Integrierter Kurs im SS 2018

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1 Vorlesung Physik II SS 8 6. Juni 8 Integrierter Kurs im SS 8 Fakultät Physik Technische Universität Dortmund Prof. Dr. Götz Uhrig (Theoretische Festkörperphysik) heute : Prof. Dr. Thomas Weis (Experimentelle Beschleunigerphysik)

2 Vorlesung Physik II SS 8 Wiederholung 5. Wechselstrom Impedanzen Anwendungen Wechselspannungen und Wechselströme haben die Form U ( t) U cos, I( t) I cos t t Dabei sind und Startphasen bezüglich t =. pf ist die Kreisfrequenz der Wechselgröße, f seine Frequenz. Wir wollen jedoch in komplexen Größen rechnen, z.b. für die Spannung U(t) U( t) e U( t) e( U exp i t U cos t und in gleicher Weise für I(t). Der Quotient der komplexen Größen für Spannung und Strom definiert dann einen komplexen Widerstand Z U I Impedanz Die Impedanz enthält neben der Information über die Amplitudenverhältnisse von U und I auch Informationen über eine zeitliche Phasenverschiebung zwischen U und I.

3 Vorlesung Physik II SS 8 Der komplexe Widerstand bzw. die Impedanz hat einen eal- und Imaginärteil Z ix Z cos isin Z exp i Damit kann man das ohmsche Gesetz in der verallgemeinerten Form schreiben U( t) Z I ( t) U( t) Z cos isin I ( t) und weiter gilt Im Z i Z e( Z) Im( Z) X Z und für die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung e Z tan Im( Z) e( Z) X 3

4 Vorlesung Physik II SS 8 Impedanzen Ohmscher Widerstand P(t) p 3p 5p I(t) U(t) Offenbar sind hier U(t) und I(t) zeitlich in Phase U Z (reelle Größe) I Damit wird auch die elektrische Leistung P reell U P( t) U( t) I( t) cos ( t ) für = stellt sich P(t) wie folgt dar Die Leistung schwankt über die Periodendauer T. Der zeitliche Mittelwert ergibt sich wie folgt T T P P( t) dt cos tdt T T 4U T T 4 cos T tdt U t 4

5 Vorlesung Physik II SS 8 Ausführen der Integration führt auf P U U I Diese Leistung ist eine Wirkleistung, erwärmt also den Widerstand. Man definiert daher eine effektive Spannung und effektiven Strom, U I Ueff, Ieff die an einem ohmschen Widerstand dieselbe mittlere Leistung bewirken wie eine gleichgroße Gleichspannung. Beispiel: Das normale Stromnetz hat eine effek- tive Spannung von U eff = 3 V. Die Spitzenspannung ist gegeben durch U U eff 3V 35 V (!) Experiment: U I(t) I(t) U(t) Gleichspannung Lampe Wechselspannung Lampe 5

6 Vorlesung Physik II SS 8 Experiment: Effektive Spannung Gleichspannung spannung Wechsel- Gleichspannung Wechselspannung Netzgeräte Lampen Die baugleichen Lampen werden auf gleiche Helligkeit eingestellt 6

7 Vorlesung Physik II SS 8 Komplexe Darstellung im Zeigerdiagramm: Im I U e Beide Zeiger rotieren mit Kreis- oder Winkelfrequenz. Strom und Spannung sind in Phase! Impedanz eines Kondensators C U(t) I(t) Es gilt U( t) Q( t) / C und weiter Mit folgt sofort U( t) I ( t) C U U it exp C d I C U ic U dt 7

8 Vorlesung Physik II SS 8 und für die Impedanz eines Kondensators damit Z C U i I ic C I Im Die Impedanz ist also imaginär. Man bezeichnet sie auch als kapazitiven Blindwiderstand. Beim Kondensator läuft der Strom der Spannung um 9 voraus. U(t) I(t) U e t 8

9 Vorlesung Physik II SS 8 Sinusgenerator Experiment: C-Kreis Spannung Strom Kondensator Widerstände Beim Kondensator läuft der Strom der Spannung voraus 9

