ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ½ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Î ØÓÖ ÓÑ ØÖ Ò ÖÙÑÐ Ò ÃÓÓÖ º Ò Ò ¾ ½º½ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Ò Ø Ä Ò
|
|
|
- Gundi Günther
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Å Ø Ñ Ø º Ë Ñ Ø Ö
2 ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ½ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Î ØÓÖ ÓÑ ØÖ Ò ÖÙÑÐ Ò ÃÓÓÖ º Ò Ò ¾ ½º½ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ËÔ Þ ÐÐ Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ö Ò ÙÒ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ù Ò ÞÙ ØÒ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ï Ò ÐÒ º º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ ¾º½ Ê Ñ ÒÒ ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ò Ø ÓÒ ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾ ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ À ÙÔØ ØÞ Ö Ö ÒØ Ð¹ ÙÒ ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º½ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º¾ À ÙÔØ ØÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º ËÙÑÑ Ò¹ÙÒ ØÓÖÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º Ð Ò Ö ÒÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ö ÒÙÒ Ò Ó Ò È Ö Ñ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ö ÒÙÒ Ò Ñ Ø È Ö Ñ Ø ÖÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ È ÖØ ÐÐ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÎÓÐÙÑ Ò Ö ÒÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ ¾º ÍÒ ÒØÐ ÁÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º½ Æ Ø¹ Ò Ð ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÒÞ Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º º¾ ÃÖ Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÒÞ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ò Ö È Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º½ Û Ø Æ ÛØÓÒ Ü ÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º¾ È Ý Ð Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º º À ÖÑÓÒ Ö Ç Þ ÐÐ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ ¾º Ò Ò ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÁÒØ Ö ÖØ µ º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º º½ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ø Ú ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º º¾ ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
3 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ ½ ½º½ Î ØÓÖ ÓÑ ØÖ Ò ÖÙÑÐ Ò ÃÓÓÖ º Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ò Ô Ð Ò Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ø x 4y +z +5 =. Å Ò ÐÐ Ö ÈÙÒ Ø P(x y z) Ö Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x y z Ð ÙÒ Ö ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ò Ñ Ê ÙѺ Ù Ö Ñ Ø Ø Ö Î ØÓÖ 4, Ö Ù Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÚÓÖ Ò Î Ö Ð Ò x y z Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ö Ò º Ò Ì Ø Ò Û Ö Ò Û Ö ØÞØ Ò ÐÐ Ñ Ò Ö ÓÖÑ Û Ò
4 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Þ ÒÙÒ Î ØÓÖ Ò Û n Ò Ö Ø Ù Ò Ö Ò Ø Ò Ò ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò Ö Ò º Ò Ø Ö Ð Ê Ø Ö Ø ÐÐØ Ö ÒÙÖ ÙÑ Ö ÙÔØ Þ Ò Ò ÞÙ ÒÒ Òº ÁÒ Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ò Ò Ò Ò Ê Ò Ò Ð Ó Ò ÐÐ Ê ØÙÒ Ò ÙÒ¹ Ò Ð Û Ø Ù Òغ
5 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ô Ð ½ Ò ÙÖ Ö ÈÙÒ Ø Ö Ò Ò ÙÒ Þ Ò Òµ Ò E ÒØ ÐØ ÈÙÒ Ø A(4 7) B( ) ÙÒ C( )º µ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ Eº µ Ö Ò Ò Ë Ò Ò ØØ Ë Ò ØØÔÙÒ Ø ÚÓÒ E Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ ¹ Ò Ø Ò Òµ ÙÒ Þ Ò Ò Ë E Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñº
6 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ
7 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ù ½ Ò ÙÖ Ö ÈÙÒ Ø Ö Ò Ò ÙÒ Þ Ò Òµ Ò E ÒØ ÐØ ÈÙÒ Ø µ A(4 ) B(7 4) C( 5 ) µ A( 5 4) B(7 ) C( 8 5 ) µ A( ) B(7 5 ) C(7 5) Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ Eº Ù ¾ Ò ÙÖ Ö ÈÙÒ Ø Ö Ò Ò ÙÒ Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ò Ù ½ Ò Ò ØØ Ö Ò Ò E ÙÒ Þ Ò Ò Ë Ò Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñº Ù Ò ÙÖ Ö ÙÒ ÈÙÒ Øµ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò ÙÖ Ò ÈÙÒ Ø P ÙÒ Ö g غ µ P( ) g : x y z µ P( 6 4) g : x y z +t +t Ù Ò ÙÖ ÞÛ Ô Ö ÐÐ Ð Ö Òµ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ö ¹ Ò g ÙÒ h ÒØ Ðغ µ g : x y +t, h : x y +t z 6 z µ g : x y z 4 +t 4, h : x y z +t 4 Ù Ò ÙÖ ÞÛ Ò Ò Ö Òµ Ò Ë Ö Ò g ÙÒ h Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ¹ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö ÚÓÒ g ÙÒ h Ù Ô ÒÒØ Ò Ò º µ g : x y 5 +t 5 7, h : x y 6 6 +t 5 z z 4 µ g : x y 5 +t, h : x y +t z 8 4 z 8 4 Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ù Ò Ò ØØ Ò Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ò ØØ Ò µ x = y = z = µ x = 8 y = 6 z =
8 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù Î Ö µ Á Ø Î Ö Ñ Ø Ò Ò A( ) B( 4 ) C( 5) D( 5 ) Ò Ó Ö Ò Ø Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ù Ò Ò ØØ Ò Ò ÐÐ Ñ Ò Ö ÓÖѵ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ñ Ø Ò Ò Ò ØØ Ò x = α y = β z = γº
9 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù ½ µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò AB = 7 4 ( ) 4 ( ) ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ 4 6 Ä ÙÒ Ò AC = 4 5 ( ) ( ) 4 n = 4 4 4( ) 6( ) 6( 4) ( ) 4 :7 6 ( ) 4( 4) 7 ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x y +z +d = º º º C( 5 ) Ò ØÞ Ò ( 5)+( )+d = +d = d = º E : x y +z = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò AB = ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = AC = ( 5)( ) ( 7)( ) ( 7)( ) 5( ) 5( ) ( 5)( ) 6 8 :( ) 4 5 ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x 4y+5z+d = º º º B(7 ) Ò ØÞ Ò ( )+d = 6+d = d = 6º E : x 4y+5z 6 = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò AB = 7 5 ( ) ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ AC = 7 5 ( ) 7 4 n = ( ) 4( 4) 4 7 7( ) 8 4 :( ) 4 4 7( 4) ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 4x+y 8z+d = º º º A( ) Ò ØÞ Ò 4 + 8( )+d = 5+d = d = 5º E : 4x+y 8z 5 = Ù ¾ Ò Ò ØØ µ S(x ) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x + = x = 6 S( y ) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : y+ = y = 4 S( z) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : +z = z = µ S(x ) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x 6 = x = S( y ) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 4y 6 = y =.5 S( z) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 5z 6 = z =.
10 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ µ S(x ) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 4x 5 = x = 6.5 S( y ) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : y 5 = y = 5 S( z) Ò ØÞ Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 8z 5 = z =.75 ÒÙÒ Ò µ µ µ Ù µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ò ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø Ù Û Ð Ò Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ö Ö Þ Ø Ð Ó Ò ÈÙÒ Ø Q( ) ÙÒ ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø P( )º Ð Ó ÒØ ÐØ Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ PQ = ( ) Ë ÒØ ÐØ Ù Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v Ö Ö v =.
11 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½¼ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x y z+d = º º º P( ) Ò ØÞ Ò ( ) +d = d = 4 E : x y z 4 = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ò ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø Ù Û Ð Ò Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ö Ö Þ Ø Ð Ó Ò ÈÙÒ Ø Q( ) ÙÒ ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø P( 6 4)º Ð Ó ÒØ ÐØ Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ PQ = ( ) ( 6) Ë ÒØ ÐØ Ù Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v Ö Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ v =. 5 6 n := 4 6 6( ) ( 7) ( 7) 4( ) : ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 5x y+z+d = º º º P( ) Ò ØÞ Ò 5 +( )+d = d = 4 E : 5x y +z 4 = Ù µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ò ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø Ù Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ö ¹ Ö Ò Þ Ò Ð Ó ÈÙÒ Ø P( 6) ÙÒ Q( ) ÙÒ Ñ Ø Ò Ê ¹ ØÙÒ Ú ØÓÖ PQ = ( ) 6 5 Ë ÒØ ÐØ Ù Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ò Ö Ò v = ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ. 4 8 n := ( ) ( 5) ( 5)( ) : 7 5 ( )( ) 4 ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x+7y 4z+d = º º º Q( ) Ò ØÞ Ò +7( ) 4 +d = d = 9 E : x+7y 4z +9 = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò Ò ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø Ù Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ö Ö ¹
12 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½½ Ò Þ Ò Ð Ó ÈÙÒ Ø P(4 ) ÙÒ Q( ) ÙÒ Ñ Ø Ò Ê ØÙÒ ¹ Ú ØÓÖ PQ = 4. ( ) 5 Ë ÒØ ÐØ Ù Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ö Ò Ö Ò v = 4 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := 4 ( )( ) ( ) 8 :( ) 6 5 ( )4 ( ) 6 ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : 6x y+z+d = º º ºP(4 ) Ò ØÞ Ò 6 4 +( )+d = d = E : 6x y +z = Ù µ Ü Ø ÒÞ Ë Ò ØØÔÙÒ Ø 5 + t s 5 + 5t = 6 + s 5 + 7t = 6 + 5s 4 t = 4 + s 5t s = 7t 5s = TR t =,s = g,h Ò Ò t s = Ò Ò Ð ÙÒ 8 4 n := ( )5 ( ) 5 : E : x y+z+d = º Þº º P(5 ) Ò ØÞ Ò 5 ++d = d = E : x y+z + = µ Ü Ø ÒÞ Ë Ò ØØÔÙÒ Ø 5 +t +s 5 + t = t = + s t = 8 + 4s t = t s = TR t =,s = g,h Ò Ò 4t 4s = 6 Ò Ò Ð ÙÒ 8 n := ( ) ( ) 4 4 E : 8x+y z +d = º º º P(5 8) Ò ØÞ Ò d = 4 4+d = d = 6 E : 8x+y z 6 = Ù µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò A( ) B( ) C( ) Eº AB = ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ AC =
13 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½¾ n := AB AC = 9 ( 6) ( 6) : Ò Ò Ð ÙÒ E : x + y + z + d = º º º A( ) Ò ØÞ Ò E : 6 + d = d = 6 E : x+y+z 6 = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò A(8 ) B( 6 ) C( ) Eº AB = ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := AB AC = :( ) 48 AC = 4 4 Ò Ò Ð ÙÒ E : x 4y +4z +d = º º º A(8 ) Ò ØÞ Ò E : 4+d = d = 4 E : x 4y+4z 4 = 8 8 Ù Á Ò Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ù Ø ÐÐ Ò ÈÙÒ Ø ÒØ Ðغ ÒÒ ÙÒØ Ö Ù Ò Ó Ö ÈÙÒ Ø Ò Ð Øº Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò AB = 4 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ( ) AC = n := Ò Ò Ð ÙÒ E : 8x+9y+z+d = º º º C( 5) Ò ØÞ Ò E : 8+55+d = d = 8 E : 8x+9y+z 8 = D E D( 5 ) Ò ØÞ Ò Ò = = D E ( ) 5 Ù Á Ð ÎÓÖ Ò Û Ù º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò A(α ) B( β ) C( γ) Eº AB = ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := AB AC = α β α γ α β βγ αγ αβ α β AC = α γ Ò Ò Ð ÙÒ E : βγx + αγy + αβz + d = º º º A(α ) Ò ØÞ Ò E : αβγ + d = d = αβγ E : βγx+αγy +αβz αβγ = Ó Ö ÐÐ α,β,γ Ò Ú ÓÒ ÙÖ αβγµ E : x α + y β + z γ = α γ
14 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ ½º¾ Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò Ø Ä ÞÛ Ö Ò Ò Ø Ö Å Ð Ø Ò ÒØÛ Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ó Ö Ó Ö ÒØ Ó Ö Ò Ò Ò Ò Ö Ö Ò Ö Ö Ë Ò ØØ Ö Òº Ô Ö ÐÐ Ð ÒØ Ò Ò Ñ Ö ÙÒ Ö ÆÓÖÑ Ð ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ò ËÔ ÒÒ Ò ÞÛ È Ö¹ ÓÒ Ò ÙÒ Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò Ä ÒØÙ Ò Ò Ñ ÑÑ Ö Ø ÐÐÚ ÖØÖ Ø Ò Ö ÞÛ Ò Òµ Ó Ø Ò Ö Ò Ù ÐÐ Û ÒÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ó Ö Ö ÒØ Ò º Ô Ð ¾ Ò Ø Ä Ø ÑÑ Ò ÙÒ Ë Ò ØØ Ö Ö Ò Òµ Ò Ò Ò Ò Ø ÑÑ Ò Ë µ Ö Ò Ø Ä º E : x+y z +4 = ÙÒ F : x 4y +z = º µ Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ë Ò ØØ Ö Ò ÐÐ Ü Ø Öصº
15 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½
16 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ñ Ö ÙÒ Ï Ö Ò Ñ Ô Ð ÚÓÖ Ù ØÞØ Ë Ò ØØ Ö g Ö Ò Ò Ò Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Üݹ Ò Ð Øº ÏÖ Ô Ö ÐÐ Ð Ó ÒÒØ Ò Û Ö Ù Ò ÐÓ Ñ Ø Ö ÝÞ¹ Ò Ó Ö Ñ Ø Ö ÜÞ¹ Ò Ð Òº Å Ø Ò Ö Ö Ö À ÙÔØ Ò Ò Ð ÔÔØ ÑÑ Ö ÒÒ Ø Ò Ö ÞÙ ÐÐ Ò Ö À ÙÔØ Ò Ò Ô Ö ÐРРغ ÐÐ Ñ Ò ÎÓÖ Ò ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ Ö Ò Ø Ò Ä ÞÛ Ö Ò Ò b c b c Ò Ò Á Ø Ð ÙÒ ÚÓÒ E Ò Î Ð Ö Ðº ÚÓÒ F Ò Ò E : x+by+cz +d = F : x+b y +c z +d = ÒØ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð
17 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ô Ð Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Òµ Ò Ò Ò Ò Ò E : x+y z +4 = ÙÒ F : x 4y +z = ÚÓÑ Ó Ò Ô Ð ¾º Ö Ò Ò Ë Ö Ò Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ï Ò Ð ÙÒØ Ö Ñ Ò Ò Ò Òµº
18 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ù Ò Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò Ù Ò Ø Ä Ø ÑÑ Ò ÙÒ Ë Ò ØØ Ö Ö Ò Òµ Ò Ò Ò Ò E : x y +z 6 = ÙÒ F : x+y 4z + = µ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø Ä Ö Ò Ò Òº µ Ö Ò Ò Ë Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ë Ò ØØ Ö Ò ÐÐ Ü ¹ Ø Öغ Ù ½¼ Ò Ø Ä Ø ÑÑ Ò ÙÒ Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Òµ Ò Ø Ò ÙÖ Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x+y z + = ÙÒ Ò ÙÖ Ö ÈÙÒ Ø A( ) B( ) C( )º µ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø Ä Ö Ò Ò Òº µ Ö Ò Ò Ë Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ë Ò ØØ Ö Ò ÐÐ Ü ¹ Ø Öغ Ù ½½ Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Òµ Ò µ Ö Ò Ò Ë Ò Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ù Ò ÙÒ ½¼º Ù ½¾ Ò Ø Ä Ø ÑÑ Òµ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø Ä Ö Ò Ò E : x y +4z 5 = ÙÒ F : 6x+4y 8z = º Ò µ Ù ½ Ò Ø Ä Ø ÑÑ Òµ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Ø Ä Ö Ò Ò E : x y +4z 5 = ÙÒ F : 6x+4y 8z + = º Ò µ Ù ½ Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Òµ Ò Ø ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò E : x y z + =, ÙÒ Ò F ÒØ ÐØ Ò ÈÙÒ Ø A( ) ÙÒ Ö x g : y +t. z Ö Ò Ò Ë Ò Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Ò Òº
19 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ù µ Ä ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò 4 Ä ÙÒ Ò Ò Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ë Ò ØØ Ö Á Ø Ò Ø Ô Ö Ù ÐÐ Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Üݹ Ò Ø Ñ Ò Ö Ò Ò Ò ÆÓÖ¹ Ñ ÐÚ ØÓÖ Ò Ò Û Ð Ö Ö Ø Ò Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Î Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ò º Ö Ë ØØ Ò Ò Ö Üݹ Ò Ò Ò Ø Ô Ö ÐРе Ò Ø º º º Ø Ò Ò ÈÙÒ Ø A(x y ) Ù Ñ Ø Þ¹ÃÓÓÖ Ò Ø ¼º A(x y ) Ù Ò Ò Ò Ð Ø ÑÙ Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐ Ò x y 6 = x+y + = x =,y = 4 A( 4 ) Ò ÐÓ ÑÙ Ò Ò ÈÙÒ Ø B(x y ) Ù Ö À ½ Ö Ö Üݹ Ò Ò Ö Ò Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐØ x y + 6 = x+y 4+ = x y + 4 = x+y = x =,y = B( ) Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v = AB = ( 4) Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÒ = OA = 4 g : 4 +t Ù ½¼ µä Ï Ö Ö Ò Ò ÞÙ Ö Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÒ AB = ( ) AC = ( ) ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n = AB AC = ( ) 6 ( ) 4 Ñ Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ x + 4y + z + d = º º º C( ) Ò ÞØ Ò + + d = d = F : x+4y +z = Ä ÚÓÒ ÙÒ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò ÙÒ 4 Ò Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ë Ò ØØ Ö Á Ø Ò Ø Ô Ö Ù ÐÐ Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Üݹ Ò Ò Ø º º º Ø Ò Ò
20 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ ÈÙÒ Ø A(x y ) Ù Ñ Ø Þ¹ÃÓÓÖ Ò Ø ¼º A(x y ) Ù Ò Ò Ò Ð Ø ÑÙ Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐ Ò x+y + = x+4y = x =,y = A( ) Ò ÐÓ ÑÙ Ò Ò ÈÙÒ Ø B(x y ) Ù Ö À ½ Ö Ö Üݹ Ò Ò Ö Ò Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÐØ x+y + = x+4y + = x+y = x+4y = x = 7,y = 4 7 B( ) Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v = AB = 7 ( ) Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÒ = OA = g : Ù ½½ Ù Ù cosα = n m n m = +t 5 7 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò n = m = 4 4 Ó Ö α = = 9.66 Ù Ù ½¼ cosα = n m n m = 4 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò n = m = 4 Ù ½¾ 4 = = 8 8 =.77 α = = = 5 8 =.48 α = 6.6 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò n = 4 m = 4 º n mº Ð ÙÒ ÚÓÒ Ø Ò Î Ð Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ E F
21 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾¼ Ù ½ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ò n = 4 m = 4 º n mº Ð ÙÒ ÚÓÒ Ø Ò Î Ð Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ E = F Ù ½ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n := ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ ½º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ Ø Ö Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ µ ¾º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ ( ) º ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ m := Ë Ò ØØÛ Ò Ð cosα = n m n m = α = 8. = = 6 5 = =.55 α =. Ó Ö
22 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾½ ½º ËÔ Þ ÐÐ Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò Á Ø Ò Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ E : x + by + cz + d = Ò Ö Ö Ú Ö ÃÓ Þ ÒØ Ò b c d Ð ÒÙÐÐ Ø Ò Ò Ô Þ ÐÐ Ä Ñ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñº Á Ø Ô Ð Û = º º E : by +cz +d = Ó Ö Ù ÖÐ x+by +cz +d = µ Ó Ø Ø Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = b c Ò Ö Ø Ù Ö Ü¹ Ð Ó Ø E Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ü¹ Ì ÐÐ ½º Ð µº Ò ÐÓ ÐØ Ö ÃÓ Þ ÒØ Ò b ÙÒ cº Á Ø d = º º E : x + by + cz = Ó Ö ÐÐØ Ö ÈÙÒ Ø P( ) Ó Ò ØÐ Ò Ò Ð ÙÒ º º E ÒØ ÐØ Ò ÍÖ ÔÖÙÒ Çº Ð Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÒÙÒ Ö Ä Ö ÙÒ Ö Ä = E : by+cz +d = b = E : x+cz +d = c = E : x+by +d = = b = E : cz +d = b = c = E : x+d = = c = E : by+d = d = E : x+by +cz =
23 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾¾ Ô Ð ËÔ Þ ÐÐ Ä Ø ÑÑ Òµ Ï Ð Ô Þ ÐÐ Ä Ø Ò E : x y 4 =?
