x Teilchen λ sin θ θ/2

Transkript

1 Ã Ô Ø Ð ¾ Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ñ ËØÖ Ð Ù ØÞØ Ð ØÖÓÒ Ù Ö Ñ Òع ÐÙ Ò Ù Ò Ð ÙÒ Ê ØÙÒ Û ÐØ Ò Ö ÓÖØ ÔÖ Ò Ò Û ÐÐ Ø Ñ Ö ÙÒ ÖØÖ Ð º Ï ÒÒ ÓÒ ÒÒ Ñ Ø Ð Ö Ë Ù Ø Ö Ó Ö Ö Ò Ø ÐÐØ Ö Ò Ò Ö ËÔ Ð Ò Ò Ð È Ý Öº º Ò Ø Ò ÆÓ ÐÔÖ ½ ¾½ ¾º½ ÍÒ Ø ÑÑØ Ø ÔÖ ÒÞ Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ì Ð Ò Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÙÒ ÚÓÒ ÖÞ Ù Ò ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ä ØÕÙ ÒØ Ò ÙÒ Ö Ö ÃÓÐÐ ÓÒ Ò ÞÛ Ò È ÓØÓÒ Ò ÙÒ Ð Ò Ò Ì Ð Ò ÚÓÖ Ù ØÞØ Ò Ö ¹ÁÑÔÙÐ ØÞ ÙÒ ÞÛ Ò Ò ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ù Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ì Ð Ò Ð ÐØ ÒÞÙ Òº Ö Ù Û Ö Ò Û Ö Ù Ì Ð Ò¹Ï ÐÐ ¹ ÓÔÔ ÐÒ ØÙÖ Ö Å Ø Ö Ð Òº Ð ÓÐ Û Ö Ò Û Ö Ù Ò ÙØ Ç Ø Ú Ö Ö Ø Ö Æ ØÙÖÚÓÖ Ò Ú ÖÞ Ø Ò Ñ Ò ÙÒ Æ ØÙÖ ØÞ Û Ö Ò ÓÖÑ Ø Ø Ø Ö ØÞ ÒÒ Ñ Òº ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ì Ð Ò Û Ö Ò Ð ÓÖÑ Û ¹ Ò Ò Ö Ä ØÕÙ ÒØ Ò ÒÒ Ñ Ò E t ÙÒ x j p j, ¾º½µ ÙÒ Û Ö Û Ö Ò Ò Ù Ò ÖÓ Ð Ò Ê Ð Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ö Ì Ð Ò¹Ï ÐÐ ¹ ÓÔÔ ÐÒ ØÙÖ Ä Ø ÓÐ Òº E = ω ÙÒ Ô = ¾º¾µ

2 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º½º ÍÒ Ø ÑÑØ Ø ÔÖ ÒÞ Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ì Ð Ò ¾º½º½ ÇÖØ ¹ ÙÒ ÁÑÔÙÐ Ñ ÙÒ ÚÓÒ Ì Ð Ò Ï Ö ÛÓÐÐ Ò Ò ÐÝ Ö Ò Ó Ñ Ð Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ì Ð Ò ÞÙ Ò Ö Ø Ñѹ Ø Ò Ø ÙÖ Ð Þ Ø Ò Ò ÇÖØ ÙÒ ÁÑÔÙÐ ÞÙ Ö Ø Ö Ö Òº Ï Ö Ú Ö Ù Ò ÞÙ Ö Ø Ò ÇÖØ ÙÖ Ä Ø ØÖ ÙÙÒ ÞÙ Ø ÑÑ Òº Ö ÕÙ ÒÞ Ò Ð¹ Ð Ò Ò Ä Ø ν ÙÒ ØÖ ÙØ Ò Ä Ø ν º Ï Ö Ø Ø Ö Ò ØÖ ÙØ Ä ØÛ ÐÐ Ñ Ø Ò Ñ Å ÖÓ ÓÔ Ò Ö Ô ÓØÓ Ö Ô Ò ÈÐ ØØ Ó Ö Ò Ñ ÐÖÓ Öº ÇÖØ Ñ ÙÒ Æ Ö Ò Ì ÓÖ Ò ÑÑØ Ù ÙÒ Ú ÖÑ Ò Ò Å ¹ ÖÓ ÓÔ ÙÒ Ñ Ø Ò Ù Ø Ö ÇÖØ Ñ ÙÒ Ì Ð Ò Ò Ð ÙÒ ¾º½µ Ñ Ø ÞÙÒ Ñ Ò Ö Ï ÐÐ ÒÐÒ º Ò Å ÖÓ ÓÔ ÒÒ Ç Ø ÞÙ Ò Ö Ö x Teilchen Ù Ò Ò Ñ ÒÙÒ Û Ò Ð θ ÙÒ Ò Ö ËØÖ ÐÙÒ Û ÐÐ ÒÐÒ λ ÙÖ Þ ÙÒ x Teilchen λ sin θ ¾º µ Ò Ø ½ º Ö Ò Ò Ù ÇÖØ Ø ÑÑÙÒ Ø Ò ÙÖÞ Ï ÐÐ ÒÐÒ λ ÙÒ Ò ÖÓ Ö Ç ØÐ Ò Å ÖÓ ÓÔ ÑÑ ¹ ØÖ Ð y θ/2 Ð ØÖÓÒ λ x Ð ÙÒ ¾º½ ÑÑ ØÖ Ð¹Å ÖÓ ÓÔ ÚÓÒ À Ò Ö Ð Ò Ò ÜÔ Ö Ñ Òغ ÒÙÒ Û Ò Ð θ Û Ò Ò Û Öغ ½ À Ò Ö Ø Ò Ñ ÈÖÓÑÓØ ÓÒ Ö ÓÖÓ ÙÑ ½ ¾ Ö Ù ÚÓÒ Ï Ò Ø ÐÐØ Ö Ò Ñ Ù ÙÒ Ú ÖÑ Ò Å ÖÓ ÓÔ Ò Ø ÒØÛÓÖØ Ò ÒÒ Òº

3 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º½º ÍÒ Ø ÑÑØ Ø ÔÖ ÒÞ Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ì Ð Ò ÁÑÔÙÐ Ñ ÙÒ Ê ØÙÒ ØÖ ÙØ Ò Ä Ø Ø ÒÒ Ö Ð ÒÙÒ ¹Û Ò Ð θ ÙÒ Ø ÑÑغ Ë Ò ÁÑÔÙÐ ÙÒ Ö Ø ÑÒ p Photon k h sin θ/λ. Ù ¹ ÖÙÒ Ö ÁÑÔÙÐ Ö ÐØÙÒ Ø Ö ÁÑÔÙÐ ØÖ Ù Ò Ò Ì Ð Ò Ò Ñ ËØÖ ÙÔÖÓÞ ÒÒ Ù ÒÙÖ Ù Ò Ò Ð Ö Ö Ö p Teilchen p Photon h λ sin θ ÒÒغ Ö Ò Ò Ù ÁÑÔÙÐ Ñ ÙÒ Ö Ù Ø Ò ÖÓ Ï ÐÐ ÒÐÒ λ ÙÒ Ò Ò Ð Ò Ò ÒÙÒ Û Ò Ð θº Ö ÈÖÓ Ù Ø ÚÓÒ ÇÖØ ¹ ÙÒ ÁÑÔÙÐ ÙÒ Ö Ò Ò Û Ö p Teilchen x Teilchen h. ØÑ ÙÒ Ö ØÔÙÒ Ø Ö ËØÖ ÙÙÒ Ø Ù Ò Ò Ð Ö Ö Ö t 1 ν = λ c. ¾º µ Ø ÑÑ Öº Ö Ù ÓÐ Ø Ö ØÔÙÒ Ø Ö Ø ÑÑ Ö Û Ö Ñ Ö ÒÞ ÐÐ ν º ÆÙÒ ÒÒ Ï ÐÐ ÒÐÒ λ ØÖ ÙØ Ò Ä Ø Ö Ò Ø Ð Ð Ò Òº Æ Ö Ì ÓÖ ÓÑÔØÓÒ¹ Ø Ø Ï ÐÐ ÒÐÒ Ö ØÖ ÙØ Ò È ÓØÓÒ Ò Ö Ö Ð Ï ÐÐ ÒÐÒ Ö ÒÐ Ù Ò Ò È ÓØÓÒ Ò λ = λ + 2h mc sin2 θ 2, ÙÒ Ö θ π/2 Ö Ö Ð Ö ÓÑÔØÓÒ¹Ï ÐÐ ÒÐÒ ØÖ Ù Ò Ò Ð ØÖÓÒ º Ø Ù ÙÒ Ø Ð Ó ÖÒ Ø ÙÖ t λ c c, λ c = h m e c. Ï Ö ÓÐ ÖÒ Ñ Ò Ø¹Ö Ð Ø Ú Ø Ò Ö ÒÞ ÐÐ c Û Ö Ì Ð Òµ Ö Ø¹ ÔÙÒ Ø Ò Ö ÇÖØ Ñ ÙÒ ÙÒ Ö Ì Ð ÒÓÖØ Ò Ù Ñ Ö Ò º Û Ò Ø ÓÐ Ò ÖÙÒ ÒÒ Ñ Ò Ø ÖÐ Ö Ò Ù Ø Ò Ò Ì Ð Ò ÒÒ Ñ Ò ÞÙ Ñ ØÔÙÒ Ø Ò Ï Ö¹ ÒÐ Ø w(t, Ü)d 3 x Ö Ò Ò Ò Ö Å ÙÒ Ì Ð ÒÓÖØ Ò ÒÒ Ö Ð Ò Ö Ð Ò Ò ÍÑ ÙÒ ÈÙÒ Ø Ü ÚÓÑ ÎÓÐÙÑ Ò d 3 x ÞÙ Ò Òº Ù Ö Ø ÑÙ Ï Ö ÒÐ Ø Ì Ð Ò Ö Ò ÛÓ ÞÙ

