Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E

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1 Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E Achsen und Wellen: Tragfähigkeitsnachweis nach DIN 743 Stephan Voigt, M.Eng.

2 Agenda 1. Einleitung 2. Kerbform- und Kerbwirkungszahlen 3. Einflussfaktoren 4. Nachweis des Vermeidens bleibender Verformung 5. Nachweis des Vermeidens von Dauerbrüchen 6. Zusammenfassung und Vorgehensweise 7. Beispiel

3 1 Einleitung 1.1 Anwendungsbereich Die Norm 743 gilt für den Sicherheitsnachweis von Wellen und Achsen gegen Ermüdungsbruch (Dauerbruch, Schwingungsbruch) bei Überschreitung der Dauerfestigkeit maßgebend: konstante, schädigungsäquivalente Spannungsamplituden Resultat der gegebenen Belastungen Annahme: Amplituden der einzelnen Beanspruchungsarten (Zug/Druck, Biegung, Torsion) treten gleichzeitig auf Phasengleichheit Bleibende Verformung (oder Anriss oder Gewaltbruch) maßgebend: maximal auftretende Spannungen Werkstoffe: Achsen und Wellen aus Stahl (nicht geschweißt) Stephan Voigt, M.Eng. 3

4 Eigenspannungen werden nicht explizit erfasst Anwendungsgrenzen Zug/Druck, Biegung und Torsion als Einzelbeanspruchung oder kombiniert im Wechsel- oder Schwellbereich; kein dominierender Querkraftschub; kein Knicken Temperaturbereich: 40 CC θθ 150 CC Umlauf- und Flachbiegung werden nicht unterschieden Korrosionsfreie Umgebungsmedien (Luft, säurefreies Öl) Grenzlastspielzahl der Festigkeitswerte für Sicherheit gegen Dauerbruch: NN G = 10 7 Stephan Voigt, M.Eng. 4

5 1.2 Grundlagen des Nachweises Nennspannungen Grundsätzlich sind die wirkenden Spannungen nach den Regeln der Technischen Mechanik zu berechnen. Die folgenden Beanspruchungsarten sind zu berücksichtigen: Beanspruchung Wirkende Spannung Amplitude Mittelwert Maximalwert Querschnittsfläche bzw. Widerstandsmoment Zug/Druck σσ zda = FF zda AA σσ zdm = FF zdm AA σσ zdmax = FF zdmax AA AA = ππ 4 dd2 dd i 2 Biegung σσ ba = MM ba WW b σσ bm = MM bm WW b σσ bmax = MM bmax WW b WW b = ππ 32 dd 4 4 dd i dd Torsion ττ ta = MM ta WW t ττ tm = MM tm WW t ττ tmax = MM tmax WW t WW t = ππ 16 dd 4 dd i 4 dd Stephan Voigt, M.Eng. 5

6 Wiederholung: Belastungsfälle nach von Bach Fall 1: ruhend Fall 2: rein schwellend Fall 3: wechselnd (allg. wenn σσ u < 0) Stephan Voigt, M.Eng. 6

7 Bei Achsen und Wellen treten typischerweise folgende Belastungsfälle auf: Bei Wellen und umlaufenden Achsen tritt Biegung immer wechselnd auf! Wechselbiegung MM bn / σσ bn MM ba = MM bn σσ ba = σσ bn MM bm = σσ bm = 0 Bei stillstehenden Achsen tritt Biegung zumeist schwellend auf! Flachbiegung MM bn / σσ bn MM ba = MM bn 2 MM bm = MM bn σσ ba = σσ bn 2 σσ bm = σσ bn Stephan Voigt, M.Eng. 7

8 Die Torsionsbelastung von Wellen kann statisch Dauerbetrieb in eine Drehrichtung schwellend oder häufige An- und Ausschaltvorgänge wechselnd sein. Reversierbetrieb Doch auch bei statischer Torsion ist der dynamische Anteil zu berücksichtigen: MM ta = KK A 1 MM tnenn Falls kein MM tmax gegeben: MM tmax = KK A MM tnenn Stephan Voigt, M.Eng. 8

9 Zusammengefasst sind folgende Belastungs- bzw. Spannungsgrößen zu ermitteln: Belastungen und Spannungen weisen immer einen qualitativ identischen zeitlichen Verlauf auf! Nennspannungskonzept Stephan Voigt, M.Eng. 9

10 Festigkeiten (Beanspruchbarkeit) Wiederholung: Relevante statische Werkstoffkennwerte bei Raumtemperatur Beanspruchung Bezeichnung Zeichen Ersatzwert bei Stahlwerkstoffen Streck- bzw. Fließgrenze/Druckfließgrenze RR e, σσ S - Zug/Druck 0,2%-Dehn-/Stauchgrenze RR p0,2, σσ 0,2 - Zug-/Druckfestigkeit RR m, σσ B - Biegefließgrenze σσ bf RR e Biegung 0,2%-Biegedehngrenze σσ b0,2 RR p0,2 Biegefestigkeit σσ bb RR m Torsionsfließgrenze ττ tf 1 3 RR e Torsion 0,4%-Torsionsdehngrenze ττ t0,4 1 3 RR p0,2 Torsionsfestigkeit ττ tb RR m Stephan Voigt, M.Eng. 10