24 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ Ù Ò ËÔ Þ ÐÐ Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò Ù ½ ËÔ Þ ÐÐ Ä Ø ÑÑ Òµ Ï Ð Ô Þ ÐÐ Ä Ø Ò E µ E : x 7y + = µ E : y 5z +9 = µ E : 4x 5 = µ E : x+z = ÓÐ Ò Ò Ù ÒØÝÔ Ò Ò Ë Ö Ø ÒÑ Ð Ð Øº Æ Ù Ø ÒÙÖ Ô ¹ Þ ÐÐ Ä Ö Ò º Ù ½ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ù Ø ÐÐ Òµ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ø ÙÖ µ A( 5 ) B( ) C( 6 5) µ P(4 ) ÙÒ g : x y 6 z +t 5 µ A(6 ) ÙÒ B( ) ÙÒ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Þ¹ º Ù ½ ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ù Ø ÐÐ Òµ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò ÙÖ µ g : x y z 5 +t ÙÒ h : x y z 5 4 +t µ P(4.5 ) Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ ÜÞ¹ Ò Ø µ g : x y 4 +t ÙÒ h : x y 4 +t 5 z 8 z 8 ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ö Ó Ò Ê ÒÙÒ Ð Ö Ò Òºµ Ù ½ Ò Ò ØØ Ö Ò Ò ÙÒ Ò Þ Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ò Ò ØØ Ë Ò ØØÔÙÒ Ø ÚÓÒ E Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò¹ Òµ ÙÒ Þ Ò Ò Ë E Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñº µ x 5y + = µ 4x+z = µ 7y+z 4 = µ x+8 = Ò µ µ y 9 = Ò µ µ z + = Ò µ
25 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ Ä ÙÒ Ò Ù ½ µ Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := 7 Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ö Þ¹ E Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Þ¹ º µ Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ö Ü¹ E Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ü¹ º 5 µ Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := 4 Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ö ÝÞ¹ Ò E Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ ÝÞ¹ Ò º µ Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ö Ý¹ E ÒØ ÐØ Ý¹ º Ù ½ µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò AB = :( ) ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = : º + AC = Ò Ò Ð ÙÒ E : x+y+z +d = º º º A( 5 ) Ò ØÞ Ò +d = d = E : x+y+z = E : x+z = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ½º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ 5 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v ÚÓÒ µ ¾º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ 4 ( 6) 4 5 ( ) ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = : 5 º Ò Ò Ð ÙÒ E : x+y 5z +d = º º º P(4 ) Ò ØÞ Ò 4+( ) 5 +d = 8+d = d = 8 E : y+5z +8 = µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ½º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ AB = ¾º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ 6 7 Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Þ¹ µ
26 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = Ò Ò Ð ÙÒ E : x+7y +z +d = º º º P(6 ) Ò ØÞ Ò d = +d = d = E : x+7y + = º Ù ½ µ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ½º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v ÚÓÒ ÞÛº ÚÓÒ µ ¾º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ 5 5 ( ) 4 Þ Ø ÚÓÒ Ù µ 4 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = :( 6) Ò Ò Ð ÙÒ E : x + y + z + d = º º º P(5 ) Ò ØÞ Ò d = 5+d = d = 5 E : x 5 = Ð Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ ÝÞ¹ Ò ÙÒ Ò Ø Ü¹ ºµ µ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = E Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ ÜÞ¹ Ò µº Ò Ò Ð ÙÒ E : x + y + z + d = º P(4.5 ) Ò ØÞ Ò.5 + d = d =.5 E : y +.5 = Ó Ö E : y +5 = µ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n = ØÓÖ Ò ÚÓÒ µº 5 7 :7 Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ö Ê ØÙÒ Ú ¹ Ò Ò Ð ÙÒ E : x+y+z+d= º º º P( 4 8) Ò ØÞ Ò d= d = 8 E : z 8 = Ù ½ Ò Ò ØØ µ ܹ Ò Ò ØØ Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ë ÚÓÒ Ñ Ø Ö Ü¹ Ø ÓÖÑS(x )º
27 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ Ò ØÞ Ò Ò x+ = x = º ݹ Ò Ò ØØ Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ë ÚÓÒ Ñ Ø Ö Ý¹ Ø ÓÖÑS( y )º Ò ØÞ Ò Ò 5y+ = y = 6 Þ¹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ý¹ Рغ µ ܹ Ò Ò ØØ S(x ) Ò ØÞ Ò Ò 4x = x = ݹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ý¹ Рغ Þ¹ Ò Ò ØØ S( z) Ò ØÞ Ò Ò z = z = 4 µ ܹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ü¹ Рغ ݹ Ò Ò ØØ S( y ) Ò ØÞ Ò Ò 7y 4 = y = Þ¹ Ò Ò ØØ S( z) Ò ØÞ Ò Ò z 4 = z = 7 µ ܹ Ò Ò ØØ S(x ) Ò ØÞ Ò Ò x+8 = x = 4 ݹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ý¹ Рغ Þ¹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Þ¹ Рغ µ ܹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ü¹ Рغ ݹ Ò Ò ØØ S( y ) Ò ØÞ Ò Ò y 9 = y = Þ¹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Þ¹ Рغ µ ܹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ü¹ Рغ ݹ Ò Ò ØØ Ü Ø ÖØ Ò Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ Ý¹ Рغ Þ¹ Ò Ò ØØ S( z) Ò ØÞ Ò Ò z + = z = ÒÙÒ Ò µ 4 µ 6
28 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ µ 7 µ 4 µ µ
29 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ ½º Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ö Ò ÙÒ Ò Ò Ö Ò Ø Ä Ò Ö Ö Ò g ÙÒ Ò Ö Ò E Ø Ö Å ¹ Ð Ø Ò g Ø Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙ E g Ð Ø Ò E Ó Ö g Ò Ø E Ò Ò Ñ ÈÙÒ Ø Ñ ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Øº D = Durchstosspunkt E g E g E g g E g E g E = {D} Ô Ð ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Ø ÙÒ Ò Ø Ä Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ò ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Ø ÚÓÒ g ÙÒ E ÐÐ Ö Ü Ø ÖØ ÙÒ Ò¹ Ø Ä º µ g : x y z +t 5 E : 5x+6y z 67 = µ g : x y +t E : 5x+y +z +7 = z 4 4 µ g : x y +t E : 5x+y +z 7 = z 4 4
30 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾
31 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¼
32 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ô Ð Ë Ò ØØÛ Ò Ð ÚÓÒ Ò ÙÒ Ö Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ò Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ö Ò g ÙÒ Ö Ò Eº g : x y z t E : x+y z + =
33 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ Ñ Ö ÙÒ Ö Û ÐÐ µ Ï Ö Ò Ø Å Ð Ò ÒÙÒ Ñ Ò Û ÐÐ Ö Ö ÒÙÒ Ë Ò ØØÛ Ò Ð Á Ø β Ô ØÞ Ó Ø α = 9 β ½º ÒÙÒ µº Á Ø β ØÙÑÔ Ó Ø α = β 9 ¾º ÒÙÒ µº Ð Ó ÐØ ÓÐ Ò ÓÖÑ Ð ÐÐ Ñ Ò Ð Ó β Ô ØÞ Ó Ö ØÙÑÔ Ø Á Ø β Ö Ï Ò Ð Þ Ò Ñ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n Ò Ö Ò E ÙÒ Ñ Ê ØÙÒ ¹ Ú ØÓÖ v Ò Ö Ö Ò g Ó Ò Ò g ÙÒ E ÙÒØ Ö Ñ Ï Ò Ð α = 9 β. Ô Ð ÁÑ Ó Ò Ô Ð Ø α = 9 β = 9 = =
34 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù Ò Ò Ø Ä Ò ÚÓÒ Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ù ½ ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Ø ÙÒ Ò Ø Ä Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ò ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Ø ÚÓÒ g ÙÒ E ÐÐ Ö Ü Ø ÖØ ÙÒ Ò¹ Ø Ä º µ g : x y 4 +t E : x y +4z 5 = z 8 µ g : x y z 6 4 +t E : 5x+6y z = µ g : x y z +t E : 5x+6y z = µ g : x y z 4 +t 5 E : 5x+6y z 5 = µ g : x y z 7 9 +t E : 4y z +7 = Ù ¾¼ Ë Ò ØØÛ Ò Ð Ö Ò Òµ Ö Ò Ò Ë Ò Ó Ö Ù Ò Ë Ò ØØÛ Ò Ð ÐÐ Ö ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Ø Ü ¹ Ø Öغ
35 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù ½ µ x y z Ò ØÞ Ò Ò 4 8 +t Ä ÙÒ Ò 4+t +t 8 t ( 4+t) ( +t)+4(8 t) 5= +6t+ t+ 8t 5= 5 5t = t = º Ò ØÞ Ò Ò x y z D( ) g Ò Ø E µ x y z Ò ØÞ Ò Ò 6 4 +t 4 8 t 6+t 4+t + º º º 5( t)+6(6+t) (4+t) = 5t+6+6t 4 t = t+ = º Ã Ò t Ö ÐÐØ Ð ÙÒ º ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Øº g E µ x y z Ò ØÞ Ò Ò +t 5 +5t +t 5( +5t)+6 ( +t) = 5+5t+ t = +t = t = º º Ò ØÞ Ò Ò x y z + 5 D(4 ) g Ò Ø E µ x y z Ò ØÞ Ò Ò 4 +t 5 4 º +t 4 +5t 5(+t)+6 4 (+5t) 5 = 5+t+4 4 t 5 = t = º  t Ö ÐÐØ Ð ÙÒ º g E º º g Ð Ø Ò Eµ ÙÖ ØÓ ÔÙÒ Ø x t µ y +t 4 +4t º z t º
36 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ò ØÞ Ò Ò 4(+4t) (9+5t)+7 = 8+6t 7 5t+7 = 8+t = t = 8º Ò ØÞ Ò Ò x y z D(9 ) g Ò Ø E cosβ = n v n v = 9 Ù ¾¼ µ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n = Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v = α= β 9 =.76 cosβ = n v n v = º = = =.4 β =.76 µ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n = 5 6 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v = α= β 9 = 4. cosβ = n v n v = 5 5 = = 65 6 =.56 β = µ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n = 4 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v = α= β 9 = = = 5 57 =. β = 88.48
37 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½º ØÒ A Ò ÈÙÒ Ø Ò Ö Ó Ö Ò Ò ÙÒ B Ò Óº Ö Ø Ò d ÞÛ Ò A ÙÒ B Ø Å Ò ÑÙÑ ÐÐ Ö ØÒ PQ ÚÓÒ ÈÙÒ Ø Ò P A ÙÒ Q Bº Ô Ð Ô Ö ÐÐ Ð Ö Òµ A = g B = h Ç Ò ØÐ Ñ Ò P ÙÒ Q Ö Ø¹ Û Ò Ð Ò ÖÐ Ò Ñ Ø d = PQ º Ö Ò Ë ØÙ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ö Ì ÐÐ Ú ÖÛ Ò Ø Ö Ù ÔÙÒ Ø Û Ö Ò ÓÐ Ò Ò Öغµ Ë ØÙ Ø ÓÒ Ï Ð ÚÓÒ È ÙÒ É Ë ØÙ Ø ÓÒ Ï Ð ÚÓÒ È ÙÒ É P g P d P g Ð d P ÚÓÖ Ò Q Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò h Q := Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù h Q ÈÙÒ Ø ÙÒ Ò E Q := Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù E P E P E Ð P P ÚÓÖ Ò d Q F Q := Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù F d Q g Q := Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù g Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò ÈÙÒ Ø ÙÒ Ö P g d Q E Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÙÒ Ö P g Ð Q := Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù E d P Q Û Ò Ö Ò g h Ë Ò E ÙÒ F Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ò Ñ Ø g E ÙÒ h F Ó Ø d Ö ¹ Ø Ò ÞÛ Ò E ÙÒ F º Ù ¹ Òµ P h Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø P ÙÒ Ò Ò Eº ÒÒ Ø Q := h E Ö Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù E ÛÓ ÞÙ Ò Ö Ø Ö ÙÖ P غ Q E Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø P ÙÒ Ò Ö gº ÒÒ Ø Q := g E Ö Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ P Ù g ÛÓ E ÞÙ g Ò Ö Ø Ò ÙÖ P غ P E Q g
38 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ô Ð Ø Ò ÈÙÒ Ø ÞÙ Ò µ Ö Ò Ò Ë Ò Ø Ò d ÈÙÒ Ø P( 4 7) ÚÓÒ Ö Ò E : x+y+z 4 =.
39 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ
40 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù Ò ½¼ ØÒ ËØ Ò Ö ÐÐ Ö Ì ÐÐ Ù ¾½ Ø Ò ÈÙÒ Ø ¹ Ò µ Ï Ð Ò Ø Ò Ø Ö ÈÙÒ Ø P( 6 6 7) ÚÓÒ Ö Ò E : x y+z+7= Ù ¾¾ Ø Ò ÈÙÒ Ø ¹ Ö µ Ï Ð Ò Ø Ò Ø Ö ÈÙÒ Ø P( ) ÚÓÒ Ö Ö Ò ÙÖ ÈÙÒ Ø A( 9 ) ÙÒ B(9 9 9) Ù ¾ Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ö Òµ Ò µ Ï Ð Ò Ø Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ö Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö g : x y z 4 7 +t h : x y z Ù ¾ Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ò Òµ Ò µ Ï Ð Ò Ø Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö 4 +t E : x y+5z 5 = F : x y +5z 9 = Ù ¾ Ø Ò Ò ÞÙ Ô Ö ÐÐ Ð Ö Ö µ Ò µ Ï Ð Ò Ø Ò Ø Ö ÚÓÒ Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò g : x y z 7 8 +t E : x+z + = Ù ¾ Ø Ò Û Ò Ö Ö Òµ Ö Ò Ò Ë Ò Ø Ò Ö Û Ò Ò Ö Ò g ÙÒ hº g : x y z +t h : x y z +t 6
41 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¼ Ä ÙÒ Ò ½¼ Ù ¾½ È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö ÞÙ Ò Ö Ø Ò Ö Ò ÙÖ È g : x y 6 6 +t 6+t 6 t º z 7 7+t Ò ØÞ Ò Ò ( 6+t) ( 6 t)+(7+t)+7 = 6+t+4+44t t+7 = t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OQ = PQ = t 9 ( 6) ( 6) PQ = ( ) +6 +( 6) = 6 = Ù ¾¾ Á Á Ø Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ È Ó Ø Q := E g Ö Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ È Ù º È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ 9 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v = Ò Ò Ú ØÓÖ = AB = 9 Ð ÙÒ ÚÓÒ g : 9 Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ +t 9 9 :9 t 9 +t ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n ÚÓÒ Ø Ö Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v ÚÓÒ n := º E : x+z+d = º P( ) Ò ØÞØ Ò ++d = d = 4 E : x+z 4 = º Ù ÔÙÒ Ø Q := E g Ò ØÞ Ò Ò t+(+t) 4 = t+6 = t = º Ò ØÞ Ò Ò OQ = Q( 9 7) 7 Ø Ò d = PQ PQ = d = PQ = = = 7 6
42 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ù ¾ Á Ï Ð Ö Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø È Ù Þº º P( 4 7)º Ö Ò Ò Ò Ð ¹ ÙÒ Ö Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ Èº Ö Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ È Ù Ø ÒÒ Q := E hº Ö Ù Ø Ø Ò Ø d := PQ º Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ È E : x + y + z + d = º P( 4 7) Ò ØÞ Ò ( ) d = +8+7+d = d = 8 E : x+y +z 8 = Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ È Ù Q := E h h : 4 +t 4 t +t º Ò ØÞ Ò Ò +t (4 t)+(+t)+(+t) 8 = +9t+4+4t++t 8 = 4+4t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OQ = Q( 4 ) + Ø Ò d = PQ PQ = ( ) d = PQ = 4+6 = 4 = 6.º Ù ¾ Á Ï Ð Ö Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø È Ù º Ö Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ Èº Ö Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ È Ù Ø Q := F gº Ö Ù Ø Ø Ò Ø d = PQº Ï Ð ÚÓÒ È ÎÓÒ Ò Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ü Ý Þ ÚÓÒ P(x y z) ÒÒ Ò Û Ö ÞÛ Ö Û Ð Ò Þº º x = y = º º P( z)º Ò ØÞ Ò Ò +5z 5= 5z = 5 z = º P( ) Eº È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ È g : x y +t t t z 5 +5t Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ È Ù Ø Q := g F Ò ØÞ Ò Ò (t) ( t)+5(+5t) 9 = 4t+9t+5+5t 9 = 8 4 = 8t = 4 t = º OQ = +5 Ø Ò d = PQ PQ = Q(6 9 6) d = PQ = = 4 = 8.49 Ù ¾ Á Ï Ð Ö Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø P gº Ö Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö ¹ Ö Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ Èº Q := h E Ø Ö Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ È Ù º Ö Ø Ò ÚÓÒ ÞÙ Ø d := PQ º
43 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ Ï Ð ÚÓÒ È Ð ÈÙÒ Ø P g Û Ð Ò Û Ö Ò Ò Ò ÔÙÒ Ø P( 7 8) ÚÓÒ º È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ È Ò Ò Ú ØÓÖ := OP = 7 8 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Ö Ò v := n = h : x y 7 +t t 7 z 8 8+t Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ È Ù Ø Q := h E Ò ØÞ Ò Ò ( t)+(8+t)+ = +t+6+4t+ = +5t = t = 4.º Ò ØÞ Ò Ò OQ = Ø Ò d = PQ PQ =. ( ) Q(. 7.4) d = PQ = = 88. = 9.9 Ù ¾ ÙÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÓÐ Ò Ø Ò Ì ÐÐ Ò Ã Ô Ø Ð ½º µ Ö ÞÛ Û Ò ¹ Ö Ò Ø ÑÑ Ö ÞÛ Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò Ñ Ø g E h F º Ö Ø Ò ÞÛ Ò ÙÒ Ø ÒÒ Ò ÖØ Ð Ö Ø Ò ÞÛ Ò ÙÒ º ÞÛ Ò Ò Ü Ø Ö Ò Ø Ñ Ò Ó Î Ö Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ò Øº  ØÞØ Ò Û Ð Ò Ò Ò Ò ¹ Ö Ò ÒØ Ðغ ÆÙÒ Ú Ö Û Ö Ô Ö ÐÐ Ð Ò Ò ÙÖ ÔÖ Ò Ð Ò ÇÖØ ÞÙÖ º Ú Ö Ò ÃÓÔ ÚÓÒ Ñ Øº Ú Ö Ó Ò ÃÓÔ ÚÓÒ Ø ÒÒ ÞÙ Ô Ö ÐÐ Ð Ò Û Ð ÒØ Ðغ Á Ð ÙÒ Ò ÚÓÒ ÙÒ Ö Ò Ò ÙÒ ÒÒ Ò Ø Ò ÚÓÒ ÙÒ Û Ò Ù ¾ º Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ Æ Ó Ö Ö ÙÒ ÚÓÒ ÙÒ Ø Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø Ù Ò Ò Ê ¹ ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÒ ÙÒ Ò ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ ÙÒ Ù ÚÓÒ µ n = : E : x+y z +d = º Ò Ò ÔÙÒ Ø P( ) ÚÓÒ Ò ØÞ Ò + +d = 6+d = d = 7º E : x+y z +7 = Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ Ø Ò Ð Ò ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ Û Ð Ó F : x+y z+d= º Ò Ò ÔÙÒ Ø
