ÐØ P = W(s 2 ) W(s 3 ) W(s 4 ) W(s 4 ) W(s 5 ) W(s 6 ) = , 256º

Transkript

1 Â Ö Ò ¾ À Ø ÂÙÒ ¾¼¼ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ö Ë Ð Ö ÒÒ Òµ ÙÒ Ä Ö Ö ÒÒ Òµ ½ ¼ Ö Ò Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØÐ Ö ÒÛÖØ Ö Ù Ò ÚÓÑ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ Å ÒÞ

2 Ä Ä Óµ Ö Ò Ð Ö Ä Óµ Ö Ò Ù Ò Ù Ò Û ÖØ Ò Ù Ä ÙÒ Òº ÆÙÖ ÅÙØ Ù Û ÒÒ Ù Ò Å Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ò Ó Ø ÐØ Ø Ù ÞÙÖ Ä ÙÒ Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ò Å Ø ¹ËØÓ Ö Ë ÙÐ Ö Ù Øº Î ÐÑ Ö Û Ö Ø Ù Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ð Ø ØÒ Ò Ò Ö Ù Ò Ö Ù Ø Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ù Ù Öº Ï Ø Ù Û Ö ÒÙÖ Ò Ù Ó Ö Ì Ð ÒÞ ÐÒ Ö Ù Ò Ð Ò ÒÒ ÓÐÐØ Ø ÐÒ Ñ Ò Ö Û ÒÒ Ò ÈÖ Ø ÒÒÓ Ò Ø Ù ÐÓ Òº Ò Ø ÙÖ Ò Ä ÙÒ Ò Ö Ò Ù Ò Ä ÙÒ Û ÞÙ Ò Ö Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ò Ò Ö Ø Ö Ä Ò Å Ø Ô Ð Ö Ò ÚÓÖ Ò Ù Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ö Ñ ØÑ Ò Ö ÒÙÖ Ù Ö Ö Ð Ò ÈÙÒ ØÞ Ðº ÐÐ Ë Ð Ö Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÃÐ Ò ¹½ ÒÒ Ò Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ò Æ Ù Ò Ù Ò Òº ÈÙÒ Ø Ù Ò ÊÙ Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò Å Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ò ÙÒ Ï Ö ÓÖ Ø Ñ Ø Û Ö Ò Ö Î Ö ÓÖ ÖÔÖ ÞÙ ÖÙÒ Ð Øº ØÖ ÞÙ Ú Ö Ò Ò ÊÙ Ö Ò ØØ Ù Ú Ö Ò Ò ÐØØ ÖÒ Òºµ ¹ Ò Ò ¹µ Ì ÖÑ Ò Ö Ä ÙÒ Ò Ø Ö Ù Ö Ø Ò ØØ Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ø ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø ÅÇÆÇÁ ¹Ê Ø ÓÒ ¼ Å ÒÞ ¼ º¼ º¾¼¼ º Ì Ðº ¼ ½ ½» ¾ ½¼ Ü ¼ ½ ½» ¾ ¹Å Ð ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº ÁÑ Ä ÐÞ Ý ÒÒ Ò Ä ÙÒ Ò ÙÒ Ù Ö Ø Ò Ö Ø Ò À ÖÖÒ ÃÖ Ø Ò Û Ö Ò Ñ Ã Ö Ò ÒØ Ð Ö Ø Ò À ÖÖÒ Ã ÔÔ º ÖÒ Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ë ÙÐ Ò ØÖ Ù Ò Ä Ö Ö» ÒÒ Ò Ò Ò Á Ö ÙÖ Ä ÙÒ Ò Ò ÒÒØ À ÖÖÒ ÊÓÒ ÐÐ Ò Ø Ñ Ä Ò Þ¹ ÝÑÒ ÙÑ ØÖ Ò Ò À ÖÖÒ Ï ØØ ¹ Ò Ø Ò Å ÒÒ Ñ À ÖÖÒ Â Ó Ò Ö Ä Ø Ö ÙÐ Ò Ø Ö Ð Ö Ù Ä Ò ÑÔ Ñ ÝÑÒ ÙÑ Å Ö Ò Ö Ò Æ Ù À ÖÖÒ ÃÙÒØÞ Ñ Ï Ð Ðѹ Ö ¹ ÝÑÒ ÙÑ Ï ÒÒ¹ Û Ð Ö À ÖÖÒ Å ÜÒ Ö Ñ ÝÑÒ ÙÑ ÆÓÒÒ ÒÛ ÖØ À ÖÖÒ Å ØØ Ñ Ö Ù ÒÐÓ ¹ ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞ Ö Ù ØÐ ÙÒ Ö Ù ÐÞ Ñ ÝÑÒ ÙÑ Ç ÖÙÖ Ð Ö Ù Æ ¹ ÖÐ Ò Ö ¹Â¹Ä¹ ÑØ ÙÐ À Ñ Ö ÙÒ À ÖÖÒ ÐÐÑ ÒÒ Ñ ÝÑÒ ÙÑ ÐØÚ ÐÐ º Æ Ñ Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ä ÙÒ Ò Ò Ö Ø Ò Û Ö Ò Ñ ÅÇÆÇÁ Ò Ö ÊÙ Ö Ö Ä Ö ÙÒ Ù Ö ÅÇÆÇÁ ¹ÀÓÑ Ô Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø Ö Ò Òº Ï Ö ØØ Ò Ù ÙÑ Ò Ù Ù Ò Ù Ð Ø Ö Ø ÐÐØ Ø ÙÑ ÞÙ Ú Ö ¹ ÒØÐ Òº Ù Ò ÓÐÐ Ò Ö Ò Ø Ù ÖÒ Ó Ö Ù Ò ÑÑÐÙÒ Ò ÒØÒÓÑÑ Ò Ò ÓÒ ÖÒ Ò Ö Ò Ò ÒØ ÒØ ÔÖ Ò Òº Ï Ö Ò Ø ÒÑ Ð Ö Þ Ò Ò Ù ÞÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ä ÙÒ ÚÓÖ Ö Ø ÒÙÖ Ù ÒÒ Ø Ñ Â Ö Ò Û Ö Ò ÖÙÒ ¼ ÈÖ Ò Ø Ò Å Ø Ö Ø Ö Ú Ö Òº Ë Ø ½ Ø ÒÓ Ò Ò ÓÒ Ö Ò ÈÖ ÓÐ Ò Åº Ù Ö Ö Å ÐÐ Ñ Ø Ñ ÓÐ Ò Ò Å Ø Ò Ò ØÐ Ò Ð ØÖ Ö Ø Å Ø Ö Ø ÅÇÆÇÁ ÙÒ Ò Ö Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ò Ø Ú ØØ Ò ÒÑÐ Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ò Æ Ù Ò Ù Ò ÙÒ Ò Å Ø Ô Ð Ö Ò ØÖ ÞÙÖ Ë Ø Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò ÖØ Ð Ö Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ Ò Ù Ò Ù Ò Øº ÍÒ ÒÙÒ Û Ò Ò Û Ö Ù Ú Ð Ö ÓÐ ÙÖ Ö Å Ø Ö Ø Ê Ø ÓÒ ¾

3 Ò Ð ÒØ Ö ÃÙÐ Ò Ò ÏÙÖ Ô Ð Ô Ð Ñ Ø ÙÒ ÖÛ ÖØ Ø Ñ Ù Ò ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ù Ò Ñ Â ÖÑ Ö Ø Ø Ò ÏÙÖ Ô Ð Ñ Ñ Ò Ò Ð Ð Û ÒÒغ Å Ø Ò Ñ Ò ØÞ ÚÓÒ e ÒÒ Ñ Ò ËÔ Ð Ô Ð Ò ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ø Ö ÐØ Ö ËÔ Ð Ö ÏÙÖ Ô Ð º ÒÒ Û Ö Ò Ë Ò Ö Þ Ò Ð ÖÓ Ë ØÓÖ Ò Ò ¹ Ø ÐØ Ø Ò Ò ÐÐ Ö Û ÙÒ Ú Ö ØÞغ Ö ËÔ Ð Ö Û Ö Ø Ò È Ð Ù Ë º Ö Ø Ú ÖÐÓÖ Ò Û ÒÒ Ñ Ò Ø Ò ÞÛ È Ð Ò Ð Ò Ë ØÓÖ Ò Ð Ð Ò Ð Ò Ò Ê Ò ØÖ Òº Ä Ò Ò Ò Ò È Ð Ò Ú Ö Ò Ò Ë ØÓÖ Ò ÒÒ Ø Ö ÛÓÒÒ Ò ÙÒ Ö ÐØ ½¼eº Â Ö ÏÙÖ Ö Ë Ú Ö ÐØ ÑÙ Û Ö ÓÐØ Û Ö Òº Ò ËÔ Ð Ö ÒÒØ ÒÙÒ Ó ÖÐ Ò Ò Ò Ö Þ Ò Ë ØÓÖ Ò Ò Ù Ú Ö Ò ÞÙ ØÖ Ò Ø Ò ÞÙ Ñ Ò Ò ÙÒ Ø Òº Å Ø Ñ Ö Ö Ò ËÔ Ð Ò ÒÒØ Ö Ó Ú Ð Û ÒÒ Ò Ò Ò Ö Ò Ù Ö ØÛ Ò ÒÞ Ö Ö Øº ËØ ÑÑØ Ï ÒÒ Ö Ö Ø ÏÙÖ Ô Ð Ñ Ë ØÓÖ s 1 Ð Ò Ø ÒÒ Ú ÖÐ ÖØ Ö ËÔ Ð Ö ÒÙÖ ÒÒ Ò Ø Ö Ø Ñ ÞÛ Ø Ò ÏÙÖ Û ÒÒ Ò ÞÛ Ø Ö È Ð ØÞØ Ò Ò Ñ Ë ØÓÖ s 2 Ñ Ø s 2 s 1 Ø Ò Ð Øº Ö Ø ÞÛ Ð Å Ð Ø Òº Ð Ó Ø W(s 2 Ñ Ø s 2 s 1 ) = Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ò s 2 s 1 º ÒÞ ÒØ ÔÖ Ò Ø W(s 3 Ñ Ø s 3 s 2, s 3 s 1 ) = Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ö Ö ØØ È Ð Ò Ò Ñ ÚÓÒ s 2 ÙÒ s 1 Ú Ö Ò Ò Ë ØÓÖ s 3 Ð Ò Ø ÙÒ Ó Û Ø Öº Ë Ð Ð Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ð ØÞØ È Ð Ò Ò Ñ ÚÓÒ s 1 s 2 º º º s 5 Ú Ö Ò Ò Ë ØÓÖ s 6 ØÖ Ø W(s 6 Ñ Ø s 6 s i, i = 1, 2,...,5) = 8 13 º Ï ÖÓ Ø ÒÒ Ï Ö ÒÐ Ø P Ö ËÔ Ð Ö Ò ËÔ Ð Û ÒÒØ Ö Ð Ó Ñ Ø Ò Ò ÏÙÖ Ô Ð Ò Ë ØÓÖ Ò s i, i = 1, 2,...,6, ØÖ Ø ÚÓÒ Ò Ò Ò ÞÛ Ö Ò Ø ÑÑ Ò ÐØ P = W(s 2 ) W(s 3 ) W(s 4 ) W(s 4 ) W(s 5 ) W(s 6 ) = , 256º Ö P¹Ï ÖØ ÙØ Ø Ï ÒÒ Ö ËÔ Ð Ö Ú Ð ËÔ Ð Ô ÐØ Û Ö Ö ÙÖ ¹ Ò ØØÐ 25,6% ÚÓÒ Û ÒÒ Òº ËÔ ÐØ Ö n ËÔ Ð Ó Ó Ø Ø Ò 5 ne Ò ØÞ ÒÙÖ ÙÖ Ò ØØÐ Ñ Ú ÖØ Ñ ËÔ Ð Ö ÐØ Ö ½¼e ÞÙÖ º n ËÔ Ð Ò Ú ÖÐ ÖØ Ö Ð Ó (5n 10 n 4 ) = 2,5ne Ó Ö Ñ ËÔ Ð Ú ÖÐ ÖØ Ö ÙÖ Ò ØØÐ 2,50eº

4 ÍÒ Ö Ê Ø ÓÒ Ñ Ø Ð ÏÓÐ Ò Âº Ð Ö Ð Ø ÙÒ Ö Ò Ä ÖÒ ÚÓÖ ÞÙ ÖÐ Ò Ë p > 1 ÒÞ Ð Ö È Ð ÙÒ s Ö Ë ØÓÖ Ò ÙÒ ÞÙÑ Ô Ð s p = 4º Ö Û Ð È Ö (p, s) Ø ÒÒ ËÔ Ð Ò Ø Ö Ò ËÔ Ð Ö Ò Ø ÓÒ ÙØ Ð Ò ÙØ Á ÚÓÒ ÌÓÑ ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ð n ÙØ Û ÒÒ Ò Ø ÖÐ Ð Ò a i Ü Ø Ö Ò Ó ÓÐ Ò Ò Ò Ø Ò ÐØ Ò ½º n = a 1 + a a k 1 ¾º a a a k = 1º ÈÖÓ Ð Ñ ½ ÇÐÝÑÔ ¹ Ù ½ Ò Ò ÍË µ Û ÙÒØ Ö Ö ÒÒ Ñ Ð Ò ÚÓÒ ÙØ Ò ÒÒ Ù ÐÐ Û Ø Ö Ò Ð Ò Ö Ö Ð 2007 ÙØ Ò Ä ÙÒ Á Ø Ø Ö Ò Ù Ö Ø ÒÒØ Ò ÙØ Ò Ð Ò Ò Ù ÞÙ ÔÖÓ Ù¹ Þ Ö Ò Ò ÒÓÑÑ Ò Ñ Ø ÙØ ÒÒ ÐØ ÙÒ m = a 1 + a a k 1 a a a k = 1. Ö Ù ÓÐ Ø Ö Ê Ò ( ) = 1 a 1 a 2 a k 2, = 1 2a 1 2a 2 2a k 2, = 1. 2a 1 2a 2 2a k Ù Ö Ñ ÐØ

5 2 + 2a 1 + 2a a k = (2 + 2m). Ð Ó Ø (2 + 2m) ÙØ º Ê Ð Ò ÐÐ ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ö ÙØ Ò Ð Ú Ö ÓÔÔ ÐÒ ÙÒ 2 ¹ Ö Ò ÖØ Ø Ù ÑÑ Ò ØÞÙÒ Ö Ò Ù Ò ÙØ Ò Ð Ò ÖÙ 1 2 ÒÒ Ñ Ò Ù ÞÛ Ú Ö Ò ÖØ Ò Ù ÔÐ ØØ Ò 1 2 = = Ñ Ø Ö Ø Ò Ð ÙÒ Ó Ö a a a k = = 1. 2a 1 2a 2 2a k Ö Ò Ù Ò Ð Ò a 1 + 2a a k = (8 + 2m) ÙÒ a 1 + 2a a k = (9 + 2m) ÙØ º Ê Ð Ò ÐÐ ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ö ÙØ Ò Ð Ú Ö ÓÔÔ ÐÒ ÙÒ 8 Þ ¹ ÙÒ Û 9 Ö Ò ÖØ Ø Ù ÑÑ Ò ØÞÙÒ Ö Ò Ù Ò ÙØ Ò Ð Å Ò ÒÒØ Ò ÖÙ 1 2 Ò Ð ÙÒ Ù Ò Ù Ó ÙÖ Ò Ò Ö ÙØ Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ò ÒÓÑÑ Ò Ù Ò Ø ÙØ ÒÒ ÐØ n = b 1 + b b i ÙÒ 1 b b b i = 1 ÙÒ Ò Ù Ó Û Ö m = 1 2b 1 2b 2 2b i 2. ÁÒ ÑØ Ö Ø = 1. 2b 1 2b 2 2b i 2a 1 2a 2 2a k Ï Ö Ò Ð Ó ÙØ Ð 2b 1 + 2b b i + 2a 1 + 2a a k = 2(m + n) Ö ÖØ Ê Ð Ò Û Ð ÐÐ ËÙÑÑ Ò Ò ÞÛ Ö ÙØ Ö Ð Ò Ú Ö ÓÔÔ ÐÒ ÙÒ Ö Ò ÖØ Ø Ù ÑÑ Ò ØÞÙÒ Ö Ò Ù Ò ÙØ Ò Ð

6 Ö Ä ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ ½ Ö Ø ÙÒ Ö Ð Ù Ñ Ò Ù Ö ÙØ Ò Ð m Ò ÙØ Ò Ð Ò (2m + 8) ÙÒ (2m + 9) Ö Ö Ò ÒÒ Å Ø 1000 Ò ÒÒ Ù = 2008 ÙÒ = 2009 ÙØ º Å Ø 1001 Ò ÒÒ Ù = 2010 ÙÒ = 2011 ÙØ º Å Ø 1002 Ò ÒÒ Ù = 2012 ÙÒ = 2013 ÙØ ÙÒ Ó Û Ø Ö ÁÒ ÑØ Ø ÚÓÖ Ù ØÞØ ÐÐ m Ñ Ø 999 < m < 2008 ÙØ Ò º Æ ÒÒ Ò Û Ö ÁÒØ ÖÚ ÐÐ ÚÓÒ ÙÒ Ö Ö Ø Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Áº (2m +8) Ö Ø Ö ÐÐ ÙØ Ò m Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ º (2m+9) Ö Ø Ö ÐÐ ÙØ Ò m ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÚÓÒ º ÁÒ ÑØ Ò Ð Ó ÐÐ Ð Ò ÚÓÒ Øº Ø ÙÒ Ö ÞÛ Ø Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÁÁº ÆÙÒ Ø Ñ Ò Ë ØÙ Ø ÓÒ ÐÐ m ÞÛ Ø Ò Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ñ Ø 2007 < m < 4024 ÙØ Ò º Ø Ö Ü Ø Ð Ù Ò ÔÓ Ø ÓÒ Û ÚÓÖ Ò Û Ð Ò Ø Ð Ò Ø Ð Ò Ø Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ð Ø Û Ö ÙÖ Ð Ò Ø Ð ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÖØ Û Ö Ò ÒÒ 4024 = º Å Ò Ö ÐØ Ð Ó Ñ Ò Ø Ò Ë Ö ØØ ÙØ Ò Ð Ò º Ø ÙÒ Ö Ö ØØ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÁÁÁ Ø Ø Ö º ÐÐ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ò Ò Ö Ö Ø Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò > 999 ÛÓ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÔÔ ÐØ Ó Ú Ð Ð Ñ ÒØ Ø Û Ò ÎÓÖ Ò Öº Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÐ ÚÓÒ ººº ÒÞ Ð Ö Ð Ñ ÒØ Á ÁÁ ÁÁÁ ººº ººº ººº Ð Ó Ò ÐÐ Ð Ò Ö Ö Ð 2007 ÙÒØ Ö Ö ÒÒ Ñ Ð Ò ÚÓÒ ÙØ Ò Ò ÐÐ ÙØ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ ÙÒ Û ØØ Û Ö Å Ø Ñ Ø ¾¼¼ µ Å Ò Ø ÐÐ Ð 2008 Ó Ð ËÙÑÑ Ò Ø ÖÐ Ö Ð Ò Ö Ø ÓÒ Ö Ã ÖÛ ÖØ Ö ËÙÑÑ Ò Ò Ð 1 Ö Øº Ä ÙÒ Ò Ð Ò Ø ÞÛ Ö ØÛ Ò Ö Ö Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ù ¹ Ö Ø Ø Ñ Ò ØÓ ÙÑ Ð ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÐØ 2008 = a 1 + a a k ÙÒ 1 a a a k = 1. Ï Ö ÓÐÐ Ò Ð Ó Ò Ò Ø Ù ÔÐ ØØÙÒ Ö ÙØ Ò Ð 2008 Ò Òº Ô Ð ÛÙÖ ÓÒ Ò ÅÇÆÇÁ Ë Ø Ò ¾ ½µ ÚÓÖ Ø ÐÐØ ÙÒ Ñ Ø ÞÛ Ú Ö Ò Ò Ä ÙÒ ÚÓÖ Ð Ò ÙÖ Ö Ò Øº Å Ø ÙÒ Ö Ñ Ï Ò

