c 2 = a 2 + b 2 ab c 2 = h 2 + (a b 2 )2 = 3 4 b2 + a 2 ab b2 = a 2 + b 2 abº c 2 = a 2 + b 2 ab 2 h 2 = 1 2 b2 ÙÒ h = 2

Transkript

1 Â Ö Ò ¾ À Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ö Ë Ð Ö ÒÒ Òµ ÙÒ Ä Ö Ö ÒÒ Òµ ½ ¼ Ö Ò Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØÐ Ö ÒÛÖØ Ö Ù Ò ÚÓÑ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØØ ÞÙ Å ÒÞ

2 Ä Ä Óµ Ö Ò Ð Ö Ä Óµ Ö Ò Ù Ò Ù Ò Û ÖØ Ò Ù Ä ÙÒ Òº ÆÙÖ ÅÙØ Ù Û ÒÒ Ù Ò Å Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ò Ó Ø ÐØ Ø Ù ÞÙÖ Ä ÙÒ Ò Ø ÙÒ Ò Ø Ò Å Ø ¹ËØÓ Ö Ë ÙÐ Ö Ù Øº Î ÐÑ Ö Û Ö Ø Ù Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ð Ø ØÒ Ò Ò Ö Ù Ò Ö Ù Ø Ï ÐÐ Ò ÙÒ Ù Ù Öº Ï Ø Ù Û Ö ÒÙÖ Ò Ù Ó Ö Ì Ð ÒÞ ÐÒ Ö Ù Ò Ð Ò ÒÒ ÓÐÐØ Ø ÐÒ Ñ Ò Ö Û ÒÒ Ò ÈÖ Ø ÒÒÓ Ñ Ð º Ò Ø ÙÖ Ò Ä ÙÒ Ò Ö Ò Ù Ò Ä ÙÒ Û ÒÞÙ Ò Ö Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ¹ Ò Ò Ö Ø Ö Ä Ò Å Ø Ô Ð Ö Ò ÚÓÖ ¹ Ò Ù Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ö Ñ ØÑ Ò Ö ÒÙÖ Ù Ö Ö Ð Ò ÈÙÒ ØÞ Ðº ÐÐ Ë Ð Ö Ò ÓÒ Ö Ö Ò Ö ÃÐ Ò ¹½ ÒÒ Ò Ä ÙÒ Ò Ñ Ø Ä ÙÒ Û µ ÞÙ Ò Æ Ù Ò Ù Ò Òº Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò ¹ Ö ÐØ Ò Ö ½ ¹ ÈÙÒ ØÞ Ðº ÈÙÒ Ø Ù Ò ÊÙ Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò Å Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ò ÙÒ Ï Ö ÓÖ Ø Ñ Ø Û Ö Ò Ö Î Ö ÓÖ ÖÔÖ ÞÙ ÖÙÒ Ð Øº ØÖ ÞÙ Ú Ö ¹ Ò Ò ÊÙ Ö Ò ØØ Ù Ú Ö Ò Ò ÐØØ ÖÒºµ ¹ Ò Ò ¹µ Ì ÖÑ Ò Ö Ä ÙÒ Ò Ø Ö Ù Ö Ø Ò ØØ Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ø ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ ÁÒ Ø ØÙØ Ö Å Ø Ñ Ø ÅÇÆÇÁ ¹Ê Ø ÓÒ ¼ Å ÒÞ ½ º½½º¾¼¼ º Ì Ðº ¼ ½ ½» ¾ ½¼ Ü ¼ ½ ½» ¾ ¹Å Ð ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº ÁÑ Ä ÐÞ Ý ÒÒ Ò Ä ÙÒ Ò ÙÒ Ù Ö Ø Ò Ö Ø Ò À ÖÖÒ ÃÖ Ø Ò Û Ö Ò Ñ Ã Ö Ò ÒØ Ð Ö Ø Ò Ö Ù Ë Ð Ë Ò Öº ÖÒ Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ë ÙÐ Ò ØÖ Ù Ò Ä Ö Ö» ÒÒ Ò Ò Ò Ö ÙÖ Ä ÙÒ Ò Ò ÒÒØ À ÖÖÒ ÊÓÒ ÐÐ Ò Ø Ñ Ä Ò Þ¹ ÝÑÒ ÙÑ ØÖ Ò Ò À ÖÖÒ Ï ØØ ¹ Ò Ø Ò Å ÒÒ Ñ À ÖÖÒ Â Ó Ò Ö Ä Ø Ö ÙÐ Ò Ø Ö Ð Ö Ù Ä Ò ÑÔ Ñ ÝÑÒ ÙÑ Å Ö Ò Ö Ò Æ Ù À ÖÖÒ ÃÙÒØÞ Ñ Ï Ð Ðѹ Ö ¹ ÝÑÒ ÙÑ Ï ÒÒ¹ Û Ð Ö À ÖÖÒ Å ÜÒ Ö Ñ ÝÑÒ ÙÑ ÆÓÒÒ ÒÛ ÖØ À ÖÖÒ Å ØØ Ñ Ö Ù ÒÐÓ ¹ ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞ Ö Ù ØÐ ÙÒ Ö Ù ÐÞ Ñ ÝÑÒ ÙÑ Ç ÖÙÖ Ð Ö Ù Æ ¹ ÖÐ Ò Ö ¹Â¹Ä¹ ÑØ ÙÐ À Ñ Ö ÙÒ À ÖÖÒ ÐÐÑ ÒÒ Ñ ÝÑÒ ÙÑ ÐØÚ ÐÐ º Æ Ñ Ò ÐÐ Ö Ö Ø Ä ÙÒ Ò Ò Ö Ø Ò Û Ö Ò Ò ÅÇÆÇÁ Ò Ö ÊÙ Ö Ö Ä Ö ÙÒ Ù Ö ÅÇÆÇÁ ¹ÀÓÑ Ô Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø Ö Ò Òº Ï Ö ØØ Ò Ù ÙÑ Ò Ù Ù Ò Ù Ð Ø Ö Ø ÐÐØ Ø ÙÑ ÞÙ Ú Ö ¹ ÒØÐ Òº Ù Ò ÓÐÐ Ò Ö Ò Ø Ù ÖÒ Ó Ö Ù Ò ÑÑÐÙÒ Ò ÒØÒÓÑÑ Ò Ò ÓÒ ÖÒ Ò Ö Ò Ò ÒØ ÒØ ÔÖ Ò Òº Ï Ö Ò Ø ÒÑ Ð Ö Þ Ò Ò Ù ÞÙ Ø ÐÐ Ò Ö Ò Ä ÙÒ ÚÓÖ Ö Ø ÒÙÖ Ù ÒÒ Ø Ñ Â Ö Ò Û Ö Ò ÖÙÒ ¼ ÈÖ Ò Ø Ò Å Ø Ö Ø Ö Ú Ö Òº Ë Ø ½ Ø ÒÓ Ò Ò ÓÒ Ö Ò ÈÖ ÓÐ Ò Åº Ù Ö Ö Å ÐÐ Ñ Ø Ñ ÓÐ Ò Ò Å Ø Ò Ò ØÐ ¹ Ò Ð ØÖ Ö Ø Å Ø Ö Ø ÅÇÆÇÁ ÙÒ Ò ¹ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø Ú ØØ Ò ÒÑÐ Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ò Æ Ù Ò Ù Ò ÙÒ Ò Å Ø Ô Ð Ö Ò ÖØ Ð Ö Ò Ö Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ Ò Ù Ò Ù Ò Øº ÍÒ ÒÙÒ Û Ò Ò Û Ö Ù Ú Ð Ö ÓÐ ÙÖ Ö Å Ø Ö Ø Ê Ø ÓÒ ¾

3 Ù Ð ÙÒ ÔÝØ ÓÖ Ò Ö ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Â Ö Ö Ò Ø ÒÙÖ ÚÓÖ Ö Ò Ñ Ø Å Ø Ñ Ø Ø Û Ù Ð ÙÑ ¼¼ Úº Öºµ Ö Ò Ù Ö Ø Å Ø Ñ Ø Ö Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ð Ö Ø Ö Ò Û Ø Ò Ë ØÞ Û Ò ½µ Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÈÖ ÑÞ Ð Òº Î Ð ÒÒ Ò Ó Ö Ò Ò Ò Û Ö Öº Ò Ø Û Ò Ö ÒÒØ Ù Ð Ù Ö ÓÐ Ò Ù Ò Ò Ñ Ö Ò Û ÖØ Ò Û Ð ÖØ Ø ¾µ Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÔÝØ ÓÖ Ö º Ö Ø ¾µ Ò ÙÒ Ö Ö ÙØ Ò ËÔÖ Û Ö Ø ÐÐØ ØÛ Ó Þ Ø ÙÑ Ò Ø Ø Ö Ø ÈÝØ ÓÖ ÙÑ ¼ Úº Öºµ Ú ÖÑÙØÐ Ö ÓÒ Ö Ö ÛÙ Ø Ñ Ò Á Ø Ò Ö ØÛ Ò Ð Ö Ñ Ø Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò a, b, c c Ò ÙÒ Ò a ÓÛ b Ð Ò Ö Ð c ÒÒ ÐØ b a 2 + b 2 = c 2 ÙÒ ÙÑ Öصº a Ò Ö ØÛ Ò Ð Ö Ø ÒÙÒ ÔÝØ ÓÖ Û ÒÒ a, b ÙÒ c ÒÞÞ Ð Ò º Ù Ð Ò ÒÙÒ ÞÙÑ Û Ö ÙÔØÙÒ ¾µ ÚÓÒ Ö ÓÐ Ö ÙÖ Ò Ù = = = ÙÖ Ò ÓÐ Þ Ø Ö ÒÞ ÞÛ Ò ÞÛ Ù Ò Ò Ö ÓÐ Ò¹ Ò ÉÙ Ö Ø Ò Ø Ø Ò ÙÒ Ö Ð Ø ÙÒ Ð Ö ÒÞ Ò ÓÑÑ Ò ÐÐ ÙÒ Ö Ò Ð Ò ººº Ö Ê Ò ÚÓÖ Û Ö Û Ö Ò ÙØ Ò (n + 1) 2 n 2 = 2n + 1, n = 1, 2, 3,... ÙÒ 2n + 1 ÙÖ ÐÙ Ø ÐÐ ÙÒ Ö Ò Ð Òº ÓÖÑ Ð Û Ö Ñ Ø ÚÓÐÐ ØÒ Ö ÁÒ Ù Ø ÓÒ Û Òº ÓÐ Ð ÐØ Ù Ö n 1 Ï ÒÒ Ñ Ò ÞÙ Ö ÉÙ Ö ØÞ Ð n 2 Ò ÒÞ Ø ÑÑØ ÙÒ Ö Ð ÒÑÐ 2n + 1 ÖØ Ö ÐØ Ñ Ò Ò Û Ø Ö ÉÙ Ö ØÞ Ð ÒÑÐ (n + 1) 2 º ÒÙÒ ÙÒØ Ö Ò ÙÒ Ö Ò Ð Ò ººº ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò a 2 Ø ÛÓ Û Ö a 2 = 2m + 1 Ñ Ø Ø ÑÑØ Ñ m ØÞ Ò Ö Ò ÐØ Ù

4 ÙÒ Ò Ð Ó Ø Ð ÙÒ m 2 +a 2 = m 2 +2m+1 = (m+1) 2 ÙÒ Ø ÍÑ Ö Ë ØÞ ÚÓÒ ÈÝØ ÓÖ µ Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÔÝØ ÓÖ Ö Ñ Ø Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò m a = 2m + 1 ÙÒ m + 1 ÛÓ 2m + 1 Ò Ò Ø ÖРРغ Ò Ô Ð a 2 = 49º ÒÒ Ø Û ÒÒ Û Ö a 2 = 2m + 1 ØÞ Ò Ó Ò ØÐ m = 24º Ì Ø Ð ÐØ ÒÙÒ Û Ò m 2 + a 2 = = 625 = 25 2 ÙÒ Û Ò (m + 1) 2 = 25 2 Ð ÙÒ m 2 + a 2 = (m + 1) 2 Ó Ö Ñ Ø Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò ¾ ÙÒ ¾ ÔÝØ ÓÖ Øº ÈÝØ ÓÖ ÙÒ Ò Ò Ö Î ÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ö Ë ØÞ Ö Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö Ð ÈÝØ ÓÖ Ò ÔØ Ö Ò Ñ Ò ÒÒØ Ò Ë ØÞ Ö Þ ÙÒ ÞÛ ¹ Ò Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò Ò Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö ÒØÐ ÒÒØ ÛÙ Ø Ò Ò Ø ÒÓ Ò Ö Ñ Ø ÞÙ Ò Ø Ö ÑØ Û Ö Ò Û Ö Ó Ð ÓÒ Ñ Ð ÒØ Ö ÚÓÖ ÐØ Ò Ö À Ò Ö Î Ö Ø Ù ÖØ ÛÙÖ¹ Ö Ò Ñ Ì ÓÖ Ñ Ú ÖÑÙØÐ ÒÐ Ò Ò Ò ÝÐÓÒ Ò Ó Ö ÝÔØ Ò ÃÓÐÐ Ò Ñ Øº c b c 2 = a 2 + b 2 a Ò Ö Ò Ö Ò Ö Þ Ò Å Ø Ð Ö Ù Ö Ñ Ð ÈÝØ ÓÖ Û ¹ Ö Ò Ò Û Ò Ò Ù Ò ÐØ Ò Ù ØØ Ò ÖÒ Ò Ò Æ ¹ Ñ Ò Ñ Øº Ë Ø Ò Ð ÈÝØ ÓÖ ÙÑ ÓÑ ØÖ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ö Ò Ä ÙÒ Ò ÒÒØ Û Ö Ò ÛÓÐÐØ Òº ÈÝØ ÓÖ ÖÐ Ø Ò Ø Ð Ò¹ ÙÒ ÐÙ Ò Ò ÚÓÖ ÓÐÐØ Ò Ú Ö Ù Ò Ö Ù ÞÙ Ò Ò Ó Ù Ö 60 ¹ Ö Ö 45 ¹ Ö ÙÒ Ö 30 ¹ Ö Ù Ò ÒÐ Ò Ñ Ë ØÞ º ÂÙÒ Ò Ñ Ø Ò Ò Ö Ø ÙÒ ÖÞ ÐØ Ò Ø Ø Ð Ê ÙÐØ Ø

5 Ö Ë ØÞ Ö 60 ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab β c b a h b ÁÑ Ð Ø Ò Ö Ñ Ø Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò b Ø h 2 = b 2 ( b 2 )2 = 3 4 b2 º ÁÑ Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö ÐØ Ö c 2 = h 2 + (a b 2 )2 = 3 4 b2 + a 2 ab b2 = a 2 + b 2 abº Ö Ë ØÞ Ö 45 ¹ Ö c h 45 b c 2 = a 2 + b 2 ab 2 β a h 45 ÁÑ Ð Ò Ð Ò Ö Ñ Ø Ò Ë Ò ÐÐÒ Ò h Ø h 2 + h 2 = b 2 Ð Ó h 2 = 1 2 b2 ÙÒ h = 2 2 bº ÁÑ Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö ÐØ c 2 = h 2 + (a h) 2 = 1 2 b2 + a 2 2a 2 2 b b2 = a 2 + b 2 ab 2 Ö Ë ØÞ Ö 30 ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab 3 β c a b 2 60 h b b 2 b ÁÑ Ð Ø Ò Ö Ñ Ø Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò b Ø h 2 = b 2 ( b 2 )2 = 3 4 b2 ÙÒ h = 3 2 bº ÁÑ Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö ÐØ c 2 = ( b 2 )2 + (a h) 2 = 1 4 b2 + a 2 2a 3 2 b b2 = a 2 + b 2 ab 3º ÖÐ Ð Ø Û Û ÙÖ ÙÒ Ö Û Ö Ò Ò Ï Ò Ð β 90 Ù Òº

6 Å Ö Ö Ð Ö Ú Ö Ö ØÞ Ð Ö Ò Ø Ö ÔÝØ ÓÖ Ò Æ ÛÙ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ö Ö Ö Ù Ù Ø Û Ö ÑØ Û Ö Û ÈÝØ ÓÖ º ÒÒ Ò ÛÙÒ Ö Ö Å Ö Ö Ð Ö Ú Ö Ö ØÞ ÒØ Ø ÙÒ Ê Ð ÐØ Ó Ö Ö 0 ¹ Ö Ò Ò a = b + c Ð Ó c = a b ÙÒ Ñ Ø c 2 = a 2 + b 2 2ab غ Å Ö Ö Ð ¼ ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab 0 ¼ ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab 1 ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab 2 ¼ ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab 3 ¼ ¹ Ö c 2 = a 2 + b 2 ab 4 Ï Ö Û Ò Û Ë Ñ Ø Ñ Ö Ó Ø Ò Æ ÖÙ Ñ Ù Ò Ò Ø Ø Ú ÐÐ Ò Î Ö Ò Ø Ö Ø Ò Û Ö ËØÞ Ö 60 ¹ 45 ¹ ÙÒ 30 ¹ Ö Ð Ö Ø Ö Û Ò Øº ØÖ Ø Ó Ö Ù Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ö ÞÙ Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ë ØÞ Ö Ö Ñ Ø Ð Ñ Ï Ò Ð α Ñ Ø 0 α 90 ÙÒ Ò Øº Ö Ë ØÞ Ö α¹ Ö Ñ Ø 0 α 90 c h b c 2 = a 2 + b 2 2ab cosα a g α Æ Ò Ø ÓÒ ÐØ sinα = h b cosα = g b ÛÓÖ Ù h = b sin α ÓÛ g = b cosα ÙÒ Û Ò h 2 + g 2 = b 2 Ù (sinα) 2 + (cosα) 2 = h2 b + g2 2 b = 1 ÓРغ ÁÑ 2 Ö ØÛ Ò Ð Ò Ö ÐØ ÒÒ c 2 = h 2 + (a g) 2 = (b sinα) 2 + (a b cosα) 2 = b 2 (sin α) 2 + a 2 2ab cosα + b 2 (cosα) 2 = a 2 + b 2 ((sin α) 2 + (cosα) 2 ) 2ab cosα = a 2 + b 2 2ab cosαº Ö Ë ØÞ Ö α¹ Ö ÐØ Ù Ö Ï Ò Ð α Ñ Ø 90 α < 180 µº ÍÒ Ò Ö Ø Ö ÊÙ Ñ Å Ø Ñ Ø Ö ÈÝØ ÓÖ Ö¹ ØÖ ÐØ ÐÐ Ò Ò Ë ØÞ Ú Ö ÖØ Ó Ö Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ Ò ÒÙÖ Ò Æ Ñ ÙÒ Ò Ì ÓÖ Ñ Ð Ò Ñ ØÒ Ö Û Ò ØÐ Ò Ï Ðغ