44 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ R( ) ÚÓÒ Ò ØÞ Ò + +d = +4 +d = 5+d = d = 5 F : x+y z 5 = Ø Ò ÚÓÒ ÙÒ Ö Ò Ò Û Ò Ù ¾ Ï Ð ÚÓÒ P E º º y = z = º º P(x )º Ò ØÞ Ò Ò x+7 = x = 7 P( 7 ) Eº È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ È f : x y 7 +t 7+t t z t Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ È Ù Ø Q := f F Ò ØÞ Ò Ò ( 7+t)+ t ( t) 5 = 7+t+4t+4t 5 = 9t = 9t = t = 4 º Ò ØÞ Ò Ò OQ = = Q( 7 8, 8, 8 ) Ø Ò d = PQ PQ = = ( 7) d = PQ = = 44 9 =
45 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½º Ù Ò ÞÙ ØÒ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ï Ò ÐÒ Ô Ð Ï Ð Ö ÈÙÒ Ø P Ù Ö Ö Ò g : x y +t z Ø ÚÓÒ Ò ÈÙÒ Ø Ò A( ) ÙÒ B( 4 7) Ò Ð Ò Ø Ò
46 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ
47 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ù Ò ½½ Ù ØÒ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ï Ò ÐÒ Ù ¾ Ë Ò Ö Ø Ö ÞÙ ÚÓÖ Ò Ö Ö ÙÖ ÍÖ ÔÖÙÒ Ù Øµ Ö g ÙÖ A(7 5 ) ÙÒ B(4 ) Û Ö ÚÓÒ Ò Ö Ö Ò h ÙÖ Ò ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö ØÛ Ò Ð Ò ØØ Òº Ö Ò Ò Ë Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ hº Ù ¾ À Ò Ù ÔÙÒ Ø Ñ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ðص Ò µ Ö ABC Ø Ò A( 4 ) B( ) ÙÒ C( 5 6)º Ö Ò Ò Ë µ Ò À Ò Ù ÔÙÒ Ø H Ö À h º µ Ò Ð Ò Ò ÐØ Ö º Ù ¾ Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÚÓÖ Ò Ö Ò ÙÖ ÚÓÖ Ò ÈÙÒ Ø µ Ö Ò Ò Ë ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ò ÙÖ ÈÙÒ Ø A ÙÒ B Ø ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ö Øµ ÞÙÖ Ò E Ø Øº µ A( ) B( ) E : 4x+y = µ A( 6 7) B( ) E : y z +8 = Ù ¼ ÈÙÒ Ø Ù Ö Ù Ø Ñ Ø Ð Ñ Ø Ò ÞÙ ÞÛ ÈÙÒ Ø Òµ Ï Ð Ö ÈÙÒ Ø Ù Ö Ö Ò g : x y z 4 5 +t Ø ÚÓÒ Ò ÈÙÒ Ø Ò A( 6 5) ÙÒ B(5 ) Ò Ð Ò Ø Ò Ù ½ ÈÙÒ Ø Ò Ò Ô ÐÒµ Ö ÈÙÒ Ø A Û Ö Ò Ö Ò E Ô Ðغ Ö Ò Ò Ë Ò ËÔ ÐÔÙÒ Ø A º µ A( 4 5) E : 4x y+z +4 = µ A( 6 7) E : x 8z 7 = Ù ¾ Ö Ò Ò Ô ÐÒµ Ö g Û Ö Ò Ö Ò E Ô Ðغ Ö Ò Ò Ë Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ¹ ÙÒ Ö ËÔ Ð Ö Ò g º g : x y z 7 4 +t E : 4x+y z + = Ù ÎÓÐÙÑ Ò Ö ÒÙÒ Ò ÃÖ Ð µ Ò Ö Ö ÃÖ Ð Ø ËÔ ØÞ S( 7 4) ÙÒ Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Ø M( ) ÖÙÒ Ö º P( 8) Ð Ø Ù Ö Å ÒØ ÐÐ Ò º Ö Ò Ò Ë ÎÓÐÙÑ Ò Ã Ð º Ù Ä Ø ØÖ Ð Ò Ò Ö Ø Ö Òµ Ò Ä Ø ØÖ Ð Ø ÙÖ A(7 7 4) ÙÒ Û Ö Ò Ö Ò E : 5x y+z = Ö Ø Öغ B(7 8) Ð Ø Ù Ñ Ö Ø ÖØ Ò ËØÖ Ðº ÁÒ Û Ð Ñ ÈÙÒ Ø Ö Ò Ö ÓÐ Ø Ê Ü ÓÒ
48 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ä ÙÒ Ò ½½ Ù ¾ Á Ï Ö Ñ Ò Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ë Ö Ù Ø Ò Ö Ò Ò Ö Ø ÞÙ Ñ Ø Ò Ò ÒÒ Ø Ù Ñ Ï ÒØÐ Ò Ð Øº Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ë Ø Ö Ù Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ Ò ÍÖ ÔÖÙÒ Çº ÒÙÒ Ñ Òµ È Ö ÑØ Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ ÙÖ ÙÒ Ò Ò Ú ØÓÖ = OA = 7 5 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v = AB = g : x y z 7 5 +t 6 Ò Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ ¼ 6 ( ) 6 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n = 6 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ µ E : x+6y z +d = º O( ) Ò ØÞ Ò d = º E : x+6y z = S := g E g : x y z 7+t 5+6t t Ò ØÞ Ò Ò (7+t)+6(5+6t) ( t)= +9t++6t +4t= 49+49t= t = º Ò ØÞ Ò Ò OS = S(4 ) + È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ ÙÖ Ë ÙÒ Ç Ò Ò Ú ØÓÖ º º = Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v := OS = h : x y z +t 4 4 g : x y z t 4 Ù ¾ µ Á Ö À Ò Ù ÔÙÒ Ø H Ø Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ö Ò Ò Ö Ø ÞÙ BC ÙÖ Ñ Ø Ö Ö Ò ÙÖ ÙÒ º Ò Ò Ö Ø ÞÙ BC ÙÖ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n = BC = :4 6 4 E : x+y +z +d = º A( 4 ) Ò ØÞ Ò +4++d = d = 4 º
49 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ E : x+y +z 4 = È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ò ÙÖ ÙÒ Ò Ò Ú ØÓÖ º º := OB = Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v oben := ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ µ g : x y +t t +t z +t H := g E Ò ØÞ Ò Ò ( t)+(+t)+(+t) 4 = +t++t++t 4 = +t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OH = + H ( ) + µ Á Å Ò ÒÒØ Ð Ñ A = BC AH Ö Ò Ò Ñ Ø Ñ Ó Ò Ö ÒØ Ò À Ò Ù ÔÙÒ Ø H ÖÙÒ Ø Ñ Ð À ÙÖ ¾µº Å Ò ÒÒ Ö Ù Ö Ø Ó Ò À Ð ÚÓÒ Ù µ Ò Ð Ò Ò ÐØ ÚÓÒ BC ÙÒ BA Ù Ô ÒÒØ Ò È Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ù Ö Ò Ò Ñ Ø Ð Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø ÙÒ ÒÒ ÙÖ ¾ Ø Ð Ò Ô Ð Ò Ã Ô Ø Ð µ A = BC BA BC = 4 4 BA = 4 4 n := BC BA = A = n = ( 6) = 84 = º Ù ¾ µ Á Ö Î ØÓÖ AB ÙÒ Ö ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ m ÚÓÒ Ð Ò Ò Ö Ù Ø Ò Ò Ò Ð Ó Ó º Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÒ µº Á Ö Î ØÓÖÔÖÓ Ù Ø n := AB m Ø Ø Ö Ò Ö Ø Ù º ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÚÓÒ n Ò Ð Ó ÃÓ Þ ÒØ Ò Ö Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ º Ð Ø ÒÒ ÒÙÖ ÒÓ ÃÓÒ Ø ÒØ Ö Ð ÙÒ ÚÓÒ ÞÙ Ö Ò Ò Ò Ñ Ñ Ò Þº º Ò ÈÙÒ Ø Ò ØÞغ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÒ AB = ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n := AB m = m := 4 4 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ µ Ð Ò Ò º Ø Ø Ò Ö Ø Ù º Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ x+4y +z +d = º º º A( ) Ò ØÞ Ò d = + = d = 9 E : x+4y +z 9 = µ Á Û µº
50 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÚÓÒ AB = ( 6) 7 Ò Ò º 7 m := ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ µ Ð ¹ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n := AB m = 7 Ò Ö Ø Ù º 6+ 5 :5 Ø Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÚÓÒ x+y+z+d = º º º B( ) Ò ØÞ Ò + ( )+ +d = d = 9 E : x 9 = : E : x = Ù ¼ Á Ò Ù Ð Û Ô Ð º Ð ÙÒ Ö Å ØØ ÐÒÓÖÑ Ð Ò ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n := AB = 5 ( ) :( 4) 5 8 E : x+y+z+d = º Ö ÒÙÒ ÚÓÒ OM = OA+ AB = M( 4 )º Ò ØÞ Ò Ò +4++d = d = 4 E : x+y +z 4 = P := g E g : x y z t 4+t 5+t º Ò ØÞ Ò Ò ( t)+(4+t)+(5+t) 4= +t+4+t++t 4= t = º Ò ØÞ Ò Ò OP = P( ) 5 Ù ½ µ Á Á Ø É Ö Ù ÔÙÒ Ø ÚÓÒ Ù Ó Ø OA = OQ+ AQº Ø Ñ Ò Ñ Ø Ò Ö ÒÙÒ ºµ È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := 4 Ò Ò Ú ØÓÖ := OA = 4 5 g : 4 5 +t 4 4t 4 t 5+t Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ Ù Q := g E Ò ØÞ Ò Ò 4 4t (4 t)+( 5+t)+4 = 6t +9t 5+t+4 = 6t = t = º Ò ØÞ Ò Ò
51 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¼ OQ = Ö ÒÙÒ ËÔ ÐÔÙÒ Ø A OA = OQ+ AQ = Q(.5 4.5) ( 5) 4 A (4 4) 4 µ Á Ï µº È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ö Ö Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ n := 8 g : x y 6 +t z 7 Ò Ò Ú ØÓÖ := OA = 8 +t 6 7 8t Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ Ù Q := g E Ò ØÞ Ò Ò ( +t) 8(7 8t) 7 = +9t 6+64t 7 = 46+7t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OQ = Ö ÒÙÒ ËÔ ÐÔÙÒ Ø A OA = 5 OQ + AQ = A ( 6 5) 5 Q(5 6 ) 5 ( ) 6 ( 6) Ù ¾ Á Ï Ð ÞÛ Ð ÈÙÒ Ø A,B gº Ò Ô ÐØ Ò ÈÙÒ Ø A B Ò ÈÙÒ Ø Ö Ô ÐØ Ò Ö g º Ö ÒÙÒ ÚÓÒ A ÙÒ A Ñ Ò Ø Ò Û ÐØ Ñ Ò Ð Ë Ò ØØÔÙÒ Ø ÚÓÒ Ñ Ø Û Ð ËÔ ÐÙÒ ÚÓÒ Ò Ö ÈÙÒ Ø Ð Ø Ø A = A µ g : x y 7+t º Ò ØÞ Ò Ò z 4+t 4(7+t)+( ) (4+t)+= 8+8t 4 4 t+= +7t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OA = A( ) A ( )º Ö ÒÙÒ ÚÓÒ B ÙÒ B Ð Û Ð Ò ÈÙÒ Ø Ù Ò Ö Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÒ Þ Ø B(9 5)º Ð Ø B ÞÙ Ö Ò Ò Ù ÔÙÒ Ø É ÚÓÒ Ù
52 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ½ Ö Ò Ö Ø Ù ÙÖ Ò Ò Ú ØÓÖ = OB = 7 4 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v = 4 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ µ h : x y 7 +t 4 7+4t +t z 4 4 t Q := h E Ò ØÞ Ò Ò 4(7+4t)+( +t) (4 t)+= 8+6t 4+4t 4+t+= +t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OQ = Q( 4 5) 4+ 5 Ö ÒÙÒ ÚÓÒ B OB = OQ + BQ = 6 6 B ( 6 6) ( ) 5 4 Ð ÙÒ Ö Ô ÐØ Ò Ö Ò g ÚÓÒ g Ò Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ v = AB = 6 ( ) g : x y z +t ( ) Ù Á ÎÓÐÙÑ Ò Ø V = r πh ÛÓ Ö Ö Ê Ù ÖÙÒ Ö Ø ÙÒ À à Рº Ï Ö Ñ Ò Ð Ó Ö ÙÒ Ö Ò Òº Ø Ò h = MS º Ù ÛÒ Ö Ø Ö Ö Ò R := g E ÛÓ Ö ÙÖ Ë ÙÒ È Ø ÙÒ Ò Ò Ö Ö ÖÙÒ Ö Ð Øº ÒÒ Ø r = MR º À à Р7 MS = ( ) 4 Ò Ò Ö Ö ÖÙÒ Ö Ð Ø ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ n := MS oben = h = MS = +4+ = 5 ( ) º E : x+y z +d = º M( ) Ò ØÞ Ò +( ) +d = +d = d = 5 E : x+y z+5 = Ö ÙÖ Ë ÙÒ È Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v := PS = 7 ( ) :( ) 4 6
53 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ ¾ Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÒ := OP = 8 g : x y z 8 +t 4 +4t +t 8 t R := g E Ò ØÞ Ò Ò (+4t)+( +t) (8 t)+5 = +4t +t 88+t+5 = 75+75t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OR = Ê Ù Ö ÖÙÒ Ö MR = 5 ( ) 5 R(5 5) ÎÓÐÙÑ Ò Î Ã Ð V = r πh = π 5 = 45π = 4.7 º r = MR = 4++4 = 9 = Ù Ê Ü ÓÒ ØÞ Ö Ä Ø ØÖ Ð ØÖ Ø ÙÒØ Ö Ñ Ð Ò Ï Ò Ð α Ù Ò ÙÒØ Ö Ö Ö Ú ÖРغ B(7 8) Á ËÔ ÐÔÙÒ Ø B ÚÓÒ Ò Ö Ò Òº Á Ø Ö ÙÖ A ÙÒ B Ó Ø S := g E Ö Ê Ü ÓÒ ÔÙÒ Øº A(7 7 4) α? = S α α g Q E Ö ÐÖÙÒ Ö SB B Ø Ð Ò Ð º Ð Ò Ò Ö Ò Ò Þ Ò Ø Ò Ï Ò Ð α Ø Ø Ð Ð º Ö Ó Ö Ï Ò Ð Ø Ö Ê Ü ÓÒ Û Ò Ð ËØÖ Ð µº Ö Ù Ö Ð Ö Þ Ò Ø Ò ÐÐ Û Ò Ð ËØÖ Ð ÑÙ Ð Ò ÐÐ α Ò ¹Ï Ò Ðµº Ñ Ö ÙÒ Ö Ä Ø ØÖ Ð ¹ B Û Ø Ò Ö ÙÖ Ö ÈÙÒ Ø A,B,B Ò ÖØ Ò ÞÙ Ò Ö Ø Ò Ò º Ö Ò Ö Ø ÞÙ ÙÖ Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÒ := OB = 7 8 Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v := n := 5 ÆÓÖÑ ÐÚ ØÓÖ ÚÓÒ µ
54 ½ Î ÃÌÇÊ ÇÅ ÌÊÁ ÁÆ Ê ÍÅÄÁ À Æ ÃÇÇÊ º Æ Æ g : x y z 7 8 +t 5 7+5t t 8+t Q := g E Ò ØÞ Ò Ò 5(7+5t) ( t)+(8+t) = 5+5t++4t+ 4+9t = 8+8t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OQ = Q( 5) ËÔ ÐÔÙÒ Ø B ÚÓÒ Ò OB = OQ+ BQ = + 7 ( ) B ( ) Ö ÙÖ A ÙÒ B Ò Ò Ú ØÓÖ ÚÓÒ := OA = Ê ØÙÒ Ú ØÓÖ ÚÓÒ v := AB = h : x y z t ( 7) 4 7+5t 7 5t 4+t :( ) 5 5 S := h E Ø Ö Ù Ø ËÔ ÐÔÙÒ Ø Ò ØÞ Ò Ò 5(7+5t) ( 7 5t)+(4+t) = 5+5t+4+t+ +t = 8+8t = t = º Ò ØÞ Ò Ò OS = S( )
55 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾ ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ ÁÒØ Ö ÐÖ ÙÒ Ø Ú Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ò ÓÑ ØÖ È Ý Ï Ö ÒÐ ¹ Ø Ø ÓÖ ËØ Ø Ø Ò ÒÞ¹ ÙÒ Ï ÖØ Ø Ñ Ø Ñ Ø Î Ö ÖÙÒ Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ù Ûº Ï Ö Û Ö Ò ÙÒ Ù ÓÑ ØÖ ÙÒ È Ý ÖÒ Òº ÁÒ Ö ÓÑ ØÖ ÖÑ Ð Ø Ô Ð Û Ö ÒÙÒ ÚÓÒ ÁÒ ÐØ Ò Ö Ð Ø Ú ÓÑÔÐ ¹ Þ ÖØ Ö Ð Ò Ã Ô Ø Ð ¾º µ ÙÒ Ã ÖÔ Ö Ã Ô Ø Ð ¾º µº ÁÒ Ã Ô Ø Ð ¾º Ù µ Û Ö Ò Û Ö Ò ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÍÑ ÖÔÖÓÞ ÞÙÖ Ö ÒØ Ø ÓÒ Øº Ñ Ø ÒÒ Ñ Ò Ò Ö È Ý Ã Ô Ø Ð ¾º µ ÞÙÑ Ô Ð Û ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Òº ¾º½ Ê Ñ ÒÒ ÁÒØ Ö Ð ÁÒ Ñ Ã Ô Ø Ð Ø ÙÑ Ò Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ø Ò ÁÒØ Ö Ð º ¾º½º½ Ò Ø ÓÒ ÁÒØ Ö Ð Ë Ò f : [,b] R Ø Ø ÙÒ n Nº Ï Ö ÙÒØ ÖØ Ð Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,b] Ò n Ð Ò ØØ b
56 n = 7 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ x x x x 4 x 5 x 6 b = x 7 n = x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x b = x Ë ØÞ Ó Ò Û µ
57 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾º½º¾ ÓÑ ØÖ ÙØÙÒ ÁÒØ Ö Ð µ Á Ø f Ó Ø ÁÒØ Ö Ð b f(x)dx Ö Ð Ò Ò ÐØ A Û Ð Ö ÚÓÑ Ö Ô Ò ÙÒ Ö Ü¹ Ò ÐÓ Ò Ø b x µ ÐØ Ò Ø f Ó Û Ö Ò Ð Ò Ø ÙÒØ Ö Ð Ö Ü¹ Ò Ø Ú Þ Ðغ Ö Ð Ò Ò ÐØ A, B, C Ò Ö ÒÙÒ ÐØ Ð Ó b x Ô Ð b x dx =?
58 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ
59 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÙÒ ½ Ê Ñ ÒÒ¹ÁÒØ Ö Ð Ù Ø ÑÑ ÓÐ Ò Ò ÁÒØ Ö Ð ÙÖ ÓÑ ØÖ ÖÐ ÙÒ Ò Ó Ò Ê Ñ ÒÒ ËÙÑÑ Òµº µ 4π sinxdx µ x dx µ x dx µ x+dx Ù Ö Ò Ñ ØØ Ð Ê Ñ ÒÒ Ö ËÙÑÑ Ò ÁÒØ Ö Ð b xdx. Ì ÔÔ ÙÖ Ö ÒÙÒ Ö ËÙÑÑ n Ø Ø Ñ ÙÒ Ñ ÒØÙÑ Ò ÓÖÑ Ðº
60 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù Ä ÙÒ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÙÒ ½ Ê Ñ ÒÒ¹ÁÒØ Ö Ð µ A y = sinx C π B π π D 4π ÁÒ ÐØ Ö Ú Ö Ð Ò Ø ÐÐ Ð ÖÓ Ò Ø Ò Ö ÓÑ ØÖ Ò ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÁÒØ Ö Ð Ð Ð ÙÒØ Ö Ö ÃÙÖÚ 4π sinxdx = A B +C D = µ y = x ½ x dx = x dx = = 6 x dx Ö Ø Ð ÙÒ Ð Ø Ñ Ò Ò Ö ¹ ÒÙÒ ÞÛ Ø ÓÐ Ø Ù Ö Ñ Ô Ð Ö Ð Ø Ø Ò ÓÖÑ Ðº ½ µ y = x x dx b) = 6
61 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¼ µ ½ A y = x+ x+dx = A B = ( ) ½ B = 8 Ö Ø Ð ÙÒ ÓÐ Ø Ù Ö ÓÑ ØÖ Ò ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÁÒØ Ö Ð Ð Ð ÙÒØ Ö Ñ Ö Ô Ò º Ö ÞÛ Ø Ð ÙÒ ÑÙ Ñ Ò ÁÒ ÐØ A ÙÒ B Ö Ò Ö Ù Ò Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ö A ÙÒ B Ò ØÞ Òº Ù f(x n) ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,b] Ò n Ð ÖÓ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ö ÄÒ f(x ) f(x ) b x x x x x x n Ï Ò n S n = = n i= n i= = b n x = b n ÙÒØ ÖØ ÐØ Ø ÐØ x = n b x = n b x = b n Ù Ûº º º ÐÐ Ñ Ò x i = i b n º Ð Ó Ø f(x i ) = x i = i b n Ö iº Ò Ù Ö ØÞ Ò Û Ö Ò Ê Ñ ÒÒ ËÙÑÑ Ò Ò Ò ØØ ¾º½º½ Ò ÖØ Øµ f(x i ) x f(x i ) = i b n, x = b n Ò ØÞ Ò i b n b n n i= b n Ù Ð ÑÑ ÖÒ i ËÙÑÑ Ù Ö Ò = b n(n+) n(++...+n) ÓÖÑ Ð Ù n = = b n n(n+) = b n+ n = b (+ n ) Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ Ì ÖÑÙÑ ÓÖÑÙÒ n Ø b (+ n ) n b Ð Ó ÓÐ Ø b xdx = b
62 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ½ ¾º¾ À ÙÔØ ØÞ Ö Ö ÒØ Ð¹ ÙÒ ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ Ö À ÙÔØ ØÞ Ø Ö ÙÒ Û Ø Ø Ê ÙÐØ Ø Ö Ö ÒØ Ð¹ ÙÒ ÁÒØ Ö Ð¹ Ö ÒÙÒ º Ù ÞÛ Ö Ò Ò Ö Ø Ò ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ñ ÁÒØ Ö Ð Ò Ö ÙÒ Ó¹ Ò Ò Ö Ò Ò Ó Ò Ñ Ñ Ö ÒÞÛ ÖØ Ð ÙÒ ÙÖ Ö Ò ÞÙ Ñ Ò Ô Ð ½¾ Ñ Ò ØØ ¾º¾º¾µº Û Ø Ò ÓÐ Ø Ù Ñ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÖØ ÈÖÓÞ ÞÙÖ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ø Ù µº ¾º¾º½ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÑØ Ñ Ò Ñ Ø Ì ÐÐ ¾º¾º½ Ö Ø ËÔ ÐØ µº Ô Ð ½¼ f(x) = x Ö Ò Ø Ë ØÞ Ø Ù ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ø Ò ÙÑ Ò ÃÓÒ Ø ÒØ ÙÒØ Ö Òº Ë ØÞ Û Ò ËØ ÑÑ ÙÒ ÓÒ Ò ÚÓÒ º [G(x) F(x)] (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = xº Ð Ó ÑÙ G F ÓÒ Ø ÒØ Ò º º Ø Ò ÃÓÒ Ø ÒØ Ó G(x) F(x) = c xº G(x) = F(x)+c xº G(x) = F(x)+c x Ö Ò G (x) = [F(x)+c] = F (x)+c = f(x)º Þ ÒÙÒ
63 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾ Ë Ö Û Ñ Ö ÙÒ Ë Ö Û Û Ö Û ÓÐ Ø Ú Ö ØÒ Ð Á Ø F Ö Ò Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f Ó ÒÒ Ñ Ò Û Ò Ó Ò Ë ØÞ Ò Ö ËØ Ñѹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f Ö Ò Ð F(x)+cº º º Å Ò ÐÐ Ö ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ f Ø Ø Ò Ù Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÖÑ F(x)+c Ñ Ø c Rº Ô Ð ½½ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ Ì ÐÐ ¾º¾º½µ µ Ø ÑÑ Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f(x) = x 7 º µ Ø ÑÑ Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ g(x) = x 5 4xº µ Ø ÑÑ x dx.
