ÎÓÖÛÓÖØ ÚÓÖÐ Ò Ë Ö ÔØÙÑ Ø Ò Ò Ö ÚÓÒ Ñ Ö Ñ Ï ÒØ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼»¾¼¼ ÐØ Ò Ò ÎÓÖÐ ÙÒ ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø Á ÒØ Ø Ò Òº ÎÓÖÐ ÙÒ Ó¹ Û Ö ÓÖØ ØÞÙÒ ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø ÁÁ ÖØ Ò

Transkript

1 ÆÙÑ Ö Á Ï ÒØ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼»¼ Ò Ø Ë Ð ½¾º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼

2 ÎÓÖÛÓÖØ ÚÓÖÐ Ò Ë Ö ÔØÙÑ Ø Ò Ò Ö ÚÓÒ Ñ Ö Ñ Ï ÒØ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼»¾¼¼ ÐØ Ò Ò ÎÓÖÐ ÙÒ ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø Á ÒØ Ø Ò Òº ÎÓÖÐ ÙÒ Ó¹ Û Ö ÓÖØ ØÞÙÒ ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø ÁÁ ÖØ Ò ÖÙÒ Ð Ò Ö ÆÙ¹ Ñ Ö Ò ÙÒ Ò Û Ò Ø Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÙÒ Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Ò Ø Ö Û Ø Ö Ö Ò ÎÓÖÐ ÙÒ Ò Ù Ñ Øº Æ Ò ÖÙÒ Ð Ò Ò Ö Ð Ö¹ Ò ÐÝ ÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò ÐÝ Û Ö Ò Ò Ñ Ö ÚÓÖÐ Ò Ò Ö Ø Ò Ì Ð Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ØÐ Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÙÒ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ðغ Ò ÖØ Ò Å Ø Ó Ò Ö Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ ¹ Ú Ö Ö Ò ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ÖÙÒ Ú Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ø Ú Î Ö Ö Ò ÓÛ Ð Î Ö Ö Ò Ö ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº Ì Ñ Ò Û Ö Ò Ò ÆÙÑ Ö ÁÁ Ñ Ø ÁÒØ Ö Ø ¹ ÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÒÙÑ Ö Ä ÙÒ ÚÓÒ Û ÒÐ Ò Ö ÒØ Ð Ð ¹ ÙÒ Ò ÓÖØ ØÞØ Û Ö ÓÖØ Ù Ä ÙÒ ÚÓÒ ÒÛ ÖØ Ù Ò ÙÒ ÚÓÒ ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÙÖÞ ØÖ Øº Ð ÖÙÔÔ Ö ÆÙÑ Ö Á Ò Ò Ò Å Ø Ñ Ø ¹ËØÙ Ö Ò Ò Ñ Ö Ø¹ Ø Ò Ë Ñ Ø Ö Ù ÒØ Ö ÖØ À Ö Ö ÒÒ Ò ÙÒ À Ö Ö Ù Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ Ö È Ý º Ñ Ö Ø ÎÓÖÐ ÙÒ ÙÖ Ø ÓÖ Ø ÙÒ Ò ÙÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ù Ò Ñ Ø Å ØÐ µ Ö ÒÞØ ÛÙÖ º Ù Ñ Ë Ð Ø ØÙ ÙÑ Ì ÜØ Ø Ò ØÒ Ø ÙÒ Ñ Ø Ñ ËØÓ ÙÒ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ò Ó Ö Ò Ö Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Ò Ø ÞÙ ÑÔ Ð Ò Ò ÖÓ Ö ÒØ Ð ÚÓÖÐ Ò Ò Ë Ö ÔØ ÛÙÖ Ñ Ø Ö Ú Ð ËÓÖ ÐØ ÚÓÒ Ò Í Ñ ÒÒ ÙÒ Å Ð Ë ÖØ Ö Ø ÐÐØ Ò Ö Ò ÖÞÐ Ò Ò Ö Ù Í Ñ ÒÒ Ò ÓÒ Ö Ò Ö Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ö Ö Ô Ò Å ¹ Ð Ë ÖØ Ò ÖÙ Ø Ñ ÙÖ Ò Ó Ø ØÖ Ö Ò Á Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ Ð Ò ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ø ÒÙÖ Ò Ä Ì µ ÞÙ Ð Òº ØØ Ò Ò Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Ò Ø Ë Ð ½

3 ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ì Ò Ñ Ó Ø Ñ ÆÙÑ Ö ½º½ ÒÐ ØÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ù Û Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ö ØÞÙÒ ÙÒ Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Ð Ö ÓÖØÔ ÒÞÙÒ ÃÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ ËØ Ð ØØ º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ò ½ ¾º½ Ö ÙÒ ÖÙÒ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ù¹Î Ö Ö Ò ÙÒ Ä͹ ÖÐ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º ÓÐ Ý¹Î Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ë Û ØÞØ Å ØÖ Þ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËØ ÖÙÒ Ö ÒÙÒ º½ Å ØÖ ÙÒ ÒÓÖÑ ÖØ ÊÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÆÓÖÑ Ò Ö Ð ÙÒ Ò ÙÒ Å ØÖ Þ Ò º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÃÓÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ÖÙÒ Ú Ö Ö Ò º½ QR¹ ÖÐ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ä Ò Ö Ù Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ò ÙÐÖÛ ÖØÞ ÖÐ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÒÛ Ò ÙÒ Ö Ë Ò ÙÐÖÛ ÖØÞ ÖÐ ÙÒ Ù Ð Ò Ö Ù Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÁØ Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ò º½ Î Ö Ö Ò Ö Ù Þ Ú Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º¾ Ö Ò ³ ÜÔÙÒ Ø ØÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÁØ Ö Ø Ú Î Ö Ö Ò Ö Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º ÁØ Ö Ø Ú Î Ö Ö Ò Ö Ò ØÐ Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ º º º º º º º ½½¾ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ½¾¾ º½ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º¾ ØÞÙÒ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÙÒ ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ò ÐÝ º º ½ ¾

4 º º ËÔÐ Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

5 Ã Ô Ø Ð ½ Ì Ò Ñ Ó Ø Ñ ÆÙÑ Ö ½º½ ÒÐ ØÙÒ ÁÒ Ö Ï Ô Ø Ö Ö ÆÙÑ Ö ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ò ÖØ ÒÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø ÙÖÞ ÆÙÑ Ö Ò ÒÒØ Ø Ø Ð Ì Ð Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ñ Ø Ö ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ ÙÒ Ò ÐÝ ÚÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ð Ñ º ÁÒØ Ö Ò ÓÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø Ø Ñ Ø Ù Ò Ñ Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ò Ø ÞÙ Ñ ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÜÔÐ Þ Ø Ä ÙÒ Ö Ø ÐÐÙÒ Ó ÞÙÑ Ô Ð Ò Æ Ú Ö¹ËØÓ ¹ Ð ÙÒ Ò Ó Ö ÁÒØ ¹ Ö Ð Ò Ó Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒµ Ó Ö Ä ÙÒ Ö Ø ÐÐÙÒ Ü Ø ÖØ Ø Ó Ò Ø Ò Ø ÙÑ Ä ÙÒ Ò ÐÐ Ù ÞÙÖ Ò Ò Þ ÙÒ Û Ð Ø Ò Ò Ö ÓÖÑ ÚÓÖ Ò Ö Ê Ò Ð Ö Ø Ö Ñ Ö Ö Ñ Ò ÞÙÑ Ô Ð Ú Ð Ò ÈÓØ ÒÞÖ Òµº ÁÒ Ö Ò Û Ò Ø Ò Å Ø Ñ Ø ØÞØ Ñ Ò ÒÓ Ò Ò Ë Ö ØØ Ö Ö Ò Ø Ø Ñ Ò Ñ Ø ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ó Ð Ø ÞÙÒ Ø ÒÓ Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÚÓÖ ÓÒ ÖÒ ÒÞ Ò ÚÓÒ ÈÖ Ø ÖÒ ÓÖÑÙÐ ÖØ ÈÖÓ Ð Ñ¹ Ö ÙÒ º Ö Ø Ù Ø Ø Ð Ó Ò Ö ÅÓ ÐÐ ÖÙÒ º º Ò Ö ÓÖÑ Ð ÖÙÒ Ò Ò Ö Æ ØÙÖ Ó Ø Ø Ò È ÒÓÑ Ò Ó Ö Ò ÓÒÓÑ ¹ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÙÖ Ò Ó Ò ÒÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÅÓ Ðк Å Ø Ñ Ø ÅÓ ÐÐ Ò ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ð ÙÒ Ò Ó Ö ÍÒ Ð ÙÒ Ò ÙÖ Þ ¹ ÙÒ Ò ÞÛ Ò ÒÒØ Ò ÙÒ ÙÒ ÒÒØ Ò Ö Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÒÒ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ó Ö ÍÒ Ð ÙÒ Òµ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ó Ö ÁÒØ Ö Ð Ð ÙÒ Ò Ú ÖÛ Ò Ø Û Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÐÐ ÖØ Ò ÚÓÒ ÓÖÑ ÐÒ Ó Ö Ö ÒÞÛ ÖØ Ò Ù ØÖ Ø Òº Ø ÞÙ ØÞÐ ÒÓ Ò ÃÖ Ø Ö ÙÑ ÞÙÖ

6 ÙÖØ ÐÙÒ Ö Ä ÙÒ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒµ Ó Ð Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ò ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÚÓÖ ÙÒ ÅÓ ÐÐ Û Ö Ù Ð Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ö ÑÑ Þ Ò Øº ÃÐ Þ ÔÐ Ò Ò Ö Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Û Ð Ö ÙÒ Ò ÐÝ Ø Ò Ñ Ø Ö Ò Ö Ü Ø ÒÞ ÙÒ Ò ÙØ Ø Ö Ä ÙÒ Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ö ÅÓ ÐÐ º Ò Ø Ø Ð Ö ÒÙÑ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ö Ò Î Ö Ö Ò ÞÙ ÒØÛ ÐÒ Ñ Ø Ò Ò Ä ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÅÓ ÐÐ ÔÖ Ø Ù ÖÞ Ø Ú Ö Ö Ò Ê Ò ÒÐ Òµ ÖÑ ØØ ÐÒ Ð Òº Ï Ö Ú Ö Ò ÙÐ Ò Ò Ò Ò Ô Ð Ò Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÞ Ö Ð Ö Ø Ò Ö ÐÐ ÈÓÐÝÒÓÑ ÚÓÑ Ö n Ù n ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ò Ö Å Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò ØÞغ Ö Ü Ø ÒÞ Û Ø Ó Ò Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ú º º Ñ Ò Ö ÐØ Ò Î Ö Ö Ò Û Ñ Ò ÒØ ÔÖ Ò Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø ÑÑ Ò ÒÒº Ð ÖØ ÒÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø º Ä ÙÒ Ð Ò Ö Ö Ò Ø Ò ÙÐÖ Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÒÒ ÙÖ Ö Ñ Ö Ê Ð Ù Ö Ò Û Ö Òº Ö ÔÖ Ø Ö ÒÙÒ Ø Ö Ñ Ö Ð Ö Î Ö Ð Ò ÙÒ Ö Ù Öº Ö Ë ØÞ ÚÓÒ Ï Ö ØÖ Ð ÖØ Ù Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù ÓÑÔ Ø Ò Å Ò Ò Ö Å Ò Ñ Ó Ö Å Ü Ñ µ ÒÒ Ñ Òº Ï Ö ÓÐÐ Ñ Ò Ö Ò Ò Ö Ò Ò Û ÖØÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Û ÒÐ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ð ÖØ Ö Ü Ø ÒÞ Û ÚÓÒ È Ö ¹Ä Ò Ð ÙÒØ Ö Ø ÑÑØ Ò Ð ØØ Ø ÚÓÖ¹ Ù ØÞÙÒ Ò Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÁØ Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ö Òº Ö Ê Ð ÖÙÒ Ù ÓÑÔÙØ ÖÒ Ø Î Ö Ö Ò Ö Ò Ø ÓÒ ÖÐ Ø Úº ÁÒ Ö ÚÓÖÐ Ò Ò ÎÓÖÐ ÙÒ ÆÙÑ Ö Á ÓÐÐ Ò Î Ö Ö Ò Ö Ö ÒÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ö ÅÓ ÐÐ ÚÓÖ Ø ÐÐØ ÙÒ ÙØ ÖØ Û Ö Òº ÎÓÖÐ ÙÒ Ö Ø Ø Ò ËØÙ Ö Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ñ Ö ØØ Ò Ë Ñ Ø Ö ÙÒ ÖÒ Ù Ò ÒØ Ö ÖØ È Ý Ó Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ¹ËØÙ Ö Ò º Ò Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Ú Ö¹ Û Ò Ø Ò ÖÙÒ Ð Ò Ò Ó Ù Û ÐØ Ù Ù Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ¹ Ò Ò Ö ÎÓÖÐ ÙÒ ÒÒØ Ò ÓÐÐØ Òº ÎÓÖÐ ÙÒ Ø Ø Ò Ò Ø Ò Ò Ö ÒÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø Û Ò ØÐ Ê Ò Ò ÙÒ ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÙÒ Ø Ð ÖÙÒ Ð Ö Ñ Ø Ò ÎÓÖÐ ÙÒ Ò Ù Ñ Ö ÞÙ Ú Ö Ø Òº ÎÓÖÐ ÙÒ ÒÒ Ñ Ø ÆÙÑ Ö ÁÁ Ó Ö Ñ Ø ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÓÖØ ¹ ØÞØ Û Ö Òº ÍÑ ÒÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø Ö Ø ÞÙ Ú Ö Ø Ò ÓÐÐØ Ñ Ò Ò Ø ÖÐ Ù Ò Ð Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ ÖØ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖØ Òº Û Ö Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ö Ø ÓÖ Ø ÙÒ ÔÖ Ø Ù Ò Ø ÐÐØ ÛÓ Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ö Ù Ò Ñ Ø Å ÌÄ ÞÙ Ö Ø Ò Ò º Å ÌÄ Ø Ò Ë Ö ÔØ ÔÖ

7 Ò Ö Ú Ð ÒÙÑ Ö Î Ö Ö Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ò Ø Ò¹ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö Ø ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Ø Òº ÍÑ Ë Û Ö Ø Ò ÞÙ Ú Ö Ø Ò Ù Ñ Ò Ø Ø Û ÒÒ Ñ Ò Ò Î Ö Ö Ò ÚÓÒ ÖÙÒ Ù Ò Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖØ Ò Ò Ò Ù Ò Ù Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö ÔÖ Ò ÞÙ Ú ÖÛ Ò Òº ÓÑÔÙØ Ö Ð Ö Ý Ø Ñ Û ÅÙÈ Å ÔÐ Å Ø Ñ Ø Ë Ò ÙÐ Öµ Û Ö Ò Ò ÐÐ ØÖ Øº Ø Þ ÐÖ Ä Ö Ö ÙÒ Ë Ö ÔØ Ò Ö ÒÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø ÚÓÒ Ò Ò ÓÐ Ò Ò ÉÙ ÐÐ Ò ÖÛ ÒØ Û Ö Ò ÓÐÐ Ò Âº ËØÓ Ö ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø Á ËÔÖ Ò Ö ½ º º Ï ÖÒ Öº ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø ½ Î Û Ö ÙÒ Û ½ ¾º Ⱥ Ù Ö ÙÒ º ÀÓ Ñ ÒÒº ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø Áº Ï ÐØ Ö ÖÙݹ Ø Ö ÖÐ Ò Æ Û ÓÖ ¾Ò Ø ÓÒ ½ º ʺ ÃÖ º ÆÙÑ Ö Ð Ò ÐÝ º ËÔÖ Ò Ö Æ Û ÓÖ ½ º ź À Ò ¹ ÓÙÖ Ó º ÖÙÒ Ð Ò Ö ÆÙÑ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ÙÒ Û Ò ØÐ Ò Ê Ò Ò º Ì Ù Ò Ö ËØÙØØ ÖØ ¾¼¼¾º ʺ Ë Àº Ï Ò Ð Ò º ÆÙÑ Ö Å Ø Ñ Ø º ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ¾¼¼ º Ë Ö ÔØÙÑ ÆÙÑ Ö Á ÚÓÒ º ÄÙ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÙÑºÑ Ø ºÙÒ ¹ Ó ØØ Ò Òº»ÐٻƎ¹¼ ØºÔ Ë Ö ÔØÙÑ ÆÙÑ Ö Á ÚÓÒ Ìº ÀÓ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÙÑºÑ Ø ºÙÒ ¹ Ó ØØ Ò Òº» Ó»ÆÙÑ Ö ½»ÒÙÑ Ö ½º ØÑÐ ÁÒ Ö ÎÓÖÐ ÙÒ ÆÙÑ Ö Á Û Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ì Ñ Ò Ò ÐØ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ù Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ù Ò Ò ØÐ Ò Ö Ð ÙÒ Ó Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ò ØÐ Ò Ö Ö Ð ÙÒ Òµ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ð ÆÙÑ Ö Ø Ø ÚÓÖÖ Ò Ñ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò ÈÖÓ Ð ¹ Ñ Òº Ò Ò Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÙÖ Ò Ò Ð Å Ò Ò Ñ Ð Ò Ä ¹ ÙÒ Ò ÒÒÞ Ò Øº Ù Ò Ò Û Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ò Û Ò Ø Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÓÒ Ö ÓÒÓÑ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Òº ÁÒ Ñ Ë Ö ÔØ Û Ö Ò Û Ö Ù Ö Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ò Òº