7 Ù Ñ ÚÓÖ Ö Ò Ô Ð ÒÒ Ñ Ò ÒÙÒ ØÛ Ò Ö Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Ò Ò Ï Ö Û Ò Ö Ø Á Ø m ÙØ Ó Ò Ù Ð Ò (2m+2), (2m+8) ÙÒ (2m + 9) ÙØ º Ï ÒÒ m ÙÒ n ÙØ Ò ÒÒ Ø Ù (2m + 2n) ÙØ º Ò Ó Ð Ø Å Ð Ø Ô Ð Ö Ò ÓÒ Ö Ø Ò ÐÐ 2008 ÞÙ Ð Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ò Ñ Ø Ð Ò Ò ÙØ Ò Ð Ò ÞÙ ÒÒ Ò ÙÒ Ö Ù Ö Ö ÞÙ Ö Ö Ò Ñ Ò Ö Ò Û ÒÒ 2008 Ð Ò Øº ÃÙÖ Ó ÖÛ Ö Ø Ö Û Ò ÒÞ ÒÑÐ Ð Ò Ø ÙØ Ð Ð Ó 1 Ó Ò ØÐ Ø 1 = 1 1 º Ð ÕÙ ÍÖ ÔÖÙÒ ¹ ÙØ ¹ Ð ÒØÛ ÐØ Ò Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò 1 4, 10, 11; 10 22, 28, 29; 11 24, 30, 31. ËÔ Ð Ò ÒÒØ Ñ Ò Ò Ø ÖÐ Û Ø Ö Ö Ò ÙÑ Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ø ØÛ Ð 2008 ÞÙ Ð Ò Òº Ë Ò ÐÐ Ö Ø ÐÐ Ö Ò Û ÒÒ Ñ Ò ÚÓÒ 2008 Ö ÛÖØ Ö Ò Ø ÍÑ ÞÙ Û Ò ¾¼¼ ÙØ Ø Ö Ø ÞÙ Þ Ò ½¼¼¼ ÙØ Øº ½¼¼¼ ÙØ Ø Ö Ø ÞÙ Þ Ò ÙØ Øº ÙØ Ø Ö Ø ÞÙ Þ Ò ¾ ÙØ Øº ¾ ÙØ Ø Ö Ø ÞÙ Þ Ò ½½ ÙØ Øº À ÒÛ ÐÐ Ú Ö Ê Ù Ø ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ñ Ø Ñ (2m + 8)¹ÌÖ º 118 ÓÑÑØ Ñ Ò Ö ÓÒ Ð ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ò ÙØ Ò Ð Ò 29 ÙÒ = Ë Ö ÒÒ Ñ Ò 2008 Ù Ù Ú Ð Ò Ö ÖØ Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ö Ä Ö Ø Ò Ð Ò Ò Ö Å Ð Ø Ò ÞÙ Ò Ò ÆÙÒ Ø Ð Ó ÒÓ ÙÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÍÑ Ò Ò Ù ÙØ Ð ÞÙ Ö Ò Ñ Ò Û Ö ÓÐ Ò ØÙÒ ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ö ÙØ Ò Ð Û Ö Ò Ú Ö ÓÔÔ ÐØ ÙÒ ÞÙ Ò Ó Ö Ú Ö ÓÔÔ ÐØ Ò ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ö Ò Ö Ò ÙØ Ò Ð Öغ ÒÒ Ò Û Ö Ñ Ø 29 ÙØ Ð 1 10 = = Ù ÔÐ ØØÙÒ

8 ÆÙÒ ÓÑÑØ 30 ÙØ Ð 1 11 = = Ù ÔÐ ØØÙÒ ÙØ Ð 118 = 2 ( ) Ù ÔÐ ØØÙÒ ÙØ Ð 244 = Ù ÔÐ ØØÙÒ ÙØ Ð 496 = Ù ÔÐ ØØÙÒ ÙØ Ð 1000 = Ù ÔÐ ØØÙÒ ÙØ Ð 2008 = Ù ÔÐ ØØÙÒ ÍÒ Ø Ø Ð = = = 1 ËÓÑ Ø Ø Ò Ù ÔÐ ØØÙÒ ÚÓÒ 2008 ÙÒ Ò ÒÑ Ö ÙÒ ÙÒ Ù Ð Á Ñ Ì Ñ Ò ÓÑÔÐ Ü ÖÒ Ò ÞÛ Ö Ò ÖÑÐ Ù ½µ Ï Ð Ð Ò Ò Ò Ø ÙØ ¾µ Ï Ú Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ü Ø Ö Ò Ö ÙØ Ð Ò Ô Þ ÐÐ Ö 2008 Ï Ö Ð Ø Ö Ù Ò Ò Û ÐÐ Ò Ø Û Ø ÖÐ Ò

9 Ì Ø Ð Ø ÒÑÐ Ö ÙÔØ ÒÙÖ 13 Ð Ò Ò Ø ÙØ Ò Ò ÐØ ÙÑ 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15, 19, 21 ÙÒ 23º Ð Ò Ø Ð Ñ Ö Ö Ö Ø ÐÐÙÒ ÓÖÑ Ò ÞÙÐ Ø Ø = = = ÒÒ Ø Ø ÒÞ Ð Ö Ú Ö Ò Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ñ Ð Ø Ò Ö Ù¹ Ø Ð Ò Ò ÐÐ Ò À Ð ÒÞ Ð Ð ÒÞ Ð Ð ÒÞ Ð ¾ ½ ¼ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ½¼ ¾ ½ ¾ ¾ ¼ ¾ ½½ ½ ¼ ¾ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ½ ¾ ½ ¾ ¾ ¼ ½ ¾ ½ ¾½ ¾ ½ ½ ¼ ¾¾ ¼ ¾ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ¼ ¾ ¾ ½½¼ ½ ½¼ ¼ ¾ ½ ¾ ½¾ ¾ ¾ ½¼½ ¾ ½ ½¼¼ ½ ¾ Ñ ØÖ Ø Ò Ö Ì ÐÐ ÒØ Ð Ö Ö 2008 Ö Ú Ð Ö¹ Ø ÐÐÙÒ Ò Øº Ö Û Ú Ð Ò Ù Å Ø Ñ Ò Ò Ò Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö ÒÒØÒ Ò ÓÒÒØ Ð Ö Ò Ø Ù Ä ÙÒ ÓÑÑ Òº Ö Ú ÐÐ Ø Ø ÙÒØ Ö Ò Ä ÖÒ ÜÔ ÖØ Ò Ù ÐÖÙÒ ØÖ Ò ÒÒ Ò Ê Ñ Ð ÙÒ Ò ØØ Ò ÅÇÆÇÁ Ê Ø ÓÒ ÙÒ Ò Ø ÓÑ º ÐÐ ÐÐÓº Ø Ï Ö Ö Ù Ò ÙÒ Ù ÙÖ Ù Ò ÙÒ Ò

10 ÒÑ Ö ÙÒ ÙÒ Ù Ð ÁÁ Î Ð ÚÓÒ Ù Û Ö Ò Ð Ã Ñ ÐÔÖÓ Ð Ñ ÒÒ Ò Û Ð Ö Ò ÛÙÒ Ö Ö ÚÓÒ Á Ò ËØ Û ÖØ Ñ ËÔ ØÖÙÑ Ö Ï Ò Ø»½ ÖÐÙØ ÖØ Û Ö Ò Ë Ú Ö Ö Ø Ò ½ Ã Ñ Ð Ò Ò Ö Ë Ò º Ò ËÓ Ò ÓÐÐ ÀÐ Ø Ò Ö Ò Ö ØØ Ð ÙÒ Ò Ö Ò Æ ÙÒØ Ð ÚÓÑ Ö Ö ÐØ Òº Æ Ò Ñ ÌÓ Û Ò Ë Ò Ò Ø Ó Ö Ø Û ØÙÒ ÓÐÐ Ò Ò Ã Ñ Ð Ø Ð Ò ÛÓÐÐ Òº ÓÑÑØ Ò ÐØ Ö Û Ö Å ÒÒ ÞÙ Ò Ò ÙÒ ÓÖ Ø Ò Ö ÖÒ Ò Ò Ã Ñ Ðº Ñ Ø Ò Ò ÑØ ½ Ã Ñ Ð Ö ÐØ Ø ÓÑÑØ ÒÙÒ ÀÐ Ø Ð Ó Ò ÙÒ Ã Ñ Ð Ö Û ØÐØ Ø Ö ÐØ Ò Ö ØØ Ð Ð Ó Ã Ñ Ð ÙÒ Ö Â Ò Ø Ö ÐØ Ò Æ ÙÒØ Ð Ð Ó ÞÛ Ã Ñ Ð º Ò ÞÙ ÑÑ Ò ½ Ã Ñ Ð Ó Ñ ÐØ Ò Å ÒÒ Ò Ò Ã Ñ Ð Û Ö ÞÙÖ Ò ÒÒ Òº ÆÙÒ Ò ÐÐ ÞÙ Ö Òº Ö ÐØ Ï ÒÒ Ð Ð Ò Û Ð Ø ÓÒ Ö Ö Ø Ð Ò Ø Ò Ö Ø = < 1. ÓÖ Ø Ö Ò Ö ÖÒ ÒÙÒ Ò Ò Ã Ñ Ð Ó Ø ÛÙÒ Ö Ö Ù º Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö ÒÞ Ð Ò Ë Ò Ò ÙÒ Ã Ñ ¹ Ð Òµ ÒÒ Ñ Ò Ö ÒÒ Ò Ø Ù ØÛ Ñ Ø ÙØ Ò Ð Ò ÞÙ ØÙÒ Ø Ë Ò 1, 1,..., 1 ÖÙ ÒØ Ð Ö Ö k Ë Ò ÙÒ (d 1) a 1 a 2 a k ÒÞ Ð Ö ÞÙ Ú Ö Ö Ò Ò Ã Ñ Ð Ó ÒÒ Ñ Ò ÓÐ Ò Ð ÙÒ Ù Ø ÐÐ Ò = d 1. a 1 a 2 a k d Æ ÍÑ ÓÖÑÙÒ Ö ÐØ Ñ Ò Ð Ó 1 a a a k = 1 1 d, 1 a a a k + 1 d = 1. Ð Ó Ø ËÙÑÑ (a 1 + a a k + d) Ò ÙØ Ðº Ö Ï ÒÒ Ø ÚÓÑ Ë ÙÒ Ò Ò Ë Ò Ò Ò ÖØ Û Ö Ò Û ÒÒ Ö Ã Ñ Ð Ù Ú Ö Ë Ò ÞÙ Ú Ö Ö Ò Ø ½¼

11 Å Ø Ñ Ø Ä ¹ Ä Ø ÔÔ ÞÙÖ Å Ø Ñ Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØ ÌÓÒÝ Ö ÐÐÝ ¼ Ë Ð Ð Ò Å Ø Ñ Ø º Å Ø Ñ Ø Ñ Ö Ø Ð Ò ÒÙÖ Ö Ò Ò Û Ö Ñ Ð Ö Ö ÒÙÖ Ò Ò Ñ Ø Øº Ö ÛÓÖÙÑ Ò Ù Ø ÒØÐ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ï Ð ÖÙÒ Ð Ò Ò Á Ò Ò Å Ò Ò Ó Ø Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø ÖÙÒ Ð Ò ÚÓÖ Ò Ö Ø Ò Ò Ù Ñ Ø Ø Ø Ù ¼ Ë Ð Ð Ò Å Ø Ñ Ø ÚÓÒ ÌÓÒÝ Ö ÐÐݺ Ö Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ö Ø Ò ¼ Û Ð Ú Ö Ø Ò Ý Ú Ö Ò ¹ Ø Ò Ì Ñ Ò ÙÖ Ð Ù Ø Øº Ò ÐØ Ì Ñ ÒÔ Ð ØØ Ö Ø ÚÓÒ Ö ÆÙÐÐ ÓÒ Ø Ò Ô ÒÒ Ò Ò Ð Ò Û π e ÙÒ i Ö ÓÑ ØÖ ÖÙÒ ¹ Ð Ò Û È Ö ÐÐ Ð ÒÔÓ ØÙÐ Ø Ñ Ò ÓÒ Ò ÙÒ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ò ÞÙ Ò ÖÓ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐÙÒ Ò Û Ñ Î Ö¹ Ö Ò¹ÈÖÓ Ð Ñ Ñ ÈÖÓ Ð Ñ À Ò ÐÙÒ Ö Ò Ò Ñ Ë ØÞ ÚÓÒ Ï Ð Ó Ö Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Î ÖÑÙØÙÒ º ÁÒ Ö ÙÞ Ð Ö Ö Ø Ò Ò Ë Ø Ò Ý Ò Ø Ò ØÐ ¹ Ø Ö Ñ Ò ÒØÒ Ñ Ò ÒÒ Û ÒÒ Ö Ò Á ÓÖ Ò ÛÙÖ ÙÒ Û ÒÒ Þ ØÐ ÒØÛ ÐØ Øº Ù ØÞÐ ÛÙÖ Ò Ú Ð ÁÒ ÐØ ÙÖ Ë ÞÞ Ò ÙÒ ÒÙÒ Ò ÐÐÙ ØÖ Öغ Þ Ø Ù Û ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ö ÚÓÖ Ø ÐÐØ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ð Ò Ò¹ Ð Ò Ë ÑÑ ÐÛ Ö Ò Ò Ø Ó Ò ÐØ Ó ÙÑ Ò ÐÙÒ Ò Ù¹ ÑÑ Ò Ø ÐÐÙÒ Ñ Ò ÑÑ Ö Û Ö ÞÙÖ À Ò Ò Ñ Ò Û Ö ÙÑ Ò Ò Ù¹ Ã Ô Ø Ð ÞÙ Ð Òº Þ Ò Ö Û ÖØÙÒ Ø Ö ÙÖ Ò Û ÖÞ¹Û Ø ÐØÙÒ º Ö Ð ÙÒ Ò Û Ö Ò Ù Ò Ø ÒÙÖ ÙÒØ Ö ÓÒ ÖÒ Ù Ò ÔÖ Ò Ö Ñ Òº ÑØ ÙÖØ ÐÙÒ ÙØ Ò Ò ÞÙÑ Ù Ö ÐÐÝ ÌÓÒÝ ¼ Ë Ð ¹ Ð Ò Å Ø Ñ Ø º ËÔ ØÖÙÑ ¾¼¼ ÁË Æ ¹ ¹ ¾ ¹¾½½ ¹¼ ÙÒ Ò ¾¼ Ë Ø Ò ¾ e ÖØ Ù Ë ÑÑ Ð Ò ÖÙÒ Ð Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ö Á Ò Å Ø Ñ Ø Æ Ú Ù Ú Ö ØÒ Ð ÐØ Ö ÑÔ ÐÙÒ ½ Â Ö ½½

12 ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÑÑÐ Ö ÚÓÒ Ì Ý Û ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ö Û ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ò Ö Å Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ú ÖØ ÐØ Ò Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ö Ø ÖÑ Ö Ø Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ò Ò ÒÞ ÓÒ Ö Ò Ð ÒØÝÔ Ö Ø ÐÐ Ò Ò ØÓÑ Ù Ò Ò Æ ØÔÖ Ñ¹ Þ Ð Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ù ÙØ Ò º Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Ò Ù Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò¹Î ÖØ ÐÙÒ Ø Ù Ð ÙÑ ¼¼ Úº Öºµ Ö Ð Ø Ø Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÈÖ ÑÞ Ð Òº Ö ¾¼¼¼ Â Ö Ú Ö Ò Ò ÚÓÖ Ö Ò Ø ÓÖØ Ö ØØ ÖÞ ÐØ ÛÙÖ º Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö ½ ¼ ½ µ Ö ÙØ Ò Ø Å Ø Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø Ò µ ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ Û ÙÒ Ò Ð Ê Ö Ö Þ ÔÖÓ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ø Ò Ò Ð ËÙÑÑ Û Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ê Ö Ö Þ ÔÖÓ Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ò Ò Ò Ð Ò Ï ÖØ ØÞغ Ö Ù ÓÐ ÖØ Ö 2 ÁÒ Ö Å Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ð Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ø Ö Ð ÉÙ Ö ØÞ Ð Òº Ò Û Ø Ö Ù Ö Î ÖØ ÐÙÒ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÒÙÒ ÓÒ Ö Ú Ð ÓÒ Ö Ø Ö Ð Ö Ë ØÞ ÚÓÒ ÙÐ Ö Ø Ñ Ø ÂÓ Ô ÄÓÙ Ö ÒÓ ÖØÖ Ò ½ ¾¾ ½ ¼¼µ Ö ÐÐ Ö Ò Ò Ø Û Ò ÓÒÒØ º Ö n > 1 ÐØ Û Ò n ÙÒ 2n Ò Ø Ø Ø Ò ÈÖ ÑÞ Ðº È ÒÙØ ÄÛÓÛ Ø Ì Ý Û ½ ¾½ ½ µ Ö ÖØÖ Ò Î ÖÑÙØÙÒ ¹ Û Ò ÓÒÒØ Ð Ù Ø Ò Û Ø Ö Ñ Ð Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ø Ö ÈÖ Ñ¹ Þ Ð Ò ÒØ Ø ÞÙ Òº  ÙÒ Ö ÈÖ ÑÞ Ð p Ø ÚÓÒ Ö ÓÖÑ p = 4n+1 Ó Ö p = 4n+3º Ì ¹ Ý Û Ú Ö Ð ÒÙÒ ÀÙ Ø ÎÓÖ ÓÑÑ Ò Ö Ò ÈÖ ÑÞ Ð¹ ÌÝÔ Ò ÙÒ Ö Ð Ò Ø ÞÙ Ò Ö Î ÖÑÙØÙÒ Ö Ò Ø ÖÐ Ð x 43 ÐØ ÍÒØ Ö Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò p 43 p x Ø Ø Ø Ñ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÚÓÑ ÌÝÔ p = 4n + 3 Ð ÚÓÑ ÌÝÔ p = 4n + 1º Ò ÖÔÖ ÙÒ Ö Ì Ý Û¹Î ÖÑÙØÙÒ Ö Ò Ò Ò Ø Ö Óй N Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÙÒ Ð Ò Ò Ï ØØ Û Ö ÞÛ Ò ÞÛ ÈÖ ÑÞ Ð Ò¹Ë ÑÑÐ ÖÒ P 1 ÙÒ P 3 ÚÓÖ Ø ÐÐ Òº Ï Ö Ò P 1 ÙÒ P 3 Ð Ò Óй N ÞÙÖ Å Ö x ÒØÐ Ò Ð Ù Ò ÑÑ ÐØ P 1 ÈÖ ÑÞ Ð Ò p ÚÓÑ ÌÝÔ ½¾