64 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ c Ø Ö Ò Ø Ð Ö Û Ð Òµ Ð ØÙÒ Ù Ò ÙÒ Ø ÓÒ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ f (x) f(x) f(x)dx c c R cx c cx c x r x r x r xr+ r+ = x x x = x ln x x = x x x = x cosx sinx cosx sinx cosx sinx +tn x = cos x tnx ln cosx e x e x e x c e cx e cx c ecx ln x x x ln ln x x(ln x ) x x ln x log x ln(ln x ) = x(log x log e) x rcsinx x rcsinx+ x x rccosx x rccosx x +x rctnx x rctnx ln(+x ) Ì ÐÐ ¾º¾º½ Ë Ú ÖÚÓÐÐ ØÒ Ø Ì ÐÐ Ñ Ò ØØ º¾ º Ë Ñ Ø Ö º Ñ Ö ÙÒ Ò µ ÁÒ Ö º Ð ÐØ Ð ÙÒ x r = xr+ r+ Ò Ø Ö r = º Ø Ð Ö ÓÒ Ø ÙÖ ¼ Ú ÖØ Û Ö º Ö (x r ) = rx r ÐØ Ö ÐÐ r Rºµ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ x Ø Ò Ð Û Ø Ö ÙÒØ Ò Ò Òº µ Ï Ñ Ð Ø Ò Ò Ù Ö ½º ¾º ÙÒ º Ð ËÔ Þ Ð ÐÐ Ö º Ð º
65 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÙÒ ¾ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÁÒ Ò Ù Ò ¼ Ø ÑÑ Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒº Ù ÈÓØ ÒÞ ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = x x+ µ g(x) = x7 5 x 5 µ f(t) = t4 t +5t 7 4t µ g(x) = x + x Ù ÜÔÓÒ ÒØ ÐРغµ µ f(x) = e x e x µ g(x) = ex +e x Ù ÌÖ ÓÒº ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = sinx cosx µ g(t) = cost µ f(x) = 5 cos x +5cosx µ g(x) = sinxcosx Ù ¼ Ï Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òµ µ f(x) = sinx 6 x µ f(x) = x+ x + µ g(t) = t t 4 +t ÍÑ ÓÖÑ Òµ µ g(x) = x x x x ÍÑ ÓÖÑ Òµ Ù ½ Ø ÑÑ µ (x+7)(x )dx µ (sin x cos x)dx µ sinωtdt µ (e x x e )dx Ù ¾ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÒÔ Òµ µ Ï Ð ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x x+ Ò ÑÑØ Ò Ö ËØ ÐÐ ½ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ ¾ Ò µ Ø ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ f Û Ð Ò ÙÒ Ò f (x) = x x ÙÒ f(5) = 5 Ö ÐÐغ µ Ø ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ f Û Ð Ò ÙÒ Ò f (x) = x f () = 8 ÙÒ f( ) = 8 Ö ÐÐغ
66 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù µ F(x) = x Ä ÙÒ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ ¾ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò x +x = x x +x µ G(x) = 5 x8 8 5 x = x8 5 x µ Ï Ö ÓÖÑ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÞÙ Ö Ø ÙÑ f(t) = t4 4t t 4t + 5t 4t 7 4t = 4 t t 7 4 t ÙÒ Û Ò Ò ÒÒ Ù Ò ËÙÑÑ Ò Ò Ì ÐÐ Ñ Ø Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò F(t) = t 4 4 t+ 5 4 lnt 7 4 t = 4 t 4 t+ 5 4 lnt+ 7 4t µ Ï Ö Ö Ò ËÙÑÑ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÞÙ Ö Ø Ð ÈÓØ ÒÞ Ò g(x) = x +x ÙÒ Ø ÑÑ Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò ËÙÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ö Ì ÐÐ Ù G(x) = x + x5 5 = x+ 5 x 5 µ F(x) = ( cosx) sinx = cosx sinx µ ÍÑ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÞÙ Ò Ò Ö Ø Ì ÐÐ ÐÐ Ò Ò Ø Ù Û Ò ØÓÖ ¾º Ï Ö ØÙÒ Ð ÞÙ Ö Ø Ó Ð Ó Ö ØÓÖ Ò ÊÓÐÐ Ô Ð Ò Û Ö ÙÒ Ó Ò Ò ÐÓ ÞÙÖ Ì ÐÐ sint Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÚÓÒ costº Ï Ö ÖÔÖ Ò ÒÒ Ñ ÙÖ Ð Ø Ò Ã ØØ ÒÖ Ð ÒÛ Ò Òµ ÙÒ Ø ÐÐ Ò Ø (sint) = costº Ï Ö Ò Ð Ó ÒÙÖ ÙÑ Ò ØÓÖ ¾ Ò Òº Ö Ð Ö Ð Ø Ð Ø ÓÖÖ Ö Ò Ï Ö Ñ Ò ÒÙÖ Ò ØÓÖ ÚÓÖ ÙÒ Ö Ò Ò ØÞ sint ØÞ Ò G(t) = sint µ F(x) = 5tnx+5sinx Ì ÐÐ µ µ À Ö Ø ÎÓÖ Ò Û Ò Ø Ó Ò ÞÙ Ö ÐÖ Ò ÙÒ Ö Ø Û ÒÒ Ù Ê ÒÙÒ Ò ÚÓÐÐÞ Ò ÒÒ Ø ÙÒ Ò Ö Ò Ð Ò Ñ Ö Øº Æ Ö Ã ØØ ÒÖ Ð Ø (sin x) = sinxcosx Ð Ó Ø G(x) = sin x Ò Ù Ó Ø Ñ Ò Ù G(x) = cos x ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Øºµ
67 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù µ F(x) = e x ex µ Ï Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÞÙ Ö Ø ÙÑ g(x) = ex + e x ÙÒ Û Ò Ò Û Ö Ù ËÙÑÑ Ò Ò Ì ÐÐ Ò Ù ¼ F(x) = ex e x (= ex e x ) µ F(x) = cosx+6rccosx (= cosx 6rcsinx) µ F(x) = x +rctnx µ Ï Ö ÓÖÑ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÖÑ ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ù Ð ÑÑ ÖÒ ÙÑ g(t) = t (+t ) +t = +t t (+t ) +t = +t t. Ù Ö Ì ÐÐ ÓÐ Ø G(t) = rctnt t µ Ï Ö ÓÖÑ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÖÑ ÞÙ Ö Ø ÙÖ Ù Ð ÑÑ ÖÒ ÙÑ x x g(x) = x x x x = x x. Ù Ö Ì ÐÐ ÓÐ Ø Ù ½ G(x) = rcsinx lnx µ Ï Ö ÓÖÑ Ò Ò ÁÒØ Ö Ò Ò ÞÙ Ö Ø ÙÑ Ù Ö Ì ÐÐ ÓÐ Ø (x+7)(x )dx = (x+7)(x ) = x 6x+7x. = x4 4 x 6x+7x dx 6 x +7 x x+c = x4 x + 7 x x+c µ Ù Ö Ø ÎÓÖ Ò Û Ò Ø Ó Ò ÞÙ Ö ÐÖ Ò ÙÒ Ö Ø Û ÒÒ Ù Ê ÒÙÒ Ò ÚÓÐÐÞ Ò ÒÒ Ø ÙÒ Ò Ö Ò Ð Ò Ñ Ö Øº Æ Ö ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ø (cosxsinx) = sin x+cos x Ð Ó ÓÐ Ø sin x cos xdx = cosxsinx+c
68 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ µ Á Ø Ð Û Ò Ù µ Ï Ö ØÙÒ Ó Ð Ó Ö ØÓÖ ω Ò Ò Ò Ù ØØ ÙÒ Ú Ö Ù Ò Ñ Ø Ñ Ò ØÞ cosωt Ò ÐÓ ÞÙÖ Ì ÐÐ º Ä Ø Ø Ñ Ò Ò Ì ÖÑ Ö ÐØ Ñ Ò Ó ωsinωt Ø ØØ sinωtº Ï Ö Ò Ð Ó ÒÙÖ ÙÑ Ò ØÓÖ ω Ò Ò ÙÒ Ñ Ò ÒÙÖ ÒÓ Ò ØÓÖ ω ÚÓÖ ÙÒ Ö Ò Ò ØÞ Ø ÐÐ Ò sinωtdt = ω cosωt+c µ e x x e dx = e x xe+ e+ +c Ù ¾ µ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÙÑ Ò Ø Ú ÃÓÒ Ø ÒØ ÙÒØ Ö ¹ Ò Ø ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ F ÚÓÒ f ÚÓÒ Ö ÓÖÑ F(x) = x4 4 x +x+c = x4 4 x +x+c  ØÞØ Ñ Ò Û Ö ÒÙÖ ÒÓ c Ó Ø ÑÑ Ò ÓÖ ÖÙÒ F() = Ö ÐÐØ Ø F() = ½ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÚÓÒ Ò ØÞ Ò c = Æ Ù Ò 4 +c = c = 7 4 F(x) = x4 4 x +x+ 7 4 µ Æ Ò Ø ÓÒ Ö ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ù Ø ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ËØ Ñѹ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f (x) = x x Ð Ó f(x) = lnx x +c = lnx+ x +c c Ñ Ò Û Ö Û Ö Ó Ø ÑÑ Ò Ò ÙÒ f(5) = 5 Ö ÐÐØ Ø f(5) = 5 Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÚÓÒ Ò ØÞ Ò ln5+ 5 +c = Æ Ù Ò 5 c = ln5 f(x) = lnx+ x ln5
69 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ µ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f (x) = x Ø ÚÓÒ Ö ÓÖÑ f (x) = x +c = x +c. c Ñ Ò Û Ö Ó Ø ÑÑ Ò Ò ÙÒ f () = 8 Ö ÐÐØ Ø f () = 8 +c = 8 c = 4 Ð Ó Ø f (x) = x +4º ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÚÓÒ Ö ÓÖÑ f(x) = x +4x+c. c Ñ Ò Û Ö Ó Ø ÑÑ Ò Ò ÙÒ f( ) = 8 Ö ÐÐØ Ø f( ) = 8 ( ) +4 ( )+c = c = 8 c = 8 f(x) = x +4x+ 8
70 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾º¾º¾ À ÙÔØ ØÞ Ï Ö ÓÑÑ Ò ÒÙÒ ÞÙÑ Û Ø Ø Ò Ë ØÞ Å Ø Ñ Ø ÙÒØ ÖÖ Ø Ù ÝÑÒ Ð Ö ËØÙ Ñ À ÙÔØ ØÞ Ö Ö ÒØ Ð¹ ÙÒ ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ º À ÙÔØ ØÞ Ö ÓÐ Ò Û Ø Ö Ð Ø Ú ÙÖÞ ÒÙØÞØ Ö Ò Ë ØÞ Ö ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ñ Ã Ô Ø Ð ¾º Ò Û Û ÒØÐ ÐÒ Ö Øº Û ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ F (x) = x f(t)dt Ø ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f Ë ØÞ Ò Ò ØØ ¾º º¾µº Æ Ñ Ë ØÞ Ò Ò ØØ ¾º¾º½ ÙÒØ Ö Ò F ÙÒ F Ð Ó ÒÙÖ ÙÑ Ò ÃÓÒ Ø ÒØ F(x) = F (x)+c ½µ F(b) F() () = [F (b)+c] [F ()+c] = F (b) F () F () = Ò º Ò Ò ØØ ¾º º½ = F (b) Def.F b = f(x)dx Ë Ö Û ËØ ØØ F(b) F() Ö Ø Ñ Ò Ó Ø ÖÞ Ö Ô Ð ½¾ 4 x dx = ÎÓÖØ Ð Ö Ë Ö Û Å Ò ÑÙ Û Ò Ö Ë Ö ØØ Ù Å Ð ÛÐØ Òº Ò Ö Ë Ö Û ÒÒ Ñ Ò ÞÙ Ö Ø ÐÐ Ò Ù À Ò Ö Ò Ö ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÒÞ ÒØÖ Ö Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ò Ñ ÞÛ Ø Ò Ë Ö ØØ ÒÒ Ñ Ò ÁÒ¹ Ø Ö Ø ÓÒ Ö ÒÞ Ò Ò ÐÐ Ö ÊÙ Ò ØÞ Òº Ç Ò Ë Ö Û Ñ Ø Ñ Ò Ò Ë Ö ØØ Ð Þ Ø ½ ÖÐ Ò Ñ Ó Ò Ô Ð Ó 4 x dx = 4 =... º ÛÖ ÓÛÓ Ð Ò ØÖ Ò Ò Ö Ð Ù ÙÒ Ö ØÐ Öº ½ Ù Ö Ñ Ò ÖÐ Ø Ò Ë Ö ØØ ØÖ ÒÒغ ÒÒ Ø Ö Ö Ë Ö Ù Û Ò Ö Ö x dx = x +c 4 x dx = 4 = ººº º
71 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¼ ¾º¾º ËÙÑÑ Ò¹ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ò ÐÓ ÞÙÖ Ð ØÙÒ ÐØ Ò Ñ ÁÒØ Ö Ö Ò ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ë ØÞ ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ðµ Û ËÙÑÑ ÒÖ Ð Ë Ò F ÙÒ G ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÚÓÒ f ÙÒ g Ó Ø F +G ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f + g Û Ñ Ò ÙÖ Ð Ø Ò Ñ Ø Ö ËÙÑÑ ÒÖ Ð Ø (F +G) = F +G = f +gº Ð Ó b f(x)+g(x)dx = [F(b)+G(b)] [F()+G()] = [F(b) F()]+[G(b) G()] = b f(x)dx+ b g(x) dx ØÓÖÖ Ð Á Ø F ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f Ó Ø cf ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ cf Û Ñ Ò ÙÖ Ð Ø Ò Ñ Ø Ö ØÓÖÖ Ð Ø (cf) = cf = cfº Ð Ó b cf(x)dx = cf(b) cf() = c[f(b) F()] = c b f(x)dx Ô Ð ½ À ÙÔØ ØÞ ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ðµ x+ x dx x +x dx =
72 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ½
73 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾ Ù Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ À ÙÔØ ØÞ ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ù Ö Ò ÁÒØ Ö Ð µ xdx µ xdx µ 4 x+dx µ 4 x+dx Ù Ö Ò ÁÒØ Ö Ð µ 4 t 5 dt µ 7 8 5dx µ xdx µ lnxdx µ ln(x )dx Ù Ö Ò ÁÒØ Ö Ð µ ( y +y 4)dy µ ( xx +e x )dx+ (xx +e x )dx µ x +x +x+ x µ π ω cosωtdt dx Ù ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Òµ ÙÒ Ø ÓÒ F (x) := x t dt Ø ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Û ÐÐ Ã Ô Ø Ð ¾º º¾µ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÞÙÖ Ð º µ Ö Ò F (x)º f(x) = x µ F (x) Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÚÓÒ f(x)º Ù ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Î Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÙÒ ÚÓÒ Ù µ R Ò Ð Ö Ø Ðº ÙÒ Ø ÓÒ F (x) := x f(t)dt Ø ÁÒØ Ö Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Û ÐÐ Ã Ô Ø Ð ¾º º¾µ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) ÞÙÖ Ð º F (x) Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÚÓÒ f(x)º
74 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ä ÙÒ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ À ÙÔØ ØÞ ËÙÑÑ Ò¹ ÙÒ ØÓÖÖ Ð Ù µ xdx = µ xdx = µ 4 x+dx = 4 xdx = x xdx = x xdx+ 4 µ 4 x+dx = 4 xdx+ 4 Ù µ 4 t dt = 4 5 µ 7 8 5dx = 5 7 µ xdx = t dt = 4 t = [ = [ dx = x ] = [9 ] = 4 = 8 ( ) dx = x = t 4 ] = [ ] = = 4 + x 4 = [4 4 + x 4 = [ ( 4) dx = 5 x 7 8 = 5[7 8] = 5 9 = 45 xdx = x = [() ]+[4 ] = 6+4 = ]+[( 4) ] = = [( ) 4 ( ) 4 ] = [ ] = 4 = ] = [4 ] = = µ lnxdx = x (lnx ) ln= = (ln ) (ln ) = (ln ) ( ) µ ln(x )dx = = ln + = ln =.9 ln(x)dx = lnxdx d) = (ln ) = 6ln =.6 Ö Ø Ð ÙÒ ÓÐ Ø Ù Ñ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ØÞ ln(u r ) = rlnuº Ù µ ( y +y 4))dy = y dy + ydy 4 dy = y = [ ( ) ]+[ ( ) ] 4[ ( )] = = + 9 =.5 + y 4 y µ xx +e x dx+ xx +e x = xx +e x +x x +e x dx = ex dx = ex = ex = ex = e e = e 6 = 4.4
75 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ µ Ï Ö ÓÖÑ Ò Ò ÁÒØ Ö Ò Ò ÞÙ Ö Ø ÙÑ Ð Ó Ø x +x +x+ x x +x +x+ x dx = = x x + x x + x x + x = x++ x + x. = = ln= = x x++ x + x dx xdx+ dx+ x dx+ x dx + x + (ln x ) + ( x ) ( ) = ( ) + [ ( )]+[ln ln]+[ ( )] 4 +[ +]+[ ln]+[ ] = + ln+ = ln =.8 µ π ω cosωtdt = ω sinωt π ω = ω [sin(ω π ω ) sin(ω )] = ω [sin π sin] = ω Ð ØÞØ Ð ÙÒ ÐØ Û Ò sin π = ÙÒ sin = º Ù µ F (x) = x t dt = t x = x = x 9 µ  ÒÒ Ð ØÙÒ ÚÓÒ F Ø f F (x) = ( x 9) = x = f(x) Ù Á Ø F Ö Ò Ò ¾ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f Ó ÐØ Ò Ñ À ÙÔØ ØÞ F (x) := x f(t)dt À ÙÔØ ØÞ = F(x) F(). Ä Ø Ø Ñ Ò Ð ÙÒ Ù Ò Ë Ø Ò Ö ÐØ Ñ Ò F() Ø Ò Ø Ðµ F (x) = F (x) Ø ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ = f(x) Ð Ó Ø F Ñ Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ã Ô Ø Ð ¾º¾º½ Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ fº ¾ Å Ò ÒÒ Þ Ò Á Ø f Ø Ø Ó Ø f Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒº
76 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾º ¾º º½ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ò Ö ÒÙÒ Ò Ó Ò È Ö Ñ Ø Ö Ô Ð ½ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ó Ò È Ö Ñ Ø Öµ Ö Ò Ò ÁÒ ÐØ Ö Ð Û Ð ÚÓÑ Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 4 x Ö Ü¹ ÙÒ Ò Ö Ò x = ÙÒ x = 4 Ö ÒÞØ Û Ö º
77 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ò Ó Ò È Ö Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ò Ö Ò ÒÙÖ ÕÙ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ì ÒÖ Ò Ö Ð Ø Û Ö Òº ÁÒ Ò Ù Ò ¼ Ö Ò ÁÒØ Ö Ð Ñ Ø Ñ Ì ÒÖ Ò Ö Ö Ò Ø Û Ö Ò Û Ö ÁÒØ Ö Ö Ò Ö Ø Ù Ø Òº Å Ò ÒÒ ÐÐ Ù Ò Ð Ò Ó Ò Ö Ô Ò ÞÙ Þ Ò Ò ØÖÓØÞ Ñ Û Ö Ò Ò Ò Ä ÙÒ Ò ÞÙÖ Î Ö Ò ÙÐ ÙÒ Þ Ò Øº Ù Ö Ò Ò ÁÒ ÐØ Ö Ò Ð Ò Ð Û Ð ÚÓÑ Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x + ÙÒ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ü¹ ÙÒ Ý¹ Ò Ö ÒÞØ Û Ö º Ù Ö Ò Ò ÁÒ ÐØ Ö Ð Û Ð ÚÓÑ Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = (ex +e x ), Ö Ü¹ ÙÒ Ò Ö Ò x = ÙÒ x = Ö ÒÞØ Û Ö º ÙÐ Ö Ðµ Ù ¼ Ö Ò Ò ÁÒ ÐØ Ö Ð Û Ð ÚÓÑ Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x x, Ö Ü¹ ÙÒ Ò Ö Ò x = ÙÒ x = 4 Ö ÒÞØ Û Ö º Ù ½ Ö Ò Ò ÑØ Ò ÐØ ÐÐ Ö Ò Ð Ö Ð Ò Û Ð ÙÖ Ò Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x x x+ ÙÒ ÙÖ Ü¹ Ö ÒÞØ Û Ö Òº Ù ¾ Ö Ò Ò ÁÒ ÐØ Ö Ò Ð Ò Ð Ò ÙÖ Ö Ô Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÒÞØ Û Ö Òº Ù Ö À Ð Ö f(x) = x 5x +6x ÙÒ g(x) = x 7 x +6x x +y = 4 y ÙÒ È Ö Ð y = x Ð Ò Ò Ò Ð Ð Ò Ø Òº Ö Ò Ò Ò ÁÒ Ðغ Ù Û Ö ÃÖ Ò ÓÖÑ Ðµ µ r x dx = (x r x +r rcsin x r )+C µ Ñ Ø Ð Ê ÙÐØ Ø Ò µ Ò ÃÖ Ñ Ø Ê Ù Ö Ò Ð Ò¹ Ò ÐØ A = r π غ Ô Ð ÞÙÑ ÌÁ 4 x dx = (4/x,,) = º ÁÒØ Ö ÐÞ Ò Ð Ø Ö Ö Ì Ø º
78 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ä ÙÒ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ò Ó Ò È Ö Ñ Ø Ö Ù ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò A y = x + f(x) = x + = x = x = ± ÍÒ ÒØ Ö ÖØ ÒÙÖ ÔÓ Ø Ú ÆÙÐÐ Ø ÐÐ º Ð Ò Ò ÐØ A = x +dx = x +x = ( ) + = ( ( ) ) = ( ) = Ù A y = (ex +e x ) ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ï Ò e x > x R ÓÐ Ø f(x) > x R º º Ö Ö Ô ÚÓÒ f Ð Ø ÑÑ Ö Ö Ö Ü¹ ÙÒ Ø Ð Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Òº Ð Ó Ð Ò Ò ÐØ A = = e e (ex +e x )dx = e x +e x dx = [ex e x ] = [e e (e e )] = e e Ù ¼ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò f(x) = y = x x x x = x C B 4 Ð Ò Ò ÐØ x = +x x = x = ± ÍÒ ÒØ Ö ÖØ ÒÙÖ ÔÓ Ø Ú ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ö [,4] Ö ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ð Øº ÔÓ Ø Ú ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÙÒØ ÖØ ÐØ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,4] Ò ÞÛ Ì Ð Ð Ø Ø Ù Ø Ð Ò Ø Ù ÞÛ Ì Ð Ò Ò Ö Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [, ] ÙÒ
79 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ò Ö Ö Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,4]º Ð Ò Ð Ò Ø Ò ÒÒ Ò Û Ö B Ö Ø C ÒÙÒ Ö Ò Ø Ò Ø Øµº Ï Ö Ö Ò Ò ÞÙ Ö Ø x x dx TR = ln =.9 Ò Ø Ú ÎÓÖÞ Ò ÙØ Ø ÒÙÖ Ð Ò Ø ÙÒØ Ö Ð Ö Ü¹ Ð Ø Û Û Ö Ö Ù Ó Ò ÒÙÒ Û Òµº Ð Ó Ø B = ln =.9. ÆÙÒ Ö Ò Ò Û Ö 4 x x dx TR = 7 ln = 4.9 ÔÓ Ø Ú ÎÓÖÞ Ò ÙØ Ø Ó Ö Ð Ö Ü¹ Рغ Ð Ó Ø C = 7 ln = 4.9. Ö Ù Ø Ð Ò Ò ÐØ Ø ËÙÑÑ ÚÓÒ ÙÒ A = B +C = ln +7 ln = ln (= 5.) Ù ½ y = x x x+ B C ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò f(x) = x x x+ = Ø Ò Ð ÙÒ Ö ØØ Ò Ö Ö Û Ö Ò Ä ÙÒ ÓÖÑ Ð Òº Ï Ö Ò ÚÓÖ Û Ñ ÞÛ Ø Ò Ë Ñ Ø Ö Ï Ö Ò Ò ÙÖ ÈÖ ÐÒ x = Ò Ä ÙÒ Ø ÙÒ Ö Ò Ò ÙÖ ÈÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ö ØÐ Ò ÙÖ ÈÓÐÝÒÓÑ Ú ¹ ÓÒ Ö ÐØ Ñ Ò ÒÑÐ Ð ÙÒ (x x x+) : (x ) = x x Û Ö Ò Ø ÚÓÖ Ö Ò Ø Øµº ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Û Ö Ù Ò Ë Ø Ò Ñ Ø (x ) ÙÒ Ö ÐØ Ò ØÓÖ ÖÙÒ x x x+ = (x x )(x ) ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ º ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ò ØÓÖ ÈÓÐÝÒÓѵ Ù Ö Ö Ø Ò Ë Ø Ö Ð ÙÒ Ò Ù ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö Ò Ò Û Ö x x = TR x = x =
80 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ÁÒ ÑØ Ø f Ð Ó Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò,, ÒÙÒ Û Ð Ö Ò Ø Ò Ø Øµº Ð Ò Ò ÐØ Ï Ò lim x f(x) = Û Ò Û Ö Ù Ó Ò ÒÙÒ Ð Ò¹ Ø Ð Ò ÚÓÒ Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ö Ö Ô Ñ Ø Ö Ü¹ Ò Ð Ø Ò Ø Ò Ð Øº ÍÒ Ò Ù Ó Û Ò Û Ö Ð Ò Ø Ö Ø ÚÓÒ Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø Ò Ð Ø Û Ð lim x f(x) = º Ð Ó Ø ÒÙÖ ÞÛ Ò Ð Ð Ò¹ Ø Ò Ö Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,] ÙÒ Ò Ö Ö Ñ ÁÒØ Ú ÐÐ [,]º Ð Ò Ò ÒÒ Ò Û Ö Ö Ø º Ï Ö Ö Ò Ò ÞÙ Ö Ø º º x x x+dx TR = 8 ÙÒ ÒÒ B = 8 x x x+dx TR = 5 º º C = 5. Ö Ù Ø Ð Ò Ò ÐØ Ø ËÙÑÑ ÚÓÒ ÙÒ A = B +C = = 7 (=.8) Ù ¾ Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò À Ö Ñ Ò Û Ö Ò Ø ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÓÒ ÖÒ Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò Ö Ö Ô Ò Ö Ò Ò º º ܹÃÓÓÖ Ò Ø Ö ÈÙÒ Ø Ò Ò Ò Ò Ö Ô Ò Ò Òº f(x) = g(x) g(x) A f(x) x 5x +6x = x 7 x +6x x x = x x = x (x ) = x = x = Ð Ò Ò ÐØ A = = = 7 8 g(x) f(x)dx f(x),g(x) Ò ØÞ Ò x x dx ÌÊ
81 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¼ Ñ Ö ÙÒ ÞÙ Ù ¾ Ê ÙÐØ Ø Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ó Ø Ó Ò ØÐ f(x) g(x) Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,]º Ç Ò ÒÙÒ Û Ø Ò Û Ö Ö Ò Ø ÙÒ ØØ Ò Ú ÐÐ Ø g(x) f(x)dx = 7 8 Ö Ò Øº ÁÒ Ñ ÐÐ ØØ Ò Û Ö Ò Ø Ú ÎÓÖÞ Ò Ò Ð Ò Ò ÒØ ÖÒغ Ù y = x x +y = 4 y.5 A.5 Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò Ï Ö Ö Ò Ò Ë Ò ØØ Ø ÐÐ Ò À Ð ¹ Ö Ñ Ø Ö È Ö Ðº ÃÓÓÖ Ò Ø Ò (x,y) Ò Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ñ Ò ÓÛÓ Ð Ð ÙÒ ÃÖ Ð Ù Ö È Ö Ð Ö ÐÐ Òº Ï Ð Ö Ë Ò ØØÔÙÒ Ø Ò Ò Ø ÓÒ ÓÛÓ Ð Ù Ö ÃÖ Ð Ò Ð Ù Ù Ö È Ö Ð Ð Øºµ Ï Ö Ñ Ò Ð Ó Ò Ø Ð Ò Ö µ Ð ÙÒ Ý Ø Ñ x +y = 4 y = x Ð Ò ÛÓ Û Ö ÒÙÖ Ò Ö Ü¹ÃÓÓÖ Ò Ø ÒØ Ö ÖØ Ò µº ÞÙ ØÞ Ò Û Ö Ö Ø Ë Ø Ö ÞÛ Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ý Ò Ö Ö Ø Ò Ò ÙÒ Ö ÐØ Ò x +x 4 x 4 +x 4 = = 4 4 Ø Ò Ð ÙÒ º Ö Ö Û Ö Ò Ä ÙÒ ÓÖÑ Ð Òº ÙÑ Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ð ÙÒ ¾º Ë Ñ Ø Ö x ÓÑÑØ Ò Ö Ö Ø Ò ÙÒ Ö ØØ Ò ÈÓØ ÒÞ Ò Ø ÚÓÖµ Û Ö ÙÖ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ð Ò ÒÒ Òº Ï Ö Ù Ø ØÙ Ö Ò z := x ÙÒ Ö ÐØ Ò Ó ÕÙ Ö Ø Ð ÙÒ Ò zº Ö ÌÊ Ð ÖØ Ä ÙÒ Ò Ê Ù Ø ØÙØ ÓÒ ¾º Ë Ñ Ø Öµ z +z 4 = z =.56 z =.56 x =.56 x, = ±.5 Ò Ø Ú Ä ÙÒ.56 Ñ Ò Û Ö Ò Ø Ö Ù Ø ØÙ Ö Ò Ð ÙÒ x =.56 Ò Ä ÙÒ Øºµ Ð Ò Ò ÐØ ÍÑ Ò Ù Ø Ò Ð Ò Ò ÐØ Ñ Ø Ö Ð Ò Å Ø Ó Û Ò Ù ¾ ¹ Ö Ò Ò ÞÙ ÒÒ Ò Ø ÐÐ Ò Û Ö ÃÖ Ð ÙÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ö º º
82 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ½ µ Û Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ô ÃÖ Ð Ò À Ð Ö Ø Ò Ñ Û Ö ÃÖ Ð ÙÒ Ò Ý Ù Ò x +y = 4 x y = 4 x y = ± 4 x y y = 4 x Ð Ó Ø Ö ÚÓÒ Ò Ò Ö Ô Ò Ò ÐÓ Ò Ð Ò Ò ÐØ A =.5.5 TR =.5 4 x x dx Ù Ð ÙÒ ÞÙ Ò Ò ÛÖ Ö Û Ö ÞÙ Û Ò Ø Ú Ð Ò Ö Ö Ñ Ñ ÞÙ Ö Ò Òµ Æ Ò Ø ÓÒ Ö ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò Û Ö ÒÙÖ Þ Ò Ð ØÙÒ Ö Ö Ø Ò Ë Ø Ö Ð ÙÒ Ð Ñ ÁÒØ Ö Ò Ò Øº (x r x +r rcsin x r ) = [x r x +x( r x ) +r rcsin ( x r ) (x r ) ] = [ r x +x r x ( x)+r ( x r ) r ] = [ r x x r x + r ( x r )] Ö Ö Ø Ð ÙÒ Ò Û Ö Ù Ò Ö Ø Ò ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ö ÃÐ ÑÑ Ö ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ò Û Ò Ø ÙÒ Ù Ò ÞÛ Ø Ò Ã ØØ ÒÖ Ðº ÁÒ Ö ÞÛ Ø Ò Ð ¹ ÙÒ Ò Û Ö x = Ö ØÞØ Ù Ò Ò Ì ÖÑ Ã ØØ ÒÖ Ð Ò Û Ò Ø ÙÒ Ò Ê Ø Ñ Ø Ñ ÓÖÑ Ð Ù Ð Ø Øº Ö Ö ØØ Ð ÙÒ Ò Û Ö ÒÙÖ Ì ÖÑ Ú Ö Ò Ø ÖÞØ ÙÒ ÞÙ ÑÑ Ò Øµº Ò Ö ØØ Ò ËÙÑÑ Ò Ò Ò Ö ÃÐ ÑÑ Ö ÓÖÑ Ò Û Ö Ó ÙÑ Ö Ò Ð Ò Æ ÒÒ Ö Ø Û Ö Ñ ØØÐ Ö ËÙÑÑ Ò r ( x r ) = r = r x r r r x r = r r x ÙÒ Ö Ò Ñ Ø Ó Ê ÒÙÒ ÓÖØ Ò Ñ Û Ö Ò ÞÙÑ Ñ ØØ Ð Ö Ò ËÙÑÑ Ò Ò Ö Ò (x r x +r rcsin x r ) = [ r x x r x + r r x ] = [ r x + r x r x ] = [ r x + r x ] = r x
83 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾ µ y = r x A 4 r A Þ Ò Ò Ð Ò Ò ÐØ ÃÖ Ñ Ø Ê Ù rº ÒÒ Ø A/4 Ö ÁÒ ÐØ Þ Ò Ø Ò Î ÖØ Ð Ö º Ï Ö Ð Ò ÃÖ Ð ÙÒ x +y = r Ò y Ù ÙÒ Ö ÐØ Ò Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò Ö Ô ÃÖ Ð Ò Î ÖØ Ð Ö Ø x +y = r x y = r x ÃÖ Ø Ð Ó A = 4 y = ± r x Ö Ô Ð Ø Ó Ö Ð Ü¹ + y = r x r r x dx ) = 4 (x r x +r rcsin x r ) r = (r r r }{{} +r rcsin r r }{{ r rcsin ) }{{}}}{{ r } π/ = r π
84 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾º º¾ Ö ÒÙÒ Ò Ñ Ø È Ö Ñ Ø ÖÒ Ô Ð ½ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ñ Ø È Ö Ñ Ø Öµ Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x Ð Ø Ñ Ø Ö Ö Ò x = 4 ÙÒ Ö Ü¹ Ò Ð Ò Ø Òº Ö Ò Ò È Ö Ñ Ø Ö c > Ó Ö y = c Ð Ò Ø Ð Öغ Å Ø ÎÓÖØ Ð Þ Ò Ø Ñ Ò Ò Ö Ô Òºµ
85 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ñ Ö ÙÒ ÁÒØ Ö Ð Ð ÙÒ d x dx+(4 d) d = Ñ Ò Ò Ö Ê ÒÙÒ ÒÒ Ñ Ò ÞÙÖ ÃÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ñ Ø Ñ ÌÁ Ð Ò solve( x,x,,d)+(4 d)d = /,d)
86 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ù Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ò Ñ Ø È Ö Ñ Ø Ö Å Ø ÎÓÖØ Ð Þ Ò Ø Ñ Ò Ö Ô Òº Ù ÌÊ Ö Ò Ø ÖР٠ص Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ cos : [, π ] R Ð Ø Ñ Ø Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ò Ð Ò Ø Òº Ö Ò Ò È Ö Ñ Ø Ö Ó Ö x = c Ð Ò Ø Ð Öغ Ù ÌÊ Ð ÖР٠ص Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = (x ) Ð Ø Ñ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ü¹ ÙÒ Ý¹ Ò Ò Ò Ð Ð Ò Ø Òº Ö Û Ð Ò Ï ÖØ È Ö Ñ Ø Ö c > Û Ö Ö Ð Ò Ò ÐØ ÚÓÒ Ö Ö Ò y = c Ð ÖØ Ù ÌÊ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÐ Ù Ø Ò Ø ÞÙÑ Ä Ò ÚÓÒ Ð ÙÒ Òµ Ø ÑÑ ËØ ÙÒ Ö Ö Ò ÙÖ Ò ÆÙÐÐÔÙÒ Ø Ò ÁÒ ÐØ Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ø Ð ÖØ ÚÓÒ Ö È Ö Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ü¹ Ò ÐÓ Ò Û Ö º f(x) = x +x Ù ÌÊ Ö Ò Ø ÖР٠ص Ö Û Ð Ò Ï ÖØ È Ö Ñ Ø Ö > Ð Ø Ö Ö Ô Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x +x ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ö Ü¹ Ñ ½º ÉÙ Ö ÒØ Ò Ò Ð Ñ Ø Ñ ÁÒ ÐØ Ò
87 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ä ÙÒ Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙ Ð Ò Ö ÒÙÒ Ò Ñ Ø È Ö Ñ Ø Ö Ù Ö ÁÒ ÐØ ÑØ Ò Ð Ò Ø Ø c y = cosx π A = π cosxdx = sinx π = sin π sin = Ö x = c ÓÐÐ Ð Ò Ø Ð Ö Ò Ð Ó c cosxdx = A sin c = sinc = sin () c = π 6 Ù Á Ï Ö Ö Ò Ò d ÒÙÒ µº Ö Ù ÒÒ Ñ Ò ÒÒ c = (d ) Ò Ö Ò Òº Ö ÁÒ ÐØ ÑØ Ò Ð Ò Ø Ø y = (x ) (d ) = c B C d A = (x ) dx TR = 9. Ö y = c ÓÐÐ Ð Ò Ø Ð Ö Òº Ð Ó Ñ Ò ÁÒ ÐØ Ö Ð Ò Ø ÙÒ ÞÙ ÑÑ Ò Ð Ó ÖÓ Ò Û ÒÞ d(d ) + d B +C = A (x ) dx = 9 d(d 6d+9)+ x 6x+9dx = 9 d d 6d +9d+[ x x +9x] = 9 d 6d +9d+[9 7+7 d +d 9d] = 9 d 6d +9d+9 d +d 9d = 9 d d + 9 = 4d 8d +7 = d
88 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ Ø Ò Ð ÙÒ Ö ØØ Ò Ö Ö Û Ö Ò Ä ÙÒ ÓÖÑ Ð Òº Ï Ö Ð Ò Ñ Ø Ñ Ìʺ ËÝÒØ Ü Ö Ò ÌÁ Ø ÓÐ Ò Solve(4d 8d +7 =,d) Ö ÌÊ Ð ÖØ Ö Ä ÙÒ Ò ( ) < ( +) > ÙÒ ÚÓÒ Ò Ò Ö ÒÙÖ d = Ñ ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [,] Рغ Ð Ó c = f( ) = ( ) = ( ) = 9 4 Ù y = x +x y = mx B C c Á Ï Ö Ö Ò Ò c ÒÙÒ µº Ö Ù ÒÒ Ñ Ò ÒÒ ËØ ÙÒ m = f(c) c Ò Ö Ò Òº Ö ÁÒ ÐØ ÑØ Ò Ð Ò Ø Ø A = x +xdx TR = 9. Ö y = mx ÓÐÐ Ð Ò Ø Ð Ö Òº Ð Ó Ñ Ò ÁÒ ÐØ Ö Ð Ò Ø ÙÒ ÞÙ¹ ÑÑ Ò Ð Ó ÖÓ Ò Û ÒÞ B +C = A Ö ÖÙÒ Ø Ñ Ð À ÙÖ ÞÛ c + c +[ c ( c +c)+ c + c +[ c + c +[ x c x +xdx = 9 4 x + ] = ( c + c )] = c c ) = 9 4 c + c c c = c + 6 c Ñ ËØ ÙÒ Ö Ð Ø Ñ Ò ËØ ÙÒ c À ÙÔØ ØÞ ÒÒ Ö ÃÐ ÑÑ Ö Ð Ò ÃÐ ÑÑ Ö Ù ÖÙ Ú Ö Ò Ò ÙÒ ÃÐ ÑÑ Ö Ð Ò Ð Ò Ñ Ñ Ò = ÞÙ ÑÑ Ò Ò 6 c + 9 = Ò Ù Ò 4 6 c = c = 7 c = m = f(c) c ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ ÚÓÒ Ò ØÞ Ò