10 Vorlesung Physik II SS 8 Die mittlere Leistung am Kondensator ist gegeben durch T T P P( t) dt U ( t) I( t) dt T T U C T T cost sintdt Am Kondensator wird also im Mittel keine elektrische Leistung umgesetzt. Ein idealer Kondensator wird im Gegensatz zum ohmschen Widerstand nicht erwärmt. Bei der Aufladung des Kondensators (Feldenergie) wird elektrische Arbeit vom Netzteil verrichtet. Bei der Entladung wird diese an das Netzteil zurückgeführt. Stichworte: Blind- oder Scheinleistung Impedanz einer Induktivität L I(t) U(t) L Für die Summe aller Teilspannungen gilt zunächst di ( ) () t U t L dt und damit komplex U LI

11 Vorlesung Physik II SS 8 Mit I I it exp folgt dann U LI ili und weiter Z L U il I Im U(t) I(t) Bei der Spule läuft der Strom der Spannung um 9 nach. U t I e Wegen der 9 Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gilt auch hier P

12 Vorlesung Physik II SS 8 Sinusgenerator Experiment: L-Kreis Spannung Strom Spule Widerstände Bei der Spule läuft der Strom der Spannung nach

13 Vorlesung Physik II SS 8 Zusammenfassung: Im Z Z Z Betrag der Impedanz als Funktion der Kreisfrequenz Z C C Z L L p p e Z L C Phase als Funktion der Frequenz Mit den drei Schaltelementen, L, C lassen sich im Prinzip alle beliebig komplexen Schaltungen aufbauen. Jede Schaltung lässt sich mit diesen 3 Elementen andererseits auch simulieren. 3

14 Vorlesung Physik II SS 8 Beispiel: L-Kreis Z L L U sint Widerstand Der Gesamtwiderstand ist Z ix il L Der Betrag des Widerstandes ist Z L und die Phase L L tan L p.).) Z L tan Z L Phase L tan 9 4

15 Vorlesung Physik II SS 8 Der Transformator Wollen an dieser Stelle den idealen Transformator mit sekundärseitiger Belastung berechnen. Auf der Primärseite wird genau so viel Leistung aufgenommen, wie sekundärseitig an eine ohmsche Last abgegeben wird. Frage: Woher weiß die Primärseite, dass sekundärseitig Leistung abgerufen wird? Primärseite: Sekundärseite: U n U n I Der Fluss durchsetzt beide Spulen!! Primärspule U I n B Eisenjoch A=const. Sekundärspule n I U Da alles Wechselgrößen sind, schreiben wir komplex: exp i t i U in und U in 5

16 Vorlesung Physik II SS 8 a) Leerlauf I dann trägt I nicht zum Fluss bei und es gilt U n in L I il I Hier ist I der primärseitige Leerlaufstrom und L die Induktivität der Primärspule. Die Phasenverhältnisse entnehmen wir dem Zeigerdiagramm. Primärstrom und magnetischer Fluss sind in Phase. Die Primärspannung läuft dem Fluss um p/ voraus. Die Sekundärspannung läuft dem Fluss um p/ nach. Die mittlere Leistungsaufnahme primärseitig verschwindet im Leerlauffall, P U U Im I e da sekundärseitig keine Leistung nachgefragt wird. b) Belastung I Sekundärseitig wird nun Leistung nachgefragt (ohmsche Verluste in ) 6

17 Vorlesung Physik II SS 8 Hier gilt I U in Phase! Der sekundärseitige Strom I erzeugt jedoch einen zusätzlichen magnetischen Fluss in der Sekundärspule in Phase mit I. also Z Im Zeigerdiagramm: Im Z Z L I Dieser Zusatzfluss ist natürlich auch primärseitig vorhanden. Der Gesamtfluss darf sich aber nicht ändern, da er an die Primärspannung gebunden ist mit U n i U I Z I Z I I e Daher muss primärseitig ein Zusatzstrom fließen, dessen Fluss gerade den Zusatzfluss - hervorgerufen durch I - kompensiert, Z U 7

18 Vorlesung Physik II SS 8 Der Primärstrom ist damit die vektorielle Summe aus Leerlaufstrom und Zusatzstrom I I I Z Zwischen Primärstrom und Primärspannung beträgt die Phasenverschiebung nun nicht mehr p/, sondern. Auf der Primärseite wird nun eine mittlere Leistung verschieden von Null aufgenommen und verlustlos an die Sekundärseite weitergereicht. P P Bei komplexen Abschlussimpedanzen ist die Argumentation ähnlich. Sieb- und Filterschaltungen Übertragungsverhalten eines passiven Vierpols U 4-Pol U Definieren Übertragungsfunktion g() g U ( ) komplexe Funktion U g( ) Amplituden Übertragungsfunktion g() beinhaltet aber auch Phasenbeziehung zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung. Die Frequenzinhalte eines Zeitsignals U(t) werden also unterschiedlich übertragen. 8

19 Vorlesung Physik II SS 8 Frage: Was sind die Frequenzinhalte beliebiger Zeitfunktionen? Fourieranalyse / Fouriersynthese Antwort: Ein periodisches Zeitsignal (Periodendauer T) kann durch eine unendliche Summe von Zeitsignalen jeweils einer Frequenz beliebig gut approximiert werden (diskretes Frequenz-Spektrum). U(t) z.b. a U t a t ( ) k cos k k k T t mit der Grundharmonischen p p f T und den höheren Harmonischen k k Für nichtperiodische Zeitfunktionen geht die Summe in ein Integral über. Das Frequenzspektrum ist dann kontinuierlich! mehr in PHYSIK III 9

20 Vorlesung Physik II SS 8 Beispiel : U(t) Dreieck-Spannung

21 Vorlesung Physik II SS 8 Fouriersynthese 4 U( t) sin( t) p

22 Vorlesung Physik II SS 8 Fouriersynthese U ( t) 4 sin( t) sin(3t ) 3 p

23 Vorlesung Physik II SS 8 Fouriersynthese U 3 ( t) 4 sin(3t ) sin(5t ) sin( t) p 3 5 3

24 Vorlesung Physik II SS 8 Beispiel : U(t) echteck-spannung 4

25 Vorlesung Physik II SS 8 Fouriersynthese 4 U( t) sin( t) p 5

26 Vorlesung Physik II SS 8 Fouriersynthese U3( t) 4 p sin( t) sin(3t ) 3 sin(5t ) 5 6

27 Vorlesung Physik II SS 8 Fouriersynthese U5( t) 4 sin( t) p sin(3t ) 3 sin(5t ) 5 sin(7t) 7 sin(9t ) 9 7

28 Vorlesung Physik II SS 8 Die Frequenzinhalte der Zeitfunktion können durch Filterschaltungen unterschiedlich übertragen werden. Ideale Filterkurven: gu gu g g g( ) Hochpass Tiefpass go Bandpass Bandsperre go Definition der Grenzfrequenzen: g( ) g Absenkung der übertragenen Leistung (Quadrat der Amplitude) auf 5%! Umsetzung in der Praxis: Grundlage der ealisierung ist der Spannungsteiler mit komplexen Widerständen, allgemein U I I Z U Z U U 8

29 Vorlesung Physik II SS 8 für das unbelastete Netzwerk (I = ) gilt Z U U g( ) Z Z Z Z Tiefpass ealisierung : L-Tiefpass L Z Für das Quadrat gilt dann: g( ) mit g( ) L g L g g( ) L i il L g keine Stufenfunktion, die Amplitudenübertragungsfunktion ändert sich nur langsam mit. 9

30 Vorlesung Physik II SS 8 Man kann sich auch die Phasendrehung des Ausgangssignals gegenüber dem Eingangssignal anschauen: tan Im g( ) e g( ) L ealisierung : C-Tiefpass C g( ) i / C ic i / C C p Grenzwerte: p Für das Quadrat gilt dann wieder: g( ) C mit g g C Die Filter- und Phasenkurve ist identisch zu der des L-Tiefpasses 3

31 Vorlesung Physik II SS 8 Hochpass ealisierung : L-Hochpass L ealisierung : C-Hochpass C g( ) g( ) mit L i il il L L g L g i g( ) C i C C g( ) C mit g C g 3

32 Vorlesung Physik II SS 8 Experiment: C-Hoch- und Tiefpassfilter Wobbelgenerator Hochpass Tiefpass Widerstand Kondensator C 3