4 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º½º ÍÒ Ø ÑÑØ Ø ÔÖ ÒÞ Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ì Ð Ò Ò Ò Ð Ò Ò w(t, Ü)d 3 x = 1, t. ÖÙÒ ÒÒ Ñ ÐØ ÒÙÖ Ñ Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Ö ÒÞ ÐÐ ¹ Ð Ó Ò Ø Ö È ÓØÓÒ Ò ¹ ÙÒ Ø Ò ÓÒ Ö Ò Ö Ø ÓÐ Ö ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Òº ÁÑ Ò ØÖ Ð Ø ¹ Ú Ø Ò Ä Ñ ÓÑÑ Ò Ò Ö ÖÙÒ ÒÒ Ñ Ø ÙÒ ÇÖØ Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ÚÓÖº Ò Ò ÐÓ ÖÙÒ ÒÒ Ñ ÒÒ Ù Ö Å ÙÒ Ò Ò Ì Ð Ò ÑÔÙÐ ¹ Ñ Ø Û Ö Òº Ò Ò Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÒÐ Ñ Ó Ò Ö Ò Ò Þ Ø Ñ Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Ö ÒÞ ÐÐ c Ö Ì Ð Ò ÑÔÙÐ Ò Ð ÙÖÞ Ö Ø ¹ Ð Ò Ù Ø ÑÑØ Û Ö Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÙÒØ Ö Ò ÐØÙÒ Ö À Ò Ö Ò ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒº Ð Ó ÓÖ ÖÒ Û Ö Å Ò ÒÒ Ö Ò Ù Ø Ò Ò Ì Ð Ò Ñ Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Ö ÒÞ¹ ÐÐ Ò Ï Ö ÒÐ Ø w(t, Ô)d 3 p Ö Ò Ò Ò Ö Å ÙÒ Ì Ð Ò ÑÔÙÐ Ò Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÍÑ ÙÒ ÚÓÒ Ô Ñ Ø ÎÓÐÙÑ Ò d 3 p ÞÙ Ò Òº Å Ò Ò Ø Ñ Ø Ë Ö Ø Ö Ò Ò Ò ÁÑÔÙÐ w(t, Ô)d 3 p = 1, t. w ÙÒ w Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ò Ö Ò ÇÖØ ÙÒ ÁÑÔÙÐ Ì Ð Ò Ò Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ù ÒØ ÐØ ÓÖØ ÙÒ Ö Ñ ØØÐ Ö ÁÑÔÙÐ ÞÙÖ Ø t Ð Ü t = Üw(t, Ü)d 3 x ÙÒ Ô t = Ô w(t, Ô)d 3 p. ¾º µ Å ØØ ÐÛ ÖØ ÚÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÇÖØ Ó Ö ÁÑÔÙÐ Ö Ò Ò Ñ f(ü) t = f(ü)w(t, Ü)d 3 x ÙÒ g(ô) t = g(ô) w(t, Ô)d 3 p. ¾º µ ÁÑ ÓÐ Ò Ò Ò ØØ Û Ö Ò Û Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ò w ÙÒ w Ö Ø Ö ¹ Ö Ò ÙÒ Ò Ò Û Ñ Ø Ö Ø Ò ÖÒº Ï Ò Ö ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÓÐÐØ Ò w ÙÒ w ÓÖÖ Ð ÖØ Òº

5 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò ¾º¾ Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÒÙÒ Ö Ø Ö Ì Ð Ò ÕÙ ÒØ ÒÑ Ò Ó Ö Ò ÍÒ ¹ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ò ÓÖÑÙÐ ÖØ Ò ÖÙÒ ÒÒ Ñ Ò º º Ü Ø ÒÞ ÚÓÒ w(t, Ü) ÙÒ w(t, Ô) ÙØÓÑ Ø Ö ÐÐØ Ò º Á Ò ÚÓÒ ÖÓ Ð Ò Ê Ð Ø ÓÒ Ò E = ω ÙÒ Ô = ¾º µ ÙÒ Î Ö Ù ÚÓÒ Ú ÓÒ ÙÒ ÖÑ Ö ÓÛ ËØ ÖÒ ÙÒ Å Ø Ö Ø Ö Ð Ò Ò Ò Ï ÐÐ ÒØ ÓÖ Ö Ì Ð Ò ÞÙ ÓÒ ØÖÙ Ö Òº Ê Ð Ø Ú Ø Ì Ð Ò Ù Ö Ö Ð Ø Ú Ø Ò Å Ò Ø ÓÐ Ò Þ ÙÒ ÞÛ Ò Ò Ö ÙÒ ÁÑÔÙÐ ÒÒØ E c = Ô 2 + m 2 c 2 ÙÒ Ú = c2 E Ô = pe. ¾º µ Å Ø Ò ÖÓ Ð ¹ Þ ÙÒ Ò ÓÐ Ø ÒØ ÔÖ Ò Þ ÙÒ ÞÛ Ò ÃÖ Ö ÕÙ ÒÞ ÙÒ Ï ÐÐ ÒÞ ÐÚ ØÓÖ ω( ) c = 2 + m 2 c 2 / 2 ÙÒ Ú = k ω = c2 ω. ¾º µ Ì Ð Ò Û Ò Ø Ø Ð Ö ÖÙÔÔ Ò Û Ò Ø ÙÒ Ö Ñ Ú Ì Ð¹ Ò Ð Ò Ö cº Ò Ø È Ò Û Ò Ø Ö Ö Ð Ä Ø Û Ò Ø u = ω = c2 Ú > c. Ï Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Å Ø Ö Û ÐÐ Ð ÖÐ ÖÙÒ ÚÓÒ ÑÓÒÓ ÖÓÑ Ø Ò Ï ÐÐ Ò ÚÓÖ Ï ÐÐ ÒÔ Ø ψ Ð Ó ÓÖÑ 1 ψ(t, Ü) = ψ(t, Ô)e iô Ü/ d 3 p (2π ) 3/2 R 3 1 = ψ(0, Ô)e i(ô Ü Et)/ d 3 p ¾º½¼µ (2π ) 3/2 R 3 Ñ Ø Ô Ö ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ E(Ô)º Æ Ö ÍÑ Ö ÓÖÑ Ð Ö ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø 1 ψ(t, Ô) = ψ(t, Ü)e iô Ü/ d 3 x, ¾º½½µ (2π ) 3/2 R 3

6 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò ÙÒ Û Ò Ö È Ö Ú Ð Ò Ð ÙÒ Ò ÒÒ ÁÒØ Ö Ð d 3 x ψ(t, Ü) 2 = d 3 p ψ(t, Ô) 2 = d 3 p ψ(0, Ô) 2 ¾º½¾µ Þ ØÙÒ Ò º Ï Ö ÒÒ Ò Ð ØÞØ ÁÒØ Ö Ð Ð 1 Û Ð Òº ÆÓÖÑ ÖÙÒ Ð Ø ÒÒ ÞÙ ÐÐ Ò Ø Ò Ö ÐØ Òº Ð Ø ÒÙÒ Ò Ò Ò ÖÙÒ ÒÒ Ñ Ò ÚÓÖ Ö Ò Ò ØØ w(t, Ü) = ψ(t, Ü) 2 ÙÒ w(t, Ô) = ψ(t, Ô) 2 ¾º½ µ ÞÙ ØÞ Òº ØÖ ÕÙ Ö Ø Ö Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ø ÒÒ Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ø Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ ÙÒ ØÖ ÕÙ Ö Ø Ö Ö ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ò Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ñ ÁÑÔÙÐ Ö ÙѺ ٠ź ÓÖÒ ÞÙÖ Ò Á ÒØ Ø ÓÒ ¼ ÒÒ ÙÖ ÓÐ Ò ØÖ ¹ ØÙÒ Ò Û Ø Ö ÔÐ Ù Ð Ñ Ø Û Ö Òº ÐÐ ¾º½ µ ÐØ Ò Ò Û Ö Ö Ò Ñ ØØÐ Ö Ò Ù ÒØ ÐØ ÓÖØ Ò Ì Ð Ò ÞÙÖ Ø t { } Ü t = Ü ψ(t, Ü) 2 d 3 x = (2π ) 3/2 ψ(t, Ü) Ü ψ(t, Ô)e iô Ü/ d 3 p d 3 x { = (2π ) 3/2 ψ(t, Ü) ψ(t, Ô) } i p e iô Ü/ d 3 p d 3 x. Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÓÙÖ Ö¹ÌÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ñ ÍÒ¹ Ò Ð Ò Ò Ò Ò ÐÐ ÐÐ Òº ÒÒ Ö Ò Û Ö Ô ÖØ ÐÐ ÒØ Ö Ö Ò Ó Ò Ç Ö ¹ ÒØ ÖÑ Ù ÞÙ ÑÑ ÐÒ ÙÒ Ò Ò Ü t = (2π ) 3/2 { ψ(t, Ü) } e iô Ü/ i p ψ(t, Ô) d 3 p d 3 x = ψ(t, Ô)i p ψ(t, Ô) d 3 p. Å Ø Ö Ø Ò Ø ψ(t, Ô) = e iet/ ψ(0, Ô) ÓÐ Ø ÒÒ ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ø Ò Ø Ö Ò Ñ ØØÐ Ö Ò ÇÖØ Ü t E(Ô) = Ü 0 + t w(0, Ô) d 3 p = Ü 0 + t Ú Gruppe Ô 0. ¾º½ µ Ð Ó Û Ø Ñ Å ØØ Ð Ì Ð Ò Ð Ñ ÙÒ Ö Ð Ò º Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ

7 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò ¼ ÇÖØ Ò Ø Ñ Ø Ñ Æ ÛØÓÒ Ò Û ÙÒ ØÞ Ö Ð Ò Å Ò º Ù ¾º½ µ ÓÐ Ò Ù Ó ÓÖØ ÍÒ Ø ÑÑØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÞÛ Ò ÇÖØ ÙÒ ÁÑÔÙÐ Ö Ø Ã Ô Ø Ðµº Ë Ð Ð Ø ψ(t, Ü) 2 Ö ÒÞ Ò ψ, ψ ÕÙ Ö Ø Ù ÖÙ Ò ÁÒØ Ö Ð Ö Ü ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ø Øº ÆÙÒ Ö Ò Û Ö ÞÙÖ Ð ÙÒ ¾º½¼µ ÞÙÖ º Å Ò Ø Ó ÓÖØ ψ(t, Ü) Ï Ð¹ Ð Ò Ð ÙÒ ( ) 2 ( ) E c 2 t ψ(t, Ü) = (2π ) 3/2 ψ(0, 2 + Ô 2 c 2 Ô) e i(ôü Et)/ d 3 p 2 2 c 2 (2.8) = m2 c 2 ψ(t, Ü), 2 Ð Ó Ó Ò ÒÒØ ÃÐ Ò¹ ÓÖ ÓÒ¹ Ð ÙÒ ) ( + m2 c 2 ψ(t, Ü) = 0 2 ¾º½ µ Ö ÐÐغ Ö Ð Ø Ú Ø Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ ÛÙÖ ÞÙ Ö Ø ÚÓÒ ÖÓ Ð ÞÙÖ Ö ¹ ÙÒ ÚÓÒ Ð ØÖÓÒ Ò ÚÓÖ Ð Òº Æ Ò Ö Ä ÙÒ ¾º½¼µ Ø ÃÐ Ò¹ ÓÖ ÓÒ¹ Ð ÙÒ ÐÐ Ö Ò Ù Ä ÙÒ Ò Ñ Ø Ò Ø Ú Ö Ò Ö E(Ô) = c Ô 2 + m 2 c 2. Ø Ð Ó Ä ÙÒ Ò Ö ÃÐ Ò¹ ÓÖ ÓÒ¹ Ð ÙÒ Ñ Ø Ð Ò Ø Ú Ö Ò Ö º Ø Ô Ý Ð ÙÒ ÒÒ º Ù Ë Ö Ò Ö Ð Ù Ø Ò Ò Ð ÃÐ Ò¹ ÓÖ ÓÒ¹ Ð ÙÒ Ñ ÓÙÐÓÑ ÔÓØ ÒØ Ð Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ö Ð ØÖÓÒ Ñ Ï Ö ØÓ ØÓÑ º Ø Ö Ò ÐÐ Ö Ù Ø ÐÐØ Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ï Ö ØÓ Ô ØÖÙÑ Ò Ø Ö ÐÖ Ò ÓÒÒØ º Æ ØÖ Ð Ø Ú Ø Ì Ð Ò Ö Ò ÙØ Ò Ö Ù Ò Ñ Ð ØÞ¹ Ø Ò Ò ØØ ØÖÓ Ò Ò ÖÙÒ ÒÒ Ñ Ò Û ÓÖØ Ö Ø Ò ÙØ Ø Ò Ò Ö Ö Ð ¹ Ø Ú Ø Ò Ì ÓÖ Ò Ø ÐØ Ò Û Ö Òº ÖÙÑ Ò Û Ö ÞÙÖ Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Æ ÖÙÒ Ö ÙÒ ÖÒ Ñ Ò Ù Ö Ð Ò Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Å Ò Þ ÙÒ ÞÛ Ò ÁÑÔÙÐ ÙÒ Û Ò Ø Ô = mú =, Ú = Ú Gruppe = ω( ). ¾º½ µ

8 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò ½ Ö Ù ÓÐ Ø Ö Ù ÑÑ Ò Ò ÞÛ Ò ÃÖ Ö ÕÙ ÒÞ ÙÒ Ï ÐÐ ÒÞ ÐÚ ØÓÖ m ω( ) = = ω( ) = 2 2m Ó Ö E = Ô 2 2m. Å Ø Ö Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÐÐØ Ò Ï ÐÐ ÒÔ Ø ψ(t, Ü) = (2π ) 3/2 ψ(0, Ô)e i(ô Ü E(Ô)t)/ d 3 p ¾º½ µ ¾º½ µ Þ Ø Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö Ò Ö Ø Ö Ì Ð Ò i 2 ψ(t, Ü) = ψ(t, Ü). t 2m ¾º½ µ Ï ÖÙÑ Ø d 3 x ψ(t, Ü) 2 Þ ØÙÒ Ò Ü t Ö ÐÐØ Ð Ð Ð ØÞ ÙÒ ÍÒ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÐØ Òº ÜÔÐ Þ Ø ÓÖÑ Ö Ô Ö ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ ω( ) Ø Ò Ö Ò Û Ò Ø Òº Ä Ø ψ(t, Ü) Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ¾º½ µ Ó Ø Ù ψ T (t, Ü) ψ( t, Ü) Ò Ä ÙÒ º Ö Ù ÓÐ Ø ØÙÑ Ö ÒÚ Ö ÒÞ ÒÐ Û Ò Ö Ð Ò Å ¹ Ò º Ï Ø Ö Ò Ø Ð Ø Ö Ö ÐÐ Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ä ÙÒ ψ(t, Ü) ÞÙ ÔØ Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ñ Ö Ö Ðк Ö Ù ÓÐ Ø ÓÒ ψ Ð Ø Ò Ø Ó Ø Ö Øº ¾º¾º½ ÐÐ Ñ Ò Ä ÙÒ Ö Ö Ò Ë Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ï Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò ÒÙÒ Ä ÙÒ Ö Þ Ø Ò Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ¾º½ µ Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ Òº ÞÙ ÙÒØ Ö Ù Ò Û Ö Ò Ò Û ÖØÔÖÓ Ð Ñ i ψ t = 2 2m ψ Ñ Ø ψ(0, Ü) = ψ 0(Ü). ¾º¾¼µ ÁÑ Ö Ø Ò Ë Ö ØØ Ð Ò Û Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ô Þ ÐÐ Ò Ò Ò ÙÒ ψ 0 (Ü) = δ(ü Ý), ¾º¾½µ ÛÓ δ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö δ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ Øº Ï Ö Þ Ò Ò ÒØ ÔÖ Ò ÚÓÒ Ý Ò Ô ÖØ ÙÐÖ Ä ÙÒ Ñ Ø K(t, Ü, Ý)º ψ 0 (Ü) = δ(ü Ý) (2.11) = ψ(0, Ô) = (2π ) 3/2 e iô Ý ¾º¾¾µ

9 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò ¾ Ø Ö Ø Ñ Ø ¾º½¼µ ÙÒ Ô = ÓÐ Ò ÓÖÑ Ö Ô ÖØ ÙÐÖ Ä ÙÒ K(t, Ü, Ý) = (2π) 3 e i[ (Ü Ý) 2 t/2m] d 3 k. ÆÙÒ ØÞ Ò Û Ö ξ = Ü Ý ÙÒ Ö ÒÞ Ò ÕÙ Ö Ø ( ξ 2 2m t = m ) 2 t ξ t 2m + m 2t ξ2. Æ Ò ÖÙÒ Ö Î Ö Ð Ò Õ = mξ/t Ò Ø Ñ Ò 1 /2t K(t, Ü, Ý) = e itõ2 /2m d 3 q. (2π ) 3eim(Ü Ý)2 Ö ØÞ Ò Û Ö Õ ÙÖ Õ = (1 iǫ)ð, ǫ > 0 Ó ÓÒÚ Ö ÖØ Ù ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Û Ö Ò Ò Ö ǫ 0 Ê ÙÐØ Ø K(t, Ü Ý) = ( m ) 3/2 e im(ü Ý) 2 /2 t. ¾º¾ µ 2πi t ÐÐ Ñ Ò Ä ÙÒ Ö Ð Ò Ö Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ¾º¾¼µ Ñ Ø ψ(0, Ü) = ψ 0 (Ü) Ö Ø ÒÙÒ Ù ¾º¾ µ ÙÖ ÖÐ ÖÙÒ Ö Ô ÖØ ÙÐÖ Ò Ä ÙÒ Ò Û ÓÐ Ø ψ(t, Ü) = K(t, Ü Ý)ψ 0 (Ý)d 3 y. ¾º¾ µ R 3 ¾º¾º¾ Ö Ò ÚÓÒ Ï ÐÐ ÒÔ Ø Ò Ò Ò Ò Ð ÐÓ Ð ÖØ Ï ÐÐ ÒÔ Ø ψ 0 Þ Ö Ø Ñ Ø ÓÖØ Ö Ø Ò Ö Øº ÓÐ Ø ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ù Ö Ö Ø ÐÐÙÒ ¾º¾ µ Û ÒÒ Û Ö ÒÒ Ñ Ò ψ 0 (Ý) ÒØ Ö Ö Ö Øº ÒÒ ÐØ Û Ò fg f g ØÞÙÒ ψ(t, Ü) K(t, Ü Ý) ψ 0 (Ý) d 3 y = ( m ) 3/2 2π t ψ 0 (Ý) d 3 y = C t 3/2, ¾º¾ µ Ñ Ø Ò Ö Ö ÙÒ ÙÒ ÙØ Ò Ò ÃÓÒ Ø ÒØ Ò Cº Ð Ó Ò ÑÑØ Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ñ Ø Ö Ö ØØ Ò ÈÓØ ÒÞ Ö Ø w(t, Ü) = ψ(t, Ü) 2 C2 t 3. ¾º¾ µ

10 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò Á Ø Ì Ð Ò ÞÙÑ ØÔÙÒØ t Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø ÎÓÐÙÑ Ò V (t) ÐÓ Ð ÖØ Ó Û Ø Û Ò 1 = w(t, Ü)d 3 x w(t) V (t) (2.26) σ3 (t) t 3 Ö Ø σ Ï ÐÐ ÒÔ Ø Ð Ò Ö Ñ Ø Ö Ø Òº Ò Ñ ¾º¾ µ Ø Ð Ó Ò Ö Ò Ø ÑÑÙÒ Ñ Ø Ö ÓÑ ØÖ Ê 3 º Ì Ð Ò Ù Ò Ö Ö Ò Ó Ö Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ÖÛ ÖØ Ò Û Ö Û Ò 1 w(t)σ(t) w(t)t = w(t) 1 t, Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ò Ñ ÇÖØ Ñ Ø 1/t Ò ÆÙÐÐ ØÖ Øº Å Ø ( 2πi t dξ e imξ2 /2 t = m Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ö Ì Ø Ò ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò y 2 ÙÒ y 3 Ò ¾º¾ µ Ö Ò Ò Ò Ð ÒÙÖ ÚÓÒ Ö Ö Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ä ÙÒ ψ(t, x 1 ) = m 2πi t ) 1/2 e im(x1 y 1 ) 2 /2 t ψ 0 (y 1 )dy 1 ¾º¾ µ ÙÒ Ö Ò Ò Ò Ð ÒÙÖ ÚÓÒ x 1 ÙÒ x 2 Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ(t, x 1, x 2 ) = m e im[(x1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 ]/2 t ψ 0 (y 1, y 2 )dy 1 dy 2. 2πi t ¾º¾ µ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ(t, x 1 ) ÙÒ ψ(t, x 1, x 2 ) Ò Ä ÙÒ Ò Ö Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ¾º½ µ ÛÓ Ö Ä ÔÐ ¹ÇÔ Ö ØÓÖ Ò Ò Ö ÙÒ ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ò Øº Ñ Ø Ò Ò Ä ÙÒ Ò Ö Ö Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ÒÙÖ ÚÓÒ Ò Ð Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Û Ò Ò Ð Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ 0 º Ò Ù Û Ñ Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÐÐ Û Ø Ñ Ò ψ(t, x 1 ) C t Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÒ ψ(t, x 1, x 2 ) C t Ò ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ò. ¾º¾ µ Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ ÒÙÖ Ò Ò Ó Ö ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ò ÒØÛ Ò ÙÒ Þ Ö Ø Ð Ð Ò Ñ Ö Ð Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Òº