8 ½º¾ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Èµ Ø Ò ÙÖ Ò ÓÐ ÚÓÒ Ê Ò¹µ¹ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ö Ò Î Ö Ö Ò ÞÙ Ò Ö Ä ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ Èµ Öغ Â Ò ÉÙ Ð ØØ Ö ÖÞ ÐØ Ò Ä ÙÒ ÙÒØ Ö Ø Ñ Ò ÞÛ Ò Ü Ø Ò Î Ö Ö Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ À ÙÖ Ø Òº Ü Ø Î Ö Ö Ò Ò ØÖ Ò ÒÓÑÑ Ò ÒÙÖ Ö Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ò Ñ Ð Ò Ò Ò ÙÒØ Ö Ò Ð Ú Ð Ò Å Ð Ø Ò Ò Ä ÙÒ Ù ¹ ÞÙÛ Ð Ò Øº ÞÙ ÖØ Ô Ð Û Ø Ö ÒÞÞ Ð Ò ÈÖÓ Ö Ñ¹ Ñ ÖÙÒ ÓÛ Ñ Ø Ò Ù Ò Ò Æ ØÞÛ Ö Òº Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ö¹ Ð Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ù ÖÙÒ Ö ÖÒ Ø Ò Ò Ù Ø Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ö ÐÐ Ö Ð Ò ÙÖ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ä ÙÒ Ò Æ ÖÙÒ Ð ÙÒ º Ò ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ó Ö Ö Ø Î Ö Ö Ò Ø Ò Ê ÒÚÓÖ Ö Ø Ñ Ø ¹ Ö Ò À Ð ÒÙÑ Ö Ä ÙÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ò Ò Ð Ú Ð Ò Ê Ò Ö ØØ Ò Ð Ò Ù ÖÑ ØØ ÐØ Û Ö Ò ÒÒº Ä Ø Ö Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ó Ö Ò Ö Ò Ù Ø Ö ÒÞ Ò ØÞØ Ó ÔÖ Ø Ñ Ò ÚÓÒ Ò Ö À ÙÖ Ø º à ÒÒ Û Ñ Ð ØÞØ Ö Ò ÐÐ ÞÛ Ö ¹ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Û Ö Ò Ø Ö ÖÒ Ø Ó Ø À ÙÖ Ø Ò Ø Ö ÒØ Ñ Ò ÔÖ Ø ÒÒ Ù ÚÓÒ Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº À ÙÖ Ø Ò Û Ö Ò ÚÓÖ ÐÐ Ñ Ö Û Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ö Ø Ò ÇÔØ Ñ ÖÙÒ Ú Ö¹ Û Ò Ø ÙÒ Ö Ò ÓÖØ Ù ÞÙ ÑÔ Ö ÒÒÚÓÐÐ Ò Ö Ò Òº Æ Ò Ö ÏÓ Ð Ò ÖØ Ò ÒÙÑ Ö Ò Î Ö Ö Ò ÓÐÐØ Ñ Ò Ñ Î Ö¹ Ö Ò ÓÐ Ò Ò ÈÙÒ Ø ÙØ Ö Ò Ù Û Ò Ð Ö Ò ÐÝ ËØ Ð Øغ ½º Ù Û Ò Ò Î Ö Ö Ò ÒÒ ÒÙÖ ÒÒ ÒÒÚÓÐÐ Ò ØÞØ Û Ö Ò Û ÒÒ Ù Ò ÔÖ Ø ¹ Ð Ö Ø Ò Ä ÙÒ ÖÑ ØØ Ðغ Ö Ø Û Ø Ò Ù Û Ò Ú Ö ¹ Ò Ö Î Ö Ö Ò Ö Ð Ù Ò Ø ÐÐÙÒ Ú Ö Ð Ò ÞÙ ÙØ Ö Òº Å Ò ÔÖ Ø Ù ÚÓÒ Ö ÃÓÑÔÐ Ü ØØ Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Þ Ò Ø Ñ Ø Ò Ù Û Ò Ò Û ÒØÐ Ò Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ø Ò Ö ÒÒÚÓÐÐ ¹ Û ÐØ Ò Ò Ò Ö º Ð Û ÒØÐ Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Þ Ð Ò Û Ö Ø ÓÒ Ò ËÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒ Ò Î Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ ØÖ ÒÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ù ¹ Û ÖØÙÒ Òº ÙÛ ÙÒ Ò Û Ö Ò Ò Ø Þ Ðغµ

9 Ò Ò Ö ÒÒ Ñ Ø Ò Ù Ú Ö Ò Ï Û ÐØ Û Ö Òº Ë ÓÐÐØ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ö Òº Ô Ð Ø ÑÑ Å Ò ÑÙÑ ÚÓÒ n Ð Ò x 1,...,x n À Ö Ø ÑÑØ Ñ Ò ÒÞ Ð Ö Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ò Ø Ö Ð nº Ö Ò Ò ¹ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Min := ÓÖ i := 1 ØÓ n Ó Á x i < Min Ø Ò Min := x i ÇÙØÔÙØ Min Ö Ò n Î Ö Ð Ð Ó Ò ÒÞ Ð ÚÓÒ A 1 (n) = n Û ÒØÐ Ò Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Òº Ö Ø ÓÒ ÚÓÒ ÞÛ Î ØÓÖ Ò x ÙÒ y Ö Ñ Ò ÓÒ k Ø Ø Ð ÒÒÚÓÐÐ Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÒ k Òº Î Ö Ö Ò ÓÖ i := 1 ØÓ k Ó z i := x i + y i ÇÙØÔÙØ z 1,...,z n Ò Ø Ø k Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ó Ò Ò Ù Û Ò ÚÓÒ A 2 (k) = k Ø ÓÒ ÚÓÒ ÞÛ Å ØÖ Þ Ò A, B Ö Ñ Ò ÓÒ k k Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò a ij, b ij, i, j = 1,...,kµ À Ö ÒÒ Ñ Ò Ð Ò Ö k Ó Ö k 2 Û Ð Òº ÒÓÒ Î Ö Ö Ò Ø ÓÐ Ò º ÓÖ i := 1 ØÓ k Ó ÓÖ j = 1 ØÓ k Ó c ij := a ij + b ij ÇÙØÔÙØ c ij i, j = 1,...,n ÒÞ Ð Ö Û ÒØÐ Ò Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ØÖ Ø k 2 º ÆÓÖÑ Ð ÖÛ Û Ö Ñ Ò Ò Ù Û Ò Ò Ò Ø Ö ÒÞ Ð Ö Å ØÖ Ü Ð Ñ ÒØ m = k 2 Ñ Ø A 3 (m) = m Ð Ð Ò Ö Ò Òº ÁÒ Ú Ð Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ñ Ø Ö Ë ÒÒ Ñ Ò ÓÒ k Ð Ò Ö ÞÙ Û Ð Ò Û ÞÙ Ò Ñ ÕÙ Ö Ø Ò Ù Û Ò A 4 (k) = k 2 Öغ ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ñ Ø Ú Ö Ò Î Ö Ö Ò Ñ Ø Û Ð ÙÒ¹ Ø Ö Ð Ñ Ù Û Ò Ñ Ð º À Ø Ñ Ò Ð Ó Þº º Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒ Ò Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÖ Ù Û Ð ÙÒ Ø Ö Ù Û Ò Ö Î Ö Ö Ò ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ò A(n) Þ ÙÒ Û B(n) ÒÒØ Ó Û Ö Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ¹ Ö n Î Ö Ö Ò Ñ Ø Ñ Û Ð Ð Ò Ö Ò Ù Û Ò Û Ð Òº ÍÑ Ö Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ò Ù Û Ò ÚÓÒ ÞÛ Î Ö Ö Ò Ù Ò Å Ø Ó ÞÙ Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ä Ò Ù¹ËÝÑ ÓÐ Òº Ò Ò Ø ÒÙÖ Ò Ö Ò ÐÝ ÚÓÒ Ù Û Ò ØÞÙÒ Ò ÓÒ ÖÒ ÐÐ Ñ Ò Ö ÞÙÖ ÕÙ ÒØ Ø Ø ¹ Ú Ò Ö ÙÒ ÚÓÒ Ö ÒÞÔÖÓÞ Ò Ò Û Ø À Ð Ñ ØØ Ðº Ä Ò Ù¹ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Û Ö ÚÓÒ ÞÛ ÙÒ Ø ÓÒ Ò A(n), B(n) : IN R Ñ Î Ö ÐØÒ ÞÙ Ò Ò Ö ÒØÛ ÐØ Û ÒÒ n غ

10 Ô Ð Ì ÐÐ Ñ Ø Ö ÒØÛ ÐÙÒ ÚÓÒ Ú Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ö ÎÓÖ¹ Ð ÙÒ º Ò Ø ÓÒ ½º½ Ë Ò (a n ), (b n ) Ö ÐÐ Ð Ò ÓÐ Òº Ä Ò Ù¹ËÝÑ ÓÐ Ò Û ÓÐ Ø Ò Öغ ½º a n = O(b n ) ÐÐ Ò C R, C > 0 ÙÒ Ò N IN Ø Ñ Ø a n C b n Ö ÐÐ n N. ¾º a n = Ω(b n ) ÐÐ Ò C R, C > 0 ÙÒ Ò N IN Ø Ñ Ø a n C b n Ö ÐÐ n N. º a n = o(b n ) ÐÐ ÞÙ Ñ ε > 0 Ò N IN Ø Ñ Ø a n ε b n Ö ÐÐ n N. º a n = Θ(b n ) ÐÐ a n = O(b n ) ÙÒ a n = Ω(b n )º ÍÑ ÙØÙÒ Ö ËÝÑ ÓÐ ÞÙ Ú Ö ÙØÐ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Û Ö Ù Ò ÙÑ Ò Ñ Û Ö ÒØÛ ÐÙÒ ÉÙÓØ ÒØ Ò an b n ØÖ Ø Ò ÙÑ Ï ØÙÑ ¹ Ö Ø Ò Ö Ò ÓÐ Ò ÞÙ Ú Ö Ð Òº Æ Ñ Ò Û Ö ÞÙ Ò b n 0 Ö ÐÐ n INº ÒÒ Ö ÐØ Ñ Ò a n = O(b n ) a n = Ω(b n ) a n = o(b n ) a n = Θ(b n ) a n b n C Ö ÐÐ n N ÙÒ Ò C > 0. a n b n C Ö ÐÐ n N ÙÒ Ò C > 0. a n b n 0 C 1 a n C 2 Ö ÐÐ n N ÙÒ C 1, C 2 > 0. b n ÙØÙÒ Ö Ä Ò Ù¹ËÝÑ ÓÐ ÒÒ Ö ÒÙÒ Ð Ò Û Ö Ò Á Ø a n = O(b n ) Ó Û Ø a n Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ð b n Ñ ÐÐ a n = Ω(b n ) Û Ø a n Ò Ø Ð Ò Ñ Ö Ð b n º Ï Ø Ö Ò ÙØ Ø a n = Θ(b n ) ÓÐ Ò ÒÒ ÖÒ Ð Ò ÐÐ Û Ò ÙÒ a n = o(b n ) Û Ø b n Ú Ð Ò ÐÐ Ö Ð a n º

11 Ò Ô Ð n 2 = O(n 3 ) n 2 = O( n3 ) n 3 = Ω(n 2 ) n 2 = O( 1 3 n2 ) n 2 = Ω( 1 3 n2 ) n 2 = Θ( 1 3 n2 ) n 2 = o( n3 ) n 2 o( 1 3 n2 ) Ä ÑÑ ½º¾ ÓÐ Ò Ò Ù Ò ÐØ Ò ½º ÐÐ Ú Ö Ö Ò ØÖ Ò Ø Ú º º Ò ÐÓ Ö Ω,o ÙÒ Θº ¾º Θ Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒÞÖ Ð Ø ÓÒ a n = O(b n ), b n = O(c n ) = a n = O(c n ), º a n = O(b n ) Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ b n = Ω(a n )º º a n = o(b n ) = a n = O(b n )º Û Ä Ø Ð Ø Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ò Ï Ø Ö Ò ÓÐÐØ Ñ Ò Ð Ö Ñ Ò a n = O(b n ) a n = O(αb n ) Ö ÐÐ α R \ {0} a n = O(b n ) ÙÒ a n = O(b n ) = a n + a n = O(b n ). Ù Ò ÐØ Ò Ù Ö o, Ω, Θ Ðغ ÎÓÒ ÖÓ Ö ÔÖ Ø Ö ÙØÙÒ Ø Û Ò Ö Ì ÐÐ Ñ Ò Ò Þ Øµ ÄÓ Ö Ø Ñ Ï ØÙÑ Ð Ò Ñ Ö Ø Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÓÖÑ ÐÒ (log β (n)) γ = o(n α ) Ö ÐÐ α > 0, β > 1, γ > 0 ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ï ØÙÑ Û Ö Ø Ð ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ n α = o(β n ) Ö ÐÐ α > 0, β > 1 ½¼

12 ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ï ØÙÑ Û Ö Ø Ð ÙÐØ Ø Ú β n = o(n!) Ö ÐÐ β > 1 Ù Ò Ð Ò ÒÙÒ Ù Ò ÐÝ ÚÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÒÛ Ò Òº ÞÙ ØÖ Ø Ò Û Ö ÓÐ Ò Ò Ò Ñ Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò¹ ÖÙ Ø Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ Ë Ö ØØ ½ Ö Î Ö Ö Ò Ù Ë Ö ØØ ¾ Ö Î Ö Ö Ò Ù À Ø Î Ö Ö Ò Ò Ò Ù Û Ò ÚÓÒ O(a n ) ÙÒ Î Ö Ö Ò Ò Ò Ù Û Ò ÚÓÒ O(b n ) ÙÒ ÐØ a n = O(b n ) Ó Ö Ø Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ Ò Ù Û Ò ÚÓÒ O(b n ) Ø Ö À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ÖÙÒ ÚÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ø ÑÑ Ö Ö Ö Ö Ù Û Ò Ñ Ò º Ð ÓÖ Ø ÑÙ ¾ Ë Ö ØØ ½ Ö m = 1,...,M Ö Î Ö Ö Ò Ù À Ø Î Ö Ö Ò Ò Ò Ù Û Ò ÚÓÒ O(a n ) ÙÒ Ð Ø Ö Ö Ð M Ò Ò Ø ÚÓÒ Ö Ò Ö n ÙÖ M = O(c n ) ØÞ Ò Ó Ö Ø Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ¾ Ò Ù Û Ò ÚÓÒ O(a n c n )º Ð Ò ÖÛ Ø ÖÒ Û Ö Ò Ø ÓÒ ½º½ Ù Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òº ÎÓÖ ÐÐ Ñ O ÙÒ o Û Ö Ò Ò Ö ÓÖÑÙÐ ÖÙÒ Ù Ù Ö ØÞÙÒ ÚÓÒ Ê Ø Ð ÖÒ Ú ÖÛ Ò Øº Ò Ø ÓÒ ½º Ë Ò f, g : IK IKº ÒÒ Ò ÖØ Ñ Ò f = O(g) Ö x x 0 ÐÐ f(x n ) = O(g(x n )) Ö ÓÐ x n x 0 º Ò ÐÓ Ö Ω o Θº Ð Ø Ð Ø Þ Ò Ó Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÞÙ f = O(g) ÐÐ Ò Ð C > 0 ÙÒ Ò ÍÑ ÙÒ U = U(x 0 ) ÚÓÒ x 0 Ø Ó f(x) C g(x) Ö ÐÐ x Uº f = o(g) ÐÐ ÞÙ Ñ ε > 0 Ò ÍÑ ÙÒ U = U(x 0 ) ÚÓÒ x 0 Ø Ó f(x) ε g(x) Ö ÐÐ x Uº ÍÑ ÓÖÑÙÐ ÖÙÒ Ò ÚÓÒ Ω ÙÒ Θ Ö ÐØ Ñ Ò Ò ÐÓ º ½½

