Ergänzende Aufgaben zur Planarbeit Stochastische Matrizen I 1 I 3 0,8 0,2 0,2 0,1 0,7 0,2 0,1 0,1 0,6. und I
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- Lisa Geier
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1 Ergänzende Aufgaben zur Planarbeit Stochastische Matrizen Ergänzende Aufgaben zur Planarbeit Stochastische Matrizen Aufgabe Das Kaufverhalten bei den Lesern der drei marktbeherrschenden Illustrierten sei durch die folgende Tabelle gegeben. T I,8,, I I I I I,,,,,,6 Die momentanen Marktanteile der Illustrierten I, I und I sind %, % und %. (a) Berechnen Sie den jeweiligen Marktanteil der Illustrierten I, I und I nach einem und nach zwei Jahren. (b) Bestimmen Sie den Stabilitätsvektor. Aufgabe Gegeben sei die Übergangsmatrix,, T,,,6 die das Übergangsverhalten von Käufern zweier Marken beschreibt. Der jeweilige Marktanteil der zwei beteiligten Firmen sei gegeben durch den Verteilungsvektor. (a) Berechnen Sie die Verteilungsvektoren x, x, x,. x und in den drei folgenden Fällen: x 5 x Fall :, x,5 Fall : x,5 Fall : x.,9,5,5 Interpretieren Sie die Ergebnisse. (b) Berechnen Sie den Stabilitätsvektor x. Aufgabe Zwei Firmen A und B teilen sich den Markt eines Produktes auf. Der Marktanteil von A ist %, der Marktanteil von B ist 9%. Für das Wechselverhalten der Käufer des Produktes gelte die folgende Übergangsmatrix (nicht reguläre stochastische Matrix)., T.,9 (a) Stellen Sie das Wechselverhalten der Käufer des Produktes in einem Diagramm dar und interpretieren Sie. Beantworten Sie die folgende Frage ohne Rechnung: Wie wird sich die Marktverteilung langfristig entwickeln? (b) Berechnen Sie den Stabilitätsvektor. Ergänzende Aufgaben.DOC Dr. L. Mingirulli
2 Lösungen zu den Aufgaben BKFH Lösung zu Aufgabe (a) Wir berechnen x T x und x T x :,8,, x,,, x,,,6,8,,,,,,,,,,6, 8, 8,6,,8,, x,,, x,,, ,6 8 6,86 6 8,5 Die Marktanteile sind Marktanteile I, nach Jahr % 6% % nach Jahren 6,% 8,6% 5% I I (b) Wir berechnen den Stabilitätsvektor gemäß der Gleichung x T x. Für die Komponenten x,und gilt x x x. x T x x T x ( E T) x x von x x x, Lösung des homogenen LGS ( E T ) x,,,,,,, x,x, x,x, x,x,x,x,x,x,x,x nach dem Gaußschen Algorithmus (beachte: Die Spaltensummen sind jeweils null, d.h. es wird eine Nullzeile erzeugt).,,,,,,, 5,, Wir ersetzen die Nullzeile mit der Bedingung x x x Ergänzende Aufgaben.DOC Dr. L. Mingirulli
3 ( ) ( ) 5,6,, BKFH,,6,5,,5,5,, Wir lesen ab: x,5, x,,und x,. Probe:,8,,,,,,,5,,,6, ,5,, Langfristig wird die Illustrierte Illustrierte %. I I 5% der Marktanteile besitzen, die Illustrierte I % und die Lösung zu Aufgabe Fall,,,, x,,,,59 ; x ;,,6,9,5,,6,5,,,,59,558 x,,,558,566 ; x ;,,6,,,,6,,9,,,566,5 x 5.;,,6,9,9 Fall,,,5,65 x,,,65,585 ; x ;,,6,5,5,,6,5,5,,,585,565 x,,,565,59 ; x ;,,6,5,5,,6,5,,,,59,59 x 5.;,,6,,8 Ergänzende Aufgaben.DOC Dr. L. Mingirulli
4 Fall,,,5,55 x,,,55,565 ; x ;,,6,5,5,,6,5,5 BKFH,,,565,5695 x,,,5695,585 ; x ;,,6,5,5,,6,5,95,,,585,5 x 5.;,,6,95,8 Interpretation Unabhängig von der Anfangsverteilung haben die Komponenten von in allen drei Fällen etwa dieselben Werte. Es ist zu vermuten, dass der Stabilitätsvektor nicht von der Anfangsverteilung abhängt, sondern nur von der Übergangsmatrix T. (b) Berechnung des Stabilitätsvektors. Möglichkeit Es werden weitere Verteilungsvektoren x x,,... berechnet, bis sich die Komponenten nicht mehr 6, x8 ändern. Hierzu wird die Matrix T und der Verteilungsvektor in die Matrixvariablen [A] und [B] eingegeben. Die Folge von Verteilungsvektoren x x,,... kann besonders schnell berechnet, x werden, wenn das Ergebnis der Multiplikation [A]*[B] wieder in [B] gespeichert wird. Tastenfolge: [A]*[B] STO [B], ENTER, ENTER, Gleichgültig mit welchem der vorgegebenen Verteilungsvektor begonnen wird liefert der GTR [[.585][.8586]] und MATH/FRAC ergibt [[/][/]]. x x 5 x.. Möglichkeit Führt man bei der Rekursionsformel x n T xn den Grenzübergang für n durch, dann folgt die Gleichung x T x und für die Komponenten x und x von x gilt x x. x T x wird zum homogenen LGS ( E T ) x umgeformt. Es ist,, x ( E T) x,,6 x ET Addiert man die beiden Zeilen der Matrix E T, dann ergibt sich,, x,, x ET Ergänzende Aufgaben.DOC Dr. L. Mingirulli
5 5, E T, BKFH D.h. es gilt x x oder x x ; außerdem gilt x x und damit x x x x x x. Die Überlegungen in der Möglichkeit bestätigen die Vermutung, denn die durch den Vektor vorgegebene Anfangsverteilung geht an keiner Stelle in die Überlegung ein. Für reguläre stochastische Matrizen T gilt allgemein: Der Stabilitätsvektor Übergangsmatrix T und nicht von de Anfangsverteilung x ab. x x hängt nur von der Lösung zu Aufgabe (a) Diagramm zum Wechselverhalten der Käufer Firma A a Firma B b 9 9 Interpretation Die Käufer von Firma A bleiben %ig bei Firma A. D.h. hat ein Kunde das Produkt von Firma A gekauft, dann kauft er es immer. Firma kann 9% ihrer Käufer überzeugen, wieder ihr Produkt zu kaufen. Aber % der B-Käufer wandern zur Firma A ab. Wie wird sich die Marktverteilung langfristig entwickeln? Es ist zu vermuten, dass früher oder später die Firma A % der Marktanteile gewinnt. (b) Berechnung des Stabilitätsvektors. Möglichkeit Siehe z.b..g. Kemeny, Mathematik für die Wirtschaftspraxis, De Gruyter, 966, S. 8 Ergänzende Aufgaben.DOC Dr. L. Mingirulli
