Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap

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1 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Kurt Bohner Lehrauftrag Mathematik am BSW Wangen Studium der Mathematik und Physik an der Universität Konstanz Ronald Deusch Lehrauftrag Mathematik am BSZ Bietigheim-Bissingen Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Umschlag: frhuynh Fotolia.com, kleines Bild oben: Picture-Factory Fotolia.com, kleines Bild unten: Africa Studio Fotolia.com Download-Icon: Stoyan Haytov Fotolia.com * * * * * * * * * *. Auflage 6 6 by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

2 6 II Rechenoperationen mit Matrizen Karl möchte die gleichen Artikel einkaufen wie Herbert, nur braucht er andere Stückzahlen: Mengenvektor _ a = (7 5. Er führt auch einen Preisvergleich zwischen der Juniorenfirma und dem Schreibwarenladen durch. Der Gesamtpreis, den Herbert und Karl bezahlen müssten, kann wieder mit dem Falk schen Schema berechnet werden. Herbert: Karl: ( ( 8,,5 Mengenmatrix Gesamtpreismatrix Z. B.: 7, + 5,5 +,5 =,8 Definition der Matrizenmultiplikation Jufi Laden eine Matrix:,,,6,5 (,,5 Stückpreismatrix B Matrix A mal Matrix B ergibt 8,55,8 A A B Matrix Das Produkt zweier Matrizen A = ( a ij und B = ( b rs wird nach folgendem Schema berechnet. b b b l b p B b b b p b l = B A A B b n b n b b ( np a a... a n a a a n nl c c c p c c... c p c l c l A = a = A B k a k a kn c kl a m a m a mn c m c m c ml c mp ( ( n Berechnung des Elementes c kl : c kl = a k b l + a k b l a kn b nl = a kj b jl j = Hinweis: A B kann nur berechnet werden, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmt. A (m; n B (n; p = C (m; p. : A (; B (; = C (; Gegeben sind die Matrizen A = ( Berechnen Sie A B und A A. 5 und B = (. A B = ( 5 A A = ( ( = ( 6 = ( A A = A Matrixpotenz 5 Schema von Falk ( ( 5 ( ( ( ( 6 B 5 A A B A A A A = A

3 Rechnen mit Matrizen 7 Gegeben sind die Matrizen A = ( 5 (, B = 5 ( und E = Berechnen Sie. a A B und B A b A E und E A a A B = ( B A = ( 6 8 Beachten Sie: 7 5 Berechnung im Schema: B Berechnung im Schema: A A B A B B A. A B B A (im Allgemeinen Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. b A E = ( 5 Beachten Sie: ( ( = A; E A = ( 5 = ( 5 = A A E = E A = A E steht für Einheitsmatrix. E ist eine quadratische Matrix mit e ij = für i = j und e ij = für i j. E = ( ( ist die (; Einheitsmatrix; E = ist die (; Einheitsmatrix. Gegeben sind die Rohstoff-Zwischenprodukt- Tabelle und die Zwischenprodukt-Endprodukt- Tabelle. Die zugehörigen Matrizen werden mit A bzw. B bezeichnet. Berechnen Sie A B = C und interpretieren Sie das Element c. Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix: A = ( 5 Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix: B = ( Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix C erhält man durch Multiplikation: A B = ( Bedeutung des Elements c = : 5 ( 7 Z Z E E E R Z 5 R 5 Z = ( 5 = C Für eine ME E braucht man = Rohstoffe R. Für die Produktion von ME E benötigt man ME R (und 5 ME R. Hinweis: C beschreibt, wie viel ME der einzelnen Rohstoffe für je eine ME der Endprodukte benötigt werden.

4 8 II Rechenoperationen mit Matrizen Ein Betrieb produziert aus den drei Rohstoffen R, R und R die Produkte P und P. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME ist der Tabelle (Stückliste zu entnehmen. Ein Kunde erteilt einen Auftrag über ME von P und 5 ME von P. Berechnen Sie, wie viele ME der Rohstoffe von jeder Sorte benötigt werden. P P R 6 R 8 R 5 Aus der Tabelle erhält man die Produktionsmatrix C = ( Die. Spalte der Matrix gibt an, wie viel ME der einzelnen Rohstoffe R, R und R für die Herstellung von ME P benötigt werden: ME R und 5 ME R. Die. Zeile der Matrix gibt an, wie viel ME des Rohstoffes R für die Herstellung von ME von P bzw. P benötigt werden. Berechnung des Rohstoffbedarfs am von R : P P P P 5 R = 7 ( 6 ( 5 = 7 Für die Herstellung von ME von P und 5 ME von P braucht man 7 ME R. Berechnung des Rohstoffbedarfs am von R : P P P P 5 R = ( 8 ( 5 = Für die Herstellung von ME von P und 5 ME von P braucht man ME R. Multiplikation mit dem Produktionsvektor (als Spaltenvektor ergibt die benötigte Menge an Rohstoffen. ( ( 5 ( = 7 5 C r x = C r x = Für die Herstellung von ME von P und 5 ME von P braucht man 7 ME von R, ME von R und 5 ME von R.

5 Rechnen mit Matrizen 9 Was man wissen sollte über das Rechnen mit Matrizen Addition von Matrizen: A + B Es können nur Matrizen vom gleichen Typ addiert werden. A + B = ( a ij + ( b ij = ( a ij + b ij Eigenschaften A + O = O + A = A O: Nullmatrix A + B = B + A Kommutativgesetz (A + B + C = A + (B + C = A + B + C Assoziativgesetz Skalare Multiplikation: k A Multiplikation einer Zahl k (Skalar mit einer Matrix. k A = k ( a ij = (k a ij ; k Eigenschaften (k k A = A k k (A + B = k A + k B Multiplikation zweier Matrizen: A B Die Spaltenzahl der Matrix A muss mit der Zeilenzahl der Matrix B übereinstimmen. Ist A eine (m; n- und B eine (n; p-matrix, dann gilt für das Format der Ergebnismatrix: (m; n (n; p (m; p Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h., A B B A (im Allg. Eigenschaften (k (A B C = A (B C = A B C Assoziativgesetz (A + B C = A C + B C Distributivgesetz A (B + C = A B + A C A O = O A = O O: Nullmatrix A E = E A = A E: Einheitsmatrix k (A B = (k A B = A (k B = (A B k (k A = k A mit A = A A Skalarprodukt Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ergibt eine Zahl (Skalar. Hinweis: Die Division zweier Matrizen ist nicht definiert.