13 ½º Ð Ö ØÞÙÒ ÙÒ Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Ò À Ø Ñ Ò Ò Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Ä ÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÒØÛ ÐØ Ó Ò ÓÐ Ò Ò Ð ÖÕÙ ÐÐ Ò ÞÙ ÙØ Ö Ò Î Ö Ö Ò Ð Ö ÞÙ Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ò ÌÝÔ Ò ÖÙ Ð Ö Ë ÒØ Ø Ò Ñ Ö ØÞ Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ò ÈÖÓÞ ÙÖ Ò Ò Ð Î Ö Ö Ò Þº º Ö Ò Ñ Ù ÙÑÑ Ö Ò Ò Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ê º Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ò ÒØ Ø Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Û ÒÒ Ñ Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Å Ò ÙÖ Ò Ö Ø Ö ØÞغ ÒÒ Ô Ð Û Ö Ö ÙÒ Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ð Ú Ð ÃÓ Þ ÒØ Ò Ó Ö Ö Ù Û ÖØÙÒ Ò Ò Ð Ú Ð Ò ØØ ÖÔÙÒ Ø Ò Òº Ò Ò Ð Ö Ò Ð Ö Ö Ò Ò Ö Ò Þº º Ø Ò Ð Öµº Ë ¹ Þ Ò Ù ÉÙ Ð ØØ Ö Ò Ø Ò Ù ÖÙÒ ÚÓÒ Å ¹ Ð ÖÒ Ó Ö Ù ÖÙÒ Ø Ø Ø Ö Ë Û Ò ÙÒ Ò ÙÒ Ò Ù ÚÓÖÐ Ò ÒÒ Òº Å Ò Ñ Ð Ò Ò Ö Ò Ù Ò Ø ÒÖ Ò ÒÒØ ÙÒ Ñ Ò Ø Ù Ë ØÞÛ ÖØ Þº º Ö ÃÙÒ ÒÚ Ö ÐØ Òµ Ò Û Òº Ï Ø Ò Ù Ö Ñ ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö ÙÖ Û Ð Å ¹ Ò Ò Ò Ù Ø Ò Ø Û Ö Òº ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö ÒÒ Ò ÓÒ Ö Ö¹ ØÞÙÒ Ö Ñ Ð ÖÛ Ð Ö Ø Ø Òµ Ò Ò Û ÖØ Ù Ñ ¹ Ò Ò ÓÒ ÓÖÑ Ø Ò Ù ØÖ Ø Òº Ò Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØ Ø Ò ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ò ÞÙÒ Ø ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Û ÐØ Ò Ê ÒÑ Ø Ó Ö Ñ Ò ÑÙ ÓÒ Ö Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Î Ö Ö Ò ÙÒ Ò Ø ØÞ Ò Û ÓÐ Ð Ö Ñ Î ÖÐ Ù Î Ö Ö Ò Û Ø Ö ÒØÛ ÐÒº Û Ö Ò ÓÒ ÚÓÖ Ò Ò Ð Ö Ò Ñ Ë Ö ØØ Î Ö Ö Ò ÖØÖ Ò ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö ÒÒ Ò ÞÙ ØÞÐ Ö ÒÙÑ Ö Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ù ÒØ Ø Òº Ð Ø ÞÙ ØÞ Ò Û Ð ÑÑ Ò Ò Ð Ö ÙÒ ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ù ÉÙ Ð ØØ Ö Ò Ù ¹ Û Ö Òº Ò ÙØ ÓÒ Ø ÓÒ ÖØ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÚÓÖ Û ÒÒ Ð Ò Ò ÖÙÒ Ò Ö Ù Ò Ö Ò Ù ÒÙÖ Ð Ò Ä ÙÒ Ò ÖÙÒ Ò Û Ö Òº ÈÖÓ Ð Ñ Û Ö ÒÒ Ù ÖÓ Ù Ø Ò ÒÒغ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÖØ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÑÙ Ñ Ò ¹ Ò Ø Î Ö Ö Ò Û Ð Òº ÁÑ ÓÐ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ö Ò Û Ö Û Ñ Ò ÙÒØ Ö Ð Ö Ú Ö Ø Øº Ò Ø ÓÒ ½º Ë x = f(ỹ) ÚÓÒ Ò Ñ Î Ö Ö Ò f Ð Ö Ø Òµ Ò¹ Ò Ø Ò ỹ ÖÑ ØØ ÐØ Ä ÙÒ º Ë x = f(y) Ü Ø Ä ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ü Ø Ò Ò Ò Ø Ò yº ÒÒ Þ Ò Ò Û Ö Ñ Ø x x Ò ÓÐÙØ Ò Ð Ö Ö Ä ÙÒ º ÁÑ ÐÐ x 0 Ø x x Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ö Ä ÙÒ º x ½¾

14 Ö ÓÐÙØ Î Ö Ö Ò Ð Ö Ò Î Ö Ö Ò f Ø f(y) f(y) Ö Ö Ð ¹ Ø Ú Î Ö Ö Ò Ð Ö Ö f(y) 0 Ø º Î Ö Ö Ò f Ò ÒÒØ Ñ Ò f(y) f(y) f(y) ù ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Û ÒÒ Ö ÐÐ Ñ Ð Ò ÁÒ Ø ÒÞ Ò º º Ö ÐÐ Ñ Ð ¹ Ò Ò Ò Ø Òµ y Ò Ä ÙÒ ÖÑ ØØ ÐØ Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ð Ö Ñ Ü Ñ Ð K Ø Û ÒÒ Ð Ó Ö ÐÐ y ÐØ f(y) f(y) f(y) K. Ö ÙÖ Ð Ö Ø Ò Ò Ø Ò ÖØÖ Ò ÓÐÙØ Ð Ö Ø f(ỹ) f(y) Ö ÙÖ Ð Ö Ø Ò Ò Ø Ò ÒØ Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ø º f(ỹ) f(y) f(y) Å Ø Ñ Ð ØÞØ Ò ÒÒØ Ò Ð Ö Û Ö Ò Û Ö ÙÒ Ò Ò ØØ ½º Ò Ö Ø ¹ Òº À Ö Ù Ò Û Ö ÙÒ ÞÙÒ Ø ØÞÙÒ ÖÙ Ð Ö Ñ Ô Ð Ö Ö ÒÙÒ Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ exp(x) = x j j=0 Òº Ò Ñ Ð j! Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Ö ÒÙÒ ÚÓÒ exp(x) Ö x R Ø Ø Ò Ö Ù Û ÖØ Ò Ö n¹ø Ò È ÖØ Ð ÙÑÑ P n (x) = ÁÒ Ò Þ ÒÙÒ Ò ÚÓÒ Ò Ø ÓÒ ½º Ø f(x) = P n (x) ÙÒ f(x) = exp(x)ºµ Ï Ö Ò Ñ Ò Ò n > x Û ÐØ ÛÙÖ º Ö x < 0 Ö ÐØ Ñ Ò ÒÒ Ò ÓÐÙØ Ò ÖÙ Ð Ö x j exp(x) P n (x) = j! ÙÒ Ö x 0 ÒÒ Ñ Ò exp(x) P n (x) = j=n+1 x n+1 (n + 1)! x n+2 x n+1 (n + 1)! j=n+1 n j=0 x j j!. (n + 2)! + x n+3 (n + 3)! }{{} 0 x j j! j=0 x j j! x n+4 (n + 4)! + x n+5... (n + 5)! }{{} 0 x n+1 x n+1 = exp(x) (n + 1)! (n + 1)! ØÞ Òº ÁÒ Ò Ö Ð Ò Ò ÍÑ ÙÒ ÚÓÒ ÆÙÐÐ Ø Ñ Ò Ð Ó Ð Ò ÓÐÙØ ÙÒ Ö Ð Ø Ú µ Ð Öº Î Ö Ö Ò exp(x) ÙÖ Ù Û ÖØÙÒ Ö n¹ø Ò È Ö¹ Ø Ð ÙÑÑ ÞÙ Ø ÑÑ Ò Ø Ð Ó Ö ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ð Ò x Ò K = x n+1 ¹ (n+1)! ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ï Ð x n+1 = o ((n + 1)!) ÒÒ Ñ Ò Û Ò Ø Ð exp(x) Ð Ò Ù ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Ò Ñ Ñ Ò n Û Ò Ð Øº ½

15 Ï Ò Ò Û Ö ÙÒ ÒÙÒ Ò Ò Ö ÆÙÑ Ö ÓÒ Ö Û Ø Ò ÊÙÒ ÙÒ Ð ÖÒ ÙÒ Ö Ö ÓÖØÔ ÒÞÙÒ ÞÙº ÞÙ Ñ Ò Û Ö Û Ò Û Ö ÐÐ Ð Ò Ù Ê ¹ Ò ÒÐ Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº Ð Ø Ö Ø ÐÐÙÒ ÙÖ Ð Ø ÓÑÑ ¹ Þ Ð Ò Ò Ø ÓÒ ½º Ë B 2 Ò ÒÞ Ðº Ò ÔÓ Ø Ú B¹ ÙÒ m¹ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÖØ Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Ø ÓÖÑ x = 0 Ó Ö x = B e 1 k= m x k B k Ñ Ø e ZZ, x 1 0, x k {0, 1,..., B 1} Ö k = m,..., 1. Å Ò Þ Ò Ø ÒÞ Ð e Ð ÜÔÓÒ ÒØ Ò B 2 Ð x k k = m,..., 1 Ð ÖÒ ÙÒ 1 k= m x kb k Ð Å ÒØ º Ö Ø m Ò Ö Ò Û Ö rd m (x) Ð Ù m ËØ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò Ð Ø ÓÑÑ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ x ÙÒ rd m (x) Ð Ù m ËØ ÐÐ Ò ÖÙÒ Ø Ð Ø ÓÑÑ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ xº Ô Ð Ð Ð Ø Ð Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Þ Ð Ö B = 10 Ö Ø ÐÐ Ò Ð = = 10 3 ( ) = Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÚÓÒ ½¾ º Ø Ð Ó e = 3 Å ÒØ Ø ÙÒ Ñ ÚÓÖÐ ¹ Ò Ò ÐÐ Ö Ò m = 5 ÖÒ ÙÑ Ð Ü Ø ÖÞÙ Ø ÐÐ Òº Ö m = 4 Ø rd 4 (123.45) = 10 3 ( ) = rd 4 (123.45) = 10 3 ( ) = Ù Ú Ö ËØ ÐÐ Ò ÖÙÒ Ø ÞÛº Ò ØØ Ò Ð Ø ÓÑÑ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ º ÁÒ Ê Ò ÖÒ Ú ÖÛ Ò Ø Ñ Ò Ò Ö Ê Ð B = 2 ÙÒ Ò ËØ ÐÐ ÒÞ Ð ÚÓÒ m = 52 ÙÑ Ñ Ø Ò Ñ Û Ø Ö Ò ÎÓÖÞ Ò Ø ÙÒ ½½ Ø Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ñ Ø Ò ÑØ Ø ÔÖÓ Ð Ù ÞÙ ÓÑÑ Òº Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Ò Ö ÒØ Ö Ò Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ò Ù Ø Ö Ð Ö Ø ÐÐÙÒ º Ë ØÞ ½º Ö Ò m ËØ ÐÐ Ò Ò ØØ Ò B¹ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ x ÐØ ÊÙÒ ÙÒ ØÞ x rd m (x) x eps Ñ Ø eps = B 1 m º º Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ø Ð Ò Ö Ð ½ 1 B m 1 º

16 Û Ë x > 0 ÙÒ x = n(x) k= b k B k B¹ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ x Ñ Ø ÖÒ b k {0,...,B 1} B 2 ÙÒ Ò Ö Ö Ò Ò Ö b n(x) 0 Ñ Ø Ò Ö ÒÞ Ò Ð n(x)º ÆÓÖÑ ÖÙÒ Û Ò Ò Ø ÓÒ ½º Ö Ø x = B 1+n(x) ÛÓÖ Ù Û Ö Ö Ò Ò ÒÒ Ò 1 x rd m (x) = B 1+n(x) k= m 1 = B 1+n(x) k= m 1 B 1+n(x) k= 1 k= b n(x)+1+k B k, b n(x)+1+k B k B 1+n(x) b n(x)+1+k B k = B 1+n(x) m µ x B 1 m, 1 k= m b n(x)+1+k B k (B 1)B k Û Ð b i {1,...,B 1} i Û Ð x b n(x) B n(x) B n(x) º ÍÑ µ ÞÙ Ö Ø ÖØ Ò ÙÑÑ Ö Ò Û Ö Ù m 1 k= ( 1 (B 1)B k = (B 1) B k=m+1 ( ( ) k 1 m ( ) ) k 1 = (B 1) B B k=0 k=0 ( 1 = (B 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 m+1 ) ( B ) 1 B 1 1 B ( ) m+1 ( ) m = (B 1) 1 1 =. B B B ) k Ò ÐÐ x < 0 Ò ÐØ Ñ Ò Ò ÐÓ º É À ÙØ Ê Ò Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ó ÐÐ Ö ÐÐ Ð Ò Ñ Ø Ò Ñ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ö ÚÓÒ eps = Öº ½ Ø Þ Ñ Ð Ø ÐÐ Ø Ð Ó Ù Ò Ø Ò Ò Ùº Ö Ö ÙÐ ÖÛ Ø Ù Ò Ñ Ø Ò Ê Ò ÒÐ Ò Û Ö¹ Ð Ø Ø Ù ÐÐ ÒÞ ÐÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò +.,, / Ö Ù sin,, exp...µ Ù ½

17 Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Ò Ñ Ø Ò Ñ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ö eps = 2 51 Ù ÖØ Û Ö Òº Ð Þ Ò Ø Ñ Ò eps Ù Ð Å Ò Ò Ò Ù Øº Ò¹ ÒÓ ÒÒ Ò ÒØ Ø Ò Ò ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ñ Î ÖÐ Ù Ò Î Ö Ö Ò Ú Ö Ö ÖÒº Ö ÑØ µ ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ò Î Ö Ö Ò ÒØ Ø Ø ÙÖ ÊÙÒ ÙÒ Ö Ò Ø Ò Ù Ð Ø ÓÑÑ Þ Ð Ò ÙÖ ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ö ÒÞ ÐÒ Ò Ð Ø ÓÑÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÛ ÙÖ ÓÖØÔ ÒÞÙÒ Ö Ò Ð Ö ÙÒ Ö ÒÞ ÐÒ Ò ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ò ÓÐ Ò Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Òº ÁÑ Ò Ø Ò Ò ØØ Û Ö Ò Û Ö ÙÒ Ö Ñ Ø Ö ÖØÖ ÙÒ ÚÓÒ Ð ÖÒ Ø Òº ½º Ð Ö ÓÖØÔ ÒÞÙÒ ÃÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ ËØ Ð ØØ ÁÒ Ö ÒÙÑ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ø Ò Î Ö Ö Ò Ø Ð Û ÒÒ Ò Ö Ð Ò Ò ËØ ÖÙÒ Ò Ö Ø Ò ÙÒ ÑÔ Ò Ð Øº ÁÒ ÓÒ Ö ÙØ Ø ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ò Ø ÞÙ Ø Ö Ù Ö ÒÙÒ Ù Û Ö Òº Þ ÙÒ ÞÛ Ò ÃÓÒ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÙÒ ËØ Ð ØØ Ð Ø Û ÓÐ Ø Ö Ò f(y) Ñ Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ö y ÙÒ f Ö ÒÙÑ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÓÛ ỹ Ø Ö¹ Ø Ò Ò Ò Ø Òº Æ Ò Ø ÓÒ ½º ÒØ Ö Ö Ò Û Ö ÙÒ Ö Ò ÓÐ Ò Ò ÓÐÙØ Òµ Ð Ö f(ỹ) f(y). Å Ø Ö Ö ÙÒ Ð ÙÒ ÐØ f(ỹ) f(y) = f(ỹ) f(ỹ) + f(ỹ) f(y) f(ỹ) f(ỹ) + f(ỹ) f(y). À Ö Ø Ö Ö Ø Ð Ö¹Ì ÖÑ Ù Û ÙØ Î Ö Ö Ò f Ñ Î Ö Ð Ñ Ø Ö Ü Ø Ò Ä ÙÒ f ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÖØ Ò Ò Ò Ø Ò ỹ Ú Ö Ðغ Ö Ì ÖÑ Ø Ð Ò Û ÒÒ Î Ö Ö Ò Ø Ð Øº Ö ÞÛ Ø Ì ÖÑ Ò Ø Ò Ò Ø ÚÓÒ Ñ Î Ö Ö Ò ÓÒ ÖÒ Ù Ð Ð ÚÓÒ Ñ ÈÖÓ Ð Ñº Ö Ø Ð Ò Û ÒÒ ÈÖÓ Ð Ñ ÙØ ÓÒ Ø ÓÒ ÖØ Øº ËØ Ð ØØ Ø Ð Ó Ò Ò Ø Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒ ÃÓÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÈÖÓ Ð Ñ º ÁÑ Ò ÐÙ Ò Ò Ð ØÞØ Ò Ò ØØ ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÒÙÒ Ò ÞÛ Ø Ò Ì ÖÑ Û ¹ Ø Ö ÙÒØ Ö Ù Òº Ï Ö Ñ Ø Ò Ð Ó Ò ÐÝ Ö Ò Û Ö Ð Ø Ú Ð Ö Þº º ÙÖ ÊÙÒ ÙÒ ÒØ Ø Ò Ò Ò ÒÒ Òµ ÙÖ Ú Ö Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÖع Ô ÒÞ Ò Û ÒÒ Ü Ø Ù ÖØ Û Ö Òº ÞÙ ØÖ Ø Ò Û Ö ÞÙÒ Ø ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò +,, /º ½