89 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ = c +c ÖÞ Ò c = c+ Ó Ò Ö Ò Ø Ò ØÞ Ò = + Ù y = x +x A = 6 =.6 ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò f(x) = x +x = x( x ) = Ö Ù ÓÐ Ø Ö Ø ÆÙÐÐ Ø ÐÐ x = º Ö Ö ÒÙÒ Ö Ö ØÐ Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ØÞ Ò Û Ö Ò Ö Ø Ò ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÒ Ð ÒÙÐÐ x = x = x x, = = ± Ñ Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÒØ Ö Ö Ò Û Ö ÙÒ ÒÙÖ Ö Ð Ò Ø Ñ Ö Ø Ò ÉÙ Ö ÒØ Ò Ð Ó ÒØ Ö Ö Ò Û Ö ÙÒ ÒÙÖ Ö Ò ØÒ Ø Ú Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò x = ÙÒ x = º Ö ÒÙÒ ÚÓÒ Ó A = 6 Ò Ö Ò Ø Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò x =,x = Ò ÙÒ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ò¹ Þ Ò A = 6 = [ x4 4 6 = ( ) = = = 4 8 = x +xdx A = 6 ÙÒ À ÙÔØ ØÞ x + ] () Ò Ù Ò = ± 8 > Ò Ù Ò Ø ÐÐÙÒ = 8 8 = Ò ÈÖ Ñ ØÓÖ Ò Þ ÖÐ Ò =
90 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¾º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÐÒ ÒÐ Û Ñ Ð Ø Ò ÈÖÓ Ù ØÖ Ð Ã ØØ ÒÖ Ð ºººµ Ø Ù Ñ ÁÒØ ¹ Ö Ö Ò Ê ÐÒ Ñ Ø Ö Ò À Ð Ñ Ò ÓÑÔÐ Þ ÖØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö Ö Ò ÒÒ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ð Û Ð Ò Ù Ö Ã ØØ ÒÖ Ð ÓРص ÙÒ Ô ÖØ ÐÐ ÁÒØ ¹ Ö Ø ÓÒ Û Ð Ò Ù Ö ÈÖÓ Ù ØÖ Ð ÓРصº ¾º º½ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ð Ë ØÞ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ðµ Û Þ Ò Ø F Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ f Ó ÓÐ Ø Ù Ö Ã ØØ ÒÖ Ð [F(ϕ(x))] = F (ϕ(x)) ϕ (x) = f(ϕ(x)) ϕ (x). Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ð ÙÒ Ð ÖØ Ñ Ø Ñ À ÙÔØ ØÞ À˵ b f(ϕ(x)) ϕ (x)dx = b [F(ϕ(x))] dx HS = F(ϕ(b)) F(ϕ()) HS ϕ(b) = f(x)dx ϕ() Ô Ð ½ 5 x dx =? (+x ) ÎÓÖ Ò ½º ÁÑ ÁÒØ Ö Ò Ò Ò Ò Ì ÖÑ ϕ(x) Ù Ò Ò Ð ØÙÒ ϕ (x) Ò¹ ÐÐ Ñ ÁÒØ Ö Ò Ò ÒØ ÐØ Ò Øº ÁÒ Ñ Ô Ð Ø Ö Ì ÖÑ ¾º Ö ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ ÁÒØ Ö Ò Ò Ó f(ϕ(x)) ϕ (x) Ö ÁÒØ Ö Ò Øº ÁÒ Ñ Ô Ð Ð Ó
91 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ¼
92 ¾ ÁÆÌ Ê ÄÊ ÀÆÍÆ ½ Ù ËØ Ò Ö µ µ t t + dt µ 6 4 4x+dx Ù Ò ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ð µ (x )(x x) 5 dx µ π 4 6sinycosydy Ù ¼ Ò ÃÓÖÖ ØÙÖ ØÓÖ Ø Ò Ø µ µ t t + dt µ 6 x+dx µ π ω cosωtdt µ 5x (x +) 7 dx Ù ½ Ï Ø Ö ÁÒØ Ö Ð µ µ (x+)ex(x+) dx µ π π 4 coste sint dt Ù ¾ ÍÒ Ø ÑÑØ ÁÒØ Ö Ð µ µ t t + dt µ x+dx µ x (x +) 7 dx Ò Ø Ù Ð Ø Ñ Ò Ò Ù Ð Û Ù ¾ Û Ð ÒÙÖ Ù Ò Ö ÒÞ Ò Ì Ð Ù Ø Øº Ù Ø Ö Ò Ù Ó Û Ø Û Ù ¾º Ù ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Òµ Ö Ò Ö Ò Ò ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ g(x) = x x +4 Î Ö ØÒ Ò Ö ÙÒ Ò ÚÓÑ Ì Ñ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒµ Ù ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ÍÑ ÖÔÖÓÞ Ö Ö ÒØ Ø ÓÒµ Ñ Ö ÒÐ ØÙÒ ÚÓÒ Ã Ô Ø Ð ¾º¾ Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÍÑ ÖÔÖÓÞ ÞÙÖ Ö ÒØ Ø Ø ÓÒº Ï Ø Ñ Ø Ñ ÒØ
= 27
Å ÌÀ Ê ÂÍÆ ÍÆ ÄÌ ¹ Ë ÊÁ ¹ ÇÃÌ»ÆÇÎ ¾¼½½ ½ ÎÓÖ ÙÐ ½ Ù ¹½½ ÁÒ ÂÙÐ Ë Ù Ö Ò Ø Ò Ö È Ö Ë Ù º Ë Ò ÑÑØ Ñ ÙÒ ÐÒ Ú Ö ÒÞ ÐÒ Ë Ù Ö Ù º Á Ø Ò ÞÙ ÑÑ Ò Ö Ò È Ö Ù ¹½¾ Û ÚÓÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ú ÐÐ Ð º Ï Ð Ò ¾ À Ï Ò ÐÚÓ ÛÛÛº Ð
15+9 = 24 8 = 41 6 = 44+4 = 45 5 = = = = = 26 7 = 13 6 = = 27+6 = = =
Å ÌÀ Ê ÂÍÆ ÍÆ ÄÌ ¹ Ë ÊÁ ¹ Ë ÈÌ»ÇÃÌ ¾¼½¾ ½ ÎÓÖ ÙÐ ½ Ù ¹½½ Ï Ú Ð Ö ÒÒ Ø Ù Ò Ö ÙÖ ÒØ Ò Ù ¹½¾ Ù Ô Ø Ö ÊØ ÐÖ Ø Ö ÙØ Å Ù Ò ÙÒ Ò Ã Ø Ö ÍÒ ÒÒ Ö Ò Ø Ù Û Ò Û ÐØ ÛÓ Ð Ò Ò Ò ÏÓ Òµ À ÒÛ ÙÒ Ò Û Ð Ò Ò Ð Ò Ò ÈÙÒ Ø ÙÒØ
Ð ÖØ Ø ÓÒ Ò Ñ Ø ÚÓÒ Ò Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ Ò ÙÐØØ Ò Ö ÍÒ Ú Ö¹ ØØ ÖÐ Ò Ò¹Æ ÖÒ Ö Ì Ö Ñ Ò Ð Ò ÈÖ ÙÒ ÎÓÖ ØÞ Ò Ö Ö ÈÖÓÑÓØ ÓÒ ÓÑÑ ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ö Ø ØØ Ö Û Ø Ö Ø Ö Ø ØØ
Ò Ò Ø Ó ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ö Ð ØÖÓÒ Ò ÄÓ Ð ÖÙÒ Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ò À Ð Ð Ø Ö ØÖÙ ØÙÖ Ò Ñ Ø Ï ÐÛ Ö ÙÒ ÙÒ ÍÒÓÖ ÒÙÒ Ò Ò ØÙÖÛ Ò ØÐ Ò ÙÐØØ Ò Ö Ö Ö ¹ Ð Ü Ò Ö¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÖÐ Ò Ò¹Æ ÖÒ Ö ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Å Ö
Ê Ê ÙÒ ÒØ ÖÖ Ý Ó ÁÒ Ô Ò ÒØ ÙØÓÖ ÖÒ Ö Ë Ñ Ø Å Øº ÆÖº ¾ à ÒÒÞº ½ ½ ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ¾ Ì Ð Ò Ê ËÝ Ø Ñ ÖÖ Ý Å Ò Ñ ÒØ ËÓ ØÛ Ö Ê Ä Ú Ð º½ Ö «Ò Ø ÓÒ Ò ººººººººººººººººººººººººººººººº
Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet
ruhr-universität bochum Lehrstuhl für Datenverarbeitung Prof. Dr.-Ing. Dr.E.h. Wolfgang Weber Verteilte Systeme/Sicherheit im Internet Intrusion Detection und Intrusion Response Systeme (IDS & IRS) Seminar
x y x+y x+15 y 4 x+y 7
Å ÌÀ Ê ÂÍÆ ÍÆ ÄÌ ¹ Ë ÊÁ ¼ ¹ Â Æ» ¾¼½ ½ ½ ÎÓÖ ÙÐ Ä ÙÒ ¼¹½½ Î ¾ Ï ¾ Ä ÙÒ ¼¹½¾ È Ö Ö Ö Ò ÓÖ Ò Ø Ò ÅÓÓÒ Ñ Ù ÊÓÑ Ó Ä Ë ÒØÓ ÄÓ Ä Ó Ð Ò Ø Ö Ø Ä ÙÒ ¼¹½ Ä ÙÒ ¼¹½ ¹¾ ¹ ¹½ ¹ Ä ÙÒ ¼¹½ Ò Ã Ò Öº Ë Ñ Ò ½ ¾ ÙÒ Ó Ò ØÖÓ
Þ ÒÞÙÒØ Ö Ù ÙÒ Ò Ò Ö ÎÓÖ Ð Ò ÙÒ Î ÖØ Ù Ò ¹Å Ø Ó Ö ÙÓÖ ÒÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐÓÑ Ö Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò º Ò ÓÖѺ Ê Ò Ö À ÖÖÐ Ö ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº Ö Ò ÈÙÔÔ Ôк ÁÒ ÓÖѺ Ù Ä Ö ØÙ Ð Ö Ã Ò ØÐ ÁÒØ ÐÐ ÒÞ ÙÒ Ò Û Ò Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ
Ò Ù Ù Ò Ë ØÞÚ ÒØ Ð Ó Ò ÖÓ ÐÛ Ö ÙÒ µ ÙÒ ÃÓÐ ÒÚ Ò¹ Ø Ð Ñ Ø ÖÓ ÐÛ Ö ÙÒ µ B A B A ØØ ÙÒ Ö Ø ÙÖ Ñ Ò Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ý Ö ÙÐ Ó Ö ÔÒ ÙÑ Ø ËØ ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ö Ø ÙÖ Ý Ö
ËÔ ÖÖÚ ÒØ Ð Ø ÑÑØ ÎÓÐÙÑ Ò ØÖÓÑÖ ØÙÒ ËÔ ÖÖ Òµ ÖÙ Ú ÒØ Ð Ø ÑÑØ Ð Ø ÖÙ Ñ ËÝ Ø Ñ Ö Ò¹ Å Ò ÖÒ Ù ÐØ Òµ Þ Ò ËØÖÓÑÚ ÒØ Ð Ø ÑÑØ ÎÓÐÙÑ Ò ØÖÓÑ Ñ ËÝ Ø Ñ ÖÓ ÐÒ Î ÒØ Ð Ä ØÙÒ Ù ÙÖ Ò Ù ÙÒ ÚÓÒ p ËØ Ù ÖÙÒ ÙÒ ËØÖ ÑÙÒ Ö ØÙÒ
Ã Ô Ø Ð ¾ ØÙ ÐÐ Ö ËØ Ò ÙÒ Ì Ò ÒÞ Ò Ö Ã Þ¹ÁÒÒ ÒÖ ÙÑ ÖÛ ÙÒ ÁÒ ÐØ Ò ¾º½ ÅÓØ Ú Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÁÒÒ ÒÖ ÙÑ ÙØÞ Ñ Ã Þ¹ÁÒÒ ÒÖ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º
Ê Ö ÒØ ÈÖÓ º Öº ÏÓÐ Ò ÖØÑ Ö ÃÓÖÖ Ö ÒØ ÈÖÓ º Öº Â Ò ÖÐØ Ì Ö ÈÖÓÑÓØ ÓÒ ½ º ¼ º ¾¼¼
ÍÐØÖ ÐØ Ø ÖÓÒÙ Ð Ö ¹ÅÓÐ Ð ÎÓÒ Ö ÙÐØØ Ö Å Ø Ñ Ø ÙÒ È Ý Ö ÓØØ Ö Ï Ð ÐÑ Ä Ò Þ ÍÒ Ú Ö ØØ À ÒÒÓÚ Ö ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ¹ Öº Ö Öº Ò Øº ¹ Ò Ñ Ø ÖØ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ôк¹È Ý º Ì ÓÖ Ø Ò À ÒÒ Ò Ö ÓÖ Ò Ñ ¾
Ò Ö Ø Ö ÙØ Ø Ö Û Ø Ö ÙØ Ø Ö Ì Ö Ñ Ò Ð Ò ÈÖ ÙÒ Ì Ö ÈÖÓÑÓØ ÓÒ ÈÖÓ ÓÖ Öº ƺ Ë Ñ ØÞ ÈÖÓ ÓÖ Öº Ϻ º Ë ØØ Ö ÈÖÓ ÓÖ Öº Àº Ö ¾ º¼ º ¾ º¼ º
ËÌÊÇÆÇÅÁ ÆÙØÞÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ö ÈÐ ØØ Ò Ö Ú ÁÒ Ù ÙÖ Ð ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Ö Å Ø Ñ Ø Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ Ò ÙÐØØ Ö Ï Ø Ð Ò Ï Ð ÐÑ ÍÒ Ú Ö ØØ Å Ò Ø Ö ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ê Ò Ø Ù ÐÐ Ù ÓØØÖÓÔ ½ Ò Ö Ø
ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ½¼ ½º½ ÎÓÖÛÓÖØ ÚÓÒ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º¾ ÎÓÖÛÓÖØ ÚÓÒ ÓÑ Ò ÕÙ º º º º º º º
ÎÓÖ Ö ØÙÒ Ö Î ÖØ ÙÒ ÔÖ ÙÒ Ã Ò ØÐ ÁÒØ ÐÐ ÒÞ Ï Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ò Ò Ò Ò Ö ÏÓÖØÑ ÒÒ Ò Ö ºÛÓÖØÑ ÒÒÖÛØ ¹ Òº µ Ö Ò Ù Ò ÎÓÖ Ö ØÙÒ Ò ÚÓÒ ÓÑ Ò ÕÙ ÐÑ Ý Ö ÓÑ Ò ÕÙ ºÞ ÐÑ Ý ÖÖÛØ ¹ Òº µ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ½¼ ½º½
½º ÒÐ ØÙÒ ¾º Î Ö Ð Ò Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ö Ê Ö ÓÒ º ÍÒ Ú Ö Ø ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ê Ö ÓÒ º Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º ÊÓ Ù Ø Ë ØÞÙÒ º Ø Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ Ê Ö ÓÒ ½
ÆÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ê Ö ÓÒ ÙÒØ Ö Î ÖÛ Ò ÙÒ Ý Ò Ö Î Ö Ð Ò Ð Ø ÓÒ ¹ źËÑ Ø ² ʺÃÓ Ò ¹ ½º ÒÐ ØÙÒ ¾º Î Ö Ð Ò Ð Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ö Ê Ö ÓÒ º ÍÒ Ú Ö Ø ÒÓÒÔ Ö Ñ ØÖ Ê Ö ÓÒ º Ø ÒØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º ÊÓ Ù Ø Ë ØÞÙÒ º Ø Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ
ÍÒ Ú Ö ØØ Ã ÖÐ ÖÙ ÌÀµ Ê Ù Ø ÙÒØ Ö Ù ÙÒ ÙÒ Æ ÒÓ ØÖÙ ØÙÖ ÖÙÒ Ñ Ø Ñ Ê Ø Ö Ö ØÑ ÖÓ ÓÔ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ò ÐÝ Ò ÔÐÓÑ Ö Ø ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ ËÚ Ò È ÙÐÙ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Ò Û Ò Ø È Ý ÍÒ Ú Ö ØØ Ã ÖÐ ÖÙ ¼º ÆÓÚ Ñ Ö ½ Ö Ø ÙØ Ø Ö
ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò À ÙÔØ Ñ Ò Ö Ñ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ½ ÈÖÓ º Öº Àº º À Ö Ò Î ÖÞ Ò Ò Ø ÙÒ Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ñ Æ ØÞ¹ ÙÒ ËÝ Ø ÑÑ Ò Ñ ÒØ Ä È Ú Ä ØÛ Ø Ö ØÓÖÝ ÈÖÓØÓÓÐ Î Ö ÓÒ Ê Ö ÒØ Ò Ö Ë ÐÐÑ
Ò ĐÙ ÖÙÒ Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ø Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÃÓÒÞ ÔØ Å Ø Ó Ò ÙÒ Ï Ö Þ Ù ÞÙÖ ÒØÛ ÐÙÒ ÒØ Ö ÖØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ò Ò ÍÑ Ð ß ÎÓÖÐ ÙÒ ÙÒØ ÖÐ Ò ß Öº Å ÖØ Ò Ò Ö ÙÒ Ó Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ö ØÖ ÙÒ ¹ ÙØÓÑ Ø ÖÙÒ Å
Ä ÓÔÓÐ ¹ Ö ÒÞ Ò ¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÁÒÒ ÖÙ ÁÒ Ø ØÙØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ø Ò Ò Ò ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ËÓ Ð¹Å ÃÓÒÞ ÔØ Ò È Ö ÓÒ Ð¹ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ¹Å Ò Ñ ÒعËÝ Ø Ñ Ò ÐÓÖ¹ Ö Ø ØÖ ÙØ ÚÓÒ ÏÓÐ Ò Ð Ö Ú Ò ÖÐ ÁÒÒ ÖÙ ½ º ÂÙÒ ¾¼½¾ Ù ÑÑ
½ Ï ÐÐ ÓÑÑ Ò ÞÙÑ ËØÙ Ý Ù ÁÒ Ø ÐÐ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Á² ½µ ÖØ Þ ÖÙÒ º Ø Ö Ö Ø ÚÓÒ Ú Ö ÃÙÖ Ò ÞÙÑ Ë Ö Ä ÒÙÜ Ò ÆÍ ÖØ Ñ Ò ØÖ ØÓÖ Ä µº Ò Ö Ò Ö ÃÙÖ Ò ËÝ Ø Ñ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ë ½µ Æ ØÛÓÖ Ò Æ Ì½µ ÙÒ Ë ÙÖ ¹ ØÝ Ë È½µº
)XQGDPHQWDOH &3$ /DVHU QP 6WHXHUXQJ 'DWHQDXIQDKPH 9HU] JHUXQJV VWUH NH /R N,Q :HL OL KWN YHWWH KURPDWRU 3KRWRGLRGH )LOWHU,) =HUKD NHU 0RQR 3UREH
![)XQGDPHQWDOH &3$ /DVHU QP 6WHXHUXQJ 'DWHQDXIQDKPH 9HU] JHUXQJV VWUH NH /R N,Q :HL OL KWN YHWWH KURPDWRU 3KRWRGLRGH )LOWHU,) =HUKD NHU 0RQR 3UREH](/thumbs/27/9874697.jpg ")XQGDPHQWDOH &3$ /DVHU QP 6WHXHUXQJ 'DWHQDXIQDKPH 9HU] JHUXQJV VWUH NH /R N,Q :HL OL KWN YHWWH KURPDWRU 3KRWRGLRGH )LOWHU,) =HUKD NHU 0RQR 3UREH")
Ã Ô Ø Ð ¾ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Å Ø Ó Ò ¾º½ ÒÐ ØÙÒ ÖÓÑÓÔÖÓØ Ò Û Ò Ò Ø Ù Ö ÓÐÓ Ê Ø ÓÒ ÙÖ Ä Ø¹ ÓÖÔØ ÓÒ ÒÞÙØÖ Òº Ù Ñ ÖÙÒ Û Ö Ò Ä Ø ØÖ Ð ÞÙÖ ÒÖ ÙÒ ÈÖÓØ Ò ÙÒ ÞÙÑ ËØ ÖØ Ö Ê Ø ÓÒ Ò Ø Øº Ñ Ø Ú Ö ÙÒ Ò Ò ÖÙÒ Ð ØÖÓÒ Ò Ù Ø
BS Registers/Home Network HLR/AuC
Ë Ö Ø Ñ ÅÓ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÞ Ö º Ò Ö Ø ÓÒ ÍÅÌ˵ ÃÐ Ù ÚÓÒ Ö À Ý ¾¼¼¾¹¼ ¹¾ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ò ÖÙÒ ¾ ½º½ Ï ÖÙÑ Ö ÙÔØ Ë Ö Ø ÓÒÞ ÔØ ÑÓ Ð Ö ÃÓÑÑÙÒ ¹ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÔÐÓÑ Ö Ø ÈÖÓ Ù Ø ÓÒ ÔÐ ÒÙÒ Ñ Ø À Ð ÚÓÒ ÅÙÐØ ÒØ Ò Ý Ø Ñ Ò Ë ÄĐÙ ÔÐÓÑ Ö Ø Ñ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÓÖØÑÙÒ ½ º Ç ØÓ Ö ¾¼¼½ ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº Ã Ø Ö Ò ÅÓÖ Ôк ÁÒ ÓÖѺ ËØ Ò À Ù Ø Ò À ÖÑ Ø ØĐ Ø Ö Ø Ð Ø ØĐ Ò Ú
Grundtypen von Lägern
º Ä Ö Ý Ø Ñ Ñ Ö Î Á¹Ê ØÐ Ò ¾ ½½ Ø Ä ÖÒ ÔÐ ÒØ Ä Ò Ö Ø ¹ Ò Ø Ò Ñ Å Ø Ö Ð Ù º Ä Ö Ø Ò Ê ÙÑ ÞÛº Ò Ð ÞÙÑ Ù Û Ö Ò ÚÓÒ ËØ ¹ ÙÒ»Ó Ö Ë ØØ ÙØ Ò ÓÖÑ ÚÓÒ ÊÓ ØÓ Ò Û ¹ ÒÔÖÓ Ù Ø Ò Ó Ö ÖØ Û Ö Ò Ñ Ò Ò¹ ÙÒ»Ó Ö Û ÖØÑ Ö Ø