6 II Rechenoperationen mit Matrizen Aufgaben Gegeben sind die Matrizen A und B und die Vektoren _ a und _ A = ( 5 5, B = ( 5, _ a = (, b durch _ b = (. Berechnen Sie. a A B b B _ a c B d (A + E B e A _ a f b A g b B A h b a Gegeben sind die Matrizen A, B und C durch A = ( 5 ; B = ( ; C = ( Berechnen Sie. a (A + C B b B C c A B B A Welche Folgerungen ergeben sich aus dem Ergebnis von c? Gegeben sind die Matrizen A und B durch A = ( Berechnen Sie A B und B B. x x Berechnen Sie x, sodass (,5,75,5,5 x + x 5 Gegeben sind die Matrizen A = ( 6 8 Berechnen Sie A B und B A. Vergleichen Sie. 6 Gegeben sind die Vektoren k = (, _ Berechnen Sie k k _ p und C p. ( und B = p = ( und B = ( ( 5 6 ( ( x x x x + 5 ( und die Matrix C = Gegeben sind die Matrizen A und B durch A = und B = a Berechnen Sie die Elemente c und c des Matrizenproduktes C = A B. (. 5 = 5 ergibt. ( b Das Element a der Matrix A wird geändert zu,5; das Element b der Matrix B wird geändert zu,5. Berechnen Sie nun das neue Element c des Matrizenproduktes C = A B. 8 Die Brauerei Harle kann ihre Rohstoffe von zwei Lieferanten beziehen. Die Lieferanten können wochenweise gewechselt werden. Preis in GE/ME Hopfen AG Süd Westmalz AG Hopfen 5 Malz 7 Wasser 8 76 Harle Hopfen Malz Wasser Woche 8 5 Woche 7 6 Woche Woche 8 Welchen Lieferanten empfehlen Sie der Brauerei? 9 Das Aktienpaket von Frau Honess umfasst Aktien der Firma Hut, Aktien der Firma Geha und 55 Aktien der Firma Schmal. Die Aktienkurse liegen heute bei 8,, 5,5 bzw. 55,8. Frau Honess werden 55 für das Aktienpaket angeboten. Beraten Sie Frau Honess, indem Sie eine Matrizenrechnung durchführen.

7 58 III Ein- und zweistufige Produktionsprozesse Verflechtungsmatrizen In einem zweistufigen Produktionsprozess werden z. B. aus zwei Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z, Z und Z und daraus die Endprodukte E, E und E gefertigt. Die Herstellung von je ME von Zwischenprodukt Z erfordert ME des Rohstoffs R und ME des Rohstoffs R. Die Produktion von je ME von Zwischenprodukt Z erfordert ME des Rohstoffs R und ME von R. Für je ME von Z benötigt man ME des Rohstoffs R und 6 ME des Rohstoffs R. Für die Fertigstellung von je ME des Endproduktes E sind ME von Zwischenprodukt Z, ME von Z und 5 ME von Z erforderlich. Aus ME Z, ME Z und ME von Z wird ME von E erzeugt. Für die Produktion von E sind pro ME jeweils ME Z, ME Z und ME von Z erforderlich. a Stellen Sie die zugehörigen Stücklisten und die Verflechtungsmatrizen auf. b Wie viel ME der Rohstoffe werden für je eine ME der Endprodukte benötigt? a Darstellung der Verflechtung in Diagrammen. Als Fertigungsschema Rohstoffe A Zwischenprodukte B Stufe Stufe C Endprodukte Als Verflechtungsdiagramm Als Stückliste (Verflechtungstabelle: R R 6 Z Z Z R R 6 Z Z Z Z Z Z 5 E E E E E E Z Z Z 5

8 Verflechtungsmatrizen 59 Aus den Stücklisten werden Verflechtungsmatrizen gebildet. A = ( 6 ( B = 5 Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix A = A RZ B = B ZE Beachten Sie: Die Matrix A enthält den Rohstoffeinsatz für die Zwischenprodukte, die Matrix B enthält den Zwischenprodukteinsatz für die Endprodukte. b Berechnung der Rohstoff-Endprodukt-Matrix C Für die Produktion von je einer ME E braucht man ME Z ; für je ME Z braucht man ME R, also insgesamt ME R und ME Z ; für je ME Z braucht man ME R, also insgesamt ME R und 5 ME Z ; für je ME Z braucht man ME R, also insgesamt ME R. Für die Produktion von je einer ME E braucht man insgesamt 7 ME R. Für die Produktion von je einer ME E braucht man ME Z ; für je ME Z braucht man ME R, also insgesamt ME R und ME Z ; für je ME Z braucht man ME R, also insgesamt ME R und 5 ME Z ; für je ME Z braucht man 6 ME R, also insgesamt ME R. Für die Produktion von je einer ME E braucht man insgesamt ME R. Multiplikation der Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A mit der. Spalte der Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B ergibt: ( 6 ( 5 = ( 7 Zur Herstellung je ME des Endproduktes E braucht man 7 ME von Rohstoff R und ME von R. Multiplikation der Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A mit der Zwischenprodukt- Endprodukt-Matrix B ergibt: ( 6 ( 5 = ( Rohstoff-Endprodukt-Matrix C A B = C Zur Herstellung je ME des Endproduktes E braucht man 6 ME von Rohstoff R und 7 ME von R, des Endproduktes E braucht man ME von Rohstoff R und ME von R. Beachten Sie Die Matrix C enthält den Rohstoffeinsatz für die Endprodukte.