33 Vorlesung Physik II SS 8 Auch hier sind beide ealisierungsmöglichkeiten identisch. Die Amplitudenübertragungsfunktion nimmt jetzt in der Umgebung der Grenzfrequenz zu hohen Frequenzen hin zu (Hochpass). Die hier vorgestellten Filter sind einstufig und deshalb sehr unscharf in ihrem Filterverhalten. Die Trennschärfe ist sehr schlecht! Durch Hintereinanderschalten der Filter kann die Trennschärfe deutlich gesteigert werden.... n U U g U n ges ( ) g ( ) U Diese mehrstufigen Filter können weiter optimiert werden und sind sehr trennscharf. Vorlesung ELEKTONIK 33

34 Vorlesung Physik II SS 8 Der elektrische LC-Schwingkreis Wir betrachten eine eihenschaltung von Wechselspannungsquelle und, L und C Bauelementen L Der Schwingkreis soll mit einer Wechselspannung der Frequenz E angeregt werden. U t U t U i t C ( ) ( ) exp E Wir setzen wieder in technischer Notation an und schreiben mit komplexen Größen U U U U exp i t C L E Q I LI U expi Et C Wir leiten einmal nach der Zeit ab und stellen um ie I I I U exp iet L LC L Dies ist die inhomogene DGL des getriebenen harmonischen Oszillators aus der Mechanik! Wir ersetzen Dämpfungskonstante L Eigenfrequenz LC und erhalten in Analogie zur Mechanik ie I I I Uexp iet L 34

35 Vorlesung Physik II SS 8 Die Lösung der DGL kennen wir und damit auch das Verhalten des Systems. Nach der Einschwingzeit sind die Lösungen der homogenen DGL abgeklungen und das System schwingt nur noch mit der Frequenz E der von außen einwirkenden Wechselspannung. Die Amplitude des Stroms I im LC- eihenkreis ist gegeben durch I L U E E 4 E Dämpfung klein Dämpfung mittel Dämpfung groß Amplitude Dämpfung groß E Dämpfung klein Phase Dies ist der Amplitudenverlauf des Stroms als Funktion der anregenden Frequenz Dämpfung mittel E 35

36 Vorlesung Physik II SS 8 Die größte Stromamplitude wird im esonanzfall erreicht mit der Frequenz also bei kleiner Dämpfung in der Nähe der Eigenfrequenz des Systems. Die Phasenverschiebung zwischen anregender Spannung und Strom folgt zu: E tan Die Eigenfrequenz des Systems bei kleiner Dämpfung ist also gegeben durch LC E also durch die kapazitiven und induktiven Anteile der Impedanz. Beim LC-Kreis pendelt die Energie des Systems in der Periodendauer T zwischen elektrischer Feldenergie im Kondensator C und magnetischer Feldenergie in der Spule L hin und her. L und C übernehmen damit die olle der Masse m als Träger der kinetischen Energie und der Federkonstante k als Träger der potentiellen Energie beim mechanischen Oszillator. k m Der ohmsche Anteil ist selbstverständlich für die Dämpfung verantwortlich. 36

37 Vorlesung Physik II SS 8 I max I max / Güte eines Schwingkreises hohe Güte kleine Güte Q esonanz E 37

38 Vorlesung Physik II SS 8 Experiment: Gekoppelte Schwingkreise Generator Oszillograf nur ein Kreis Kreise gekoppelt. Schwingkreis. Schwingkreis 38

39 Vorlesung Physik II SS 8 Bei der Kopplung zweier LC-Schwingkreise existieren also zwei Eigenlösungen in voller Analogie zur Mechanik. L C C C I m L I I Kopplungskondensator C mechanisches Analogon: m m C C C Der Strom durch C ist gegeben durch I m I Aus der Maschenregel folgt daher I ili I I ic ic I ili I I ic ic Daraus folgt mit der Matrix M () il ic ic ic il ic ic ic I 39

40 Vorlesung Physik II SS 8 I M I Dieses homogene Gleichungssystem hat nur eine nichttriviale Lösung, wenn detm. Multipliziert man () mit i L hält man LC LC LC Daraus folgt LC LC LC LC LC L C, er- Auflösen nach liefert LC LC LC Damit erhält man die beiden Eigenfrequenzen, LC LC LC Die Eigenlösungen sind : : LC LC I I I I Gleichtakt I = I Gegentakt I = -I 4