13 p = 4n + 1 ÙÒ P 3 ÚÓÑ ÌÝÔ p = 4n + 3º ÒÞ Ð Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÙÒ Ò Ò Ñ Ø π 1 (x) Þ ÙÒ Û Ñ Ø π 3 (x) Þ Ò Øº Ì Ý Û ÙÔØ Ø Ð Ó Ö Ò Ø ÖÐ Ð x ÐØ Á Ø x 42 ÒÒ Ø π 3 (x) π 1 (x) Ø x 43 ÒÒ Ø π 3 (x) > π 1 (x) Ó Ö π 3 (x) π 1 (x) > 0º ÞÙÖ Å Ö x = 250 Ú ÖÐÙ Ø Ö Ë ÑÑ ÐÛ ØØ Û Ö Ó x 1,2,...,42 43,..., ,..., ,..., ,..., 250 π 3 (x) π 1 (x) Ì ÐÐ Ú ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ò ÖÙ Ì Ý Û Î ÖÑÙØÙÒ ÒÒØ Ú Ð¹ Ð Ø Ö Ø Òº ÓÖØ ØÞÙÒ Ë ÑÑ ÐÛ ØØ Û Ö Ö x = 250 Ò Ù Ö Ø x = π 3 (x) = ÙÒ π 1 (x) = ÙÒ Ñ Ø Ò π 3 (x) < π 1 (x) Ø Ð Ó Ø Ì Ý Û Î ÖÑÙØÙÒ Ð º Ö Ò ÐØ π 3 (x) < π 1 (x) Ö ØÑ Ð Ö x = º Å Ø Ò Ö ÚÓÒ ÂÓ Ò Ò ÓÖ Ä ØØÐ ÛÓÓ ½ ½ µ ÒØÛ ÐØ Ò Å Ø Ó Ð Ø Û Ò Ò Ï Ð ÚÓÒ π 3 (x) > π 1 (x) ÞÙ π 3 (x) < π 1 (x) ÙÒ ÙÑ ÖØ ÙÒ Ò Ð Ó Ø Ø ØØ Ò Øº Å Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ò Ä ÙÒ Ö Ù Ù À Ø ÁÒ À Ø Ø ÐÐØ Ò Û Ö Ù ÓÐ Ò Ù Ù Î Ö Ø Ø ÈÓØ ÒÞ Ò Ò Ð ÒÕÙ Ö Ø Ò ÍÒØ Ö Ù n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ö n = 1, 2, 3, º º º Ð ÒÕÙ Ö Ø Û Ò ÒØ Ö ÒØ Ò Ø Ò Ù Ò Ò ÚÓÒ Ö Ù Ø Ò ÓÒ Ö Ù Ú Ö Ø Ø ÈÓØ ÒÞ Ò Àº ºµ ½

14 Ö Ò Î Ö ÙÒ Ö Ö Ä Ö Ò ÙÒ Ö Ò Ö Ö ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ò Ò Ð ÒÕÙ Ö Ø Ò Þ٠غ Å Ð Ò Ï Ò ÐÚÓ ÃÐ Ê ÒÙ ¹Å ÙÖÙ ¹ ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞµ Ø Ê Ö ÉÙ Ö Ø ÙÑ 5 5¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø ÖÛ Ø ÖØ ÙÒ Ñ Ø Ê Ø Ø Ø ÐÐØ Ù ÈÓØ ÒÞ Ò ÐÐ Ö ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ò Ò ÉÙ Ö Ø Ò Ù ÓÖØÐ Ù Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ù ØÖ Ø Ò Ñ Ò Ò ÐÐ ÙÒ Ö Ò º Ì Ø Ð ÒØ ÐØ n n¹éù Ö Ø Ò Ö Ö Ø Ò Ð ÐÐ ÙÒ Ö Ò Ð Ò 2k + 1 ÚÓÒ 1 2n 1 Ö k = 0, 1, 2,...,n 1µ ÙÒ Ò ÑØ ÐÐ ÙÒ Ö Ò Ð Ò 2k + 1 ÚÓÒ ½ 2n 2 1 Ö k = 0, 1, 2,...,n 2 1µº ÞÙ Ñ Ö Ø Ð Ü Ý ÌÝÙ Ò ÃÐ ½ ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞ¹ ÓÒ Ò Ñµ ËÙÑÑ Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ò ÓÒ Ð Ò n 3 Ö Ø Û Ö Ò ËÙÑÑ Ò Ö Ð Ò ÞÛ Ö Ò ÖØ Ö ËÔ ÐØ Ò ÙÑ 2n ÙÒØ Ö ¹ Òº Ò Û Ø Ö Ò Ò Ø Ò Ø ÐÐØ Ë Ñ ³ Ñ ÓÑ ÃÐ Ùع Ò Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò Ã ÖÓµ ÞÙÑ Ô Ð Ø ËÙÑÑ Ö Ð Ò Ö Ö Ø Ò Ð n 2 ØÖ Ø n 2 ÙÒ Ö Ñ n Ò Ù Ñ Å ØØ ÐÔÙÒ Ø ÉÙ Ö Ø Ù Ø Ù Ø Û Ö Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ò n 2 ÙÑÖ Ò Ò 8n 2 Ö Ø ÙÒ Ö Ñ n Ø Ò Ò Ö ËÔ ÐØ Ò Ö n Ù ØÖ ØØ ÙÒ Ö Î Ð ÚÓÒ n Ö Ò ËÙÑÑ n 3 ØÖ Øº ÍÒØ Ö Ò Ò ÑØ Ø Ø Ø ÐÐÙÒ Ò ÚÓÒ ÊÓ Ò Ö Ø ÃÐ Ýѹ Ò ÙÑ Ä ÖØ µ Ö Ù ÐÐ Ñ Ò Û Ø ÞÙÑ Ò Ø Ö Ö n Ò Ò Ò Ö Ö Ø ÖÛ ÒØ Ò Ó ØÙÒ Òº À ÒÞÙ ÓÑÑØ Ò Ù ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ò n n¹éù Ö Ø n 4 ØÖ Ø ÒÒ ËÙÑÑ Ù Ö Ø Ö ÙÒ Ð ØÞØ Ö Ð ÞÛ Ø Ö ÙÒ ÚÓÖÐ ØÞØ Ö Ð ÙÒ Ó Û Ø Ö Ö Ø ÑÑ Ö 2n 2 Ó Û Ö Ö Ñ n Ò ÑØ n2 2 È ÖÙÒ Ò ÙÒ ÓÑ Ø ÑØ Ö Ò n2 2 2n2 = n 4 Ò ÙÒ Ö Ñ n Ø Ò ÒÙÖ n È Ö Ö Ø Ø n 2 Ò Ö ÉÙ Ö ØÑ ØØ Ó Ù ØÞØ Ö ÑØ ÙÑÑ Ö Ï ÖØ n n 2 +n 2 = n 4 Ö Øº Æ Ñ Ð Ò Ë Ñ Ð Ò Ö Ò Ö ÒÒØÒ ÚÓÒ ÊÓ Ò Ö Ø Û Ò ÒÑÐ ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ö m¹ø Ò Ð n 2 (2m 1) ØÖ Ø ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ö m¹ø Ò ËÔ ÐØ n 3 n 2 + n (2m 1) ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ö Ö Ò ÓÒ Ð Ò n 3 ÙÒ Ð Ð Ö Ñ n ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ö Ó Ö Ò ÉÙ Ö Ø Ð Ø n4 4 Ó Ö ÙÒØ Ö ÀÐ Ø 3 4 n4 Ú Ö Ð Òº Ð Ò ÒÓ Ù Ò ÒÖ ÙÒ Ù Ò Ø ÐÐ Ö Ú ÖÛ Ò ÛÓ¹ Ò ÒØ Ö ÒØ Ö Ò Ò Ò Ð Ò Û ÒÒ Ñ Ò ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ò Ñ ÑØ Ò n n¹éù Ö Ø Ñ Ø Ò Ð Ò ÙÑÑ Ò Ö Ò ÓÒÞ ÒØÖ Ò ÐÓ Ò Ö Ð Ò Ö Ö ÉÙ Ö Ø ÞÙÑ Ô Ð Ñ ÐÐ n = 6 ÒØ ÐØ ¹ Ò Ò ÓÒÞ ÒØÖ Ò 4 4¹ ÙÒ 2 2 ÉÙ Ö Ø Ú Ö Ð Øº Ø Î Ð ÝÑÑ ØÖ ÙÑ Ò Ñ Ò Ñ Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Ø Ò ÓÖ Ò Ø ÙÖ Ò Ð Ò ÌÝÔ º ½

15 ÓÒ Ö Ù Ò Ö ØÛ Ò ÖÙÒ ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ Ä Ò Þ ÚÓÒ À ÖØÛ Ù ÁÑ Â Ö ½ ¾ Ñ ÒÒ Ò Ö Ø Ð Ò Û Ò ØÐ Ò Ã ÖÖ Ö Ò ÞÙÑ ÙØ Ò Ø Ò ÍÒ Ú Ö Ð Ð ÖØ Ò ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ Ñ Ò ÓÐÐØ Ö Ø Ö ÙÒ ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ Ä Ò Þ Ò Ò Ñ ÔÐÓÑ Ø Ò Ù ØÖ ÃÙÖ Ö ¹ Ø Ò ÚÓÒ Å ÒÞ Ò È Ö º ÓÖØ Ð ÖÒØ Ö Ò Ò Ú Ð Ò Ò Ö Ò Ï Ò ØÐ ÖÒ Ù Ò Ú Ð Ø Ò ØÖÓÒÓÑ Ò È Ý Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÙÒ Ö Ò Ö Ö Ø Ò ÀÙÝ Ò Ò¹ Ò Òº ÍÒ ÀÙ Ò Û Ö Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÒØ Ö ÖØ Ò ÔÐÓÑ Ø Ò Ò Ñ Ù ÑÑ ÒØÖ Ò Ö Ø ÐÐØ Ï Ð Ò Ï ÖØ Ø ÙÒ Ò Ð Ê ÙØ Û Ö Ñ Ò Ò Ò Û Ð¹ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ ÓÒÚ Ö ÖØ Ê ½µ L = Ä Ò Þ Ö ÙÑ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ù Ð ÙÒ ÙÒ Ö Ñ Ð Ù ÒÙÖ Û Ò Ñ Ø Ñ Ø Ã ÒÒØÒ ÓÒÒØ ÒÒÓ ÙÝ Ò Ù ¹ Ð Ò ÙÒ Ò Ò Ö Ï Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò ÙÒ Ò Å ÒÒ Ö ÒÒ Ò Ð Øº ÁÒ Ò Ñ Ö Ø Ò Ä ÙÒ Ö ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ö Ñ Ø Ö Þ ÙÒ ¾µ 1 n(n 1) = 1 n 1 n+1, n = 1, 2, 3,... Ê ½µ Ò Ê µ L = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... À Ö ØØ ÒÙÒ Ò Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ø Ñ Ø Ò Ê ÐÒ (a b) = a + ( b) ÙÒ ( b) + (b c) = b b + ( c) Ê µ Ó ÞÙ Ö Ò µ L = Ò µ ÒÒ Ò Ñ Ø ÞÛ Ò ÖØ Ð Ö ÞÙ ÑÑ Ò 0 Ö ¹ Ò ÓÐÐØ Ê µ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ L = 1 Òº Ö Ä Ò Þ Ö Ø Ø Ò Ú Ö Ö Ö Ò Ò Ï µ µ L = 1 Ò Øº Á Ñ ÑÙ Ð Ö ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ Ä Ò Þ ½º ÂÙÐ ½ Ò Ä ÔÞ ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ½ ½ Ò À ÒÒÓÚ Öµ ÙØ Ö È ÐÓ ÓÔ ÙÒ Ï Ò ØÐ Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÔÐÓÑ Ø È Ý Ö À ØÓÖ Ö ÈÓÐ Ø Ö Ð ÓØ Ö ÙÒ Ó ØÓÖ Û ÐØÐ Ò ÙÒ Ã Ö ÒÖ Ø º Ö Ø Ò ÀÙÝ Ò ½ º ÔÖ Ð ½ ¾ Ò Ò À º ÂÙÐ ½ Ò µ Ù Ö ¹ Ø ÒÙ ÀÙ Ò Ù º ½

16 Û Ò Ò Ö Ñ Ø Ù Ò Ö ØÛ Ò ÖÙÒ Ò ØØ Ò ÙÒÛ ÖÐ Ò Ò ÒÞ Ú ÖØÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ð ÑÞÓÒ ÖØ ØØ º ØÛ Ò Å Ø Ö Þ ÙÒ Ù Ö Ð Ø ØÓ Ò Ò ÓÒÒØ ) Ö t = 1, 2, 3,º º º ÙÒ n = 1, 2, 3,º º º 1 n(n+1) = 1 t ( n+t n n+1+t n+1 ØØ Ò Ñ ÅÙ Ø Ö µ µ Ê ½µ ÞÙÒ Ø Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò Ê Ò ( L = 1 1+t ) ( t 1 2+t t ) ( t 2 3+t t ) t 3 4+t ÙÒ ÒÒ Ò Ê Ò µ L = 1 t 1+t t t t t t t 3 3+t Ñ Ø Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ L = 1 (1 + t) ÙÑ ÓÖÑ Ò Ð Òº ÍÒ Ó ÛÖ Ö ØÖ Ò Ø t Ò Ò Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ò Å Ò Ò Ð ÚÓÒ Ð ÙØ Ö Û Ö ÔÖ Ò Ò Ù Ò µ L = 1 ÙÒ L = 1 t (1 + t), t = 1, 2, 3... Ù Ò Ò ÒÙÖ Ò Ò Ù Û ÒÑÐ ÒÞÙÒ Ñ Ò Ê ½µ Ø Ö ÙÔØ Ò Ò Ö ÒÞÛ Öغ ËÓ Ö ØØ Ä Ò Þ ÙÝ Ò Ù Ð Ð Øº ÞÙ Ø Ó Ò Ø ÓÑÑ Òº Ò Û Ø Ö Ö ÖÙÒ Û ÖÙÑ Ä Ò Þ À ÖÐ ØÙÒ µ µ L = 1 Ö Ò Ò ÁÖÖÛ ÞÙÑ Ò Ø Ö Ö Ò Ò ÙÒ ÖØ Ò Ï ÐØ Ò ÑÙ Ø Ö Ø Ñ Ø Ò Ê ÐÒ Ñ Ø Ò Ò Ê µ Ò Ê µ ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ ÛÙÖ Ò ÞÙÒ Ø ÒÙÖ Ù ËÙÑÑ Ò Ñ Ø Ò Ð Ú Ð Ò Ð ÖÒ ÒÛ Ò ¹ Öº Ñ Ö Ò µ µ ÛÙÖ Ö Ó Ò ÐØ Ð Ö ØÖ Ö ÐØ Ø Ö Ù Ù ÙÒ Ò Ð Ê Ò ÙÒ Ö ÓÖØ ÙÒ Ò Ð Ó Ø Ò¹ Û Ò Ø Û Ö Òº Ä Ò Þ ÞÛ ÐØ Ò ÓÐ ÎÓÖ Ò ÑÑ Ö ÞÙÐ ÙÒ Ñ Ø Ø Ø ÞÙ Ö Ø Ò Ö Ò Ò Ö º Ï Ö Ò Û Ð Ö Ø Ø Û Ö Þ Ø Ò ÒÒØ Ô Ð ÚÓÒ ÖÒ Ö Ê Ñ ÒÒ Û Ð Ù Ò Ö Ð Ï ÙØÐ Ñ Ø Å Ò Ö Ê ÒÖ ÐÒ Ö Ò Ð Ê Ò Ò Ø ÑÑ Ö Ó Ò ÙÒ ÖÛ Ò Ø ÓÐ Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ê Ò ÒÛ Ò Òº Ô Ð Ø Ö Ñ Ö Ò Û ÖØ Ë ØÞ ÚÓÒ Ê Ñ ÒÒ Ø ÑÑØ Ò Ê Ò Ñ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ò Ö Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒÚ Ö ÒØ Òµ Ñ Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò Ò ¹ Ø Ú Ò Ð ÖÒ ÒÒ Ñ Ò ÙÖ ÍÑÓÖ Ò Ò Ö Ð Ö Ø Ø ÖÖ Ò ÙÑ ÓÖ Ò Ø Ê Ð ÚÓÖ Ò Ð Ð Ö ÒÞÛ ÖØ ØÞغ ÓÖ Ö Ö ÖÒ Ö Ê Ñ ÒÒ ½ º Ë ÔØ Ñ Ö ½ ¾ Ò Ö Ð ÒÞ Ð µ ¾¼º ÂÙÐ ½ Ò Ë Ð Ä Ó Å ÓÖ µµ ÙØ Ö Å Ø Ñ Ø Ö Ö Ù Ú Ð Ò Ø Ò Û Ö Ø º ½