11 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò Ö Ò Ò Ù Ò Ï ÐÐ ÒÔ Ø Ï Ö ÙÒØ Ö Ù Ò Ö Ö Ò ¹ Ò Ù Ò Ï ÐÐ ÒÔ Ø ØÛ Ò Öº ÞÙ Ö Ù Ò Û Ö ÓÐ Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù ÁÒØ Ö Ð Ù Ú Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ù ØÖ ØØ d n x exp ( 1 2 (Ü, AÜ) + (,Ü)) = (2π)n/2 det A exp ( 1 2 (,A 1 ) ), A = (A ij ). ¾º ¼µ ÒÛ ÖØ Ö ÝÑÑ ØÖ Ò n n¹å ØÖ Ü A Ö Ò Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ê ÐØ Ð Òº Ñ Ö ÓÖÑ Ð Ø Ù Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ 0 (Ü) = 1 det 1/4 (2πσ 2 ) exp ( 1 4 (Ü, σ 2 Ü) ), ¾º ½µ ÛÓ σ 2 Ò ÝÑÑ ØÖ Ö ÐÐ ÙÒ ÔÓ Ø Ú Å ØÖ Ü Ø Ù Ò ÒÓÖÑ Öغ ÞÙ ¹ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø w(0, Ü) = ψ 0 (Ü) 2 = 1 det 1/2 (2πσ 2 ) exp ( 1(Ü, 2 σ 2 Ü) ) Ø Ò Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ ÓÒÞ ÒØÖ ÖØ Ù¹Î ÖØ ÐÙÒ Ö ³ Ö Ø ³ σº ÆÙÒ ÒÒ Ò Û Ö Ñ Ø À Ð ÚÓÒ ¾º¾ ¾º¾ µ ÙÒ ¾º ¼µ Ä ÙÒ Ö Þ Ø Ò Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ¾º½ µ Ñ Ø Ò Ò Ò ÙÒ ψ 0 Ö Ò Òº Å Ò Ò Ø ψ(t, Ü) = 1 det 1/4 (2πσ 2 B 2 ) exp ( 1(Ü, 4 B 1 Ü) ), ÛÓ B = σ 2 + i t 2m ¾º ¾µ Þ Ò Øº Ö ÞÙ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ö ÐØ Ò Û Ö ψ(t, Ü) 2 = 1 det 1/2 (2πσ 2 (t)) exp ( 1 2 (Ü, σ 2 (t)ü) ), σ 2 (t) = σ t 2 4m 2σ 2. ¾º µ Ï Ø t ÚÓÒ 0 Ó Ò ÑÑØ Ö Ø È Ø σ(t) ÙÒ ÖÖ Ø Ö t = 0 Ö Å Ò ÑÙÑ σº Ò Û Ö ØÒ Ö Ö Ï ÐÐ ÒÔ Ø Þ Ö Ø Û Ò Ö Ð ÙÒ ¾º¾µ ÞÞ Öغ ¾º¾º ÁÑÔÙÐ ÓÔ Ö ØÓÖ ÁÒ Ñ Ò ØØ Ò Ò Û Ö Û Ø Ò ÃÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞÖ ÐÒ Ñ ÇÖØ Ö ÙѺ ÞÙ ¹ Ö Ò Ò Û Ö Ò Ñ ØØÐ Ö Ò ÁÑÔÙÐ Ò Ì Ð Ò Ñ Ø À Ð Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ø

12 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò ψ(t, x) 2 t=0 t 1 >0 t 2 > t 1 x Ð ÙÒ ¾º¾ Å Ø Ö Ø Ú Ö Ö Ø ÖØ Ù Ï ÐÐ ÒÔ Øº Ñ ÁÑÔÙÐ Ö ÙѺ Ù ¾º½ µ ÙÒ ¾º½½µ ÓÐ Ø Ô ψ = Ô w(t, Ô)d 3 p = ψ(t, Ô)Ô ψ(t, Ô)d 3 p 1 = d 3 p d 3 x (2π ) ψ(t, Ü)e iô Ü/ 3 Ô d 3 y ψ(t, Ý)e iô Ý/. ¾º µ À Ö ÒÒ Ò Û Ö Ô ÙÖ i y Ò Û Ò Ø Ù Ð ØÞØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÞ Òº Æ Ò Ö Ô ÖØ ÐÐ Ò ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÙÒØ Ö Ñ Ý¹ÁÒØ Ö Ð Ö Ø Ö Ñ ØØÐ Ö ÁÑÔÙÐ 1 Ô ψ = d 3 xd 3 y d 3 p e iô(ü Ý)/ ψ(t, Ü) (2π ) 3 i yψ(t, Ý) = d 3 x ψ(t, Ü) i xψ(t, Ü), ¾º µ ÛÓ Û Ö ¾º¾¾µ ÒÙØÞØ Òº ÒÞ Ò ÐÓ Ð Ø Ñ Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ f(ô) ÁÑÔÙÐ Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ ÙÖ f(ô) ψ = d 3 x ψ(t, Ü)f ( ) i x ψ(t, Ü) ¾º µ Ò Øº Ð Ó Û Ö Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ö ÁÑÔÙÐ ÙÖ Ò Ð ØÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ø ÐÐØ Ô i x. ¾º µ

13 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º¾º Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ø Ö Ì Ð Ò Ï Ò Ö Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö Ò Ø Ñ ØØÐ Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ì Ð¹ Ò Ñ E ψ = (2.19) = 1 Ô 2 2m = 2 d 3 x ψ 2m ψ(t, Ü) ψ(t, Ü) d 3 x ψ(t, Ü)(i t )ψ(t, Ü), ÙÒ Û Ö ÓÐ ÖÒ Ò Ö ÙÖ Ð ØÙÒ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÐØ Û Ö E i t. ¾º µ Û Ø Ö w(t, Ü) Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ø Ø Ö Å ØØ ÐÛ ÖØ Ò Ö Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ì Ð ÒÓÖØ f(ü) = d 3 x ψ(t, Ü)f(Ü)ψ(t, Ü). ¾º µ Ó Ò ÙÒ Ò Ò ÎÓÖ Ö Ø Ò Ò Ö E i t ÇÖØ Ü Ü ¾º ¼µ ÁÑÔÙÐ Ô i x Ò Û Ø Ò ÃÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞÖ ÐÒ Ñ ÇÖØ Ö ÙѺ Ð À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø Ò Ö Ò Ì Ð Ò Ø H 0 = Ô 2 /2mº ÍÒØ Ö ÒÙØÞÙÒ Ö ÃÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒÞÖ ÐÒ Ö Ø Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ¾º½ µ Ñ ψ(t, Ü) i t = H 0 (Ô)ψ(t, Ü), Ô = i x. ¾º ½µ ÁÒ Ö ÓÖÑ ÖÛ Ø Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ð Ú Ö ÐÐ Ñ Ò Ö Öº Å Ò ÒÒ Ò Ø Ù Ø Ú Ð Ø Òº Á Ö Ê Ø ÖØ ÙÒ Ø Ø Ò Ö Ö Ò Ø ÑÑÙÒ Ö Ö ÎÓÖ Ö Ò Ñ Ø Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ ÛÓÒÒ Ò Ò Ö Ò Òº Æ Ø ØÓÛ Ò Ö Û Ö Ï Ð Ö Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ ÙÖ ÙØÙÒ ÚÓÒ ψ Ð Ï Ö ÒÐ Ø ÑÔÐ ØÙ ÙÖ ÔÖ ÓÖ ¹ Ò ÙÒ Ò Ò ÖÒ Ø Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ ÑÙ Ð Ò Ö ÙÒ ÓÑÓ Ò Òº Ï ÐÐ ØÞØ ÒÒ Ö Ï ÐÐ Ò Ö Ø Ö Ø ËÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÒØ ÔÖ Ò Ö Ä Ò ¹ Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ÞÛ Ö Ä ÙÒ Ò Û Ö Ò Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ Øº Ï Ö Ò Ò Ø Ö ÓÙÖ Ö Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ ψ ÒÙØÞغ

14 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò Ë ÑÙ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ Ò Ö Ø Òº ÒÒ Ö Ø Ã ÒÒØÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ψ ÞÙ Ò Ñ Ò Ò ØÔÙÒ Ø Ù ÙÑ Ö ÔØ Ö ÒØÛ ÐÙÒ ÞÙ Ø ÑÑ Òº ÒØ ÔÖ Ø Ö ÓÖ ÖÙÒ Ö Ù Ø Ò Ô Ý Ð Ò ËÝ Ø Ñ ÚÓÐÐ ØÒ ÙÖ ÒÑ Ð Ò ψ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÑÑØ Ò ÓÐк Ö Ð Ø Ú Ø ÃÐ Ò¹ ÓÖ ÓÒ¹ Ð ÙÒ Ö ÐÐØ ÓÖ ÖÙÒ Ò Øº ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò Æ Ñ ËØÙ ÙÑ ÚÓÒ Ö Ò Ì Ð Ò ÙÒØ Ö Ù Ò Û Ö ÒÙÒ ÝÒ Ñ ÚÓÒ Ì Ð¹ Ò Û Ð ÈÓØ ÒØ Ð Ö Ø Ò Ù ØÞØ Ò º ØÖ Ø Ø ÈÓØ ÒØ Ð V (Ü) ÚÓÖ Ö Ø Û ÓÖØ Ò º ÃÐ ÐØ Ö Ò Ö ØÞ E = Ô2 + V (Ü) = ÓÒ Ø ÒØ 2m ¾º ¾µ Ò Û Ö Ò Ñ ÁÑÔÙÐ ØÖ Ù Ò Ô Ô(Ü) = 2m(E V (Ü)). ¾º µ Ö Û Ú ÖÒ ÖÐ ÈÓØ ÒØ Ð Ø Ö ØÖ ÓÖØ Ò Ò ÁÑÔÙÐ ÕÙ ¹ ÓÒ Ø Òغ Ï Ö Ò Ñ Ò Û Ø Ö Ò Ù Ò Ê ØÙÒ Ò(Ü) ÕÙ ¹ ÓÒ Ø ÒØ Û Û Ö ÙÖ Ä ÙÒ Ö À Ñ ÐØÓÒ Ò Ð ÙÒ Ò Ü = H Ô Ô = H Ü ØØ Ò ÒÒ Òº Æ ÖÓ Ð Ö Ò Û Ö Ì Ð Ò ÙÖ Ò ³ÑÓÒÓ ÖÓ¹ Ñ Ø Ï ÐÐ ³ ψ(t, Ü) = exp (i(ô Ü Et)/ ) = exp { } ) 2m(E V (Ü)) Ò(Ü) Ü Et / Ö Òº Î ÖÒ Ð Ò Û Ö ÇÖØ Ò Ø ÈÓØ ÒØ Ð V ÙÒ Ò Ø Ú ¹ ØÓÖ Ò Ó Ö Ò i t ψ(t, Ü) Eψ(t, Ü) ψ(t, Ü) 2m (E V (Ü))ψ(t, Ü). 2