6 Matrix T und Verteilungsvektor 6, x,9, x in die Matrixvariablen [A] und [B] eingegeben. Die Folge von Verteilungsvektoren x x,,... kann besonders schnell berechnet werden, wenn das Ergebnis der Multiplikation [A]*[B] wieder in [B] gespeichert wird. Tastenfolge: [A]*[B] STO [B], ENTER, ENTER, Der GTR liefert nach hinreichend langem Drücken der ENTER-Taste: [[][sehr kleine positive Zahl]] [[][]]. BKFH x.. Möglichkeit Führt man bei der Rekursionsformel x n T xn den Grenzübergang für durch, dann folgt die Gleichung und für die Komponenten x und x von x gilt x x. wird zum homogenen LGS ( E T ) x umgeformt. Es ist x T x, x ( E T) x,9 x Addiert man zur ersten Zeile der Matrix ET n,9 x, x ET x T x E T das 9-fache der zweiten Zeile, dann ergibt sich E T, D.h. es gilt x ; außerdem gilt x x und damit x x x. Die Vermutung ist bestätigt. Firma A gewinnt alle Käufer, Firma B geht Pleite! Ergänzende Aufgaben.DOC Dr. L. Mingirulli
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Kapitel 4. Determinante. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24
Kapitel 4 Determinante Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 4 Determinante 1 / 24 Was ist eine Determinante? Wir wollen messen, ob n Vektoren im R n linear abhängig sind bzw. wie weit sie davon entfernt
Aufgaben für das Fach Mathematik
Niedersächsisches Kultusministerium Referat / Logistikstelle für zentrale Arbeiten November 06 Aufgaben für das Fach Mathematik Eingesetzte Abituraufgaben aus dem länderübergreifenden Abituraufgabenpool
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl 11.1)
Lineare Gleichungssysteme (Teschl/Teschl.) Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,...,x n und hat die Form a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +...
9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Lineare Gleichungssystem
Lineare Gleichungssystem 8. Juli 07 Inhaltsverzeichnis Einleitung Der Gauß-Algorithmus 4 3 Lösbarkeit von Gleichungssystemen 6 Einleitung Wir haben uns bisher hauptsächlich mit dem Finden von Nullstellen
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, SS 2010 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, SS 00 Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 77: Die Matrix A R sei darstellbar als A U D U mit 0 0 U, D 0 0. a) Verifizieren Sie, dass U eine orthogonale Matrix
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit
die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h + 0 1 Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A)
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Das System a x + a x +... + a n x n = b a x + a x +... + a n x n = b. +. +... +. =. a m x + a m x +... + a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem
18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus
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Orthogonale Matrix. Definition 4.19
Orthogonale Matrix Ausgleichsprobleme sind häufig schlecht konditioniert. Matrix des Normalengleichungssystems kann nahezu singulär sein. Spezielle Matrixzerlegung für höhere numerische Stabilität: QR-Zerlegung
Übungsblatt 5 : Lineare Algebra
Mathematik I Übungsblatt 5 WS 7/8 Prof.Dr.W. Konen Dr. A. Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zur Vorlesung so vor dass Sie in der Lage sind Ihre Lösungen vorzutragen. Übungsblatt 5 : Lineare
TI-89. Gleichungssysteme
TI-89 Gleichungssysteme Hans Berger 005 Lineare Gleichungssysteme Der TI-89 kann beliebige Objekte in Variable speichern, auch ganze Gleichungen. Man kann somit beliebige Gleichungen z.b. in g1, g, g3,
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Musterlösung zum 6. Aufgabenblatt Mathematik I (GST1100) WS 017/018 1. Zuerst werden innerhalb jeder Gleichung mehrfach vorkommende Variablen zusammengefasst und auf die linke Seite gebracht sowie alle
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Aufgabe 1 Ein Fahrzeugpark enthält 6 Fahrzeuge. Jedes Fahrzeug hat die Wahrscheinlichkeit p = 0.1 (bzw. p = 0.3), dass es kaputt geht. Pro Tag kann nur
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I (Lineare Algebra) 2. Klausur Wintersemester 2011/2012 21.03.2012 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN. Nachname:...................................................................