17 Ï Ø ÒÙÒ Ä Ò Þ Ù ÚÓÒ ÀÙÝ Ò Ð Ø ÍÑ Ò ÐÓ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ù Ñ Ï ÞÙ Ò ÒØ Ø Ò Û ÒÒ Ñ Ò ÙÒ Ò Ð Ê L Ð ÒÞ Ö Ø Ñ Ø Ö Ø Ø ÒØÛ ÐØ Ä Ò Þ Ò Å Ø Ó ÞÙÖ Ö ÒÞÛ ÖØ Ø ÑÑÙÒ Ö ÒÙÖ Ò Ð Ì Ð ÙÑÑ Ò L n ÚÓÒ L Ò ÊÓÐÐ Ô Ð Ò ÙÒ Ö ÐÐ Ê ÐÒ Ö Ö Ø Ñ Ø Ú ÖÛ Ò Ø Û Ö Ò Ö Òº L n Ò Ò Ò Ø ÚÓÒ L L n := , n = 1, 2, 3,... n (n + 1) Ä Ò Þ¹Î Ö Ö Ò Û Ö ÔØ Ö Ñ ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ Ð Ù Ò ÔÙÒ Ø ÞÙ Ò Ö ÔÖÞ Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ö ÒÞÛ ÖØ Ò Ò Ï Ö ÛÓÐÐ Ò Ö Ò ÙÐ Ð Ó Ò Ø Ñ Ø Ñ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ð Ò ÓÖÑ Ð ÑÙ Ö Òº Ï ÒÒ Ñ Ò ÍÑ ÓÖÑÙÒ ¾µ Ù Ì Ð ÙÑÑ L n ÚÓÒ L ÒÛ Ò Ø ÙÒ ÒÒ ÙÑ ÓÖÑØ Ì ÐÖ ÞÙ ÑÑ Ò Ø Û Ò Ð Ò ËÙÑÑ Ò ÞÙÐ Ø Ó Ö ÐØ Ñ Ò µ Ö n = 1, 2, 3,... Ø L n = 1 1 n+1 º Ö Ù ÓÐ Ø ØÒ Ö Ì Ð ÙÑÑ Ò L n, n = 1, 2, 3,... ÚÓÒ 1 ØÖ Ò 1 L n = 1 º ÍÒ ØÒ Ø Ò Ö Ò Ò 0 Û ÒÒ n ÑÑ Ö Ö Ö n+1 Û ÐØ Û Ö º Ì Ð ÙÑÑ Ò L n ÙÒØ Ö Ò Ð Ó ÑÑ Ö Û Ò Ö ÚÓÒ 1 Ö Ö n Û ÐØ Û Ö º Å Ò Ö Ø Ò Ë Ú Ö ÐØ ÙÖÞ Ó lim L n = 1 ÙÒ Ñ Ò Ø n ÓÐ Ö Ì Ð ÙÑÑ Ò L n, n = 1, 2, 3,... ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ò Ö ÒÞÛ ÖØ 1º Ì Ð ÙÑÑ Ò L 1, L 2, L 3,... Ò Ò Ò Ö ÑÑ Ö Ö Ö Ò Ò Ø Ö Ê ½µ Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ä Ò Þ ÒÙÒ Ò Ò ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö Ö ÃÐÙ Ø ÞÛ Ò Ò Ð Ò Ê Ò ÙÒ Ò Ö ÙÒ Ò Ð Ò Ê Ö Ö Ø Ò Ñ Ö Ò ÖØ Ì Ð ÙÑÑ Ò L n Ö Ê ½µ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ 1 ØÞ Ò Ø Ù Ê ½µ Ð Ø Ò Ö ÒÞÛ ÖØ L = 1º Û Ö Ä Ò Þ Ò Ä ÙÒ ÚÓÖ Ð Ö Ù Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Ö Ê ÞÙ Ø ÑÑ Ò Ò ÀÙÝ Ò Ó Þ ÔØ ÖØ º Ë ÐÙ Ñ Ö ÙÒ Æ Ä Ò Þ Ø Ê ½µ Ò Ö ÒÞÛ ÖØ L = 1º Ï Ò ÒÒ Ù ¹ Ò µ ÞÙ Ö ÐÖ Ò ÁÑ Ë ØÞ ÚÓÒ Ê Ñ ÒÒ Û Ö Ø Ø ÐÐØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ê Ò Ø Ö Ò Û Ð Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ò ÖØ Û ÒÒ Ñ Ò Ò Ò Ö Ê ¹ Ò ÙÑ ÓÖÑغ ËÓ Ò ÐÐ Ð Ø ÛÓ Ð Ö Ê ½µ ÚÓÒ ÀÙÝ Ò ÚÓÖº Á Ö ÍÑ ÓÖÑÙÒ Ò Ö Ò ÞÙ Ò Ê Ò µ ÙÒ µ ÚÓÒ ½µ Ú Ö Ò Ê Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ð Ù ÙÖ Ù Ò Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ð ½µ Ò ÒÒ Òº ½

18 Ò Ø µ Ò Ò ÑÑÐÙÒ Ò Ò Ö Û Ö ÔÖ Ò Ö Ù Ò ÓÒ¹ ÖÒ Å Ò Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ö Ê Ò µ ÙÒ µ Û Ö ÐÐ Ö Ò Ò ÖÖ Ö Ò Ö Ï ÐÐ Ñ Ø Ñ Ð Ò ËÝÑ ÓÐ L Þ Ò Ø ØØ Òº Ä ÙÒ Ò Ö Å Ø Ô Ð Ö Ò Ù Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ÙÖØ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ ËÔ Þ Ö Ò Ñ Ø Ö Ñ Å ÒÒ À Ò ¹Ï ÖÒ Ö Ð ØÞØ Â Ö ¾¼¼ µ Ø ÐÐØ ÍØ Ø Å Ò Ë Û Ø Ö Ø ÚÓÑ Â Ö Ò ³ ¾ ÙÒ Ó ÐØ Ò ØÞغ Å Ò Ë Û Ø Ö Ø ÒÙÒ Â Ö ÐØ ÙÒ Ø Ñ Ò Â Ö¹ Ò Ö ÙÖØ Ö Ò Ø Ø Ù Ò Ð ØÞØ Ò Ò ÖÒ ÙÖØ Ö º µ Ë Ø ÐÐØ ÒÙÒ Ö Á Ø Ù ÐÐ Ó Ö Ø Ñ È Ö Ò Â Ö Ò Ñ È ÒÓÑ Ò Ù ØÖ ØØ Á Ö Å ÒÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ø ÐÐØ Û Ð Ì ÓÖ Ò Ù º à ÒÒ Ø Ù Ò Ò Ð Ò Ï Ð ÙØ Ø ÒØÛÓÖØ Ù ÍØ Ö µ Á Ö Ì Ø Ö Ò Ò Ò Â Ö Ò ½ ¼ ÙÒ ½ ÓÖ Òº Ø Ö Ò Ù Ò ÓÐ Â Ö Â Ö Ò Ó Ö Ö Ò Û ÖÙÑ Ò Ø Øº µ ÍØ ÙÒ À Ò ¹Ï ÖÒ Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ö Ù Ò ÓÐ Â Ö Ø ÒÑÐ ¾¼¼ º ÁÒ Û Ð Ñ Â Ö ÛÙÖ À Ò ¹Ï ÖÒ Ö ÓÖ Ò Å µ Ä ÙÒ µ Ò a ÙÒ b Â Ö Ò ÞÛ Ö È Ö ÓÒ Ò Ð Ó a ÙÒ b Ö ÙÖØ Ö º Ï Ö Ò Ñ Ò Ö Ö Ò Ø Ð Ö Ò È Ö ÓÒ Ò Ñ ¾¼º Â Ö ÙÒ ÖØ ÓÖ Ò ÛÙÖ Ò Ö Ò Ö Â Ö ÙÒ ÖØ Ú ÖÐ Ù Ò Ê ÒÙÒ Ò Ò ÐÓ º ÏÓ ÓÖÖ Ø Ö¹ Û ¾¼º Â Ö ÙÒ ÖØ ÚÓÒ ½ ¼½ ¾¼¼¼ Ò Ö Ö Ö Ò Û Ö Ö ÒÑ Ð ÒÛ ºººµ ÁÑ Ö Ð Ò Â Ö ÓÐÐ Ö ÐØ Ö ÖÖ ¹ Ò Û Ð Ñ Â Ö Ò Ò Ö Ò ÒØ ÔÖ Øº ÓÐÐ Ð Ó ÐØ Ò ( a) + b = a + ( b)º Ï Ò ÃÓÑÑÙØ Ø Ú¹ ÙÒ ¹ ÓÞ Ø Ú ØÞ ÐØ Ö ÐÐ Ð Ò a ÙÒ bº ÐÐ Ö Ò ÐØ ÒÙÖ Û ÒÒ È Ö ÓÒ Ò Ñ Ð Ò Â Ö ÙÒ ÖØ ÓÖ Ò ÛÙÖ Òº Ò ÓÒ Ø Ò ÛÖ Ð ÙÒ Ô Ð Û ( a) + b = a + ( b) Û Ö ÐÐ Ñ Ø Ö Ë Ö Û Ú ÖØÖ ÙØ Ò Ð ÒÓ Ñ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ¹ ÑÙÐ ÖØ Ö Ò Â Ö Ò j ÞÙÑ ÙÖØ Ö J ÐØ j J mod 100 Ñ Ø 0 j 99º ½

19 Ò Ø Ð Ö Øº µ Ù ÚÓÖ Ò Ò Ò Ö ÖÐ ÙÒ Ø Ð Ö Ò ÓÐ Â Ö Ø ÙÒ = 2063 Ò ÑÙ º µ Ë j À Ò ¹Ï ÖÒ Ö ÙÖØ Ö Ò º Ï Ò 2009 = ( j) + 56 ÑÙ Ö ½ ÓÖ Ò ÛÓÖ Ò Òº Ö ÒÚ Ö Ð Ë Ø Ò Ò Ò ÉÙ Ö Ò Ð Ò Ò ÐØ 220 cm cm 2 ÙÒ 270 cm 2 Ð Ò Ò ÐØ Ö Ë Ø Ò Ò Ò ÞÛ Ø Ò ÉÙ Ö Ò 176 cm cm 2 ÙÒ 450 cm 2 º Ï Ð Ö Ö ÉÙ Ö Ø Ö Ö ÎÓÐÙÑ Ò Ó Ö Ò ØÛ Ð ÎÓÐÙÑ Ò Àº ºµ Ä ÙÒ Ë Ø Ò ÒØ Ò Ö Ø Ò ÉÙ Ö Ò x y ÙÒ z Ð Ò ÞÛ Ø Ò ÉÙ Ö Ò u v ÙÒ wº ÒÒ ÐØ Ö Ò Ö Ø Ò ÉÙ Ö ÞÙÑ Ô Ð xy = 220 cm 2 xz = 264 cm 2 yz = 270 cm 2 ÙÒ Ò ÎÓÐÙÑ Ò Ø V 1 = xyzº Ö Ù ÓÐ Ø V 2 1 = x2 y 2 z 2 = xy xz zy = 220 cm cm cm 2 = cm 6. Ö Ò ÞÛ Ø Ò ÉÙ Ö ÐØ Ò ÐÓ uv = 176 cm 2 uw = 198 cm 2 vw = 450 cm 2 ÙÒ Ò ÎÓÐÙÑ Ò Ø V 2 = uvwº Ö Ù ÓÐ Ø V 2 2 = u2 v 2 w 2 = uv uw vw = 176 cm cm cm 2 = cm 6. Ù V 2 1 = V 2 2 ÓÐ Ø V 1 = V 2 = 3960cm 3 Ò ÉÙ Ö Ò Ð Ó Ð ÎÓÐÙÑ Òº ÆÓ Ò Î Ö ÒØ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ Â Ò Ø ÖÐ Ð n > 5 Ø ËÙÑÑ Ù Ò Ö ÈÖ ÑÞ Ð ÙÒ Ò Ö Æ Ø¹ ÔÖ ÑÞ Ðº Å ÐØ Å ÝÒ Ãк ½½ Ç Ñ¹ ÝÑÒ ÙÑ ÖÐ Ò Òµ Ä ÙÒ ÍÒ Ö Ð Ò n ÒÒ Ñ Ò Ð ËÙÑÑ 3 + (n 3) Ö Ð Ò n Ð 2 + (n 2) Ö Òº 2 ÙÒ 3 Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ö ÞÛ Ø ËÙÑÑ Ò Ø Ò Ò ÐÐ Ò Ö ÙÒ Ö Ö Ð 2 Ð Ó Ò Ø ÔÖ Ñº Æ Ö Ø Ò ÓÐ ½ º¼ º½ ¼ Ò Ã Ò Ö ¾¼º½½º½ Ò ÅÓ Ù Ò Ñ Ò¹ Ò ÉÙ ÐÐ Ò Ø Ø ¼½º½¾º½ Ò Ëغ È Ø Ö ÙÖ µº Ë Ò Ö ÑØ Î ÖÑÙØÙÒ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ö ½ ¾ Ò Ò Ñ Ö Ò Ä ÓÒ Ö ÙÐ Öº Ø Â Ö Ò Ø ÖÐ Ð Ð Ø Ð ËÙÑÑ ÞÛ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ö Òº ÙØ Ø ÒÙÖ Ò Î ÖÑÙØÙÒ ÙÒ ÒÓ Ò Ø Û Ò Ó Ö Û ÖÐ Ø ½

20 ÍÛ Í Ö ÍÛ Í Ö Ø ¹Ñ Ð Ó Ò ÐÐ Û ÓÐÐØ º Ö Ø ÐÐØ ÙÑ Å ØØ ÖÒ Øº Ï ÒÒ Ø ÞÙÑ Ö Ø Ò Å Ð Û Ö Ö Ø Ö Ø ÐÐÙÒ Ï µ Ä ÙÒ ÁÒ x ËØÙÒ Ò Ø ÍÛ Í Ö 2,5 x ËØÙÒ Ò Û Ø Öº x = 2, 5 x Ò Ø Ñ Ð Ø ÑÙ 2,5 x > 12 ÐØ Òº Ð ÙÒ 2,5 x = x + 12 Ø Ä ÙÒ 1,5 x = 12 Ð Ó x = 8º Æ ËØÙÒ Ò Ø Í Ö ÙÑ 2,5 8 = 20 ËØÙÒ Ò Û Ø Öº Ö Ø ÐÐÙÒ Ø ÒÒ Û Ö Ð Û º¼¼ Í Öº ÆÓ Ñ Ö Ð Ò Ò Î Ö Ò ÚÓÒ Î Ö Ò Ò Ó Ö ËØ ¹ Ø Ò Ù Ûº Ð Ø Ò Ö Å Ø Ð Ö Ò Ð Ñ Ø Ö ËØÖ Ò Ò ÓÐк ÐÐ Ð Ò ÓÐÐ Ò ÐÒ ¹ ØÖ Ø Ò ÙÒ Û Ð Ö Ú Ö Ò Ö Ú Ö Ö Ò ÖÓØ Û ÖÞ Ð ÙÒ Û ØÖ Òº µ Á Ø Ñ Ø Ö ÎÓÖ Ö Ø Ñ Ð ÐÐ ÖÞ Ø Ò Å Ø Ð Ö Ö ÙÖÓ¹ Ô Ò ÍÒ ÓÒ Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ð Ò Ù ÞÙÖ Ø Ò µ Ï Ú Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ð Û ÒÒ Û Ö Ð Ð Ð Ö Ò ÖØ Ö ËØÖ Ò Ú Ö Ø Ò µ Ï Ú Ð Å Ð Ø Ò Ø Û ÒÒ Ò Ò m Ú Ö Ò ËØÖ Ò Ù n Ú Ö Ö Ò Ö Ò Ò ÓÐÐ Ò µ Ï Ú Ð Ú Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ð Û ÒÒ Û Ö Û Ò Ì Ð µ Ö ¹ Û Ö ÓÐÙÒ Ò ÞÙÐ Ò Ö Ò Ø Ð Ö Ù Ò ÖØ Ò ËØÖ ¹ Ò Ï µ Ä ÙÒ µ Ø = 24 Å Ð Ø Ò Ö Ò Ö Ø Ò 3 Ö Ò ÞÛ Ø Ò ÙÒ 2 Ö Ò Ö ØØ Ò ËØÖ Òº Ø ÞÙ Û Ò Ö ¾ Í¹Å Ø Ð Öº µ À Ö Ò Ö Ò Ö ØØ Ò ËØÖ Ò Û Ö Ö Ö Ò ÖÐ Ù Ø Ø Ø = 36 Å Ð Ø Òº µ Å Ø Ö Ð Ò Ö ÙÑ ÒØ Ø ÓÒ Û Ò µ Ö Ø ÒÞ Ð n(n 1)(n 2)... (n m + 1) = n! (n m)!. µ Ò ÐÓ ÞÙ µ Ò Ø Ñ Ò n(n 1) m 1 Å Ð Ø Òº ¾¼

21 Ò ÖÞ Ö ÍÐÖ Ø Ø ÖÒ Ñ Ø Ð ÒØ ÓÖ º ËÓ ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ð Ò ÙÒ Ø Ù Ö Ö Ò Ï Ð Ò ÖÞ Ö Ò Ð Ò k 2009 Ö ÒÞ Ð Ò k Ë Ñ Ø Ù Ø Ø Ð Ò ÒØ Ö ÒØ ÒØ ÙÒ ººº Å µ Ä ÙÒ Ï Ö Ö Ò k = 10a + b Ñ Ø a, b Æ {0} ÙÒ 0 b 9º Ï Ò (10a + b) 2 = 100a ab + b 2 = 10(10a 2 + 2ab) + b 2 ÙÒ Ò ÐÓ Û Ø Ö Ö Ö ÈÓØ ÒÞ Ò Ò Ø ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ù ÈÓØ ÒÞ Ò b n Ö Ò ÖÞ ÖÒ Ö Ò k ÞÙ ÖÒ Òº Ö Ò Ò Û Ö Ö Ò ÖÞ ÖÒ b Ö Ø Ò ÈÓØ ÒÞ Ò b 2 b 3 b 4 º º º Ó Ø ÐÐ Ò Û Ö Ø Ò ÖÞ Ö ÚÓÒ b 5 Û Ö Ò ÖÞ Ö b Ø ÙÒ ÔØ Ø Ò µ ØÞØ Û Ö ÓÐ Ò Ò ÖÞ ÖÒ Ö ÈÓØ ÒÞ Ò Ô Ö Ó º Ð Ó Ò k n k n+4 k n+8 ººº Ð Ò Ò ÖÞ Ö ÐÐ Ñ Ò ÐÐ k 4m+n Ö Ò Ø ÖÐ Ð Ò mº Ï Ò n = 2009 = Þ ÙÒ Û = 1 Ø Ð Ó k 2009 = k Ò ÖÞ Ö ÚÓÒ kº ÍÒ Ð ÙÒ Ò Ñ Ö ÄÒ Ò Ö Ö Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ð Ö Ùѹ Ò º À ÒÛ Î Ö Ù Ñ Ð Ñ Ø Ö Ó Ò ÒÒØ Ò Ö ÙÒ Ð ÙÒ ÄÒ Ò ÞÛ Ö Ö ¹ Ø Ò Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ø Ø Ö Ö Ð ÄÒ Ö Ö ØØ Ò Ë Ø Ö º Àº ºµ Ä ÙÒ Ë Ø ÒÐÒ Ò Ò Ö Ò a b ÙÒ cº ÒÒ ÐØ Ö ÄÒ Ò Ö Ð Ò Ö Ø ÞÙÑ Ô Ð Ö ÄÒ a Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÙÒ a < b + cº ÖØ Ñ Ò Ù Ò Ë Ø Ò Ö ÍÒ Ð ÙÒ Û Ð a Ó Ö ÐØ Ñ Ò a+a < a+b+c Ð Ó a < 1 2 (a+b+c) ÙÒ Ö Ø 1 2 (a+b+c) Ö Ð Ö ÙÑ Ò ÙÔØÙÒ ÐØ Öº ÖÖ Ø ÞÙ Ù Ë Ø ÑÙ ÓÖÑ Ð ½µ ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ð ÙØ Ò π 4 = Ò ÖÒ ÐÐ Ö Ø ÈÖÓ Ù Ø Ù Ö Ö Ø Ò Ë Ø 3 4 πº Ù Ë Ø ½½ ÑÙ Ò Ö Ö ØØ Ò Ð ÙÒØ Ö Ð Ö ÓÖÑÙÐ ÖÙÒ µ n 4 > n 5 > n 6 > n 7 >... Ø Ò ÙÒ Ò Ö Ò Ø Ò ÞÛº Ø Ò Ð ÙÒØ Ö Ð ÚÓÒ µ ÒØ ÔÖ Ò n 1 > n 2 > n 3 > n 4 >...º ¾½