18 Ä ÑÑ ½º Ë Ò x, y R \ {0} Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ò Ð ÖÒ ε x = x x x, ε y = ỹ y y. Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ö Ö Ø ÓÒ ÐØ x + ỹ (x + y) x + y ε x x x + y + ε y y x + y. Û Æ Ö Ò Ò Þ Ø x + ỹ (x + y) x x + ỹ y x + y x + y = x ε x + y ε y x + y x = ε x x + y + ε y y x + y. É À Ò x ÙÒ y Ð ÎÓÖÞ Ò Ó Ö Ø Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ð Ö ÚÓÒ Ø Ò ε x +ε y º Ò ÒÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ö ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÞÛ Ð Ò x, y Ð Ò ÎÓÖÞ Ò Ð Ó Ö Ø ÓÒ ÚÓÒ x ÙÒ yµ Ò Ñ Ð ÖÛ Ö ÖÓ Ò Ï ÖØ x ε x x y + ε y y x y ÖÖ Òº Ä ÑÑ ½º Ë Ò x, y R \ {0} Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ò Ð ÖÒ ε x = x x x, ε y = ỹ y y. ÍÒØ Ö Î ÖÒ Ð ÙÒ ÚÓÒ ÈÖÓ Ù Ø Ò ÚÓÒ Ð ÖÒ Ð Ø Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ØÞ Ò ÙÖ xỹ xy xy ε x + ε y ÙÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ö Ú ÓÒ Ò ÐÐ ÙÖ x ε x + ε y. ỹ x y x y Û Ù Ö Ö Ò Ò Û Ö Ò xỹ xy xy = ( x x)ỹ + x(ỹ y) x x ỹ + x ỹ y xy xy ỹ = ε x y + ε y = ε x ε y + ε x + ε y, ½

19 ÛÓ Ñ Ð ØÞØ Ò Ë Ö ØØ Ù ÒÙØÞØ ÛÙÖ ỹ ỹ y y + y y y = ε y + 1. Î ÖÒ Ð Ò Û Ö ÒÙÒ ÈÖÓ Ù Ø ÚÓÒ Ð ÖÒ Ö ÐØ Ò Û Ö Û Ò Ø Ö¹ Ò º ÐØ ÒÓ Ð Ö ÖØÖ ÙÒ Ö Ú ÓÒ x x ỹ y x y = xy xỹ y yỹ x = ( x x)y + x(y ỹ) x y ỹ y y ε x ỹ + ε y y ỹ = (ε x + ε y ), ÛÓ Ö Ñ Ð ØÞØ Ò Ë Ö ØØ Ú ÖÛ Ò Ø ÛÙÖ y ỹ y + ỹ ỹ y ỹ = 1 + y ỹ y ỹ y 1 + ε y ỹ 1 + ε y y(1 + ε y ỹ = 1 + ε y + ε 2 y y ỹ 1 + ε y + ε 2 y + ε 3 y ỹ... Î ÖÒ Ð Ò Ö ÈÖÓ Ù Ø ÚÓÒ Ð ÖÒ Ö Ø Ù Ö Û Ò Ø Ö¹ Ò º É ÆÓØ Ø ÓÒ ½º ÃÓÒ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ñ ÙÒ Ò Ø Ø Ò ÐÐ Ù ¹ ØÖ Ø Ò Î Ö Ö ÖÙÒ ØÓÖ Ö Ò Ò Ù ÚÓÒ Ö Ð Ø Ú Ò Ò Ò Ð ÖÒ Ù Ö Ð Ø Ú Ö Ò Ð Öº Á Ø ÃÓÒ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÖÓ Ó ÔÖ Ø Ñ Ò ÚÓÒ Ò Ñ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÖØ Ò ÈÖÓ Ð Ñº Á Ø ÞÙ ØÖ Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ú ÓÒ ÚÓÒ ÞÛ ¹ Ð Ò º º f(x, y) = x y Ó Ö f(x, y) = x µ Ó Ò Û Ö Ö Ø Þ Ø y f( x,ỹ) f(x,y) f(x,y) Ð Ò Ø ÁÑ Ð ÑÑ Ø Ò ÐÐ Ø Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ö Ò ¹ Ø ÓÒ Ö ØÖ Ö Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ö ε y + ε y Ö Ò Ò Ö Ò x ÙÒ y ÞÙ ÖÛ ÖØ Òº ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ó ÙØ ÓÒ Ø ÓÒ Öغ ØÖ Ø Ò Û Ö ÒÙÒ ¹ Ø ÓÒ À Ò Ò ÞÙ Ö Ò Ò Ð Ò Ð ÎÓÖÞ Ò Ó Ò ØÓÖ Ò x ÙÒ y Ù Ä ÑÑ ½º ÙÖ ½ ÖÒ Ø Ó Û Ö x+y x+y Û Ö Ò ÙØ ÃÓÒ Ø ÓÒ Ö ÐØ Òº Ö Ø ÓÒ ÚÓÒ Ð Ò Ú Ö Ò Ò ÎÓÖÞ Ò Ð Ó Ö ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ð Ò Ð Ò ÎÓÖÞ Ò µ ÒÒ Ò x Ò ØÓÖ Ò ÙÒ y Ò Ð ÖÓ Û Ö Òº ÈÖÓ Ð Ñ x y x y Ø Ð Ó Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ Öغ Ï Ö ÑÓÒ ØÖ Ö Ò Ò Ò Ñ Ô Ð ½

20 Ê Ò Ò Û Ö Ñ Ø ¹ Ø ÐÐ Ö Ò Ù Ø ÙÒ Ù ØÖ Ö Ò Ò ¹ Ø ÐÐ Ò Ð Ò x = ÙÒ y = º Ò ÒÓÑÑ Ò Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö ÚÓÒ x ØÖ Ø ÒÙÖ ε x = 0.1 Ð Ó Þº º x = ÙÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö ÚÓÒ y Ø Ó Ö ÆÙÐÐ ỹ = yµº ÒÒÓ Ö Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ð Ö Ö Ö ÒÞ ÚÓÒ ε x y = x ỹ (x y) x y = = ÙÒ Ó ÛÓ Ð Û Ö Ü Ø Ö Ò Ø Ò Ò Ñ Ô Ð Ò Û Ö ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÞÛ Ð Ò Ð Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÖØ Ø Û ÒÒ Ò ÞÙ Ù ØÖ Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ð ÖÓ Ò º Ö Ø Û Ö ÒØ ÔÖ Ò Ù Ð Ù Ð ÙÒ Þ Ò Øº Ö Ø Ò ÖÒ Ø¹ ÞÙÒ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Û Ò ØÐ Ò Ê Ò Òº Å Ò ÓÐÐØ Ö Û ÒÒ Ö Ò Û Ñ Ð Ø Ö ÒÞ Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ Ø Ð ÖÓ Ò Ð Ò Ú ÖÑ Ò Ó Ö ÞÙÑ Ò Ø Ñ Ð Ø ÞÙÑ Ë ÐÙ Ò Î Ö Ö Ò Ù Ö Ò Ò Ù Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ë ØÙ Ø ÓÒ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ö ÒÙÒ ÚÓÒ Ð ØÙÒ Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f : R R Ö Ù ÖÙ f(x + h) f(x) h ÖØ Ð Ò Ò Ï ÖØ Ò ÚÓÒ h h > 0 ÑÑ Ö ÞÙ Ò Ö Ù Ð ÙÒ Ö Ö ÒÞ Ò Ð ÙÒ º Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ð Ö ÚÓÒ Ñ Ü Ñ Ð ε Ò Ö Ö ÒÙÒ Ö f¹ï ÖØ Ø Ö Ö ÒÞ Ò Ð ÙÒ Ò Ä ÑÑ ½º Ð ÑÑ Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ö ÚÓÒ ε f(x+h) f(x) f(x + h) f(x + h) f(x) ε f(x+h) + f(x) f(x + h) f(x) ε f(x) f(x + h) f(x + h) f(x) ε + f(x) f(x + h) f(x) ε f(x + h) + f(x) = f(x + h) f(x) ε 2ε f(x) hf (x) ÞÙÖ ÓÐ º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð Ó Ö Ð Ò Ï ÖØ ÚÓÒ h Ó Ö ØÖ Ñ Ð Ò Ï ÖØ ÚÓÒ f (x)µ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ Öغ Å Ò Ø Ö Ò Ò Ö Û Ñ Ð Ö Ð Ò Ï ÖØ ÚÓÒ h Ø Ù Ð ÙÒ ÖÓ Ö ÖÓ h Ø Ò Ö ¹ Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö ÖÓº Ò Û Ø Ö ØÖ ØÙÒ Ò Ö Ò ÞÙ Ö Ù ØÖ Ð h ε Þº º Ò Ë ÙÒ Ï Ò Ð Ò ¾¼¼ Ò Ð Ò Û Ö Ò ÒÒº ½

21 Ã Ô Ø Ð ¾ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ò ¾º½ Ö ÙÒ ÖÙÒ Ð Ò Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÞÙÒ Ø Ò Ø Ò ÆÓØ Ø ÓÒ Ò Ò Ö Ò ÙÒ Ò Ö ÙÒ Ö Ò Ù Ö Ä Ò Ö Ò Ð Ö Û Ö ÓÐ Òº ÆÓØ Ø ÓÒ ¾º½ A IK m,n Þ Ò Ò Ö ÐÐ Ó Ö ÓÑÔÐ Ü m n Å ØÖ Ü º º Ò Å ØÖ Ü Ñ Ø m Ð Ò ÙÒ n ËÔ ÐØ Òº Ï Ö Ö Ò A = (a ij ) i=1,...,m, j=1,...,n a 11 a a 1n a 21 a a 2n = º º º ºº º = ( ) A 1 A 2... A n = a m1 a m2... a mn Þ Ò Ò a ij Ð Ñ ÒØ Ö Å ØÖ Ü A A j ËÔ ÐØ Ò Ö Å ØÖ Ü ÙÒ a i Ö Ð Ò i = 1,...,m, j = 1,...,nº ÐØ m = n Ó Ò ÒÒØ Ñ Ò Å ØÖ Ü ÕÙ Ö Ø º Å ØÖ Þ Ò ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò Ö ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ø Å ØÖ ÜÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÑÙØ Ø Úº Ò Ø Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÕÙ Ö Ø Ò Å ØÖ Þ Ò Ø I IK n,n Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ò e ij = 0 Ö ÐÐ i j e ii = 1, i = 1,...,nº Ø ÞÙ Ò Ö Å ØÖ Ü A Ò Å ØÖ Ü A 1 Ñ Ø A A 1 = A 1 A = I Ó Ò ÒÒØ Ñ Ò A ÒÚ ÖØ Ö Öº Ï Ö ÒÒ Ò ØÞØ Ò Ö Ò Û Ò Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ø Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Ò Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ax = b ¾¼ a 1 a 2 º a m.

22 Ø Ò ÙÖ Ò Å ØÖ Ü A IK m,n Ò Ò Î ØÓÖ b = (b 1,...,b m ) T IK m ÙÒ n Î Ö Ð Ò x 1,...,x n Ö Ò Ð Î ØÓÖ x = (x 1,..., x n ) T º Ù ¹ Ö Ò Ö ÐØ Ñ Ò m Ð ÙÒ Ò a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 º º a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. ÐÐ b = 0 Ò ÒÒØ Ñ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÑÓ Òº Á Ø m < n Ó Ø Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÙÒØ Ö Ø ÑÑغ Ä Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ù ÔÖÓ Ò Ú Ð ÒÛ Ò ÙÒ Òº Ò Ö Ø Ø Ù Ò Ö Ø Ð ÔÖ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ö Ö Ø Ò Ò Û Ø ¹ Ö Ù Ø Ò Ö Ú Ð ÒÙÑ Ö Î Ö Ö Ò Þº º ÞÙÖ ÒÙÑ Ö Ò Ä ÙÒ ÚÓÒ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Òº Ï Ö Û Ö ÓÐ Ò Ò Ö Ù Ö Ð Ò Ö Ò Ð Ö º Ë Ò A 1,..., A p IK n Î ØÓÖ Òº ÒÒ Þ Ò { p } span{a 1,..., A p } = α i A i : α i IK Å Ò Ö ÚÓÒ A 1,...,A p ÖÞ Ù Ø Ò Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ö À ÐÐ ÚÓÒ A 1,...A p µº Ë Ö Ø Ð Ö Ö ÒÒ ÖÒ Û Ö ÒÓ Ò Ò Ö Ö Ð Ò Ö Ò ÍÒ Ò Ø Î ØÓÖ Ò A 1,...,A p Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ò ÐÐ Ù p i=1 α ia i = 0 ÓÐ Ø α i = 0 Ö i = 1,...,pº ÒÞ Ð Ö Ð Ò Ö ÙÒ Ò Ò ËÔ ÐØ Ò ¹ Ò Ö Å ØÖ Ü A Ò ÖØ Ò ËÔ ÐØ ÒÖ Ò Ö Å ØÖ Ü ÙÒ Ö ÒØ ÔÖ Ø Ö Ñ Ð ÒÖ Ò º º Ö ÒÞ Ð Ö Ð Ò Ö ÙÒ Ò Ò Ð Ò ÚÓÒ Aº i=1 Ë ØÞ ¾º Ë A IK n,n º ÓÐ Ò Ò Ù Ò Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ µ A Ø ÒÚ ÖØ Ö Öº µ det(a) 0º µ ËÔ ÐØ Ò A 1,..., A n ÚÓÒ A Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ò º Úµ Ð Ò a 1,...,a n ÚÓÒ A Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ò º ¾½

23 Å ØÖ Ü A Ò ÒÒØ Ñ Ò Ò Ó Ñ ÐÐ Ù Ö ÙÐÖ Ó Ö Ò Ø Ò ÙÐÖº Ò m n Å ØÖ Ü A ÒÒ Ñ Ò Ð Ð Ò Ö Ð ÙÒ A : IK n IK m x Ax Ù Ò ÙÒ Ñ Ò ÒÒ Ñ ÒØ ÔÖ Ò Þº º ÚÓÑ Ã ÖÒ Ö Å ØÖ Ü ÔÖ Òº Kern(A) = {x IK n : Ax = 0} ÚÓÖ Û Ö ÒÙÑ Ö Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Ä ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÒØÛ ÐÒ Ò Û Ö Ò Ö Ò ÐÐ ÓÒ ÒÒØ Ò ÓÐÐØ Òµ Ö Ä Ö Ø Ð Ò Ö Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÞÙ ÑÑ Òº Ë ØÞ ¾º Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ax = b Ø Ò Ù ÒÒ Ñ Ò Ø Ò Ò Ä ÙÒ Û ÒÒ b span{a 1,...,A n }º Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ax = b Ø Ò Ù ÒÒ Ø Ò Ò Ä ÙÒ Û ÒÒ A 1,...,A n Ð Ò Ö ÙÒ Ò Ò º Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ax = b Ø Ò Ù ÒÒ Ò ÙØ Ð Ö Û ÒÒ Å ØÖ Ü A Ò Ø Ò ÙÐÖ Øº ÁÒ Ñ ÐÐ Ø x = A 1 b Ò ÙØ Ä ÙÒ º Ù Û Ò Ë Ë ØÞ ¾º Ö ÙÒØ Ö Ø ÑÑØ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ÐØ Û ÒÒ Ö ÙÔØ Ð Ö Ò Ò Ñ Ð Ò ÙØ Ð Ö Ò ÒÒ Ò Ë x Ò Ä ÙÒ Ð ÙÒ ¹ Ý Ø Ñ Ð Ó A x = bº ØÖ Ø Ò Û Ö ÒÙÒ ÒØ ÔÖ Ò ÓÑÓ Ò ËÝ Ø Ñ Ax = 0. Ï Ð m < n Ò Î ØÓÖ Ò A 1,...,A n IK m Ð Ò Ö Ò Ð Ó Ø Ò y 0 Ñ Ø Ay = 0º Ñ ÒØ ÔÖ Ò ÐØ x + y x Ö Û Ò A( x + y) = A x + Ay = b + 0 = b Ø Ù x+y Ò Ä ÙÒ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ º Ò Ù Ö Ð Ø Ä ÙÒ ¹ Ñ Ò ÙÖ { x + y : y Kern(A)} Ò Òº ÈÖÓ Ð Ñ Ax = b Ø Ð Ø Ø ÐÐØ Û ÒÒ Ò Ø Ò ÙØ Ð Ö Øº Ö Ø Ö Î Ö Ö Ò ÞÙÑ Ä Ò ÚÓÒ Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ¾¾

