Klausur 2 Kurs 13Ma1e Mathematik

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1 Klausur 2 Kurs Mae Mathematik Lösung Version Gegeben sind zwei Ebenen E und E 2 : E : 2 x x 2 x =6 E 2 : x = a) Berechnen Sie die Gleichung der Schnittgerade der beiden Ebenen. Plan: E 2 wird in die Koordinatenform umgewandelt. Die Gleichungen für E und E 2 bilden ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und Unbekannten. Eine der Unbekannten wird als Parameter λ gewählt. E E 2 { 2 x x x =6 2 x x 2 x =} ={ x 2 x x =6 bei E 2 x x 2 = } + 2 einsetzen x = x 2 = x 2 =6 x 2 =2 Schnittgerade: x=x x = x 6 2 = 2 b) Berechne Sie den Winkel, unter dem sich die beiden Ebenen schneiden. Umwandeln von E in die Normalenform: E : x 2 6= Der Winkel α zwischen den Normalenvektoren von E und E 2 ist der Winkel zwischen den Ebenen: cos= = = 4 = 4,7 bzw. 6, 54 2 Es sind gegeben eine Geradenschar und eine Ebenenschar: g k : x= 2 k 2 E k : x= 2 2 k a) Ermitteln Sie rechnerisch, ob es einen k-wert gibt, bei dem die Gerade parallel zur Ebene verläuft. Die Gerade läuft dann parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht. Berechnung des Normalenvektors: 2 k 2 Die Vektoren stehen senkrecht, wenn k = 2 k 2 2 k Für k = verläuft also die Gerade parallel zur Ebene. = 2 kk 4= =k Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite von 7

2 b) Ermitteln Sie rechnerisch, ob es einen k-wert gibt, bei dem die Gerade senkrecht zur Ebene steht. Die Gerade verläuft senkrecht zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden parallel zum Normalenvektor der Ebene liegt. { Es muss also gelten: k =c 2c k } k=c 2 2= 2c 2 =c 2k Aus der. Gleichung folgt c= und damit aus der 2. Gleichung k =. Eingesetzt in die. Gleichung ergibt sich = 2. Diese Aussage ist falsch. Also gibt es kein k, so dass die Gerade senkrecht zur Ebene steht. Berechnen Sie, für welches k die Ebene E den größten Abstand vom Punkt (//) hat. E : x 2 k 6= In die Hessesche Normalenform wird der Nullvektor eingesetzt. Auf der rechten Seite ergibt sich dann statt der Abstand des Punktes zur Ebene. HNF: 4k 2 x 2 k 6 4k = 6 2 5k 2 6 k9 =d 6 k 2 6 k4 =d Um das größte d zu finden, wird die Ableitung von d gleich gesetzt: 6 d ' = k 2 6 k4 2k 6=! 2k=6 k= Da d um so kleiner wird, je größer der Nenner wird (das geschieht für k + und k - ), muss der Wert k= zum größten Abstand gehören. 6 Der größte Abstand hat den Wert d = = = 6 5 d 2,68. 4 a) Die Gleichungen y=x 2 4 x9 und x= Graph. Zeigen Sie, dass diese Aussage richtig ist Umformen der 2. Gleichung: x= x y = = x= Daraus folgt das Gleichungssystem = x { y=62 2} y=62 x x 2 =62 2 x 2 xx 2 =x 2 4 x9 Der Term stimmt mit dem Term in der. Gleichung überein. beschreiben denselben b) Beantworten Sie durch Rechnung mit jeder der beiden Darstellungen die Frage, welcher Punkt des Graphen der x-achse am nächsten liegt.. Gleichung: Suche nach einem Extremum, d.h.. Ableitung gleich setzen: y=x 2 4 x9 y ' =2 x 4=! 2 x=4 x=2 ; y ' ' =2 Minimum Für den y-wert ergibt sich durch Einsetzen y= =4 89= Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite 2 von 7