22 Æ Ù Å Ø Ô Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ó ÒÛ Ö Ò Ñ ÊÙ ¹Ï ÒÞ ¹ ÝÑÒ ÙÑ Ò Ø Ò Ë ÙÐ Ø Ø Øغ À ÖÖ ËØ ØÞ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö ÃÐ Ö Ù Ö Ó ÒÛ Ö Ò Ò Ø Ò Ó Ò Ù Ò Û Ö ÞÙ Ò Ö ÈÝÖ Ñ Ù º ÒÞ Ó Ò Ø Ø Ò Ó Ò Ö Ê ÖÙÒØ Ö Ö Ó Ò ÒÒ Ò ÙÒ Ó Û Ø Öººº Ï Ö Ò Ò Ù Ó Ò ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Û Ö ÐÐ Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö Òº À ÖÖ ËØ ØÞ ÒÒØ Ñ Ø Ñ Ù Ùº Ó Ö Ø ÒÓ Ò Ø Ö Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ø ÐÐØ Û Ö Ö ÚÓÒ ØØ Ò Ò Ö Ë Ð Ö Ò Ö ÃÐ ÙÒØ Ö ÖÓ Ò Ö ÒÒ Ó Ö Ò Ø Ð ÔÔ Òº ÒÒ Ð Ò ÒØÛ Ö Ó Ò Ö Ó Ö Ð Ò Û Ð Û Ô Ø ÓÒ Û ÖØ ÒÒ Ñ Ò Ë Ó Ò Ö Ò¹ Ö Ù Ù Ò ÒØ Ò Ø ØØ Ò Ñ Òѹ Ð ÑÑ Ö Ù Ä Ð Ó Ò Ó Ö Ø Ê Ò Ó Ò Ö Ê ÖÙÒØ Ö ÞÛ Ó Ò ÒÒ Ö ÙÒ Ó Û Ø Öººº Ù Ð Ù Ø Ñ Ö Ð Ó ÑÑ Ö ÒÓ Ò Ø Ö Ø À ÖÖ ËØ ØÞ ÙÒ¹ ÐÙ º µ Ï Ö Ø Ê Ø Ù Û Ð Ï Ð Ò Ó Ò ÞÙ Ò Ö Èݹ Ö Ñ Ù Ù Ò Æ Ö Á ÚÓÒ À ÖÖÒ ËØ ØÞ Ö Á ÚÓÒ ØØ Ò Ò Ò Ó Ö Ö Ò Ö µ Û Ð Ò ÐÐ Ñ Ò ÓÖÑ Ð Ò Ñ Ø Û Ð Ö À ÖÖ ËØ ØÞ ÙÒ ØØ Ò Ù Ö Ò Ò ÒÒ Ò Û Ð ÒÞ Ð Ò ÚÓÒ Ó Ò Ò n Ê Òµ Ù Ù Ò ÒÒ Òº µ Ø ÒÞ Ð Ò ÓÛÓ Ð À ÖÖ ËØ ØÞ Ð Ù ØØ Ò Ù Ù Ò Ò¹ Ò Òº Ñ Ò Ø Ò µ Ò ÓÐ ÒÞ Ð Ù Ö Ö ØÖ Ú Ð Ò ÒÞ Ð 1 Òº Å µ Ò ÙÒÑ Ð Ö Þ ÖÐ ÙÒ Ò Ö Ø Ô ØÞÛ Ò Ð Û ÒÒ Ò Ö Ò Ö Ö ÁÒÒ ÒÛ Ò Ð 90 غ Å Ò ÒÒ Ò Ö Ò ÞÛ Ö Þ ÖÐ Ò Ô ØÞÛ Ò Ð Ò º Ù Ø ÒÒ Ø Ù Ù Û Ò Àº ºµ ¾¾

23 ÎÓÒ Ã Ò ÖÒ Ã ØÞ Ò ÙÒ Ò Ò ÁÒ Ò Ñ Ù ØÞ Ò Ò Ã Ò Öº Â Ã Ò Ø ¹ Ò ÊÙ Ò Ò Ò Û Ð Ò Ã ØÞ Ò ØÞ Òº  à ØÞ Ø Ò ÂÙÒ º Ï Ú Ð Ò Ò Ò Ñ Ù Ã Ú Ò Ë Ñ ØØ ÃÐ Ð Ø ¹Ä Ò Ö¹ ÝÑÒ ÙÑ ÐÞ Ýµ Ò À Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÐÒ Ø Ú Ö Ò Ò Ò Ø Ò ÛÓÐÐØ Ò ËØ Ñ¹ Ñ ÖÞÓ Ò Ì Ø Ö Ð Aµ ÙÒ ÖÙÒ Ð Bµ Ú Ö Ö Ø Òº ÐÓ Û C µ ÓÐÐØ Ò Ö Ò Å Ò ÞÙÖ Ö Ù ÓÑÑ Òº ÎÓÒ Ñ Ò Ö Ñ Û Ö Ö Ú ÖÐ Ò Ø Ö À ÖÞÓ Ö Ö Ö Ù Ò Ò Ò Ö Ùع ÔÖ Ò Ø Ò Ñ ÒÞ Ð Ó Ö ÒÙÒ Ð Ó Ö ÖÙÒ Ð ÞÙÖ Ö Ù Ò ÛÓÐÐ º Ð Ö Ï ÛÙÖ Ò Ñ Ð Ö ÙØÔÖ Ñ Ø È Ö Ò Þ Ðغ Ö Ö Þ ØÖ Dµ Ö ¼ È Ö Ñ Ø Ø Ò ÓØ ¾ È Ö Ö Ð Ö Ö Ò Å Ò ÙÒ ¾¼ È Ö Ö ÖÙÒ Ð º Ï Ð ÒÙÒ ÓÛÓ Ð ÐÓ Û Ð Ù ØÖ Ð Ò ÛÓÐÐØ Ò Ð Ö À ÖÞÓ Ù ÐÓ Û Ò Ò ÓØ Ö Ð Ò Ñ º ÒÒ Û Ö Ö Ò ÒØ ÙÒ Ó ØÖ Ò Ñ Ö Ø Ñ Ð ÒÞ Ð ÚÓÒ È Ö Ò Ò Ö Ò Ò Û Ö º ÐÓ Û Ö ÙÒ Ø Ö Ð Ò Ð Ú ÖÐ Ø Û Ö ÙÒ Ð ÒÙÖ ÞÙÖ Ö Ù Ò ÛÓÐÐØ Ò Ò ÒÐÓ Ò Ö ØÖ ÞÙ Ò ÒÒ Ö Ò Ø ÒÑ Ð 1 3 Ö ÒÞ Ð Ò È Ö Ò ÚÓÒ ØÖ º Ó Ð Ð Ö À ÖÞÓ ÐÓ Û Ò ÌÓ Ø Ö Ð ÞÙÖ Ö Ùº Ï Ú Ð È Ö ÐÓ Û ÙÒ Û Ð Ò ÓØ ØØ Ö Ñ À ÖÞÓ Ñ Ø Àº ºµ Ù Û ÒÒ Ù Ö Ò Ø Ò Ë Ø Ò Ò Ù Ö Ö Ø Ø Ø Ò ÓÖØ Å Ø Ô Ð Ö Ò ÒÓ Û Ø Ö ¾

24 Æ Ù Å Ø Ô Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ÍÖÐ Ù ÔÓ Ø Ö Ø Ë Ø ¾¾ Ò Ø Á Ö Å Ø Ô Ð Ö Ò µ Ï Ú Ð ÈÓ Ø ÖØ Ò Û Ö Ò Ö Ò ËÓÑÑ Ö Ö Ò Ø Ò ÚÓÖ Ö Ì Öº ÒÒ Ò Ø Ò ÒÒ Ò Ú Ö ÔÖ Ò Ö Ö ÙÒ ÒÒ Ò ÂÙÐ Ã Ö Ø Ò ÙÒ Ä Ò Ò Ò Ö Ò ¹ Ò Ò Ö Ò Û Ð Ò ÈÓ Ø ÖØ Ù Ñ ÍÖÐ Ù Ö Øº µ Ð Å Ð Ò ÚÓÒ Ö Î Ö Ò ÖÙÒ Ñ Ø ÓÑÑØ Ñ Ø ÖÒ Ñ ØÑ ¹ Òº Ï Ú Ð ÈÓ Ø ÖØ Ò Ò ÒÒ µ Ú Ö Ö ÙÒ ÒÒ Ò ÖÐ Ò Ù Ò ÛÖ Û ÒÒ ÒÞ ÃÐ Ñ ØÑ Ò Û Ö º ÁÒ Ö ÃÐ Ò ¾ Ë Ð Öº Ï Ú Ð Ã ÖØ Ò Û Ö Ò ÒÒ Ö Ò µ Ï Ú Ð ÛÖ Ò ÐÐ Ñ Ò n Ø Ð Ø Ò È Ö ÓÒ Ò µ ÍÒØ Ö Ò ¾ Ë Ð ÖÒ Ö ÃÐ Ò Ù Ø Ò ÙÒ Ë Ø Ò Û ÐÐ Ò Ö Ö Ò º Ò ÓÑÑ Ò Û Ð Ò Ò Ã ÖØ ÚÓÒ Ò ÃÐ Ò Ñ Ö Ò Ú Ö Ò Ð Ø Ö Û Ð ÒÙÖ Ò Ñ Ò Ñº µ ÃÐ Ò Ø Ö Ù Ù Ä Ö Ö Ò Ö Ù Ë Û ÖÞ ÚÓÒ ¹ Ñ Ò Ã ÖØ ÓÑÑ Ò ÓÐк Ï Ú Ð Ã ÖØ Ò Û Ö Ò ÒÙÒ Ò ÑØ ¹ Ö Ò Ó Ò Ö Ø ÙÒ ÞÛ Ë Ð Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ò µ Å µ ÖÒ Ö Ò Ø ÑÑÙÒ µ Ò Ð Ò Ø È Ö (n, m) Ñ Ø 1 < n < m Ö ÖØ Ð ØÞØ Ò Ò ÖÒ ÚÓÒ 2009 n ÙÒ 2009 m Ö Ò Ø ÑÑ Ò µ Ø È Ö (n, m) Ñ Ø 1 < n < m Ó Ð ØÞØ Ò ¾¼¼ ÖÒ ÚÓÒ 2009 n ÙÒ 2009 m Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ï µ Ò Ð Ð Ò ÒÓ Ð T W O + T H R E E + S E V E N T W E L V E Ö ØÞ Ù Ø Ò ÙÖ ÖÒ ÙÒ ÞÛ Ö Ó Ú Ö Ò Ò Ù Ø Ò Ù Ú Ö Ò ÖÒ ÒØ ÔÖ Ò ÛÓ¹ Ò Ö Ø Ò Ù Ø Ò ÚÓÒ Ð Ò Ò Ø Ö 0 ÞÙ ÓÖ Ò Ø Û Ö Ó Ò ÓÖÖ Ø Ø ÓÒ ÒØ Ø Øº ÙÒ Ò ÚÓÒ Àº ºµ ¾

25 Æ Ù Ù Ò ÃÐ Ò ½ Ù Æ Ñ Ð Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð ÖÐ Û ÖÙÑ Ò Ò Ø ÖÐ Ð n Ø Ö n(n +2) Ò ÉÙ Ö Ø¹ Þ Ð Øº Àº ºµ Ù Ö Ì Ð Ö 2009 Ò a 1 b 1 ÒÞ Ð Ò Ñ Ø a + b = 2009 Ø Ð ÒÔ Ö a, b Ö ÐØ ¾¼¼ Ø Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ a b Ï ÒÒ Ï Ð Ò È Ö Àº ºµ Ù ØÞÙÒ Ò Ö Î Ö ÁÑ Î Ö ABCD Ò Ò Ö Ð Ò Þ ÒÙÒ a b c d ÄÒ Ò Ö Ú Ö Ë Ø Ò ÙÒ F Î Ö º ÒÒ ÐØ F 1 4 (a + c)(b + d)º Àº ºµ Ù ¼ Û Ì ÐÑ Ò Ò Ò Ö Å Ò Ò Å Ò Å Ø Ù ½ Ú Ö Ò Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò 2009º Ö Ò Ù Å ÒÒ Ñ Ò Ø Ø ÞÛ Ú Ö Ò Ì ÐÑ Ò Ò Ó Ù Û Ð Ò Ö ËÙÑÑ Ò Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ø ÑÑ Òº À ÒÛ Ò Å Ò Ù n Ð Ñ ÒØ Ò Ø 2 n Ú Ö Ò Ì ÐÑ Ò Ò Ð Ö Å Ò ÙÒ ÒÞ Å Ò Ñ Ø Þ Ðغ Ò Ù Û ÐØ Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ë Ò ØØ ÑÙ Ð Ó Ò Ø Ð Ö Òº Àº ºµ Ù ½ Ñ Ð Ò Ø Ø Ø Æ Ò Ö ÒÒØÑ ÙÒ ËØ Ø Ø Ò ÙÒ ÑØ ËØ Ò ÅÖÞ ¾¼¼ µ Ð Ò ÚÓÒ Ò Ã Ò ÖÒ ÙÒØ Ö ½ Â Ö Ò Ò ÙØ Ð Ò ¾ ± Ó Ò Û Ø Ö ± Ñ Ø Ò Ñ Û Ø Ö Ò ½ ± Ñ Ø ÞÛ Û Ø ÖÒ ÙÒ ± Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Û Ø ÖÒº Ò ÔÓØ Ò Ö ÐØÐ Ø Ö Ø Ý ÙÒ Ñ Ð ÚÓÒ Å ¾¼¼ Ð Ø Ö Ù È Ö Ö Ò ÞÛ Ø Ó Ö Ö ØØ Ã Ò ÒØ Ò Ò Ò ÙØ Ò Ö ÖÞ Ðº Ö Ä ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ò Ù Ñ Ò Û Ö Ò Ò ÖÓ Ò Ð Ö Û ÒÒ Û Ö ÒÒ Ñ Ò ± Ö Ã Ò Ö Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Û Ø ÖÒ Ò Ù Ö Û Ø Ö Òº µ Ï ÖÓ Ò ÙÒØ Ö ÐÐ Ò Ñ Ð Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ñ Ã Ò µ ÒØ Ð Ö Ñ Ð Ò Ñ Ø ½ ¾ Þ ÙÒ Û Ã Ò ÖÒ µ Ï Ð Ø Ù ÚÓÒ Ö Ë ÐÙ ÓÐ ÖÙÒ Ù Ý ÙÒ Ñ Ð Ï µ ¾

26 Ù ¾ Î Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ë ØÞ ÈÝØ ÓÖ ÁÒ Ò Ñ Ö Ñ Ø Ï Ò Ð γ = 90 ÐØ c 2 = a 2 + b 2 º Ø Ò Ò Ï Ò Ð Γ Ö ÖØ Ñ Ö Ñ Ø γ = Γ ÐØ c 3 = a 3 + b 3 Ï µ Ù Ã ÖÐ ÃÖ Ù Ã Ã ÖÐ ÃÖ Ù Û ÐÐ Ò Ö ÒÞÙ ÖØ ½ Ñ Ó Ñ Ø Ã Ð Òº Ù ÖØ Ø Ñ Ö Ø ÙÒ ½ Ñ Ð Ò º À ÖÖ ÃÖ Ù ÑÙ Ò Ã Ò Û Ø Ù Òº Ð Ø ÐÐØ Ö Ø Û Û Ö Ö Ã Ø Ò Ñ Ö Ú Ö Ã Ð Ù Ï Ð Øº Û Ò ¼ º Ò ÐÐØ Ö Ò Ò Å Ö Ñ Ø 1 2l Ï Ö ÙÒ Ð Ø ÒÒ ËØ Ò Ò Òº Ñ Ø Ø Ø ÒÞ Å Ö Ù 940mlº Ö Ö Ò Ø ÒÒ 0, = 18,7 ÙÒ Ø ÐÐØ ½ ÌÓÒÒ Ò Ã º Ö Ä ÖÙÒ Ø ÙÒØ Öº À Ø À ÖÖ ÃÖ Ù Ú Ð ÞÙ Ú Ð Ó Ö Ú Ð ÞÙ Û Ò Ã ÓÑÑ Ò ÙÒ Û ÖÙÑ Ï µ Ð Ø Ù Ò Ù ÃÐ Ò ½ Ù ¼ ÈÖÓ ÓÖ ÐØ ÖÑ ÒÒ ÙÒ ÐØ À ÐÞ Ò ÈÖÓ º ÐØ ÖÑ ÒÒ Ø Ö ÓÐÓ º Ù Ö ÙÒ Ò Ò Ø Ö Ò Ã Ø Ò Ñ Ø À ÐÞ Ò Ô ÖÛ Ú Ö Ò Ö ÄÒ Òº Ö Ø ÐÐØ Ø ÖÞ Ø À ÐÞ Ò Ò ÄÒ a 1 Ø ÙÒ Û Ð Ò ØÐÒ Ö À ÐÞ Ò ÚÓÑ ÚÓÖ Ö Ò Ò Û Ð ÙÑ Ò Ø ÄÒ Ò Ö ÒÞ d ÙÒØ Ö Ø Ð Ó a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d ººº ÈÖÓ º ÐØ ÖÑ ÒÒ ÙÒ Ò Å Ø Ö Ø Ö Ú ÖÑÙØ Ò Ñ Ø Ò À ÐÞ Ò Ö Ö ÄÒ Ò ÚÓÒ ËØÖ Ò Ñ Ò ÛÙÖ Òº Ù Ö Ñ Ñ Ö Ò a 1 + a 2 ÄÒ 13 Ö Ø ÙÒ a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ÄÒ 74º µ Ï Ð Ò Ø n¹ø À ÐÞ Ò µ Ï Ð À ÐÞ Ò Ñ Ò ÓÑ Ò ÖØ Û Ö Ò ÙÑ ÄÒ Ò 67 ÙÒ 2 ÞÙ Ö ÐØ Ò Å µ Ä ÙÒ µ Ø a 1 + a 2 = a 1 + a 1 + d = 2a 1 + d = 13 ÙÒ a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = a 1 + 3d + a 1 + 4d + a 1 + 5d + a 1 + 6d = 4a d = 74º Ö Ù Ö ÙÐØ Ö Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ 2a 1 + d = 13 4a d = 74 Ø Ä ÙÒ d = 3 ÙÒ a 1 = 5º Ñ Ø Ø n¹ø À ÐÞ Ò ÄÒ a n = 5 + 3(n 1)º ¾

27 µ Ø 67 = = a 8 +a 5 +a 3 +a 2 +a 1 Ó À ÐÞ Ò ½ ¾ ÙÒ ÞÙ ÓÑ Ò Ö Ò Ò º Ö Ù Ò Ö ÃÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ò Ñ Ð º Ï Ò 2 = = = a 2 + a 1 a 3 Ñ Ò Ö ÄÒ 2 ÞÙÒ Ø À ÐÞ Ò 1 ÙÒ 2 ÙÒ ÒÒ À ÐÞ Ò 3 ÚÓÑ Ò Ò ÒØ Ò ØÞØ Ê ØÙÒ Ð Ø Ð Ó Û Ö ÞÓ Òµ Û Ö Òº Ù ½ Ð Ò Ö µ Ö ÒÞ ÓÐ Ò Ö Ó Û Ð Ò Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ð ËÙÑÑ ÞÛ Ö Ò ÖØ Ö Ð Ò Ö ÚÓÖ Ù Ò Ò Ð Ø Øº x x 7 x 3 8 x x x x x 22 x x 92 µ Ö Ø Ë Ø ÒÐÒ ÙÒ Ò Ð Ò ÚÓÖ Òº Ä Ø Ö Ö Ø Ö ÒÞ Ò Û ÒÒ Ë Ø ÒÐÒ ÙÒ ÒÞ Ð Ö ÚÓÖ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ø ÑÑ Ò µ Ï ÒÒ Ò Ö Ö ÒÞ Ò Ð Ø Ø ÒÒ ÑÑ Ö ÒÙÖ Ò Ñ Ð Ö ÒÞÙÒ Ï µ Ä ÙÒ µ Ð 22 Ø ËÙÑÑ Ù 3 ÙÒ 7 ÙÒ ÞÛ Ñ Ð Ö Ð ÞÛ Ò 3 ÙÒ 7 Ø Ø Ð Ó (22 7 3) 2 = 6º Ö ØØ ÙÒ Ú ÖØ Ð Ò Ö ÞÛ Ø Ò Ð Ò Ð Ó 7+6 = 13 ÙÒ 6+3 = 9º Æ ÒÒ Ò Û Ö ÞÛ Ø Ð Ò Ö ÞÛ Ø Ò Ð z Ó Ö Ø 92 = ((8+z)+(13+z))+((13+z)+22) = 56+3z ÙÒ ÓÑ Ø z = = 12º Ö ØÐ Ò Ð Ò Ð Ò Ò Ö ÒÞ Ò ÙÒ Ð ÖÒ µ ÙÒ µ Ù Ö Ö Ð Ò Ö Ö Ø Ò Ð Ø Ö Ð Ñ Ö Ò Ð ÙÒ Ö ÓÖÑ z = x + y Ð Ó Ó Ú Ð Ð ÙÒ Ò Û ÞÙ Ø ÑÑ Ò Ð Òº Ù Ò Ö Ø Ò Ð ÒÒØ Ñ Ò Ð Ó Ú ÖÑÙØ Ò ÑÑ Ö Ò Ù Ò Ä ÙÒ Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ º À Ö Ò Ö Ò Ô Ð ¾

28 ÞÙ µ x 4 x x x x 5 x x x x x ÞÙ µ x x 3 x x x 6 x x x x x Ñ Ò Ô Ð ÞÙ µ Û Ö ÔÖ Ò ÎÓÖ Ò Ò Ñ ÞÙ µ Ò¹ Ò Ò Û Ö ÞÙÑ Ô Ð Ò Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ö Ø Ò Ð Ð Û Ð Ò ÙÒ ÒÒ Ö Ö ÒÞ Òº Ù ¾ Ð Ð Ð ÙÒ ØØ Ð Ð Ó Ð Ð ½ ½ ¾µ È Ý Ö ØÖÓÒÓÑ ÙÒ Å Ø Ñ Ø Ö ÙÔ¹ Ø Ø ÐØ Ø Ö ÓÐ Ò Ò Ñ Ö Ò Û ÖØ Ò ÙÒ Ò Ð Ð Ò Ò Ð ÙÒ ¹ ØØ 1 3 = = = =... Ò Ò Ò Û Ö Àº ºµ Ä ÙÒ Ö Ð Ö (n + 1)¹Ø Ò ÖÙ Ò Ö Ð ÙÒ ØØ Ð ÙØ Ø (1 + 2n) ÙÒ Ò Æ ÒÒ Ö Ø (1 + 2n + 2) (1 + 2n + 2n + 2)º Ö (n + 1)¹Ø ÖÙ Ø ÓÑ Ø (1 + 2n) (1 + 2n + 2) (1 + 2n + 2n + 2). Ð Ð ÙÔØ Ø ÒÙÒ Ö (n + 1)¹Ø ÖÙ Ø Ò Ï ÖØ 1 3 Ö n = 1, 2, 3, ÙÑ Æ Û Ö ÙÔØÙÒ Ò Ø Ò Û Ö Ò ÓÖ¹ Ñ Ð Ö ËÙÑÑ S n Ö Ö Ø Ò n ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò 7 Ð Òº 5 Å Ø Ò Ö Å Ø Ó ÚÓÒ Ò Ö Ò Å Ø Ñ ¹ Ø ÖÒ Ø ÑÑØ Ö ÒÒØ Ñ Ò Ó Ò Ð Ò Ê ÒÙÒ Ò Ù 3 Ö Ò Ò Ø Ò Ò ÙÖ ÐØ 1 S n+1 = (2n + 1) = (n + 1) 2. Ð Ó Ø Ö (n + 1)¹Ø ÖÙ Ò Ï ÖØ S n+1 (n + 1) 2 = S 2n+2 S n+1 (2n + 2) 2 (n + 1) 2 = (n + 1) 2 4(n + 1) 2 (n + 1) 2 = 1 3 Ñ Ø ØÖ Ø Ð Ð ÙÔØÙÒ ÞÙ ÙÒ ÚÓÒ Ñ Ò Ò Ð ÙÒ ¹ ØØ Ø Ö Ø º ¾

29 Ù Å Ø ÓÖ Ø Ò¹ Ò Ð Ö Å Ø ÓÖ Ø Ò ÐÐ Ò Ù Ö º Ï ÖÓ Ø Ï Ö ÒÐ Ø Ö Ò Ð ÔÙÒ Ø Ù Ò ÙÒ Ö Ð Ò À Ð Ù Ð Ö Ò ÕÙ ØÓÖ Ò ÐÓ Òµ ¹ Ò Ò À ÒÛ Ö Û Ö Ð Ò ÃÙ Ð ØÖ ¹ Ø Ø ÙÒ Ñ Ø ÕÙ ØÓÖ Ø Ö Ö ÖÓ Ö ¹ Ñ ÒØ Ö Ø ÐØ ÃÙ Ð Ò ÞÛ À Ð Ù ÐÒº Àº ºµ Ä ÙÒ ÙÖ ÞÛ Ð ÈÙÒ Ø Ù Ö Ç Ö Ò Ö ÃÙ Ð ÒÒ Ñ Ò Ø Ø Ò Ò ÖÓ Ö ÕÙ ØÓÖµ Ð Òº ÒÒ Ð Ø Ö Ð Û Ø Ö ÈÙÒ Ø ÒØÛ Ö Ù Ù Ñ ÕÙ ØÓÖ Ó Ö Ù Ò Ö Ö Ò ÚÓÑ ÕÙ ØÓÖ Ø ¹ Ð Ø Ò À Ð Ù ÐÒº Ï Ö ÒÐ Ø Ø Ð Ó 1 Ö Å Ø ÖÓ Ø Ò Ù Ò Ö À Ð Ù Ð ÑØ ÕÙ ØÓÖ Ò Ð Òº Ù ËÙÑÑ 2009 Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò a b c ÙÒ d ÓÐÐ Ò Ó Ø ÑÑØ Û Ö Ò Ö Ò Ù ÖÙ f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ÐØ f (0) + f (1) + f (2) + f (3) = Á Ø Ñ Ð Àº ºµ Ä ÙÒ Ï Ò f (0) = d f (1) = a + b + c + d f (2) = 8a + 4b + 2c + d ÙÒ f (3) = 27a + 9b + 3c + d ÐØ f (0) + f (1) + f (2) + f (3) = 36a + 14b + 6c + 4d ÙÒ Ø Ò Ö Ð Û Ö Ò 2009 Ò ÙÒ Ö Ð Øº Ù Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ f (x) Ø Ð Ó Ò Ø Ñ Ð º Ù Å ØØ ÐÛ ÖØ ÓÐ Ð Ò Ø Ø ÖØ ÃÒÓ Ð Ö Ò ÙÒ Ò ÔÓÖÒØ ÚÓÑ ÖØ Ð È ÔÔÓ ÙÒ Å ØØ ÐÛ ÖØ Ù ÒØÛ ÐØ Ò Ð Ò ÓÐ Ë ÒÒØ Ñ Ø ÞÛ ÚÓÖ Ò Ò Ï ÖØ Ò ÙÒ ÓÐ Ò Ð Ø ÓÑ ØÖ Å ØØ Ð Ö ÎÓÖ Ò Ö ÙÒ Ö Æ ÓÐ Ö ÐØ Ð Ó a n = a n 1 a n+1 º µ Ð Ò ÒÒØ Ñ Ø 2 ÙÒ 4º Ö Ò Ò Ø Ò Ò ÓÐ Ò Ð Öº µ Ð Ò Ö Ò ØÖ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ÓÐ Ò Ð Ö Ù Ö Ò Ò ÞÙ Ñ Ò ÙÑ Ö Ò Ò ÔØ ÓÐ Ò Ð Ø ÑÑ Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ñ Ø Ò ÜÔÐ Þ Ø ÓÖÑ Ð ÖÐ Ø Ò Ñ Ø Ö Ö Ø n¹ø ÓÐ Ò Ð Ñ Ø n Æ Ö Ò Ò ÒÒº Æ ÙÖÞ Ö ÖÐ ÙÒ Ò Ø Ù Ò ÓÐ ÓÖÑ Ðº Ï Ð ÙØ Ø ¾

30 µ Ö ËØ ÖØÛ ÖØ 2 ÙÒ 4 Û Ö Ò ÓÐ Ò Ð Ö ÑÑ Ö Ö Öº Ï Ñ Ø ËØ ÖØÛ ÖØ Û Ð Ò Ñ Ø ÓÐ Ò Ð Ö ÑÑ Ö Ð Ò Ö Û Ö Ò Ã ÒÒ Ð Ò ËØ ÖØÛ ÖØ Ù Ó Û Ð Ò Ð Ö ÓÒ¹ Ø ÒØ Ð Ò Å µ Ä ÙÒ µ Ù Ñ ÓÑ ØÖ Ò Å ØØ Ð a n = a n 1 a n+1 ÓÐ Ø a n+1 = a2 n a n 1 º Ñ Ø Ð Ò Ù Ò ËØ ÖØÛ ÖØ Ò a 1 = 2 ÙÒ a 2 = 4 Ò Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö Ö Ò Ò º µ Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ð Ö Ð Ò Ú ÖÑÙØ Ò ÓÐ Ò Ð Ö ÑÑ Ö ÓÔÔ ÐØ ÚÓÖ Ö Ò Ò º ÒÒ Ø ÜÔÐ Þ Ø ÓÐ ÒÚÓÖ Ö Ø a n = 2 n º Ñ Ò Û Ö ÒÙÒ Û Ò ØÛ ÙÖ ÚÓÐÐ ØÒ ÁÒ Ù Ø ÓÒº ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò Ò Ö 1 n 7 Ò Û Ö Ö Ø ÚÓÖ Ö Ò Øº ÁÒ Ù Ø ÓÒ ÚÓÖ Ù ØÞÙÒ ÙÔØÙÒ ÐØ Ö n 1 ÙÒ nº ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö ØØ Å Ø Ö Ê ÙÖ ÓÒ ÚÓÖ Ö Ø Ö ÐØ Ò Û Ö a n+1 = a2 n a n 1 = (2n ) 2 2 n 1 = 22n n+1 = 2 n+1. µ ÁÒ Ð Ò ÓÐ Û Ö ÓÐ Ò Ð ÓÔÔ ÐØ Ó ÖÓ Û ÚÓÖ Ö º Ï Ö ØØ Ò Ù Þ Ò ÒÒ Ò a n = a2 n a n 1 = an غ ÐÐ Ñ Ò Ø Ð Ó Ò ÓÐ Ò Ð ÑÑ Ö ÚÓÖ Ö º Ï ÐØ Ð Ò a 1 > a 2 > 0 Ó Ø a n a n 1 a n Ñ Ø a n 1 = 2 a n a n 1 ¹Ñ Ð Ó ÖÓ Û a n a n 1 < 1 ÙÒ ÓÐ Ò Ð Ö Û Ö Ò ÑÑ Ö Ð Ò Ö ÓÐ ÓÒÚ Ö ÖØ Ó Ö Ò 0º Ï ÐØ Ð Ò Ó a 1 = a 2 0 Ó Ö ÐØ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ º Ù Ú Ö ØÓÔ Ø Ï Ò ÁÒ Ò Ñ Ï Ò Ñ Ø Ñ ÎÓÐÙÑ Ò V = cm 3 Ø Ù Ò Ñ Ï ¹ Ö Ò Ñ Ø Ñ ÙÖ Ñ Ö d H = 2 cm Ï Ö Ñ Ø Ò Ö Û Ò Ø v = 0,04 m s º Ù ÖÓ Ö Ø Ö Ø Ö Ú Ö ØÓÔ Ø Ó ÒÙÖ Ò ÙÖ ¹ Ñ Ö ÚÓÒ d A = 0,5 cm Ö Øº Å Ò Ò Ñ Ò Ï Ö Û Ö ØÖÓØÞ Ñ Ñ Ø Ö Ð Ò Û Ò Ø v ÙÖ Ù ÒÙÒ Ò Û Ù Ñ À Ò ÓÑÑغ Ï Ð Ò Û Ö Ù ÖÒ Ï Ö Ö Ò Ê Ò Ò ÐÙ Ø Ð ³ Ñ ÓÑ ÃÐ ½½ ÙØ Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò Ã ÖÓµ Ä ÙÒ Ø v = 0,04 m s = 4 cm s º Ö ÉÙ Ö Ò ØØ Q H Ï Ö Ò Ø Q H = π ( d H2 ) 2 3,14 cm 2 ÖÓº Ö Ø Ë ÙÒ V H = Q H v 3,142 cm 2 4 cm = 12,566 cm 3 Ï Ö Ò Ù Ò Ò Òº ¼

31 Ñ Ù Ø Ø Ò Ð ÚÓÒ Q A = π ( d A2 ) 2 0,196 cm 2 ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Ó Ë ÙÒ V A = Q A v 0,196 cm 2 4 cm = 0,785 cm 3 Ï Ö Ò ÒÒº ÙØ Ø Ò Ë ÙÒ ÙÑ V = V H V A 12,566 cm 3 0,785 cm 3 = 11,781 cm 3 ÐÐغ V V/s Ò ÓÑÔÐ ØØ ÐÐØ Ø Ú Ö Ø Ø t = 1188sº Ï Ö ÐÙ Ø Ð Ó Ò ØÛ ½½ Ë ÙÒ Ò Ð Ó 19 min ÙÒ 48 s Öº Å µ 14000cm3 11,781 cm 3 /s Ï Ö ÓÖ Ø Ñ Ø ÁÒ À Ø Ø ÐÐØ Ò Û Ö Ù ÓÐ Ò Ù Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò¹Î ÖÑÙØÙÒ Å Ø!p ÈÖÓ Ù Ø ÐÐ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò p Þ Ò Øº µ Ö Ò!p + 1 Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò p = 2, 3, 5,..., 19º µ Ø ÑÑ Ù!p + 1 ÓÐ Ò ÈÖ ÑÞ Ð P Ö p 19º µ Ö Ò P!p Ö p 19º ÎÓÖ Ò Ò Â Ö Ò Ø Î ÖÑÙØÙÒ Ù Ø Ù Ø Ö ÈÖ ÑÞ Ð p 2 Ø P!p Ò ÈÖ ÑÞ Ðº Ï ÐÐ Ù Ñ Ø Ö Î ÖÑÙØÙÒ Ò ËØ Û Ø Ù Ò Ñ Ò Î ÐÐ Ø Ò Ø Ù Ò Ò Ô Ðº Ù ØØ Ø ÒÒ ÙØ ÙÒ Û Ò Î ÖÑÙØÙÒ Û ÖРغ Àº ºµ Ö Ò Ë ÙÒ Ö Ö Ä Ö ÒÒ Òµ Ò ÙÒ Ö Ò Ö Ö Ø ÙÒ Ñ Ø Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò¹Î ÖÑÙØÙÒ ÞÙ Ø È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò ÃÐ ½¼ ÇØØÓ¹ À Ò¹Ë ÙÐ À Ò Ùµ Ð ³ Ñ ÓÑ ÙÒ Ë Ñ ³ Ñ ÓÑ ÃÐ ½½ ÙÒ ÙØ Ò Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò Ã ÖÓµ Ð Ü Ý ÌÝÙ¹ Ò ÃÐ ½ Å ÒÞ¹ ÝÑÒ ÙÑ ÓÒ Ò Ñµ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö ÃÐ ¹ ½½ ÝÑÒ ÙÑ Å Ö ØÓ Ö ÓÖ µ ÄÙ Ê Ð ÃÐ Ö Ö ¹Ä Ø Ýѹ Ò ÙÑ Ê ÙØÐ Ò Òµº Á Ö Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ì ÐÐ Ö ÓÐ Ò Ò ÖØ ÞÙ ÑÑ Ò Ø ½

32 p!p + 1 P P!p Ð Ü Ý ÌÝÙ Ò Ø ÒÓ p = 23 Ò ÞÓ Ò ÛÓ Ö P!p = 37 Ö Ø ÙÒ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö Ø Ñ Ø Ò Ñ Ð Ò Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ù Ò Ñ ÌÁ ÎÓÝ ¾¼¼ P!p ÞÓ Ò ÛÓ Ö P!p = 37 Ö Ø ÙÒ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö Ø Ñ Ø Ò Ñ Ð ÒÖ ÐÐ ÈÖ ÑÞ Ð Ò p ÙÒØ Ö Ð 100 Ö Ò Ø ËØ Ø Ö Ò ÈÖ ÑÞ Ðº Ö Ö Ò Ù Ø Ö Þ Ø P!p Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÑÙ Û ÒÒ P <!p+(p+1) 2 Ø ÒÒ ÓÒ Ø Ñ Ø P!p Ò Ò Ø Ö ÈÖ ÑØ Ð Ö p Ò Ö ÒÒ Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ!p ÙÒ ÓÐ Ð ÚÓÒ P ÛÖ Û Ñ Ï Ö ÔÖÙ ÞÙ Ø Ò P Ò ÈÖ ÑÞ Ð Øº Ö Ò Ð Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ö Ø Ð ÒØ Ñ Ø Ñ Ë Ö Ú ÙÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÆÌÀ ÈÊÁÅ nµ Ö n¹ø ÈÖ ÑÞ Ð ÙÒ Æ Ì ÈÊÁÅ µ Ö Ò Ø ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÓÛ Ö ÖÔÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÈÊÁÅ ÙÖ ¹ Ö Òº Ö ØÞ Ò Û Ö Å ÈÖÓ µ ÈÊÇ Í Ì ÆÌÀ ÈÖ Ñ Òµ Ò ½ µº ÒÒ Ð ÖØ Ö Ð Î ÌÇÊ ÈÊÁÅ Æ Ì ÈÊÁÅ Å ÈÖÓ µ ½µ Å ÈÖÓ µµ ½ ½¼¼µ Ø Ø Ð ÙÒ ÖØÑ Ð ØÖÙ º ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ÙÒ Ò Ü ÙÖ ÓÒ Ò Ò Ö Ö ÍÑ ÙÒ ÚÓÒ À ÖØÛ Ù ÎÓÖ Ø Ö Ø Ò ÓÐ ½ ¼ ½ µ Ò ÂÙÖ Ø Ö Ò Ø Ð Ã ÖÖ Ö Ñ Ò Ø ÔÖ Ù Ò Ã Ò ÙÒ ÔØ Ö ÖÙ Ò Ö Ò Ñ Ø Û Ö Ò Å ÒÒ ÚÓÒ ÙÑ Ò Ö Ð ÙÒ ÙÒ Ù ÒØ Ò Û Ò ØÐ Ò Ã ÒÒØÒ Òº Ë Ò Ö Ø ÁÒØ Ö Ö ÐØ Ö Å Ø Ñ Ø ÞÙ Ö Ö Ó Ö Ò ØÒ ØÖ Ò Ö Ð ÒØ ÓÖ ÙÒ Ò ÐÝ Ð Ø Ø º Ö Ø Ò Ò ÃÓÒØ Ø Ñ Ø Ò Ø Ò Å Ø Ñ Ø ÖÒ Ò Ö Ø ÖÙÒØ Ö ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ Ä Ò Þ Ò Ð ÖÒÓÙÐÐ ÙÒ ÓÒ Ö Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ñ Ø ¾

33 Ñ Ö Ú Ð Â Ö Ñ Ö Û Ð Ø Ò º ÎÓÒ Ö Ö ÙÑ Ò Ö Ò ÃÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒÞ Ò Ø ¾¼¼ Ö Ö ÐØ Ò Ð Û Ø ÉÙ ÐÐ Ö Ï Ò Ø ¹ Ø ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ Ò Òº Ò Ö Ö Ö Ø ÙÖØ ÙÖ ÙÒ Ö Ö ÑØ ÓÐ ¹Î ÖÑÙ¹ ØÙÒ º Ñ Ö Ø ÓÐ Ò ÙÐ Ö ÒØ Û Ò Ø Ò Ò Ð > 2 Ò Ö ØÙÑ ØÖ ÙÑ ÒÙÑ Ö¹ ÓÖÙÑ ÔÖ ÑÓÖÙÑ Ð Ó Ù Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ º À ÙØ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ñ Ò ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ØÖ ÒÒØ Ð ÙÔØÙÒ Ö Ö Ð Ò ÙÒ Ð ÙÔØÙÒ Ö ÙÒ Ö Ð Ò ½µ ÙÒ ¾µµº Ø Ð Ö Ø ÖØ Ø Û Ð Ù Ò ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ Ö n 6 ÓРغ Ò ÒÑÐ ½µ ÙÒ ¾µ Û Òº Ö Ö Ð n 2 Ñ Ø n 2 4 ÐØ ÒÒ Ò ½µ n 2 = p 1 + p 2 Ñ Ø ÈÖ ÑÞ Ð Ò p 1 ÙÒ p 2 º Ð Ó Ø n = 2 + p 1 + p 2 Ö n 6º Ö Ù ÙÒ Ù ¾µ Ö Ø ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ Ö n 6 Ñ Ö ÙÒ ÓÐ Ø Ò Î ÖÑÙØÙÒ Ö Ð Ò > 2 Ð Ó Ò ÓÒ Ö Ù Ö n = 3, 4, 5 Ù ÔÖÓ Òº ÞÙ ÑÙ Ñ Ò Û Ò ÞÙ Ò Ö Ø Ð 1 Ð ÈÖ ÑÞ Ð ÐØ ÙÒ Ö Ö 3 = = = Ð ÈÖ ÑÞ Ð ÙÑÑ Ò ØÖ Ø Ø º Ö Ø Î Ö ÓÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ½µ Ô Ð Â Ö Ð n 4 Ø Ò ËÙÑÑ Ù ÞÛ ÈÖ ÑÞ Ð Òº n p 1 + p ÓÖ ÒØÓÖ Ö Ö Ò Ö Ö Å Ò ÒÐ Ö Ø ÒÑ Ð ½µ Ö ÐÐ Ö Ò Ð Ò n 1000 ÖÔÖ Ø ÙÒ Ø Ø ØØ Ø ÙÒ Òº Å Ø Ò Ñ ÓÑÔÙØ Ö Ø Ñ Ò Ó Ö ÔØ Ö Ö Ò Ø Ö Ø Ò Î Ö ÓÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ÐØ Ö ÐÐ Ö Ò Ð Ò n Ñ Ø 4 n ËØ Ò ¾¼¼ µº Ì ÐÐ Ó Ò Þ Ø Ñ Ò Ö Ò Ð Ò Ñ Ö Ö Ú Ö Ò Ö¹ Ø ÐÐÙÒ Ò Ð ÈÖ ÑÞ Ð ÙÑÑ Ò Ò ÒÒ Òº ÏÓÖØ Ð Ø Ø Ö ÙÒ Ñ ÓÐ Ò Ò Ø Ø Ö Ò ÔÓ Ø Ú ÒÞ Ðº ÌÓÑ ÇÐ Ú Ö Ë ÐÚ

34 A(n) ÒÞ Ð Ú Ö Ò Ö ÓÐ Ö ÈÖ ÑÞ Ð ÙÑÑ Ò Ö Ö Ò Ð n ÛÓ ËÙÑÑ Ò a + b ÙÒ b + a Ò Ø Ð Ú Ö Ò ÐØ Òº n min Ð Ò Ø Ö Ð Ò n Ö A(n) Ò Ò ÚÓÖ Ò Ò Ï ÖØ g Ø g = 1, 2, 3,...º Ô Ð A(n) = g n min Ò Ò Ñ Ù ÑÑ Ò Ò Ú ÖÑÙØÐ ÙÒ Ð Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÞÙ Ö Ð g g = 1, 2, 3,... Û Ð Ñ Ò Ø Ò µ Ò Ö Ð n Ó A(n) = g Ø Ô Ð Ó Ò ÒØ ÒÞÙ ÙØ Ò Ö Ö ÞÙ Ò º ÍÑ Ö ÚÓÖ ÚÓÖ Ð Ò Î ÖÑÙØÙÒ Ò ÞÙ Û ÖÒ Ò Ò Û Ö ÒÓ Ò Ô Ð Ô Ð n A(n) = g À ÒÛ ÓÑÔÙØ Ö¹ Ö ÙÒ ÒÒ Ò Ö Ö Ò Ò Ó Û Ð Ò ¹ Ö n Ñ Ø A(n) = g Ö ÐÐ g = 7, 8, 9,..., 20 غ ÌÖÓØÞ ÐÐ Ö Ò ØÖ Ò ÙÒ Ò ÚÓÒ Å Ø Ñ Ø ÖÒ Ø Å ØØ ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ ÐØ ÙØ Ö Ø Î Ö ÓÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ Ø ÑÑ Ö ÒÓ Ò Ø Û Òº ÞÛ Ø Î Ö ÓÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ¾µ  ÙÒ Ö Ð n 7 Ø Ò ËÙÑÑ Ù Ö ÈÖ ÑÞ Ð Òº Ò Ö Ø Ö Ë Ö ØØ Ò Ê ØÙÒ Ò Û ÚÓÒ ¾µ Ð Ò Ä Û Ë Ò Ö Ð¹ Ñ Ò ½ ½µ Ð Ö ÖÐ Ø Ø Â ÙÒ Ö Ð n 5 ÒÒ Ð Ò ËÙÑÑ Ù Ø Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò Ö Ë ØÞ Ø Ò Ø ÖÐ ÒÓ Ä Ø Ö ÒØ ÖÒØ ÚÓÒ Ò Ñ Û Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ¾µ ÙÒ Ó Ø Ö ÚÓÒ ÖÓ Ö Ø ÓÖ Ø Ö ÙØÙÒ ÃÓÒÒØ Ñ Ò ÚÓÖ Ö Ò Ø Ù Ð Ò ÞÙÖ ËÙÑÑ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ ÑÑ Ö Ö Ö Ò ÙÒ Ö Ò Ð Ò ÑÑ Ö Ñ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ò Ø Ø Û Ö Ò Ó Þ Ø Ë Ò Ö ÐÑ Ò Ò ÙÒ Ö Ð Ø Ö ËÙÑÑ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ð ÖÓ ÒÞ Ð ÚÓÒ ÔÖ Ñ Ò ËÙÑÑ Ò Ò ØÞغ Ë Ò Ö ÐÑ Ò Ö Ò Ö Ù Ö Â Ö ÔØ Ö Ò ÒÓÖÑ Ò Î Ö ÖÙÒ ÙÖ ÊÓ ÖØ ÖÐ Ó Î Ù Ò

35  ÙÒ Ö Ð n 5 ÒÒ Ù Ñ Ü Ñ Ð ¾ ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ø Ú ÞÙ¹ ÑÑ Ò ØÞØ Û Ö Òº Ò Ò Ú ÐÐ Ò Ö Ò Ï ÞÙ Ò Ñ Û ÚÓÒ ¾µ Ñ Ø ÙØ Ò Ù Ø Ò Ù Ö ÓÐ ÐÙ ÁÛ Ò Ï ÒÓ Ö ÓÛ Ò Ð Ö ½ ÖÐ Ø Ø Ø Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ö Ð w Ó ÐØ Â ÙÒ Ö Ð n w ÒÒ Ð Ò ËÙÑÑ Ù Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ö Ò Û Ö Òº Ï ÒÓ Ö ÓÛ Ð Ø ÓÒÒØ Ò Ò Ï ÖØ Ö w Ø ÑÑ Òº Û Ö Ö ÒÐ Ö Ò ÒØ Ò Ú ËÙ Ò Ò Ö ÓÒ Ö Ø Ò Ï ÒÓ Ö ÓÛ¹ Ð wº ÍÒ Ø Ø ¹ Ð Ð Ò Ö w Ò Ò ÞÙÒ Ø ÒØ Ò Ï ÖØ ÞÙ ÖÑ ØØ ÐÒ ÒÑÐ w = e ee41,96 Ö ÔØ Ö Ù Ò Ï ÖØ w = ÖÙÒØ Ö Ö Ø Û Ö Ò ÓÒÒØ º Ñ Ø Ø ¾µ ÒÙÖ ÒÓ ÞÙ Û Ò Ö ÙÒ Ö n < º Ö ¾µ ÐØ Ö Ø Ö ÙÒ Ö n Ñ Ø 7 n º ÒÒ Ö Ö n 3 4 n Ø n 3 = p 1 + p 2 Ñ Ø ÈÖ ÑÞ Ð Ò p 1 ÙÒ p 2 Ó n = 3 + p 1 + p 2 Ðغ Ï Ö Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ï Ö Ò Ö Ø Î Ö ÓÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ Ö Ö Ð Ò Ñ Ï ¹ ÒØÐ Ò ÒÓ ÙÒ Û Ò Ø ÐØ Ñ ÐÐ Ö ÞÛ Ø Ò Î Ö ÓÒ Ö ÙÒ Ö Ð Ò Â ÙÒ Ö Ð n n 7 Ñ Ø Ù Ò Ñ Ö Ò Ð Ú Ð Ò Ð Ò n Ñ Ø n Ø Ò ËÙÑÑ Ù Ö ÈÖ ÑÞ Ð Òº Ï Ö Ð Ù Ø Ù Ò Ñ Þ ÖÒ Ò Ñ Ø Ò Ø ÞÙ Ó Ñ Ê Ò Ù Û Ò Ö Ò Ò ÓÑÔÙØ Ö ÖÔÖ Ö Ö Û ÖÒØ Ø ËØ ÐÐ Òº Ü ÙÖ ÓÒ Ò Ò ÍÑ ÙÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ Ö Ø Ö Ù Ù Ù Ö Ð n 4 Ø Ø Ø ÞÛ Ð Ò k 2 ÙÒ m 2 Ó n = k + m غ Ö Ñ Ò Ò Ø ÒÒ Ñ Ò Ø Ø k ÙÒ m Ð ÈÖ ÑÞ Ð Ò Û Ð Ö Ò Ö ÙÒ Ö n Þ Ò Ô Ð Û n = 17 Ó Ö n = 27 ÙÒ Ö Ö n ÖØ ÙÒ Û Ò Ö Ø Î Ö ÓÒ Ö ÓÐ ¹Î ÖÑÙØÙÒ ÞÙÖ ÎÓÖ Øº Ð ÓÐÐØ Ñ Ò ÞÙÒ Ø Ò Ñ Ð Ò n ÚÓÒ Ù Ò k ÙÒ m Û Ð ÈÖ ÑÞ ÐÔÖÓ Ù Ø Ò º À Ö Ð Ø ÒÒ Ö Ë ÐÙ Ò Â Ö Ö n Ø ÙÑ Ó Ö Ö Ø ÒÞ Ð Ö ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò Ò k Ó Ö mº Ö Ø Ò Ø Ö ÐÐ Î Ó ÖÙÒ Ø ÒÑÐ ÙÑ ½ ¾¼ Ö Ù ÙÒ Ò Ö Ø ÐÐ n ÐØ Â ÒÖ Ò ÖÓ Ð n Ø ËÙÑÑ ÞÛ Ö Ð Ò k ÙÒ m ÚÓÒ Ò Ò Ø Ò ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò ØÞغ

36 Ð 9 Ñ Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÙÒ Ø ÛÓ Ð Ò Â Ò ÖÙÒ ÞÙ Ö ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ú Ö¹ ÒÐ Ø Ó Ñ Ò Ò Ø Ñ Ø Û Ò Ö ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò Ù ÓÑÑغ Ì Ø Ð Ð Ò Ñ ½ Ö Ò ÚÓÒ ÖÙÒ Ö Ö Ð Ò Û ÒØÐ ÞÙ Ú Ö ÖÒ Â ÒÖ Ò ÖÓ Ö Ð n Ø ËÙÑÑ Ù Ò Ö ÈÖ ÑÞ Ð k ÙÒ Ò Ö Ð m Ñ Ø Ø Ò ÞÛ ÈÖ Ñ ØÓÖ Òº ØÛ Ó = ÛÓ ÐÐ Ö Ø ÚÓÖ ÓÑÑ Ò Ò Ð Ò ÔÖ Ñ Ò º Ö Ë ØÞ ÚÓÒ Ò Ð Ø Ð Ø Ù ÙÒ Ö Ð Ò n ÖØÖ Òº Ö Ò ÒÖ Ò ÖÓ Ö Ð n 3 Ñ Ø n 3 = k + m k ÔÖ Ñ ÙÒ m Ñ Ø Ø Ò ÞÛ ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò ÐØ n = 3 + k + m n ÙÒ Ö º Å Ø Ò Ñ Ë ØÞ Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ò Û Ö ÓÐ ¹ Î ÖÑÙØÙÒ ½µ Ö Ò ÓÑÑ Ò Ø ÒÙÖ ÒÓ ÞÙ Þ Ò m Û Ò Ö Ð ÞÛ ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò ØÞØ Ñ Ø ½µ Ö ÒÖ Ò ÖÓ n ÞÙØÖ Øº Û Ø Ö Ù Ù ÓÐ Ø Ò Ò ½µ ÙÒ ¾µ ÒÓ Ò ÙÑ ÒÒØ Û Ø Ö Î ÖÑÙØÙÒ Ù Ø ÐÐØ Ñ Ø Ö Ù ÚÓÒ Ò Ò Û ÒÐ Ø Ù Û Ø µ  ÙÒ Ö Ð n n 5 ÙÒ n 17 Ð Ø Ð Ò ËÙÑÑ n = k + 2m 2 Ñ Ø k 3 Ò ÈÖ ÑÞ Ð ÙÒ m 1 Ö Ø ÐÐ Òº Î ÖÑÙØÙÒ µ Ø Ð ÒÒ n = Ø Ò Ò Ô Ðº Ä ØÞØ Ö Ù Ù ÀØØ ÓÐ Ò Î ÖÑÙØÙÒ Ò Ò Î Ö ÓÒ Ò ½µ ÙÒ ¾µ Ù ¹ Ô ÐØ Ø ÒÒ ÛÖ Ö Ö Ù ÓÐ Ò Ò Ð Ò Î Ö ÒØ ÚÓÒ ½µ ØÓ Ò µ Â Ö Ð n 2 Ø Ö ÒÞ ÞÛ Ö ÈÖ ÑÞ Ð Ò p 1 ÙÒ p 2 º Å Ø µ Ò Û Ö Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø ÀÓ Ö Ö Ø Òº ÙÒ Ø ÒÒ Ñ Ò µ Ö Ð Ò n Ð Ø ØØ Ò Ô Ð n p 2 p Ö Ñ Ø Û Ò Ñ n Û Ö ÖÔÖ ÙÒ ÚÓÒ µ ÑÑ Ö Ù ÛÒ Ö Ø ÙØ ÙÒ Û Ò Ó µ Ö Ö n 2 Ðغ Ô Ð Þ Ø n Ñ Ö Ö Ö ÒÞ¹ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò p 2 p 1 ØÞ Ò ÒÒº Ñ Ø Ø ÐÐØ Ö Ó Ò Ø ÑÑØ n Ù Ò Ð Ú Ð Ó Ö Ó Ö Ù ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÖØ Ò Ð Ò ÈÖ ÑÞ Ð¹ Ö ÒÞ Ö Ò Û Ö Ò ÒÒ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÞÙ Ò ÖØ Ø Ò Ö Ð ÒØ ÓÖ Þ Ðغ

37 Æ Ñ Ò Û Ö ÒÙÖ Ò ÐÐ n = 2º Ï Ò 2 = p 2 p 1 Ø p 2 = p 1 +2 ÙÒ ÙÒ Ö Ö Ð ÙØ Ø ØÞØ Ø Ò Ð Ú Ð Ó Ö ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò p 1 p 2 Ñ Ø p 2 = p Ù Ñ ÈÖÓ Ð Ñ ÛÙÖ Ò Ö Ø Ì Ù Ò ÚÓÒ Ë Ø Ò Å Ø Ö Ð ÑÑ Ðغ Ó Ò Ò Ø Ú ÒØÛÓÖØ Ø Ñ Ò ÑÑ Ö ÒÓ Ò Ø ÙÒ Ò ÙÒ ÙÑ ØÛ Û Ñ Ò Ñ ÐÐ n = p 2 p 1 Ð Ó p 2 = p 1 + n Ñ Ø n > 2 ÙÒ Ö º ÄÓ Ò Ð Ì Ø ½µ ÙÒ Û Ò Ø ÙØ Ø Ò Û Ñ Ò Ö Ò ÓÒ Ö Ø n Ò Ø ÒØ Ò ÒÒ Ó n = p 1 + p 2 Ñ Ø ÔÖ Ñ Ò p 1 ÙÒ p 2 ÐØ Ó Ö Ò Øº ÒÒ Ø ÒÙÖ Ò Ð Ú Ð ÈÖ ÑÞ Ð Ò p 1 < n p 2 < n Ð Ó Ù ÒÙÖ Ò Ð Ú Ð ËÙÑÑ Ò p 1 + p 2 ÙÒ Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ò Ð Ú Ð Ò Ë Ö ØØ Ò Ø Ø ÖÔÖ Ò Ó ÙÒØ Ö Ò Ò Ò Ñ Ø n = p 1 + p 2 Ò Ø Ó Ö Ò Øº ÒÞ Ò Ö Ú Ö ÐØ Ö Ò ÐÐ ÙÒ Û Ò Ò Î ÖÑÙØÙÒ µº Ï ÒÒ Û Ö Ö Ò ÓÒ Ö Ø n Ò Ö Ø ÐÐÙÒ n = p 2 p 1 Ò Ò ÛÓÐÐ Ò ÒÒ Ò Û Ö Ò Ø Ù Ð Ò Ò ÓÐ Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Ò Ø Ø Û Û Ö ÚÓÒ ÚÓÖÒ Ö Ò Ò Ø Û Ò ÒÒ Ö Ð Ò Ø Ò Û Ö Ñ Ø ÙÒ Ö Ö ËÙ Ò Ò Ø Ò ÔÖ Ñ Ò p 1 ÙÒ p 2 Ò Ò Ò Û Ð Û Ö ÙÒ Ò Ð Ú Ð È Ö (p 1, p 2 ) Ò ØÖ Ø Þ Ò Ñ Òº Ï Ö Ò Ð Ó Ö Ò Ö n Ò Ò Ð Ú Ð Ò Ë Ö ØØ Ò ÒØ ¹ Ö Ø Ó Ò Ð ÙÒ n = p 1 +p 2 Ñ Ø ÔÖ Ñ Ò p 1 p 2 Ø ÒÒ ÙÒ Ö Ð Ò n Ò Ò Ò Ù Ò Ò Ö Ð ÖÓ Ò ÒÞ Ð ÚÓÒ Ë Ö ØØ Ò ÑÑ Ö ÒÓ Ò Ø ÒØ Ò Ø Ó Ò Ð ÙÒ n = p 2 p 1 Ñ Ø ÔÖ Ñ Ò p 1 p 2 Ø Ø Ó Ö Ò Øº Î ÖÑÙØÙÒ Ò ½µ ÙÒ µ Ò Ð Ó ÚÓÒ ÒÞ ÙÒØ Ö Ð Ö ÐÓ Ö ËØÖÙ ØÙÖº ËØÖÙ ØÙÖ Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ñ Ò Û Ò Å Ð Ö Ó Ö Ø Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ò Û Ö Ò Ó Ö ÏÓÖØ ÖÑÓÒ ÞÙ ÑÑ Ò Ò ºººµ Ò Ð Å Ø Ñ Ø ÒÒ Ò Ö Ï ÐØ Ò Ø Ø Òº Ó Ö Ý À ÖÓÐ À Ö Ý ½ ½