9 6 III Ein- und zweistufige Produktionsprozesse Ein Unternehmen fertigt aus den Baugruppen B, B und B drei Typen von Geräten G, G und G. Für die Herstellung dieser Baugruppen werden die Bauteile T, T und T benötigt. Die Matrix A beschreibt den Bedarf an Bauteilen für die Baugruppen, die Matrix C beschreibt den Bedarf an Bauteilen für die Gerätetypen. A = ( ( ; C = Zeigen Sie: Die Matrix, die den Bedarf an Baugruppen für die verschiedenen Geräte angibt, ist B = ( Fertigungsschema. Bauteile Rohstoffe A Baugruppen B Stufe Zwischenprodukte Stufe C Geräte Endprodukte Gegeben: A = A RZ ; C = C RE Gesucht ist die Matrix B = B ZE. Zusammenhang: Multiplikation ergibt ( Damit ist gezeigt: B = ( Verflechtungsdiagramm: Hinweise: B lässt sich aus A B = C berechnen: B = A C (sofern die Inverse von A existiert. Bedeutung des Elements b = der Baugruppen-Geräte-Matrix B = ( : A B = C ( ( = B B B Zur Herstellung eines Geräts vom Typ G benötigt man Baugruppen B. B ist die Matrix, die den Bedarf an Baugruppen für die verschiedenen Geräte angibt. Für ein Gerät, z. B. G, benötigt man zwei Baugruppen B, eine Baugruppe B und vier Baugruppen B. G T T T G G

10 6 III Ein- und zweistufige Produktionsprozesse Was man wissen sollte über einen zweistufigen Produktionsprozess Darstellung eines zweistufigen Produktionsprozesses durch Stücklisten: Z Z Z E E E E E E R Z R R Z R Z durch Verflechtungsmatrizen: A = A RZ Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix B = B ZE Zwischenprodukt- Endprodukt-Matrix C = C RE Rohstoff-Endprodukt- Matrix durch ein Fertigungsschema: Rohstoffe A Zwischenprodukte B Stufe Stufe C Endprodukte Beachten Sie Die Matrix A beschreibt, wie viel ME der einzelnen Rohstoffe für je eine ME der Zwischenprodukte benötigt werden. Die Matrix B beschreibt, wie viel ME der einzelnen Zwischenprodukte für je eine ME der Endprodukte benötigt werden. Die Matrix C beschreibt, wie viel ME der einzelnen Rohstoffe für je eine ME der Endprodukte benötigt werden. Bemerkung: Die Zeilenzahl von B muss mit der Spaltenzahl von A übereinstimmen. Die Zeilenzahl von C muss mit der Zeilenzahl von A übereinstimmen. Beachten Sie Zwischen den Verflechtungsmatrizen gilt der Zusammenhang: A B = C Merkregel: (RZ (ZE = (RE Hinweis: Es wird unterstellt, dass die Rohstoffe nur über die Produktion der Zwischenprodukte in die Endprodukte eingehen.

11 Verflechtungsmatrizen 6 Ein Produktionsprozess, bei dem aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z und aus diesen die Endprodukte E und E hergestellt werden, wird beschrieben durch die Matrizen A = A RZ = ( und C = C RE = ( 7. Wie viele ME der beiden Zwischenprodukte braucht man für je eine ME der Endprodukte? Die Matrix B = B ZE gibt an, wie viele Zwischenprodukte man für je eine ME der Endprodukte braucht. Es gilt: und daraus folgt für B: Berechnung der Inversen von A: ( A B = C B = A C ( ( ( (,5,5 Gesuchte Matrix A : A = (,5,5 ( ( : : daraus folgt für B: B = A C = (,5,5 B = ( Ergebnis: Für ME E braucht man ME Z und ME Z. Für ME E braucht man ME Z und ME Z. ( 7 Hinweis: Zwischen den Verflechtungsmatrizen A = A RZ, B = B ZE und C = C RE gilt der Zusammenhang: A B = C. Folgerungen für quadratische Matrizen (falls die Inversen existieren: A = C B bzw. B = A C. Aufgaben Ein Betrieb produziert in einem zweistufigen Produktionsprozess aus den Rohstoffen R, R und R die Zwischenprodukte Z, Z und Z und daraus die Endprodukte E, E und E. Die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A und die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B sind wie folgt gegeben (alle Angaben in Mengeneinheiten (ME: A = ( 5 ( ; B = 5 Wie viel ME der einzelnen Rohstoffe werden für je eine ME der Endprodukte benötigt?

12 6 III Ein- und zweistufige Produktionsprozesse Ein Produktionsprozess, bei dem aus den Rohstoffen R, R und R die Zwischenprodukte Z und Z und aus diesen die Endprodukte E und E hergestellt werden, wird beschrieben durch die folgenden Tabellen: E E E E Z R 6 Z R R 5 8 Wie viele ME der drei Rohstoffe braucht man für je eine ME der Zwischenprodukte? Die Spielzeugfirma Leroy stellt aus drei Rohstoffen R, R und R Steckteile (Frontteile Z, Mittelteile Z und Heckteile Z für Spielzeugautos her. Der Hersteller verkauft als Endprodukte E, E, E und E Packungen mit Steckteilen. Für ein Frontteil benötigt man jeweils ME R und R und ME R, für ein Mittelteil jeweils E E E E ME R und R und ME R, für ein Heckteil ME R, 5 ME R Z und ME R. Z Die Tabelle gibt an, wie viele Steckteile in die einzelnen Endprodukte eingehen. Wie viele Rohstoffe gehen in die einzel- Z nen Endprodukte ein? Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z und daraus die Endprodukte E und E her. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME ist den Tabellen zu entnehmen. Z Z E E E E R Z a c R R Z b R d Berechnen Sie die Werte a, b, c und d. Zeichnen Sie ein Verflechtungsdiagramm. 5 Ein Fertiggaragenhersteller produziert aus zwei Rohstoffen R und R drei Baugruppen B, B und B und daraus drei Typen von Fertiggaragen G, G und G. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME ist dem Diagramm und der Tabelle zu entnehmen. R R G G G R 5 8 R 7 8 B B B a b c G G G Bestimmen Sie die Matrix, die den Bedarf an Baugruppen je Fertiggaragentyp angibt.

