2 = = = = = 82

Transkript

1 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ Ö ÓÐ Ò ØÒ Ø Ø ÒØ ÐØ Ò Ê ÚÓÒ Ù ÒØÝÔ Ò Ñ ÖØÖ ØØ Ò Ò Ó ÙÐ Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù ØÞØ Û Ö Òº Ñ Ì Ø ÞÙ ÖÙÒ Ð Ò Ò Ê Ò ØÞØ Û Ö Ò Ò ÙÒ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ÚÓÖÐ ÙÒ Ò Ù Ú ÖÛ Ò Ø Ó Ò ÓÖØ ÒÓ ÒÑ Ð ÔÖÓ Ò ÞÙ Û Ö Òº ÍÑ Ö ÓÐ Ö Ò ÙÒ Ö Ò ÎÓÖÐ ÙÒ Ò Ø ÐÒ Ñ Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ñ Ò Ë ÐÐ Ö Ò Ò Ø ÐÐ Ù ¹ Ò ÓÑÔÐ ØØ Ð Ö Ö Ð Òº Ù ÖØ Ò Ù ÒØÝÔ Ò ÙÒ Ò Ò Ù Ò Ú ÖÛ Ò Ø Ò Ê Ò ØÞ ÓÐÐØ Ò Á Ò Ò Ö Ù Á Ö Ö Ë ÙÐÞ Ø Ú ÖØÖ ÙØ Òº Ï ÒÒ Ò Ø Ö ÐÐ Ø Û ÒÒ Á Ö Å Ø Ñ Ø Ù Ð ÙÒ ÓÒ ÐÒ Ö ÞÙÖ Ð Ø Ó Ö Û ÒÒ Ë Ò Ö Ë ÙÐ Ë Û Ö Ø Ò Ñ Ø Å Ø Ñ Ø ØØ Ò ÑÔ Ð Ò Û Ö Á Ò Ò ÚÓÖ ËØÙ Ò ÒÒ Á Ö Å Ø Ñ Ø Û Ò ÒÓ ÒÑ Ð Ù ÞÙ Ö ¹ Òº ÐØ ÖÒ Ø Ú ÞÙÑ Ë Ð Ø ØÙ ÙÑ ÒÒ Ò Ë ÞÙ Ñ Û Ñ ËÓÑÑ Ö Ù ÙÒ Ö Ò ¾¹Û Ò Ù Ù ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ù Òº Ù ½º Ö Ò Ò Ë ( + ) 5 ( + ) 5 ËÙÑÑ Ò Ò ÒÒ Ò Ñ Ø À Ð ÒÓÑ Ò Ä Ö ØÞ Ù Ö Ò Ø Û Ö Òº Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö È Ð Ö À Ö Ù Ö ÐØ Ñ Ò ( + ) ( ) ( + ) 5 ( + ) ½

2 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ¾ Ù ¾º Ö Ò Ò Ë 8 ( ) 00 log ( ) ( ) 00 ) log 0 log 0 (00) log 0 (0 0 log 0 (0) 6 5 Ù º Ö Ò Ò Ë sin (0 )+cos(0 )+tan(5 ) ÐÐ Ï Ò Ð Ñ Ó ÒÑ ÞÛ Ò 0 ÙÒ π Ö Ò Ë ÒÙ 0.5 Ö Øº µ Ò Ï Ò Ð ÞÛ Ò 0 ÙÒ 90 Ò Ë ÒÙ Ð cos(000 ) Øº Ë ÒÙ ÙÒ ÃÓ ÒÙ Û ÖØ ÐÐ Ö Ö Ï Ò Ð Ð Ò Ñ Ò Ø Ö Ð Òº ÞÙ Þ ¹ Ò Ò Û Ö ÞÙÒ Ø Ò Ò ÃÖ Ñ Ø Ê Ù ½ ÙÑ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø ÒÙÖ ÔÖÙÒ º Ò ØÖ Ò Û Ö Ò Û Ò Ø Ò Ï Ò Ð Ù Ò ÚÓÒ Ö ÔÓ Ø Ú Ò ÇÖ Ò Ø Ò Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓ ¹ Ø Ú Ò Ö ÒÒ º ÒØ Ø Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ñ Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ñ Û Ö