15 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò Ö ØÞ Ò Û Ö ÙÖ Ò Ð Ø Þ Ò ÒÒ Ò Ò Û Ö Ñ ÒØÖÙÑ Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Ø Ò Þ Ø Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ψ(t, Ü) i t = 2 ( ψ)(t, Ü) + V (Ü)ψ(t, Ü), 2m ÚÓÒ Ö Û Ö ÒÒ Ñ Ò ÛÓÐÐ Ò Ù Ö Ò ÐÐ Ú Ö Ö Ò ÈÓØ ÒØ Ð ÐØ Ø º Ç Ò ØÐ Ø Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ ÓÖÑ ψ(t, Ü) i t = H(Ô, Ü)ψ(t, Ü), ÛÓ Ô = i Ö ÁÑÔÙÐ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÇÖØ Ö ÙÑ Ø ¾º ¼µº ÖÛ Ò Ë Ö Ò Ö Ú Ö ÒØÐ Ø ½ ¾ Ò Ê ÚÓÒ Ö Ø Ò ÛÓÚÓÒ Ú Ö Ò Ì Ø Ð ³ÉÙ ÒØ ÖÙÒ Ð ÒÛ ÖØÔÖÓ Ð Ñ³ ØÖ Ò ¾ º Ö ÚÓÒ Ë Ö Ò Ö Û ÐØ Ï Ö ÚÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò ÓÖÑÙÐ ÖÙÒ Ö Å Ò Û Ö ÚÓÐÐ Ö À Ò ÖÒ º Ö Ï ÞÙ Ò Ö Ö ÑØ Ò Þ ØÙÒ¹ Ò Ò Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ ψ = 2m K 2 ) (E + e2 ψ r Ö Ò Ð ØÖÓÒ Ñ Ð Ï Ö ØÓ ØÓÑ ÖÒ Û Ö Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ö Ø ÒÓ Û Ò ÙÖ Ø º Ñ ÈÙÒ Ø Û Ö Ö Ö Ø Ì Ð Ò Ö ÞÛ Ø Ò Ö Ø Û Ñ Øº ¾º º½ ÎÓÒ Ö Ð Ò Å Ò ÞÙÖ Ï ÐÐ ÒÑ Ò ÒÐ Û ËØÖ Ð ÒÓÔØ Ö Ö ÒÞ ÐÐ Ö Ï ÐÐ ÒÓÔØ Ö Ð Ò Ï ÐÐ ÒÐÒ Ò Ø ÓÐÐØ Ù Ð Å Ò Ð Ö ÒÞ ÐÐ Ò Ö Ò Ù Ò Å Ò Ö Ï ÐÐ ÒÑ ¹ Ò Ú Ö Ø Ò Ò Û Ö Òº Ï Ö ÛÓÐÐ Ò Ò Þ ÒØÖ Ð Ò Ë Ö Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ô ØÙÐ Ö Òº ÞÙ Û Ö ÓÐ Ò Û Ö ÞÙ Ö Ø ÖÙÒ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó Ì ÓÖ º Ò (q 1,..., q N ) q Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ð Ò Ñ ¹ Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ä Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ L(q, q, t)º ÙÑ Ô Ð ÒÒ Ò (q 1, q 2, q 3 ) ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ì Ð Ò Ó Ö Ö Ò ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Òº Ë Û ¹ Ø Ö S = L(t, q, q)dt Ï Ö ÙÒ Ò Ö Ò q(t) Ñ ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙѺ Î Ö Ø ÓÒ Ö Ï Ö ÙÒ Ö Ò Ø

16 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò ÞÙ δs = = (L, q δq + L, q δ q + L, t δt)dt ( {L,q d ) dt L, } q δq + L,t δt dt + L, q δq t 2 t 1 ÛÓ Ô Ð Û L, q δq Ö L, q k δq k Ø Øº ÆÙÒ ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÒÒ Ñ Ò q(t) Ò Ð ÖÐ Ù Ø Ò º º Ò Ä ÙÒ Ö ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Òº q klass. (s) t 1, q 1 t 2, q 2 t, q Ò Ä ÙÒ ÙÖ Ò Ò ÓÖØ ÙÒ Ò Ò Þ Ø ÓÛ Ò ÓÖØ ÙÒ Ò Þ Ø Ø ÑÑØ Ø Ò Ø S[q(t)] ÒÙÖ ÚÓÒ Ò ÇÖØ Ò ÙÒ Ø Ò ÞÙ ÒÒ ÙÒ Ñ Ò Ö Ð Ò Ò S = S(t 2, q 2 ; t 1, q 1 )º ÙÒ Ø ÓÒ Ø À Ñ ÐØÓÒ ÈÖ ÒÞ Ô Ð ÙÒ Ø ÓÒº Ö Ä ÙÒ Ò Ú Ö Û Ò Ø Ö Ì ÖÑ ÞÛ Ò Ò Û Ø Ò ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ò º Ö Ú Ö Ð Ò ÁÒØ Ö Ò L, t Ø Ò ØÓØ Ð Ø Ð ØÙÒ Ù Ö Ö Ø Ò Ë Ø ÚÓÒ d ( L, dt q k q k L ) ( ) d = dt L, q q k + L, k q k q k L, q k q k L, q k q k L, t Û Ò Ö ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ò ÐÐ Ì ÖÑ Ù Ò Ð ØÞØ Ò Û Ò d ( L, dt q k q k L ) = L, t Ðغ Î Ö Ø ÓÒ Ö ÈÖ ÒÞ Ô Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÒÙÒ Ò ( δs = L, q k δq k + (L ) ) L, q k q k t δt 2 t 1. À ÐØ Ò Û Ö Ò Ò Û ÖØ Ø ÙÒ Ú Ö Ö Ò ÒÙÖ Ò Ø Ò ÒÒ Ö Ø Û Ò L, q k p k ) S, q k = p k ÙÒ S, t = ( pk q k L, ¾º ¼µ ÛÓ Ì Ð Ò ÞÙÖ Ø t Ñ ÐÓÖØ q Ò ÓÑÑغ Ö ÒÓÒ ÁÑÔÙÐ Ò Ö Ø Ù Ò Æ Ú Ù Ò ÚÓÒ S Ø Ø ÒÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ù S Ö ÔÖÓ ÙÞ ÖØ Û Ö Òº

17 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò ¼ Û Ò Ò ÃÐ ÑÑ ÖÒ Ò ¾º ¼µ Ø Ø Ä Ò Ö ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ö Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒº Ñ Ø Ö Ø À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ö ÈÖ ÒÞ Ô Ð ÙÒ Ø ÓÒ S, t +H ( ) t, q k, p k = S,t +H ( ) t, q k, S, q k = 0. ¾º ½µ ÙÑ Ô Ð Ö Ò ÖÑÓÒ Ò Ç Þ ÐÐ ØÓÖ Ñ Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ¾ H = 1 2m Ô2 + mω2 2 Ü 2 ¾º ¾µ Ø Ð Ä ÙÒ Û Ð ÞÙÖ Ø s = 0 Ý Ø ÖØ Ø ÙÒ ÞÙÖ Ø s = t Ü Ò ÓÑÑØ Ð Ü(s) = Ý cosωs + Ö ÈÖ ÒÞ Ô Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ò Ü Ý cos ωt sin ωt sin ωs. ¾º µ S = m 2 t 0 ( Ü 2 (s) ω 2 Ü 2 (s) ) ds = mω 2 ( (Ü 2 + Ý 2) cot(ωt) 2Ü ) Ý. sin ωt Å Ò ÔÖ Ø Ð Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ð ÙÒ S, t + 1 2m ( S)2 + mω2 2 Ü 2 = 0 Ö ÐÐغ Ù Ô = S = mω[ü cot ωt Ý/ sin ωt] ÒÒ Ñ Ò ÒÙÒ Ò Ò ( Ü(t), Ô(t) ) ÖÑÓÒ Ò Ç Þ ÐÐ ØÓÖ Ñ È ÒÖ ÙÑ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Òº ÁÑ Ø Ø ÓÒÖ Ò ÐÐ Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÜÔÐ Þ Ø ÚÓÒ Ö Ø H = H(q, p) ÙÒ Û Ö ÒÒ Ò Ø Ò Ø Ö ÈÖ ÒÞ Ô Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÐØ Ò S = Et+ W(q)º ÙÒ Ø ÓÒ W Ö ÐÐØ ÒÒ Þ ØÙÒ Ò À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ð ÙÒ Ñ Ø Ø Ö Ò Ö Eº E = H ( q, W ) q ÆÙÒ ÛÓÐÐ Ò Û Ö Ò ÐÙ ÞÙÖ Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ð Ë Ö Ò Ö Ö Ø ÐÐ Òº Ò ÐÐ Ñ Ò Ð Ò Ö Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ö Å Ø Ö Û ÐÐ Ò Û Ð Ö Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ Ò Ö ¾ Ë Ò q k ÖØ ÒÒ ØÞ Ò Û Ö Ñ Ø Ò q k = x k º

18 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò ½ Ø Ð ØÙÒ Ø Ø ÓÖÑ i ψ ( t = H t, q, ) ψ i q Ñ Ø Ò Ö ÒÓ ÙÒ Ø ÑÑØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Hº ÆÙÒ Ö Ò Û Ö Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ψ = e is(t,q)/ Ñ Ø Ò Ö Ð Ò Ñ Ñ Ø Ò q Ú ÖÒ ÖÐ Ò È Ò ÙÒ Ø ÓÒ Sº Î ÖÒ Ð Ò Û Ö ÞÛ Ø ÙÒ Ö Ð ØÙÒ Ò ÚÓÒ S Ò q Ó ÑÔÐ Þ ÖØ Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ ÓÐ Ò Ð ¹ ÙÒ Ö È S ÚÓÒ ψ ( t S + H t, q, S ) = 0. q Ø Ö Ö À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ð ÙÒ ÞÙÖ À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Hº ÙÖ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ö Ò Û Ö ÞÙÑ ÖÑÓÒ Ò Ç Þ ÐÐ ØÓÖ Ñ Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ¾º ¾µ ÞÙÖ º Ë ØÞ Ò Û Ö È Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ Ò Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ò Ó Ò Ò Û Ö 0 = S, t + 1 2m ( S)2 + mω2 2 Ü 2 i 2m S. À Ö Ò Û Ö ÜÔÐ Þ Ø È Ò ÙÒ Ø ÓÒ S À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ð ÙÒ Ö¹ ÐÐØ Û ÒÒ Û Ö Ö Ð ØÙÒ Ò ÚÓÒ S Ú ÖÒ Ð Ò Ó Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ ÒÙÖ Ì ÖÑ Ö ÇÖ ÒÙÒ 0 ÐØ Òº Ö 0 ÓÐÐØ Ö ÉÙ ÒØ ÒÑ Ò Ò Ð Å Ò Ö Òº Ï Ö ÒÒ Ò Ð Ó Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Û Ð Ö 0 Ò Ð À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ð ÙÒ Ö È S ÚÓÒ ψ Ö Ø Ð ÓÖÖ Ø Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ö Ò ÐÐ Ñ Ò ËÝ Ø Ñ Ð ÙÖ À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ H(t, q, p) Ö Ò Û Ö Ò Òº Ñ Ø Ò Û Ö Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ö Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ù Ð À Ñ ÐØÓÒ ËÝ Ø Ñ ÙÒ Òº Ð Þ Ø Ö Ò ÐÐ Ñ Ò Ò ÃÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞÖ ÐÒ Û Ò Ð ËÝ ¹ Ø Ñ ÞÙ ÕÙ ÒØ Ö Ò Øº Å Ò Ö ØÞ Ò Ö Ð Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÒÓÒ ¹ Ò ÁÑÔÙÐ ÙÖ Ô ÖØ ÐÐ Ò Ð ØÙÒ Ò Ò Ò Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò p i i iº ÞÙÑ ËÝ Ø Ñ Ö Þ Ø Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ð ÙØ Ø ÒÒ i t ψ(t, q) = H(t, q i, p i )ψ(t, q), p i = i q i. ¾º ¼µ