13 Produktions- und Verbrauchsvektoren 65 Produktions- und Verbrauchsvektoren Ein Unternehmen stellt aus drei Rohstoffen R, R und R Zwischenprodukte und daraus die Endprodukte E, E und E her. Die nebenstehende Stück liste gibt den Bedarf an Rohstoffen für je ME der Endprodukte an. E E E R R R 5 a Wie viele Rohstoffe werden benötigt, um ME von E, 5 ME von E und ME von E herzustellen? b Wie viele Endprodukte können aus 7 ME von R, 5 ME von R und ME von R hergestellt werden? Für die Produktion von je einer ME E braucht man ME R, je einer ME E braucht man ME R, je einer ME E braucht man ME R. a Für die Produktion von ME von E, 5 ME von E und ME von E braucht man ( ME R, also 7 ME R. braucht man ( ME R, also ME R. braucht man ( ME R, also 7 ME R. Ergebnis: Für die Herstellung von ME von E, 5 ME von E und ME von E werden 7 ME von R, ME von R und 7 ME von R benötigt. In Matrixschreibweise: ( 5 ( 5 = C RE x = ( 7 7 b Aus den Rohstoffen werden x ME von E, x ME von E und x ME von E produziert. Dann gilt für 7 ME R : x + x + x = 7 für 5 ME R : x + x + x = 5 und für ME R : x + x + 5 x = Das lineare Gleichungssystems für x, x, x : ( Auflösung des linearen Gleichungssystems (Zeile und Zeile werden getauscht: ( ( ~ ( ~ : x =, x =, x = 6. Ergebnis: Es können ME von E, ME von E und 6 ME von E hergestellt werden. Produktionsvektor für die Endprodukte: x = ( x x x ( = 6 LGS in Matrixschreibweise: ( 5 ( x x x = C RE x = ( 7 5

14 66 III Ein- und zweistufige Produktionsprozesse Man unterscheidet folgende Vektoren: Verbrauchsvektor für die Rohstoffe: Produktionsvektor bzw. Verbrauchsvektor für die Zwischenprodukte: Produktionsvektor für die Endprodukte: r = ( r r r z = ( z z z x = ( x x x Beachten Sie: Verbrauchsvektoren besagen, wie viel ME an Rohstoffen bzw. Zwischenprodukten benötigt werden. Produktionsvektoren besagen, wie viel ME an Zwischenprodukten bzw. Endprodukten hergestellt werden. Ein Betrieb fertigt in einem zweistufigen Produktionsprozess aus den Rohstoffen R, R und R zunächst die Zwischenprodukte Z, Z und Z und daraus die Endprodukte E, E und E. Die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A und die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B sind gegeben durch A = ( und B = ( a Wie viele Zwischenprodukte werden benötigt, um 6 ME von E, 7 ME von E und 5 ME von E herzustellen? b Wie viel Endprodukte können aus ME Z, 6 ME von Z und ME von Z hergestellt werden? c Wie viel Rohstoffe braucht man zur Herstellung von ME von E, ME von E und ME von E? a Die Matrix B gibt an, wie viel ME an Zwischenprodukten für die Herstellung von je einer ME der Endprodukte gebraucht werden. Für die Produktion von je einer ME E braucht man ME Z, je einer ME E braucht man ME Z, je einer ME E braucht man ME Z. Für die Produktion von 6 ME von E, 7 ME von E und 5 ME von E braucht man ( ME Z, also ME Z. Für die Produktion von 6 ME von E, 7 ME von E und 5 ME von E braucht man ( ME Z, also 6 ME Z. Für die Produktion von 6 ME von E, 7 ME von E und 5 ME von E braucht man ( ME Z, also ME Z. Ergebnis: Es werden ME von Z, 6 ME von Z und ME von Z benötigt. D. h., die Multiplikation von B mit dem Produktionsvektor für die Endprodukte x ergibt den Verbrauchsvektor für die Zwischenprodukte z. In Matrixschreibweise: ( ( ( = 6 bzw. B x = z..

15 Produktions- und Verbrauchsvektoren 67 b Für die Produktion von je einer ME E braucht man ME Z, je einer ME E braucht man ME Z, je einer ME E braucht man ME Z. Für die Produktion von x ME von E, x ME von E und x ME von E braucht man x + x + x (in ME Z, insgesamt ME Z, und x + x + x (in ME Z, insgesamt 6 ME Z, und x + x + x (in ME Z, insgesamt ME Z. Mit B x = z erhält man ein lineares Gleichungssystem für x, x, x. x + x + x = x + x = 6 x + x + x = In Matrixform ( 6 Auflösung ( 8 ( des linearen Gleichungssystems: x =, x = 6, x = 8 x svektor: = ( x x x ( = 6 8 (Produktionsvektor Ergebnis: Es können ME von E, 6 ME von E und 8 ME von E hergestellt werden. c Die Matrix A gibt an, wie viel ME an Rohstoffen für die Herstellung von je einer ME der Zwischenprodukte gebraucht werden. Die Matrix A B (= C; Rohstoff-Endprodukt-Matrix gibt an, wie viel ME an Rohstoffen für die Herstellung von je einer ME der Endprodukte gebraucht werden. Berechnung des Rohstoffvektors x r für den Produktionsvektors = ( x = ( ( ( ( = ( ( = 8 8 Man braucht 8 ME R, ME R und 8 ME R. Alternative: Berechnung über die Zwischenprodukte ( ( ( = Man braucht 6 ME Z, 6 ME Z und 6 ME Z. und dafür ( ( ( = 8 8. Man braucht 8 ME R, ME R und 8 ME R.