24 Å Ò ÙÒØ Ö Ø ÞÙÒ Ø ÞÛ Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø Ö Ø Ú Ò Î Ö Ö Òº Ò Ö Ø Ò Î Ö Ö Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ò Ð Ú Ð Ò Ë Ö ØØ Ò Ò Ä ÙÒ ÈÖÓ Ð Ñ º ÒÒØ Ø Ò ÖÚÓÒ Ò Ó Ò ÒÒØ Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ú Ö ¹ Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ë Ö ØØ Ò Ö n ÍÒ ÒÒØ Ò Ð Ñ Ò ÖØ Û Ö º ÞÙ Ö Ò Ù¹Î Ö Ö Ò Ò ØØ ¾º¾µ ÙÒ ÓÐ Ý¹Î Ö Ö Ò Ò ØØ ¾º µº ÉÊ¹Î Ö Ö Ò Ø Ò ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ÖÙÒ Ú Ö Ö Ò ÞÙÖ Ä ¹ ÙÒ Ð Ò Ö Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ó Ö ÞÙÖ Ò ÐÙÒ ÚÓÒ Ð Ò Ö Ò Ù Ð ¹ ÔÖÓ Ð Ñ Òº Û Ö Ò Ã Ô Ø Ð ÔÖÓ Òº ÁØ Ö Ø Ú Î Ö Ö Ò Ø ÖØ Ò Ñ Ø ¹ Ò Ö Æ ÖÙÒ Ð ÙÒ Ò Ñ Ë Ö ØØ Ú Ö ÖØ Û Ö º Ë Ò ÚÓÖ ÐÐ Ñ ÖÓ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ó Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ø Ô Þ ÐÐ Ö ËØÖÙ ØÙÖ Ö Å ØÖ Ü A ÒÒÚÓÐк Å Ø Ò Ò Û Ö Ò Û Ö ÙÒ Ò Ã Ô Ø Ð Ø Òº ¾º¾ Ù¹Î Ö Ö Ò ÙÒ Ä͹ ÖÐ ÙÒ Á ØÖ Ø Ò Û Ö Ð Ô Ð Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø A = 0 5 4, b = Ù Ö Ò Ö ÐØ Ñ Ò ÓÐ Ò Ø ÐØ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ 1x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 9 5x 2 + 4x 3 = 14 6x 3 = 6. Ö ØØ Ð ÙÒ 6x 3 = 6 ÒØ ÐØ ÒÙÖ Ò ÍÒ ÒÒØ ÒØ ÔÖ Ò Ð Ø Ö Ï ÖØ x 3 = 1 Ø ÑÑ Òº Ë ØÞØ Ñ Ò Ò Ò ÞÛ Ø Ð ÙÒ Ò Ö ÐØ Ñ Ò 5x 2 = 10 Ð Ó x 2 = 2º Ë ØÞØ Ñ Ò Ð Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ï ÖØ Ò Ö Ø Ð ÙÒ Ò Ö Ø x 1 = 1º Á Ù¹Î Ö Ö Ò ÒÙØÞØ ÒÙÒ Ò Ä Ö Ø Ø ÐØ Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Û Ö Ò Ò Ø Ð¹ Ø Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ ÙÒ ÒÒ Ð Øº ÓÖÑ Ð Ö Ò Û Ö ÞÙ ÞÙ¹ Ò Ø Û Ñ Ò ÓÐ Ø ÐØ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ö Ò ÙÒ Ð Ò ÒÒº Ò Ø ÓÒ ¾º Ò ÕÙ Ö Ø Å ØÖ Ü A IK n,n Ø ÙÒØ Ö Ö Ñ ¹ ØÖ Ü ÐÐ a ij = 0 Ö ÐÐ i < jº A Ø Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü ÐÐ a ij = 0 Ö ÐÐ i > jº Ò Ö Ñ ØÖ Ü Ø ÒÓÖÑ ÖØ ÐÐ a ii = 1 Ö i = 1,...,nº Á Ø A Ò Ö Ñ ØÖ Ü Ó Þ Ò Ø Ñ Ò Ax = b Ð Ø ÐØ Ð ÙÒ ¹ Ý Ø Ñº Ñ Ö ÙÒ Ò n n¹ Ö Ñ ØÖ Ü Ø Ò Ù ÒÒ Ö ÙÐÖ Û ÒÒ a ii 0 Ö ÐÐ i = 1,..., nº ¾

25 Ä ÑÑ ¾º Ä Ò ÙÖ Ê ÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒµ Ë A Ò Ó Ö Ö ¹ Ñ ØÖ Ü Ñ Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò a ii 0 Ö i = 1,...,nº Ä ÙÒ ÚÓÒ Ax = b Ð Ø ÒÒ Ù Þ Ú ÙÖ Ø ÑÑ Òº x j = 1 a jj ( b j n k=j+1 a jk x k ), j = n,...,1 Û ÐØ Ø Ö ÓÖÑ Ð ÖÔÖ Ø Ñ Ò Ò ÐÐ Ù Ò ÚÓÒ j = nµº É Ç Î Ö Ö Ò Ø Ä Ò ÙÖ Ê ÛÖØ Ò ØÞ Ò Ó Ö Ê ÛÖØ Ð Ñ Ò ¹ Ø ÓÒ Û Ð Ñ Ò Ñ Ø Ö Ð ØÞØ Ò Ð ÙÒ ÒÒغ Ò ÐÓ ÒÒ Ñ Ò Ø ÐØ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü ÙÖ ÎÓÖÛÖØ Ò ØÞ Ò Ð Ò Ä ÑÑ ¾º Ä Ò ÙÖ ÎÓÖÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒµ Ë A Ò ÙÒØ Ö Ö ¹ Ñ ØÖ Ü Ñ Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò a ii 0 Ö i = 1,...,nº Ä ÙÒ ÚÓÒ Ax = b Ð Ø ÒÒ Ù Þ Ú ÙÖ Ø ÑÑ Òº x j = 1 a jj ( ) j 1 b j a jk x k, j = 1,..., n k=1 Ù Û Ò Ñ Ä Ò ÙÖ Ê ÛÖØ Ò ØÞ Ò Ó Ö Ä Ò ÙÖ ÎÓÖÛÖØ ¹ Ò ØÞ Òµ Ò Ø Ø Ñ Ò n Ú ÓÒ Ò 1n(n 1) ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÙÒ 1 n(n 1) 2 2 ËÙ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ð Ó Ò Ò ÑØ Ù Û Ò ÚÓÒ Ç n 2 µº Ò Ø ÓÒ ¾º Ò ØÓÖ ÖÙÒ Ò Ö Å ØÖ Ü A IK n,n Ö ÓÖÑ A = LU Ñ Ø Ò Ö Ö ÙÐÖ Ò ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Ü L ÙÒ Ò Ö Ö ÙÐÖ Ò Ó Ö Ò Ö ¹ Ñ ØÖ Ü U Ø LU¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ Aº Á Ø Ò LU¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A ÒÒØ Ó Ð Ø Ä ÙÒ Ð ÙÒ ¹ Ý Ø Ñ Ax = b ÙÖ Ä Ò ÚÓÒ ÞÛ Ø ÐØ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò ¹ Ø ÑÑ Ò ÙÖ ÎÓÖÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ñ Ò ÞÙ Ö Ø Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Lz = b ÙÒ Ò Ð Ò ÙÖ Ê ÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ó Ö ÐØ Ò Ä ÙÒ x Ö ÐÐØ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÑ Ø Ò Ä ÙÒ ÚÓÒ Ax = bº Ux = z. Ax = LUx = Lz = b ÚÓÖ Û Ö ÙÒ Ò Ò Û Ñ Ò Ò Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ò Ø Ð¹ Ø Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ú ÖÛ Ò ÐØ ÞÙÒ Ø ÒÓ ÓÐ Ò Ó ØÙÒ º ¾

26 Ë ØÞ ¾º ÓÐ Ò Å Ò Ò Ò ÖÙÔÔ Ò Þ Ð Ö Å ØÖ ÜÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Å Ò Ö Ö ÙÐÖ Ò Ó Ö Ò Ö Ñ ØÖ Þ Ò Å Ò Ö Ó Ö Ò ÒÓÖÑ ÖØ Ò Ö Ñ ØÖ Þ Ò Å Ò Ö Ö ÙÐÖ Ò ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Þ Ò Å Ò Ö ÙÒØ Ö Ò ÒÓÖÑ ÖØ Ò Ö Ñ ØÖ Þ Òº Û Ë Ò Ö Ó Ò Ò ÒÒØ Ò Å Ò Òº Ù Þ Ò Ø ¼µ A, B A B º ½µ A (B C) = (A B) C Ö ÐÐ A, B, C º ¾µ Ò Ø Ñ ØÖ Ü I º µ A A 1 º ½µ Ø Ö ÐÐ Å ØÖ Þ Ò Ö Ø ÙÒ ¾µ Ø Ð Öº Ï Ö Þ Ò Ð Ó ¼µ ÙÒ µ Ö Å Ò Ö ÒÓÖÑ ÖØ Òµ Ó Ö Ò Ö Ñ ØÖ Þ Òº Ö ÙÒØ Ö Ö ¹ Ñ ØÖ Þ Ò Ú ÖÐÙ Ø Ö Û Ò ÐÓ ºµ ¼µ Ë Ò A, B ÙÒ C = (c ij ) = ABº ÒÒ Ø c ij = n a ik b kj = k=1 j a ik b kj, Û Ð a ik = 0 Ö i > k ÙÒ b kj = 0 Ö k > jº Ö i > j ÐØ Ð Ó c ij = 0 ÙÒ Ñ Ø Ø C Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Üº Å Ò Ø Ê ÙÐ Ö ØØ Ö Å ØÖ Þ Ò A ÙÒ B Ö Ö Ò Ø Ò Ø Øºµ k=i Ë Ò A, B Û Ø Ö Ò ÒÓÖÑ ÖØ Ó Ù C ÒÒ c ii = a ii b ii = 1. µ Ë A Ö ÙÐÖ ÙÒ A 1 = B = (b ij ) ÁÒÚ Ö ÚÓÒ Aº ÒÒ ÐØ Ö ËÔ ÐØ Ò B 1, B 2,...,B n ÚÓÒ Ö ÁÒÚ Ö Ò AB k = e k. Ö k {1,..., n} ÒÒ B k = (b 1k, b 2k,...,b nk ) T Ð Ó Ð Ä ÙÒ ÚÓÒ Ax = e k Ù Ø Û Ö Òº Æ Ä ÑÑ ¾º ÓÐ Ø b jk = 0 Ö j = n, n 1,...,k + 1 ÙÒ b kk = 1 a kk Ð Ó Ø B Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü Ö Ò ÒÓÖÑ ÖØ Å ØÖ Ü A Ù Û Ö ÒÓÖÑ ÖØ Øº Å Ò Ø Ö ÓÒ Ö Ø ÓÐ Ò Ù É Ä ÑÑ ¾º½¼ À Ø Ò Ö ÙÐÖ Å ØÖ Ü A Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ñ Ø ÒÓÖÑ ÖØ Ö ÙÒ¹ Ø Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü L Ó Ø Ò ÙØ º ¾

27 Û Ï Ð det(a) 0 Ò Ù Å ØÖ Þ Ò L, U Ñ Ø A = LU Ö ÙÐÖº Ë ÒÙÒ A = L 1 U 1 = L 2 U 2 º Ø Û Ò Ö Ê ÙÐ Ö ØØ ÐÐ Ö Ø Ð Ø Ò Å ØÖ Þ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ U 1 U2 1 = L 1 1 L 2. Ï Ò Ë ØÞ ¾º Ø Ø Ð Ò Ò Ó Ö ÙÒ Ö Ø Ò ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Üº ÍÑ Ð Ø ÞÙ Û Ö Ò ÑÙ Ð Ó U 1 U 1 2 = I = L 1 1 L 2 ÐØ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ÔÖ Ò ÓÐ ÖÒ Û Ö L 1 = L 2 ÙÒ U 1 = U 2 º É Ö Ö Ñ ØÖ Þ Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ð Ó Ò¹ º Ï Ö Ñ Ø Ñ Ò Û ÒÒ ÃÓ Þ ÒØ ÒÑ ØÖ Ü Ò Ø Ò Ö ÓÖÑ ÚÓÖÐ Ø Á Ù¹Î Ö Ö Ò Ø Ø ÒÒ Ö Ò Å ØÖ Ü ÙÖ Ð ¹ Ñ ÒØ Ö Ð ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ò Å ØÖ Ü Ò Ö ÓÖÑ ÞÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Òº ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø À Ð Ö ÓÐ Ò Ò Å ØÖ Þ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ò Ø ÓÒ ¾º½½ Ö Ò Ò Î ØÓÖ l (k) = (0,..., 0, t k+1,..., t n ) T IK n Ñ Ø 1 k n ÙÒ Ñ k¹ø Ò Ò Ø Ú ØÓÖ e k IK n Ø Ù¹Å ØÖ Ü M k Ò ÖØ ÙÖ 1 M k := I n l (k) e T k = 1 º ºº 1 t k+1 1 º º ºº t n 1 Ë ÑÑ ÐÒ Û Ö ÞÙÒ Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù¹Å ØÖ Þ Òº Ä ÑÑ ¾º½¾ Ë M k ٹŠØÖ Ü Þ Ð Ò Î ØÓÖ l (k) = (0,...,0, t k+1,...,t n ) T º ½º det(m k ) = 1 ¾º M 1 k = I n + l (k) e T k Û Ù¹Å ØÖ Þ Ò ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Þ Ò Ò ÓÐ Ø Ö Ö Ø Ì Ð Ä ÑÑ º Ö Ò ÞÛ Ø Ò Ì Ð Ö Ò Ø Ñ Ò Ò M k M 1 k = (I n l (k) e T k )(I n + l (k) e T k ) = I n + l (k) e T k l(k) e T k l(k) e T k l(k) e T k = I n, ÛÓ Ñ Ð ØÞØ Ò Ë Ö ØØ Ù ÒÙØÞØ ÛÙÖ e T k l(k) = 0 Ðغ Ò ÐÓ Ö ÐØ Ñ Ò M 1 k M k = I n É ¾.