7 ËÓÛÓ Ð Ù a 2 + a 2 = c 2 Ä ÙÒ ÈÝØ ÓÖ µ Ð Ù Ù Ë ØÞ a 2 = a 2 +c 2 ac 2 Ë ØÞ Ö 45 ¹ Ö µ ÓÐ Ø c = 2aº A b Ò Ò ÚÓÒ Ö ÃÖÓÐÐ C c a Ö Ò Ö ABC Ñ Ø Ò Ë Ø Ò¹ ÐÒ Ò a, b, c Ò Ñ ÓÛÓ Ð Ò 90 ¹ Ï Ò Ð Ð Ù Ò 60 ¹Ï Ò Ð ÙÒ ÓÐ ¹ Ð Ù Ò 30 ¹Ï Ò Ð ÚÓÖ ÓÑÑ Ò Ú Ðº ÙÖµ ÐØ Ò ÓÐ Ò Þ ÙÒ¹ Ò B ½µ c 2 = a 2 + b 2 Ë ØÞ ÈÝØ ÓÖ µ ¾µ b 2 = a 2 + c 2 ac Ë ØÞ Ö 60 ¹ Ö µ µ a 2 = b 2 + c 2 bc 3 Ë ØÞ Ö 30 ¹ Ö µ ÙÖ Ø ÓÒ Ö Ð ÙÒ Ò Ð Ò Ö Ô Þ ÐÐ Ö Û ¹ Ø Ö Ù ÑÑ Ò Ò Û ÒÒ Òº ËÓ Ð ÖØ Ø ÓÒ ÚÓÒ ½µ ÙÒ ¾µ ÚÓÒ ½µ ÙÒ µ Þ ÙÒ Û ÚÓÒ ¾µ ÙÒ µ Þ ÙÒ Ò a = 1 2 c b = 3 2 c, a + b 3 = 2c, A 30 3a ÛÓ Ö ØØ Þ ÙÒ Ù Ö Ø Ù Ò Ò Ö Ø Ò ÓРغ Ë Ð Ð Ö Ø ÙÖ Ø ÓÒ ÐÐ Ö Ö Ð ÙÒ Ò a 2 + b 2 + c 2 = (a + b 3)c ÃÓÒØÖÓÐÐ Å Ø a + b 3 = 2c ÓÑÑØ Û Ö Ö Ë ØÞ ÈÝØ ÓÖ Ö Ù ºµ Ö Ï Ð Û Ø Ö Ò ÓÖÑ ÐÒ Ð Ò Ö Ò Ð Ò Ð Ö ØÛ Ò Ð Ö ÖÐ Ø Ò 2a C 60 a B a a 45 c 45

8 ÀØØ Ø Ù ÛÙ Ø Ï Ø Ö Ð Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ö ÖÓ Ë ØÞ È ÖÖ ÖÑ Ø ½ ¼½ ½ µ Ò Ö Ö ÙØ Ò Ø Ò Å Ø Ñ Ø Ö ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ Ñ Ø Ò Ö Ò Ò Ä ØÙÒ Ò Ò Ö Ð ÒØ ÓÖ Ñ Ø ½ Ò Ö ÓÐ ÒÖ ÒØ ÙÒ ÒÑÐ ½µ Ð ÙÒ a n + b n = c n Ø Ò ÒÞÞ Ð Ò Ä ÙÒ Ò 0 Ö n > 2º ÙÔØÙÒ Û Ö Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò Ä Ø Ö ØÙÖ Ö ÖÓ Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø Ò ÒÒغ Ï Ó ÖÓ ÙÔØÙÒ ½µ Ö ØÖ Ø Ø Ø Ñ Ö Ð ÒØ ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ö Û Ø º Á Ö ÙØÙÒ Ð Ø Ú Ð Ñ Ö Ö Ò Ò Û ÚÓÒ ½µ Ò ÖÑ Ø ÚÓÖ Ð Ò Ö Ö Ò Ñ Ð ÒÒØ Ø ÐÐØ Ð Ò Ö Ù Û Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ù Ö ¼ Â Ö Ð Ò Û Ö ØÞØ Ò Ö Ä ÙÒ ÙÒ Ö Ø ½ ÓÒÒØ º Ï Ð Î ÖÑÙØÙÒ ÚÓÒ ÖÑ Ø ØØ Òº Ò ÙÒØ ÖÒÓÑÑ Ò Ò Û Ú Ö Ù ÛÓ Ð Ò Ð ÓØ ÐÐ Ò ÒÒØ Ò ØØ Ò Ò Ó Û Ò Ø Ø Ø Æ Ò Ö Ò Ñ Óй Ë Û Ö Ø Ò Ò ÖÙÒ Ò Ö Û Ö Ò ÐÙØ Ò Ù Ö Ö ÙÒ Ò Ù Ö Å Ø Ó Ò Ò Ð ÒØ ÓÖ Ö Ò Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ù ÒÓÖÑ Ò Ù Ñ Ù Ð Ø Ò ÙÒ Ñ Ø ½µ Ó ÖÓ º Ö ÃÐ Ò Ë ØÞ Ø Ö Ù ÒÓ Ò Ó Ò ÒÒØ Ò ÃÐ Ò Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø ÙÒ Ö Ö Ø Ò Û ÚÓÒ ÖÑ Ø ÖÐ Öغ ÏÓÖÙÑ Ø Ò Þ ÒØÖ Ð Ì Ñ Ö Ð ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Ò Ò Ò Ø ÖÐ Ð n ÙÖ Ò Ø ÑÑØ ÈÖ ÑÞ Ð p Ø Ð Ö Ø Ó Ö Ò Øº Ø Ò Ò Ï Û Ñ Ò Ö n ÙÒ p ÒØÛÓÖØ Ò Ø Å Ò ÖØ Ú ÓÒ n : p Ù Ö Ö Ö ÖÓ n ÙÒ p ÒÒ ÒØ ÙÒ Ú Ö Ö Ò Ó ÙÑ Ò ¹ Ö Ê ÒÙÒ Ò ÒÓØÛ Ò Ñ Ò ÙÖ ÔÖ Ø ÙÒ Ö Ù Ö Û Ö º Ù ÑÔ ÐÙÒ ÖÑ Ø Ð ØÞØ Ö Ë ØÞ ÒØ Ù ÖÐ Ø Ò Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò ÊØ Ð ÚÓÒ Ë ÑÓÒ Ë Ò Ò Ö Û ÂÓ Ò Ï Ð º ½½º¼ º½ Ñ Ö Ö Ø Ö Å Ø Ñ Ø Öº

9 Ô Ð ½ Ò ÔÖ Ø ÙÒ Ù Ö Ö Ú ÓÒº Ò n = 10 70! ÙÒ p = ; n Ø ØÛ 1, ËØ ÐÐ Ò ÙÒ ÈÖ ÑÞ Ð p ØÞØ Ø ËØ ÐÐ Ò Û Ú Ð ËØ ÐÐ Ò Ø n p µº Á Ø n p n ÙÖ p Ø Ð Ö Ø Ø Û Ò Ù Ø Ò Ö n ÙÒ p ÐØ Ò Ì Ð Ö Ø Ö Ø Ö ÙÑ ÞÙ Ò Ò Ø Ø Ñ Ø Ò Ø ÞÙ ÖÓ Ñ Ù Û Ò ÞÙÑ Ð Öغ Ð Û Ö Ñ Ò Ñ Ø Ò Ò Ñ Ò Ì Ð Ö Ø Ö ÐÒ ÒÙÖ Ö ¹ Û Ð Ø ÑÑØ ËÓÖØ Ò ÚÓÒ Ð Ò n ÙÒ»Ó Ö p Ù ÞÙ Ø ÐÐ Òº Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Ò ÖÒ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò ÓÐ Ê ÐÒ ÞÙÑ Ô Ð Ö Ì Ð Ö Ø ÙÖ ÈÖ ÑÞ Ð Ò p = 2 p = 3 ÙÒ p = 5 Ñ ÐÙ º ÁÑ Ô Ð ½ Û Ö Ò Ö Ì Ð Ö Ø Ò Ö Ð Ö ÓÖÑ n p n ÙÖ Ò ÈÖ ÑÞ Ð p Ö Øº ÍÒ Ø Ò Ì Ð Ö Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ö ÓÐ ÐÐ Ø ÙÖ ÐØ Û Ö Ó Ö Ø ÚÓÖ ¾ ¼¼ Â Ö Ò Ò Ò Å Ø Ñ Ø ÖÒ ÒÒغ Ë Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö Ò ÙÒ Ö Ù Ö ÐÐ Ö Ò Ñ ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ ÙÖ Èº ÖÑ Ø Û Ö Ö ÙØ Ö ÃÐ Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø Ò ÒÒغ Ï ÖÙÑ Ö Ë ØÞ Ð Ò Ò ÒÒØ Û Ö Ø Ò Ø Ö Ø ÒÞÙ Ò Ø Ö Ó Ò Ö Ù Ò ØÞÐ ÙÒ Ñ Ø Ï Ö Þ Ù Ù Ñ Ø ÒØ Ò ¹ Ð Ò Ò Ø ÑÑØ Ò Ù Ò ÌÝÔ Ð Ø ÖØ Û Ö º ÍÒ Ö Ø ÙÒÐ Ì Ð Ö Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ø ÖÑ Ø Ñ Ø ÒÞ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò Ö Ð Ø Ø Û Û Ö ÒÙÒ Þ Ò ÛÓÐÐ Òº À ÖÐ ØÙÒ ÃÐ Ò Ò Ë ØÞ ÁÑ ÓÐ Ò Ò Ò Ð n ÙÒ ÈÖ ÑÞ Ð p Ð Ö Ø ÚÓÖ Ò ÙÒ p Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ nº ½º Ë Ö ØØ ÓÜ Ò B(0) B(1) B(2),..., B(p 1) Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò N = {0, 1, 2, 3,...} Û Ö Ò Ù p ÓÜ Ò B(0), B(1) B(2),..., B(p 1) Ù Ø ÐØ ÁÒ ÓÜ B(0) ÓÑÑ Ò ÐÐ Î Ð Ò ÚÓÒ p Ó B(0) = {0, p, 2p, 3p,...}; Ò ÓÜ B(r) Ø Ò Û Ö ÐÐ Ð Ò ÙÑ r Ö Ö Ò Ð Ò Î Ð ÚÓÒ p ÛÓ r Ò Ö Ö Ï ÖØ 1, 2, 3,...,p 1 Ø Ð Ó B(r) = {r, p + r, 2p + r, 3p + r,...}º Ò Ò Ø Ð n N Ò Ò Ö Óܺ Ö Ò Ð n N Ò Ø Ò ÞÛ ÓÜ Ò ÏÖ ÒÑÐ n B(i) ÙÒ n B(j) Ñ Ø i j ØÛ i < j ÒÒ ÛÖ n = v p + i ÙÒ n = w p + j Ö Ø ÑÑØ Ð Ò v ÙÒ wº ËÓÑ Ø ÛÖ vp + i = wp + j Ó (v w)p = j i ÙÒ p ÛÖ Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ j i Û Ö Û Ò j i < p Ò Ø Ñ Ð Øº ÁÑ Ñ Ø Ñ Ø Ò ËÔÖ Ö Ù Ò ÙÒ Ö ÓÜ Ò Ê Ø Ð Ò mod p

10 Ô Ð ¾ ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ N Ò 5 ÓÜ Òº p = 5º Ï Ö Þ ÖÐ Ò N Ò ÓÜ Ò B(0), B(1),..., B(4) B(0) = {0, 5, 10, 15,...} B(1) = {1, 5 + 1, , } B(2) = {2, 5 + 2, , } B(3) = {3, 5 + 3, , } B(4) = {4, 5 + 4, , } ¾º Ë Ö ØØ ÓÐ n, 2n, 3n,...,(p 1)n Ö Ò Ð n N ÙÒ Ò ÈÖ ÑÞ Ð p Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ n Ø Ð¹ Ò Û Ö ÓÐ n, 2n, 3n,..., (p 1)n. Ï ÒÒ Û Ö ÒÒ N Ò p ÓÜ Ò B(0), B(1), B(2),..., B(p 1) Þ ÖÐ Ò Û Û Ö Ò ÒÒ ÓÐ Ò Ð Ö Ù ÓÜ Ò Ú ÖØ ÐØ Ò Ô Ð Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö ÓÐ n, 2n, 3n,..., (p 1)n p = 5º ÒÒ Ø ÐÐ Ò ÓÜ Ò B(0), B(1),..., B(4) Ù Ô Ð ¾ ÞÙ p = 5 Ö ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ N Öº Ë n = 12º Ù Û Ð Ò ÓÜ Ò Ö Ò ÒÒ p 1 = 4 Ð Ö Ö ÓÐ 12, 2 12, 3 12, 4 12 Ù 12 = B(2) Ù 2 12 = B(4) Ù 3 12 = B(1) Ù 4 12 = B(3)º Ö Î ÖØ ÐÙÒ Ò Ö ÓÐ n, 2n, 3n,..., (p 1)n Ù ÓÜ Ò B(0), B(1), B(2),..., B(p 1) ÐØ µ ÁÒ Ö Ö p 1 ÓÜ Ò B(1), B(2), B(3),... B(p 1) Ò Ø Ò Ù Ò Ö p 1 Ð Ò n, 2n, 3n,..., (p 1)n Û Ö Û Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ø Û Ð Ð Ò Û Ð Ö ÓÜ Ø Ú Ö Ð ÙÒØ Ò µº À ÖÐ ØÙÒ ÚÓÒ µ ½º Ã Ò Ö Ð Ò n, 2n, 3n,..., (p 1)n Ø Ò ¼µº ÒÒ ÛÖ Ò Ð xn Ñ Ø Ò Ñ x 1 x p 1 Ò B(0) ÒÒ ÛÖ xn Ò Î Ð ÚÓÒ Ô Ó Ò Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ B(0)µ Ð Ó ÛÖ p Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ xnº Ö p Ø Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ n ÙÒ Û Ò x < p ÒÒ Ô Ù Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ x Òº ¾º Ã Ò ÞÛ Ö Ð Ò n, 2n, 3n,...,(p 1)n Ò Ò Ò Ö Ð Ò Óܺ ÒÒ ÛÖ Ò ØÛ xn ÙÒ yn Ò Ò Ö ÓÜ B(r), 1 x, y, r p 1 ÙÒ ØÛ x < y ÒÒ ÛÖ xn = vp + r ÙÒ yn = wp + r Ö Ø ÑÑØ Ð Ò v, w Ú Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ B(r)µº Ù yn xn = (y x)n = (w v)p ÓÐ Ø Ô Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ (y x)n ÛÖ º Ö p Ø Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ n ÙÒ Ù Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ y x Û Ò y x < pº º Ë Ö ØØ ÈÖÓ Ù Ø n 2n 3n... (p 1)n Ï Ö ÛÓÐÐ Ò ÒÒ Ñ Ò Ö Ð Ò n, 2n, 3n..., (p 1)n ÐØ µ n B(r 1 ), 2n B(r 2 ), 3n B(r 3 ),..., (p 1)n B(r p 1 ) ½¼

11 Æ µ Ò Ò ÞÛ Ö ÓÜ Ò¹ÆÙÑÑ ÖÒ r 1, r 2, r 3,..., r p 1 Ð º Ö Ö 1 r 1, r 2, r 3..., r p 1 p 1 ÐØ Ø ÑÑ Ò Ò Ö Ò Ò Ö Ê Ò ÓÐ Ñ Ø Ò Ð Ò 1, 2, 3,...p 1 Ö Òº Ð Ø Ñ Ò Ò Ù ØÞ ÞÙ µ µ r 1 r 2 r 3... r p 1 = (p 1) = (p 1)! Û Ö ÒÙÒ ÖÑ Ø Ò Ð Ò Á ÈÖÓ Ù Ø n 2n 3n... (p 1)n Ò ËÔ Ð ÞÙ Ö Ò Òº Æ Ö ÒÒ Ñ µ ÒÒ Ò Û Ö Ö Ò n = v 1 p + r 1, 2n = v 2 p + r 2, 3n = v 3 p + r 3,..., (p 1)n = v n 1 p + r p 1 Ñ Ø Ò Ø Ò Ð Ò v 1, v 2, v 3,..., v p 1 º Ñ Ø Ø n 2n 3n... (p 1)n = n p 1 (p 1)! = (v 1 p + r 1 )(v 2 p + r 2 ) (v 3 p + r 3 )... (v p 1 p + r p 1 )º Ò Ø Ñ Ò Ö Ò ÃÐ ÑÑ ÖØ ÖÑ Ö Ø Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ ÒÒ Ö ÐØ Ñ Ò Ò ËÙÑÑ Ù 2 p 1 1 ËÙÑÑ Ò Ò ÑØÐ Î Ð ÚÓÒ p Ò ÙÒ Ð ÞÙ Ñ Ù ÖÙ vp Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò v ÞÙ ÑÑ Ò Ø Û Ö Ò ÒÒ Ò ÙÒ Ñ ËÙÑÑ Ò Ò r 1 r 2 r 3... r p 1 º Ñ Ø Ø ÙÒØ Ö ØÙÒ ÚÓÒ µ n 2n 3n... (p 1)n = n p 1 (p 1)! = vp + r 1 r 2 r 3... r p 1 = vp + (p 1)! Ö Ù ÓÐ Ø n p 1 (p 1)! (p 1)! = (n p 1 1)(p 1)! = vpº ÈÖ ÑÞ Ð p Ø Ö Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ (n p 1 1)(p 1)! p Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ (p 1)! Ò ÒÒ Ö ØÓÖ Ò (p 1)! Ø Ð Ò Ö Ð p ÙÒ p Ø Ò ÈÖÓ Ù Ø Ù ØÓÖ Ò p 1 ÑÙ Ð Ó p Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ n p 1 1 Òº Ñ Ø Ø Þ Ø ¾µ Ö Ð Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø ÈÖ ÑÞ Ð p Ø Ò Ì Ð Ö Ö Ð n p 1 1 ÙÒ Ð Ù Ö Ð n p n Û ÒÒ p Ò Ì Ð Ö Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò Øº ËØÖ ÃÐ Ò Ò Ë ØÞ Ö ÃÐ Ò Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø Þ Ø Ò ÙØÙÒ ÙÒ Û Ö ËØÖ Ó Ö ¹ Ø Ö Ø Ò Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ù Ì Ð Ö Ø Ö Ò ÒÞ ÐÒ Ò Ð Ò ÙÒ ÙÑ Ò Ö Ò Ó Ö ÙÒ Ò Ð Ò Å Ò Ò ÚÓÒ Ð Ò Ð Ò ÌÝÔ ÐÐ Ò Û Ò Ö Ö Ö Ö ÒÙÑ Ö Å Ø Ó Ò ÙÒ ÖÖ Ö Ò º Ú Ö ÙØÐ Ò Û Ö Ò Ò Ò Ô Ð Òº Ô Ð ÒÛ Ò ÙÒ Ò ÃÐ Ò Ò Ë ØÞ µ ÈÖ ÑÞ Ð p = Ø Ò Ì Ð Ö Ö ÒØ Ò Ð (10 70! ) p 10 70! Ù Ô Ð ½ Û Ð Ô Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ 10 70! غ µ Å Ø 1[m] Ò Ò Ø ÖÐ Ð Þ Ò Ø Ö Ò Þ Ñ Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Ù m ÖÒ 1 Ø Øº Ø Ð Ò 1[m] Ó 47 Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ 1[m] Ø Ö Ð 1[m] ÐØ 1[m] = 1 9 (10m 1)º Ù ÖÙÒ Ãк Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø Ø ÐØ p = 47 Ð Ö ÓÖÑ n 46 1 Ó ÖÒ 47 nº ÁÒ ÓÒ Ö Ò Ð Ò , (10 2 ) 46 1, (10 3 ) 46 1 Ð Ó 10 m 1 Ñ Ø m = 46, 2 46, 3 46,... Û Ð ÙÖ 47 Ø Ð Öº ÓÐ Ð ÐØ Â Ð 1[m] Ñ Ø m = 46, 2 46, 3 46,... Ø Ò Ì Ð Ö 47º ½½

12 µ u v ÙØ u Ø Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ vº ÐØ 3 (2 3 ) (2 5 ) (2 7 ) 6 1º à ÒÒ Ñ Ò Ù Ò¹Ã ØØ Ð Û Ø Ò ÐÓ ÓÖØ ØÞ Ò Â ÈÖ ÑÞ Ð p 2 Ø Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ (2 m ) p 1 1 Ö m = 1, 2, 3,... Û Ð p 2 Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ 2 m غ ÁÒ ÓÒ Ö ÐØ Ö p (2 p ) p 1 1 Ó Ó Ò ÓÒÒ Ò Ù Ò ØØ Ö Ð Û ÐØ ÈÖ ÑÞ Ð p Ò Ù ÓÖØ ØÞØ Û Ö Ò ÒÒº µ Ö ÈÖ ÑÞ Ð p > 2009 Ø 2009 p 1 1 Ø Ø ÙÖ p Ø Ð Öº Ï ÖÙÑ Ø Ó ÓÒ Ö Ù ÖÒÙÑ Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ À ÖØÛ Ù a Ò Ò Ø ÖÐ Ð a = z n z n 1... z 1 z 0 Ò ÖÒ Ö Û Ñ Ø z n 0 ÙÒ n 1º Ï ÒÒ Ñ Ò Ò a Ö z n Ö Ø Ò Ò Ö z 0 Ú Ö Ø ÒÒ Ø Ò Ù Ð a = z n 1... z 1 z 0 z n º Ï Ø Ð Ò Ø Ð a Ö ÐØ Ù a ÒØ Ø Ò Ò Ð a Ø Ö Å Ð Ó ÖÓ Û a Ä ÙÒ Å Ø a = z n z n 1... z 1 z 0 ÙÒ a = z n 1... z 1 z 0 z n ÙÒ a = 3a ÐØ 3a = 3 z n 10 n + 3 z n 1 10 n z z 0 ; a = z n 1 10 n + z n 2 10 n z z n ÙÒ Ö a 3a = z n 1 (10 n 3 10 n 1 ) z 0 (10 3) + z n 3z n 10 n = 0 Ù Ö Ð ØÞØ Ò Ð ÙÒ ÓÐ Ø ½µ z n 1 10 n 1 (10 3)+z n 2 10 n 2 (10 3)...+z 0 (10 3) = z n (3 10 n 1)º Ð Ò Ë Ø ÚÓÒ ½µ ÙÖ 7 Ø Ð Ö Ø ÑÙ Ù Ö Ø Ë Ø ÚÓÒ ½µ ÙÖ 7 Ø Ð Ö Òº Ð Ó Ø ÒØÛ Ö z n = 7 Ó Ö 3 10 n 1 Ø Ò Î Ð ÚÓÒ 7º ÆÙÒ Ø Ö z n = 7 Ò Ø Ñ Ð Û Ð ÓÒ Ø Û Ò ½µ z n 10 n 1 + z n 2 10 n z 0 = 3 10 n 1 ÛÖ Ò Ï Ö ÔÖÙ º Ö ÑÙ ÐÐ Ö ÙÔØ Ò Ä ÙÒ Øµ 3 10 n 1 Ò Î Ð ÚÓÒ 7 Òº ÙÔØÙÒ Ø Ò Ù ÒÒ Ö ÐÐ Û ÒÒ n = 6m + 5 Ö m N غ Þ Ò Û Ö ÙÖ Ò Ò ÃÓÒ ÖÙ ÒÞÖ ÒÙÒ ÑÓ ÙÐÓ 7 ÐÐ Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò n Ð Ò Ò Ö ÓÖÑ n = 6m + r Ñ Ø m {0, 1, 2,...} ÙÒ r {0, 1,..., 5} Ö Ø ÐÐ Ò Ú ÓÒ ÙÖ 6 Ñ Ø Ê Øµº Ï Ò Ë ÖÞÙ Ù Ò ÖØ Ð ÀØØ Ø Ù ÛÙØ Ï Ø Ö Ð Ò Ë ØÞ ÚÓÒ Ö¹ Ñ Ø º ½¾

13 10 3 (ÑÓ 7) ÓÐ Ø ÒÙÒ 3 10 n 1 = m+r m+r 1 (ÑÓ 7)º Ï Ò (ÑÓ 7) ÙÒ ( 1) 2m = 1 Ö Ø 3 6m 1(ÑÓ 7) ÙÒ ÓÑ Ø 3 10 n 1 3 r+1 1 (ÑÓ 7). Á Ø r Ó Ø 3 r (ÑÓ 7). À Ö Ù Ø Ö ØÐ ÒÙÖ Ö r = 5 Ð 3 10 n 1 = m+r 1 Ò Î Ð ÚÓÒ 7 Ø ÙÒ Ö Ð m N 0 º Ö n = 5 ÓÐ Ø Ù ½µ Û Ò = ÐØ ¾µ z z z 0 = z Æ ¾µ Ø z Ø Ò 5¹Þ Ö Ó z 5 = 1 Ó Ö z 5 = 2 Ò ÑÙ z Ø ÒÒ ÒØÛ Ö Ó Ö 85714º Ù Ö Ð Ò Ò Ë Ø ÚÓÒ ¾µ ÓÐ Ø Ö ÒØÛ Ö a = Ö z 5 = 1 Ó Ö a = Ö z 5 = 2 غ Ð Ò Ø Ä ÙÒ Ø ÓÑ Ø a = º Å Ø Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÙÒ Ò ÃÖ Ò Ö Ò ÓÐÐ Ò n ÃÖ n 1 Ó Ò Ò Þ Ò Ø Û Ö Ò ÞÛ ÃÖ Ò Ò ÙÒ Ò Ö ÃÖ ÙÖ Ò Ò ÈÙÒ Ø Òº ÒÙÒ A(n) Ö ØÑ Ð ÒÞ Ð ÚÓÒ Ø Ò Ò Ò ÙÖ n ÃÖ Þ ÖÐ Ø Û Ö º ÒÑ Ö ÙÒ Ö Ì Ð Ö Ò Ö Ù Ö Ð ÐÐ Ö n ÃÖ Ð Ø ÐØ Ù Ð Øº Ô Ð n = 3 n = 1 n = 2 A(1) = 2 A(2) = 4 Ø ÑÑ A(n) Ö Ñ Ö Ö n 4 n 10º A(3) = 8 Àº ºµ À ÒÛ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÒÒØ Á Ö ÞÙÑ ½ º½½º¾¼¼ Ò ÅÇÆÇÁ ¹ Ê Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÒÒ Ù Ö Ø ÈÙÒ Ø ÞÙ Ö ØØ ÖÒº ÙÖ Ö Ò Û Ö Ò Û Ð ÞÛ À Ø ÔØ Ö Ú Ö ÒØРغ Ë Ö Û a b (ÑÓ m) ÙØ Ø m Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ a b Ø Þ ¹ ÙÒ Û a = b + t m Ñ Ø ÒÞÞ Ð Ñ t Ö Ò Û Ö Ò ÒÒº Á Ø Ù c d (ÑÓ m) Ð Ó c = d +t m Ñ Ø t Z Ó ÐØ a c = b d +(bt +dt +tt m)m Ð Ó a c b d (ÑÓ m)º À Ö Ù ÓÐ Ò ÒÙØÞØ Ò ÈÓØ ÒÞÖ ÐÒº ½

14 Ö Ò ÓÑÔÙØ Ö¹ Ò Ù Ð Ö¹ ÓÐ Ö Ò Ö ÐÐ Ð r Þ Ò r Ö Ø ÒÞ Ð rº ÒÒ Ö Ò Ø ÖÐ Ð n Ö ÇÔ Ö ØÓÖ G Ó Ò ÖØ G : n G { n, ÐÐ n Ö n 3, ÐÐ n ÙÒ Ö. Ò ÓÐ n 0, n 1, n 2,... Ø Ù Ð Ö¹ ÓÐ Ò Ö Ñ Ò Ð Ò Æ Ñ Ò Ù Ð Ö³ ÕÙ Ò µ Û ÒÒ ÙÖ ÁØ Ö Ø ÓÒ ÇÔ Ö ØÓÖ G ÒØ Ø Ø Û ÒÒ G G G Ð Ó n 0 n 1 n 2... Ðغ Ô Ð 3 G 5 G 11 G 36 G 6 G 2 G 1 ÙÖÞ 3 G6 1º Ï Ò 1 Gm 1 Ö m = 1, Ø 1 Ò ØØÖ ØÓÖ Ö Ù Ð Ö¹ ÓÐ Ñ Ø ËØ ÖØÞ Ð º Ø ÑÑ ØØÖ ØÓÖ Ò Ö Ù Ð Ö¹ ÓÐ Ò Ö Ò ËØ ÖØÞ Ð Ò n 0 = 1, 2 3 4,..., 50 Ò ÓÛ ÒÞ Ð Ö ÁØ Ö Ø ÓÒ Ò Ö ØØÖ ØÓÖ Ö ØÑ Ð ÖÖ Ø Û Ö º µ Ù Û Ð Ö Î ÖÑÙØÙÒ Ð Ò Ø Ù µ Ï Ú ÖÒ ÖÒ Î Ö ÐØÒ Û ÒÒ Ò Ö Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ G ÊÓÐÐ Ò ÚÓÒ Ö ÙÒ ÙÒ Ö Ú ÖØ Ù Ø Û Ö Ò Û ÒÒ Û Ö Ð Ó Ò ÇÔ Ö ØÓÖ H Ñ Ø { H : n H n3, ÐÐ n Ö n, ÐÐ n ÙÒ Ö, ÙÒ Ò Ø Ö Ø Ú Ï Ö ÙÒ Ù ËØ ÖØÞ Ð Ò n 0 = 1, 2 3 4,..., 50 ØÖ Ø Ò Àº ºµ À ÒÛ Á Ö ÒÒØ ÙÖ Ä ÙÒ Ò ÞÙÑ ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ò Ò ÒÒ Ù Ö Ø ÈÙÒ Ø ÞÙ Ö ØØ ÖÒº ÐÐ Ö Ò Ñ Ø Á Ö Ö Î ÖÛ Ò ÙÒ Ò Ò Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ ÒØ ÔÖ Ò Ó ÙÑ ÒØ Ö Ò ÙÖ Ò Ò Ò Ö ÈÖÓ Ö Ñѹ Ø Ñ Ø Ò Ð ¹ Šй Ò Ò Ò ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº µº Ä ÙÒ Ò Û Ö Ò Û Ð Ñ ÖÒ Ø Ò À Ø Ö Ò Òº ½

15 Ä ÙÒ Ö ÓÑÔÙØ Ö¹ Ù Ù Ò ÓÖÑ Ð ÞÙÖ ÖÞ Ù ÙÒ ÚÓÒ ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ò Ò ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ø Ò È Ö (p, q) ÚÓÒ ÈÖ ÑÞ Ð Ò p ÙÒ q Ñ Ø Ò 2 Û (3, 5) (5, 7) Ó Ö (11, 13)º Ö Ó ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ó Ö ÒÙÖ Ò Ð Ú Ð ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ø Ø Ð Ò ØÖÓØÞ ÒØ Ò Ú Ö Ñ ÙÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÒÓ Ò Ø ÒØ Òº Ï ÒÒ Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ð Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø ÖÐ Ò Ð n Ò Ò ÒÒØ Ö ÐÐ n ÒÙÖ ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ð ÖØ Ó Ö Ó Ñ Ø Û Ò Ñ n Ö ÒØ ÖØ ÑÑ Ö Û Ö Û Ð ÛÖ Ö Æ Û Ö Ö Ø ÙÒ Ò Ð Ú Ð ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ñ Ò Î ÖÑÙØÙÒ º ÍÒØ Ö Ù ÙÒØ Ö Ñ Ô Ø ÓÐ Ö Ð ÒÔ Ö (p(n), q(n)) Ñ Ø p(n) := 30 (2n 27) (n 15) 1 ÙÒ q(n) := 30 (2n 27) (n 15) + 1 Ö Ñ Ð Ø Ú Ð Ò Ø ÖÐ Ð Ò nº Ï Ó Ø Ø Ù Ò Àº ºµ Ö Ò Å Ø Ö Ù Ò È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò ÇØØÓ¹À Ò¹Ë ÙÐ À ¹ Ò Ùµ ÐÓÖ Ò Ë Û Ö ÝÑÒ ÙÑ Å Ö ØÓ Ö ÓÖ µ ÙÒ Ð Ü Ý ÌÝÙ Ò ÝÑÒ ÙÑ Å ÒÞ¹ ÓÒ Ò Ñµ Ø Øº Ë Ò Ò ÐÐ Ö ÒÒØ ÓÖÑ ÐÒ Ö p(n) ÙÒ q(n) Ö ÐÐ n 20 Ù Ö n = 15 ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ Ð¹ Ð Ò Ð ÖÒº È Ö p(15) = 1, q(15) = 1 ÐÐØ ÓÒ Û Ò Ò Ø Ú Ò Ï ÖØ ÚÓÒ p(15) Ù Ñ Ê Ñ Òº Ò ÓÒ Ø Ò Ò Ï ÖØ Ö p(n) ÔÓ ¹ Ø Ú ÞÙÒ Ø ÐÐ Ò p(15) ÒÒ Û Ò ÙÒ Ð Ò Û È Ð ÔÔ Ð ÓÙ Ò Ö Ø Ñ Ö Ø Ò ÓÖÑ Ò Ö Ò Ó Ò Ò Ø Ò È Ö Ð Ò¹ ÓÖ Ò Òº Ï Ò Ò ÓÖÑ ÐÒ Ð Ø ÞÙÐ Ò Ø Ò Ø p(n) ÑÑ Ö Ù Ö Ö 9 Ù Ö n = 15µ ÙÒ ÓÐ Ð q(n) Ù 1º Ö Ø Û Ö n = 27 ÙÒ ÒÒ Ö n = ØÖ Ø Ò Ò ÙÒÖ ÐÑ Ò ØÒ Ò ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ù º Å Ø Ò Ñ ÓÑÔÙØ Ö¹ Ð Ö ¹ËÝ Ø Ñ Û Å ÔÐ Ó Ö Ö Ú µ Ð Ø ÒÓ Ö Ö ÖÓ n Ø Ø ÐÐ Òº Ñ Ø Ø Ö Ò Ø Ð Ö Ó Ö Ð ÖÓ n ÒÓ ÈÖ ÑÞ ÐÞÛ ÐÐ Ò Ø ÙÒ ÓÑ Ø Ø ÈÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö Ò Ó Òº Ö ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ø ÑÑØ n ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ø p(n) ÞÛº q(n) Ö Ò Ø ÚÓÖ Ò Ò Ò ÒÒ Ø ÐÓÖ Ò Ë Û Ö ÙÖ Ù ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Ö ÓÖÑ ÐÒ ÞÙ p(n) = 60n n ÙÒ q(n) = 60n n Ö ÒÒØ ÒÒ Û ÒÒ n Ò Î Ð ÚÓÒ ÞÛº Ø Ø p(n) ÞÛº q(n) Ö Ò ÈÖ ÑÞ Ðº ½

16 Ä ÙÒ Ò Ö Å Ø Ô Ð Ö Ò Ù Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ó ÒÛ Ö Ò Ñ ÊÙ ¹Ï ÒÞ ¹ ÝÑÒ ÙÑ Ò Ø Ò Ë ÙÐ Ø Ø Øغ À ÖÖ ËØ ØÞ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö ÃÐ Ö Ù Ö Ó ÒÛ Ö Ò Ò Ø Ò Ó Ò Ù Ò Û Ö ÞÙ Ò Ö ÈÝÖ Ñ Ù º ÒÞ Ó Ò Ø Ø Ò Ó Ò Ö Ê ÖÙÒØ Ö Ö Ó Ò ÒÒ Ò ÙÒ Ó Û Ø Öººº Ï Ö Ò Ò Ù Ó Ò ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Û Ö ÐÐ Ú ÖÛ Ò Ò Û Ö Òº À ÖÖ ËØ ØÞ ÒÒØ Ñ Ø Ñ Ù Ùº Ó Ö Ø ÒÓ Ò Ø Ö Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ø ÐÐØ Û Ö Ö ÚÓÒ ØØ Ò Ò Ö Ë Ð Ö Ò Ö ÃÐ ÙÒØ Ö ÖÓ Ò Ö ÒÒ Ó Ö Ò Ø Ð ÔÔ Òº ÒÒ Ð Ò ÒØÛ Ö Ó Ò Ö Ó Ö Ð Ò Û Ð Û Ô Ø ÓÒ Û ÖØ ÒÒ Ñ Ò Ë Ó Ò Ö Ò¹ Ö Ù Ù Ò ÒØ Ò Ø ØØ Ò Ñ Òѹ Ð ÑÑ Ö Ù Ä Ð Ó Ò Ó Ö Ø Ê Ò Ó Ò Ö Ê ÖÙÒØ Ö ÞÛ Ó Ò ÒÒ Ö ÙÒ Ó Û Ø Öººº Ù Ð Ù Ø Ñ Ö Ð Ó ÑÑ Ö ÒÓ Ò Ø Ö Ø À ÖÖ ËØ ØÞ ÙÒ¹ ÐÙ º µ Ï Ö Ø Ê Ø Ù Û Ð Ï Ð Ò Ó Ò ÞÙ Ò Ö Èݹ Ö Ñ Ù Ù Ò Æ Ö Á ÚÓÒ À ÖÖÒ ËØ ØÞ Ö Á ÚÓÒ ØØ Ò Ò Ò Ó Ö Ö Ò Ö µ Û Ð Ò ÐÐ Ñ Ò ÓÖÑ Ð Ò Ñ Ø Û Ð Ö À ÖÖ ËØ ØÞ ÙÒ ØØ Ò Ù Ö Ò Ò ÒÒ Ò Û Ð ÒÞ Ð Ò ÚÓÒ Ó Ò Ò n Ê Òµ Ù Ù Ò ÒÒ Òº µ Ø ÒÞ Ð Ò ÓÛÓ Ð À ÖÖ ËØ ØÞ Ð Ù ØØ Ò Ù Ù Ò Ò¹ Ò Òº Ñ Ò Ø Ò µ Ò ÓÐ ÒÞ Ð Ù Ö Ö ØÖ Ú Ð Ò ÒÞ Ð 1 Òº Å µ Ä ÙÒ µ ØØ Ò Ø Ê Ø À ÖÖ ËØ ØÞ ÒÒ Ò Ö Ê 1 Ó ÞÛ Ê Ò = 4 Ó Ò = 9 ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Û Ø Ö ººº Ó Ò Ù Ù Òº Ó Ò Ò Ð Ó Ò Ø Ñ Ð ÒØÛ Ö ÙØ Ö Ó Ò Ù ÙÒ Ð Ò Ó Ò Ö Ó Ö Ö Ú Ö Ù Ø Ø Ê Ò Ù ÞÙ Ù Ò Ö ÒÒ Ð Ò Ñ Ó Òµº À Ò Ò ÒÒ ØØ Ò = = 6 ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Û Ø Ö Ó Ò Ù Ù Òº Å Ø Ö Ñ Ù Ù Ð Ø Ð Ó À ÖÖÒ ËØ ØÞ ÏÙÒ ÐÐ 55 Ó Ò ÞÙ Ú ÖÛ Ò Ò Ú ÖÛ Ö Ð Òº ½

17 µ À ÖÖ ËØ ØÞ ÒÒ Ò Ù ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò Ù Ù Ò Ð Ó n Ê Ò n 2 Ó Ò Ù Ù Òº ÙÑ Û Ö Ì Ø Ð Ð ÚÓÒ Ò Ó Ö Ð Ò ÖØ Ð Û Ó Ò ÏÓÖØ ÚÓÒ À ÖØÛ Ù Ë Ø ¾ Ñ Ð Ò À صº ØØ Ò Ò Ò n Ê Ò n = n(n+1) 2 Ó Òº µ ËÓÛÓ Ð À ÖÖ ËØ ØÞ Ð Ù ØØ Ò ÒÒ Ò Ò Ó ÒÔÝÖ Ñ Ñ Ø 36 Ó Ò Ù Ù Òº ØØ Ò Ø ÒÒ Ø Ê Ò À ÖÖ ËØ ØÞ º Ò Ø Ò Ò Ð Ò Ò 1225 ÙÒ Ö Û Ö Ø Ó Ú Ð Ó Ò Ò ÙÒÑ Ð Ö Þ ÖÐ ÙÒ Ò Ö Ø Ô ØÞÛ Ò Ð Û ÒÒ Ò Ö Ò Ö Ö ÁÒÒ ÒÛ Ò Ð 90 غ Å Ò ÒÒ Ò Ö Ò ÞÛ Ö Þ ÖÐ Ò Ô ØÞÛ Ò Ð Ò º Ù Ø ÒÒ Ø Ù Ù Û Ò Àº ºµ Ä ÙÒ A C α β P B Ò Ö ABC ÒÒ ÒÙÖ ÙÖ Ò ËØÖ Ò ÞÛ Ö Þ ÖÐ Ø Û Ö Ò Û Ð Ò Ò ¹ ÔÙÒ Ø ÞÙÑ Ô Ð Aµ Ñ Ø Ò Ñ ÒÒ Ö Ò ÈÙÒ Ø P Ö Ñ ÔÙÒ Ø Ò ÖÐ Ò Ò Ö ¹ Ø Ú Ö Ò Øº Ë ÒÙÒ ABC Ó Þ ÖÐ Ø Û Ò Ö ÙÖº ÒÒ ÐØ Ö Ï Ò Ð α ÙÒ β P α + β = 180 ÒÒ Ö ÒÒ Ò Ò Ø α ÙÒ β < 90 Òº Ï ÒÒ Ö Ò Ö Ö Ò Ï Ò Ð 90 Ø ÒÒ ÒÒ Ò Ö Ò ÖÐ ÙÒ Ö ABP ÙÒ APC Ò Ø Ô ØÞÛ Ò Ð Ò ÛÓÑ Ø ÙÔØÙÒ Û Ò Øº ÎÓÒ Ã Ò ÖÒ Ã ØÞ Ò ÙÒ Ò Ò ÁÒ Ò Ñ Ù ØÞ Ò Ò Ã Ò Öº Â Ã Ò Ø ¹ Ò ÊÙ Ò Ò Ò Û Ð Ò Ã ØÞ Ò ØÞ Òº  à ØÞ Ø Ò ÂÙÒ º Ï Ú Ð Ò Ò Ò Ñ Ù Ã Ú Ò Ë Ñ ØØ ÃÐ Ð Ø ¹Ä Ò Ö¹ ÝÑÒ ÙÑ ÐÞ Ýµ Ä ÙÒ ÁÒ Ñ Ù Ò Ò Ã Ò ÖÒ Ð Ó Ö Ò ½ Ò ÔÖÓ Ã Ò ÊÙ Ð Ó ÊÙ ÔÖÓ ÊÙ Ã ØÞ Ò Ð Ó Ã ØÞ Ò Ñ Ø ½ ¾ à ØÞ Ò Ò Òº à ØÞ Ò Ò ¾ ¼½ ÂÙÒ Ñ Ø ¼ Ò Òº ½

18 Ö Ø ÞÙ ÑÑ Ò ½ Ã Ò Ö Ò ½ ¾ ÖÓ Ã ØÞ Ò Ò ¼ Ð Ò Ã ØÞ Ò Ò ½¼ ¼ Ò º Ò À Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÐÒ Ø Ú Ö Ò Ò Ò Ø Ò ÛÓÐÐØ Ò ËØ Ñ¹ Ñ ÖÞÓ Ò Ì Ø Ö Ð Aµ ÙÒ ÖÙÒ Ð Bµ Ú Ö Ö Ø Òº ÐÓ Û C µ ÓÐÐØ Ò Ö Ò Å Ò ÞÙÖ Ö Ù ÓÑÑ Òº ÎÓÒ Ñ Ò Ö Ñ Û Ö Ö Ú ÖÐ Ò Ø Ö À ÖÞÓ Ö Ö Ö Ù Ò Ò Ò Ö Ùع ÔÖ Ò Ø Ò Ñ ÒÞ Ð Ó Ö ÒÙÒ Ð Ó Ö ÖÙÒ Ð ÞÙÖ Ö Ù Ò ÛÓÐÐ º Ð Ö Ï ÛÙÖ Ò Ñ Ð Ö ÙØÔÖ Ñ Ø È Ö Ò Þ Ðغ Ö Ö Þ ØÖ Dµ Ö ¼ È Ö Ñ Ø Ø Ò ÓØ ¾ È Ö Ö Ð Ö Ö Ò Å Ò ÙÒ ¾¼ È Ö Ö ÖÙÒ Ð º Ï Ð ÒÙÒ ÓÛÓ Ð ÐÓ Û Ð Ù ØÖ Ð Ò ÛÓÐÐØ Ò Ð Ö À ÖÞÓ Ù ÐÓ Û Ò Ò ÓØ Ö Ð Ò Ñ º ÒÒ Û Ö Ö Ò ÒØ ÙÒ Ó ØÖ Ò Ñ Ö Ø Ñ Ð ÒÞ Ð ÚÓÒ È Ö Ò Ò Ö Ò Ò Û Ö º ÐÓ Û Ö ÙÒ Ø Ö Ð Ò Ð Ú ÖÐ Ø Û Ö ÙÒ Ð ÒÙÖ ÞÙÖ Ö Ù Ò ÛÓÐÐØ Ò Ò ÒÐÓ Ò Ö ØÖ ÞÙ Ò ÒÒ Ö Ò Ø ÒÑ Ð 1 3 Ö ÒÞ Ð Ò È Ö Ò ÚÓÒ ØÖ º Ó Ð Ð Ö À ÖÞÓ ÐÓ Û Ò ÌÓ Ø Ö Ð ÞÙÖ Ö Ùº Ï Ú Ð È Ö ÐÓ Û ÙÒ Û Ð Ò ÓØ ØØ Ö Ñ À ÖÞÓ Ñ Ø Àº ºµ Ä ÙÒ C Ø Ò È Ö Ö Ò ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð Ò ÓÐÐØ º Ò a ÙÒ b Ò ÓØ Ö Ö A ÙÒ B Ñ Ø º ÒÒ Ø 1 a 9 1 b 9º ¾ Ⱥ Ï ÒÒ C ÙÒ A Ö Ø Ò Ö ÐØ Ö À ÖÞÓ 20 + a ¾¼ Ⱥ È Ö Û ÒÒ D ÙÒ A Ö Ø Ò Ö ÐØ Ö À ÖÞÓ 26 + b È Ö º C ÌÓ Ø Ö A Ö ÐØ ÑÙ ÐØ Ò µ 20 + a > 26 + b 27º Ö Ø a > 7 Ø C Ñ Ò Ø Ò Ø ÙÒ Ø Ò Ò ÙÒ È Ö º C ÙÒ Ò Ø A ÞÙÖ Ö Ù ÓÑÑ Ò ÛÓÐÐØ Ø Ö Ö B Ö ÒÙÖ Ò È Ö b = 1µ ÓØ Ò ÙÒ Ö A Ò ÑØ Ò Ø Ó Ö Ò ÙÒ È Ö a = 8 Ó Ö a = 9µº ÁÒ Ö Ì Ø Ø > ÙÒ Ö Ø Ö Ø > º ½

19 ÐÓ Û Ø Ð Ó Ø Ó Ö Ò ÙÒ È Ö ÙÒ ÚÓÒ Ò Ó Ö Ø Ö Ð¹ ÙÒ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò ÓØ Òº ÍÖÐ Ù ÔÓ Ø µ Ï Ú Ð ÈÓ Ø ÖØ Ò Û Ö Ò Ö Ò ËÓÑÑ Ö Ö Ò Ø Ò ÚÓÖ Ö Ì Öº ÒÒ Ò Ø Ò ÒÒ Ò Ú Ö ÔÖ Ò Ö Ö ÙÒ ÒÒ Ò ÂÙÐ Ã Ö Ø Ò ÙÒ Ä Ò Ò Ò Ö Ò ¹ Ò Ò Ö Ò Û Ð Ò ÈÓ Ø ÖØ Ù Ñ ÍÖÐ Ù Ö Øº µ Ð Å Ð Ò ÚÓÒ Ö Î Ö Ò ÖÙÒ Ñ Ø ÓÑÑØ Ñ Ø ÖÒ Ñ ØÑ ¹ Òº Ï Ú Ð ÈÓ Ø ÖØ Ò Ò ÒÒ µ Ú Ö Ö ÙÒ ÒÒ Ò ÖÐ Ò Ù Ò ÛÖ Û ÒÒ ÒÞ ÃÐ Ñ ØÑ Ò Û Ö º ÁÒ Ö ÃÐ Ò ¾ Ë Ð Öº Ï Ú Ð Ã ÖØ Ò Û Ö Ò ÒÒ Ö Ò µ Ï Ú Ð ÛÖ Ò ÐÐ Ñ Ò n Ø Ð Ø Ò È Ö ÓÒ Ò µ ÍÒØ Ö Ò ¾ Ë Ð ÖÒ Ö ÃÐ Ò Ù Ø Ò ÙÒ Ë Ø Ò Û ÐÐ Ò Ö Ö Ò º Ò ÓÑÑ Ò Û Ð Ò Ò Ã ÖØ ÚÓÒ Ò ÃÐ Ò Ñ Ö Ò Ú Ö Ò Ð Ø Ö Û Ð ÒÙÖ Ò Ñ Ò Ñº µ ÃÐ Ò Ø Ö Ù Ù Ä Ö Ö Ò Ö Ù Ë Û ÖÞ ÚÓÒ ¹ Ñ Ò Ã ÖØ ÓÑÑ Ò ÓÐк Ï Ú Ð Ã ÖØ Ò Û Ö Ò ÒÙÒ Ò ÑØ ¹ Ö Ò Ó Ò Ö Ø ÙÒ ÞÛ Ë Ð Ö Û ÐÐ Ò Ö Ö Ò µ Å µ Ä ÙÒ µ Â Ö Ö ÙÒ ÒÒ Ò Ö Ø Û Ð ¾ à ÖØ Ò Ò ÑØ Û Ö Ò Ð Ó 3 2 = 6 à ÖØ Ò Ö Òº µ Å Ø Å Ð Ò Ò 4 3 = 12 à ÖØ Òººº µ ººº ÙÒ Ò Ö ÒÞ Ò ÃÐ = 756º µ Â Ö n È Ö ÓÒ Ò Ú Ö Ø n 1 à ÖØ Òº ÁÒ ÑØ Ò Ð Ó n (n 1) = n 2 n à ÖØ Òº µ ¾ Ö Ë Ð Ö Ö Ò Û Ð ¾ à ÖØ Ò ÞÛ Ë Ð Ö ÞÙ ÑÑ Ò ¾ à ֹ Ø Òº ÁÒ ÑØ Ò Ð Ó = 728 à ÖØ Òº µ ¾ Ë Ð Ö Ö Ò ÙÒØ Ö Ò Ò Ö = 756 ÓÛ Ò ÑØ ¾ Ò Ä Ö Ö Òº Ù ÑÑ Ò Ò Ã ÖØ Òº ÖÒ Ö Ò Ø ÑÑÙÒ µ Ò Ð Ò Ø È Ö (n, m) Ñ Ø 1 < n < m Ö ÖØ Ð ØÞØ Ò Ò ÖÒ ÚÓÒ 2009 n ÙÒ 2009 m Ö Ò Ø ÑÑ Ò ½

20 µ Ø È Ö (n, m) Ñ Ø 1 < n < m Ó Ð ØÞØ Ò ¾¼¼ ÖÒ ÚÓÒ 2009 n ÙÒ 2009 m Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ï µ Ä ÙÒ µ Ð ØÞØ Ò Ò ÖÒ ÚÓÒ 2009 k Ò Ð ØÞØ Ò Ò ÖÒ ÚÓÒ 9 k ÙÒ Ð Ò Ð Ø Ø ÑÑ Ò ¼ ½ ¾ ½ ½ ¾½ ¼½ ¼ ½ ººº (n, m) = (2, 12µ Ø Ð Ó Ù Ø È Öº µ Ö Ð ØÞØ Ò ¾¼¼ ÖÒ Ø Ú Ö Ò Å Ð Ø Òº ÍÒØ Ö Ñ Ö Ð Ú Ö Ò Ò Ð Ò Ö ÓÖÑ 2009 k ÑÙ Ð Ó Ñ Ò Ø Ò ÞÛ Ð Ò 2009 n ÙÒ 2009 m Ò Ö Ò Ð ØÞØ ¾¼¼ ÖÒ Ö Ò Ø ÑÑ Òº Ò Ð Ð Ò ÒÓ Ð T W O + T H R E E + S E V E N T W E L V E Ö ØÞ Ù Ø Ò ÙÖ ÖÒ ÙÒ ÞÛ Ö Ó Ú Ö Ò Ò Ù Ø Ò Ù Ú Ö Ò ÖÒ ÒØ ÔÖ Ò ÛÓ¹ Ò Ö Ø Ò Ù Ø Ò ÚÓÒ Ð Ò Ò Ø Ö 0 ÞÙ ÓÖ Ò Ø Û Ö Ó Ò ÓÖÖ Ø Ø ÓÒ ÒØ Ø Øº ÙÒ Ò ÚÓÒ Àº ºµ Ä ÙÒ Ï Ö Þ Ò Ò ÖØÖ Ö Ø ÓÒ ÚÓÒ Ö Ð Ò < 10 Þ ¹ ÙÒ Û ÚÓÒ ÞÛ Ú Ö Ò Ò Ð Ò < 10 ÒØ Ø Ò Ñ Ø U Þ ÙÒ ¹ Û Ñ Ø uº ÐØ U 2 ÙÒ u 1 Û Ð ËÙÑÑ Ö Ö Ð Ò < 10 Ø Ò 27 ÙÒ ÚÓÒ ÞÛ Ú Ö Ò Ò Ð Ò < 10 Ø Ò 17 غ ½º Ø TW = T + S + u º Ï Ò T 0 ÑÙ T = 1 Òº = T = 1 Ë ÒÙÒ u = 0 ÒÒ Ñ µº ÒÒ Ø H + E + U = E Ó H = 0 غ Ï Ò 1W = 10 + W = 1 + S + u = 1 + S 10 ÐØ Ö Ù W = 0 Ï Ö ÔÖÙ º Ð Ó Ø u = 1 ÙÒ Ù T+S+u = 1+S+1 = 10+W ÓÐ Ø S = 8+W 9º Ï Ò W T = 1 Ð Ø ÒÙÖ W = 0 ÙÒ ÓÐ Ð S = 8º = W = 0 S = 8 ¾º Æ ½º Ò Ø ÚÓÒ Ö º ËÔ ÐØ Ö ÖØÖ u = 1 Ò ÞÛ Ø ËÔ ÐØ Ø Øغ Ö Ø H + E + U = 10 + E Ó H + U = 10 غ Ï Ò U 2 Ø H = 9 ÒÒ H = 8 Ø Ò Ø Ñ Ð º = H = 9 º ÁÒ Ö Ð ØÞØ Ò ËÔ ÐØ ÒÒ Ò Ø O +E +N = E ÐØ Ò Û Ð O +N 0 غ Ð Ó ÐØ O + E + N = 10 + E Ó O + N = 10 Ñ Ø O {3, 4, 6, 7} ÒÒ Ö O = 2 Ø N = 8 Ï Ö ÔÖÙ Ö O = 5 Ø N = 5 Ï Ö ÔÖÙ º ¾¼

21 ½º ÐÐ O = 3, N = 7º ÒÒ ÐØ E {2, 4, 5, 6} ÙÒ W + E + E + U = 2E + 1 Û Ð U = 1 Û Ò O + E + N = 16. ÐØ Ð Ó ½µ 2E + 1 = V Ó Ö = 10 + V º Ö E = 4 Ø V = 9 : Ï Ö ÔÖÙ Ö E = 5 Ø V = 1 : Ï Ö ÔÖÙ Ö E = 6 Ø V = 3 : Ï Ö ÔÖÙ º Â Ó Ø E = 2 ÙÒ V = 5 Ñ Ð º ÒÒ Ö Ø Û Ò 2E + 1 < 10 ¾µ T + R + V + U = 1 + R + V = L Ó Ö = 10 + Lº E = 2, V = 5 Ø R, L {4, 6} ÙÒ Ù ¾µ ÓÐ Ø Ö R = 4 Ø L = 0 Ï Ö ÔÖÙ Ö R = 6 Ø L = 2 Ï Ö ÔÖÙ º Ù O = 3 Ö Ò Ð Ó ÒÙÖ Ï Ö ÔÖ º ¾º ÐÐ O = 4 N = 6 ÙÒ Ñ Ø E {2, 3, 5, 7}º Ù ½µ ÓÐ Ø Ö E = 5 Ø V = 1 Ï Ö ÔÖÙ Ò Ò È Ö E = 2 V = 5 ÙÒ E = 3, V = 7 ÙÒ E = 7 V = 5 ÞÙÒ Ø ÒÓ Ñ Ð º µ Ö E = 3 V = 7 Ø R, L {2, 5} ÙÒ Ò ¾µ Ø ÒÒ 1 + R + 7 = L Ò Ø Ñ Ð Ö 1 + R + 7 = 10 + L = L = 0 Ö R = 2 Ï Ö ÔÖÙ Ö R = 5 Ø L = 3 Ï Ö ÔÖÙ º µ Ö E = 7 V = 5 Ø R, L {2, 3} ÙÒ Ö L = 2 Ó Ö 3 Ø ¾µ 1 + R + 5 = L Ò Ø Ñ Ð º µ Ö E = 2 V = 5 ÐØ R, L {3, 7}. Ù ¾µ ÓÐ Ø ÒÒ Ö R = 3 Ø 1+R+5 = L = L = 9 Ï Ö ÔÖÙ Ö R = 7 Ø 1+R+5 = 10+L = L = 3º = E = 2, V = 5 R = 7, L = 3º Ñ Ø Ò Û Ö Ñ Ù Ø Ò Ò Ò Ð ÒÛ ÖØ ÞÙ ÓÖ Ò Ø ÙÒ Ó Ò Ä ÙÒ Ö Ù ÙÒ Òº ÙÖ Î ÖØ Ù Ò Ö Ï ÖØ ÚÓÒ O ÙÒ N Ð Ó Ö Ò º ÐÐ O = 6 N = 4 Ö ÐØ Ò Û Ö Ò ÞÛ Ø Ä ÙÒ º O = 4, N = ½ ¼ ¾ ¾ O = 6, N = ½ ¼ ¾ ¾ º ÐÐ O = 7 N = 3º Ò ÐÐ Ö ÐØ Ò Û Ö ÙÖ Î ÖØ Ù Ò ÚÓÒ O ÙÒ N Ñ ½º Ðк Î ÖØ Ù ÙÒ Ò Ò Ò Ù Ù Ø ÓÒ Ø ÐØ Û Ñ ½º ÐÐ Å Ø O = 7 Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ä ÙÒ º ¾½

22 Æ Ù Å Ø Ô Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ò Ë ¹ Ø Ï ÒÒ Ñ Ò ÒÞ Ð Ö Ë Ð ÙØ Ù Ñ Ë Å ÖÙ Ñ Ø Ò ÒÞÞ Ð Öµ ÄÒ ÙÒ Ñ Ø Ñ ÐØ Ö Ã Ô ØÒ Ò Â Ö Òµ ÑÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ ÒÒ Ö¹ ÐØ Ñ Ò º Ï ÐØ Ø Ö Ã Ô ØÒ Àº ºµ ÇÒ Ð Ö Ö Ð Ø Ò Ð Ø Ñ ½º ÅÖÞ ÙÖØ Ø º Ð Ò Ñ Ø Ö ÇÒ Ð Ö Ö ÓÐ Ò Ò ÓØ Ï Ð Ö Ò Ð n ÙÒ Ù Ñ Ñ ÔÖ Ð Ò n Ì Òº Á Ø ÐÐ ÒÒ n Ã Ø Ò Ù Ñ Ø ½¼¹ ÒعŠÒÞ Òº Ñ Ö Ø Ò Ù Ö Ø Ù Ö Ò Å ÒÞ Ù Ò Ñ Ö Ã Ø Ò Ò Ñ Ò Ñ ÞÛ Ø Ò Ì Ò Å ÒÞ Ù ÞÛ Ú Ö Ò Ò Ã Ø Ò Ñ Ö ØØ Ò Ò Ù Ö Ã Ø Ò ÙÒ Ó Û Ø Ö Ñ Ð ØÞØ Ò Ù n Å ÒÞ Ò Ù n Ú Ö Ò Ò Ã Ø Òº Ï ÒÒ Ù Ò Ñ Ð ØÞØ Ò Ù Ù ¹ Ñ Ã Ø Ò Ð Ú Ð Å ÒÞ Ò ÒØÒÓÑÑ Ò Ø Ö Ø Ù Å ÒÞ Ò ÐØ Ò ÓÒ Ø ÑÙ Ø Ù ÞÙÖ Òº Ø Ó Ò ØÐ Ð Ï Ð ÚÓÒ n = 2 Å ÒÞ Ò Ò Ø Û Ö ÐØ Ò ÒÒ Ò ÛÓ Ð Ö n = 3º µ ËØ ÐÐ Ø Ó n = 4 n = 5 n = 6 Ó Ö n = 7 Ò Ø Ï Ð Ò Ò º µ à ÒÒ Ø Ù Ö Ò Ï ÖØ ÚÓÒ n Ò Ò Ó Ð Ð ÖÖ Ò ÒÒ Å ÒÞ Ò ÞÙ ÐØ Ò Ï ÑÙ Ò Ò ÐÐ ÚÓÖ Ò µ Ï Ð Ò ØÖ ÒÒ Ð Ø Ò ÖÖ Ò Ï µ ¾¾

23 ÈÖ ÑÔ Ã Ð Ò ÖÚ ÖÐ Ö ÂÙÐ Ù Ö ÓÖ Ù ÑÔ Ø ÍÒ Ö Ä Ö ÒØ Ø ÈÖ Ö Ò Ù Ò Ã Ð Ò Ö ¾¼½½ ÙÑ ½¼ ± Ò Ö Ñ ÎÓÖ Ö Ö Ø Ú Ö ¹ Ò Ò Û Ö Ò Ò Ù ØÖ Ò Û Ö Ò ÒÙÖ ½¼ ± Ö Ê Ø Ò ÓÒ Ò Ù ÔÖ º Ù ÖÙÒ ÈÖ ÑÔ Ù Ñ Ì ÖÑ Ò Ð Ò ÖÑ Ö Ø Ò¹ Ò Ò Û Ö ÈÖ Ù Ò Ø Ò Òº ÒÒ Ú Ö ¹ Ò Ò Û Ö Ò Ù ÙÒ Ø Ö Ò Ø Ñ Ö ËØ ÑÑØ Å µ ËÙÑÑ ÒÛ ØÙÑ ÍÐÖ Ø Ò Ò Ñ Ñ Ø Ñ Ø ØÓÖ Ò Ù Ò ÓØ ÚÓÒ Öй Ö Ö Ù Ð Ò Û Ö Ð Ë Ð Ö Ö Ò ÐÐ ÐÐ Ð Ò ÚÓÒ ÖØ Ò ÓÐк Ù ÒÙØÞØ ÓÖÑ Ð n = n(n+1) 2 =: Σ n º Ð ÒØ Ö ÖØ Å Ø Ñ Ø Ö Ò Ö Ò Ø ÍÐÖ Ò ËÙÑÑ Ò Ö Ø ËÙÑÑ Ò Ð ÓÐ Ò Ò Ò Ö Ù ÙÒ ÒÒØ Ñ Ø ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò µ Ï Ð Ð Ò Ò Ö Ø Ò Ö ÓÐ Ï Ð Ð Ø Ø Ò Ö ÞÛ Ð Ø Ò ËØ ÐÐ µ ÃÓÑÑØ Ö Ä Ð Ò Þ Ð 85 Ò Ö ÓÐ ÐÐ Ö ËÙÑÑ Ò (Σ n ) ÚÓÖ ÍÒ Ð 120 µ Ï Ú Ð Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ð 100 µ ÍÒ Û Ø Ó Ð Ö Û Ö ÓÖÑ Ð n = n(n+1) 2 µ ÍÐÖ Ú ÖÖØ ÓÖÑ Ð Ù Ö Ñ Æ Ð Ð Öº Ä Ö Ñ Ö Ø Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ö Ø Ñ Ø Ò Ò Ê ÒÞ Ò Ð Ö ÙÒ Ö ¹ Ò Ø ÖÖØ ÑÐ n(n 1) 2 º Ï Ò ÖØ ÙÖ ÓÐ Ö ËÙÑÑ Ò Å µ ÂÓ ÒÒ ÖÐ Ö Ö Ù ¼º¼ º½ Ò Ö ÙÒ Û ¾ º¼¾º½ Ò ØØ Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ö ØÖÓÒÓÑ Ó Ø ÙÒ È Ý Öº Å Ö Ö Ò Ö ÖØ Á Ö Ñ ÖØ Ð ÚÓÒ Ú º ÊÓÛ Ð Ö Ò º º Ù Ö ÒÒ ÖÒ ÅÓÒÓ ½ ÅÖÞ ¾¼¼ µ Ë Ø ¼º ËÓÐÐØ Ø Ù Ò ÙØ Ø Ò ÓØ Ò Ø ÒÒ Ò ÒÒ Ò ÓÖÑ Ö Ò ÖÒ Ó Ö Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ð Ö Ö ¾

24 Æ Ù Å Ø Ô Ð Ö Ò Ö Ò Ö Ò Ë Ð Ö» ÒÒ Ò Ö ÃÐ Ò Ò Å ÔÖÓ Ð Ñ Å Ò Ö Ø Ù Ò Ö ÅÙØØ Ö Ò Ù Ð Ï Ö ÞÙ Ö Ò Òº Ö Ö ÒÒØ Ò Ò ÖØ Ò ÙÒ Ò Ø Ö Ã Ò Ø Ö Ò Ò Ñ Ø Ð Ò Ò Ñ Ø Ð ÙÒ Ò Ò Ñ Ø Ð ÙÒ Ú ÖÑ Òº Ö Ð¹Ã Ò Ø Ö Ø ÚÓÐк ÐÐ Û Ö ØÙÒ ÒÒ Ø Ï Ö ÙÑÞÙ ØØ Òº Ï ÑÙ Ö ÚÓÖ Ò ÙÑ Ò Ö ÅÙØØ Ö ÔØ Ö Ò Ù Ð Ï Ö ÞÙ Ö Ò Ò Ö Û Ò ÅÙØØ Ö Ö Ô Ò Ð Ø Ø Ø Ö Ô ÒÐ Ò Ù Ö Ù Ò Ï Ö ÞÙ Ú Ö ØØ Òº Ð Ü Ò Ö Ë Ò Ö ÃÐ ÝÑÒ ÙÑ Ñ Ð Ö ¹ ÖÓ Ö¹Ë ÙÐÞ ÒØÖÙÑ Ö Þ ÖÒµ ËÙÑÑ ¾¼¼ ËÙÑÑ ÚÓÒ n Ù Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò n > º Ï Ð Ð Ò n Ò Ñ Ð Ï Ø Û Ð Ð Ò Ø Ö ÞÙ Ò Ñ n Ö Ò Ù Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ò Ð Ò Àº ºµ Ï Ò Ð¹Î Ö Ð Ö Ò g ÙÒ h Ò ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÞÙ¹ Ò Ò Öº A Ò ÈÙÒ Ø Ù h Ö Ò Ø Ù g Рغ B ÙÒ C Ò ÈÙÒ Ø Ù g Ò Ø Ò h ÒØ ÐØ Ò Ò ÙÒ Ù Ö Ð Ò Ë Ø ÚÓÒ h Ð Òº Ï ÒÒ C Û Ø Ö ÚÓÒ h ÒØ ÖÒØ Ø Ð B ÒÒ ÐØ Ö Ï Ò Ð β ÙÒ δ Ú Ðº ¹ Ð ÙÒ µ β < δº Ù Ø ÒÒ Ø Ù Ù Ö Ò Ò A h α g β B γ δ C Àº ºµ Ö Ø Ë Ø ¾¾ Ò Ø Á Ö Å Ø Ô Ð Ö Ò ¾

25 Æ Ù Ù Ò ÃÐ Ò ½ Ù Ä ÙØ Ö ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò ÙÒ Ò Ð Ð Ò ÓÐ ººº Ð Ø Ò Ñ ÅÙ Ø Ö ÒÒ ÐØ Ö Ð a Ö Ð Ò ÓÐ 4a + 1 Ø Ò ÉÙ Ö ØÞ Ðº ËØ ÑÑØ Àº ºµ Ù Ò Ê ÔÖÓ Ð Ñ Ð Å Ø Ñ Ø Ö Ö ÍÒ ÃÓÒ Ø ÒÞ ÙÒ ÞÛ Ð Å Ø Ñ Ø Ö Ö ÍÒ Å ÒÞ ÛÓÐÐ Ò ÞÙ ¹ Ò Ö ÃÓÒ Ö ÒÞ ØÖ Òº ÏÓ ÓÐÐ Ò ØÖ ¹ Ò ÙÑ Ò Ê Ù Û Ò Ö Ò Ñ Ø Ñ ÙØÓµ Ñ Ð Ø Ò Ö ÞÙ ÐØ Ò ÁÒ Å ÒÞ ÁÒ ÃÓÒ Ø ÒÞ Ç Ö Ò Ò Ñ ÇÖØ Ò Ö ¹ Ö Ø Ò Ê ØÖ ÚÓÒ ÃÓÒ Ø ÒÞ Ò Å ÒÞ Àº ºµ Ù À ÐÐ Ý Ö ÃÓÑ Ø ÁÑÑ Ö Û Ö Ð Ò ÃÓÑ Ø Ò Å Ò Ò Ò ÖÓ Þ Ò Ø ÓÒ Ù º Ò ÃÓÑ Ø Ö ÐÐ Â Ö ÚÓÒ Ö Ö Ù Ó Ø Ø Û Ö Ò ÒÒ Ø Ö À ÐÐ Ý ÃÓÑ Øº ÑÓÒ À ÐÐ Ý Û ½ ¼ Ò Ö ÃÓÑ Ø ÚÓÒ ½ ¾ Ñ Ø Ò ÃÓÑ Ø Ò Ù Ò Â Ö Ò ½ ¼ ÙÒ ½ ½ ÒØ Ò ÑÙ º Ð ØÞØ Ò Ö Ö ÒÙÒ Ò Ò Ñ Ò ÒÒØ Ò À ÐÐ Ý Ò ÃÓÑ Ø Ò Ò Ò Ø Ò Ù Ò Ö ÙØ Ò Ö Ñ Ö ÚÓÒ ½ µ Ð Ò Ò Â Ö ½ ½ ½¼ ÙÒ ½ º Ò Ø Å Ð Û Ö Ö Ñ Â Ö ¾¼ ½ ÚÓÒ Ö Ö Ù ÞÙ Ò Òº ÙÖ 7 Ø Ð Ö Øº À ÒÛ Î Ö Ù Ò Ø Ð Ò ÙÒ Ù ÞÙÖ Ò Ò Ö ÖÓ Û Ö Òº ËØ ØØ Ò ÒÒ Ö Ö Ð Ò µ Ë ØÞ ÚÓÒ ÖÑ Ø Ð Òº Ë Ë Ø µ ÙÒ Ò ÙÒ Ö Ö Ø Ø Å µ ÑÓÒ À ÐÐ Ý ¾ º½¼º½ Ò Ñ Ñ Ð Ò Ò Ð Ò ÒÓ ÐØ Ò ÙÐ Ò ¹ Ò Ã Ð Ò Ö Ò Ö ÓÖ Ò Ñ Ã Ð Ò Ö ¼ º½½º½ µ Ò À Ö ØÓÒ ÄÓÒ ÓÒ ½ º¼½º½ ½ Ö º ¾ º¼½º½ ¾µ Ò Ö ÒÛ ØÖÓÒÓÑ Å Ø Ñ Ø Ö Ã ÖØÓ Ö Ô ÓÔ Ý Ö ÙÒ Å Ø ÓÖÓÐÓ º ¾

26 Ù ¼ Ö ÒÙÒ Ò ÓÐ Ò Ð Ò a 1 = 1 ÙÒ a 2 = 2009º ÒÒ Ò a 3, a 4, a 5... Ó Ò ÖØ a 3 = a 2 + a 1, a 4 = a 3 + a 2 a 5 = a 4 a 3 a 6 = a 5 + a 4, a 7 = a 6 + a 5 a 8 = a 7 a 6... Ù Û... Ï ÖÓ Ø a 2009 Àº ºµ Ù ½ Ò ÝÐ Ò Ö Ù Ö Ò Ù Ò Ö Ò Ò Ø Ø Ò Ö Ñ Ø Ï Ö ÐÐØ Ö ÝÐ Ò Ö Ó Ï ¹ Ö Ò Ê Ò Ò Ò Ö Ë Ø Ö ÖØ ÙÒ Ò Ö Ò Ù Ò Ö Ð Ò Ò Ë Ø Ñ ÉÙ Ö¹ Ò ØØ ÙÖ Ò ÝÐ Ò ÖÑ ØØ ÐÔÙÒ Ø Ð ÙÒ µ Ï Ö 1,5 cm ÙÒØ Ö Ñ Ê Ò Ð Øº Ï Ó Ø Ö ÝÐ Ò Ö Û ÒÒ Ò ÎÓÐÙÑ Ò V = 170ml ÙÒ Ö Ø Ò Ö Ò ÖÛ ÒØ Ò Ö Ö¹ Ë Ò ØعµÔÙÒ Ø Ö Ï ÖÓ Ö Ñ Ø Ñ ÝÐ Ò Ö ½¼ Ñ ØÖ Ø Ï Ò Ö Ó Ò Û Ï Ð ÓÖÑ Ø Ï ÖÓ Ö Ò Ð ³ Ñ ÓÑ ÃÐ ½½ ÙØ Ë ÙÐ Ö ÓÖÖÓÑ Ö ÒÒ Ò Ã ÖÓµ Ù ¾ ÈÖ ÑÞ Ð¹ÍÒØ Ö Ù ÙÒ Ò µ ÙÒ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ò º µ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ø µ Ò ÈÖ ÑÞ Ð Øº µ Ø Ò n Ö (n + 1) n+1 + n n Ò ÈÖ ÑÞ Ð Ø Ï µ Ù Ã ØØ Ò ÖÙ ÁÑ Ô Ð ÖØ Ð Ã ØØ Ò Ö Ø Ã ØØ Ò ÖÙ ¹ ÒØÛ ÐÙÒ Ö 1 2 (1 + 5) Ò Òº µ Ø ÑÑ Æ ÖÙÒ Û ÖØ z 0, z 1,..., z 5 µ Ï ÐÐØ Ö Ù µ à ÒÒ Ø Ù Î ÖÑÙØÙÒ Ù µ Ù Û Ò Ï µ ¾

27 Ð Ø Ù Ò Ù ÃÐ Ò ½ Ù Æ Ñ Ð Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð ÖÐ Û ÖÙÑ Ò Ò Ø ÖÐ Ð n Ø Ö n(n +2) Ò ÉÙ Ö Ø¹ Þ Ð Øº Àº ºµ Ä ÙÒ Ø n(n + 2) = n 2 + 2nº Ö Ù ÓÐ Ø ÍÒ Ð ÙÒ n 2 < n 2 + 2n < n 2 + 2n + 1º Ï Ð ÒÙÒ n 2 +2n+1 = (n+1) 2 Ø ÐØ n(n+2) Ð Ø ÞÛ Ò Ò ÙÒÑ ØØ Ð Ö Ù Ò Ò Ö ÓÐ Ò Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Ò n 2 ÙÒ (n + 1) 2 ÙÒ ÒÒ Ö Ð Ø Ò ÉÙ Ö ØÞ Ð Òº Ä ÙÒ Ú Ö ÒØ Ò Ê Ø Ñ Ø Ò Ë Ø ÒÐÒ Ò n ÙÒ n+2 Ò 1 1¹ÉÙ Ö Ø Ò Ø Ðغ ÒÒ Ø n(n + 2) ÓÐ Ö ÉÙ Ö Ø Ñ Ê Ø Ö ÒÙÖ n 2 ÓÐ Ö ÉÙ Ö Ø Ñ n n¹éù Ö Øº Ö Ù Ö ÒÒØ Ñ Ò n 2 < n(n + 2)º Ï Ö Ò Ò ÙÒ ÒÙÒ Ê Ø Ú ÖÛ Ò ÐØ Ò Ò Ò Ø Ò Ë º Å Ò Ø Ë ÒØ ÐØ n(n+2) Ö 1 1¹ÉÙ Ö Ø ÙÒ Ñ Ø Ò 1 1¹ ÉÙ Ö Ø Û Ò Ö Ð (n+1) (n+1)¹éù Ö Ø ÞÙ Ñ Ë Ð Ø Ö ÒÞØ Û Ö Ò ÒÒº Å Ø Ò Ø n(n + 2) < (n + 1) 2 º Ù n 2 < n(n + 2) < (n + 1) 2 ÓÐ Ø ÒÒ ÙÔØÙÒ º Ù Ö Ì Ð Ö 2009 Ò a 1 b 1 ÒÞ Ð Ò Ñ Ø a + b = 2009º Ø Ð ÒÔ Ö a, b Ö ÐØ ¾¼¼ Ø Ò Ì Ð Ö ÚÓÒ a b Ï ÒÒ Ï Ð Ò È Ö Àº ºµ Ä ÙÒ Ø b = 2009 a Ó ab = 2009a a 2 º ÒÒ Ñ ¾¼¼ Ø ÐØ ab Ò Ò 2009 abº ÒÒ ÐØ 2009 a 2 Û Ò a 2 = 2009a abº ÆÙÒ Ø 2009 = º Ù (7 2 41) a 2 ÓÐ Ø 7 a 2 ÙÒ 41 a 2 Ð Ó Ù 7 a ÙÒ 41 a Ñ Ø Ò ÐØ (7 41) a Ó Ö a = n 287 Ñ Ø n = 1, 2, 3,..., 6 Û Ò a < 2009º Ñ Ø Ò ÓÐ Ò È Ö Ñ Ð Ä ÙÒ Ò (287, 1722), (574, 1435), (861, 1148)º Ï Ø Ö Ö Ò Ø Û ÒØÐ Ä ÙÒ Ò Ö ÐØ Ñ Ò ÙÖ Î ÖØ Ù Ò ÚÓÒ a ÙÒ bº ÈÖÓ Þ Ø Ö ¹ Ò Ø Ò Ð ÒÔ Ö Ø Ø Ð Ä ÙÒ Ò Ò º n = 7 Û Ö Ø a = 2009 = b = 0º Ø Ö b 1 ÚÓÖ Ù ØÞغ ¾

28 Ù ØÞÙÒ Ò Ö Î Ö ÁÑ Î Ö ABCD Ò Ò Ö Ð Ò Þ ÒÙÒ a b c d ÄÒ Ò Ö Ú Ö Ë Ø Ò ÙÒ F Î Ö º ÒÒ ÐØ F 1 4 (a + c)(b + d)º Àº ºµ Ä ÙÒ ÙÒ Ø Ø 1 4 (a + c)(b + d) = 1 4 (ad + bc) + 1 (ab + cd)º 4 ØÞÙÒ ÚÓÒ 1 (ad+bc) Ï Ö Þ ÖÐ Ò Î Ö 4 c ÙÖ ËØÖ BD Ò ÞÛ Ö º Ö ÐØ ABD = 1 2 ah ad ÙÒ BCD = 1 2 bh D h bcº ÓÐ Ð Ø 1 4 ad bc = 1 2 (1 2 ad bc) d h ( ABD + BCD ) = 1 2 F º A a B b C A d D a c h 4 b B C h 3 ØÞÙÒ ÚÓÒ 1 (ab + cd) ÓÒ Ð AC Þ Ö¹ 4 Ð Ø Î Ö Ò Ö ABC ÙÒ ACD Ö Ñ Ò Û Ó Ò Þ Ø ABC 1 2 ab ÙÒ ACD 1 cdº ÓÐ Ð Ø ab cd 1 2 ( ABC + ACD ) = 1 2 F º Ù Ò Ò ØÞÙÒ Ò Ö Ø ÙÔØÙÒ º Ù ¼ Û Ì ÐÑ Ò Ò Ò Ö Å Ò Ò Å Ò Å Ø Ù ½ Ú Ö Ò Ò Ò Ø ÖÐ Ò Ð Ò 2009º Ö Ò Ù Å ÒÒ Ñ Ò Ø Ø ÞÛ Ú Ö Ò Ì ÐÑ Ò Ò Ó Ù Û Ð Ò Ö ËÙÑÑ Ò Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ø ÑÑ Òº À ÒÛ Ò Å Ò Ù n Ð Ñ ÒØ Ò Ø 2 n Ú Ö Ò Ì ÐÑ Ò Ò Ð Ö Å Ò ÙÒ ÒÞ Å Ò Ñ Ø Þ Ðغ Ò Ù Û ÐØ Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ ÒØ Ò Ö Ë Ò ØØ ÑÙ Ð Ó Ò Ø Ð Ö Òº Àº ºµ Ä ÙÒ Ö ËÙÑÑ S ÐÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ù Å ÐØ S = Å Ò Å Ø 2 15 Ì ÐÑ Ò Òº Ö Ð Û ÐØ Ì ÐÑ Ò ÐØ ËÙÑÑ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ø 0 ÙÒ ËÙÑÑ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ö Ò Å Ò Ø 0µº ÍÒØ Ö Ò 2 15 = Ì ÐÑ Ò Ò Ø Ö Ø Ò Å Ò Ò Ñ Ø Ú Ö Ò Ò Ð Ñ ÒØ ÙÑÑ Òº ¾

29 ÍÒØ Ö Ò Ö Ò 2737 Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ Å ÒÒ Ñ Ò Ö Ø Ø Ò Ó Ù ¹ Û Ð Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÙÑÑ Ñ Ø Ö ÚÓÒ Ò Ö Ö ¼¼ ½ Å Ò Ò Ö¹ Ò Ø ÑÑغ Ù ½ Ñ Ð Ò Ø Ø Ø Æ Ò Ö ÒÒØÑ ÙÒ ËØ Ø Ø Ò ÙÒ ÑØ ËØ Ò ÅÖÞ ¾¼¼ µ Ð Ò ÚÓÒ Ò Ã Ò ÖÒ ÙÒØ Ö ½ Â Ö Ò Ò ÙØ Ð Ò ¾ ± Ó Ò Û Ø Ö ± Ñ Ø Ò Ñ Û Ø Ö Ò ½ ± Ñ Ø ÞÛ Û Ø ÖÒ ÙÒ ± Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Û Ø ÖÒº Ò ÔÓØ Ò Ö ÐØÐ Ø Ö Ø Ý ÙÒ Ñ Ð ÚÓÒ Å ¾¼¼ Ð Ø Ö Ù È Ö Ö Ò ÞÛ Ø Ó Ö Ö ØØ Ã Ò ÒØ Ò Ò Ò ÙØ Ò Ö ÖÞ Ðº Ö Ä ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ò Ù Ñ Ò Û Ö Ò Ò ÖÓ Ò Ð Ö Û ÒÒ Û Ö ÒÒ Ñ Ò ± Ö Ã Ò Ö Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ö Û Ø ÖÒ Ò Ù Ö Û Ø Ö Òº µ Ï ÖÓ Ò ÙÒØ Ö ÐÐ Ò Ñ Ð Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ñ Ã Ò µ ÒØ Ð Ö Ñ Ð Ò Ñ Ø ½ ¾ Þ ÙÒ Û Ã Ò ÖÒ µ Ï ÐØ Ø Ù ÚÓÒ Ö Ë ÐÙ ÓÐ ÖÙÒ Ù Ý ÙÒ Ñ Ð Ï µ Ä ÙÒ µ Ø Ò ÑØ K Ã Ò Ö Ó Ø ÑÑ Ò 0,25K ÚÓÒ Ù Ò Ó Ú Ð Òµ Ò Ò Ñ Ð Ò 0,47K Ù 0,47K 2 Û Ò Ñ Ð Ò 0,19K Ù 0,19K 3 Ö ¹ Ò Ñ Ð Ò ÙÒ 0,09K Ù 0,09K 4 Ñ Ð Ò Ñ Ø Ú Ö Ã Ò ÖÒº Ð Ö Ñ Ð Ñ Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ñ Ã Ò Ø Ð Ó 0,25K + 0,47K 2 + 0,19K 3 + 0,09K (0,25 + 0, , ,0225)K = 0,57083K º Ö Ø ÒØ Ð a 1 = 0,25K 0,438 = 43,8 %, 0,57083K a 2 = 0,235K 0,412 = 41,2 %, 0,57083K a 3 = 0,063K 0,111 = 11,1 %, 0,57083K a 4 = 0,0225K 0,039 = 3,9 %. 0,57083K 4 = µ Ø Ø Ø Ð Ñ Ö Ñ Ð Ò Ñ Ø Ñ Ö Ð Ò Ñ Ã Ò Ð ÓÐ Ñ Ø Ò Ñ ÒÞ Ð Ò ÐÐ Ö Ò Ò Ò Ø Ó Ò ÙØ Ò Ö ÖÞ Ð Û Ý ÙÒ Ñ Ð ÙÔØ Øº Ù Ö Ñ Ø Ò Ò Ù Ù Ù Ð Ò Ø Ñ Ð Ú Ð Ö Ö Ø Ø Ò Ñ Ð Ò ÙÒ Ö ÒÓ Ã Ò ÖÐÓ Ò ÒÓ Ò Ø ÚÓÐÐ ØÒ Ò Ø Ú ÒØÙ ÐÐ ÔØ Ö ÒÓ ÞÙ ØÞÐ µ Ã Ò Ö Ò Û Ö Òº ¾

30 Ù ¾ Î Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ë ØÞ ÈÝØ ÓÖ ÁÒ Ò Ñ Ö Ñ Ø Ï Ò Ð γ = 90 ÐØ c 2 = a 2 + b 2 º Ø Ò Ò Ï Ò Ð Γ Ö ÖØ Ñ Ö Ñ Ø γ = Γ ÐØ c 3 = a 3 + b 3 Ï µ Ä ÙÒ Ï Ö Ò Ñ Ò Ò Ò Ò ÓÐ Ò Ï Ò Ðº ÒÒ ÒÒØ Ò Û Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ù Ñ Ö 1 Ñ Ø a = 1 b = 1 ÙÒ c = 3 2 ÓÛ Ñ Ö 2 Ñ Ø a = 2 b = 1 ÙÒ c = 3 9º Ö Ó ÒÙ ØÞ Ð ÖØ ÒÒ Ö 1 cosγ = a2 + b 2 c 2 2ab Ö 2 cosγ = a2 + b 2 c 2 2ab = = ,2063, 0,1683. Ò Ï ÖØ Ò Ö Ú Ö Ò ÓÐ Ð ÒÒ Ò Ò ÓÐ Ò Ï Ò Ð Ò Ø Òº Ù Ã ÖÐ ÃÖ Ù Ã Ã ÖÐ ÃÖ Ù Û ÐÐ Ò Ö ÒÞÙ ÖØ ½ Ñ Ó Ñ Ø Ã Ð Òº Ù ÖØ Ø Ñ Ö Ø ÙÒ ½ Ñ Ð Ò º À ÖÖ ÃÖ Ù ÑÙ Ò Ã Ò Û Ø Ù Òº Ð Ø ÐÐØ Ö Ø Û Û Ö Ö Ã Ø Ò Ñ Ö Ú Ö Ã Ð Ù Ï Ð Øº Û Ò ¼ º Ò ÐÐØ Ö Ò Ò Å Ö Ñ Ø 1 2l Ï Ö ÙÒ Ð Ø ÒÒ ËØ Ò Ò Òº Ñ Ø Ø Ø ÒÞ Å Ö Ù 940mlº Ö Ö Ò Ø ÒÒ 0, = 18,7 ÙÒ Ø ÐÐØ ½ ÌÓÒÒ Ò Ã º Ö Ä ÖÙÒ Ø ÙÒØ Öº À Ø À ÖÖ ÃÖ Ù Ú Ð ÞÙ Ú Ð Ó Ö Ú Ð ÞÙ Û Ò Ã ÓÑÑ Ò ÙÒ Û ÖÙÑ Ï µ Ä ÙÒ Ö Ø Ú Ð ÞÙ Ú Ð Ã Ø ÐÐØ ÙÒ ÓÑÑ Òº Ë Ò Ê ÒÙÒ Ò Ù ÚÓÒ 0, = 8,4 ÃÙ Ñ Ø Ö ËØ Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ö Ø Ø Ö ÃÙ Ñ Ø Ö Ã Ò Ð Ð Ö Û ÒÖÙÑ ÞÛ Ò Ò ËØ Ò Ò Ò ÛÓÐÐØ º Ò ÓÖÖ Ø ÎÓÖ Ò ÛÖ ÞÙÑ Ô Ð Ö ÐÐØ Ò ¼ Û Ö Ë Ø Ð Ñ Ø Ò Å Ò 13,5 13,5 18 Ò Ñµ Ñ Ø Ã ÙÒ Û Ø º Å Ø Ñ Û Ø ÚÓÒ ÒÒ ¼¼ Ö Ò Ø Ö ÒÒ Ò Ù 0, ( ) 13,5 13,5 18 ½¾ ÌÓÒÒ Ò Ã ØØ Ò Ð Ó Ö Øº 12,1 ÛÓ 1 g cm 3 = 1 t ÒÙØÞØ Û Ö º m3 ¼

31 Jahr der Astronomie Teil I: Leben und Werk Keplers von Mar el Gruner Das vergangene Jahr 2008 wurde vom Bundesbildungsministerium zum Jahr der Mathematik ausgerufen. Do h mittlerweile s hreiben wir 2009 und dieses zehnte Wissens haftsjahr ist unter das Motto Fors hungsexpedition Deuts hland gestellt worden. Zuglei h aber ist das Jahr 2009 von der Vollversammlung der Vereinten Nationen o ziell zum Internationalen Astronomiejahr erklärt worden. Au h in Deuts hland gibt es deshalb zahlrei he Veranstaltungen. Dadur h soll den Mens hen die Gelegenheit geben werden, einen tieferen Einbli k in die Astronomie zu gewinnen und si h über die neuesten astronomis hen Entde kungen zu informieren. Das Jahr steht unter dem Motto: Das Weltall: Du lebst darin entde ke es! Aber warum wurde 2009 unter dieses astronomis he Motto gestellt? Das hat zwei historis he Gründe, die si h vor genau 400 Jahren, also im Jahr 1609, ereigneten. Damals hatte nämli h Galileo Galilei 1 erstmals ein Teleskop für astronomis he Beoba htungen gen Himmel geri htet. Die Er ndung des Teleskops hatte Hans Lipperhey 2 im Oktober des Vorjahres erfolglos versu ht, in Den Haag bei der holländis hen Regierung zum Patent anzumelden. Galileo Galilei hörte davon und verwendete für seine Untersu hungen das holländis he Perspektivglas. Mit groÿem Erfolg, denn er ma hte erstaunli he Entde kungen: Er fand zahlrei he, für das bloÿe Auge unsi htbare, neue Sterne, konnte die Kraterstrukur des Mondes untersu hen und entde kte vier Monde des Jupiters. Obwohl diese Entde kungen und das Leben des Galilei au h sehr interessant sind, wenden wir uns nun dem zweiten ents heidenden Ereignis des Jahres 1609 zu. Denn im selben Jahr verö entli hte Johannes Kepler sein Werk Astronomia Nova, in dem er die grundlegenden Gesetze der Planetenbewegung aufstellte. Zur Person Keplers 1 Galileo Galilei, * in Pisa, in Ar etri bei Florenz; Mathematiker, Physiker und Astronom. Entde kte die Sonnen e ken und vertrat das heliozentris he Weltbild wurde er von der Inquisition der katholis hen Kir he verurteilt, unter 2 Hausarrest gestellt und erst 1992 formal rehabilitiert. Hans Lipperhey, oft nden si h au h die S hreibweisen Jan Lipperhey oder Hans Lippershey, * um 1570 in Wesel, September 1619 in Middelburg; hauptberu i 31 h Brillenma her. MONOID 99

32 Ö Ö ÂÓ ÒÒ Ã ÔÐ Ö Ð Ø Ò ÖØ ÁÓ ÒÒ Ã ÔÐ ÖÙ µ ÛÙÖ Ñ ¾ º Þ Ñ¹ Ö ½ ½ Ò Ï Ð Ö ËØ Ø ØÛ ¼ Ñ Û ØÐ ÚÓÒ ËØÙØØ Öص ÓÖ Òº ÔÖÓØ Ø ÒØ Ñ Ð Ã ÔÐ Ö Ð Ø Ò ¹ Ò Ò Î Ö ÐØÒ Òº Ö Ð Ò ÂÓ ÒÒ Û Ö Û ÙÒ Ò ÐÐ Ö ÃÖ Ò Ø Òº Å Ø Ú Ö Â Ö Ò Ö Ö Ò Ø Ö Ò ÈÓ Ò Ö ÞÛ Ö ÖÐ Ø Ö Ð ÓÐ Ð Ò Ù Ò¹ Ò ÞÙÖ Ö Ò Ë Ú ÖÑ Ò Ò¹ ØÖ Ø Ø º ËÓ Ö Ò Ò Ñ ÐÐ Ò ØÒ¹ Ñ Ø Ñ Ö Ö Ò ÍÑÖ Òº à ÔÐ Ö Ñ Ø Ñ ¹ Ø ÙÒ ÛÙÖ Ö Ö ÒÒØ ÙÒ Ò ÅÙØØ Ö Û Ø Ò ÁÒØ Ö Ö ØÖÓÒÓÑ ØÛ Ò Ñ Ñ Ò ÃÓÑ Ø Ò ÚÓÒ ½ ÙÒ ÅÓÒ Ò Ø ÖÒ ÚÓÒ ½ ¼ Þ Ø º ½ ØÙ ÖØ Ã ÔÐ Ö Ì ÓÐÓ Ò Ì Ò Ò Ò Ò Ö Ù Ñ Å Ø Ñ Ø Ö ÙÒ ØÖÓÒÓÑ Ò Å Ð Å ØÐ Ò Ö Ò Ñ Ø Ñ ÓÔ ÖÒ Ò ¹ Ò Ï ÐØ Ð Ò Ñ Ö ÙÑ ËÓÒÒ Ö Ø Ú ÖØÖ ÙØ Ñ Ø º ÁÑ Â Ö ½ ÛÙÖ Ã ÔÐ Ö Ä Ö Ö Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ö Â Ù Ø Ò ÙÐ Ò Ö Þº ½ Ö Ö Ò ÅÝ Ø Ö ÙÑ Ó ÑÓ Ö Ô ÙÑ Ò Ñ Ö Ò Ó ¹ ÑÓÐÓ Ì ÓÖ ÚÓÖ Ø ÐÐØ º Ö Ò ÒØÛ ÐØ Ö Ò Ò ÞÙ ÞÛ Ò Ò Ò Ò Ö Ñ Ð ÒÒØ Ò Ò ÈÐ Ò Ø Ò Å Ö ÙÖ Î ÒÙ Å Ö ÂÙÔ Ø Ö ÙÒ Ë ØÙÖÒ ÙÒ Ö Ç Ö Ò Ö Ò ÔÐ ØÓÒ Ò Ã ÖÔ Öº ÁÒ Ò Ñ ÅÓ ÐÐ Ò ÈÐ Ò Ø Ò Ò Ò ÖÓ Ö Ù ÃÙ ÐÒ Ö Ò Ê Ò ÙÖ Ø ÑÑØ Ò Ò Ò ÔÐ ØÓÒ Ã ÖÔ Ö ÙÑ Ö Ò Ò ÙÒ Ò Û ÖÙÑ ÃÙ ÐÒ Û Ð Ò Ø Ò ÈÐ Ò Ø Òº Å Ø Ö ÔØ Ö Ò ÒØ ÙÒ Ò Ö Ø Ò ØÞ Û Ö ÅÓ ÐÐ Ã ÔÐ Ö Ö ÓÐØ ÙÒ ÔØ Ø Ò Ò Ö ÒØ ÙÒ ÒØ ÖÒØ Ö Ö ÈÐ Ò Ø Òº à ÔÐ Ö Ò Ø Ò Ö Ð Ö Ù Ò Ò Ö ØÞÙÒ Ò ØÛ Ù Ö ¹ Ö Ò ÃÖ Ð Ø ÑÙ Ø Ö ÑÑ Ö Û Ö ÙÑÞ Òº ËÓ Ú ÖÐ Ö Ò ÒÙÖ Â Ö Ò Ö Þ Û Ö ÙÒ Ò Ò ÈÖ ÛÓ Ö Ø ÒØ ÚÓÒ ÌÝ Ó Ö ÛÙÖ º Ò Ù ÑÑ Ò Ö Ø Ò Ø Ò Û Öº Ö Û Ö Ò Ü¹ Þ ÐÐ ÒØ Ö Ó Ø Ö Û Ö Ò Ã ÔÐ Ö Û Ò Ò Ö Ð Ø Ø Ð Ø Ò Ó ØÙÒ Ò ÙÖ Ö Ò ÓÒÒØ º Ö Û Ö Ã ÔÐ Ö Ö Ö Å Ø Ñ ¹ Ø Öº Ù ÑÑ Ò Ö Ø Ð Ø Ø Ù Ö Ñ ÓÔ ÖÒ Ò Ò Å Ð Å ØÐ Ò Ù Å ØÐ Ò ¼º¼ º½ ¼ Ò ÔÔ Ò Ò ¾¼º½¼º½ ½ Ò Ì Ò Ò ÙØ Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÙÒ ØÖÓÒÓѺ Æ ÓÐ Ù ÓÔ ÖÒ Ù Ñ ÙØ Ò Ø Ñ ÔØ Ò ½ º Â Ö ÙÒ ÖØ Ó Ø Æ ÓÐ Ù ÃÓ¹ Ô ÖÒ Ù Ö Ò ½ º¼¾º½ Ò Ì ÓÖÒ ¾ º¼ º½ Ò Ö Ù Ò ÙÖ ØÖÓÒÓÑ ÂÙÖ Ø ÙÒ ÖÞغ ÓÖÑÙÐ ÖØ Ð ÓÞ ÒØÖ Ï ÐØ Ð Ò Ñ Ö ÙÒ ÈÐ Ò Ø Ò ËÓÒÒ ÙÑ Ö Òº Ò Ö Ô Ò ÙÙÒ ÅÓ ÐÐ ÒÒØ Á Ö Ù Ù Ñ Ì Ø Ð Ð Ò Òº ÌÝ Ó Ö ½ º½¾º½ Ù Ë ÐÓ ÃÒÙØ ØÓÖÔ Ë ÓÒ Ò ¾ º½¼º½ ¼½ Ò ÈÖ ¹ Ò Ö ØÖÓÒÓѺ ¾