11 Wiederholung: Dauerfestigkeit Arten Spannungsart Beanspruchung Belastungsart Wöhlerlinie Stephan Voigt, M.Eng. 11

12 Smith-Diagramm Ausschlagsfestigkeit in Abhängigkeit der Mittelspannung Stephan Voigt, M.Eng. 12

13 Festigkeitswerte Unlegierte Baustähle nach DIN EN Schweißgeeignete Feinkornbaustähle nach DIN EN Stephan Voigt, M.Eng. 13

14 Einsatzstähle (Kernfestigkeit, entspricht blindgehärtetem Zustand) nach DIN EN bis 63 Nitrierstähle nach DIN Stephan Voigt, M.Eng. 14

15 Vergütungsstähle im vergüteten Zustand nach DIN EN /3 Stephan Voigt, M.Eng. 15

16 Liegen keine Versuchsergebnisse vor, so lassen sich Wechselfestigkeiten wie folgt aus der Zugfestigkeit berechnen (σσ B gilt für Raumtemperatur, nur für dd B 7,5 mm): Biegung: σσ bw 0,5 σσ B Zug/Druck: σσ zdw 0,4 σσ B Torsion: ττ tw 0,3 σσ B Liegen Brinellhärten HH HB (bei Raumtemperatur) vor, so kann nach DIN EN ISO die Zugfestigkeit σσ B abgeleitet werden: Vergütete Stähle und im Kernbereich einsatzgehärtete Stähle: σσ B 3,2 HH HB Weichgeglühte normalisierte Stähle: σσ B 3,4 HH HB Stephan Voigt, M.Eng. 16

17 Die angegebenen Werte der Beanspruchbarkeit gelten ausschließlich für die definierte Probengeometrie mit dem maßgebendem Werkstoff-Bezugsdurchmesser dd B. Weicht die zu untersuchende Geometrie von der eines Probenkörpers ab, so sind spezifische Festigkeiten zu ermitteln: Beanspruchung Probenkörper Zeichen Bauteil Bezeichnung Statische Festigkeit Zug/Druck σσ S σσ zdfk Biegung σσ bf σσ bfk Torsion ττ tf ττ tfk Bauteilfließgrenze Dauerfestigkeit Zug/Druck σσ zdd σσ zdadk Biegung σσ bd σσ badk Gestaltfestigkeit Torsion ττ td ττ tadk Bauteilfließgrenzen und Gestaltfestigkeiten werden mittels Kerbform- bzw. Kerbwirkungszahlen und weiteren Einflussfaktoren aus den probenspezifischen Festigkeiten berechnet. Stephan Voigt, M.Eng. 17

18 2. Kerbform- und Kerbwirkungszahlen 2.1 Wiederholung: Definitionen σσ maxk Die Kerbformzahl ist das Verhältnis aus größter örtlicher Spannung zu Nennspannung im Kerbgrund bei statischer Belastung. σσ n αα σ = σσ maxk σσ n αα ττ = ττ maxk ττ n Dabei sind σσ maxk größte Normalspannung an der Oberfläche im Berechnungsquerschnitt infolge der Kerbwirkung bei linearelastischem Materialverhalten ττ maxk größte örtliche Torsionsspannung σσ n, ττ n Nennspannung: Spannung im kleinsten Querschnitt (Kerbgrund) ohne Berücksichtigung der Kerbwirkung bei linearelastischem Materialverhalten Stephan Voigt, M.Eng. 18

19 Die Kerbwirkungszahl ist das Verhältnis der Wechselfestigkeit einer ungekerbten, polierten Rundprobe mit dem Durchmesser dd und der Wechselfestigkeit einer gekerbten Probe mit dem Durchmesser dd im Kerbgrund. ββ σz = σσ zdw(dd) σσ zdwk ββ σb = σσ bw(dd) σσ bwk ββ τ = ττ tw(dd) ττ twk Dabei muss die Ermittlung der Festigkeiten (Dauerschwingversuche) unter gleichen Bedingungen (Beanspruchungsart, Spannungsamplitude, Mittelspannung etc.) stattgefunden haben. Im Gegensatz zur Formzahl ist die Kerbwirkungszahl insbesondere von den Werkstoffeigenschaften abhängig. Stephan Voigt, M.Eng. 19

20 2.2 Formzahlen Formzahlen für Rundstäbe mit umlaufender Kerbe (Ringnut) dd Kerbgrunddurchmesser Stephan Voigt, M.Eng. 20

21 Formzahlen für abgesetzte Rundstäbe Stephan Voigt, M.Eng. 21

22 Alternative Berechnung Die dargestellten Diagramme basieren auf folgender Vorschrift: αα σ,τ = 1 + AA rr tt + 2 BB rr dd rr dd CC rr tt zz dd DD 6 Gilt für rr/tt 0,03 und dd/dd 0,98 Zur Berechnung der Nennspannung σσ n bzw. ττ n ist immer der Kerbgrunddurchmesser dd zu verwenden! Stephan Voigt, M.Eng. 22

23 Formzahlen für abgesetzte Rundstäbe mit Freistich Nach DIN 743 kann in ausreichender Näherung ebenfalls obige Formel angewendet werden, wobei die geometrischen Größen entsprechend der nebenstehenden Abbildung einzusetzen sind. Alternativ dazu kann die Formzahl eines Freistichs als gewichtete Summe der Formzahlen einer Ringnut und eines Absatzes berechnet werden. Stephan Voigt, M.Eng. 23

24 Formzahlen für Rundstäbe mit Querbohrung Es gilt αα σ,τ = AA + BB 2 rr dd + CC 2 rr dd mit folgenden Konstanten: Zug/Druck Biegung Torsion AA 3 3 2,023 BB 1 1,4 0 CC 0 2,8 1,125 Zu beachten ist die Berechnung der Nennspannung (Beispiel Biegung): σσ bn = MM b ππ 32 dd3 rr dd2 3 Stephan Voigt, M.Eng. 24

25 2.3 Kerbwirkungszahlen Experimentell ermittelte Kerbwirkungszahlen Passfedernuten Nach Roloff/Matek Nach DIN 743 ββ σ dd BK 3 σσ B dd N mm 2 0,38 ββ τ dd BK 0,56 ββ σσ dd BK + 0,1 dd BK = 40 mm Bei zwei Passfedern gilt: ββ σ_2passfedern = 1,15 ββ σ RRRR B = 20 µm KK Fσ,ττ = 1 Stephan Voigt, M.Eng. 25

26 Pressverbände Nach Roloff/Matek Nach DIN 743 ββ σσ dd BK 2,7 σσ B dd N mm 2 0,43 ββ ττ dd BK 0,65 ββ σσ dd BK dd BK = 40 mm RRRR B = 20 µm KK Fσ,ττ = 1 Stephan Voigt, M.Eng. 26

27 Keil-, Kerbzahn- und Zahnwellen Nach Roloff/Matek Nach DIN 743 ββ τ dd BK = exp 4, σσ B dd N mm 2 2 dd BK = 29 mm KK Fσ,ττ = 1 ββ σ,τ (dd BK ) = 1 + AA ββ τ dd BK 1 Keilwelle Kerbzahnwelle Zahnwelle Biegung AA = 0,45 AA = 0,65 AA = 0,49 Torsion ββ τ dd BK = ββ τ dd BK AA = 0,75 Zug/Druck: näherungsweise wie Biegung Stephan Voigt, M.Eng. 27

28 Rundstäbe mit umlaufender Spitzkerbe Nach Roloff/Matek Nach DIN 743 ββ σzd dd BK σσ B dd = 0,109 N mm 2 ββ σb dd BK σσ B dd = 0,0923 N mm 2 ββ τ dd BK = 0,8 ββ σb dd BK Stephan Voigt, M.Eng. 28

29 Rundstäbe mit umlaufender Rechtecknut (dd BK = 30 mm) Strukturradius für Stähle (Einheit: mmmm) lg ρρ σσ S (dd) = 0, ,00152 N mm 2 ββ σ,τ (dd BK ) = AA BB + CC tt rr + EE ρρ Zug/Druck Biegung Torsion AA 0,9 0,9 1 Bei mm/tt 1,4 ist ββ σ,τ = ββ σ,τ (dd BK ) BB 1,27 1,14 1,48 CC 1,17 1,08 0,45 EE 2,9 2,9 1 Bei mm/tt < 1,4 ist ββ σ,τ = ββ σ,τ dd BK 1,08 mm tt 0,2 Stephan Voigt, M.Eng. 29

30 Die angegebenen experimentell ermittelten Kerbwirkungszahlen beziehen sich immer auf einen bestimmten Probendurchmesser dd BK oder dd Probe. Die Kerbwirkungszahl für einen abweichenden Bauteildurchmesser dd ist gegeben durch ββ σ,τ (dd) = ββ σ,τ dd BK KK 3(dd BK ) KK 3 (dd) Dabei ist KK 3 (dd) bzw. KK 3 (dd BK ) der geometrische Größeneinflussfaktor. Stephan Voigt, M.Eng. 30

31 Kerbwirkungszahlen bei bekannter Formzahl Bei bekannter Formzahl kann die Kerbwirkungszahl wie folgt berechnet werden (Verfahren von Stieler und Siebel): Dabei ist nn die plastische Stützzahl: ββ σ,τ = αα σ,τ nn nn = σσ ertr σσ S Ansatz von Neuber nn = 1 αα σ,τ EE εε ertr σσ S Stephan Voigt, M.Eng. 31

32 Die Stützzahl beschreibt die Möglichkeit duktiler Werkstoffe, Spannungsspitzen durch weniger beanspruchte Bereiche (die dann plastisch verformen) abzumildern und ist abhängig von: Werkstoff Beanspruchung Geometrie verformungsfähig, nn = 1 für spröde Werkstoffe Stützwirkung nur bei Biegung und Torsion in Abhängigkeit des Spannungsgefälles GGG Spannungsgefälle GG Infolge der Stützwirkung ist nicht die maximale Spannung für ein Versagen verantwortlich, sondern ein mittlerer Spannungswert in unmittelbarer Umgebung des Maximums: GG = 1 σσ dσσ dxx σσ=σσmaxk Stephan Voigt, M.Eng. 32

33 Spannungsgefälle GGG für einige Bauteilformen Dabei ist φφ die sogenannte Fließbehinderung. Stephan Voigt, M.Eng. 33

34 Berechnung der Stützzahl Bei vergüteten, normalisierten oder einsatzgehärteten Wellen ist nn = 1 + GG mm 10 0,33+ σσ S (dd) 712 N mm 2 Bei Wellen mit harter Randschicht (bspw. durch Nitrieren) ist nn = 1 + GG mm 10 0,7 Stephan Voigt, M.Eng. 34

35 Unbekannte Kerbfälle Grundsätzlich lassen sich Formzahl und Spannungsgefälle numerisch oder experimentell (z.b. spannungsoptisch oder mittels DMS) ermitteln. Praktisch ist die numerische Bestimmung mittels FEM sicherlich am effizientesten. Stephan Voigt, M.Eng. 35

36 3. Einflussfaktoren 3.1 Größeneinflussfaktoren Technologischer Größeneinflussfaktor KK 1 dd eff Berücksichtigung der erreichbaren Härte beim Vergüten bzw. Kernhärte beim Einsatzhärten Einfluss auf Streckgrenze bzw. Ermüdungsfestigkeit in Abhängigkeit des Bauteildurchmessers. Unabhängig von der Beanspruchungsart aber abhängig vom für die Wärmebehandlung maßgebenden Durchmesser dd eff, wobei zumeist gilt: dd eff = DD max Halbzeugdurchmesser, Rohteilmaß Anwendung, wenn tatsächliche Festigkeit des Bauteils nicht bekannt ist, z.b. σσ S dd = KK 1 dd eff σσ S (dd B ) Ist die Bauteilfestigkeit z.b. durch Härtemessung abgeleitet, so ist KK 1 dd eff = 1 Stephan Voigt, M.Eng. 36

37 KK 1 dd eff = 1 AA lg dd eff dd B Unterscheidung: σσ S oder σσ B dd B [mm] dd max [mm] dd eff dd B dd B < dd eff dd max dd max < dd eff 500 mm AA = 0,23 0, AA = 0,26 0, AA = 0,26 0, AA = 0,34 0, AA = 0,41 0,6 Stephan Voigt, M.Eng. 37

38 Geometrischer Größeneinfluss KK 2 dd Im Gegensatz zur Zug/Druckwechselfestigkeit σσ zdw sind Biege- σσ bw und Torsionswechselfestigkeit ττ tw abhängig vom Bauteildurchmesser. (Warum?) Kurve 1: Zug/Druck KK 2 dd = 1 für alle dd Kurve 2: Biegung und Torsion KK 2 dd = 1 0,2 lg dd/7,5 mm lg 20 0,8 für 7,5 mm dd < 150 mm für dd 150 mm Stephan Voigt, M.Eng. 38

39 Spezialfall: Hohlwelle Es ist KK 2 dd = dd aussen und für dd 150 mm gilt KK 2 dd = σσ zdw σσ bw Stephan Voigt, M.Eng. 39

40 Geometrischer Größeneinflussfaktor KK 3 dd Wenn Bauteilabmessungen von Probenabmessungen abweichen, verändert sich die Kerbwirkung auch dann, wenn sämtliche Abmessungen der Kerbe im gleichen Maßstab verändert wurden. Der Faktor KK 3 dd findet insbesondere bei experimentell ermittelten Kerbwirkungszahlen Anwendung. KK 3 dd = 1 0,2 lg αα σ,τ 1 0,2 lg αα σ,τ lg dd/7,5 mm lg 20 für 7,5 mm dd < 150 mm für dd 150 mm Stephan Voigt, M.Eng. 40

41 3.2 Einflussfaktor der Oberflächenrauheit Örtliche Spannungen sind stark von der Oberflächenbeschaffenheit bzw. Rautiefe des Bauteils abhängig. Bei Biegung gilt: KK Fσ = 1 0,22 lg RRRR µm lg σσ B dd eff 20 N mm 2 1 Dabei ist σσ B dd eff = KK 1 dd eff σσ B (dd B ) Bei Torsion gilt: KK Fτ = 0,575 KK Fσ + 0,425 Bei einzelnen Spitzenwerten RRzz max > 2 RRRR (Furchen), so ist dieser Wert anstelle der gemittelten Rautiefe zu verwenden. Stephan Voigt, M.Eng. 41

42 Liegt der Einflussfaktor für eine Probe mit der Rautiefe RRzz B vor, so kann der Einflussfaktor für das Bauteil mit der Rautiefe RRRR wie folgt ermittelt werden: KK Fσ,τ = KK Fσ,τ(RRRR) KK Fσ,τ (RRzz B ) Bei Walzhaut ist für die mittlere Rautiefe einzusetzen. RRRR = 200 µm Erreichbare Rautiefen in Abhängigkeit des Fertigungsverfahren: siehe bspw. Skript Zylindrische Pressverbände Bei Passfeder- und Reibschlussverbindungen ist RRzz B = 20 µm. Stephan Voigt, M.Eng. 42

43 3.3 Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung Der Faktor KK V berücksichtigt den Einfluss eines veränderten Oberflächenzustandes durch entsprechende Verfahren auf die Dauerfestigkeit. Dabei ist zu unterscheiden: Erhöhung der Dauerfestigkeit des Grundwerkstoffs, wenn die Kerbwirkungszahl an oberflächenverfestigten Proben ermittelt wurde (experimentell oder aus αα σ,τ und nn) KK V ist das Verhältnis der Dauerfestigkeit der ungekerbten oberflächenverfestigten Probe zur Dauerfestigkeit der ungekerbten nicht oberflächenverfestigten Probe KK V = σσ D_verfestigt σσ D Zeile u in der folgenden Tabelle Erhöhung der Dauerfestigkeit des Grundwerkstoffs als auch den Einfluss der Oberflächenverfestigung auf die Kerbwirkung, wenn die Kerbwirkungszahl an nicht oberflächenverfestigten Proben ermittelt wurde KK V ist das Verhältnis der Dauerfestigkeit der gekerbten oberflächenverfestigten Probe zur Dauerfestigkeit der gekerbten nicht oberflächenverfestigten Probe KK V = σσ DK_verfestigt σσ DK Zeile g in der folgenden Tabelle Stephan Voigt, M.Eng. 43

44 Stephan Voigt, M.Eng. 44

45 Liegen keine Versuchsergebnisse vor, so sind die kleineren Werte zu verwenden. Im Bereich 25 mm dd 40 mm erfolgt eine lineare Abnahme in Anlehnung an die Tabellenwerte. Bei größeren Durchmessern (> 40 mm) geht KK V gegen Eins. Stephan Voigt, M.Eng. 45

46 4. Nachweis des Vermeidens bleibender Verformung 4.1 Sicherheit Die Sicherheit gegen bleibende Verformung ist gegeben durch SS = 1 σσ zdmax σσ zdfk + σσ bmax σσ bfk 2 + ττ tmax ττ tfk 2 SS min Dabei sind σσ zdmax, σσ bmax, ττ tmax vorhandene Maximalnennspannungen infolge der Betriebsbelastung σσ zdfk, σσ bfk, ττ tfk Bauteilfließgrenzen bei Zug/Druck, Biegung bzw. Torsion Annahmen und Berechnungsgrundsätze erfordern die Mindestsicherheit SS min = 1,2 Stephan Voigt, M.Eng. 46

47 4.2 Bauteilfließgrenze Die Bauteilfließgrenzen lassen sich wie folgt bestimmen: σσ zd,bfk = KK 1 dd eff KK 2F γγ F σσ S (dd B ττ tfk = KK 1 dd eff KK 2F γγ F σσ S(dd B ) 3 Dabei sind KK 1 dd eff Technologischer Größeneinflussfaktor für die Streckgrenze KK 2F statische Stützwirkung infolge örtlicher plastischer Verformung an der Randschicht γγ F Erhöhungsfaktor der Fließgrenze durch mehrachsigen Spannungszustand bei Umdrehungskerben und örtlicher Verfestigung. Wenn keine Umdrehungskerben vorliegen, ist γγ F = 1. σσ S (dd B ) Streckgrenze für den Bezugsdurchmesser dd B Stephan Voigt, M.Eng. 47

48 Erhöhungsfaktor der Fließgrenze γγ F bei Umdrehungskerben und Werkstoffen ohne harte Randschicht Statische Stützwirkung KK 2F für Werkstoffe ohne harte Randschicht Stephan Voigt, M.Eng. 48

49 4.3 Nachweis des Vermeidens von Anriss oder Gewaltbruch Bei Stählen mit σσ B > N mm 2 ist zu prüfen (z.b. numerisch mittels FEM), ob die Duktilität ausreicht, Spannungsspitzen abzubauen mind. 4% Dehnbarkeit Ist dies nicht der Fall oder liegen harte Randschichten vor (z.b. einsatzgehärtete Wellen), so ist neben dem Nachweis gegen bleibende Verformung zu zeigen: SS = 0,5 αα σzd σσ zdmax σσ zdbrand + αα σb σσ bmax + αα σzd σσ zdmax + αα σb σσ bmax σσ bbrand σσ zdbrand σσ bbrand αα τ ττ tmax ττ tbrand 2 Dabei sind αα σzd, αα σb, αα τ Formzahlen für Zug/Druck, Biegung und Torsion σσ zdbrand, σσ bbrand, ττ tbrand Bauteilanrissgrenze in der harten Randschicht bei Zug/Druck, Biegung und Torsion Örtliches Konzept Stephan Voigt, M.Eng. 49

50 5. Nachweis des Vermeidens von Dauerbrüchen 5.1 Sicherheit Die Sicherheit gegen Dauerbruch ist gegeben durch SS = 1 σσ zda + σσ ba σσ zdadk σσ badk 2 + ττ ta ττ tadk 2 SS min Dabei sind σσ zda, σσ ba, ττ ta Amplituden der vorhandenen Spannungen infolge der äußeren Belastung σσ zdadk, σσ badk, ττ tadk Gestaltfestigkeiten bei Zug/Druck, Biegung bzw. Torsion (ertragbare Amplituden) Annahmen und Berechnungsgrundsätze erfordern die Mindestsicherheit SS min = 1,2 Stephan Voigt, M.Eng. 50

51 5.2 Gestaltfestigkeit Bei der Ermittlung der Gestaltfestigkeit aus der Festigkeit des Probenkörpers werden folgende Einflüsse berücksichtigt: Vergütbarkeit bzw. Härtbarkeit technologischer Größeneinflussfaktor KK 1 (dd eff ) Übergang der Biegewechselfestigkeit zur Zug-/Druckwechselfestigkeit mit steigendem Durchmesser infolge der Abnahme des Spannungsgradienten geometrischer Größeneinflussfaktor KK 2 (dd) Bauteilform, insbesondere Kerben Kerbwirkungszahl ββ σ (dd), ββ τ (dd) Einfluss von Randschichtverfestigungen und an der Oberfläche wirkende Druckeigenspannungen Verfestigungsfaktor KK V Einfluss der Mittelspannung auf die ertragbare Spannungsamplitude Faktor der Mittelspannungsempfindlichkeit ψψ σk, ψψ τk Stephan Voigt, M.Eng. 51

52 Bauteilwechselfestigkeit Zunächst erfolgt die Berechnung der Bauteilwechselfestigkeit auf Basis der Probenwechselfestigkeit: σσ zd,bwk = KK 1 dd eff KK σ σσ zd,bw dd B ττ twk = KK 1(dd eff ) KK τ ττ tw dd B Dabei sind KK 1 (dd eff ) σσ zdw dd B, σσ bw dd B, ττ tw dd B KK σ, KK τ Technologischer Größeneinflussfaktor für Zugfestigkeit Wechselfestigkeit des glatten Probestabes (mit Bezugsdurchmesser dd B ) Gesamteinflussfaktor für Zug/Druck und Biegung sowie Torsion Stephan Voigt, M.Eng. 52

53 Die Gesamteinflussfaktoren berechnen sich zu KK σ = ββ σ KK 2 (dd) KK Fσ 1 KK V Zug/Druck und Biegung differenzieren! KK τ = ββ τ KK 2 (dd) KK Fτ 1 KK V Dabei sind ββ σ, ββ τ KK 2 (dd) KK Fσ, KK Fτ KK V Kerbwirkungszahlen für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Geometrischer Größeneinflussfaktor Einflussfaktor der Oberflächenrauheit für Zug/Druck und Biegung sowie Torsion Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung (z.b. Kugelstrahlen, Randschichthärtung) Stephan Voigt, M.Eng. 53

54 Mittelspannungseinfluss Um nun aus der Bauteilwechselfestigkeit die Gestaltfestigkeit ableiten zu können, bedarf es der Berücksichtigung evtl. vorhandener Mittelspannungen. Nach GEH lassen sich die Vergleichsmittelspannungen wie folgt berechnen: σσ mv = σσ zdm + σσ 2 2 bm + 3 ττ tm ττ mv = σσ mv 3 Stephan Voigt, M.Eng. 54

55 Zu unterscheiden sind nun zwei Beanspruchungsfälle: Fall 1: Bei Änderung der Betriebsbelastung ändern sich zwar die Spannungsamplituden, aber die Mittelspannungen bleiben konstant. σσ mv = const bzw. ττ mv = const Fall 2: Bei Änderung der Betriebsbelastung ändern sich Spannungsamplituden und Mittelspannungen, aber ihr Verhältnis bleibt konstant. σσ mv σσ zd,ba = const bzw. ττ mv ττ ta = const Stephan Voigt, M.Eng. 55

56 Interpretation Eine Änderung (Erhöhung) der Betriebsbelastung führt bei Fall 1 nicht zu einer Änderung der Gestaltfestigkeit bei Fall 2 zu einer Änderung (Verringerung) der Gestaltfestigkeit Im Zweifelsfall sollte immer der Nachweis unter Verwendung von Fall 2 (kritischer Fall) durchgeführt werden. Stephan Voigt, M.Eng. 56

57 Fall 1: maximales Drehmoment ist begrenzt (z.b. durch Regelung oder Überlastkupplung); Spannungsamplituden können u.u. größer werden Fall 2: bei größerer Nutzlast vergrößert sich auch die dynamische Beanspruchung Stephan Voigt, M.Eng. 57

58 Zur Erfassung des Mittelspannungseinflusses dient der Einflussfaktor der Mittelspannungsempfindlichkeit: ψψ zd,bσk = σσ zd,bwk 2 KK 1 dd eff σσ B dd B σσ zd,bwk ττ twk ψψ τk = 2 KK 1 dd eff σσ B dd B ττ twk Dabei sind σσ zdwk, σσ bwk, ττ twk KK 1 (dd eff ) Bauteilwechselfestigkeit bei Zug/Druck, Biegung und Torsion Technologischer Größeneinflussfaktor für Zugfestigkeit σσ B dd B Zugfestigkeit des glatten Probenkörpers mit Bezugsdurchmesser dd B Stephan Voigt, M.Eng. 58

59 Der Einflussfaktor ψψ τ,σk beschreibt die Sensibilität eines Werkstoffes hinsichtlich des Auftretens einer Mittelspannung. Je mittelspannungsempfindlicher ein Werkstoff ist, umso flacher ist die obere Begrenzungslinie (Linie der ertragbaren Oberspannung) und umso steiler ist die untere Begrenzungslinie (Linie der ertragbaren Unterspannung) des Smith- Diagramms. Extrema: ψψ τ,σk 1 Begrenzungslinien horizontal bzw. vertikal ψψ τ,σk 0 Begrenzungslinien parallel zur Winkelhalbierenden (z.b. Schraube) Stephan Voigt, M.Eng. 59

60 Die Gestaltfestigkeit für Fall 1 berechnet sich zu: σσ zd,badk = σσ zd,bwk ψψ zd,bσk σσ mv ττ tadk = ττ twk ψψ τk ττ mv Dabei sind σσ zdwk, σσ bwk, ττ twk ψψ zdσk, ψψ bσk, ψψ τk σσ mv, ττ mv Bauteilwechselfestigkeit für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Einflussfaktor der Mittelspannungsempfindlichkeit für Zug/Druck und Biegung sowie für Torsion Vergleichsmittelspannung Stephan Voigt, M.Eng. 60

61 In den obigen Gleichungen ist ψψ zd,bσk = 1 bzw. ψψ τk = 1 zu setzen (d.h. es liegt maximale Mittelspannungsempfindlichkeit vor), sofern die folgenden Bedingungen nicht erfüllt sind: σσ mv σσ zd,bfk σσ zd,bwk 1 ψψ zd,bσk ττ mv ττ tfk ττ twk 1 ψψ τk Dabei sind σσ zdfk, σσ bfk, ττ tfk σσ zdwk, σσ bwk, ττ twk ψψ zdσk, ψψ bσk, ψψ τk σσ mv, ττ mv Bauteilfließgrenze für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Bauteilwechselfestigkeit für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Einflussfaktor der Mittelspannungsempfindlichkeit für Zug/Druck und Biegung sowie für Torsion Vergleichsmittelspannung Stephan Voigt, M.Eng. 61

62 Interpretation Beim (vereinfachten) Smith-Diagramm weist die Linie der ertragbaren Oberspannung σσ ODK eine Unstetigkeit ( Knick ) auf. Ab der zu dieser Unstetigkeit gehörenden Mittelspannung ist die Mittelspannungsempfindlichkeit maximal. σσ zdfk σσ a σσ zdwk Bsp. Stahl ψψ zdσσk 0,25 σσ zdfk σσ zdwk σσ ODK Die Differenz aus Fließgrenze und Wechselfestigkeit ist ein Maß dafür, an welcher Stelle diese Unstetigkeit auftritt. Solange σσ mv1 σσ mv2 σσ mv 1 ψψ zd,bσk σσ mv σσ zd,bfk σσ zd,bwk gilt, ist dieser kritische Bereich nicht erreicht. Stephan Voigt, M.Eng. 62

63 Die Gestaltfestigkeit für Fall 2 berechnet sich zu: σσ zd,badk = σσ zd,bwk 1 + ψψ zd,bσk σσ mv σσ zd,ba ττ tadk = ττ twk 1 + ψψ τk ττ mv ττ ta Dabei sind σσ zdwk, σσ bwk, ττ twk ψψ zdσk, ψψ bσk, ψψ τk σσ mv, ττ mv σσ zda, σσ ba, ττ ta Bauteilwechselfestigkeit für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Einflussfaktor der Mittelspannungsempfindlichkeit für Zug/Druck und Biegung sowie für Torsion Vergleichsmittelspannung Amplituden der vorhandenen Spannungen Stephan Voigt, M.Eng. 63

64 In den obigen Gleichungen ist ψψ zd,bσk = 1 bzw. ψψ τk = 1 zu setzen (d.h. es liegt maximale Mittelspannungsempfindlichkeit vor), sofern die folgenden Bedingungen nicht erfüllt sind: σσ mv σσ zd,ba σσ zd,bfk σσ zd,bwk σσ zd,bwk ψψ zd,bσk σσ zd,bfk ττ mv ττ ta ττ tfk ττ twk ττ twk ψψ τk ττ tfk Dabei sind σσ zdfk, σσ bfk, ττ tfk σσ zdwk, σσ bwk, ττ twk ψψ zdσk, ψψ bσk, ψψ τk σσ mv, ττ mv Bauteilfließgrenze für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Bauteilwechselfestigkeit für Zug/Druck und Biegung bzw. für Torsion Einflussfaktor der Mittelspannungsempfindlichkeit für Zug/Druck und Biegung sowie für Torsion Vergleichsmittelspannung Stephan Voigt, M.Eng. 64

65 Interpretation Auch für Fall 2 wird durch die besagte Bedingung die Unstetigkeit in der Linie der σσ a σσ mv σσ zda 1 0,1 σσ mv σσ zda 2 0,6 ertragbaren Oberspannung σσ OAK berücksichtigt. σσ zdfk Je größer das Verhältnis aus Mittelspannung und Ausschlagspannung σσ mv /σσ a ist, umso σσ zdwk größer ist die Mittelspannungsempfindlichkeit. Im Beispiel rechts (für Zug/Druck) sei zur Verdeutlichung σσ zdwk 0,75 σσ zdfk. Zu überprüfen ist die folgende Ungleichung (umgestellt): Linie 1 σσ mv σσ mv σσ σσ zdwk ψψ zdσk σσ zdfk zda σσ zd,bfk σσ zd,bwk 0,1 0,75 σσ zdfk 0.25 σσ zdfk σσ zdfk 0,75 σσ zdfk Linie 2 0,05 σσ zdfk 0,25 σσ zdfk 0,6 0,75 σσ zdfk 0.25 σσ zdfk σσ zdfk 0,75 σσ zdfk 0,3 σσ zdfk 0,25 σσ zdfk Stephan Voigt, M.Eng. 65

66 Gestaltfestigkeit bei Druckspannungen Wenn für beide Beanspruchungsfälle gilt, dass σσ zdm + σσ bm < 0 ist, dann muss folgende Festigkeitshypothese (modifizierte GEH) angewendet werden: σσ mv = HH HH HH Vorzeichen geht nicht verloren! Dabei ist HH = σσ zdm + σσ bm 3 σσ zdm + σσ bm ττ tm und ττ mv = σσ mv 3 Im Falle σσ vm < 0, ist ττ mv = 0 zu setzen. Stephan Voigt, M.Eng. 66

67 Die Gleichungen zur Berechnung der Gestaltfestigkeit bei Normalspannungen (Fall 1 Folie 60 und Fall 2 auf Folie 63) sind nur gültig, wenn Fall 1: σσ mv σσ mv_grenzf1 = σσ zd,bwk σσ dfk 1 σσ zd,bwk 2 σσ B (dd) Fall 2: σσ mv σσ zd,ba > σσ mv σσ zd,ba grenzf2 = σσ zd,bwk σσ dfk ψψ zd,bσk σσ dfk + σσ zd,bwk Dabei ist σσ dfk die Druckfließgrenze des Bauteils, wobei sofern keine expliziten Werte vorliegen gilt: σσ dfk = σσ zfk = σσ zdfk Alle Festigkeiten sind positiv einzusetzen. Stephan Voigt, M.Eng. 67

68 Interpretation Auch im Bereich negativer Mittel-spannungen besitzen die Linien der ertragbaren Ober- bzw. Unterspannung σσ ODK bzw. σσ UDK einen Knick. Diese Unstetigkeiten sind durch die Grenzspannungen σσ mv_grenzf1,2 gegeben. Bei Unterschreiten der Grenzspannungen gilt: Fall 1: σσ zd,badk = σσ mv + σσ dfk Fall 2: σσ zd,badk = σσ dfk σσ zd,ba σσ zd,ba σσ mv Stephan Voigt, M.Eng. 68

69 6. Zusammenfassung und Vorgehensweise Stephan Voigt, M.Eng. 69

70 Vorgehensweise Ermittlung der Schnittgrößen Stephan Voigt, M.Eng. 70

71 Aus den Schnittgrößen und auf Basis der Wellengestaltung (Geometrie, insbesondere Wellendurchmesser) lassen sich die Nennspannungen (als Funktion der Laufvariable) berechnen. Schließlich ist der Nachweis für alle Querschnittsänderungen und Welle-Nabe-Verbindungen (gegen Dauerbruch) sowie für den Ort der größten Belastung (gegen bleibende Verformung) zu erbringen. Stephan Voigt, M.Eng. 71

72 Rechnungsgang für SS F Maximale Beanspruchung Statische Festigkeit des Probestabes KK 1, KK 2F, γγ F Bauteilfließgrenze SS = σσ bmax σσ bfk ττ tmax ττ tfk 2 SS min Stephan Voigt, M.Eng. 72

73 Rechnungsgang für SS D Dynamische Beanspruchung Wechselfestigkeit des Probestabes KK 1, KK σ,τ Bauteilwechselfestigkeit ψψ zd,bσk, ψψ τk Gestaltfestigkeit SS = 1 σσ zda + σσ ba σσ zdadk σσ badk 2 + ττ ta ττ tadk 2 SS min Stephan Voigt, M.Eng. 73

74 Rechnungsgang für KK σ,τ nein ββ σ,τ dd BK bekannt? ja Geometrischer Größeneinflussfaktor Formzahl ββ σ,τ (dd) = ββ σ,τ dd BK KK 3(dd BK ) KK 3 (dd) Einflussfaktor der Oberflächenrauheit Stützzahl Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung KK σ,τ = ββ σ,τ KK 2 (dd) KK Fσ,τ 1 KK V Stephan Voigt, M.Eng. 74

75 7. Beispiel Der dargestellte Wellenabsatz aus 34CrMo4 ist am Querschnitt mit dem Durchmesser dd wie folgt belastet: σσ b = 500 ± 50 N mm 2 ττ t = 100 ± 30 N mm 2 Weiter sind folgende Abmessungen gegeben: dd = 42 mm DD = 50 mm Die Rauheit betrage RRRR = 5 µm. rr = 5 mm Ermitteln Sie die Sicherheit gegen Dauerbruch und gegen bleibende Verformung bei konstanter Mittelspannung Stephan Voigt, M.Eng. 75