19 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò ¾ ÁÑ Ø Ø ÓÒÖ Ò ÐÐ H = H(q, p) ÒÒ Ò Û Ö Û Ö À Ñ ÐØÓÒ¹Â Ó ¹ Ð ÙÒ Ø Ò Ø Ô ÐØ Ò ψ(t, q) = e iet/ ψ(q). ¾º ½µ Æ Ò ØÞ Ò Ò ¾º ¼µ Ö Ø Ø Ø ÓÒÖ Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö Þ ØÙÒ¹ Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ(q) Ò ¾º ½µ Eψ(q) = H(q i, p i )ψ(q), p i = i q i. ¾º ¾µ ÒÛ ÖØ Ð ÙÒ Ø Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ö Þ ØÙÒ Ò Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö Ï Ö ØÓ ØÓÑ Ù Ð Ø Ø ÓÒÖ À Ñ ÐØÓÒ ËÝ Ø Ñ º Ö Ö ÒØ ÐÓÔ Ö ØÓÖ H(q i, p i ) Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ÇÔ Ö ØÓÖ ÙÒ Ò ÒÛ ÖØ E Ò Ñ Ð Ò Ï ÖØ Ö Ò Ö º ¾º º¾ Ï ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ò ÃÖ Ø Ò Ï Ö Û Ò Ò ÒÙÒ Ó Ò ÛÓÒÒ Ò Ò Ö ÒÒØÒ Ò ÙÑ ÉÙ ÒØ ÒÑ Ò Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ì Ð Ò Ò Ð ØÖ Ò ÙÒ Ñ Ò Ø Ò Ð ÖÒ ÞÙÐ Ø Òº ÁÒ Ö Ð Ò È Ý Û Ö Û ÙÒ Ò Ì Ð Ò Ñ Ø Å m ÙÒ Ä ÙÒ e ÙÖ Ò ÌÖ ØÓÖ Ò Ð ÖØ Òµ ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ö Òº Ù Ò Ì Ð Ò ÞÙÖ Ø t Ñ ÇÖØ Ü Ò Ø ÙÒ Ñ Ø Ö Û Ò Ø Ü Û Ø Û Ö Ø ÄÓÖ ÒØÞ¹ÃÖ Ø = e ( (t, Ü) + 1c ) Ü (t, Ü). ¾º µ ÙÖ Ä Ö Ò Ò Ó Ö À Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÖÑÙÐ ÖÙÒ Ö Û ÙÒ Ð ÙÒ Å ¹ ÒÔÙÒ Ø Ø ÒÓØÛ Ò Ò Ø ÐÐ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò Ø ¹ Ò ÈÓØ ÒØ Ð ϕ(t, Ü) ÙÒ (t, Ü) ÒÞÙ Ö Ò = ϕ 1 c, =. t Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ ÈÓØ ÒØ Ð Ð Ð ÙÖ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ λ(t, Ü) ÙÒØ Ö Ò (t, Ü) = (t, Ü) λ(t, Ü) ϕ (t, Ü) = ϕ(t, Ü) + 1 λ(t, Ü) c t

20 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò Ð ÖÒ Ð Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ð º ÁÒ Ö Ð Ò Å Ò Û Ö ÒÙÒ Þ Ø Ò ØÖ Ð Ø Ú Ø µ ÄÓÖ ÒØÞ Ð ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ Ò ÒÓÒ Ò Ð ÙÒ¹ Ò ÞÙÖ À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ H = 1 ( Ô e ) 2 2m c (t, Ü) + eϕ(t, Ü), غ Æ Ö ÃÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞÖ Ð Ð ÙØ Ø Þ Ø Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ì Ð Ò Ñ Ø Å m ÙÒ Ä ÙÒ e ÞÙÑ Ô Ð Ò Ð ØÖÓÒ Ñ Ð ØÖÓÑ ¹ Ò Ø Ò Ð Û ÓÐ Ø i t ψ(t, Ü) = Hψ(t, Ü), H = 1 ( 2m i e ) 2 (t, Ü) + eϕ(t, Ü). c Ù Î Ð ÙØ Ø Ò Ö ÇÖ ÒÙÒ Ö ÇÔ Ö ØÓÖ Ò ÓÑÑ Ò Û Ö ÔØ Ö ÞÙ ÔÖ ¹ Òº Ö Þ ØÙÒ Ò ÈÓØ ÒØ Ð Ø H Þ ØÙÒ Ò ÙÒ Ò ØÓÖ ÖÙÒ Ö Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ø ÓÒÖ Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Eψ(Ü) = Hψ(Ü). Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ò Ð Ò Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ð Ó Ù Ö Ò Ò ÙÒ Ð Ò Ò Ì Ð Ò ÙÖ Ö ØÞÙÒ Ò t t + ie ϕ(t, Ü) ie (t, Ü) c Ö ÙÖ ÛÓÒÒ Ò Ï Ö ÙÒ Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ò Ð Ù Ð Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò Û Ö Ð Ñ Ò Ñ Ð ÃÓÔÔÐÙÒ Þ Ò Øº Ñ Ò Ñ Ð ÃÓÔÔÐÙÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ò Ð Ð Ø Ö Ø Ù Ò ÐÐ Ñ Ö Ö Ö Ì Ð Ò Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒº Ö n ÙÒØ Ö Ö ÙÒ Ô ÒÐÓ ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ñ Ø Å Ò m i ÙÒ Ä ÙÒ Ò e i Ò Ò Ñ Ù Ö Ò Ð ØÖ Ò ÙÒ Ñ Ò Ø Ò Ð Ø Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ÇÔ Ö ØÓÖ ÓÖÑ H = n i=1 { 1 ( Ô i e ) 2 i 2m i c (t, Ü i) + ei ϕ(t, Ü i )} + V (Ü 1,...,Ü n ), ¾º ¼µ ÛÓ ÑØ ÒÒ Ö Ï ÐÛ Ö ÙÒ Ö Ì Ð Ò ÙÒØ Ö Ò Ò Ö ÙÖ Ö Ò Ø Ò Ö Ô Þ Þ ÖØ ÈÓØ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ V Ö Ò Û Ö º Ö Ò Ø ÙÒØ Ö Ö Ì Ð¹ Ò Ñ Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ(t, Ü 1,...,Ü n ) Û Ø Ö Ò ÖÒ Ø Û Ö Òº

21 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò Ä Ò Ö Þ ÒØÖ Ð Ò Ô ÖØ ÐÐ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò i ψ = Hψ Ó Ö Eψ = Hψ Ö Ô Þ ÐÐ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ð Ö Ø Ò À ÙÔØ ÒÐ Ò Ö ÉÙ ÒØ ÒÑ Ò ÙÒ ÐÐ Ö Ø Û Ð Ò ÉÙ ÒØ ÒÑ Ò ÞÙ ÖÙÒ Ð Øº Ò ÐÓ Ò Ä ÙÒ ÒÒ ÒÙÖ Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ò Ò Û Ö Òº Ö Ö Ð Ø Î Ð ÖÔ Ö Ý Ø Ñ Ø Ñ Ò Ù Æ ÖÙÒ Ò Ó Ö ÒÙÑ Ö Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Ä ÙÒ Ö ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ò Ð ¹ ÙÒ Ò Ò Û Òº ¾º º ÐÐ Ñ Ò ÈÓØ ÒØ ÐÔÖÓ Ð Ñ Ï Ö ØÖ Ø Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ø N Ö Ø Ö Ò ÙÒ Ö Ò ËÝ Ø ÑÐ Ñ Ø Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ Ò ÐÓ Ð Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò q = {q 1,...,q N } ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ Cº ÙÑ Ô Ð Ø Ö ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò Ê 3 ÙÒ Ñ Ò ÒÒ ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ó Ö ÃÙ Ð ÓÓÖ ÒØ Ò ÞÙÖ ØÐ ÙÒ Ì Ð ÒÓÖØ Û Ð Òº ÁÑ ÃÓÒ Ù¹ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÃÖ Ð ÊÈ 3 Û ÐØ Ñ Ò Ó Ø Ö ÙÐ ÖÛ Ò Ðº Ö Ø Ò ÞÛ Ö Ò Ò Ø Ñ Ð Ò ÖØ Ö ÈÙÒ Ø Ñ Ø ÃÓÓÖ Ò Ø Ò q ÙÒ q + dq Û Ö ÙÖ Ò Ñ ØÖ Ò Ì Ò ÓÖ g ij (q) Ö Ø Ö ÖØ ds 2 = ij g ij (q)dq i dq j, ¾º ½µ ÙÒ Ö Ò ÌÖ ØÓÖ q(t) Ò C Ø Û Ò Ø ÕÙ Ö Ø Ð v 2 = ( ) 2 ds = g ij q i q j. ¾º ¾µ dt Ñ Ø Ð ÙØ Ø Ð Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ø ÈÓØ ÒØ Ð Ö Ø Ò L = 1 g ij (q) q i q j V (q). 2 ij ¾º µ ÙÑ Ô Ð Ø Ö Ø ØÞØ ÝÑÑ ØÖ ÃÖ Ð Ñ Ø Å M ÙÒ À ÙÔØØÖ Ø ¹ ÑÓÑ ÒØ Ò (A, A, C) Ñ Ë Û Ö Ð Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ L = A 2 ( ) ϑ2 + sin 2 ϑ ϕ 2 + C 2 ( ) 2 ψ + cosϑ ϕ Mgl cosϑ, ÛÓ l Ò Ø Ò ÞÛ Ò ËØ ØÞ¹ ÙÒ Ë Û ÖÔÙÒ Ø Þ Ò Øº Ö ÞÙÖ Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø q i ÒÓÒ ÓÒ Ù ÖØ ÁÑÔÙÐ Ø p i = j g ij q j