16 Stochastische Übergangsprozesse 87 Stochastische Übergangsprozesse. Stochastische Matrix Eine stochastische Matrix als Übergangsmatrix beschreibt die Wahrscheinlichkeiten, mit denen sich ein bestehender Zustand verändert. Dadurch lassen sich künftige Entwicklungen vorausberechnen. Stimmzettel In einem Zweiparteienstaat mit den Parteien PS und PP haben langfristige Beobach- PSOE Partido Socialista tungen des Verhaltens der Bürger bei einer PP Partido Popular Wahl ergeben, dass 7 % der Wähler von Partei PS und 8 % der Wähler von Partei PP ihrer Partei treu bleiben. Die Wähler von Partei PS wechseln zu % zur Partei PP, während sich umgekehrt % der Wähler von Partei PP bei der folgenden Wahl für die Partei PS entscheiden. a Geben Sie die zugehörige Übergangsmatrix an. b Bei der letzten Wahl erhielt die Partei PS 5 % und Partei PP 75 % aller Stimmen. Bestimmen Sie die zu erwartende Stimmenverteilung nach der nächsten und der übernächsten Wahl. a Übergangsgraph: Übergangsgraph,7,,8 PS PP Übergangstabelle:, von zu PS PP PS,7, PP,,8,7;,; lassen sich als Wahrscheinlichkeiten interpretieren. Übergangsmatrix: A = (,7,,,8 stochastische Matrix Hinweis: Die. Spalte bedeutet: 7 % der Wähler von PS wählen wieder PS. % der Wähler von PS wechseln zur Partei PP. Die Elemente der Hauptdiagonalen von A geben die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Wähler bei der nächsten Wahl wieder die gleiche Partei wählt. Dieser Übergangsprozess ist ein stochastischer Prozess. Beachten Sie: Eine stochastische Matrix A ist quadratisch und hat nur nichtnegative Elemente. Die Summe der Elemente in jeder Spalte ist.

17 88 IV Übergangsprozesse b Für die Stimmverteilung nach der nächsten Wahl gilt: Für Partei PS:,7,5 +,,75 =,5 und für PP:,,5 +,8,75 =,675 Hinweis: Der Startvektor beschreibt die Anfangsverteilung, den Anfangszustand. x Mit dem Startvektor (Anfangsverteilung = (,5,75 erhält man: A x = (,7,,,8 (,5,75 ( =,5,675 = x Nach der nächsten Wahl hat die Partei PS voraussichtlich,5 %, die Partei PP 67,5 % aller Stimmen. Stimmverteilung nach der übernächsten Wahl: x Mit dem Verteilungsvektor = (,5,675 erhält man: A x = (,7,,,8 (,5,675 ( =,65,675 = x Nach der übernächsten Wahl hat die Partei PS voraussichtlich 6,5 %, die Partei PP 6,75 % aller Stimmen. Anfangszustand x A A x Zustand x A A x Zustand x Oder: Mit dem Startvektor x erhält man Mit A A = A : Berechnung von A : (,7, x = A x = A A x x = A x,,8 (,7,,,8 ( =,55,5,,7 Hinweis: Die. Spalte bedeutet für die übernächste Wahl: 55 % der Wähler von PS wählen wieder PS. 5 % der Wähler von PS wechseln zur Partei PP. Mit dem Startvektor: x = (,5,75 erhält man x = (,55,5,,7 (,5,75 ( =,65,675. Bei der übernächsten Wahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 6,5 % die Partei PS, mit einer Wahrscheinlichkeit von 6,75 % die Partei PP gewählt. Allgemein gilt: Zustand x A Zustand y Aus Zustand x wird mithilfe der Matrix A der Zustand y : A x = y.

18 Stochastische Übergangsprozesse 89 In einer Stadt mit den Theatern S und T stellt man durch Befragung folgendes fest: 7 % der Besucher von S kommen beim nächsten Mal wieder, der Rest besucht das Theater T. 6 % der Besucher von T kommen beim nächsten Mal wieder, der Rest geht ins Theater S. a Stellen Sie die Übergangsmatrix für diesen Prozess auf. b Im Theater S sind heute Besucher, im Theater T Besucher. Bestimmen Sie die voraussichtlichen Besucherzahlen bei der nächsten und der übernächsten Auf führung. Übergangsmatrix: A = (,7,,,6 Für die Verteilung beim nächsten Besuch gilt in Theater S:,7 +, = 8 und in Theater T:, +,6 = In Matrixschreibweise: (,7,,,6 ( = ( 8 Bei der nächsten Aufführung sind im Theater S 8 und im Theater T Besucher. Die Gesamtzahl der Besucher bleibt gleich, da in der Übergangsmatrix jeweils die Spaltensumme ist. Besucherzahlen beim zweimaligen Wechsel: (,7,,,6 ( 8 = (, 96,6 Beim zweimaligen Wechsel sind im Theater S und im Theater T 97 Besucher. Oder: Verteilung beim zweimaligen Wechsel: Aus x = A x = A A x ergibt sich Berechnung von A : A = (,7, x = A x. und damit (,6,9,,6 (,7,,,6 ( =,6,9,5,8 ( = (, 96,6.,5,8 Erläuterung:,9 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher von S bei seinem übernächsten Theaterbesuch das Theater T aufsucht. Hinweis: Da man für diesen Austauschprozess immer die gleiche Übergangsmatrix verwendet, bezeichnet man die Zustandsfolge x = ( als Markowkette. ; x = ( 8 ; x = (, 96,6 ;