3 2. Gleichung: Suche nach kleinstem y-wert. Dazu den Term für y und λ ableiten und gleich setzen. y=62 2 y ' =22 =! 2= 2 = ; y ' ' =2 Minimum Die Werte für x und y ergeben sich durch Einsetzen von λ in die Geichungen: x= x= =2 ; y=62 2 y=62 2 =6 2=5 In beiden Fällen ergibt sich also der Punkt (2/5) als derjenige, der der x-achse am nächsten liegt. 5 In einem Museum soll ein Boot mit einem m langen Mast aufgestellt werden. Das Museum ist rechtwinklig gebaut und besitzt als Dach eine regelmäßige Pyramide der Höhe 5 m. Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht! Der Mast wird senkrecht m von der vorderen und m von der linken Seitenwand entfernt aufgestellt. Aus Sicherheitsgründen muss die Mastspitze mindestens m von jeder Dachfläche entfernt bleiben. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob diese Bedingung erfüllt ist. Zur besseren Übersicht werden einige Hilfslinien eingezeichnet und die Eckpunkte und besonderen Punkte benannt. Da N näher an AB als an CD und näher an AD als an BC liegt, muss nur der Abstand des Punktes M zu den Dachflächen EFS und ESH untersucht werden. Der Koordinatenursprung liege im Punkt A. ) Abstand des Punktes M von der Fläche EFS: A EFS : x=ae EF ES= = 2 oder auch n= Normalenvektor:, da es nur auf die Richtung und nicht auf die Länge ankommt. Normalenform: A EFS : x =x = Hessesche Normalenform: A EFS : x = Abstand des Punkte M von der Ebene A EFS: = = 7 =d 2,2 d 2,2 Da der Abstand etwa 2,2 m beträgt, ist die Bedingung > m eingehalten worden Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite von 7

4 2) Abstand des Punktes M von der Fläche ESH: A ESH : x=ae EH ES= Normalenvektor: auf die Länge ankommt. 2 5 = oder auch n=, da es nur auf die Richtung und nicht 4 Normalenform: A ESH : x 4 4 =x 4 4= Hessesche Normalenform: A ESH : 7 x = Abstand des Punkte M von der Ebene A ESH: = 44 4 = 6 =d,46 d, Da der Abstand etwa,46 m beträgt, ist die Bedingung > m eingehalten worden. Anmerkung: Da das Museum in x-richtung länger als in y-richtung ist, muss das Dach in x-richtung flacher ansteigen als in y-richtung. Da der Mast jeweils m von den Außenwänden entfernt steht, muss er also dem Dach näher kommen, das in x-richtung geneigt ist. Mit dieser Überlegung muss dann nur der Fall 2) für die Dachfläche A ESH berechnet werden. 6 Zu Weihnachten produziert eine Firma Süßigkeiten, die als Grundstoffe Schokolade und Marzipan enthalten. Aus diesen beiden Grundstoffen werden zunächst verschiedene Zwischenprodukte hergestellt, die dann zu unterschiedlichen Geschenk-Kombinationen zusammengestellt werden. Die Geschenkkombinationen A, B und C setzten sich folgendermaßen zusammen: A enthält -mal Z, 4-mal Z2 und -mal Z als Zwischenprodukte. B enthält -mal Z, -mal Z2 und -mal Z als Zwischenprodukte. C enthält 2-mal Z, 2-mal Z2 und -mal Z als Zwischenprodukte. Die Zwischenprodukte setzen sich so aus den Ausgangsstoffen zusammen: Z enthält 5 Teile Schokolade und Teile Marzipan, Z2 enthält 2 Teile Schokolade und 2 Teile Marzipan und Z enthält Teil Schokolade und 4 Teile Marzipan. a) Berechnen Sie die Übergangsmatrizen und daraus die Matrix, aus der zu ersehen ist, wieviel Schokolade und wieviel Marzipan die Endprodukte A, B und C jeweils enthalten. Z Z2 Z Schokolade Marzipan A B C Z 2 Z2 4 2 = Z A B C Schokolade Marzipan b) Ein Supermarktunternehmen bestellt eine Großlieferung, wobei in jeder Verpackungseinheit gleich viele Endprodukte A, B und C vorhanden sein sollen. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die Firma die Grundstoffe Schokolade und Marzipan einkaufen muss Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite 4 von 7

5 Da man nicht weiß, wie viele Verpackungseinheiten der Supermarkt bestellt, wird für die Anzahl die Variable x gesetzt. Da von allen Endprodukten die gleiche Anzahl geordert wird, schreibt man A B C F Schokolade Marzipan A x F Schokolade B x Marzipan 47 x 5x C x x als Bestellvektor x. Es ergibt sich: Schokolade und Marzipan müssen also im Verhältnis 47 : 5 bereitgestellt werden. 7 In der Gleichung a b c d = einer unbekannten Matrix um 9 im Uhrzeigersinn rotiert. Berechnen Sie die Werte für a, b, c und d. Durch Matrizenmultiplikation ergibt sich folgendes Gleichungssystem: { a4 c=7 7 a9c=9 b4 d = 7 b9 d=4} 7 {2a28c=49 2a27c=27 2b28d =2-2b27d=2}- Für die Drehmatrix ergibt sich in diesem Fall x = wird die erste Matrix durch die Multiplikation mit { c=22 a88=7 a= 8 a= 27 } d =9 b6= b= b= 8 Finden Sie durch Rechnung eine 2x2-Matrix, die invers zu sich selbst ist. Diese Matrix soll keine Zahl als Element enthalten. (Für eine Matrix A und ihre inverse Matrix A - gilt: A A = ) Die gesuchte Matrix sei a Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: b c d. Dann muss gelten a b c d a b c d = {a 2 bc= } a bbd =. a cc d= b cd 2 =. Aus der 2. und der. Gleichung ergibt sich durch Ausklammern b ad = und c ad =. Einer der Faktoren muss jeweils sein, damit die Gleichung erfüllt ist. b und c dürfen laut Aufgabenstellung nicht sein, also muss gelten a=-d. das passt auch in der. und 4. Gleichung. Wenn man a, b und c nun so wählt, dass die. Gleichung erfüllt, ist, hat man die Aufgabe gelöst. Einige einfache Beispiele: 9 Ein Telefonhersteller will ein neues Produkt auf den Markt bringen und verteilt in einem kleinen Ort zu Testzwecken identische Handys mit verschiedenem Aussehen und Namen. Zu Beginn werden jeweils Handys mit den Bezeichnungen Afon, Efon und Ofon ausgegeben. Jeweils nach Woche können die Testpersonen das Handy gegen ein anderes dieser Art kostenlos tauschen oder auch das Handy behalten. Wöchentlich zeigen sich immer wieder folgende Austauschraten: Vom Afon wechseln % zum Efon und 5% zum Ofon Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite 5 von 7

6 Vom Efon wechseln 5% zum Ofon und 5% zum Afon. Vom Ofon wechseln 2% zum Afon und 5% zum Efon. Stellen Sie die Übergangsmatrix auf und berechnen Sie, wieviele Handys von jeder Sorte nach etwa Jahr ausgegeben sind. Es fehlt noch die Angabe, wieviel Prozent jeweils bei dem vorhandenen Handy bleiben. Durch Ergänzung auf % ergibt sich: Afon - 75% ; Efon - 8% ; Ofon - 75%. A E O A,75,,5 Damit ergibt sich die Übergangsmatrix (von links nach oben ): E,5,8,5 O,2,5,75. Als Start-Zeilen-Vektor ergibt sich A E O S.,75,,5 Ausleihzahlen nach Woche:,5,8,5 = 95 95,2,5,75,75,,5 Nach Monat = 4 Wochen:,5,8,5 = ,2,5,754,75,,5 Nach Jahr = 52 Wochen:,5,8,5 = ,2,5,7552 Es stellt sich ein stabiler Zustand ein. Schon ab der 6. Woche ändern sich die (gerundeten) Werte nicht mehr. Nebenstehende Grafik zeigt in vereinfachter Form, wie sich eine Population von Käfern entwickelt. In jeweils gleichen Zeitabschnitten legt ein Käfer 8 Eier, von den Eiern werden /4 zu Larven und von den Larven die Hälfte zu Käfern. Die Käfer sterben nach der Eiablage, die übrigen Eier und Larven werden gefressen oder sterben. Zu Beginn seien 2 Eier, 6 Larven und 6 Käfer vorhanden. Berechnen Sie über 6 Zeitabschnitte die Entwicklung der Population. Was fällt auf? Zunächst wird der Übergangsgraph vervollständigt. E L K E,25 Daraus ergibt sich die Übergangsmatrix L,5 K 8 Mit dem Taschenrechner wird nun die gesuchte Populationsentwicklung berechnet. E L K Ausgehend von der Ausgangsmatrix A Start 2 6 6,25 wird jeweils mit der Übergangsmatrix B n =,5 8 Ergebnis mit dem Produkt A B n ermittelt: n (n steht für den Zeitabschnitt) das Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite 6 von 7

7 Es fällt auf, dass sich die Werte in den Ergebnismatrizen nach jeweils Zeitabschnitten wiederholen. Die Population der Käfer zeigt also einen zyklischen Verlauf. Viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben! Klausur 2 Kurs Mae Mathematik - Lösung Seite 7 von 7