22 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò ÙÒ Ñ Ø Ø ÞÙ L Ò ¾º µ Ö Ð À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ H = 1 g ij (q)p i p j + V (q) 2 ij Ñ Ø k g ik g kj = δ j i. Ø g ij ÞÙ g ij ÒÚ Ö Å ØÖ Ü ÙÒ Ø ÓÒº Ï ÒÒ Û Ö Ñ ÃÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞÔÖ ÒÞ Ô ÓÐ Ò Ð Ò ÁÑÔÙÐ ÙÖ Ð ØÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ö ØÞ Ò ÒÒ Ö Ø Ó ÓÖØ ÇÖ ÒÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÃÐ Ò ÞÙÑ Ô Ð g ij p i p j ÙÒ 1 g p i ( gg ij p j ), g = det(gij ), Ð ÕÙ ÒØ ÒÑ Ò Ö Ò Ø Ð ØÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò p i ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò gg ij Ö Ò q¹ Ò Å ØÖ Ò Ø Ú ÖØ Ù Òº Ï Ö Û Ö Ò Ñ Ò Ø Ò Ò ØØ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ò ÞÛ Ø Ï Ð Ñ Ø Ò ÈÖ ÒÞ Ô Ò Ö ÉÙ ÒØ ÒÑ Ò Ú ÖØÖ Ð Øº ÓÖÖ Ø Ë Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ö Ò ÐÐ Ñ Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ø Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ¾º µ Ø Ð Ó ÓÖÑ i ψ(t, q) = Hψ(t, q) ÞÛº Eψ(q) = Hψ(q) Ñ Ø H = 1 1 p i gg ij p j + V (q), p i = 2 g i q i. Ø ÐÐ Ñ Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ö À Ñ ÐØÓÒ ËÝ Ø Ñ Ñ Ø ÈÓØ ÒØ Ð¹ Ö Ø Òº Ë Ö Ø ÞÙÑ Ô Ð ÝÒ Ñ ÚÓÒ n Ö ÓÙÐÓÑ Ö Ø Û Ð¹ Û Ö Ò Ò Ì Ð Ò ÚÓÒ Ø ÖÖ Ò Ã ÖÔ ÖÒ ÙÒ ÃÖ ÐÒ Ó Ö ÚÓÒ ËÝ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ø Ò Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð º Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Û Ö ÙÖ Ò Ñ ØÖ Ò Ì Ò ÓÖ g ij ÙÒ Æ ÛØÓÒ ÈÓØ ÒØ Ð V Ö Òº Ó Ò ÒÒØ Ñ Ò Ñ Ð ÃÓÔÔÐÙÒ Ò Ö Ú ¹ Ø Ø ÓÒ Ð Ö Û ÒÐ Ò ÙÖ ÐÐ Ñ Ò ÓÚ Ö ÒØ Ò Ð ØÙÒ Ò Ö ØÞØ Û Ö Ò ÛÙÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ ØØ Øº ÞÙ ÛÙÖ Ò ÞÛ ÚÓÒ Ò Ö ÉÙ ÐÐ Ñ ØØ ÖØ Æ ÙØÖÓÒ Ò ØÖ Ð Ò Ò Ñ Ú Ö Ò Ï Ñ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ö Ö ÞÙÖ ¹ Ð Ø Ò ÞÙÖ ÁÒØ Ö Ö ÒÞ Ö Øº ÁÑ ÙÖ ÔÖ Ò Ð Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÚÓÒ ÇÚ Ö Ù Ö ÙÒ ÓÐ ÐÐ ÛÙÖ Ò Æ ÙØÖÓÒ Ò ÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ö ÒÙØÞØ Ö Ò ÞÛ Æ ÙØÖÓÒ Ò ØÖ ¹ Ð Ò Ò Ð ÚÓÒ ØÛ Ñ 2 Ò ÐÓ Ò º ÁÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ö ÛÙÖ ½ ¼ 0 ÙÑ Ò Ö Ø ÞÙÖ Ö Ó Ö ÙÒ Ñ Ò ÐÐ Ò Ò Æ ÙØÖÓÒ Ò ØÖ Ðµ Ö Ø ÙÒ Î Ö ÙÒ ÁÒØ Ö Ö ÒÞÑÙ Ø Ö Ñ Òº Ó ØÙÒ Ø ÑÑØ Ñ Ø Ò ÎÓÖ¹ Ö Ò Ö Ë Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ñ Ê Ñ Ò Ö Å Ò Ù Ø Ö Òº Ò Ù Ø Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ø ÙØ Ö Ð Ò ÈÖÓÞ Òغ Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÙÒ ÒÙÒ ÖÐ Ò Û Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ö Ù Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ñ ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ Øº Ï Ö Ò Ö Ø Ö Ö Ö ÙÑ ÒØ ÖØ Ö Ò Ì Ð Ò Ñ Ê 3 Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ì Ð Ò Ñ ÎÓÐÙÑ Ò Ð Ñ ÒØ d 3 x

23 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ï ÐÐ ÒÑ Ò Ñ Ø ÃÖ Ø Ò ÙÑ Ü ÞÙ Ò Ò Ö Ò Ù Ò ÒÓÖÑ ÖØ Å Ø Ö Û ÐÐ Ð ψ(t, Ü) 2 d 3 x غ ÒÙع Þ Ò Û Ö ÖÙÑÑÐ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ü = Ü(q) = Ü(q 1, q 2, q 3 ) Ó Ö Ø Ö Ð Ï Ö ÒÐ Ø w(t, Ü)d 3 x = ψ(t, Ü) 2 d 3 x = ψ (t, Ü(q)) 2 (det J)d 3 q Ñ Ø J i j = xi q j. Ò Ñ ÐÐ Â Ó ¹Å ØÖ Ü J Ù ÃÓ Þ ÒØ Ò Ö Å ØÖ Ø ÑÑØ ds 2 = dx i dx i = ( J t J ) ij dqi dq j = g ij dq i dq j Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÚÓÒ J t J Ð Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ g Ñ ØÖ Ò Ì Ò ÓÖ g ij ÙÒ Ñ Ò Ö ÐØ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò Ù ÖÙ w(t, Ü)d 3 x = ψ(t, q) 2 g d 3 q, ψ(t, q) ψ (t, Ü(q)), g = det(g ij ). Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ì Ð Ò ÞÙÖ Ø t Ñ Ì Ð Ø C ÃÓÒ ÙÖ ¹ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÞÙ Ò Ò Ø ÒÒ w (t) = ψ(t, q) 2 gd 3 q. Ö ÏÙÖÞ Ð ØÓÖ ÓÖ Ø Ö ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ò ÚÓÒ Ò Û ÐØ Ò ÃÓÓÖ¹ Ò Ø Ò Øº Ò Ø ÖÐ ÓÖ ÖÙÒ Ø ÐÐ Ò Û Ö Ù Ö ÐÐ Ñ Ò Ö ËÝ Ø Ñ ÞÙÑ Ô Ð ËÝ Ø Ñ Ö Ò ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÞÙÐ Òº Ï Ö ÛÓÐÐ Ò Ö ÒÒ Ñ Ò C Ñ Ò Ø Ò Ò Å ÒÒ ÐØ Ø Ñ Ø Ê Ñ ÒÒ Ö Å ¹ ØÖ Øº Ö Ö ÖØ ËÝ Ø Ñ Ø ÒÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ñ Ù Ø Ò Ñ Ø Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ(q) ËÝ Ø Ñ Ñ Ø ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÞÙ Ò Ò w (t) = ψ(t, q)ψ(t, q) gd N q. ¾º ¼µ Ï Ö ÒÐ Ø ËÝ Ø Ñ Ö Ò ÛÓ Ò C ÞÙ Ò Ò ÓÐÐ Û Ö ÉÙ Ö Ø Ö ÆÓÖÑ Ö Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ 2 = (ψ, ψ) = ψ(q)ψ(q) g d N q. ¾º ½µ C ÆÓÖÑ Ø ÔÓ Ø Ú ÙÒ Ú Ö Û Ò Ø ÒÙÖ Ö ψ = 0º Ë Ò ÖØ ÓÐ Ò Ë Ð Ö¹ ÔÓ Ù Ø Ù Ñ Ê ÙÑ Ö Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò (φ, ψ) = φ(q)ψ(q) g d N q. ¾º ¾µ