38 Å ËØ ÖÒ ÚÓÒ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ò ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ï ÒÒ Ñ Ò Ö Ø Ò Ò ÙÒ ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò 1, 3, 5,..., 17 Ò Ò Ñ Ð Ð Ù Ò Ò ÅÙ Ø Ö Û Ò ÙÖ ½ Ó Ö Ò Ò Ñ ÒÐÙ Ò ÅÙ Ø Ö Û Ò ÙÖ ¾ Ð 3 3¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø ÒÓÖ Ò Ø ½ Ó Ó Ö Ó ½½ ÙÖ ½ ½ ½ ½ ÙÖ ¾ ÒÒ Û Ö Ò Ñ Ù ÐÐ Ò ÖØ Ñ Ò Ö Ð Ò Û Ð Ù Ò Ö Ö Ò ÙØ Ø Ò Ä Ò Ò Ð Ò ÒÒ Ö ÐØ Ñ Ò Ø Ø Ð ËÙÑÑ 27º ÖÔÖ ÒÙÒ Ð Ø Ó Ù Ö ¾ Ö Ø Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ò Ò Ñ 5 5¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ò Ú Ö Ð Ö Ö Ò Ö ÐØ Øº ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ñ Ò ËØ ÖÒ n ÙÒ Ö n 3º Ï ÒÒ Ñ Ò ÒÒ Ö Ø Ò n 2 ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ó Û Ò ÙÖ ½ Ó Ö ÙÖ ¾ Ò Ò Ñ n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø ÒÓÖ ¹ Ò Ø ØÞØ ÒÒ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ñ Ò ËØ ÖÒ Û Ò 3 3¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ó Ò Ø À Ò Ò ÓÐ Ò n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø n 3 ÙÒ Ö Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ñ ØØÐ Ö Ò Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ò Ò ËÔ ÐØ ÙÒ Ö Ò ÓÒ Ð Ò Û Ð Ò Ð Ó Ò ÒÒØ Ñ ËÙÑÑ Ï Ö ÖÒ Ò ÙÒ Ñ ÓÐ Ò Ò Ù n n¹éù Ö Ø Ñ Ø Ò Ñ ÒÓÖ ÒÙÒ ¹ ÑÙ Ø Ö Ö Ð Ò Û Ò ÙÖ ½º Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò Ð n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ï ÒÒ Ñ Ò ÚÓÒ Ö Ò Ò Þ Ð A Ò Ö Ð n n¹éù Ö Ø ÙÑ n Ð Ò Û Ø Ö Ø ÒÒ Ð Ò Ø Ñ Ò ÞÙÖ Ò Ò Þ Ð A Ö Ò Ø Ò Ð º ÒÙÒ ÞÛ Ù Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ð Ò Ø Ø ÙÑ 2 ÙÒØ Ö Ò ÐØ Ö A A = A+2n Ò Ò Þ Ð Ò ÞÛ Ö Ò ÖØ Ö Ð Ò ÙÒØ Ö ¹ Ò Ð Ó ÙÑ 2nº Ö Ù ÓÐ Ø Ö ÒÙÒ Ñ Ø A 1,..., A n Þ Ò Ø Ò Ð Ò Ò Ò Þ Ð Ò

39 ½µ A 1 = 1, A 2 = 1 2n + 1, A 3 = 2 2n + 1,..., A n = (n 1) 2n + 1º Ñ ØØÐ Ö Ð ÉÙ Ö Ø Ò Ö Å ØØ ÞÛ Ò Ö Ö Ø Ò ÙÒ Ö n¹ø Ò Ð Ð Ø Ø Ö ÆÙÑÑ Ö Ö Ø Ñ Ø Å ØØ Ð m Ö Ð ÒÒÙÑÑ ÖÒ 1 ÙÒ n Ñ Ø Ò m = 1+n 2 º Ù (1) Ö Ø Ò Ò Þ Ð A m Ö Ñ ØØÐ Ö Ò Ð A m = (m 1) 2n + 1 = (n 1)n + 1 ÙÒ Ð Ð ÙØ Ò n Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò Ð A m, A m + 1 2, A m + 2 2, A m + 3 2,..., A m + (n 1) 2. Å Ø A m = (n 1)n + 1 ÓÐ Ø Ö Ù ¾µ Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò Ð Ò (n 1)n + 1, (n 1)n + 3, (n 1)n + 5,..., (n 1)n + 2n 1º Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò ËÔ ÐØ n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ñ ØØÐ Ö ËÔ ÐØ n n¹éù Ö Ø Ø Ð ÆÙÑÑ Ö 1+n 2 Û Ñ ØØÐ Ö Ð º Ï ÒÒ Ñ Ò Ö ÚÓÒ Ö Ò Ò Þ Ð A Ò Ö Ð ÙÑ 1+n 2 1 = n 1 2 Ð Ò Û Ø Ö Ø ÒÒ Ð Ò Ø Ñ Ò Ö Ð B Ö Ñ ØØÐ Ö Ò ËÔ ÐØ º Ö ÐØ B = A + n 1 2 = A + n 1. 2 Ñ Ø Ò Ù Ø Ò Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò ËÔ ÐØ ÙÒØ Ö ØÙÒ ÚÓÒ ½µ A 1 + n 1 = n A 2 + n 1 = n + 1 2n A 3 + n 1 = n + 2 2n º º º A n + n 1 = n + (n 1) 2n ÛÓÖ Ù ÓÐ Ø µ Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò ËÔ ÐØ Ò n, 3n, 5n,..., (2n 1)nº Ð Ò Ö ÓÒ Ð n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ð Ò Ö Ö Ø Ò ÓÒ Ð Ò ÚÓÒ Ð Ò Ó Ò Ò Ö Ø ÙÒØ Òµ Ò ÞÙÒ Ø A 1 = 1, A , A ,..., A n +(n 1) 2º Ï Ò ½µ ÐØ Ð Ó µ Ð Ò Ö Ö Ø Ò ÓÒ Ð Ò 1, 1 2n + 3, 2 2n + 5,..., (n 1) 2n + (2n 1) Ð Ò Ö ÞÛ Ø Ò ÓÒ Ð Ò ÚÓÒ Ö Ø Ó Ò Ò Ð Ò ÙÒØ Òµ Ò A 2 1 2, A 3 2 2, A 4 3 2,..., A n (n 1) 2, A n Ó Û Ò ½µ ÐØ µ Ð Ò Ö ÞÛ Ø Ò ÓÒ Ð Ò Ò 1 2n 1, 2 2n 3, 3 2n 5,..., n 2n (2n 1) Ö ËØ ÖÒ n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø Ò ÓÐ Ò ÙÖ Ú Ö Ò ÙÐ Ø Ò ËØ ÖÒ Ò n n¹éù Ö Ø Ò Ö Ð Ò Ù ½µ ¾µ µ ÙÒ µ Ò Ò Ö ÙÖ Ö Ø Ò ØÖ Òº

40 ººº ººº ººº ººº ººº ººº ººº A 1 =½ 3 5 ººº n ººº 2n 1 A 2 2n + 3 ººº 3n ººº 4n 3 ººº A m ººº n 2 ººº v v = (n 1)n + 2n 1 ººº ººº w = n + 2n(n 1) A n ººº w ººº x x = 2n(n 1) + 2n 1 ÙÖ ÙÖ ÍÒØ Ö Ù ÙÒ ËØ ÖÒ Ò ÙÖ Ò Ø Ò Û Ö ÞÛ ËÙÑÑ Ò ÓÖÑ ÐÒ µ k = 1 2k(k + 1), k 1 Û Ñ Ò Ð Ø Ð Ø Û Øº Å Ø À Ð ÚÓÒ µ Ð Ø Ò Û Ö Ö µ n 1 = n 2, n 1. Ï Ò n 1 = ( n 2+2n 1) 2 ( n 1) ÙÒ Ñ Ø k = 2n 1 Þ ÙÒ Û k = n 1 Ò µ ÓÐ Ø º n 1 = (2n 1) 2n 2 (n 1)n = n2 2 ÆÙÒ Þ Ò Û Ö Ö ËØ ÖÒ n n¹éù Ö Ø n > 1 ÙÒ Ö Ð Ð Ù Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ú Ö Ð ÙÖ ½ ÙÒ Ö Ö Ø Ò n 2 ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ñ Øº ËÙÑÑ Z Ö Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò Ð Ñ ¾µ ÙÒ µ Z = (n 1)n (n 1)n (n 1)n + 2n 1 = (n 1)n n n 1 = n 3 n 2 + n 2 = n 3. ¼

41 ËÙÑÑ S Ö Ð Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ò ËÔ ÐØ Ò µ ÙÒ Ñ Ø µ S = n + 3n + 5n (2n 1)n = n ( n 1) = n 3. ËÙÑÑ D 1 Ö Ð Ò Ö ½º ÓÒ Ð Ò Ñ µ µ ÙÒ µ D 1 = n n (n 1) 2n + 2n 1 = 2n( n 1) + ( n 1) = 2n 1 2 (n 1)n + n2 = n 3. ËÙÑÑ D 2 Ö Ð Ò Ö ¾º ÓÒ Ð Ò Ò µ ÙÒ µ D 2 = 1 2n n n 2n (2n 1) = 2n( n) ( n 1) = 2n 1 2 n(n + 1) n2 = n 3. Ï Ò Z = S = D 1 = D 2 = n 3 ÐØ Ð Ó Â n n¹ Ð ÒÕÙ Ö Ø n ÙÒ Ö ÙÒ n 3 Ñ Ø Ð Ð Ù Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ö Ö Ø Ò n 2 ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò ØÞØ Ò Ò Ñ ¹ Ò ËØ ÖÒ Ñ ËÙÑÑ Ø n 3 º Ï Ö ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ä ÖÒ Ò ÞÙÔÖ Ò Ó Ù Ö ËØ ÖÒ Ò n n¹ ÉÙ Ö Ø Ñ Ø ÒÐÙ Ö Ð Ò ÒÓÖ ÒÙÒ Ñ Øº ÙÑ Ë ÐÙ ÒÓ ÞÛ Ò Ø Ò ÙÒ Ö n n¹éù Ö Ø Ð Ñ ÒØÖÙÑ n n¹éù Ö Ø Ø n 2 ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ð Ò n n¹éù Ö Ø Ø n 4 º Ò Ù Ð ËØ ÖØÔÙÒ Ø Ö Û Ø Ö Ö Ò ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ò 7 7¹ÉÙ ØÖ Ø Ñ Ø Ð ¹ Ð Ù Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ö Ö Ø Ò 49 ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Òº ÍÒØ Ö Ù Ó Ú Ö Ò 7 7¹ÉÙ Ö Ø Ò Þ Ò Ø Ò 3 3¹ ÉÙ Ö Ø Û Ð Ò Ò Ñ Ò ËØ ÖÒ ¹ ØÞ Òº Ï ÐØ Ö Ò 11 11¹ÉÙ Ö Ø Ñ Ø Ð Ð Ù Ò Ö Ð Ò ÒÓÖ ÒÙÒ Ú Ö 5 5¹ÉÙ Ö Ø ÒØ ÐØ ÙÒ Ó Û Ø Ö ½

42 Ë Ø Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò Ì Ð Ö Ø ÙÖ 37 ÍÒØ Ö Ù ÓÐ Ò Ö Ð Ò ,... Ù Ö Ì Ð Ö Ø ÙÖ 37 Ó Ò Ê Ø Ï ÐÐØ Ö Ù Ã ÒÒ Ø Ù Ò Î ÖÑÙØÙÒ Ú ÒØÙ ÐÐ Û Ò Ò Àº ºµ À ÒÛ Á Ö ÒÒØ ÙÖ Ä ÙÒ Ò ÞÙÑ º Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Ò Ò ÒÒ Ù Ö Ø ÈÙÒ Ø Ö Ò ÓÖ ÖÔÖ ÞÙ Ö ØØ ÖÒº ÐÐ Ö Ò Ñ Ø Á Ö Ö Î ÖÛ Ò ÙÒ Ò Ò Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ ÒØ ÔÖ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ö Ò ÙÖ Ò Ò Ò Ö ÈÖÓ Ö Ñѹ Ø Ñ Ø Ò Ð ¹Å й Ò Ò Ò ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº µº Ä ÙÒ Ò Û Ö Ò Û Ð Ñ ÖÒ Ø Ò À Ø Ö Ò Òº Ä ÙÒ Ö ÓÑÔÙØ Ö¹ Ù Ù Ò Ô Þ ÐÐ ËÙÑÑ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Ò Ø ÖÐ Ð Ò Â Ò Ø ÖÐ Ð n 3 ØÞØ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ö ÓÖÑ n = p + m 2 Ñ Ø Ò Ö ÈÖ ÑÞ Ð p ÙÒ Ñ ÉÙ Ö Ø Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð m Ð ËÙÑÑ Ò Òº ÖÔÖ Ù Ù Ö Ê Ø Ø Ö ÐÐ n < 10 4 º Àº ºµ Ö Ò Ù Ø Ö Ø Ð Ö Ð Ò 5, ÙÒ 25 Û Ò ÐÐ ÚÓÒ À Ò ÖÔÖ Ò Ð Ø Û È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò ÇØØÓ¹À Ò¹Ë ÙÐ À ¹ Ò Ùµ Ö Ò Ö n = 16 Ø Ò Øº Å Ø Ò Ñ Â Ú ¹ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð ¹ Ü Ý ÌÝÙ Ò ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞ¹ ÓÒ Ò Ñµ Ò ÑØ 74 Ð Ò ÙÒØ Ö Ð Û Ð ÙÔØÙÒ Û ÖÐ Òº Ù Ú Ï Ò Ö ÝÑÒ ÙÑ Ñ Ð Ö ¹ ÖÓ Ö¹Ë ÙÐÞ ÒØÖÙÑ Ö Þ ÖÒµ ÙÒØ Ö Ù Ø Ò Ö ÙÒ¹ Ø Ö Ð ÚÓÒ 10 4 º ÐÓÖ Ò Ë Û Ö ÝÑÒ ÙÑ Å Ö ØÓ Ö ÓÖ µ Ø Ñ Ø Ò Ñ Î Ù Ð¹ ¹ÈÖÓ Ö ÑÑ ÒÓ Ö Ö Ò Ù Ò Ò n = Ò Ö 222 Ï ÖØ ÚÓÒ n Ö Û Ð ÙÔØÙÒ Ò Ø ÞÙØÖ Øº Ä Ø Ñ Ò m = 0 ÞÙ Û ÐÐ Ò Ò Ö Ñ Ø Ò Ö ÐÐ Ò ÐÐ ÈÖ ÑÞ Ð Ò p Ò ØÖ Ú Ð Ö Ï ÙÔØÙÒ º Á Ú Ö Ø Ò Ø Ñ Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ú Ö Ø Øº À ÒÖÝ ÈÓ Ò Ö ½ ½ ½¾ ¾

43 Å Ø Ò ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØ Ö Ò ÂÓ ÒÒ ÏÓÐ Ò ÚÓÒ Ó Ø Ï Ö Ö Ò Ø Ó ÔØ ÚÓÖ Å ØØ ÛÙÒ Ò Å Ø Ð Ö ØÙ³ Ö ÙÒ Ò Ì ÒÖ Ò Ö ÛÓ Ð Ò Ñ ÖÑ Ö Ø Ò Ö Ö Ö Ò Ø Ò Û ÖѺ Å Ò ËÓ Ò Û Ö Ø Ù Ó Ò Ò Ø Ë Ø Ê Ò Ö Ù ÐÐ Ð Ö Ò Ø ÏÓ Ò ÖØ Ñ Ø ÄÓ Ò ÙÒ ËØÖ Ø Å Ò ËÓ Ò Ø ÙØ ÃÐ Ò Ö Øº Ù Ð Ã Ò ÓÑÑ Ñ Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ò Ö Å Ò ÙÒØ ÒÙÒ Ø Ò Ñ Ê Ò Å Ò Ö Ø Ø Ò Ð Ò Û Ò º Å Ò Ê Ò Ö Ñ Ò Ê Ò Ö ÙÒ Ø Ù Ò Ø Ï Ê ÒÖ Ð Ð Ö Ö Ø Ë ÖÙ Ð ÖÙ Ñ Ò Ã Ò Ù Ð Ö Ò ÐØØ ÖÒ Ù ÐØ Ò Ï Ò º Ï ÐÐ Ø Ò Ö ÃÒ Ù Ñ Ø Ñ Ö Ò Å Ò Ù Ò ÓÐÐ Ò Ö Ù Ò Ò Å Ò Ù Ò Ö Ò ÞÙ ÓÐ Ò ÙÒ Ê Ò ÍÒ ÑÙ Ä ÙÒ ÞÛ ÙÒ Ú ÖÞ Ò Ø Ò Å Ò Ê Ò Ö Ñ Ò Ê Ò Ö ÙÒ Ø Ù Ò Ø ÓÖØ Ò ÆÙÐÐ Ú ÓÒ Ñ Ø Ö Ò ÇÖØ Å Ò ËÓ Ò Ñ Ò ËÓ Ò Ò Ù Ò Ò ÐÐ Ö Ò ³ Ó Ö Ùº Á Ð Ñ Ö ÞØ Ò Ò Ø ÐØ ÍÒ Ø Ù Ò Ø Û ÐÐ Ó Ö Ù Û Ðغ Ò Ù Ò Ä Ò Þ ØÞØ Ô Ø Ò Ö Ø Ø Ø ÞÙÖ Ä ÙÒ ÚÓÖ Ò Ñ Ë Ð Ö Ö Ù Ø³ Ö Ö Ò Ø Û Ò ÐÐ Ù Ò Ð Ø Ò º Ñ Ì Ö Ù ØÖÓØÞ Å ÙÒ ÆÓØ ÁÒ Ò Ò ÖÑ Ò Ö Ø Û Ö ÖÓغ