28 ÅÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ù¹Å ØÖ Ü M k ÚÓÒ Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Å ØÖ Ü A Ó Ö ÐØ Ñ Ò Ð Ö Ò Ò Å ØÖ Ü A Ù A ÒØ Ø Ø Ò Ñ Ñ Ò t j ¹Ø Πй Ö k¹ø Ò Ð a k ÚÓÒ A ÚÓÒ Ö j¹ø Ò Ð Þ Ø Ö j = k + 1,...,nº ÁÒ ÓÖÑ ÐÒ Ö ÐØ Ñ Ò Ð Ó M k A = a 1 º a k a k+1 t k+1 a k º a n t n a k Å Ò Ò ÒÒØ ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ù ÒÛ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ð ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Òº Ä ÑÑ ¾º½¾ Ø ÒÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ð ÒÓÔ Ö Ø Ó¹ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ö Å ØÖ Ü Ò Ø Ú ÖÒ Öغ Ë ØÞØ Ñ Ò Ö Ò Ò Î ØÓÖ b = (b 1,...,b n ) T ÙÒ Ò Ð k {1,..., n} Ñ Ø b k 0 ( l (k) = 0,...,0, b k+1,..., b ) T n b k b k Ó Ö ÐØ Ñ Ò. M k b = (b 1, b 2,...,b k, 0,..., 0) T. ¾º½µ Ò Ù Û Ö Ñ Ù¹Î Ö Ö Ò ÞÙÖ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ö Å ØÖ Ü Ù Ö ¹ ÓÖÑ Ù ÒÙØÞغ ÓÐ Ò Î Ö Ö Ò Ø Ò Ö Ò Ò Ò ÓÖÑ ÞÙÖ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ ÐÐ Ö Ò ÙÒ Ò Ø Û Ð Å ØÖ ÜÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ÒÞ ØÑ Ò Ò Ó Ò Ù Û Ò ÙØ Òº Ò Þ ÒØ Ö Î Ö ÒØ Û Ö Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ù Ë Ø Ö Òº Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ Ù¹Î Ö Ö Ò Ó Ò ËÔ ÐØ ÒÔ ÚÓØ Ù Å ØÖ ÜÚ Ö ÓÒµ ÁÒÔÙØ A IK n,n Ë Ö ØØ ½ A (1) := A Ë Ö ØØ ¾ ÓÖ k = 1,...,n 1 Ó l (k) := 0,...,0 }{{} k Ñ Ð, a(k) k+1,k a (k) kk,..., a(k) n,k a (k) kk T M k A (k+1) := I n l (k) e T k := M k A (k) ¾

29 Ö Ò LU ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ñ Ø U := A (n) L := M 1 1 M 1 2 M 1 n 1 Ï Ö Ñ Ò ÒÙÒ Þ Ò Ó Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÐØ Û Ö Ú Ö ÔÖ Ø º º Û Ö Ð A = LU ÐØ ÙÒ L Ò ÙÒØ Ö ÙÒ U Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü Øº Ù Ö Ñ ÑÙ ÙÖ Ö Ö Ø Î Ö Ö Ò ÙÒØ Ö Ù Ø Û Ö Ò ÒÙÖ ÒÒ Û ÖÐ Ø Ø Ø Û ÒÒ a (k) kk 0 Ö ÐÐ k = 1,..., n 1º ÞÙ ØÖ Ø Ò Û Ö À ÙÔØÑ ÒÓÖ Ò A [k] Ö Å ØÖ Ü Aº Ë ØÞ ¾º½ ÃÓÖÖ Ø Ø Ù¹Î Ö Ö Ò µ Ë Ö k = 1,..., n 1 a a 1k det(a [k] ) = det º º 0. ¾º¾µ a k1... a kk ÒÒ Ø Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ ÓÖÖ Øº Ò Ù Ö ½º Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ Ø ÙÖ Ö Ö º º a (k) kk 0 Ö ÐÐ k = 1,...,n 1. ¾º µ ¾º Ö Å ØÖ Þ Ò A (k) k = 1,..., n 1 ÐØ a (k) ij = 0 Ö ÐÐ j < k ÙÒ i > j. ¾º µ ÁÒ ÓÒ Ö Ø U Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Üº º L Ø Ò ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Üº º A = LUº Û ½º ÙÒ ¾º Ï Ö Þ Ò ÞÙ Ö Ø Ö Ø k ¾º µ Ù ¾º µ ÓÐ Ø º º ÐØ (¾º ) = (¾º ). Ò Û Ò Û Ö ¾º µ Ö ÐÐ k Ô Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒº Ë Ð Ó a (k) ij = 0 Ö ÐÐ j < k ÙÒ i > jº Ï Ò Ä ÑÑ ¾º½¾ Û Ò Û Ö det(a (k) ) = det(m k 1 A (k 1) ) = det(m k 1 ) det(a (k 1) ) = det(a (k 1) ) =... = det(a). ¾

30 Ï Ò Ø Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ð ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ù Ð Ð Ù ËÙ Ñ ¹ ØÖ Þ Ò Ö ÓÖÑ ¾º¾µ Ò ÐØ Ð ÙÒ Û Ø Ö Ò º º det a 11 º a k1... a 1k º... a kk = det a (k) a (k) 1k º a (k) k1 = a (k) 11 a (k) a (k) kk, º = det... a (k) kk a (k) 11 a (k) a (k) 1k 0 a (k) a (k) 2k º 0 ººº º a (k) kk ÛÓ Û Ö Ñ ÞÛ Ø Ò Ë Ö ØØ Ù ÒÙØÞØ Ò Å ØÖ Ü A (k) Ù ¹ ¾º µ Ö ÐÐغ Æ ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ ÙÒ Ö Ë ØÞ Ø Ð Ó a (k) kk det a 11 º a k1... a 1k º... a kk 0, 0º Ñ Ø Ø ¾º µ Ö k Þ Øº ÍÑ ¾º µ ÞÙ Þ Ò ÒÙØÞ Ò Û Ö Ù Ò Ò Ñ ÁÒ Ù Ø ÓÒ Û º Ö Ò Ò Ò k = 1 Ø Ò Ø ÞÙ Þ Òº Ö Ò ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö ØØ k k + 1 Ò Ñ Ò Û Ö Ò ¾º µ Ö k Ö Ø Øº ÁÒ ÓÒ Ö ÐØ ÒÒ Ò Ñ Ö Ø Ò Ì Ð Û a (k) kk 0º Ö Î ØÓÖ l(k) Ø Ð Ó Ò Öغ ÒÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ ¾º½µ Ö Ø ÓÖ ÖØ Ò Ø a (k+1) ik = 0 Ö ÐÐ i > k Ö k¹ø ËÔ ÐØ º Ù ÑÑ Ò Ñ Ø Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ ÒÒ Ñ ÓÐ Ø ¾º µ Ö A (k+1) º º L Ø Ò ÖØ Ð ÈÖÓ Ù Ø Ö M 1 k º M k ÐÐ ÙÒØ Ö Ö Ñ ¹ ØÖ Þ Ò Ò Ò Ò Ë ØÞ ¾º Ù Ö ÁÒÚ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Þ Ò Ò Ó ÈÖÓ Ù Ø Ö Ö ÁÒÚ Ö Ò Ð Ó Ù Lº º Æ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ ÐØ U = A (n) = M n 1 A (n 1) = M n 1 M n 2... M 1 A. Ï Ò L = M 1 1 M 1 2 M 1 n 1 ÐØ Û Ø Ö L 1 = M n 1 M n 2 M 1 Ð Ó U = L 1 A Ó Ö LU = A. Ù Ò n n Å ØÖ Ü Ø ØÖ Ò ÓÒ Ð¹ ÓÑ Ò ÒØ ÐÐ Ö ÐÐ i = 1,...,n ÐØ n 2 a ii > a ij. j=1 ¾

31 Ò Ë ØÖ Ò ÓÒ Ð¹ ÓÑ Ò ÒØ Å ØÖ Ü ÒÚ ÖØ Ö Ö Ø ÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ Ù Ò Ñ ÐÐ ÓÖÖ Ø Øº Ø Ù Ò ÚÓÒ Ë ØÞ ¾º½ Ð Ò Ö Ø Ù Û ÒÒ Ñ Ò Ö ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ ¾º¾µ ÙÖ ÓÖ ÖÙÒ Ò ØÖ Ò Ö ÓÒ Ð¹ ÓÑ Ò ÒÞ Ö ØÞغ Ä ÑÑ ¾º½ Á Ø Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ ÙÖ Ö Ö Ó ÐØ Ö Å ØÖ Ü L n 1 L = I + l (k) e T k. k=1 Û Æ Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ L ÙÒ Ä ÑÑ ¾º½¾ Ø L = M 1 1 M 1 2 M 1 n 1 = (I + l (1) e T 1 )(I + l(2) e T 2 ) (I + l(n 1) e T n 1 ). Ù Þ Ò Ð Ø Ð Ó Ö ÐÐ m ÐØ m I + l (k) e T k = (I + l (1) e T 1 )(I + l (2) e T 2 ) (I + l (m) e T m). k=1 Ö m = 1 Ø Ñ Ò ÙÔØÙÒ Ö Øº È Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ð Ø Ø Ñ Ò ÒÒ Ö Ð m Ö ÐØ ÙÔØÙÒ Ð Ó Ö m 1º ÒÒ ØÖ Ø = (I + l (1) e T 1 )(I + l(2) e T 2 ) (I + l(m) e T m ( ) ) I + m 1 k=1 l (k) e T k = I + l (m) e T m + = I + m l (k) e T k. k=1 m 1 k=1 (I + l (m) e T m) l (k) e T k + m 1 k=1 l (k) e T k l (m) }{{} =0 e T m É Ó ØÙÒ Ð Ø ÙÒ Ù¹Î Ö Ö Ò Þ ÒØ ÞÙ ÓÖ Ò Ö Ò Å Ò Ô ÖØ Î ØÓÖ Ò l (1), l (2),..., l (n 1) Ö ÖÞ Ù Ø Ò ÆÙÐÐ Ò Ñ ÙÒØ Ö Ò Ì Ð Ö Å ØÖ Ü A Û Ö Ò Ö Ó Ö Ì Ð Å ØÖ Ü U ÒØ Ðغ ÚÓÖ Û Ö Ö Þ ÒØ Ö Î Ö ÒØ Ù¹Î Ö Ö Ò Ò Ò Ñ Ø Ò Û Ö Î Ö Ö Ò Ó ÖÛ Ø ÖÒ Û Ö Ö ÐÐ Ö ÙÐÖ Ò Å ØÖ Þ Ò ÒÛ Ò Ò ÒÒ Òº Ø Ò Ö Î Ö ÒØ Ù Ð ÓÖ Ø ÑÙ ½ Ð Ö Ò Ø Ö ÐÐ Ø ÖØ ÓÒ Ò Ò Ö Ó Ò Ò Ö ÙÐÖ Ò Å ØÖ Ü Û ( ¼ ).

32 Ò Û Ø Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ò Ð Ò Ò Ö ÚÓÒ ÆÙÐÐ Ú Ö Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ò a (k) kk ÖÓ ÊÙÒ ÙÒ Ð Ö Ù ØÖ Ø Ò ÒÒ Ò Û ÓÐ Ò Ô Ð Þ Ø Ë Ð ÙÒ Ý Ø Ñ ( ) ( ) ( ) x1 1 = Òº ÒÞ Ò Ø ÍÑ ÓÖÑÙÒ Ñ Ù¹Î Ö Ö Ò ÖØ ÞÙ Ñ ËÝ Ø Ñ ( ) ( ) ( ) x1 1 = ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò ÞÙ Ö Ü Ø Ò Ä ÙÒ ÚÓÒ x 2 x 2 x 1 = , x 2 = Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Ö Ø Ò Ñ Ø ÞÛ Ø ÐÐ Ö Ð Ø ÓÑÑ ¹ Ö Ø Ñ Ø º ÒÒ Ö¹ ÐØ Ñ Ò Ò Ö Ö Ø Ò ÍÑ ÓÖÑÙÒ Ù ÞÛ ËØ ÐÐ Ò ÖÙÒ Ø Ð ÙÒ ¹ Ý Ø Ñ ( ) ( ) ( ) x = , Ò Ä ÙÒ Ó Ö Ü Ø Ö Ê ÒÙÒ µ ÞÙ x 1 = 0 ÙÒ x 2 = 1 Ö Ø Ð Ó Û Ø ÚÓÒ Ö Ø Ò Ä ÙÒ ÒØ ÖÒØ Ð Øº Ö Ö ÙÐ ÖÛ Ð Ò Ò Ù ÖØ Ò Ë Û Ö Ø Ò ÙÖ ÒÙÒ ÞÙ Ö Ò Î Ö Ö Ò Ö È ÚÓØ ÖÙÒ Ú ÖÑ Òº ÁÑ Ò Ø Ò ÐÐ Ö Ð ÒÔ ÚÓØ ÖÙÒ Ú ÖØ Ù Ø Ñ Ò Û Ö Ò k¹ø Ò Ë Ö ØØ Ù¹ Î Ö Ö Ò k¹ø Ð Ñ Ø Ò Ö ÖÙÒØ ÖÐ Ò Ò ÙÒ ÞÛ Ö Ö Ò ØÖ Ñ Ö Ø Ò ÒØÖ Ò Ö k¹ø Ò ËÔ ÐØ Ù Û Øº Ð Ø Ò Ö Î ÖØ Ù ÙÒ Ò Ù Ð Ñ ÒØ a (k) kk Ó ÖÓ Û Ñ Ð Û Ö º ÓÖÑ Ð Û ÐØ Ñ Ò Ñ k¹ø Ò Ë Ö ØØ Ò j {k, k + 1,...,n} Ó a (k) x 2 jk a(k) Ö ÐÐ l = k,...,n. lk ÁÒ Ñ ÐÐ Ò ÒÒØ Ñ Ò a (k) jk È ÚÓØ Ð Ñ Òغ ÙÖ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÒ Ö Î ÖØ Ù ÙÒ Ò Ò Ø Ò Û Ö ÓÐ Ò Ò Å ØÖ Þ Òº Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ò Ø Ú Ð ÙÒ Π : {1,..., n} {1,..., n} Ø È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö Å Ò {1,..., n}º Ò n n Å ØÖ Ü P Ø È ÖÑÙØ Ø ¹ ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÐÐ Ò È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Π Ó Ø Pe i = e Π(i) Ö ÐÐ i = 1,..., n. ½

33 P ÒØ Ø Ø Ð Ó ÙÖ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ö ËÔ ÐØ Ò Ö Ò Ø Ñ ØÖ Üº Ï Ö ÑÑ ÐÒ Ò Ø Ò ÚÓÒ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Þ Òº Ë ØÞ ¾º½ Ë n n¹å ØÖ Ü P Ò È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÞÙÖ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Πº ÒÒ ÐØ ½º P Ø ÒÚ ÖØ Ö Öº ¾º P 1 Ø È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü ÞÙ Ö È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Π 1 Öغ Ø Π 1 ÍÑ Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ Πºµ º P Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÐØ P 1 = P T º Û ½ P Ø Ø Ù Ò Ö Î ÖØ Ù ÙÒ ÚÓÒ ËÔ ÐØ Ò Ö Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ð Ó Ö ÙÐÖº ¾ Ù Þ Ò Ø P 1 (e i ) = e Π 1 (i) ÞÙ ØÖ Ø Ò Û Ö P(e Π 1 (i)) = e Π(Π 1 (i)) Ò Ò Ø ÓÒ ¾º½ = e i. ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ö Ë Ø Ò ÚÓÒ Ð Ò Ñ Ø P 1 Ð ÖØ Ö Ò º ÁÒ Ò ËÔ ÐØ Ò ÚÓÒ P Ø Ò Ô ÖÑÙØ ÖØ Ò ËÔ ÐØ Ò Ö Ò Ø Ñ ØÖ Ü P = (e Π(1), e Π(2),...e Π(n) )º ÒØ ÔÖ Ò Ø i¹ø Ð ÚÓÒ P T ÙÖ e T Π(i) Òº ÍÑ Ò ÞÙÛ Ò P ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø Ñ Ò Û Ö PPT = P T P = I Þ Òº Ë Q = P T P º ÒÒ Ø Q ij = e T Π(i) e Π(j) = { 1 ÐÐ i = j 0 ÓÒ Ø, Ð Ó Ø Q = Iº Ò ÐÓ ÐØ Ù PP T = Iº É Ò ÖÛ Ø ÖÙÒ Ö ÞÛ Ø Ò Ù Ë ØÞ ÓÐÐ ÒÓ ÖÛ ÒØ Û Ö Ò Ö ÞÛ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò Π 1, Π 2 Ñ Ø ÞÙ Ö Ò È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Þ Ò P 1 P 2 ÐØ Û ¹ Ò P 1 P 2 (e i ) = P 1 (e Π2 (i)) = e Π1 (Π 2 (i)) = e Π1 Π 2 (i), P 1 P 2 È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ø ÞÙ Ö È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Π 1 Π 2 ÖØ Ø Î Ö ØØÙÒ ÚÓÒ ÞÛ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÒØ ÔÖ Ø Ñ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò Ò È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Þ Òº ¾

34 ÍÑ Ù¹Î Ö Ö Ò ÞÙ Ú Ö ÖÒ Ò Ø Ò Û Ö Ô Þ ÐÐ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò ÒÑÐ ÓÐ Ò Ù ÞÛ Ð Ñ ÒØ r < s Ú ÖØ Ù Òº Ù Ó Ò Ö È ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÒ Π(r) = s, Π(s) = r, ÖØ ÒØ ÔÖ Ò Å ØÖ Ü Π(i) = i Ö ÐÐ i {r, s} P rs = (e 1,...,e r 1, e s, e r+1,...,e s 1, e r, e s+1,...,e n ). ËÓÐ Å ØÖ Þ Ò Ò ÝÑÑ ØÖ Ø P rs = P T rs ÙÒ Ñ Ò ÒÒ Ù Ð P rs = I (e r e s )(e r e s ) T Ö Òº Å Ò ÓÐÐØ ÓÐ Ò ÒÔÖ Ò Ä Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ A P rs Ò Ö Å ØÖ Ü A Ñ Ø P rs Ú ÖØ Ù Ø r¹ø Ñ Ø Ö s¹ø Ò ËÔ ÐØ º Ê Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ P rs A Ò Ö Å ØÖ Ü A Ñ Ø P rs Ú ÖØ Ù Ø r¹ø Ñ Ø Ö s¹ø Ò Ð º ÓÖÑ Ð ÒÒ Ò Û Ö ÒÙÒ Å ØÖ ÜÚ Ö ÓÒ Ù¹Î Ö Ö Ò Ñ Ø ËÔ ÐØ ÒÔ ÚÓ¹ Ø ÖÙÒ ÓÐ Ò ÖÑ Ò Ö Òº Ð ÓÖ Ø ÑÙ ¾ Ù¹Î Ö Ö Ò Ñ Ø ËÔ ÐØ ÒÔ ÚÓØ Ù Å ØÖ ÜÚ Ö ÓÒµ ÁÒÔÙØ A IK n,n Ë Ö ØØ ½ à (1) := A Ë Ö ØØ ¾ ÓÖ k = 1,...,n 1 Ó Ø ÑÑ Ò Ò È ÚÓØ Ò Ü r {k,...,n} Ñ Ø ã (k) rk = max i=k,...,n ã (k) ik º P (k) A (k) l (k) := := P kr := P (k) à (k) 0,...,0 }{{} k Ñ Ð, a(k) k+1,k a (k),... a(k) n,k kk a (k) kk T M k à (k+1) := I n l (k) e T k := M k A (k)

35 Ö Ò PA = LU Ñ Ø P := P (n 1)... P (1) Ò È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü U := Ã(n) Ø Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü n 1 L := I + Θ (k) e T k k=1 Θ (k) := P (n 1)... P (k+1) l (k). Ø Ò ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ë ØÞ ¾º½ Ö Ò Ö ÙÐÖ n n Å ØÖ Ü A Ü Ø ÖØ Ò È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ ¹ Þ Ò P R n,n Ò ÒÓÖÑ ÖØ ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Ü L IK n,n ÙÒ Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü U IK n,n Ó PA = LU ÙÒ ÖÐ ÙÒ Û Ö ÚÓÒ Ð Ó¹ Ö Ø ÑÙ ¾ ÙÒ Òº Û ÁÑ Û Þ Ò Û Ö ÞÙÒ Ø ÓÐ Ò Ò Ò Ø Ò ½º Ð ÓÖ Ø ÑÙ ¾ Ø ÙÖ Ö Ö º º a (k) kk 0 Ö k = 1,..., n 1. ¾º µ ¾º Ö Å ØÖ Þ Ò A (k) k = 1,...,n 1 ÐØ a (k) ij = 0 Ö ÐÐ j < k ÙÒ i > j. ¾º µ A (k) = P (k) M k 1 P (k 1)... P (2) M 1 P (1) A ¾º µ ÒÐ Û Ñ Û ÞÙ Ë ØÞ ¾º½ Þ Ò Û Ö Ö Ø k = 1,...,n 1 Ù Ò Ò Ð ØÞØ Ò ÒÒØ Ò Ò Ø Ò ¾º µ ÙÒ ¾º µ Ö Ø Ò ÒÒØ Ù a (k) kk 0 ÓÐ Ø ÙÒ Û Ò Ò Ð Ò ¾º µ ÙÒ ¾º µ Ö ÐÐ k Ô Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒº ÐØ Ð Ó ¾º µ ÙÒ ¾º µ Ö kº Ï Ö Ò Ñ Ò Ò a (k) kk ÚÓÒ P (k) Ö ÐÐØ Å ØÖ Ü A (k) = P (k) à (k) Ï Ò a (k) kk a (k) kk a(k) lk Ö ÐÐ l = k,...,n. = 0 ÓÐ Ø Ö Ù Ö Ø ËÔ ÐØ Ö ËÙ Ñ ØÖ Ü C = a (k) kk º a (k) nk... a (k) kn º... a (k) nn = 0º Æ Ö Ò Ø ÓÒ

36 Ò ÆÙÐÐ Ô ÐØ Ø ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò det(c) = 0 Ðغ Ï Ò ¾º µ ÐØ Û Ø Ö a (k) a (k) 1k 1 0 a (k) a (k) A (k) 2k 1 = º 0 ººº º, 0... a (k) k 1k 1 0 C Ð Ó ÓÐ Ø det(a (k) ) = a (k) 11 a (k) a (k) k 1k 1 det(c) = 0. Ï Ò ¾º µ ÓÐ Ø Ö Ù det(a) = 0 Ò Ï Ö ÔÖÙ ÞÙÖ Ê ÙÐ Ö ØØ ÚÓÒ Aº  ØÞØ Þ Ò Û Ö ¾º µ ÙÒ ¾º µ Ô Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒº Ö Ù Ò Ø Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò Ò k = 1 Ð Öº Ö Ò Ö Ò k k + 1 Ò Ñ Ò Û Ö Ò Ù Ò Ö k ÓÒ ÐØ Òº Ï Ò Ñ Ö Ø Ò Ì Ð Û ÐØ a (k) kk 0 Ð Ó Ø Å ØÖ Ü A(k+1) Ò Öغ ¾º µ ÐØ ÒÒ Ö Ã(k+1) Û Ò Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ ÒÒ Ñ Ö A (k) ÙÒ Û Ò Ö ÐØ Ò Ù ¾º½µ Ù Ë Ø ¾ º Ö A (k+1) ÒÙØÞ Ò Û Ö Ù Ö Ã(k+1) ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ñ Ö ÙÑ ÒØ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ P (k+1) Ö Ø Ò k Ð Ò ÚÓÒ Ã(k+1) ÙÒ Ö ÖØ Ð Øº ¾º µ Ö Ø Ð Ð ÙÖ Ò ØÞ Ò ÙÒ Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ ÒÒ Ñ º A (k+1) = P (k+1) à (k+1) = P (k+1) M k A (k) Ñ Ø Û Ò Û Ö Î Ö Ö Ò ÙÖ Ö Ö Ø ÙÒ U = Ã(n) = M n 1 P (n 1)... P (2) M 1 P (1) A Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü Øº Ï Ð M 1 j = I+l (j) e T j Ä ÑÑ ¾º½¾µ ÙÒ (P (k) ) 1 = P (k) Ä ÑÑ ¾º½ µ Ö ÐØ Ñ Ò Ö Ù A = P (1) (I + l (1) e T 1 )P (2) (I + l (2) e T 2 )P (3)... P (n 1) (I + l (n 1) e T n 1)U. ¾º µ Ï Ö Ñ Ø Ò ÒÙÒ Ë Ø Ò Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ Ð Ò Ñ Ø P = P (n 1)... P (2) P (1) ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òº ÍÑ Ò ÒØ Ø Ò Ò Ì ÖÑ ÞÙ Ú Ö Ò Ò ÖÐ Ò Û Ö ÙÒ ÞÙÒ Ø Ö Ð Î ØÓÖ Ò l ÙÒ ÐÐ j > i P (j) (I + le T i )P (j) = (I + P (j) l(p (j) e i ) T ) = (I + P (j) le T i ) ÐØ Û Ð P (j) e i = e i ÐÐ j > iº

37 Ù ÒÙØÞ Ò Û Ö ÙÑ Ö ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÚÓÒ ¾º µ Ñ Ø P = P (n)... P (2) P (1) È ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Þ Ò P (i) Ö i 3 ÙÖ Ò Ò ÚÓÒ Á ÒØ ¹ ØØ Ò I = P (i) P (i) ÞÙÑ ÒØ ÔÖ Ò Ò ØÓÖ (I + l (i 1) e T i 1)P (i) ÙÖ ÖÙع Ò ÞÙ Ð Ò P (1) A = (I + l (1) e T 1 )P (2) (I + l (2) e T 2 )P (3)... P (n 1) (I + l (n 1) e T n 1 )U P (2) P (1) A = P (2) (I + l (1) e T 1 )P (2) (I + l (2) e T 2 )P (3)... P (n 1) (I + l (n 1) e T n 1 )U = (I + P (2) l (1) e T 1 )(I + l(2) e T 2 )P (3)... P (n 1) (I + l (n 1) e T n 1 )U P (3) P (2) P (1) A = P (3) (I + P (2) l (1) e T 1 )P (3) } {{ } I+P (3) P (2) l (1) e T 1 P (3) (I + l (2) e T 2 }{{} I+P (3) l (2) e T 2 )P (3) (I + l (3) e T 3 ) P (n 1) (I + l (n 1) e T n 1 )U = (I + P (3) P (2) l (1) e T 1 )(I + P (3) l (2) e T 2 )... P (n 1) (I + l (n 1) e T n 1 )U º º = PA = (I + Θ (1) e T 1 )(I + Θ(2) e T 2 )... (I + Θ(n 1) e T n 1 )U = I + n 1 k=1 Θ(k) e T k, ÛÓ Ö Ð ØÞØ Ë Ö ØØ Ô Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò ÐÓ ÞÙ Ñ ÒØ ÔÖ Ò Ò Ë Ö ØØ Ñ Û ÚÓÒ Ä ÑÑ ¾º½ ٠˺ ¾ µ Þ Ø Û Ö º É Ö ÔÖ Ø ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ ÑÔ ÐØ Ù Å ØÖ ÜÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÞÙ Ú ÖÞ Ø Ò Ù ÛÒ Ò º ÓÐ Ò Î Ö ÒØ Ø Þ ÒØ Öº Ï Ö Ò Ð Ò Ò Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ò Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö ÙÑ Ò Ð ÙÒ ¹ Ý Ø Ñ Ax = b ÞÙ Ð Òº Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ù¹Î Ö Ö Ò Ñ Ø ËÔ ÐØ ÒÔ ÚÓØ Ù ÁÒÔÙØ A IK n,n b IK n º Ë Ö ØØ ½ ÓÖ k = 1 ØÓ n 1 Ó Ë Ö ØØ ½º½ Ò È ÚÓØ Ð Ñ ÒØ a kr Ö Ð k Ë Ö ØØ ½º¾ Î ÖØ Ù Ð Ò k ÙÒ r Ò A ÓÛ b k ÙÒ b r º Ë Ö ØØ ½º ÓÖ i = k + 1 ØÓ n Ó Ë Ö ØØ ½º º½º a ik = a ik a kk Ë Ö ØØ ½º º¾º ÓÖ j = k + 1 ØÓ n Ó a ij = a ij a ik a kj Ö Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ LU = Pb ÛÓ L ÙÒ U Ò Ò ÙÖ a ij Ö i > j { aij Ö i j l ij = 1 Ö i = j u ij = 0 Ö i > j 0 Ö i < j

38 ÒØ Ø Ò Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ LU = Pb ÒÒ Ñ Ò ÒÙÒ Ð Ø ÙÖ Ê ¹ ÛÖØ ¹ ÙÒ ÎÓÖÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ð Òº Å Ò ÒÒ Ù Ö Ø Û Ö Ò Î Ö¹ Ö Ò ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ð ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ù Ö Ø Ë Ø Pb ÒÛ Ò Ò ÙÒ Ö ÐØ ÒÒ Ð Ö Ò Ö Ý Ø Ñ U = L 1 Pb Ó Ñ Ò Ò Ë Ö ØØ Ö ÎÓÖÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ô Öغ Ù Û Ò Ö Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ï Ö Þ Ð Ò Ö ÒÓ ÒÑ Ð Ö Ò Ð º Ù Ö ÓÖ¹Ë Ð Û Ö Ö k = 1,...n 1 ÙÖ Ð Ù Òº Ö Ò Û Ö Ò ÓÐ Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÙÖ ÖØ Å Ü ÑÙÑ Ù Ö Ø ÑÑÙÒ È ÚÓØ Ò Ü n 1 Î Ö Ð Î ÖØ Ù ÙÒ Ò Ò ÙÛ ÙÒ Ò Û Ö Ò Ø Ñ Ø Þ Ð Ò ÁÒÒ Ö ÓÖ¹Ë Ð Ò n k Ú ÓÒ Ò (n k)(n k) ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò (n k)(n k) Ø ÓÒ Ò Ù ÑÑ Ò ØÖ Ø ÒÞ Ð Ö Ò Ø Ø Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ó n 1 (n 1)(n 1) + (n k) + 2(n k) 2 = O(n 3 ). k=1 Ù Ê Ò Ò Ë ÒÞ Ð Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ü Ø Ð Ó Ó Ò ØÞÙÒ ÙÖ Oµ Ù º Ø ÑÑ Ò Ë Ù Ö Ñ ÒÞ Ð Ö Ò Ö Å ØÖ ÜÚ Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ¾µ Ò Ø Ø Ò ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ü Ø ÙÒ ÙÖ Oº Î Ö Ð Ò Ë Û Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò À Ø Ñ Ò Ò LU¹ ÖÐ ÙÒ ÙÒ Ò Ó ÒÒ Ñ Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò ÒÙØÞ Ò ÒÛ Ò ÙÒ ½ Ø ÑÑÙÒ Ö ÁÒÚ Ö Ò A 1 Ò Ö Å ØÖ Ü Aº Ë A 1 Ò ÙÖ Ö ËÔ ÐØ Ò A 1 = (B 1, B 2,...,B n )º ÒÒ ÐØ AB k = e k, ÙÒ B k Ö Ø Ð Ä ÙÒ x ÚÓÒ Ax = e k º à ÒÒØ Ñ Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ö Å ØÖ Ü A Ó Ø ÑÑØ Ñ Ò Ð Ó Ö k = 1,...,n ÞÙÒ Ø Ä ÙÒ y k Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ly k = e k ÙÒ Ð Ø Ò Ð Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ux k = y k ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÚÓÒ B k := x k º ÒÛ Ò ÙÒ ¾ Ø ÑÑÙÒ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ ÚÓÒ Aº Á Ø A = LU Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ó ÐØ det(a) = det(l) det(u) = u u nn º Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ø Ð Ó Ð ÈÖÓ Ù Ø Ö ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ U Ö Ø Ö Ò Òº

39 ¾º ÓÐ Ý¹Î Ö Ö Ò Ï Ö ØÖ Ø Ò Ù Ò Ñ Ò ØØ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ax = b ÐÐ Ö Ò Ò Ñ Ò Û Ö ÒÙÒ Ò Å ØÖ Ü A Ò ÝÑÑ ØÖ ÙÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Å ØÖ Ü Øº Ò Ø ÓÒ ¾º½ Ò Å ØÖ Ü A R n,n Ø ÖÑ Ø ÐÐ A = A ÛÓ A = (a ji ) ÓÒ Ù ÖØ ÓÑÔÐ Ü Å ØÖ Ü ÞÙ A غ Á Ø IK = R Ó Ò ÒÒØ Ñ Ò A Ù ÝÑÑ ØÖ º Ò ÖÑ Ø Å ØÖ Ü Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÐÐ x T Ax > 0 Ö ÐÐ x R n \ {0} ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø ÐÐ x T Ax 0 Ö ÐÐ x R n º Ä ÑÑ ¾º½ ÓÐ Ò Ò Ù Ò ÐØ Ò ½º Ò ÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Ü Ø Ò Ù ÒÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Û ÒÒ ÐÐ Ö ÒÛ ÖØ Ø ÔÓ Ø Ú Ò º ¾º Ò ÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Ü Ø Ò Ù ÒÒ ÔÓ Ø Ú Ñ ¹ Ò Ø Û ÒÒ ÐÐ Ö ÒÛ ÖØ Ö Ö Ó Ö Ð ÆÙÐÐ Ò º º Ò ÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Ü Ø Ò Ù ÒÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Û ÒÒ Ö À ÙÔع Ñ ÒÓÖ Ò ÔÓ Ø Ú Ò º º Û ÒÒ Ö ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ó Ö Ò k k¹ì ÐÑ ØÖ Þ Ò ÐØ det(a [k] ) > 0º A [k] := a 11 º a k1... a 1k º... a kk, k = 1,...,n ÈÓ Ø Ú Ò Ø Å ØÖ Þ Ò Ò Ð Ó Ö ÙÐÖ Û Ð det(a [n] ) = det(a) 0µº Ï Ö ØÖ Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ò ÖÐ ÙÒ Ò Ò Ø ÓÒ ¾º¾¼ Ò ØÓÖ ÖÙÒ Ò Ö ÝÑÑ ØÖ Ò Å ØÖ Ü A R n,n Ö ÓÖÑ A = LL T Ñ Ø Ò Ö Ö ÙÐÖ Òµ ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Ü L Ø ÓРݹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A º Ò Ø ÓÒ ¾º¾½ Ò ØÓÖ ÖÙÒ Ò Ö ÝÑÑ ØÖ Ò Å ØÖ Ü A R n,n Ö ÓÖÑ A = LDL T Ñ Ø Ò Ö ÒÓÖÑ ÖØ Ò ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Ü L ÙÒ Ò Ö ÓÒ ÐÑ ØÖ Ü D Ø Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A º ÁÑ ÓÐ Ò Ò Û Ö Ò Û Ö ÙÒ Ùº º Ñ Ø ÓÒ ÐÑ ØÖ Þ Ò Ø Ò Û Ö Û ÓÐ Ø Þ Ò Òº

40 ÆÓØ Ø ÓÒ ¾º¾¾ Ö Ò Ò Î ØÓÖ a IK n Ø ÓÒ ÐÑ ØÖ Ü Þ Ð a Ò ÙÖ a 1 a 2 (a) = º ºº. a n 1 Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Þ Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ù Ò ÒÒغ Ë ØÞ ¾º¾ Ë A R n,n Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Üº ÒÒ Ü Ø ÖØ Ò Ò ÙØ Ø ÑÑØ Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ Aº Û ÙÒ Ø ØØ Ò Û Ö A Ò Ò ÙØ Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ñ Ø ÒÓÖ¹ Ñ ÖØ Ö ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü L Ø Æ Ë ØÞ ¾º½ ÒÒ Ñ Ò Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ó Ò È ÚÓØ ÖÙÒ µ Ò Ò Û ÒÒ Ì ÐÑ ØÖ Þ Ò A [k] := a 11 º a k1... a 1k º... a kk Ò ÙÒ ¾º¾µ Ö ÐÐ Ò º º Û ÒÒ det(a [k] ) 0 k = 1,..., n 1º Ï Ð A ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ø ÐØ Ò Ä ÑÑ ¾º½ ÙÒ ÞÙ ØÞÐ Ó Ö det(a [n] ) > 0 Ð Ó Ò A L ÙÒ U Ö ÙÐÖº ÒØ ÔÖ Ò Ø L Ò ÙÒØ Ö ÒÓÖÑ ÖØ Ö ¹ Ñ ØÖ Ü ÙÒ ÖÐ ÙÒ Ø Ò ÙØ Ò Ä ÑÑ ¾º½¼º Ë Ö A = LU a n ¾º µ Ñ Ø ÒÓÖÑ ÖØ Ö ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü L ÙÒ Ó Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü Uº Ï Ö Ø¹ Þ Ò D = diag(u 11,...,u nn ) Ð ÓÒ ÐÑ ØÖ Ü Ñ Ø Ò ÒØÖ Ò Ù Ö À ÙÔØ ÓÒ Ð Ò ÚÓÒ Uº U Ö ÙÐÖ Ø Ø Ù D Ö ÙÐÖ Ó Û Ö Ũ := D 1 U Ò Ö Ò ÒÒ Òº ÐØ LDŨ = LU = Aº Ï Ö Ñ Ø Ò Þ Ò Ũ = LT ØÖ Ø ÞÙ A = A T = (LDŨ)T = ŨT D T L T = ŨT (D T L T ). ¾º½¼µ Ũ Ø Ò ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò ÒÓÖÑ ÖØ Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü Ð Ó Ø ŨT Ò ÒÓÖÑ ÖØ ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Üº Ï Ø Ö Ø D T L T Ò Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü Ð Ó Ø ¾º½¼µ Ù Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ñ Ø ÒÓÖÑ ÖØ Ö ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Üº Ï Ò Ä ÑÑ ¾º½¼ Ø Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ò ÙØ Ð Ó ÓÐ ÖÒ Û Ö Ù Ñ Î Ö Ð ÚÓÒ ¾º µ ÙÒ ¾º½¼µ L = ŨT

41 ÙÒ Ò Ñ Ø Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A ÙÒ Òº Ë ÒÙÒ A = L D (L ) T Ò Û Ø Ö Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ñ Ø ÒÓÖÑ ÖØ Ö ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü L Ó ÒÒ Ñ Ò Û ÖÙÑ A = L (D (L ) T ) Ð Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ù Òº Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Ä ÑÑ ¾º½¼ Ò ÙØ Ø ÓÐ Ø L = L ÙÒ D (L ) T = DL T, ÛÓ Ù Ð ØÞØ Ö Ñ Û Ò Ö ÁÒÚ ÖØ Ö Ö Ø ÚÓÒ L = L Ù D = D Ö Øº É Ö Û Ë ØÞ Þ Ø Ù Ö Ñ Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Ö ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò ÙÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ò Å ØÖ Ü A Ó Ò È ÚÓØ ÖÙÒ ÙÒ Ò Û Ö Ò ÒÒº Ï Ö ÓÑÑ Ò ÒÙÒ Ù ÓРݹ ÖÐ ÙÒ ÞÙÖ º Ë ØÞ ¾º¾ Ë A R n,n Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Å ØÖ Üº ÒÒ Ü Ø ÖØ Ò ÓРݹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A = LL T Ñ Ø ÔÓ Ø Ú Ò ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò ÚÓÒ Lº ÍÒØ Ö Ö Æ Ò Ò ÙÒ Ø L Ò ÙØ Ø ÑÑغ Û Æ Ë ØÞ ¾º¾ Ø Ò Ò ÙØ Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ A = LDL T ÚÓÒ Aº Þ Ò Ò Û Ö Ñ Ø A [k] ÙÒ D [k] Û Ö Ð Ò Ò Ó Ö Ò k k Ì ÐÑ ØÖ ¹ Þ Ò ÚÓÒ A ÙÒ Dº Ï Ð L Ò ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Ü Ø ÐØ A [k] = L [k] D [k] (L T ) [k] Ð Ó det(a [k] ) = det(d [k] ). ¾º½½µ Ï Ò Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ø ÚÓÒ A Ä ÑÑ ¾º½ µ ÐØ det(a [k] ) > 0º Ù ÑÑ Ò Ñ Ø ¾º½½µ Ö ÐØ Ò Û Ö d d kk = det(d [k] ) = det(a [k] ) > 0. Ù ÐØ Ö ÐÐ k Ð Ó Ò ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ D ÔÓ Ø Úº  ØÞØ ØÞ Ò Û Ö L = L diag( d 11,..., d nn ) ¾º½¾µ ÙÒ Ö ÐØ Ò Ù Ö ÒÓÖÑ ÖØ Ò ÙÒØ Ö Ò Ö Ñ ØÖ Ü L Ò ÙÒØ Ö Ö ¹ Ñ ØÖ Ü L Ñ Ø ÔÓ Ø Ú Ò ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Ö L L T = L diag( d 11,..., d nn ) diag( d 11,..., d nn ) L T = LDL T = A Ðغ ÒØ ÔÖ Ò ÓРݹ ÖÐ ÙÒ Ø Ð Ó ÙÒ Òº ¼

42 ÍÑ Ò ÙØ Ø ÞÙ Þ Ò Ò Ò A = L L T A = L ( L ) T Ò Û Ø Ö ÓРݹ ÖÐ ÙÒ Ñ Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ò λ 1, λ 2,...,λ n > 0º Å Ø D := diag(λ 2 1,...,λ2 n ) ÙÒ ( L := L 1 diag,..., 1 ) λ 1 λ n Ö ÐØ Ñ Ò A = L D (L ) T Ð Ó Ò Û Ø Ö Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ñ Ø ÒÓÖÑ Ö¹ Ø Ö ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü L º Ù Ö Ò ÙØ Ø Ö Ä Ä¹ ÖÐ ÙÒ Ò Ë ØÞ ¾º¾ µ ÓÐ Ø L = L ÙÒ D = D º Ä ØÞØ Ö ÙØ Ø d ii = λ 2 i Ö i = 1,...,n ÙÒ Û Ò Ö ÈÓ Ø Ú ØØ Ö λ i ÙÒ d ii Ð Ó Ù ÑÑ Ò Ö ÐØ Ñ Ò λ i = d ii Ö i = 1,..., n. L = L diag(λ 1,...,λ n ) = L diag( d 11,..., d nn ) = L Ò (¾º½¾). É ÍÑ Ò ÓРݹ ÖÐ ÙÒ Þ ÒØ Ù Ö Ò Ò ÞÙ ÒÒ Ò ØÖ Ø Ò Û Ö Ð ÙÒ A = LL T ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ º Ö Ø Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø ÍÒ ÒÒØ Ò l ij Ö i jº Þ Ò Ò Û Ö ÞÙ Ñ ÓÐ Ò Ò Ñ Ø l T ij Ð Ñ ÒØ Ö Å ØÖ Ü L T º ÒÒ Ö Ø a ik = n n l ij ljk T = l ij l kj = j=1 j=1 k l ij l kj Ö k = 1,..., n, i = k + 1,...,n ¾º½ µ j=1 ÙÒ a kk = n l kj ljk T = j=1 n l kj l kj = j=1 k lkj 2 Ö k = 1,...,n. ¾º½ µ Ï ÐØ Ñ Ò Ê Ò ÓÐ Ø Ù Ð Ò Ï ÖØ l ij Þ ÒØ ¹ Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ö Ø l 11 Ù ¾º½ µ Ö k = 1 ÞÙ l 11 = a 11 º Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ö Ï ÖØ l 21,...,l n1 Ö Ö Ø Ò ËÔ ÐØ ÚÓÒ L ÙÖ ¾º½ µ Ø ÑÑ Ò ÒÒ ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ö ÞÛ Ø Ò ËÔ ÐØ ÙÖ ¾º½ µ ÙÒ Ó Û Ø Öº Ö Ø ÓÐ Ò Î Ö Ö Ò Ò Ñ Û Ö ÒÙÖ ÙÒØ Ö Ö Ö Å ØÖ Ü A ÒÙØÞ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ L Ð Ö Ï ÖØ ÚÓÒ A Ö Òº Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÓÐ Ý¹Î Ö Ö Ò j=1 ½

43 ÁÒÔÙØ A R n,n ÝÑÑ ØÖ ÙÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ò ÙÖ Ï ÖØ a ij Ö i jº Ë Ö ØØ ½ ÓÖ k = 1 ØÓ n Ó Ë Ö ØØ ½º½ a kk = a kk k 1 j=1 a kj 2 Ë Ö ØØ ½º¾ ÓÖ i = k + 1 ØÓ n Ó a ik = 1 ( a ik a kk k 1 ) a ij a kj j=1 Ö Ò L Ø Ò ÙÖ l ij = { aij Ö i j 0 Ö i < j ¾º Ë Û ØÞØ Å ØÖ Þ Ò Ö Ö Ò Ò Î Ö Ö Ò Ò Ö ÖÓ Ò Å ØÖ Þ Ò Ð Ö Ò Þ ¹ Òغ Ö Ú Ö Ù Ø Ñ Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Å ØÖ Þ Ò Ñ Ø Ô Þ ÐÐ Ö ËØÖÙ ØÙÖ ÒÞÙÔ Òº Ò Ò Ö Ø Ò Ò ØÞ Ò Û Ö Ñ Ð ØÞØ Ò Ò ØØ ÝÑÑ ØÖ ¹ Ò Å ØÖ Þ Ò ÒÒ Ò Ð ÖÒغ ÁÒ ÒÛ Ò ÙÒ Ò ØÖ Ø Ò Ó Ø Û ØÞØ Å ¹ ØÖ Þ Ò Ù Ò Ò Ò Ö Ñ Ø Ò Ð Ñ ÒØ a ij = 0 Ðغ Ä Ö Ò Ö Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ Û ØÞØ Ò Å ØÖ Þ Ò ÒØ Ø Ò Ò Ö Ñ ØÖ Þ Ò L ÙÒ U Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò Ò Ø Ù Û Ö Û ØÞغ Ð Ô Ð Å ØÖ Ü A = Ù Ñ Ë Ö ÔØÙÑ ÚÓÒ º ÄÙ Ò ÒÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Þ Ò Ö Ö Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÐÐ ØÞØ Ò º Ø Ö Ò ÃÐ ÚÓÒ Å ØÖ Þ Ò Ö ËØÖÙ ØÙÖ Ö Å ØÖ Ü A Ù ËØÖÙ ØÙÖ Ö Å ØÖ Þ Ò L ÙÒ U Ö Ö Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÖØÖ Øº ÞÙ Ö Ò Ó Ò ÒÒØ Ò Ñ ØÖ Þ Òº Ò Ø ÓÒ ¾º¾ Ò Å ØÖ Ü A = (a ij ) IK n,n Ø Ò (p, q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü ÐÐ Ö ÐÐ i > j + p ÙÒ Ö ÐÐ j > i + q ÐØ a ij = 0º Ò Ö Ø ÚÓÒ A Ø ÒÒ p + q + 1º ¾

44 ÓÐ Ò Å ØÖ Ü Ø Ò Ô Ð Ö Ò (2, 1)¹ Ò Ñ ØÖ Ü A =  ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Ü Ø Ò (n 1, 0)¹ Ò Ñ ØÖ Ü Ó Ö Ö ¹ Ñ ØÖ Ü Ø Ò (0, n 1)¹ Ò Ñ ØÖ Üº Ë ØÞ ¾º¾ Ë A = LU Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Ö (p, q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü A Ñ Ø Ó Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü U ÙÒ ÒÓÖÑ ÖØ Ö ÙÒØ Ö Ö Ö Ñ ØÖ Ü Lº ÒÒ Ø L Ò (p, 0)¹ Ò Ñ ØÖ Ü ÙÒ U Ò (0, q)¹ Ò Ñ ØÖ Üº Û Ï Ö Û Ò Ò Ë ØÞ Ö Ø p, q Ñ ØØ Ð ÚÓÐÐ ØÒ Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ò nº Ö n = 1 Ø Ò Ø ÞÙ Þ Òº Ö Ò ÁÒ Ù Ø ÓÒ Ö ØØ n n+1 Ò Ñ Ò Û Ö Ð Ó Ò Ù Ö Å ØÖ Þ Ò Ö Ñ Ò ÓÒ n n Ö Ø Øº ØÖ Ø ÒÙÒ Ò Å ØÖ Ü A IK n+1,n+1 Ñ Ø Ä͹ ÖÐ ÙÒ A = LUº Ï Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò A Û ÓÐ Ø ( ) α w T A =, v B ÛÓ α IK ÙÒ B Ò (p, q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü Ö Ñ Ò ÓÒ n n Ø ÙÒ Î ØÓÖ Ò v, w IK n Ö ÐÐ Ò v i = 0 Ö ÐÐ i > p ÙÒ w j = 0 Ö ÐÐ j > qº Ë Û Ø Ö Ò ( ) ( ) 1 0 u11 u L =, U = T. l L 1 0 U 1 ÐØ ( ) ( u11 u LU = T α w T v 11 l lu T = + L 1 U 1 v B Ð Ó Ø α = u 11 w = u l = 1 vº ØÖ Ø α B 1 α vwt. Ù ÖÙÒ Ö ËØÖÙ ØÙÖ ÚÓÒ v ÙÒ w Ø B Ò ÐÐ Ò (p, q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü Ñ Ø Ä͹ ÖÐ ÙÒ B 1 α vwt = L 1 U 1. Æ Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ ÒÒ Ñ Ø Ð Ó ÙÒØ Ö Ö Ñ ØÖ Ü L 1 Ò ÒÓÖÑ ÖØ (p, 0)¹ Ò Ñ ØÖ Ü ÙÒ Ó Ö Ö Ñ ØÖ Ü U 1 Ò (0, q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü ÙÒ ÐØ ( ) ( ) ( ) 1 0 α w T α w T 1 v L = = A, α 1 0 U 1 v B ),

45 Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A Ñ Ø Ö ÓÖ ÖØ Ò Ò Ø Ø Ð Ó ÙÒ Òº É Å Ø ÓÐ Ò Ñ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÒÒ Ñ Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Ö (p, q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü Ø ÑÑ Ò ÐÐ Ü Ø Öصº Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ò Ö Ò Ñ ØÖ Ü ÁÒÔÙØ (p,q)¹ Ò Ñ ØÖ Ü A IK n,n Ö Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ Ü Ø Öغ Ë Ö ØØ ½ ÓÖ k = 1 ØÓ n 1 ÓÖ i = k + 1 ØÓ min{k + p,n} Ó Ë Ö ØØ ½º½ a ik := a ik a kk Ë Ö ØØ ½º¾ ÓÖ j = k + 1 ØÓ min{k + q,n} Ó a ij := a ij a ik a kj Ö Ò Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ A ÛÓ L ÙÒ U Ò Ò ÙÖ a ij Ö i > j { aij Ö i j l ij = 1 Ö i = j u ij = 0 Ö i > j 0 Ö i < j Æ Ø ÖÐ Ò Ù ÎÓÖÛÖØ ¹ ÙÒ Ê ÛÖØ Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ö Ò Ñ ØÖ Þ Ò Ò ¹ Öº Ð Ò ØÖ Ø Ò Û Ö ÒÓ Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ ÚÓÒ ÌÖ ÓÒ ÐÑ ØÖ Þ Òº ÞÙ Ö Ò Û Ö ÓÐ Ò ÆÓØ Ø ÓÒ Òº ÆÓØ Ø ÓÒ ¾º¾ Ö Ö Î ØÓÖ Ò a, b, c IK n Ñ Ø b 1 = c n = 0 Ø ÌÖ ¹ ÓÒ ÐÑ ØÖ Ü Þ Ð a, b, c Ò ÙÖ a 1 c 1 b 2 a 2 c 2 tridiag(b, a, c) = º ºº º ºº b n 1 a n 1 c n 1 b n a n Æ Ë ØÞ ¾º¾ Û Ò Û Ö ÐÐ Ü Ø Ö Òµ Å ØÖ Þ Ò L ÙÒ U Ö Ä͹ ÖÐ ÙÒ ÓÐ Ò Ù Ò Ò L = 1 l 2 1 ººº ººº l n 1 1 l n 1 U = u 1 c 1 u 2 c 2 ººº ººº u n 1 c n 1 u n ¾º½ µ