33 Ï ÐØ Ð Ñ Ã ÔÐ Ö Ò Ò ÒÙÖ Ø ÐÛ ÞÙ Ø ÑÑØ º Æ Ñ Ö ½ ¼½ Ø Ö ÛÙÖ Ã Ô¹ Ð Ö Ò Æ ÓÐ Ö Ð Ã ÖÐ Ö ÀÓ ¹ Ñ Ø Ñ Ø Öº ÆÙÒ ÓÒÒØ Ã ÔÐ Ö ÙÑ Ò Ö Ò Ó ØÙÒ Ø Ò Ö ÒÙØÞ Ò ÙÑ Ò Ò Ò Ì ÓÖ Ò ÞÙ Ú Ö¹ ÖÒº ËÓ ÒØÛ ÐØ Ö Ö Ø ØÖÓ¹ ÒÓÑ ËÝ Ø Ñ Ò ÃÖ Ò Ò ÒÙØÞØ º ËØ ØØ Ò ÒØ Ø Ö ÈÐ Ò Ø Ò Ù ÐÐ Ô Ò Ò Ò ¹ Û Òº Ë Ò Ö Ò Ú Ö ÒØÐ Ø Ã ÔÐ Ö ½ ¼ Ñ Ù ØÖÓÒÓÑ ÒÓÚ ÑÓÖ¹ Ø Ù Ø ÐÐ Å ÖØ Ò Û Ð Ñ Ö Ù Ö Ø Ò Ò Ò Ñ Ò ÒÒØ Ò ØÞ ÚÓÖ Ø ÐÐØ º Ö Ø Ñ Â Ö ½ ¼ Ó Ø Ø Ã ÔÐ Ö Ò ËÙÔ ÖÒÓÚ º Ó ØÙÒ Ö ÒØ Ø ÙÒ Ò Ò Ù Ò ËØ ÖÒ Û Ö ÔÖ Ö Ñ Ð Ò Å ÒÙÒ Ü Ø ÖÒ Û Ð Û ÙÒÚ ÖÒ ÖÐ º Ï Ò Ö Ú ÖÑ ÖØ Ò Ö Ð Ò ËÔ ÒÒÙÒ Ò Ò ÈÖ Ú ÖÐ Ã ÔÐ Ö ½ ½¾ Ò Ñ ÌÓ Ã Ö ËØ Ø ÙÒ ÞÓ Ò Ä ÒÞº ÓÖØ Ö Ø Ø Ö Ò Ò Ñ Ö Ø ÚÓÑ ÙÖØ Ö Ö Ø Ò Ñ Ö Ò Ð Ò ËØ ÖÒ ÚÓÒ Ø Ð Ñ Ð ÃÓÒ Ù Ø ÓÒ Ö ÈÐ Ò Ø Ò ÂÙÔ Ø Ö ÙÒ Ë ØÙÖÒ ÒØ Þ ÖØ ÙÒ Ù Ò Ò Ö ¹ Ö Ò ØÔÙÒ Ø Ø ÖØ º Ó Ù Ø Ò Ä ÒÞ Û Ö Ò Ø Ð Ð º à ÔÐ Ö Ö ÐØ Ò ÐØ ÒÙÖ ÙÒÞÙÚ ÖÐ ÙÒ ÑÙ Ø Ñ ÚÓÐÐ ÒØÖ Òº Ù Ö¹ Ñ ÛÙÖ Ò Ò Ð ÓØ Ð Ò ÑØ ÙÒ ÔÖÓØ Ø ÒØ Ò Ã Ò Ö ÞÙÖ Ì ÐÒ Ñ Ò Ö Ø ÓÐ Ò Å ÞÛÙÒ Òº ÒÒÓ Ð Ã ÔÐ Ö ½ Â Ö Ö Ò ÍÐÑ Ó º ÓÖØ Ò Ö Ï ÐÐ Ò Ø Ò Ð Ò Ù Ò Ö Ö Öº Ö Â Ö ½ ½ Ö Ò Ø Ã ÔÐ Ö Ö ØÑ Ð Ò Ö Ø ÓÖÖ Ø Ò Ò Î ÒÙ ØÖ Ò Ø ÙÖ ËÓÒÒ Ò ÚÓÖ Ù º Ò ÓÒÒØ Ö Ö Ð Ø Ò Ø Ñ Ö Ó Ø Ò Æ Ñ ÚÓÒ Ï ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ò ÈÓ Ø Ò Ð Ò Ö Ð ÑÙ Ú ÖÐÓÖ ÙÒ Ò Ò Ø Ñ Ö Þ Ð Ò ÓÒÒØ Ö Ø Ã ÔÐ Ö Ö Ä ÔÞ ÙÒ Æ ÖÒ¹ Ö Ò Ê Ò ÙÖ º Æ ÒÙÖ ÙÖÞ Ö Ø Ø Ö Ö ÓÖØ Ñ ½ º ÆÓÚ Ñ Ö ½ ¼ Ñ Ø Â Ö Ò Ò Ö ÙÒ Ù ÖÔÙ Ø ÐÒº Ö Ò Ò Ú ÖÑÙØÐ Û Ð Ö Ì ÔØ Ö Ø ØØ Ñ Ì ÚÓÖ Ò Ö ÅÓÒ Ò Ø ÖÒ º à ÔÐ Ö Ö Ò Û Ò Ö Ï ÖÖ Ò Ö Ö Ò ÃÖ ÙÒØ Ö ÒÒØ Ø Ö Ò Û ÚÓÖ Ò Ð ØÚ Ö Ø Ö Ò Ö Ø Å Ò Ù Ö Ñ Ó ÐÓ ÒÙÒ Ø ÖÖ Ñ Ø ÓÖ ÙÑ Ö º Å Ò Ó Ð Ø Ö Ø ÓÖÔÓÖ ÙÑ Ö Øº Рغ Ò Ù ØÖÓÒÓÑ Ö Û ÙÒ ËØ ÖÒ Å Ö ÙÖÞ ÒÙÖ ØÖÓÒÓÑ ÒÓÚ Ò ÒÒØ Ð Ö Ø ÚÓÒ Ï ÐÐ Ò Ø Ò ÒØÐ Ð Ö Ø Ï ÒÞ Ð Ù Ù ÚÓÒ Ï Ð Ø Ò ¾ º¼ º½ Ò À ÖÑ Ò ØÞ Ò Ö Ð Ñ Ò ¾ º¼¾º½ Ò Ö Ç Ö Ð Ö Ö ÖÐ Ò ËØÖ Ø Ö Ø Ñ Ö Ö Ò ÃÖ ÑÔ Ø Ò ÔÖÓØ Ø ÒØ Ò Å Ø ÙØ Ð Ò ÓÛ Ò Ò Ñ Ö ÙÒ Ë Û Ò Ð ÔØ Ö Ò ÍÒ Ò ÙÒ ÛÙÖ ÖÑÓÖ Øº À ÑÑ Ð Ñ Ò ØÞØ Ñ Ë ØØ Ò Ö Ö º À ÑÑ ÐÛÖØ ØÖ Ø Ö Ø Ã ÖÔ Ö Ë ØØ Ò ÖÙ Ø Öº

34 à ÔÐ Ö Û Ö Æ ØÙÖÔ ÐÓ ÓÔ Ú Ò Ð Ö Ì ÓÐÓ Å Ø Ñ Ø Ö ØÖÓÐÓ ÇÔØ Ö ØÖÓÒÓÑ ÙÒ Ò Ø ÖÐ Å Ø Ñ Ø Öº ½ ½½ Ú Ö ÒØÐ Ø Ã ÔÐ Ö Ò Ò Ù ØÞ ÞÙÖ ËÝÑÑ ØÖ ÚÓÒ Ë Ò Ó Ò Ö Ø ÒÒØ Ï Ö ÞÙ Ñ Ì Ñ º Ö Ñ Ö Ø Ë Ò Ó Ò ÝÑÑ ØÖ ÙÒØ Ö Ò Ö Ö ÙÒ ÙÑ Û Ð 60 Ò Þ Ð ËÝÑÑ ØÖ µ ÞÙ Ð Ö Ù Û Ð Ò ÒÞ ÖØ Ù Ò Òº Ï Ø Ö Ú ÖÑÙØ Ø Ö Ö Ø Ö Ü ÓÒ Ð Ø ÐØ ÚÓÒ Ö ÃÐØ Ú ÖÙÖ Ø Û Ö º Ö Ø ÖØ Ã ÔÐ Ö Û Ø Ö ÞÙÖ Ö Ò Ö Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø ÚÓÒ ÃÖ Ò¹ ÓÖ ÒÙÒ Ò ÙÒ ÃÙ ÐÔ ÙÒ Òº Ö Ú ÖÑÙØ Ø Ø Ø ÖØ ÃÙ ÐÒ ÞÙ Ø Ô ÐÒ ÞÙ Ò Ö ÈÝÖ Ñ ÞÙ Ø Ô ÐÒ ÙÒ Ù Ä ÞÙ Ð Òº Î ÖÑÙØÙÒ Û Ö Ö Â Ö ÙÒ ÖØ Ò Ó Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ö ½ ÚÓÒ Ì Ó¹ Ñ À Ð ½¼ ÚÓÖ Ð Ø Û Ø ÒÓ Ò Ø Ò ÐØ ÖÔÖ Øº Ù Ö Ñ Ð Ø Ã ÔÐ Ö Ñ Ø Ò Ö Ö Ð ÞÙÖ ÎÓÐÙÑ Ò Ö ÒÙÒ ÖÙÒ Ð Ò Ö Ö Ø Ò ÚÓÒ ÓÒ Ú ÒØÙÖ Ú Ð Ö ½½ ÙÒ Ú Ò Ð Ø ÌÓÖÖ ÐÐ ½¾ Û Ð Û ÖÙÑ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÑÓ ÖÒ Ò ÐÝ Ò º Ö ÒØÛ ÐØ ÇÔØ Ð Ï Ò Ø Û Ø Ö Ò Ñ Ö Ñ Ø Ä Ø Ö ¹ ÙÒ Ø Ø Ï Ö ÙÒ Ö Ö ÐÐ Ò Ð Ö Ö ÐÖØ ÙÒ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÑÓ ÖÒ Ò ÇÔØ Ð Ø Ð Ö Ò Î Ø Ö Ö Ó Ø Þ Ò Ø Û Ö º Ì Ð ÓÔ ÒØÛ ÐØ Ö Û Ø Ö Ó Ö Ñ Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò Ò Ø ÒÓ ¹ Ò Ð Ð Ó Ð Ð Û Ò ÓÒÒØ º Ù Ö Ò ÂÓ ÒÒ Ã ÔÐ Ö Ò Ò ÅÓÒ Ö Ø Ö ÙÒ Ö Ø ÖÓ ½½ ¹ Ò ÒÒØ ÛÓÖ Ò È ÙÐ À Ò Ñ Ø ½ ÓÑÔÓÒ ÖØ ½ ÇÔ Ö À ÖÑÓÒ Ö Ï ÐØ Ò ÀÓÑÑ Ò Ã ÔÐ Ö Ö Ò Ì Ø Ð Ö Ø Ò Ò Ô ÐÙÒ Ù À ÖÑÓÒ ÅÙÒ Øº Ï Ñ Ø Ò Ã ÔÐ Ö Ò ØÞ Ò Ù Ø ÙÒ Û Ù Ò Ö ÖØ Á Ö Ñ Ò Ø Ò ÅÇÆÇÁ ¹À Ø ½¼¼º ½¼ Ì ÓÑ ÐÐ Ø Ö À Ð ¼ º¼ º½ Ò Ë Ò ÒØÓÒ Ó ÍË Å Ø Ñ Ø Ö ÓÒ Ö Ò Ò Ø Ò Ð Ö ÙÒ ÓÑ ØÖ º ÈÖÓ ÓÖ Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØØ È ØØ ÙÖ º ½½ ÓÒ Ú ÒØÙÖ Ö Ò Ó Ú Ð Ö ½ Û Ö ÒÐ Ò Å Ð Ò ¼ º½¾º Ó Ö ¼º½½º½ Ò ÓÐÓ Ò Å Ø Ñ Ø Ö ÙÒ ØÖÓÒÓѺ Ú Ð Ö ÈÖ ÒÞ Ô Ø ÞÛ Ã ÖÔ Ö Ò Ò ÐÐ Ò Ò Ë Ò ØØ Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÖ ÖÙÒ Ò ÙÒ Ò Ð Ò ØÒ Ò Ù ÖØ Û Ö Ò Ð Ò Ð ÎÓÐÙÑ Ò Òº ½¾ Ú Ò Ð Ø ÌÓÖÖ ÐÐ ½ º½¼º½ ¼ Ò ÒÞ ¾ º½¼º½ Ò ÐÓÖ ÒÞ È Ý Ö ÙÒ Å Ø Ñ Ø Öº ½ È ÙÐ À Ò Ñ Ø ½ º½½º½ Ò À Ò Ù ¾ º½¾º½ Ò Ö Ò ÙÖØ Ñ Å Ò Ö Ø Ø ÙÒ ÃÓÑÔÓÒ Ø Ö ÅÓ ÖÒ Æ Ù ÅÙ µº

35 à ØØ Ò Ö ÚÓÒ ÏÓÐ Ò Âº Ð Ö Ù Ð Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÁÒ Ù Ð Ø Ñ Ù Û Ö ÓÐ Ò Å Ø Ó Ö Ò Ò Ö Ø Ò ¹ Ñ Ò Ñ Ò Ì Ð Ö Ìµ ÞÛ Ö Ò Ø ÖÐ Ö Ð Ò m ÙÒ n ÞÙ Ò Ò Ë ØÞ m 0 = m n 0 = n ÙÒ Ø Ð Ñ Ø Ê Ø Ø m 0 = a 0 + r 0 a 0 0, n 0 n 0 0 r < n 0 a 0, r 0 ÒÞ Ð Òº Á Ø r 0 = 0 Ó Ò Û Ö ÖØ º ËÓÒ Ø Ø m 0 = a n n 0 ÙÒ Û Ö Û Ö ÓÐ Ò 0 r 0 Î Ö Ö Ò Ñ Ø m 1 = n 0, n 1 = r 0 Ð Ó n 0 = m 1 = a 1 + r 1 º Á Ø r 1 = 0 Ó Ò r 0 n 1 n 1 n 0 = m 1 = n 1 a 1 ÙÒ m 0 = a 0 n 0 + r 0 = a 0 n 1 a 1 + n 1 Ø Ð Ö ÙÖ n 1 º Á Ø r 1 > 0, Ó Ø m 0 1 = a 0 + n 0 a ÙÒ Û Ö Û Ö ÓÐ Ò Î Ö Ö Ò Ñ Ø n 1 r 1 m 2 = n 1 ÙÒ n 2 = r 1 º ËÓ Ñ Ò Û Ö Û Ø Ö ÞÙ Ò Ñ r k Ñ Ø r k = 0º ÁÒ Ñ ÐÐ Ø n k Ö Ù Ø Ì ÙÒ x = m 0 n 0 Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ð x = a 0 + a a a k Ò Ò ÓÐ Ò Ù ÖÙ Ò ÒÒØ Ñ Ò Ã ØØ Ò ÖÙ ÙÒ Ö Ø Ö Ù Ò¹ Ö x = [a 0 ; a 1, a 2,..., a k ]º Â Ö Ø ÓÒ Ð Ð Ð Ø Ð Ã ØØ Ò ÖÙ Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ ÙÑ ÖØ Ø ÐÐØ Ö ÓÐ Ã ØØ Ò ÖÙ [a 0 ; a 1, a 2,..., a k ] Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ð Öº Æ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ð Ò Ö ÖÖ Ø ÓÒ Ð x > 0 Ñ Ø Ö Ò Û Ö Ó Î Ö Ö Òº Ï Ö Ö Ò x = x 0 = a 0 + y 0 Ñ Ø ÒÞÞ Ð Ñ a 0 ÙÒ 0 y 0 < 1 ÙÒ Ö Ò Ö x 0 = a x 1 Ñ Ø x 1 = 1 y 0. x 1 = a Ø x 0 = a 0 + x 2 a ÙÒ Ó Û Ø Ö x 2

36 x 0 = a 0 + a a º a k + 1 x k+1 Ö Ã ØØ Ò ÖÙ ÒÒ Ò Ø Ö Ò ÓÒ Ø x Ö Ø ÓÒ Ð ÛÖ º Ï Ö Ò ÓÑ Ø Ö k Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ò Æ ÖÙÒ Û ÖØ 1 z k = [a 0 ; a 1, a 2,..., a k ] = a a 1 + a º a k a k Ö Û Ö z k Ò ÙØ ÒÒ ÖÙÒ Ð Ø Ø lim z k = x k Ø ÖØ Ö Ò Ê Ñ Ò Ù ØÞ Ò Ù º Ì Ø ÖÐ Ù Ø ÙÒ x = [a 0 ; a 1, a 2,...] ÞÙ Ö Ò ÙÒ Ã ØØ Ò ÖÙ Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ x ÞÙ Ò ÒÒ Òº È Ö Ó Ã ØØ Ò Ö Ï Ö ÖÒ Ò ÙÒ ÞÙÒ Øµ Ù 0 < x < 1, Ø a 0 = 0 ÙÒ x = [0; a 1, a 2,..., a m, a 1, a 2,...] = [0;a 1, a 2,..., a m, (x)] Þ ÙÒ Û x = a a a m + x º Ö Ù ÖÙ Ù Ö Ö Ø Ò Ë Ø Ð Ø ÙÑ ÓÖÑ Ò ÞÙ Ax + B Ñ Ø ÒÞ¹ Cx + D Þ Ð Ò A, B, C, D. ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Û Ö Ð ÙÒ x = Ax + B Ñ Ø Cx + D Cx + D Ó Ö Ø Ò ÕÙ Ö Ø Ð ÙÒ Ö xº ØÞØ Û Ö Û Ò Ò Øµ Ò ÔÓ Ø Ú Ä ÙÒ º Ô Ð ½ 1 x = [0; 1, 2, (x)] = = 2 + x Ö Ø x(3 + x) (2 + x) = 0, Ø 3 + x 2 + x x 2 + 2x 2 = 0 ÙÒ ÓÑ Ø x = = 3 1º

37 Ô Ð ¾ Ï Ò = = = 2+( 2 1) Ò Û Ö 2 = = 1 + =... = [1; 2, 2,...]º Ô Ð x 1 = 1 x Ö Ø x = x = = =... = [1; 1, 1,...]º x x Ø Ð Ó Ã ØØ Ò ÖÙ Ö Ø ÐÐÙÒ Ö ÔÓ Ø Ú Ä ÙÒ ÚÓÒ x 1 = 1 x Ð Ó ÚÓÒ x 2 x 1 = 0 Ø x = 1 2 (1+ 5)º Ð ØÖ ØØ Ð Î Ö ÐØÒ Ñ ÓÐ Ò Ò Ë Ò ØØ ÙÒ Ö ÓÒ ¹ ÓÐ Ù º Á Ø Ò Ã ØØ Ò ÖÙ ÒÙÒ Ð Ð Ô Ö Ó Ø x = [a 0 ; a 1, a 2,..., a j, (y)] ÛÓ y Ô Ö Ó Ø Ó Ø x Ò ÖÓ Ò Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ yº x = Ay + B ÙÒ y Û Ö Ä ÙÒ Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ð ÙÒ º Cy + D Ù Ö ÒÒ Ò Û Ö Ð Ó x Ù Ò Ö Ã ØØ Ò ÖÙ Ö Ø ÐÐÙÒ ÜÔÐ Þ Ø Ø Ñ¹ Ñ Òº ÌÖ Ò Þ Ò ÒØ Ð Ò Ð Ò x R Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÓÖÑ c n x n +c n 1 x n c 1 x +c 0 = 0 Ò Ò Ò Ð Ö Ð Òº À ÖÞÙ Ö Ò Ò ÓÒ Ö Ñ ÚÓ¹ Ö Ò Ò ØØ Ò ÐØ Ò Ð Ò Ñ Ø Ô Ö Ó Ò Ã ØØ Ò Ö Òº Ö Ø ÙÒ¹ Ð ÖÛ Ø Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ð Ò Ã ØØ Ò ÖÙ Ö Ø ÐÐÙÒ ÜÔÐ Þ Ø ÒÒغ Æ Ø Ð Ö Ð Ò Ò ØÖ Ò Þ Ò Òغ Ö Ò Ö Ð Ò Ø Ò Ã ØØ Ò ÖÙ ¹ ÒØÛ ÐÙÒ ÜÔÐ Þ Ø Ñ Ð º ËÓ Ø e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,..., 1, 2n, 1, 1,...] e = [1; 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1,...]. Ò Ö Ö Ø Ð Ø Ù Ò Ñ Ò Ò Ø Ö Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ π Ò Ð¹ ÙÒ ÔÖ Þ Ô Ö ÒÒ Òº π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3,...]

38 Ø Ì Ø Ð Ð Ö ÖÓ Ö Å Ö¹ Ø Ò Å ØØÐ Ö ÒÓ ÚÓÖ Ò Ñ ÌÓ Ñ Ë Ô¹ Ø Ñ Ö ¾¼¼ ÒÐ Ð ¾ ¹ Ö Ò ÂÙ¹ ÐÙÑ Ö ÚÓÒ Ñ Ö Ò Ø Ò Ø Ö Ø ÅÇÆÇÁ ÞÙ ÑÑ Ò Ø ÐÐØ Øº ÖÓ Ö ÒØ ÐØ Ò ÐÐ ÚÓÒ Ù Ò ÙÒ ØÖ Ò Ù Ò Ö Ø Ò Â Ö Ò Å ¹ Ø Ñ Ø Ð ØØ Ö Å Ø Ò Ö ÙÒ Ø Ö Ö¹ ÚÓÖÖ Ò Ò Ø ÈÖÓ Ð ÑÐ Ò ÞÙ Ò ¹ Ð Ø Ò ÞÙÑ Å Ø Ñ Ø ÙÒØ ÖÖ Ø ÞÙÖ ÎÓÖ Ö ØÙÒ ÙÒ Ð ÌÖ Ò Ò Ö Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ï ØØ Û Ö º Å ÖØ Ò Å ØØÐ Ö Ö Ñ ÂÙÒ ¾¼¼ Ò Ö ÒÐ ØÙÒ Ù Ö Ø Ø Ò ÐÐ Å Ø ¹Ä Ö Ò ÓÒ Ö Ò Ø Ò Ì ÐÒ Ñ Ö Ò Ï ØØ Û Ö Ò Ð ØÚ Ö ØÒ ¹ Ð Ù Ò Å Ø ¹Ä Ö Ö ÓÒ Ö Ò Ò Ò Å Ø ¹ Ö Ò Ò ÛÓÐÐ Ò Ó Ö Ö Ø Ð Ø Ò Ò Ä Ö ÑØ ¹ ØÙ ÒØ Ò Ö Ù Ò Ò Ö Ñ Ø Ñ Ò¹ Ò ØÖ Ò Ö ÐÓ Ò Ò ÞÙ ØÖ Ò Ö Òº ÙÖ ÙÒØ Ö¹ ÐØ Ñ Ò Ò ÖÙÒ Ö Ò Ñ Ò Ò Ò ØÖ Ù Ñ ÅÇÆÇÁ ¹ËÓÒ Ö Ø ½ Û Ð Ö Ö Ø ËÔ Ð ÙÒ ËÔ Ñ Ø ÙÒ Ó Ò Å Ø ØÖÙ º Ë Ð ØÚ Ö ØÒ Ð ÓÒÒØ Ò Ø ÒÞ Ù Ñ Ø ËÔ Ð Ö Ò ÐÐ Òº Ðй Ñ Ð Ö Ò Ò Û Ö ÑÑ Ö Ø Ö Ò ÑÒ ÚÓÐÐ Ï ÐØ Ö Å Ø Ñ Ø Òº ËÓ ÓÐ Ò Ö Ö Ø Ø Ò ÖØ Ð ÙÒ Ù Ò Ö Ö Ø Ò ½ ÅÇÆÇÁ ¹ À Ø º ÆÙÖ Ò Ì Ð Ö Ø ½ Ò Ö ÖÓ Ö ÃÓÐÐ Ø Ò Ò Ö ¹ Ò Ò Ò Å Ø Ö Ð ÛÙÖ Û Ð Òº Æ Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ò Ö Ñ Ø Ò ÆÙÑÑ ÖÒ Ñ Ø Ò Ò Ñ Ð Ò Ö Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ò º Á Ö Ä ÙÒ Ò Ö Ò Ò ÙÒØ Ö Ð Ø Ù Ò º Ø Ø Ò Û Ð Ö Å Ø Ñ Ø Ö ÖØ Ñ ÓÒ Ö Ò Ð Ð Ö ÒØÐ Ø ÞÙ Ø Òº ÐØ Ó Ð Ò Ö ÙÒÚ ÖÞ Ø Ö Ò Ï Ò Ø Ò Ö Ó Ø Ò ÖØ Ï ÐØ ÐÓ Ð Ò Ï ØØ Û Ö º ÚÓÖÐ Ò Ù ÓÐÐ Ñ Ò Ò Ö ØÖ ÞÙÖ Ï Ö ÙÒ Ö Å Ø ¹ Ñ Ø Òº Ò ÒÙÖ ÒÓ Û Ò Ü ÑÔÐ Ö ÚÓÖ Ò Òº ËÔ Ð ÙÒ ËÔ Ñ Ø Å Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØÐ Ö ÒÒ ÞÓ Ò Û Ö Ò ÞÙÑ ÍÒ Ó Ø Ò ØÖ ÚÓÒ e Ò Ò ÐÐ ¾e Î Ö Ò Ó Ø ÒÔ Ù Ð ÚÓÒ Ö ÅÇÆÇÁ ¹Ê Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÐÐÙÒ Ö ÁÒØ ÖÒ Ø ÛÛÛºÑ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº»ÑÓÒÓ Ó Ö Ë Ò Ò ¹Å Ð Ò Ê Ø ÓÒ ÑÓÒÓ Ñ Ø Ñ Ø ºÙÒ ¹Ñ ÒÞº º

39 Å Ø Ñ Ø Ä ¹ Ä Ø ÔÔ ÞÙÖ Å Ø Ñ Ø ÚÓÒ Å ÖØ Ò Å ØØ Ð Ö ÓÖ»ÈÓÐØ Ö ÃÓÒÖ Ð Ö Ö Å Ø Ñ Ø º Ï Ö Å Ø Ñ Ø ÒÙÖ Ò ØÖÓ Ò ÓÖÑ ÐÒ Ò Ö ÙÒÚ Ö ØÒ Ð Ö Ù ¹ Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ø Ö Û Ö ÛÙÒ ÖÒ Ò Ò Å Ø Ñ Ø ÔÖÓ ÓÖ Ò ÓÖ Ð Ö ÙÒ ÃÓÒÖ ÈÓÐØ Ö Ø Ñ Ø Ð Ö Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ò¹ ÔÖÙ ÚÓÐÐ ÙÒ Ò ÙÐ Ö Ò Ø ØÓØÖÓØÞ Ô ÒÒ Ò ÙÒ Ù Ò Ð Ö Ù ÐÙÒ Òº ÁÒ ÐØÐ ÙÑ Ø Ï Ö Ú Ö Ò ¹ Ø Ò Ì Ñ Ò Ö Ò ÖÙÑÐ ÙÒ Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÑ ØÖ ¹ Ð ÙÒ Ò Å Ò Ñ Ð Ò ÙÒ È Ö ØØ ÖÙÒ Ò Ö Ù Þ Ð ÒØ ÓÖ Ø ÖÙÒ ÖÐ ÙÒ Òº Ð Ö Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ò Ù Ñ Ò ÚÓÒ ÚÓÖÒ ÒØ Ò Ò Ò Ñ ËØ ÙÖ Ð Øº ÒØÛ Ö Ù Ø Ñ Ò ÞÙ Ò Ñ Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ò ØÖ Ø Ò Ë Ú Ö ÐØ Ô Ò Î Ù Ð ÖÙÒ Ó Ö Ñ Ò Ñ Ø Ò Ô Ö Ö Ò Ð Ò Ñ Ø Û Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ¹ Ò Û Ðк Ö Ò Ò ÐØ Ò ÁÒ ÐØ ÞÛ Ö ÖÙÒ Ð Ò Ö Ò Ø ÞÙ Ò Ò Ö Ø Ø Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ Ö ÖØ Ë Ð Ö Ò¹ Ò Ò ÙÒ Ë Ð Ö Ö Ç Ö ØÙ ËØÙ Ö Ò ÙÒ Ä Ö Ö Ø Ö Å Ø Ñ Ø º Ù Ò Ò ÑØ ½¼¼¼ Ö Ò Ð ÙÒ Ò Ø Û Ð Ò Ò ÔÔ Ò¹ ÖÙÒ Ò Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ò Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ù Ö Ù Ñ Ö Ñ Øº ÞÙ Ò Ò ÒÒ Ö Ø ÞÙ Ò ÒÞ ÐÒ Ò Ì Ñ Ò Ò ¹ Ò Ö ÙÞ Ð ÚÓÖ Ø ÐÐØ Ò Ä Ø Ö ØÙÖ Ò Ò ÞÙÑ Ï Ø ÖÐ Ò ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò ÁÒØ ÖÒ ØÚ ÖÛ Ò À ÐÐ ÙÒ ÐÐ º Þ Ø ÓÖ Ð Ö ÙÒ ÃÓÒÖ ÈÓÐØ Ö Ø Ñ Ø Ð Ö Ö Å Ø Ñ Ø Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ð Ö Ù Ñ Ø Ò Ë ÒÒ ÞÙÑ Æ Ð Ò Ó Ö Ù ÞÙÑ ÒÖ ÒÐ Ò ÐÙÒ Òº Ö ÒÞ Ï ÖÑÙØ ØÖÓÔ Ò Ø Ö ÙÖ ÖÓ Å Ò Ö ÙÖ Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ò Ö ÐÖ Ö ÈÖ ÚÓÒ e Ö Ó ÚÓÒ Ö Ø Å Ø Ñ Ø Ø ÖØ Ò Ñ Ð ÖØ Û Ö Ò ÒÒ Ò Ñ Ñ Ò Ù ÞÙ Ï Ò Ø Ò Û Ò Ø Ó Ö Ö ÓÖ Ø Ö Ë ÙÐ Ð ÓØ Ò Ø Û Ö º ÑØ ÙÖØ ÐÙÒ Ö ÙØ Ò Ò ÞÙÑ Ù Ð Ö ÓÖ»ÈÓÐØ Ö ÃÓÒÖ Ð Ö Ö Å Ø Ñ Ø ËÔ ØÖÙÑ ¾¼¼ ÁË Æ ¹ ¹ ¾ ¹¾¼½ ¹ º ¾ Ë ¹ Ø Ò e ÖØ Ù Ð Ö Ù Ñ Ø Î Ù Ð ÖÙÒ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ö ÁÒ ÐØ Å Ø Ñ Ø Æ Ú Ù ÚÓÒ Ð Ø Û Ö Ú Ö ØÒ Ð ÐØ Ö ÑÔ ÐÙÒ ½ Â Ö Ò

40 Å Ø Ø Ö ÐÐ ÚÓÒ Ö Ò Ä Ò ÁÒ Ö Ë ÙÐ Ò Ú Ð Ö È Ø ÚÓÒ Ò Ò Ë Ð Ö Ò Ò Ö Ù Ø Ñ Ò Ò Ø Å Ø Ø Ò Ø Ò Ò Ð ÙØ Û Ð Ñ Ò ÓÒ Ñ Ð Ò Ö Ø Ú Ö Ùغ Ù Ò Ö Ç Ö ØÙ Û Ö Ñ Ò Ò Ø ÐÓ º Ö ÍÒÑÙØ Ö Ö Ø Ú Ð Ò Ö ÖÓº Ó Û ÖÙÑ Å Ø Ð Ö ÙÒ Ö Ò Û Ò Ò Ø Ò ÒÒ Å Ø Ø Ö ÐÐ ÞÙ Ò Òº Á Ø Ò Ö Ç Ö ØÙ ÓÐÓ Ò Ð ÑÙ Ø Ù Ö Ò Ò ÙÒ ÞÛ Ö Ú Ðº Ù Ò Ñ ÙÒ È Ý Ø Û Ø Ù ÒÒ Ø Ð ÙÒ Ò Ð Ò ÙÒ Ö Ò Ø Ö Ø º Ë Ð Ø Ò ÅÙ ÑÙ Ø ÁÒØ ÖÚ ÐÐ Ù Þ Ð Òº ÁÒ ËÓÞ Û Ö Ñ Ò Ñ Ø Ö ÑÑ Ò Ó Ø ÕÙÐ Òº Â Ò Ñ Ø Å Ø Ò Ø Ò ÖÐ Ó Ù Ù Ö Ð Ö Ë ÙÐ Ø Ñ Ø Å Ø Ò Ø ÚÓÖ º Ï ÑÙ Ñ Ò Ñ À Ò Ý ÒÙÖ Ö Û Ò Þ Ð Ò Û Ú Ö Ø Ñ Ò Ò ËØ ÑÑ Ò Ö Ø Ï Ð Ò Ó Ö Û ÓÑÑØ Ñ Ò Ù ÐÐÚ Ö Ò ÙÖ ÈÙÒ Ø Ò Ð Ö ÐÐ Ø Å Ø Ñ Ø Ñ ËÔ Ðº ÎÓÒ ËØ Ù Ö Ö ÐÖÙÒ Ò ÞÙÑ Ö Ö Ò Ñ Ø ØÞØ Ö Ð Ö Ò Ø ÔÖ Òº Å Ò Ø Ð Ø Ñ Ò Û Ö Ð Ö Ó Å Ø Ø Û Ø Ø Û Ö Ð Û Öº ÍÒ Ö Ò Å Ø Ù Ò Ø ÑÑ Ö Ó ÙØ Ø Ò Ñ Ð Ù ÙÒ Ø ÒÙÖ ÅÙغ Ë ÚÓÒ Å Ø Ò Ø Ö Ö Øº Ë Ð Ø Ä Ö Ö Ö Ò Ò Ò Ø Ô Ö Ø ¼

41 ÈÖÓ Ù ØÔÝÖ Ñ Ò ÚÓÒ ØÑ Ö Î ÖØ Ð Ò ÒØ Ö ÒØ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò ÑÑ Ö Û Ö ÈÝÖ Ñ Ò Ù Ð Ò Ò Ö ÐÑ Ò ÅÙ Ø ÖÒ Ð Ø Û Ö Ò Ö Ò ÈÖÓ Ù Ø Û Ö ÓÐ Ð Ò Ö Ò ÓÐÐ Ò Ó ÙÔØÙÒ µº ÁÒ ÅÇÆÇÁ ¹À Ø ¼ Ø À ÖØÛ Ù Ò ÓÐ ÈÝÖ Ñ Ò Ò ÙÒ Ù Ð Þ Ø ÅÙ Ø Ö Ö ÈÖÓ Ù Ø Ø Ø Ð ÓÖØ ØÞØ = = = Ë Ò Ï Ò Ö Ò ÖÙÒ ÚÓÒ ÖÞÙÒ Ò Ö Ð Ò ÙÒ Ö Ò Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒº Á Ò ÓÐ ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÑÑ Ö Ò Ö Ò Ò Òº Ï ÒÒ Ñ Ò Ø ÓÐ Ð ÒÑÙ Ø Ö Ò Ò Ò ÐÓ Ò Ò Ù ÖÙ ÞÙ Ô Ò ÒÒ ÒÒ Ñ Ò Ö Ø ÙÖ Ö Ò Òº Ï ÓÑÑØ Ñ Ò ÞÙ Ò Ö ÓÐ Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Á ÙÑ ÓÐ Ð ÒÑÙ Ø Ö ÞÙ ÖÞ Ù Ò Ø ÑÑ Ö Û Ö Ð Ò Ð Ù n 9 Ö Ø Ø ÛÓ n Nµ Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ø 10 n 1 = }{{} n Ñ Ð Ö 9 Ö Ù Ù Ù Ò ÓÑÑØ Ñ Ò Ò Ð ÒÙÖ Ù 1 Ò Ø Ø Ò Ñ Ñ Ò ½µ ÙÖ 9 Ú Öغ ÅÙÐØ ÔÐ Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ð Ò ÒÓ Ñ Ø Ò Ö Ð 1 z 9 Ó ÒÒ Ñ Ò ÓÒ Ñ Ð Ð Ö Ø ÐÐ Ò ÒÙÖ Ù Ð Ò ÖÒ z Ø Ø 10 n 1 z = zzz... zzz ¾µ 9 ÍÒ Ò Ð Û Ó Ö Ñ Ø n Ï Ö ÓÐÙÒ Ò Ö ¹ ÖÒ ÓÐ 12 ÞÛº 123 Å Ø Ò Û Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö Ò ÓÑÑØ Ñ Ò Ù Ù ÑÑ Ò Ò Ò Ò Ò Ö 1 Û Ð n¹ñ Ð ÚÓÖ ÓÑÑØ 10 2n 1 = µ 10 3n 1 = µ Ñ Ø ÒÒ Ñ Ò ÐÐ Ð Ò Ñ Ø Ö ÐÑ Ò ÅÙ Ø ÖÒ Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ñ Ñ Ò Ñ Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò Ò ¾¹ ÞÛº ¹ Ø ÐÐ Ò Ð ÑÙÐØ ÔÐ Þ Öغ n 1 Å Ò ÒÒØ µ ÙÒ µ Ù Ö ÓÑ ØÖ ËÙÑÑ Ò ÖÐ Ø Ò ½µ 10 k i i=0 Ø k Ö Ø Ò Ö 1 Òµ Ö Ò Ò Ù Ó Ò Ø ÚÓÖ ½