19 9 IV Übergangsprozesse In der Nähe von zwei Supermärkten S und S wird ein neuer Supermarkt S eröffnet. Bisher waren die beiden Supermärkte S und S die einzigen großen Einkaufsmärkte in der Umgebung. S hatte einen Marktanteil von 6 %, S einen Marktanteil von %. Die Marktforschung rechnet mit folgenden wöchentlichen Kundenwanderungen: In jeder Woche werden % der bisherigen Kunden von S zu S und % der Kunden von S zu S wechseln. Außerdem werden % der Kunden von S wieder zu S und % zu S wechseln. a Stellen Sie die Kundenwanderung in einem Übergangsgraphen dar. Erstellen Sie die Übergangsmatrix A, die die Kundenwanderung beschreibt. b Berechnen Sie den Marktanteil für jeden der drei Märkte aufgrund der ermittelten Kundenwanderung nach zwei Wochen. a Unter der Kundenwanderung versteht man den Anteil der Kunden, die pro Woche von einem Markt zu einem anderen wechseln. Der untersuchte Kundenkreis kauft entweder bei S oder S oder S ein. Das Übergangsverhalten lässt sich mithilfe eines Diagramms darstellen: Übergangsgraph: 8 % 8 % S % % % % S S 7 % Übergangstabelle: Übergangsmatrix A: A = (,8, Erläuterung: von nach S S S S,8, S,7, S,,,8,7,,,,8 Die. Spalte der Matrix A bedeutet, dass 8 % der Kunden von S dem Supermarkt S treu bleiben, niemand von S zu S und % der Kunden von S zu S wechseln. Die. Zeile von A bedeutet, dass kein Kunde von S zu S wechselt, 7 % der Kunden von S weiterhin in ihrem Markt S einkaufen und % von S zum Markt S wechseln.

20 Stochastische Übergangsprozesse 9 b S hatte einen Marktanteil von 6 % und S einen Marktanteil von %, d. h., die Anfangsverteilung ist x = (,6, (Startvektor. Berechnung der Verteilung nach der. Woche durch Multiplikation von A mit der Anfangsverteilung: A x = (,8,,7,,,,8 (,6, ( =,8,8, = x Marktanteil für jeden der drei Märkte nach einer Woche: 8 % für Markt S, 8 % für Markt S und % für Markt S. Für die Marktanteile nach der. Woche gilt: A x = (,8,,7,,,,8 (,8,8, ( =,8,,7 = x Marktanteil für jeden der drei Märkte nach zwei Wochen:,8 % für Markt S, % für Markt S und 7, % für Markt S. Die Kundenverteilung der aktuellen Woche erhält man, indem man die Kundenverteilung der Vorwoche mit der Übergangsmatrix A multipliziert: x = A x x = A x = A A x = A x x = A x = A x ; d. h., mithilfe von A lässt sich die Kundenverteilung nach Wochen berechnen bzw. mithilfe von A lässt sich die Kundenverteilung nach Wochen berechnen. (mit Hilfsmittel: x = A x = A (,6, x = (,66,,,,5,5,6,5 x = (,8, ist die Verteilung nach zwei Wochen.,7,69 (,6, ( =,8,,7 Erläuterungen zu A : Die. Spalte der Matrix A bedeutet für die Kundenwanderung in der. Woche: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde von S seinen übernächsten Einkauf wieder in S tätigt, beträgt 66 %; in S tätigt, beträgt %; in S tätigt, beträgt %; nicht in S tätigt, beträgt,66 =,.

21 96 IV Übergangsprozesse In einem Staat mit den Parteien PS und PP (vgl. S. 87 beschreibt die Übergangs matrix A = (,7, das Wählerverhalten. Bei der, letzten Wahl erhielt die Partei PS 5 % und Partei PP 75 % aller Stimmen. a Berechnen Sie A und interpretieren Sie die. Spalte.,8 b Gibt es eine Stimmenverteilung, die sich reproduziert? c Ermitteln Sie, wie viele der Wähler von Partei PS ihrer Partei die Treue halten müssten, wenn Partei PS bei der nächsten Wahl ihren jetzigen Stimmenanteil auf % steigern möchte. d Gegeben sind A = (,6,996,599,6 und A = (,,,6,6 (gerundet auf Dezimalen. Interpretieren Sie. a A = A A = (,55,,5,7, bedeutet: Bei der übernächsten Wahl wählen die Anhänger von PP die Partei PS mit einer Wahrscheinlichkeit von %.,7 bedeutet: Bei der übernächsten Wahl wählen die Anhänger von PP wieder die Partei PP mit einer Wahrscheinlichkeit von 7 %. b Für eine Stimmverteilung x = ( x x mit x + x =, die sich reproduziert, x x muss gelten: = A Bedingungen für x und x : (,7, Mit x + x =, bzw. x = x erhält man: (,7,,,8 ( x x = ( x x,,8 ( x x = ( x x Die Gleichung,5 x +, = x oder die Gleichung,5 x +,8 = x hat jeweils die x =,. Einsetzen ergibt: x = x =,6 Hat die Partei PS % und die Partei PP 6 % aller Stimmen, ändert sich die Stimmenverteilung bei einer Wahl (Übergangsmatrix A nicht mehr. x = (,,6 heißt Stabilitätsvektor (stationärer Zustand. Probe: A (,,6 = (,7,,,8 (,,6 = (,,6

22 Stochastische Übergangsprozesse 97 c Der Anteil der Wähler von PS, die ihrer Partei treu bleiben, sei a. Der Anteil der Wähler von PS, die zur Partei PC wechseln, ist dann a. Stimmenverteilung nach der x nächsten Wahl: = (,,6 Mit dem Startvektor (,5,75 ( muss gelten: a, a,8 (,5,75 ( =,,6 Ausmultiplizieren ergibt:,5a +,5 =, a =,5,5a +,6 =,6 a = Nur wenn alle Wähler der Partei PS wieder PS wählen, gelingt es Partei PS, bei der nächsten Wahl ihren jetzigen Stimmenanteil auf % zu steigern. d Die Matrixpotenzen A n streben für n gegen die Matrix (,,6 Bemerkung: Die Übergangsmatrix A n stabilisiert sich für n zur Grenzmatrix G = (,,,6,6. Diese Matrix beschreibt die Grenzverteilung (,,6 (langfristige Verteilung.,,6. Dies bedeutet, dass sich die Wähler zu % für Partei PS und zu 6 % für Partei PP entscheiden. Es gilt also: lim n A n = (,,6,,6. Die Spaltenvektoren sind alle gleich und entsprechen der stationären Verteilung. e für verschiedene Startvektoren: (,,6,,6 (,5,5 ( =,,6 (,,6,,6 ( = (,,6 Hinweis: Jede beliebige Verteilung strebt gegen die stationäre (stabile Verteilung (siehe Teilaufgabe b. Beachten Sie: Gilt für eine stochastische Matrix A lim A n = G, so besteht die Matrix G aus lauter n ( x x x x x x gleichen Spalten: G =. x n x n x n G heißt Grenzmatrix. Der Spaltenvektor x x x =... ist ein Stabilitätsvektor. x n Die stationäre (stabileverteilung und die Grenzverteilung stimmen überein. Berechnung des Stabilitätsvektors ( Fixpunktgleichung x = A x Matrixpotenz A n lim A n = G n

23 98 IV Übergangsprozesse In der Stadt Wangen gibt es drei Baumärkte B, B und B (vgl. S. 9. Die Übergangsmatrix A = (,,,,8,5, beschreibt den,9,5 Anteil der Kunden, die jeden Monat von Baumarkt B j zu Baumarkt B i wechseln.,6 a Berechnen Sie eine Verteilung, die sich aufgrund der oben genannten Kundenströme nicht mehr ändert. Wie lautet die zugehörige Grenzmatrix G? b Bestimmen Sie die langfristige Verteilung für 5 Kunden. Ändert sich diese Verteilung, wenn zu Beginn alle Kunden bei B einkaufen? a Gesucht ist also die Verteilung, die sich durch Multiplikation mit A nicht mehr ändert, die stationäre Verteilung. Der Stabilitätsvektor x x x mit den Eigenschaften A = und x + x + x = beschreibt diese stabile (stationäre Verteilung. Der Ansatz A x = x führt mit x = ( x x x x auf (,,8,9,,5,5,,,6 ( x x x x ( = x x x x Daraus folgt das LGS, x +, x +,( x x = x,8 x +,5 x +,( x x = x,9 x +,5 x +,6( x x = x x Vereinfachung ergibt 89 x + x = ( x + 97 x = ( 9 x + 99 x = 5 ( Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich x =, und x =,. Probe in der Gleichung ( und Einsetzen in x + x + x = ergibt x =,. x Stabilitätsvektor = (,,, Die Verteilung: % aller Kunden kaufen im Baumarkt B, % in B und % in B, ist die stationäre Verteilung. Die stationäre Verteilung stimmt mit der langfristigen Verteilung überein. Die Spalten der Grenzmatrix stimmen überein und entsprechen der langfristigen Verteilung (dem Stabilitätsvektor x = (,,, ( : G =,,,,,,,,,,

24 Zyklische Verteilungen 5 Zyklische Verteilungen Bei einer Insektenart vollzieht sich die Entwicklung in einem -monatigen Zyklus. Insekten legen durchschnittlich 5 Eier und sterben danach. Aus den Eiern entwickeln sich innerhalb eines Monats % zu Larven. Nur % der Larven überleben den folgenden Monat und entwickeln sich zu Insekten, die wiederum 5 Eier legen. a Zeichnen Sie ein Entwicklungsdiagramm und geben Sie die Übergangsmatrix an. b Wie entwickelt sich eine Startpopulation von Eiern, Larven und Insekten im Laufe eines Zyklus? c Wie entwickelt sich die Population aus b, wenn die Überlebensraten gleich bleiben und sich die Vermehrungsrate durch ein günstiges Klima auf 5 erhöht bzw. die Vermehrungsrate auf sinkt? a Entwicklungsdiagramm (Ablaufplan für einen Entwicklungszyklus: Hinweis: a und a sind Überlebensraten, v ist die Vermehrungsrate. Darstellung des Übergangsverhaltens in Tabellenform: Erläuterung: Aus Eiern (E entwickeln sich nur Larven (L, aus L nur Insekten (I, aus I nur E. Aus der Tabelle erhält man die Übergangsmatrix: A = (,, b Mit der Startpopulation x = ( erhält man die Population x nach einem Monat: x = A x = (,, 5 ( ( = Population x nach Monaten: x = A x = ( 75 Population x nach Monaten: x = A x = ( = x E a =, L a =, I v = 5 zu von E L I E 5 L, I, Die Population entwickelt sich zyklisch. In einem Zyklus von Monaten stellt sich die Startpopulation wieder ein. Ist das Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate gleich ( a a v =,, 5 =, so entwickelt sich die Population zyklisch. 5. Aus E entwickeln sich, = L, aus L entwickeln sich, = 96 I, I legen 5 = 75 E. Hinweis: E, L, I 5 E

25 6 IV Übergangsprozesse Erläuterungen: Aus x = A x folgt mit x = A x : Ebenso gilt A = (,, 5 ; A = (, x = A A x = A x. x = A x.,5 ; A = ( = E Bei einem dreimonatigen Zyklus gilt A = E (Einheitsmatrix wegen a a v =. Das Produkt aus Überlebensraten und Vermehrungsrate ist gleich. x Daher gilt: = A x = E x = x. Hinweis: Gilt A = E, so reproduziert sich jede Population mit der Übergangsmatrix A nach Monaten. A ist eine zyklische Matrix. Jede (Start- Population, z. B. x = ( oder auch x = ( 75, reproduziert sich 96 nach drei Monaten. c Mit der neuen Übergangsmatrix A* = (,, 5 folgt für A* = ( Für die Population nach Monaten erhält man x = A* x = ( 8 6. Die Ausgangspopulation verdoppelt sich alle Monate. Das Wachstum ist unbegrenzt. a a v = bedeutet eine Vermehrung um %. Mit der neuen Übergangsmatrix A** = (,, folgt für A** = (,8 Für die Population nach Monaten erhält man x = A** x = ( 8 9. Die Ausgangspopulation hat sich in Monaten auf 8 % verringert. Die Population stirbt aus. a a v =,8 bedeutet eine Abnahme um % in Monaten..,8,8. Beachten Sie: Eine Matrix A heißt zyklisch, wenn A n = E für n > ist. Eine Populationsentwicklung wird durch die Übergangsmatrix A = ( v a a beschrieben. Dabei sind a und a die Überlebensraten und v die Vermehrungsrate. a a v <, stirbt die Population aus. Gilt a a v =, entwickelt sich die Population zyklisch (Zykluslänge n =. a a v >, nimmt die Population zu.