24 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ö ÐØÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ð Ò Ö ÓÖÑ Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ë Ð ÖÔÓ Ù Ø ÙÒ Ò Ò Ø Ò Û Ö Ò ÙÒ Ñ Ò Ø Ò Ã Ô Ø Ð Ø Òº ¾º Ö ÐØÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ù Ò ÒÓÖÑ ÖØ Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ψ = 1 Ø w (t) Ò ¾º ¼µ Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ö Ì Ð Ò Ñ Ø ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ C ÞÙ Ò Òº Ñ Ø Ù ÞÙ ÐÐ Ò Ø Ò ÒÒÚÓÐÐ Ø Ö ÆÓÖÑ Ò Ö Ä ÙÒ Ö Þ ØÙÒ Ò¹ Ò Ë Ö Ò Ö¹ Ð ÙÒ Ò Ø ÚÓÒ Ö Ø Ò Òº Ï Ö ÒÐ Ø ËÝ Ø Ñ Ö Ò ÛÓ Ñ ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÞÙ Ò Ò ÑÙ ÒÑÐ ÞÙ ÐÐ Ò Ø Ò Ò Òº Ð Ó ÑÙ Ø Ð ØÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ú Ö Û Ò Ò d dt C ψ(t, q)ψ(t, q) g d N q = d (ψ, ψ) = 0. dt ¾º µ Ò ÙÒ Ò Ä ÙÒ Ò ÚÓÒ i t ψ = Hψ ÖÒ Ø ÓÖÑ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ ÇÔ Ö ØÓÖ Ò ÙÒ Å Ò Ö ÖÐ Ù Ø Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ψ : C Ò Ö Ä ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙÖ Ò ÙÒ i d (ψ, ψ) = (ψ, Hψ) (Hψ, ψ) = 0 dt غ Ï Ñ Ð ØÞØ Ò Ò ØØ Û Ö Ò Þ ØÙÒ Ò Ö Ñ ØÖ Ö Ì Ò ÓÖ ÚÓÖ Ù ØÞغ ÁÒ Ú Ð Ò ÐÐ Ò Ð Ø Ö Ø ÇÖ ÒÙÒ Ö ÇÔ Ö ØÓÖ Ò Ñ Ö Ò ÚÓÒ Ö Ð Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÞÙÑ ÕÙ ÒØ ÒÑ Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ÇÔ Ö ØÓÖ Øº Ï Ö ÒÐ Ø w (t) Ö Ù Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ò Û Ö Ö C Ñ ÐÐ Ñ ¹ Ò Ò ÚÓÒ Ö Ø Ò Òº Ö ÒÐ Û Ö Ð ÒÞ Ð ÙÒ Ö Ð ØÖ Ä ÙÒ Û Ö Ò Û Ö Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò w Ò Ð ÒÞ Ð ÙÒ ÖÛ ÖØ Ò Ò Ø Ò Û Ð Ê ØÙÒ Ù ÒØ ÐØ Û Ö ÒÐ Ø Øº ÒØ ÔÖ Ò Û Ö Ð ÒÞ Ð ÙÒ Ò Ò Ï Ö ÒÐ Ø ØÖÓÑ ÒØ ÐØ Òº Ï Ö ØÖ Ø Ò Ò Ö ÐÐ Ñ Ò Ò ÅÓ ÐйÀ Ñ ÐØÓÒ¹ÇÔ Ö ØÓÖ H = 2 2 D2 + V (q), D 2 = 1 g D i gg ij D j, D i = i ia i (q), Û Ö Ò Ò Ð ØÞØ Ò Ò Ò ØØ Ò ÚÓÖ Ñº Ö Ó À Ñ ÐØÓÒ¹ÇÔ Ö ØÓÖ Ö Ø ÐÐ Ñ Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ù Ö Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ò Ð Ò Ð Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ó Ö ÃÓÔÔÐÙÒ Ò Ø Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð º Ä Ø Û Ò Ø Ä ÙÒ Ò ÙÒ Å Ò ÛÙÖ Ò Ò Ò Ù Ö Ò Ð ÖÒ A i, g ij ÙÒ V ÓÖ Öغ ÈÓØ ÒØ Ð V ÒÒ ÞÙÑ Ô Ð Ù Ò Ø ÓÙÐÓÑ ¹Ï ÐÛ Ö ÙÒ ÚÓÒ Ð Ò Ò Ì Ð Ò ÑÓ¹

25 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ö ÐØÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÐÐ Ö Òº Û Ö ÚÓÖ Ù ØÞØ À Ñ ÐØÓÒ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ñ È ÒÖ ÙÑ Ñ Ø ÃÓÓÖ Ò Ø Ò (q, p) Ò ÖØ Øº Ö Ö ÙÒ ÚÓÒ Ì Ð Ò Ñ Ø ËÔ Ò Ø Ð ÅÓ ÐÐ ÙÒ Ò Ò º Ï Ö Ò ÇÔ Ö ØÓÖÓÖ ÒÙÒ Ò ÓÒ Ó Û ÐØ Ö Ò Ò Ò ÐÐ ÐÐ Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ñ ÙÒ ÖÒ Ø Ò ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ Ï Ö¹ ÒÐ Ø ËÝ Ø Ñ Ö Ò ÛÓ ÞÙ Ò Ò Þ ØÙÒ Ò Øº ÍÑ ÒÞÙ Ò ÒØ Ö Ö Ò Û Ö Ñ ÁÒØ Ö Ð g Di φ g ij D j ψ ÒÑ Ð Ô ÖØ ÐÐ Þ Ð Ö ÃÓÓÖ Ò Ø q i ÙÒ ÒÑ Ð Þ Ð Ö ÃÓÓÖ Ò Ø q j º Ï ÒÒ Û Ö ÒÓ ËÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ò Ì Ò ÓÖ Ö Ø Ò Ö Ø Ð ÙÒ ( i g φg ij D j ψ ) ( g φd 2 ψ = i g Dj φg ij ψ ) g D2 φ ψ, Ó Ö Û ÒÒ Û Ö Ú Ö ÒÞ¹Ì ÖÑ ÞÙ ÑÑ Ò Ò ) ( g ( φd 2 ψ D 2 φψ = i gg ij ( φdj ψ D j φψ )). Ë ØÞ Ò Û Ö Ò Ö Ð ÙÒ φ = ψ ÒÒ Ö Ø Ö Þ ØÐ Ò ÖÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø ËÝ Ø Ñ Ñ Ø C ÞÙ Ò Ò ÓÖÑ Ð dw (2.80) = 1 ( ) ψhψ Hψψ g d N q (2.86) = i j i d N q = j i dσ i dt i Ñ Ø j i = 2i gg ij ( ψdj ψ ψd j ψ ). Ø dσ i Ö Ø Ø Ç Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ù Ñ Ê Ò ÚÓÒ º ÁÑ Ð ØÞØ Ò Ë Ö ØØ Ò ÛÙÖ Ö Ù Ë ØÞ ÞÙÖ ÒÛ Ò ÙÒ Ö Øº Ø Ù Ø Ð ÒÞ Ð ÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ò ÖÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ù Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ò Ø Ð Ñ ÐÙ ËØÖÓÑ j i ÙÖ Ç Ö ÚÓÒ º ÑÒ Ø Ö Ö ÐÐ ËØÖÓÑ j i Ð Ï Ö ÒÐ Ø ¹ ØÖÓÑ Ø ÞÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Òº ÁÒ Ò Ö Ö ÒÞ ÐÐ Ò ÓÖÑ Û Ö ÞÙ Ò Ö ÃÓÒØ ÒÙ ¹ ØØ Ð ÙÒ d dt ( g ψψ) + i j i = 0,

26 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ö ÐØÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø ÒÐ Ö ÃÓÒØ ÒÙ ØØ Ð ÙÒ Ö Ð ØÖ Ä ÙÒ Ò Ö Ð ØÖÓ ÝÒ Ñ º Ø Ö Ò Ë Ö Ò Ö Ò ÒÒØ Ö ÐØÙÒ ØÞº Ð ÒÞ Ð ÙÒ ÒÒ Ù Ù Ò ÑØ Ò ÃÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÙÑ Ò ¹ Û Ò Ø Û Ö Òº ÒÒ ÓÐ Ø Ö Ò Ò Ò ÐÐ ÐÐ Ò Þ ÙÒ Û Ù Ñ Ê Ò ÚÓÒ C Ú Ö Û Ò Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò w C = ψ 2 Þ ØÙÒ Ò Øº Ö Ò Ò¹ Ö ÇÖ ÒÙÒ Ö ÇÔ Ö ØÓÖ Ò Ò ÛÖ Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ò Ø Ñ Ö Ö Ðк Ø Ó Ò ÖÛ ÒØ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ï Ð Ö ÇÔ Ö ØÓÖÓÖ ÒÙÒ Ò º Ö Ò Ø Ê Ò Ò ÙÒ Ò ÐØ Ð Ó (ψ, Hψ) = (Hψ, ψ) ÞÛº (φ, Hψ) = (Hφ, ψ). ¾º ¼µ ÇÔ Ö ØÓÖ Ò ÙÒØ Ö Ñ Ë Ð ÖÔÖÓ Ù Ø Ö ÛÐÞØ Û Ö Ò ÒÒ Ò Ò ÖÑ ¹ Ø º Ç Ò ÇÔ Ö ØÓÖ ÖÑ Ø Ø Ò Ø Ò Ò Ò Ö ÜÔÐ Þ Ø Ò ÓÖÑ ÞÙÑ Ô Ð Ö ÇÔ Ö ØÓÖÓÖ ÒÙÒ Ù ÚÓÒ Ò Û ÐØ Ò Ê Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò º ÍÑ ÃÓÒØ ÒÙ ØØ Ð ÙÒ ÞÙ Ò Ò Ò Û Ö Ò φ = ψ ØÞغ Ç Ò ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ù Ò Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ö Ù Ö Ì ÓÖ Ö Û ÒÐ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò ÒÒØ Ò ÏÖÓÒ ¹Á ÒØ ØØ i ( g φψ ) i ( gg ij ( φdj ψ D j φψ )) = 0. ¾º ½µ Ö Þ ØÙÒ Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ÇÔ Ö ØÓÖ Ò Ö Ò Û Ö Ø Ò Ø ØÓÖ Ö Ò ÙÒ ¾º ½µ Ú Ö Ò Ø ÒÒ ÞÙ φ(t, q) = e ie φt/ φ 0 (q), Hφ 0 = E φ φ 0 ψ(t, q) = e ie ψt/ ψ 0 (q), Hψ 0 = E ψ ψ 0, 2 2 { i gg ij ( φ0 )} ( ) D j ψ 0 D j φ 0 ψ 0 = Eφ E ψ g φ0 ψ 0. ¾º ¾µ Ø Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ ÏÖÓÒ Á ÒØ Øغ Á Ø Ò ÓÒ Ö φ 0 = ψ 0 ÒÒ Ú Ö¹ Û Ò Ø Ö Ø Ë Ø ÙÒ Ð Ò Ø Ø Ú Ö ÒÞ Ï Ö ÒÐ Ø ØÖÓÑ ÚÓÒ ψº Ð Ó Ø Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ H Ö ËØÖÓÑ ÕÙ ÐÐ Ò Ö ÙÒ Ï Ö Ò¹ Ð Ø Ö ËÝ Ø Ñ Ò Ò Ñ Ð Ò Ø ÞÙ Ò Ò Ø Þ ØÙÒ Ò º Ö Ò ÈÙÒ ØØ Ð Ò ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÒ Ò Ú Ö Û Ò Ò Î ØÓÖÔÓ¹ Ø ÒØ Ð Ø Ö Ï Ö ÒÐ Ø ØÖÓÑ Ò ÓÖÑ = ( ) ψ ψ ψ ψ. 2im

27 ¾º Ï ÐÐ ÒÑ Ò ¾º º Ö ÐØÙÒ Ö Ï Ö ÒÐ Ø ¼ Á Ø ψ Ö ÐÐ ÒÒ Ú Ö Û Ò Ø Ö ËØÖÓÑ ÙÒ Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ø Þ ØÙÒ ¹ Ò º Ö Ò Ò Ï ÐÐ ψ = αe iôü/ Ø = α 2 Ô m ¾º µ ÓÖØ ÙÒ Ò º Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ò Ê ØÙÒ Ì Ð Ò ÑÔÙÐ ÙÒ Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙÖ ÁÒØ Ò ØØ Ö Ï ÐÐ º