3 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ Û Ò Ø Ò Ë ÒÙ ÙÒ Ó ÒÙ Û ÖØ Ö Ø Ð Ò ÒÒ Òº ÒÞ Ð Ò Ò Û Ö ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ö Ò sin(0 )º Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ö ÒÒ ØÖ Ò Ï Ò Ð Ø Ð Ù Ò Þ Øº Ä Ò Ð Ø Ñ Ø Ò ÖÓØ Ò Ä Ò Ò ÞÙ Ò Ñ Ö Ö ÒÞ Ò Ò Ñ Ò ÚÓÑ ÍÖ ÔÖÙÒ Ù Ò Ò Ë Ø Ò Û Ð ÄÒ ½ Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Ò Ö Ò Ï Ò Ð Ò Ð Òº Ï Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ð Ø Ò Ö ÞÙ ØÙÒ Ò À Ö Ñ sin(0 ) ÒØ ÔÖ Øº ÐØ Ð Ó sin(0 ) Ò ÒÐ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ñ ØØÐ Ö Ð ÖÐ Ù Ø cos(0 ) ÞÙ Ø ÑÑ Òº Ù Ö Ø Û Ö Ò Ð Ø Ö ÛÓº Ö Ø Ò Û Ö Ù Ö Ñ Ó ÒÙ ¹ Û ÖØ Ö Ï Ò Ð ÞÛ Ò 90 ÙÒ 70 Ò Ø Ú Ò Ö Ø Ö Ù cos(0 ) Ö Ö Ø Ö Ø ÐÐØ Ï Ò Ð ÚÓÒ 5 Ð Ø ÙÖ Ò Ò Ï Ò Ð ÚÓÒ 5 ÞÙÑ ÎÓÐÐ¹ Ö Ö ÒÞ Òº Ö Ù Ö Ø Ð Ù Ä Ò ÖÙÒ Ø Ò Ð Ò Ð Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ò Ï ÖØ ØÞØ Ò Ò Ë Ö º Ë ÒÙ ÙÒ Ó ÒÙ ÒØ ÔÖ Ò ÒÒ Ö Ò Ò Ã Ø Ò Ö ÙÒ ØÖ Ò sin(5 ) cos(5 ) Ö Ù Ð Ø ÒÙÒ Ö Ö Ì Ò Ò Ö Ò Òº Ï Ö Ö ÐØ Ò tan(5 ) sin(5 ) cos(5 )

4 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ÆÙÒ Ò Û Ö ÐÐ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÙÑ Ù ÞÙ Ð Ò sin (0 )+cos(0 )+tan(5 ) ( ) Ï Ö Ñ Ò Ð ÙÒ sin(x) Ñ Ó ÒÑ Ð Òº Ù Ù Ð Ø Ñ Ò Ø Ö Û Ö Ø ÐÐ Òº ÞÙ Ù Ò Û Ö Ù Ö Ë ÒÙ Ò Ï ÖØ 0.5 ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ö Û Ð Ï Ò Ð ÞÛ Ò 0 ÙÒ π Ö Ï ÖØ Ð Ë ÒÙ Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö º Ï Ò Ð ÒØ ÔÖ Ò Ö Ò Ë Ò ØØ¹ ÔÙÒ Ø Ò Ø Ö Ñ Ø Ö Ð Ù Ò Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÒÙÒ º Ø ÞÛ Ë Ò ØØ¹ ÔÙÒ Ø Ö Ò Ï Ò Ð Ò Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ò Þ Ò Ø Ò º ÒÐ Û Ò Ö ÚÓÖ Ò Ò Ò Ò Ù Ø Ò Ö Ë ØÙ Ø ÓÒ Û Ö Ð Ø Ö Ò Ü Ø Ä ÙÒ Ö Ù Ò ÖÑ Ð Òº ÁÒ Ö Å ØØ Ø ÒØ ÔÖ Ò Ö Ñ Ø Ò Ö Ð Ù Ò ÙÒ ÞÛ ÖÓØ Ò Ë Ø Ò Ò Þ Ò Ø ÛÓ Ø Ñ Ö Ø Ò ÐÐº Ö Ù Ø Ï Ò Ð ÑÙ Ð Ó π π 7π 6 ØÖ Òº ÁÑ ÞÛ Ø Ò ÐÐ Ú Ö ÖØ Ñ Ò Ò ÐÓ º Ð ÙÒ Ø Ñ Ø ÞÛ Ò Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [0;π] ÒÑÐ x 7π π 6 ÙÒ x 6 º µ Ï Ö Ú Ö Ù Ò ÞÙÒ Ø cos(000 ) Ñ Ø Ð Ó ÒÙ Ò Ï Ò Ð Ö ÞÛ Ò 0 ÙÒ 90 Ð Ø Ù ÞÙ Ö Òº Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö ÓÐ Ò Ò Ê ÐÒ Ö Ó ÒÙ Ú ÖÒ ÖØ Ò Ò Ï ÖØ Ò Ø Û ÒÒ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÙÑ 60 Ú Ö Ð Ò ÖØ Û Ö º ÐØ Ð Ó Ú Ö Ö ÖØ Ó Ö cos(000 ) cos( ) cos( 80 )

5 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ Ï Ö ÚÓÑ Ö ÙÑ ÒØ Ó ÒÙ ÎÓÖÞ Ò ÖØ Ó Ò ÖØ Ö Ó ÒÙ Ò Ò Ï ÖØ Ò Ø cos( 80 ) cos(80 ) Ð Ð ØÞØ Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö ÓÖÑ Ð cos(α) sin(90 α) ÙÒ Ö ÐØ Ò Ñ Ø cos(000 ) cos(80 ) sin(0 ) Ö Ù Ø Ï Ò Ð Ø Ñ Ø 0 º Ù º Ò Ò Å Ò Ò A {,,} ÙÒ B {x x(x )(x )(x 6) 0}º ÖÙÒ Ñ Ò {0,,,,,5,6,7,8,9}º Ð Ö Å Ò Û Ö Ñ Ø Þ Ò Øº Ø ÑÑ Ò Ë A B Ë Ö Ò Ë ÐÐ Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ A Ù º µ Ï Ð Ö ÓÐ Ò Ò ÙÔØÙÒ Ò Ò Ö Ø 0 {0} 0 {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} { } { } ÖÙÒ Ñ Ò Ø {0,,,,,5,6,7,8,9}º Ù Ö Ñ ÐØ A {,,} B {0,,,6} Ö Ù Ö Ø A B {0,,,,,6} {5,7,8,9} Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ A Ò {} {} {} {,} {,} {,} {,,} µ Ê Ø Ò Ù Ò 0 {0} {0} {0} {0} { } { }º Ð Ø Ò 0 {0} 0 Ò Å Ò Øº {0} {0} ÒÙÖ Ð Ñ ÒØ 0 Ò Ø Ö Ð Ñ ÒØ{0} Ò Ö Å Ò {0} ÒØ ÐØ Ò Øº {0} Ù Ñ Ð Ò ÖÙÒ

6 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ Ù º Ï Ð Å Ò Ø Ò Ö Ö ÖØ Ò Ð Ö Ø ÐÐØ Ë Ö Ö Ò Ë Å Ò M ( N L ) Ò Ò Ñ Å Ò Ò Ö ÑÑº Å Ò ÒØ ÐØ ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ù M Ò Ø Ù ÒÓ Ò L Ó Ö N ÒØ ÐØ Ò Ò º º º Ð Ñ ÒØ Ù L N Ñ Ò Ù ÐÓ Ò Û Ö Òº Ö ÖØ Å Ò Ø Ñ Ø M\(L N) Ø Ù Ò Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö Å Ò Þº º M (L N) Ó Ö M L Nº ÁÑ Ð Ò Ò Ì Ð Ö Ð ÙÒ Ø Å Ò N L Ö Ù ÒØ ÖÐ Øº Ë Ø Ø Ù ÐÐ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ö ÖÙÒ Ñ Ò Ò Ø Ò L Ð Ò ÞÙÞ Ð ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ù Nº Ë Ö ÖØ Ö Ø ÐÐØ Ø Ù Ö Ñ Å Ò Mº ÁÑ Ö Ø Ò Ö ÑÑ Ø ÒÙÒ Ë Ò ØØÑ Ò M ( N L ) Ö Ø ÐÐØ Û Ð Ñ Ò Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ù Å ÙÒ N L Ð Ó ÐÐ Ò Ò Ç Ø Ð Ò ÓÛÓ Ð Ö Ù Ð Ù Ö ÖØ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò ÒØ ÐØº

7 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ Ù º Î Ö Ò Ò Ë ÓÐ Ò Ò Ì ÖÑ ÓÛ Ø Û Ñ Ð (a )(a ) 6 a a +a 6 x + +x µ + x ab a b ( ) ln(x y )+ln ln ( (x+y) ) x y ÍÑ Ò Ð Ò Ø Ò Ñ Ò Ñ Ò Æ ÒÒ Ö ÞÙ Ð Ò Þ ÖÐ Ò Û Ö ÞÙÒ Ø Æ ÒÒ Ö ¾º ÙÒ º ÖÙ Ò ØÓÖ Ò ½µº ÁÒ Ö ¾º Ð Ð Ò Û Ö ÒÒ ÞÙÒ Ø Ò À ÙÔØÒ ÒÒ Ö ¾µ ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ò Ð Ö µº (a )(a ) 6 a () a +a 6 (a )(a ) 6 (a )(a+) + 5 (a+)(a ) () (a+)(a ) 6(a )(a )+5(a )(a ) () (a +a 6) (a a+)+(0a 5a+5) (a )(a )(a+)(a ) (a )(a )(a+)(a ) a +a () (a )(a )(a+)(a ) (a )(a+) (5) (a )(a )(a+)(a ) (a )(a ) Ö Ð Ò Ò ØÓÖÞ ÖÐ ÙÒ Ð Ö Þ Ø Û Ö Ò Ð Ö ÙÒ Æ ÒÒ Ö ÒÓ ÙÖ Ò Ò Ö ÖÞ Ò ÒÒ Ò º ÙÒ Ø ØÖ Ø Ò Û Ö ÒÙÖ Ò Æ ÒÒ Ö ÖÙ º Ö Ð Ø ÓÐ Ò Ö Å Ò ÙÑ ÓÖ¹ Ñ Òº + x + x x Ë ØÞ Ò Û Ö ÍÑ ÓÖÑÙÒ Ò Ù Ò Ó ÒØ Ø Ø Ò ÓÔÔ Ð ÖÙ º Ò ÒÒ Ò Û Ö Ú ÖÑ Ò Ò Ñ Û Ö Ò Ò Ù ÒØ Ø Ò Ò Ò Æ ÒÒ Ö Æ ÒÒ Ö x Ð ÞÙ ØÞÐ Ò ØÓÖ Ò Ò Ð Ö Ö Ò ½µº Ö ÓÐ Ò Ò Î Ö Ò ÙÒ Ð Ö Ñ Ø À Ð Ö ÏÙÖÞ Ð ØÞ ¾µ ¹ ÒØ Ø Ø Ò Ñ Ò Ñ Ö ØÓÖ ÙÖ Ò Û Ö Ð Ò ÖÞ Ò

8 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ÒÒ Ò º x + +x + x () ( x x + +x ) () x + x x + x +x x + () x x +(+x )( x ) +x x + () x x + x x + (5) ( x + ) x x + (6) x µ ab ab a b a 6 b 6 a 6 a b b 6 a 7 b ( ) ln(x y )+ln x y ( ) (x y)(x+y) ln (x+y) (x y) ln ( (x+y) ) ln ( ln (x+y) ( x y )( x y ) (x+y) ) ln(x+y) Ù º Î Ö Ò Ò Ë ÓÛ Ø Ð Ñ Ð (sin(x)+cos(x)) tan(x) + cot(x) sin( x)+cos( x)+sin ( π x) +cos ( π x) cos(x+π)+cos(x+π)+cos(x+π) Ù Ø Ò ÒÛ Ò ÙÒ ØÖ º Ë ØÞ ÈÝØ ÓÖ º º ÚÓÒ sin (x)+cos (x) º ÁÒ Ö Ä ÙÒ Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö ÖÙ Ð ÆÓØ Ø ÓÒ sin (x) (sin(x)) ÙÑ ÃÐ ÑÑ ÖÒ ÞÙ Ô Ö Òº Ð Ö Ø ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Û Ö ÒÓÑ Ù ÙÒ Ö ØÞ Ò Ì Ò Ò ÙÒ ÓØ Ò Ò ÙÖ Ë ÒÙ ¹ ÙÒ Ó ÒÙ Ù Ö ½µº Ò Û Ò Ò Û Ö Ò ØÖ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ò Æ ÒÒ Ö ÖÙ ¾µº Æ Ñ Ë Ö ØØ ÒÒ Ò Û Ö Ò ØÖ º ÈÝØ ÓÖ Ò ÞÛ Ø Ñ Ð

9 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ Ú ÖÛ Ò Ò µ ÛÓÖ Ù ÒÒ Ù Ø Ö Ò ÓÐ Ø º (sin(x)+cos(x)) () tan(x) + cot(x) sin (x)+cos (x) +sin(x)cos(x) }{{} sin(x) cos(x) + cos(x) sin(x) () +sin(x)cos(x) sin(x)cos(x) () cos (x)+sin +sin(x)cos(x) sin(x)cos(x) () (x) sin( x)+cos( x)+sin ( π x) +cos ( π x) sin(x)+cos(x)+cos(x)+sin(x) cos(x+π)+cos(x+π)+cos(x+π) cos(x)+cos(x) cos(x) cos(x) cos(x) Ù º Î Ö Ò Ò Ë ÓÛ Ø Û Ñ Ð µ ab 5 ( ) ab 5 sin(90 α)+cos(α+80 ) tan(α+90 ) cot(α 80 ) sin (x) cos (x)+ +tan (x) Ë Ö Ò Ë Ò ÓÐ Ò Ò Ì ÖÑ Ñ Ø ÓÛ Ò Ò ÄÓ Ö Ø Ñ Ò Û Ò Ø ln(x) ln(y)+ln(y )+ ln( x ) ln(x+y)ln(x y) ab 5 ( ) ab 5 a 5 b 5 ( ) 5 a b 8+ 0 a 7 0 b sin(90 α)+cos(α+80 ) tan(α+90 ) cot(α 80 ) cos(α) cos(α) cot(α) cot(α) cos(α) cot(α) cos(α) cos(α) sin(α) sin(α)

10 µ Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ½¼ sin (x) cos (x)+ sin (x) cos (x)+ ln(x) ln(y)+ln(y )+ ln( x ) ln(x+y)ln(x y) +tan (x) sin (x) cos (x)+ + sin (x) cos (x) cos (x) cos (x)+sin (x) sin (x) cos (x)+ cos (x) sin (x) +cos (x) sin (x) +sin (x) +cos (x) sin (x)+ ln(x) ln(y)+ln(y) ln(x) ln(x+y)ln(x y) Ò Û Ø Ö Î Ö Ò ÙÒ ÚÓÖ ÐÐ Ñ Æ ÒÒ Ö µ Ø Ò Ø Ñ Ð º 5 ln(x)+ 8 ln(y) ln(x+y)ln(x y) ln(x 5 y 8 ) ln(x+y)ln(x y) Ù º Ä Ò Ë ÓÐ Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ò x Ù 5x+ +7 ( ) x + µ a x a + b x ax c x +ax Ö Ù Ñ Ò Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ Ö Ø Ø Û Ö Òº 5x x }{{ } 7 7 5x+ 5x+ 5x+ +7 Kehrwert x+ Kehrwert 5x+ : 5 x 5

11 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ½½ (+ ) x + (+ + Kehrwert ) x ( ) x + + ln anwenden (x )ln ( + ) ( ) ln + : ln ( + ) + x ln(+ ) ln(+ ) µ a x a + b c x ax x +ax a (x a)(x+a) + b x(x a) c x(x+a) Nenner faktorisieren x(x a)(x+a) x(x a)(x+a) 0 ax+b(x+a) c(x a) als Polynom von x schreiben (a+b)x+ba cx ca cx ba (a+b c)x ba ca : (a+b c) a+b c 0 x ab ac a+b c a(b+c) c a b Ö Ù Ø Ò ËÔ Þ Ð ÐÐ º º º Ö x Ï ÖØ 0,a, a Ò Ø ÒÒ Ñ Òº Ù Ö ÐÐ c a+b ÑÙ ÓÒ ÖØ Ò ÐØ Û Ö Òº ÁÒ Ñ ÐÐ Ø Ò Ä ÙÒ Û ÒÒ ÓÛÓ Ð a 0 Ð Ù b+c 0 Ó Ö ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ò Û ÒÒ a 0 Ó Ö b+c 0 Øº Ù ½¼º Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø ÓÒ ¹ ÙÒ Ä ÙÒ Ñ Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ð ÙÒ Ò ÙÒ ÍÒ Ð ÙÒ¹ Òº 6 + ln(x +e) x++ 5x 6 µ 5 x >

12 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ½¾ Ö ÙÑ ÒØ ÄÓ Ö Ø ÑÙ Ø Ø Ø Ö Ö Ð eº Ð ÒÒ Ö Æ ÒÒ Ö Ò Ø ÆÙÐÐ Û Ö Òº Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ö Ð ÙÒ Ø Ð Ó Rº 6 + ln(x +e) ln(x +e) Kehrwert 6 7 ln(x +e) Exponentieren e 6 7 x +e e e 6 7 e x Ð Ò Ë Ø Ø Ò Ò Ø Ú Ðº Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ò Ø Ú Û Ö Ò ÒÒ Ø Ä ÙÒ Ñ Ò Ð Ó Ð Ö Å Ò º ÏÙÖÞ Ð Þ ÔØ ÖØ ÒÙÖ ÔÓ Ø Ú Ö ÙÑ ÒØ º ÏÙÖÞ Ð Ð Ö Ú ÖÐ Ò Ø Ð x+ 0 x º Æ ÒÒ Ö Ú ÖÐ Ò Ø 5x 6 0 x 6 5 º Ö Æ ÒÒ Ö Ù Ö Ñ Ò Ø ÆÍÐÐ Û Ö Ò Ö ÑÙ Ó Ö ÐØ Ò x > 6 5 º Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ø Ð Ó ÁÒØ ÖÚ ÐÐ (6 5 ; ) x++ 5x 6 5x 6 x++ 5x 6 quadrieren ( x++ ) 5x 6 x }{{} x+++ x+ x+ x 0 : x+ x 5 quadrieren x+ (x 5) x 5 }{{} x 0x+5 x x quadrat ergänzen ( ) x ( ) + ( ) ( ) x }{{ Wurzel ziehen } 8( 9 ) ± 9 x + ±9 x Ð ÙÒ Ø Ð Ó ÞÛ Ñ Ð Ò x ÙÒ x º Ò Ð Ò Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ñ Ò º ÒÒ Ö Ò ÙÖ ÉÙ Ö Ö Ò Ë ÒÐ ÙÒ Ò ÒØ Ø Ò Ò Ò º Ï Ö Ò Ø Ò Ð Ó Ò ÈÖÓ Ä ÙÒ x Ø Ð Ó Ò Ë ÒÐ ÙÒ º Ä ÙÒ Ñ Ò Ø ÑÒ {}º µ Ö Æ ÒÒ Ö Ö Ò Ø ÆÙÐÐ Û Ö Òº Ò Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ÑÒ R\{ 5 }º < 0 Ø Ö Ø Ë Ø Ö Ð ÙÒ 5 x > Ò Ø Úº Ö x < 5 Ð Ò Ë Ø Ö ÔÓ Ø Ú Ø Ø Ð ÙÒ Ò Ñ ÐÐ Ø Ø Ö ÐÐØº Ö x > 5 Ò Ë Ø Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ø Úº ÒÙÒ Ö ÈÖÓ Ù Ø ( )(5 x)

13 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ½ ÔÓ Ø Ú Ø Ö ÐØ Ò Û Ö Ò Ñ ÐÐ 5 x > ( )(5 x) > 5 x +x + x > + : x > + ÆÙÒ Ø + > + 5 ÙÒ Ñ Ø Ø Ð ÙÒ Ò Ñ ÐÐ ÒÙÖ Ö x > + Ö ÐÐØº Ò Û Ö ÐÐ ÞÙ ÑÑ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø Ö Ä ÙÒ Ñ Ò ( ( ; ) 5 + ) ; Ù ½½º Ö Û Ð Ð Ò a Ø Ð ÙÒ 5 x (a )x+a + 0 Ò Ù Ò Ä ÙÒ º Ä Ò Ë Ð ÙÒ ln (x)+ ln(x )+a Ò x Ù º µ Ö Ë ØÓÖ Ò ÃÖ Ñ Ø Ê Ù cm Ø Ò Ò Ð Ò Ò ÐØ ÚÓÒ 9cm º Ï ÖÓ Ø Ö Ï Ò Ð ÃÖ ØÓÖ Ñ Ó ÒÑ ÙÒ Û ÖÓ Ø ÄÒ ÃÖ Ó Ò º Ð ÙÒ 5 x (a )x+a + 0 Ø Ò ÕÙ Ö Ö Ø Ð ÙÒ º Ò Ð Ò Ð Ñ Ø À Ð Ö Ö ÓÖÑ Ð (a ) 5 (a +) x, a ± 5 Ò Òº Ñ Ø Ð ÙÒ Ò Ù Ò Ä ÙÒ Ø ÑÙ Ö Ñ Ò Ø Ò ( a ) 5 ( a + ) 0 Òº Ð ÙÒ Ñ Ò Û Ö ÒÙÒ Ò a Ù Ò ( a ) ( 5 a + ) 0 vereinfachen a 7a + 0 Ù Ö Ò Û Ö Û Ö Ñ Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ð ÙÒ ÞÙ ØÙÒº ÐÐ Ö Ò Ò Ö Î Ö Ð u a º Ò Ò Ñ Ø u, 7± 7 7±5 8 ÒØ ÔÖ Ò Ò Ï ÖØ Ö a Ò ÑÒ ± { ÙÒ ± º º Ð Ò,,,

14 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ½ ln (x)+ ln(x ) +a ln(x) a }{{} ln(x) ln (x) ln(x)+ a 0 Ï Ö Ò Û Ö Ñ Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ð ÙÒ ÞÙ ØÙÒº Ò Ö u ln(x) Ð ÙØ Ò u, ± ( a ) ± a ± a ÓÛÓ Ð + a Ð Ù a Ò Ä ÙÒ Ö u Ø ÒÒ Ò Û Ö Ò Ù ÖÙ Ó Ö ÒÓ Û Ø Ö Ú Ö Ò Ò u, ±a Ù Ø Ò Ò Ò ÑÒ Ò Ö Ð ÙÒ ln(x) ±a º º x e ±a º µ Ö Ð Ò Ò ÐØ ÃÖ Ø π (cm) π 9cm º Ö ÃÖ ØÓÖ Ø Ñ Ø π ¹Ø Ð ÎÓÐÐ Ö º Ö ÎÓÐÐ Ö Ò Ñ ÃÖ ØÓÖ Ñ Ø Ï Ò Ð π ÒØ ÔÖ Ø Ø Ö Ù Ø Ï Ò Ð ÃÖ ¹ ØÓÖ Ñ Ó ÒÑ π π º ÄÒ ÃÖ Ó Ò Ø Ò Ø Ò Ö Ð ÈÖÓ Ù Ø Ï Ò Ð Ñ Ó ÒÑ µ Ñ Ø Ñ Ê Ù ÃÖ º º cm 6cmº Ù ½¾º Ä Ò Ë ÓÐ Ò Ð Ò Ö Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ò x,y,z Ù º x + 6y z x + 0y + z 9 5x + y + z 5 Ö Û Ð Ò Ï ÖØ È Ö Ñ Ø Ö b Ø ÓÐ Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ð Öº x + y + z 0 x y z x + y + z b Ï Ö Ð Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ù Ð ÓÖ Ø ÑÙ º ÞÙ Û Ð Ò Û Ö Ñ Ö Ø Ò Ë Ö ØØ Ö Ø Ð ÙÒ Ð È ÚÓØÚ Ö Ð ÙÒ z Ð È ÚÓØÚ Ö Ð º ÁÑ ÞÛ Ø Ò Ë Ö ØØ Ø Ø Ò

15 Å ÌÀ Å ÌÁË À Ê ÁÌÆ ËËÌ ËÌ Ê Á ÁÆÌÊÁÌÌ ÁÆ Á ÀÇ ÀË ÀÍÄ Ê ÈÈ ÊËÏÁÄ ½ º Ð ÙÒ Ð È ÚÓØ Ð ÙÒ ÞÙ Ò Ñ Ò ÙÒ x Ð È ÚÓØÚ Ö Ð º x + 6y z x + 0y + z 9 + # 5x + y + z 5 + # x + 6y z 8x + y 5 # 8x + y x + 6y z y 8x + y Ñ Ø Ö ÐØ Ò Û Ö y x ( 69 8 ) z ( 6 ) Ï Ö Ð Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ù Ð ÓÖ Ø ÑÙ º ÞÙ Û Ð Ò Û Ö Ñ Ö Ø Ò Ë Ö ØØ Ö Ø Ð ÙÒ Ð È ÚÓØÞ Ð ÙÒ z Ð È ÚÓØÚ Ö Ð º ÁÑ ÞÛ Ø Ò Ë Ö ØØ Ø Ø Ò ¾º Ð ÙÒ Ð È ÚÓØ Ð ÙÒ ÞÙ Ò Ñ Ò ÙÒ x Ð È ÚÓØÚ Ö Ð º x + y + z 0 x y z + # x + y + z b # x + y + z 0 x + y x y b +# x + y + z 0 x + y 0 b+ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ø ÒÙÖ Ð Ö Û ÒÒ b+ 0 b Øº