26 Zyklische Verteilungen 9 Die Übergangsmatrix A = (, beschreibt die jährliche Änderung einer Population. b a Wie entwickelt sich für b =, ein Anfangsbestand von ( 5 im Laufe von drei Jahren? Interpretieren Sie die Entwicklung. b Für welches b reproduziert sich eine beliebige Startpopulation nach Jahren? Für welches b nimmt eine beliebige Startpopulation nach Jahren um % zu? 5 Bei einer Tierart werden drei Altersstufen (Jungtiere A, ausgewachsene Tiere A und Alttiere A unterschieden. Das Prozessdiagramm beschreibt die jähr- A a A v a A lichen Veränderungen einer Population dieser Tierart. a Bestimmen Sie die Übergangsmatrix A für a =,5, a =, und v =. Zeigen Sie, dass A zyklisch ist für n =. b Bestimmen Sie eine Altersverteilung von insgesamt Tieren, die sich jährlich reproduziert. c Die jährliche Entwicklung lässt sich durch die Übergangsmatrix A* = (, beschreiben. Beschreiben Sie den Unterschied zu a. 5, 6 Fischzüchter haben sich über die Entwicklung der Fische informiert und Folgendes in Erfahrung gebracht: Nur die Altfische (A legen Eier, aus denen sich ein Teil im ersten Jahr zu Jungfischen (J entwickelt. Jeder Altfisch erzeugt auf diesem Wege im Durchschnitt 5 Jungfische. Aus % der Jungfische werden im zweiten Jahr Fische mittleren Alters (M, der Rest verstirbt oder wird gefressen. Die Überlebensrate der Fische mittleren Alters beträgt %. Diese werden im darauf folgenden Jahr Altfische, die nach der Eiablage abgefischt werden. Die Übergangsmatrix hat die Form A = ( a a v. a Zeichnen Sie ein Übergangsdiagramm mit den entsprechenden Zahlenwerten. b Die Züchter setzen im ersten Jahr 5 Jungfische und Fische mittleren Alters aus. Bestätigen Sie, dass der Bestand nach drei Jahren aus 5 Jungfischen, 9 Fischen mittleren Alters und Altfischen besteht. c Dieser Bestand (5 J, 9 M, A soll als Startpopulation gelten. Ermitteln Sie A für die Fischpopulation und bestimmen Sie mit deren Hilfe den Bestand nach und nach 6 Jahren. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse hinsichtlich der langfristigen Entwicklung der Population. d Nach einigen Jahren befinden sich 87 Jungfische, 5 Fische mittleren Alters und 86 Altfische im Teich. Ermitteln Sie die Vorjahrespopulation. e Die Vermehrungsrate v der Altfische soll gesteigert werden. Ermitteln Sie, bei welcher Vermehrungsrate v die Startpopulation im -Jahres-Zyklus stabil bleiben würde. f Die Übergangsmatrix hat sich geändert zu A* = ( 5,. Erläutern Sie.,,5

27 Zyklische Verteilungen Test zur Überprüfung Ihrer Grundkenntnisse Vervollständigen Sie das Diagramm. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix. X,5 Y,5 Gegeben ist die Übergangsmatrix A = (,7,,5,,8,5,,,9. Zeichnen Sie einen Übergangsgraph. Bestimmen Sie die Verteilung x für den Startvektor x = ( 8. Die Bewohner einer Stadt können zwischen drei Frisörsalons F, N und V wählen. Der nebenstehende Graph gibt das Wahlverhalten der Bewohner von einem Besuch zum nächsten an. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Gesamtanzahl der Frisörbesuche konstant bleibt. a Geben Sie die in der zugehörigen Übergangsmatrix A fehlenden Werte an:, A =,,8, (, b Geben Sie den Wert d der Matrix A = ( a d g Interpretieren Sie diesen Wert. b e h c f i an. Die Populationsentwicklung einer Tierart wird durch die Matrix A = (,5 beschrieben.,5 a Zeichnen Sie den Übergangsgraphen und beschreiben Sie diesen Graphen aus biologischer Sicht. b Zeigen Sie, dass es eine Population gibt, die sich jährlich wiederholt. Bestimmen Sie die Altersverteilung in dieser stationären Population, wenn sie insgesamt 6 Tiere umfasst. F, V,8,,, N,,7,8 8

28 ANHANG ANHANG Musteraufgaben für das Abitur Teil (ohne Hilfsmittel Lineare Algebra: Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen Hinweis: Teil (ohne Hilfsmittel Aufgabe umfasst 5 bis 8 Punkte.. Anna, Biggi und Chris schicken sich öfter SMS-Nachrichten. In der letzten Woche schrieb Anna an Biggi 58 und an Chris SMS, Biggi schrieb 6 an Anna und 8 an Chris. Chris schrieb an Anna und Biggi jeweils 5 SMS. Stellen Sie die SMS-Kontakte grafisch dar. Begründen Sie, dass in der Hauptdiagonale der Matrix, die die Häufigkeit der SMS-Kontakte wiedergibt, stets steht.. A, B und X sind -Matrizen. Bei welchen der folgenden Terme kann X ausgeklammert werden? ( A X + X ( X A + B X In manchen Fällen kann man die Gleichung A X + X = B nicht nach X umstellen. Geben Sie dafür eine mögliche Matrix A an. Punkte Punkte. Die Kunden eines Getränkemarktes kaufen wöchentlich eine der beiden Fruchtsaftspezialitäten Apfelsaft (A oder A Orangensaft (O. Das Übergangsdiagramm, beschreibt das Kaufverhalten der Kunden von einer Woche zur folgenden Woche. Man nimmt an, dass sich das Kaufverhalten auf Dauer nicht verändert. O,8 Geben Sie die vollständige Übergangsmatrix M = (, an. Erläutern Sie die Bedeutung der Elemente der Hauptdiagonale von M.. Gegeben ist die Matrix A = (,8,6,,. Lösen Sie die Matrizengleichung (E A x =. E ist hierbei die zugehörige Einheitsmatrix.