5

13 Beobachtungen / Eigenschaften asymmetrisch, ausser wenn p=0.5 das Maximum liegt bei p n wird symmetrischer, je größer p n wird spitzer (schmaler, schärfer) je größer n 71

14 λ 3. Poissonverteilung Im Experiment sei eine Zähleinheit ZE definiert, in der man jedes Auftreten A eines Ereignisses registriert, und es gelte: 1) die A's sind zufällig über die ZE verteilt 2) die durchschnittliche Zahl der A's pro ZE sei λ > 0 3) von Interesse ist X, die Anzahl A's pro ZE 4) es gibt für X keine Beschränkung nach oben (im Prinzip!) Wenn diese Bedingungen gelten, dann ist X proportional zu Poisson(X), d.h. die Zufallsvariable X ist "verteilt nach Poisson" mit Parameter λ, und es gilt a) P(X=k)= für k = 0,1,2,... b) E(X) = λ λ k k! e λ c) Var(X) = λ Aus experimentellen Daten läßt sich λ schätzen durch λ-dach = Mittelwert 72

15 Needs["Graphics`Graphics`]; lambda=25; n=50; poi = Table[{lambda^k/k! Exp[-lambda],k},{k,0,n}]; BarChart[poi, PlotRange->{0,}]

16 Needs["Graphics`Graphics`]; lambda=5; n=20; poi = Table[{lambda^k/k! Exp[-lambda],k},{k,0,n}]; BarChart[poi, PlotRange->{0,0.2}]

17 Beobachtungen bei der Poissonverteilung: 1) das Maximum ist bei λ und (genau gleich hoch!) bei λ -1 2) die Verteilung wird symmetrischer, je größer λ ist. 3) die Verteilung ähnelt von der Form her der Binomialverteilung 4) sie geht aber (im Prinzip) in x bis unendlich 75

18 4. Normalverteilung Gauß'sche Glockenkurve: P(a X b) = b 1 x a e dx Mathematica: u=5;s=1;plot[exp[-0.5((x-u)/s)^2],{x,0,10}] 76