Ë ÑÑÐÙÒ ÙÒ ÆÙØÞÙÒ Ö Ö Ê ÓÙÖ Ò Ò Ï ØÚ Ö Ö Ò ØÞ Ò Å Ð Å Ý ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ë ÑÑÐÙÒ ÙÒ ÆÙØÞÙÒ Ö Ö Ê ÓÙÖ Ò Ò Ï ØÚ Ö Ö Ò ØÞ Ò Å Ð Å Ý ÎÓÐÐ ØĐ Ò Ö ÖÙ Ö ÚÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ
Strategische Standortplanung in Reverse-Logistik-Netzwerken - Eine empirische und modellgestützte Analyse
Sven Mühlthaler Strategische Standortplanung in Reverse-Logistik-Netzwerken - Eine empirische und modellgestützte Analyse Dargestellt für die Amaturenaufarbeitung kassel university press Die vorliegende
Ò ĐÙ ÖÙÒ Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ø Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÃÓÒÞ ÔØ Å Ø Ó Ò ÙÒ Ï Ö Þ Ù ÞÙÖ ÒØÛ ÐÙÒ ÒØ Ö ÖØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø Ò Ò ÍÑ Ð ß ÎÓÖÐ ÙÒ ÙÒØ ÖÐ Ò ß Öº Å ÖØ Ò Ò Ö ÙÒ Ó Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ö ØÖ ÙÒ ¹ ÙØÓÑ Ø ÖÙÒ Å
ÎÓÖÖØÙÒ ÑØÖÐ ĐÙÖ Ò ËØÙÙÑ Ò Ò ĐÖÒ ÅØÑØ ÙÒ ÁÒÓÖÑØ Ò Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÄÔÞ ÀÖÙ Ò ÚÓÑ ËØÙÒÒ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ ÙÒ ÁÒÓÖÑØ ÏÖÙÑ Ò ÌÙØÓÖÙÑ ÅØÑØ ÁÒ ÐÐÒ ÚÓÒ ÙÒ ÖÖ ÙÐØĐØ ÒÓØÒÒ ËØÙÒĐÒÒ Ø ĐØÙÒ ÑØ ÑØÑØ Ò ËÚÖÐØÒ Ð ØÚÖ ØĐÒк
ÖÖ Ö Ø ÚÓÒ ÓÑÔÙØ Ö Ý Ø Ñ Ò Ë Ö ÔØ ÞÙÑ Ë Ñ Ò Ö ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ½ À Ö Ù Ö Å Ò Ö Ã Ö Ö Ü Ð ÈÖĐ Ð Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ã Ö Ð ÙØ ÖÒ ¹ ¼ Ã Ö Ð ÙØ ÖÒ Ï Ø ÖÑ ÒÝ ÁÒ ÐØ Á Ø Ò ÙØÞ ½ Ø Ò ÙØÞ ß Ö ØÐ Ä ½º½ ÏÓ Ö ÓÑÑØ
Wirtschaftlichkeit und optimaler Betrieb von KWK-Anlagen unter den neuen energiewirtschaftlichen Rahmenbedingungen
Wirtschaftlichkeit und optimaler Betrieb von KWK-Anlagen unter den neuen energiewirtschaftlichen Rahmenbedingungen Bearbeitet durch Lambert Schneider Berlin, März 2000 Geschäftsstelle Freiburg Büro Berlin
ËØ Ò À ÖØÑ ÒÒ Å ØÖ Ð¹ÆÖº ½ µ ÃÓÒÞ ÔØ ÓÒ ÙÒ Ú ÐÙ ÖÙÒ Ò Ö Î Ù Ð ÖÙÒ Ø Ò Ö Ñ Ò Ò Ø Ò ÚÓÒ ÓÐÓ Ò ÐÐ Ò ÔÐÓÑ Ö Ø ÈÖÓ º Öº º ÃÖ Ñ Ö ÈÖÓ ÙÖ Ö Ö Ô Ø ÒÚ Ö Ö ØÙÒ Ö ÓÐÓ ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÂÓ ÒÒ ÏÓÐ Ò Ó
Ê Ñ Ò¹ËÔ ØÖÓ ÓÔ Ò Ò Ö Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ý Ø Ñ Ò ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ó ØÓÖ Ö Ö È Ý Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø À Ñ ÙÖ ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Þ Ö ÍÐÖ Ù À Ñ ÙÖ À Ñ ÙÖ ¾¼¼¼ ÙØ Ø Ö Ö ÖØ Ø ÓÒ ÙØ Ø Ö Ö ÔÙØ Ø ÓÒ ØÙÑ Ö ÔÙØ Ø ÓÒ ËÔÖ Ö
¾¾ Ö ÙÖ Ã Ô Ò Ù Ö¹ÁÒ Ø ØÙØ Ö ËÓÒÒ ÒÔ Ý Ë Ö Ø Ö Ø ÙÒ Î ÖÛ ÐØÙÒ º Ⱥ à ÑÑ Ö Íº ÊÝÒ ÖÞ Û Î ÖÛ ÐØÙÒ Ð ØÙÒ µ Àº ËØÖÓ º ÈÖ Ø Ò Ò Åº Ò Ù Ö ½º½¾ºµº Ì Ò È Ö ÓÒ
Â Ö Ö Ø ¾¼¼ Å ØØ ÐÙÒ Ò Ö ØÖÓÒÓÑ Ò ÐÐ Ø ¾¼¼ µ ¾¾ ¾ ½ Ö ÙÖ º Öº Ã Ô Ò Ù Ö¹ÁÒ Ø ØÙØ Ö ËÓÒÒ ÒÔ Ý Ë Ò ØÖ ½¼ Ö ÙÖ Ì Ðº ¼ ½µ ½ ¹¼ Ü ¼ ½µ ½ ¹½½½ ¹Å Ð Ö ºÙÒ ¹ Ö ÙÖ º ÏÏÏ ØØÔ»»ÛÛÛº ºÙÒ ¹ Ö ÙÖ º Ù Ò Ø ÐÐ Ñ Ç ÖÚ ØÓÖ
ÐÙÑ Ò ÙÑÒ ØÖ ¹Ë ÙØÞ Ø Ò Ù ÐÐ ÙÑÒ ØÖ À Ö Ø ÐÐÙÒ ÙÒ Ö Ø Ö ÖÙÒ ÚÓÒ Å ÐØ Ã Ö ÔÐÓÑ Ö Ø Ò È Ý Ò ÖØ Ø Ñ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ËØÖ Ð Ò¹ ÙÒ Ã ÖÒÔ Ý ÚÓÖ Ð Ø Ö Å Ø Ñ Ø ¹Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ Ò ÙÐØĐ Ø Ö Ê Ò Ò Ö Ö ¹Ï Ð ÐÑ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ
ÔÐÓÑ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ØØ À Ñ ÙÖ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ø Ö Æ ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Ø ¹ ÙÒ Æ ØÙÖÛ Ò Ø Òµ Ò ÁÌ¹Ë Ö Ø ÓÒÞ ÔØ Ö Ò Û Ò ØÐ ÒÖ ØÙÒ Ñ Ô Ð Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØØ À Ñ ÙÖ Ì Ð ÁÁÁ ÖÐÙØ ÖÙÒ Ò Â Ò Æ ÓÒ Ö ØÖ ¾ ¾¾ ½
Ë ÑÙÐ Ø Ú ÍÒØ Ö Ù ÙÒ À Ò ÓÚ Ö Î Ö ÐØ Ò ÚÓÒ ÅÓ Ð ÁÈ ÞÙ Đ ØÞÐ Ñ ÃÓÒØ ÜØØÖ Ò Ö ËØ Ò Ê Ò ÓÖ ÙÒ ¹ ÙÒ Ä Ö Ò Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÎÁÁÁ ÈÖÓ º Öº Â Ò Ê Ò Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Å Ò ÐÐ Ù Ø ÓÒ Ë ÑÙÐ Ø Ú ÍÒØ Ö Ù ÙÒ À Ò ÓÚ Ö Î Ö ÐØ Ò
ß Ð ¹ ÓÜ¹Ï ÖÚ ÖÛ Ò ÙÒ Î Ö ĐÙ Ö Ø ÚÓÒ Ú Ö Ò Ò Ö Ø ÒÙØÞ Ö ÃÐ Ò ÞÙÖ ÁÒ Ø ÒØ ÖÙÒ ÖĐ Ò Ø ÅĐÓ Ð Ø Ò ÞÙÖ ÒÔ ÙÒ Ö Ò Ö Ú ÖÛ Ò Ö ß Ï ÖÚ ÖÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ô Þ ÐÐ ËÛ¹Ì Ð Ò Ô Þ Î Ö ÐØ Ò Ù ¹ Û Ò
Ë Ö Ø ÒĐÙ ÖØÖ ÙÒ ĐÙ Ö ÁÒØ ÖÒ Ø Ñ ØØ Ð ÁÈË ËØÙ Ò Ö Ø ÎÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ì ÐÓ ÊÙ ÞÙÖ ÙØ ØÙÒ ÙÖ ÈÖÓ º Öº ÃÐ Ù ÖÙÒÒ Ø Ò ½ º Þ Ñ Ö ½ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø À Ñ ÙÖ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ø Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Ø ¹ ÙÒ Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÁÒ
Ò ÖØ Ö ÑÙÐØ Ñ Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö Ø Ã Ö Ð ÓÖÒÖ Ò ¼ Ø ØØ Ò Ö Ø Ö ÐºÒ Ø ¾ º Å ¾¼¼½ Ù ÑÑ Ò ÙÒ Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ö Ð Ö ÒÓÖÑ Ò ÓØ Ò ÑÙÐØ Ñ Ð Ò Ò ÖØ Ò Ò ÙÒ Ò ÒØ Ö ÒØ ÙÒ Ò Ù Ì ÒÓÐÓ Ò ÙÖ ÔÖ Ø ¹ Ì Ø Ò Ù Ö ÙÒØ Ö ÄÙÔ Ò Ñ Òº
ÙÐØØ ÁÒ Ò ÙÖ Û Ò Ø Ò ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÔÐÓÑ Ö Ø Ö Ì Ñ ÃÓÒ ÓÐ ÖÙÒ Ò Á̹ËÝ Ø Ñ ÞÙÖ ÍÒØ Ö Ø ØÞÙÒ ÐÐ ÖØ Ö Ö Ö ËÓ ØÛ Ö Ò ØÐ ØÙÒ Ò ÚÓÖ Ð Ø ÙÖ ÌÓÖ Ø Ò ÁÖÐÒ Ö ¾¼¼ ÌÓÖ Ø Ò ÁÖÐÒ Ö ÓÑ Ö Ø Ö ÖÚ Ï Ö Ø ÙÒØ Ö Ö Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ
ÔÐÓÑ Ö Ø Ú ÀÓÖÒ Ö ½ ÌÀ ÖÑ Ø Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Ϻ À Ò ÔÐ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÈÖÓ º ĺ ÈÓÒ Ö ØÞ ÈĐ Ó Öº ź À Ö À ÖÙÒ ÞĐÙ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Á ß Ø Ò ÐÝ ĐÍ ÙÒ ØÖ ß ÒÖ ÙÒ Ò ÞÙÖ Æ Ù ÓÒÞ ÔØ ÓÒº Ú ÖĐÓ«ÒØÐ Ø Ð À ¹ Ö Ø Ö Ø
ÁÒ Ø Ú ÖÞ Ò ½ Ò ÖÙÒ ½ ¾ Å ÒÞ Ö ÌÖ Ø Ùѹ ¹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ¾º½ ÌÖ Ø Ùѹ ¹ËÔ ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò Å ÒÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾º½
ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼½ ÝÒ Ñ ËÝ Ø Ñ ¾ ÎÓÖÐ ÙÒ Ö ÔØ Ñ Ø ÄĐÓ ÙÒ Òµ Í Ó Ù Þ ÒØÖ Ð Ò ËÝ Ø Ñ Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Å Ò Ð ÖÓØÑ Ò ÂÙÐ Ñ Ò ÙÒ ÒÞÙ Ø ÈÓ Ð³ Ò Ê Ñ Ø ÍÒÛÙ Ø ÁÆÀ ÄÌËÎ Ê Á ÀÆÁË ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ÒÐ Ò Ä ÖÒÞ Ð Ú ½ ½ º ÔÖ Ð ¾¼¼½
ÁÈÄÇÅ Ê ÁÌ Î Ö Ð Ú Ö Ò Ö ÊÓØÓÖ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ò Ô Þ Ø Ú Ò Ö ÑÓÑ ÒØ Ò ÓÖ Ù ĐÙ ÖØ Ñ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ Ò Û Ò Ø Ð ØÖÓÒ ÙÒ ÉÙ ÒØ Ò Ð ØÖÓÒ Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò ÙÒØ Ö ÒÐ ØÙÒ ÚÓÒ ÍÒ ÚºÈÖÓ º Ôк¹ÁÒ º ÖºØ Òº ÓÖ Ö ÙÖ Ôк¹ÁÒ
TUM INSTITUT FÜR INFORMATIK. Internet -Buchhandel Eine Fallstudie für die Anwendung von Softwareentwicklungstechniken mit der UML
TUM INSTITUT FÜR INFORMATIK Internet -Buchhandel Eine Fallstudie für die Anwendung von Softwareentwicklungstechniken mit der UML Gerhard Popp, Franz Huber, Ingolf Krüger, Bernhard Rumpe, Wolfgang Schwerin
ËØ Ø Ø Ò ÐÝ ÚÓÒ Î Ö Ö Ø Ò ÙÒ ÅÓ ÐÐ ÖÙÒ ÚÓÒ Î Ö Ö Ù Ñ ØØ Ð Þ ÐÐÙÐ Ö Ö ÙØÓÑ Ø Ò ÎÓÑ Ö È Ý ß Ì ÒÓÐÓ Ö Ö Ö ¹Å Ö ØÓÖ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ò Ñ Ø ÖØ Ø ÓÒ ÚÓÒ ÄÙØÞ Æ Ù ÖØ Ù
Ò Ö Ò Ð Ò Ö º Ä Ð ØÖÓÒ ÐÙÒ Ñ ØØ Ð Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø ĐÍ Ö Ø ÙÒ Û ÖØÙÒ ØÙ ÐÐ Ö Î Ö Ö Ò ÙÒØ Ö ÖĐÙ Ø ÙÒ ÚÓÒ ÃÖ Ø Ö Ò Ö Ë Ö Ø ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ØĐ Ø ËØÙ Ò Ö Ø ÎÓÖ Ð Ø ÞÙÖ ÙØ ØÙÒ ÙÖ Ã Ø Ö Ò Ë Ö Þ Ñ Ö ½ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Đ Ì À Å
ÃÔØÐ ÒÓÑÑÒ ¹ ÙÒ ËÙ ØØÙØÓÒ «Ø ËÐÙØÞݹÐÙÒ ÙÒ ËÐÙØ ÞµÝ ¼¹µ Ö ÏÐ ÎÓÖÞÒ Òººº Òкºº Þ Ð ß Ü Ü Ô Ô ßÞÐ ÃÖÙÞÔÖ «Ø ÞÛº ÒÒØ ÑÐ ĐÒÖÙÒÒ Þ Ð ß Ü Ü Ô Ô ÈÖ ĐÒÖÙÒ Ô ¼µØÞÛ «Ø º ĐÒÖÙÒ Ö ÖÐØÚÒ ÈÖ ËÙ ØØÙØÓÒ «Ø ¾º ĐÒÖÙÒ Ö
Stefan Michaelis E S. Lehrstuhl für Elektronische Systeme und Vermittlungstechnik. Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz
ß ÔÐÓÑ Ö Ø ß Ì Ò Ò Ø Å Ò Ò ÞÙÖ Ò ÐÝ ÚÓÒ Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÞÛ Ö Ò Stefan Michaelis Þ Ñ Ö ¾¼¼¼ E S V Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz Lehrstuhl für Elektronische Systeme und Vermittlungstechnik Prof.
A BC T EF
ÇϹÈÖÓ Ø ØØÔ»» Ô º Ù¹ ÖÐ Òº»ÓÛ» Ç Ë ÓÛÒÐÓ Ý Ø Ñ ÇÏ Ñ Ä ÔÞ Ö ÓÖÑ Øµ ØØÔ»» Ô º Ù¹ ÖÐ Òº»ÓÛ» ÓÛÒÐÓ» Ò ÖÙÒ Ò Ï ÓÖÔÙ ¹ Ù Ë Ö Ò Ð Ù Ö ¾¼½ ØÓ ÔÔ Öµ ØØÔ»»ÛÛÛºÑÓÖ ÒÐ ÝÔÓÓкÓÑ»ØÓ» ÐØ»½»½ Ð Ü Ð Ù Ö ÙÒ ÊÓÐ Ò Ë Ö ÐÔ
ËÚ Ò Æ ÙÑ ÒÒ À Ò Ä Ò Ö È Ö Ò Ò Ò ĐÙ ÖÙÒ Ò Ñ Ò ÐÐ Ò ÐÝ Ò ØĐÙÖÐ Ö ËÔÖ Ú ÎÓÖÛÓÖØ Ð Û Ö Ò Ö ¼ Ö Â Ö ÞÙÑ Ö Ø ÒÑ Ð Ä ÖÚ Ö Ò Ø ÐØÙÒ Ò ÚÓÖ Ö Ø Ø Ò Ò Ò ĐÍ Ö Ð ĐÙ Ö Ù Ë Ø Ö ÓÑÔÙØ ÖÐ Ò Ù Ø Û Ø Ø Ò È Ö¹ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ
Von Zeit zu Zeit ist man gezwungen, ein fsck manuell auszuführen. Sehen Sie sich dazu einfach das folgende Beispiel an:
º Ø Ý Ø Ñ Ö Ô Ö Ö Ò ¾ ½ mounten. Der Parameter blocksize definiert die Blockgröße des Loop-Back-Geräts. Als Nächstes wird nun die Datei linux in /mnt (oder dort, wohin Sie das Image gemountet haben) mit
Elektrische Feldstärke [a.u.] THz-Puls Delay [ps] Pump-Probe Delay [ps]
![Elektrische Feldstärke [a.u.] THz-Puls Delay [ps] Pump-Probe Delay [ps]](/thumbs/26/8728097.jpg "Elektrische Feldstärke [a.u.] THz-Puls Delay [ps] Pump-Probe Delay [ps]")
È ÓÒÓÒ ÒÔÖÓÞ ÙÒ Ä ÙÒ ØÖĐ Ö ÝÒ Ñ Ò À Ð Ð Ø ÖÒ ÙÒØ Ö Ù Ø Ñ Ø À Ð Ö Ø Ø Ò ÙÒ Þ Ø Ù ÐĐÓ Ø Ò Ì Ö ÖØÞ Ì Ñ ¹ ÓÑ Ò ËÔ ØÖÓ ÓÔÝ 10 Elektrische Feldstärke [a.u.] 5 0-5 3 4 5 THz-Puls Delay [ps] 6 7-1 0 1 2 3 Pump-Probe
ÖÓÒÐÝ ÒÙÒ ÎÖÖÒ ÞÙÖ ÈÁƹÖÒÙÒ ÙÒ ÈÁƹÈÖĐÙÙÒ ĐÙÖ ¹ÃÖØÒ ÖÓÒÐÝ ÒÙ ÈÁƹÎÖÖÒ ½ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ Ù ÑÑÒ ÙÒ Ö Ê ÙÐØØ ¾ ¾ ÒÙ ÎÖÖÒ ¾º½ ÈÁƹÒÖÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ ÈÁƹÒÖÖÙÒ Ù ÃÖØÒÒÓÖÑØÓÒÒ
Ð ØÛÓÖØ Ó ØÓÖÚ Ø Ö Ñ Î Ö Ð ÚÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÐÐ Ò ÙÒ Đ Ò ÚÓÒ Ò Ò Ö ÒØÛ ÐØ ÛÙÖ Ò ØĐÓ Ø Ñ Ò ÑÑ Ö Û Ö Ù È Đ ÒÓÑ Ò Ø Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÐÐ ÐØ Ò ÓÑÔ Ø Ð Ò Ñ Ø Ò Ò Ò Ö ÞÛ Ø Ò Ð Ø Û ÒÒ ÙÑ Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ðغ À
9 Dynamische Programmierung (Tabellierung)
9 (Tabellierung) PrinzipºÊ ÙÖ ÓÒ ÒÑ Ø ĐÙ ÖÐ ÔÔ Ò ÒÌ Ð Ù ÒÛ Ö Ò 9.1 Grundlagen Ì ÐÐ ÖÙÒ Ö ÖÄĐÓ ÙÒ Ò Ù Û ÖØ Ø ÙÑÛ Ö ÓÐØ ÆÞ ÒØ Ö ÙÖ Ý Ø Ñ Ø ÙÖ Ð Ù Ò ÖÌ Ð Ù ÒÙÒ Ö ÒÙÒ ÒÞÙÚ ÖÑ Òº Ì ÐÐ Ò ĐÓÒÒ Ò Ø Ø Ø ÖÁÒ Ü Ö
Ù ØÓÑ Ö Ê Ð Ø ÓÒ Ô Å Ò Ñ ÒØ Ò ÇÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ò ÅÓ ÐÐ Ö ËØÖÙ ØÙÖ ÖÙÒ ÒÒ ØØ È ØØÐÓ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ó ØÓÖ Ö È ÐÓ ÓÔ Ò Ö Ö ØÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ Ë ÖÐ Ò ÖÐ Ò Ñ ÂÙÒ ¾¼¼ ¾ ÙØ Ø Ö ÈÖÓ º
Á Ãȹû¾¼¼ ¹½½ ÒØÛ ÐÙÒ Ò Ò ÐÐ Ò Ù Ð Ý Ø Ñ Ö Ñ ÒØ ØÖ ÐÑÓÒ ØÓÖ Ñ Å˹ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ØÓÔ Ê Ð ½ º ÅÖÞ ¾¼¼ ÔÐÓÑ Ö Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ã ÖÒÔ Ý Á ÃÈ ÍÒ Ú Ö ØØ Ã ÖÐ ÖÙ ÌÀµ Ê Ö ÒØ ÈÖÓ º Öº Ï Ñ Ó Ö ÃÓÖÖ Ö ÒØ
Spaltung. Fusion. E/M [MeV/amu] 2 H. 1 10 100 Massenzahl M. 62 Ni 3 H 1 H
![Spaltung. Fusion. E/M [MeV/amu] 2 H. 1 10 100 Massenzahl M. 62 Ni 3 H 1 H](/thumbs/26/9266595.jpg "Spaltung. Fusion. E/M [MeV/amu] 2 H. 1 10 100 Massenzahl M. 62 Ni 3 H 1 H")
ÈÐ Ñ Ô Ý ÙÒ Ù ÓÒ ÓÖ ÙÒ Ì Ð ÁÁ Ù ÓÒ ÓÖ ÙÒ ÚÓÒ Ê ÐÔ ÙÜ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ËË ¾¼¼¾ Ë Ö ÔØ ÖØ Ù Ñ ÎÓÖÐ ÙÒ Ö ÔØ ÚÓÒ À ÖÖÒ À ÖØÑÙØ Ó Ñ ĐÙÖ Ò Ö ÙÒ Ð ÍÒØ Ö ØĐÙØÞÙÒ ÑĐÓ Ø Ñ Ù Ñ Ï Ò Òº Ã Ô Ø Ð Ø À ÖÖ ÊÙ ÓÐ Æ Ù ÞÙÖ
Sicher ist sicher: Backup und restore Einleitung Hallo Schatz, habe die Diskette gefunden,...... die du gestern so verzweifelt gesucht hast.
Einleitung Hallo Schatz, habe die Diskette gefunden,...... die du gestern so verzweifelt gesucht hast. Ä ÒÙܹÁÒ Ó¹Ì Ù ÙÖ ¹¾ ºÅÖÞ¾¼¼ à ÖÐ ÙØ Á̹ÏÇÊÃ˺ Ǻ ̹ ÓÒ ÙÐØ Ò ²ËÓÐÙØ ÓÒ Einleitung Willkommen Karl
Superharte, unterschiedlich gradierte PVD-Kohlenstoffschichten mit und ohne Zusätze von Titan und Silizium
Forschungszentrum Karlsruhe in der Helmholtz-Gemeinschaft Wissenschaftliche Berichte FZKA 6740 Superharte, unterschiedlich gradierte PVD-Kohlenstoffschichten mit und ohne Zusätze von Titan und Silizium
Ð ØÑ Ø Ö Ð ÞÙÖ ÎÓÖÐ ÙÒ ÈÖÓÞ Ö Ò ÖØ Ò Ò ØØ Ø Ê ÐÞ Ø¹ËÝ Ø Ñ µ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ½ È Ø Ö Å ÖÛ Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÁ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø µ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÓÖØÑÙÒ º ÔÖ Ð ½ Ö Ð ØØ ÜØ Ø ÒÙÖ ÞÙÖ ÒÙØÞÙÒ ÙÖ Ì ÐÒ Ñ Ö Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Øº Û Ö Ò
Å Ò ØÙÖ ÖØ Ð ØÖÓ Ø Ø Ä Ò Ò Ù ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ö Ó Ù Ò Æ Ö Ô ÒÒÙÒ ¹ Ê Ø Ö Ð ØÖÓÒ ÒÑ ÖÓ ÓÔ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ö ÙÐØØ Ö È Ý Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ Ì Ò Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ê ÑÓÒ
ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ½º½ ØÝÓ Ø Ð ÙÑ Ó ÙÑ Ð ÅÓ ÐÐÓÖ Ò ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÝØÓ Ð ØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ø Ò Ò Ò ÈÖÓØ Ò Ò ØÝÓ Ø Ð ÙÑ Ó ÙÑ
Security. Privacy. Authentity
Ä Ö ÖÛ Ø Ö Ð ÙÒ Æ ØÞÛ Ö Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÍ ÑÒ ØÞ ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ë Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾
Ò ÓÖ ÖÙÒ Ò Ò ÑÓ ÖÒ ÖÓÛ Ö¹ Ö Ò Ï ¹ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ËØ Ò Ê Ù Ð ÅĐ ÖÞ ¾¼¼½ ÔÐÓÑ Ö Ø Ò Ì Ð Ñ Ø ÙÖ ĐÙ ÖØ Ñ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú Ö Ö ØÙÒ ÙÒ ÓÑÔÙØ Ö ØĐÙØÞØ Æ Ù Å Ò Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ö Þ ÙØ Ø Ö ØÖ Ù Ö ÇºÍÒ
Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik
Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik Versuchsbeschreibungen WS 2016/17 Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik www.ei.rub.de Versuchsverzeichnis Spurensucher (ATP) Autonomes
Interoperabilität. Semantische Heterogenität (Datenmodell, Schema, Instanzen) Strukturelle Heterogenität (Datenmodell, Schema, Instanzen)
ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÖ ÙÒ ÙÒ ÒØÛ ÐÙÒ Ñ ÒÙ Ö ÔØ ÆÓº Û ÐÐ Ò ÖØ Ý Ø ØÓÖµ ÁÒØ ÖÓÔ Ö Ð ØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ñ ÙÒ Ø Û Ò Ù Ñ Þ Ò Ö ËØ Ò Ö ËÙ ÒÒ È Ö Ò Ï Ð ÐÑ À Ð Ö Ò ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÇÐ Ò ÙÖ Ô ÖØÑ ÒØ ĐÙÖ ÁÒ
Abschlussklausur Cluster-, Grid- und Cloud-Computing (CGC) 25.1.2012 Dr. Christian Baun
ÐÙ Ø Ö¹ Ö ¹ÙÒ ÐÓÙ ¹ ÓÑÔÙØ Ò µ Ä ÙÒ ÞÞ ÒÞÙÖ ÐÙ Ð Ù ÙÖ ¾ ºÂ ÒÙ Ö¾¼½¾ ÎÓÖÒ Ñ Æ Ñ Å ØÖ ÐÒÙÑÑ Ö ËØÙ Ò Ò À ÒÛ ÌÖ ÒË ÞÙ Ö Ø Ù ÐÐ Ò ÐØØ ÖÒ Ò Ð Ð Ð ØØ µá Ö ÒÆ Ñ Ò Ë Ö ÒË Ä ÙÒ Ò ÖÌ Ð Ù Ù Û Ð ÚÓÖ Ö Ø Ø Ð Øغ Á Ö
Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik
Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik Versuchsbeschreibungen WS 2012/13 Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik www.ei.rub.de Versuchsverzeichnis Spurensucher (ATP) Autonomes
ÒÓÒÝÑ ÃÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ë Ñ Ø Ö Ö Ø ÚÓÒ Ò Ö ÃÖÑ Ö Ö Ñ Ö º Ø Þº ÈÖÓ ÓÖ ÖÒ Ö ÈÐ ØØÒ Ö ØÖ Ù Ö Ò Æ Ø Ð Ï Ð Ö ÌÁÃ ÌÀ Ö º ÖÙ Ö ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø Ô Ô Ö ÜÔÐ Ò ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÒÓÒÝÑÓÙ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ Ø ÖÓÛ
Integriertes Management großer Web-Sites auf der Basis datenbankbasierter Modellierungskonzepte
ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò Integriertes Management großer Web-Sites auf der Basis datenbankbasierter Modellierungskonzepte ÍÐÖ ËÓÑÑ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ì Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ
Ö ÙÒ ÚÓÒ Ï ¹ ÖØ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØØ Ð Ê ¹Å Ø Ø Ò ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Ï ÖØ Ø Û Ò Ø Ò Öº Ö Öº ÔÓкµ ÙÖ Ò Ö Ï ÖØ Ø Û Ò Ø Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ù ÙÖ ¹ Ò ËØ Ò ÓÖØ Ò ÎÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ê Ò ÓÐ ÃÐ Ô
Scheduling und Ressourcenverwaltung in Realzeitsystemen
INSTITUTE FOR REAL-TIME COMPUTER SYSTEMS TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN PROFESSOR G. FÄRBER Scheduling und Ressourcenverwaltung in Realzeitsystemen Hauptseminar Realzeit-Computersysteme Wintersemester
Sectoral Adjustment of Employment: The Impact of Outsourcing and Trade at the Micro Level
145 Reihe Ökonomie Economics Series Sectoral Adjustment of Employment: The Impact of Outsourcing and Trade at the Micro Level Peter Egger, Michael Pfaffermayr, Andrea Weber 145 Reihe Ökonomie Economics
ÇÔ Ò ËÓÙÖ ÄÓ Ð Ò Ö Ñ Î Ö Ð ÞÙ ÓÑÑ ÖÞ ÐÐ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÔÐÓÑ Ö Ø ÚÓÒ Ì ÓÑ ËØ Ð Ó ÙÐ ÖÑ Ø Ø Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ØÖ Ù Ö ÈÖÓ º Öº ÆÓÖ ÖØ ÃÖ Ö ÈÖÓ º Öº ÃÐ Ù É٠Рݹ Ö Ð Ö Ó Ø Ñ À Ø ÐÙÒ ÁÌ Öº ÖØ ÙÖ Ê Ø ÒÛ Ð ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö
ÄÙ Û ßÅ Ü Ñ Ð Ò ßÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÅÓ Ð ÒØ ËÝ Ø Ñ Ö Ø ØÙÖ Ò ÈÐ ØØ ÓÖÑ ĐÙÖ Ü Ð ÁÌßÅ Ò Ñ ÒØ Ì Ò Ö Ö Ø ¼¾ ÓÖ ÖÙ ËØ Ô Ò À Ð ÖÓÒÒ Ö À ÐÑÙØ Ê Ö MNM TEAM ÅĐÙÒ Ò Ö Æ ØÞÑ Ò Ñ ÒØ Ì Ñ ÅÓ Ð
Ä ÖÓÒ ÅÐ ÄÓÖ ¼ º¼º¾¼¼¾ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ÒÐØÙÒ ¾ ÏÐÐÒÐØÖ ¾º ÅÜÛÐйÐÙÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä ÙÒÒ Ö ÅÜÛÐйÐÙÒÒ Ö Ò ÐÐ Öع Ò ÏÐÐÒÐØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º
Trustworthy Preservation Planning. Christoph Becker. nestor edition 4
Trustworthy Preservation Planning Christoph Becker nestor edition 4 Herausgegeben von nestor - Kompetenznetzwerk Langzeitarchivierung und Langzeitverfügbarkeit Digitaler Ressourcen für Deutschland nestor
PROCEEDINGS der Verbundtagung VertIS 2001
Fachgruppe 1.1.6 Verteilte Künstliche Intelligenz (VKI), Fachgruppe 2.5.2 Entwicklungsmethoden für Informationssysteme und deren Anwendung (EMISA), Fachgruppe 5.10 Informationssystem-Architekturen: Modellierung
ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ÁÒØÖÒÖ ÖØ Ö ÌÒ Ò ÙÐØØ ØÐÙÒ ÁÒÓÖÑØÓÒ ØÒ ËÖÔØ ÞÙÖ ÎÓÖÐ ÙÒ ÌÒ ÁÒÓÖÑØ Á ÅÖÓ ÀÐÖØ ËÓÑÑÖ Ñ ØÖ ¾¼¼½ ËØÒ ½º ÔÖÐ ¾¼¼½µ Ê Ë ¼ ʳ Ê Ê Ë³ Ë Å ØÖ ¼ ʳ Ê Ê É Ë Ë³ É ËÐÚ ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ÈÓ Ø ½¼ ¼½ ½ ¼½ ÐÐ ÎÓÖÛÓÖØ
ÏÓÞÙ ÑÙÐØ Ð Ò Ù Ð Ö ÑÑ Ø Ò ÈÖ Ø ÒØ Ö ÒØ ÙÖ Ò Ù Í Ö ØÞÙÒ Ò Ò Ò Ñ ÒÛ Ò ÙÒ Ö Ð Ø Ò Ö Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ô Þ Ë Ñ ÒØ ÞÙÖ Ò Ò ÙÒ Ò ËÓ ØÛ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ñ Ø ÔÖ Ð Ò ÒØ Ð Ò
ÅÙÐØ Ð Ò Ù Ð Ö ÑÑ Ø Ò Ñ Ö ÑÑ Ø Ð Ö Ñ ÛÓÖ µ ÎÓÖÐ ÙÒ Ñ Ø Ì Ð Ù ÙÒ ÏË ¾¼½¾»½ ÁË ÍÒ Ú Ö Ø Ø Å ÙÒ Ò À Ò Ä ß ÁË º ÖÙ Ö ¾¼½ ½» ¾ ÏÓÞÙ ÑÙÐØ Ð Ò Ù Ð Ö ÑÑ Ø Ò ÈÖ Ø ÒØ Ö ÒØ ÙÖ Ò Ù Í Ö ØÞÙÒ Ò Ò Ò Ñ ÒÛ Ò ÙÒ Ö Ð Ø Ò
ÎÖ ÖÙÒ ÑØÑØ ÖÙÒÐÒ ÙÒ ÖĐÙÚÖ ÖÙÒ ØÒ ÔØ ÚÓÒ ÈÖÖÖ ÄÚ ¹ÌÖÒ Åº ÈÑ º Ø Àº¹Âº Û ÐÖ ½ ÒÐØÙÒ ÙÖ ÖÙÐÖÙÒ ÙØ Ò ÎÖ ÖÙÒ ÑÖØ Ò ÙØ Ò ÄÒ ¹ ÚÖ ÖÙÒ ÙÒØÖÒÑÒ ÒÞ ÒÙ ÖØÒ Ö ØÐØÙÒ ÖÖ ÈÖÓÙØ ÖÐØÒº ÙÖ ÒÙ ÑÒ ÓÒ Ö ÐÐØĐØ Ø ØÞØ ÑĐÓÐ ÔÞ
ÃÓÒÞÔØÓÒ Ò ÙØ Ò ØÒÒÜ ĐÙÖ ÓÖ ÙÒ ÞÛ Çµ ÀÖÑÒÒ ĐÓÔÔÐ ÀÒÖ ËĐÙØÞ Ù ÓÒ ÔÔÖ ÆÖº ½¾ ÃÙÖÞ ÙÒ ĐÙÖ ÏÓÖÐÏÏ ØÙÐÐ ÎÖ ÓÒ ÂÒÙÖ ½ ÊĐÙÖÒ ØØ Ò ÓÐÒ Ö ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÒØ ÙÒ ØÓÖ ÙÒ ÍÒØÖÒÑÒ ÓÖ ÙÒ ÍÒÚÖ ØĐØ ÃÖÐ ÖÙ ÌÀµ ÈÓ Ø ¼ ½¾ ÃÖÐ
ÖÕÙÒÞÚÖÚÖÙÒ Ò ¹ËÒÐ Ö ß Ò ÍÎ¹Ä Ö Ý ØÑ ¾ ÒÑ Ö ½ ˹ È ÄÒ Ò ÉÙ ÐÖ ÔÐÓÑÖØ ÚÓÒ ÅÖØÒ Ë ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÈÝ ÂÓÒÒ ÙØÒÖ¹ÍÒÚÖ ØĐØ ÅÒÞ ÅÒÞ Ò ¾º ÙÙ Ø ¾¼¼ ½º ÙØØÖ ÈÖÓº Öº ÂÓÒ ÏÐÞ ¾º ÙØØÖ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÒÐØÙÒ ½ ¾ ÌÓÖ Ö ÖÕÙÒÞÚÖÓÔÔÐÙÒ
ÐØÖÓÒ Ò ØÒ ÚÓÒ ÑÒØ ÙÒ ÑÒØÖØÒ ÃÓÐÒ ØÓ«Ò ÁËËÊÌÌÁÇÆ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ñ Ò Ö ÓØÓÖ ÖÖÙÑ ÒØÙÖÐÙÑ Öº ÖÖº Òغµ ÚÓÖÐØ Ö ÙÐØĐØ ÅØÑØ ÙÒ ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ö ÌÒ Ò ÍÒÚÖ ØĐØ Ö Ò ÚÓÒ Ôк¹ÈÝ º ËØÔÒ ÏÑÒÒ ÓÖÒ Ñ ¾º½¼º½ Ò ÊÐÒÒ ÙØØÖ ÈÖÓº
Die Entdeckung des Gluons
Die Entdeckung des Gluons Alexander Voigt 02.05.2007 1 / 53 Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Das Standardmodell Quarks Farbladung Starke Wechselwirkung Eigenschaften des Gluons Potential der
½ ÍÆÀ ĐÆÁ ÊÁÆÁËË ÁÆ ÁËÃÊÌÆ ÏÀÊËÀÁÆÄÁÀÃÁÌËÅÇÄÄÆ Ù ÑÑÒ ÙÒ ÚÓÒ ØÑÖ ÈÖ ÇÐÒÙÖ ÒÒ ÓÒÖØÖ ÙÒ Ù ÚÖ ÒÒ ËÙÐĐÙÖÒ ÞÙÖ ËØÓ Ø ÛÖ ÈÖÓÐÑØ Ö Ü ØÒÞ ÙÒĐÒÖ ÖÒ ÓÐÒ Ò ÖØÒ ÏÖ Ò¹ ÐØ ÑÓÐÐÒ ÙØÖغ ÁÒ ÓÒÖ ÛÖ Ò Ò ÖØÒ ÅÓÐÐÒ ĐÙÐØ Ò ĐØÞÙÒ
Ö ÙÖ ÍÆÁ» ÀÌÅÄ ÂĐÓÖ ÀÒÖ ÐÜÒÖ Ê ¾º ÆÓÚÑÖ ½ Á ÍÆÁ ¾ ½ ÒÙØÞÖ ¾ ¾ Ø Ý ØÑ ¾ ¾º½ ØØÝÔÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ØÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º
ÇÔØ ÐÑÒØ ÖÄعÜÔÖÑÒØ ÞÙÖ ÔØÖÐÒ Å ÙÒ Ö ÐÙÓÖ ÞÒÞÙ ÙØ ÚÓÒ ÄÙØ ÔÐÓÑÖØ Ò ÈÝ ÚÓÒ ËØÒ ÃÐÔ Ö ÁÆËÌÁÌÍÌ ĐÍÊ ÈÊÁÅÆÌÄÄ ÃÊÆÈÀËÁà ÍÆÁÎÊËÁÌ ĐÌ ÃÊÄËÊÍÀ ÍÆ ÁÆËÌÁÌÍÌ ĐÍÊ ÃÊÆÈÀËÁà ÇÊËÀÍÆËÆÌÊÍÅ ÃÊÄËÊÍÀ ÁÆ Ê ÀÄÅÀÇÄ̹ÅÁÆËÀÌ
ËÑÙÐØÓÒ ÙÒ Î ÙÐ ÖÙÒ Ò Ö ØÖÓÔÝ ÓÖ ÛÙÒÖ Ñ Ê Ö ØÓÔ ÒÖ ÑØ Ö ÍºËºËº ÒØÖÔÖ ÀÒÒ ÊÙÖ ½ ÙÒ ÒÐ Ï ÓÔ ¾ ½ ¾ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ØÖÓÒÓÑ ÙÒ ØÖÓÔÝ ÍÒÚÖ ØĐØ ÌĐÙÒÒ Ù Ö ÅÓÖÒ ØÐÐ ½¼ ¾¼ ÌĐÙÒÒ Î ÙÐ ÖÙÒ ÙÒ ÁÒØÖØÚ ËÝ ØÑ ÍÒÚÖ ØĐØ ËØÙØØÖØ
ÇÔØÑÖÙÒ Ò ØÞ ÚÓÒ Ð¹ËÙÖ¹ÙÑÙÐØÓÖÒ Ò ÈÓØÓÚÓÐعÀÝÖ¹ËÝ ØÑÒ ÙÒØÖ ÔÞÐÐÖ Ö ØÙÒ Ö ØØÖÐØÖÙÒ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ ÓØÓÖÖ Öº ÖÖº Òغ Ö ÙÐØØ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Ö ÍÒÚÖ ØØ ÍÐÑ ÚÓÒ Ö ÍÛ ËÙÖ Ù ÅÒÒÑ ÍÐÑ ¾¼¼ ½º ÙØØÖ ÈÖÓº Öº º Ö ¾º
½ È ÙÒÖ¹ÒÒ Ø¹ ÊÒØÒÖØÓÑØÖ ÁÆÀÄÌËÎÊÁÀÆÁË ¾ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÒÖÙÒ ¾ ÌÓÖ ¾º½ ÒÒ ËØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ ÖØÖ ÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ËØ ¾ ÚÓÒ ½µ ÁÒ½º ÅÓÐÐÖÙÒ ÙÒ ÈÖÓÖÑÑÖÙÒ Áº ½º ËÔ ÐÓÐ ÙØ²Ò Ö ØØ ÐÐ ÒÙÒÒ ÑØ ÀÒÐ¹È Ù ÙÑ ÒÐÐ ÙÒ ÙÒÓÑÔÐÞÖØ ØÐÐÙÒÒ ÙÒ ÊÒÙÒÒ ÚÖÛÐØÒ ÞÙ ÒÒÒº ÞÙ ÛÖÒ ÐÐ ÒÓØÒÒ ÖØ
ØÙÖÔÖÙÒ ¾¼½½ ÁÒÓÖÑØ ÖØ ÞØ ½¼ ÅÒÙØÒ Ö Ù Ù ÛÐØ Ò Ù Ù Ò ØÒ ÁÒ½ ÙÒ ÁÒ¾ ÞÙÖ ÖØÙÒ Ù º Ö Ù Ù ÖÒÞØ Ñ ÓÐÒÒ Ð ÖÐÙØÒ ÓØÓÖÒØÖØÒ ÈÖÓÖÑÑÖ ÔÖÒ ËØ ¾ ÚÓÒ ½µ ÁÒ½º ÅÓÐÐÖÙÒ ÙÒ ÈÖÓÖÑÑÖÙÒ Áº ½º ËÔ ÐÓÐ ÙØ²Ò Ö ØØ ÐÐ ÒÙÒÒ ÑØ ÀÒйÈ
j=0 j2 U i,j = 0 Ö i > jº j=i U i,jx j x i = (b i n j=i+1 U i,jx j )/U i,i
ÎÖÞÛÙÒÒ ÄÓ ËØÙÖÙÒ ÒÚÖÞÛÙÒ Ð ÅÖÚÖÞÛÙÒ ÛØ ÐÐÙÒØÖ ÙÒ Ù ÐÐ Ð Ò ÒÒ ÊØ ÐÒÖ Ð Ò ÒÒ ÃÖ Ø ØÞ ÚÖº ËÓÒ Ø ØÞ ÚÖ¼º ÅØ ÖÒ ÅØØÐÒ ÒØ ÑÐ ÄÓ ÎÖÞÛÙÒ Ø ÒØ ÛÒÒ ÒÒ Ä ÙÒ ÎÖÞÛÙÒ ÑØ ¹ Ð ÔÖÓÖÑÑÖ ÔÖÐÖ Ù ÖÙ Ö ÛÒÒ ÒÒ ËÝÒØÜ Ù ÖÙµ ÒÛ
NOT AND OR NAND NOR XOR
ÊÒÖ ØÖÙØÙÖÒ ÃÐÙ ÙÖÞÙ ÑÑÒ ÙÒ Ö ØÐÐØ ÚÓÒ ËÒÔ ËÖ¹ ½ ÙÐ Ý ØÑ ÙÒ ËÐØÙÒØÓÒÒ ÐÔØ Ø ÏÓÖØÐÒ Òµ Ò ¼ ½Ò ¹ µ ÃÓÒÚÒØÓÒ ½¼ ººº ¼ ½ ÍÑÖÒÙÒÒ ½¼ Þ È Ò ½ ½¼ ¼ Þ ¾ ÍÑÓÖÑÙÒ ÚÓÒ»ÞÙ ÖÖÐÒ ¾ ½ ÍÑÓÖÑÙÒ ÚÓÒ»ÞÙ ÎÖÖÐÒ ½¼ ÎÓÖÓÑÑØе
ÏÖ ØÖ¹ÁÒ ØØÙØ Ö ÒÛÒØ ÒÐÝ ÙÒ ËØÓ Ø Ñ ÓÖ ÙÒ ÚÖÙÒ ÖÐÒ ºÎº ÌÒÐ ÊÔÓÖØ ÁËËÆ ½½ ËÑÙÐØÓÒ Ö ËØÖÐÖØÙÒ ÚÓÒ ËØÐ ÑØ ÏÁ˹ËÀÖÈ º ÙÛÐÖ ½ º ÀÑÖ ¾ ̺ ÂÙÖ ¾ Àº¹Âº ËÔ ½ ÙÒ Ïº Ï ¾ ÙÑØØ ÔÖ ¾ ¾¼¼¾ ½ ÌÍ ÖÑ ÖÖ Ù ØÚ¹ÙÒÖ¹ËØÖº ¼
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e L i v e - T V - V o l l b i l d c h a p t e r
Chapter 1 : þÿ b e t a t h o m e L i v e - T V - V o l l b i l d c h a p t e r þÿ m i t s e i n e n W e t t a n b i e t e r n ( B e t c l i c, B e t a t h o m e u n d e b e n E x p e k t ) z u d e n. D
DieUnterklasse È ÞÞ verfügtüberallemembersder Oberklasse ÓÓ wennauchnichtalledirektzugänglichsind. DieAttributeunddieObjekt-Methode ÐÓÖ µderklasse
ÔÙ ÓÓ ß ÔÖ Ú Ø ÒØ ÄÇÊÁ Ë È Ê Ê Å ÔÖ Ú Ø ÒØ Ø ÖÚ Ò ÔÙ ÓÓ ÒØ ÒÙÑ Ø Ö Ñ ÒØ ÒÙÑ ÖÚ Ò µ ß Ø ÒÙÑ Ø Ö Ñ ÖÚ Ò ÒÙÑ ÖÚ Ò ÔÖ Ú Ø ÒØ ÓÖ µ ß Ö ØÙÖÒ Ø ÄÇÊÁ Ë È Ê Ê Å ÔÙ ÒØ ÓÖ Ô Ö ÖÚ Ò µ ß Ö ØÙÖÒ ÓÖ µ» ÖÚ Ò µ»» Ò Ó ÓÓ
ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÍÑÛÐØÛ Ò ØÒ Ö ÀÓ ÙÐ ÎØ ÁÒØ ØÓÒ ÙÒ ÊÓÒ ØÖÙØÓÒ ÚÓÒ ĐÙÒ Ò ÄÙØÐÖÒ ÑØØÐ ÙÒ ÖÖ ÓÒ ØÖÒØ ÁÒÙÙÖÐ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö ÓØÓÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ Öº ÖÖº Òغµ ÒÒÓÑÑÒ ÚÓÑ Ö ½ Ö ÀÓ ÙÐ ÎØ ÎÓÖÐØ Ñ ½º º ½ ÚÓÒ ÌÓÑ ÀÒÖ
ÅØÐ ÐÓÐ ÃÐ ÒĐÓÖÔÖØÓÖ ÔÐÓÑÖØ ÚÓÒ Ò ÎÓÐ ØÖÙÖ ÈÖÓº Öº ÃÝ ÏÒÖ ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØĐØ ÀÐÖ ÔÖÐ ÒÐØÙÒ ÄÓÐ ÃÐ ÒĐÓÖÔÖØÓÖ Ø ÌÓÖ Ö Ð Ò ÖÛØÖÙÒÒ ÐÓÐÖ ÃĐÓÖÔÖ Û Ø¹ Û Ö ÃĐÓÖÔÖ Ö Ô¹ Ò ÐÒÉÔº ÍÖ ÔÖĐÙÒÐ ÛÙÖ ÐÓÐ ÃÐ ÒĐÓÖÔÖØÓÖ
ÇÔØÓÐØÖÓÒ ÖÞÙÙÒ ÙÒ ØØÓÒ ÓÖÒØÖ ÙÖ ØÖÌÀÞËØÖÐÙÒ Ö ÐÒ ÒÛÒÙÒÒ ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ ÓØÓÖÖ Ö ÆØÙÖÛ Ò ØÒ ÎÓÖÐØ Ñ Ö ÈÝ Ö ÂÓÒÒ ÏÓÐÒ ÓØÍÒÚÖ ØØ Ò ÖÒÙÖØ Ñ ÅÒ ÚÓÒ ÃÖ ØÒ ËÖØ Ù ÖÒÙÖØ Ñ ÅÒ ÖÒÙÖØ Ñ ÅÒ ¾¼¼¾ ½µ ÚÓÑ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººÖ